高考中的焦点三角形
椭圆中焦点三角形面积公式
2023年高考数学椭圆焦点三角形的面积问题【考点梳理】焦点三角形：椭圆上的点P (x 0，y 0)与两焦点构成的△PF 1F 2叫做焦点三角形.r 1＝|PF 1|，r 2＝|PF 2|，∠F 1PF 2＝θ，△PF 1F 2的面积为S ，则在椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)中：①焦点三角形的周长为2(a ＋c )；②4c 2＝r 21＋r 22－2r 1r 2cos θ；③当r 1＝r 2时，即点P 的位置为短轴端点时，θ最大；④S ＝12r 1r 2sin θ＝b 2tan θ2＝c |y 0|，当|y 0|＝b 时，即点P 的位置为短轴端点时，S 取最大值，最大值为bc .【题型归纳】一、求椭圆焦点三角的面积1．已知点P 是椭圆22:1259x y C +=上一点，12,F F 是其左右焦点，且1260F PF ∠=，则三角形12F PF △的面积为_________2．已知点P 是椭圆221259x y +=上的点，点12,F F 是椭圆的两个焦点，若12F PF △中有一个角的大小为3π，则12F PF △的面积为______．3．设12,F F 是椭圆2241496x y +=的两个焦点，P 是椭圆上的点，且12||:||4:3PF PF =，则12PF F △的面积为（）A ．22B ．42C ．4D ．64．设12,F F 是椭圆2211224x y +=的两个焦点，P 是椭圆上一点，且1213cos F PF ∠=.则12PF F △的面积为（）A ．6B ．62C ．8D ．825．已知点F 1，F 2分别是椭圆22:14x C y +=的左右焦点，点M 在椭圆C 上，且满足1223MF MF += ，则12MF F △的面积为___________.6．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的焦点为1F ，2F ，若椭圆C 上存在一点P ，使得120PF PF ⋅= ，且△12F PF 的面积等于4.则实数b 的值为___________.二、椭圆焦点三角形面积的最值问题7．已知1F 、2F 为椭圆22:14xy Γ+=的左、右焦点，M 为Γ上的点，则12MF F △面积的最大值为（）A ．3B ．2C ．23D ．4三、已知椭圆焦点三角形面积求边8．设1F 、2F 是椭圆22:110x C y +=的两个焦点，O 为坐标原点，点P 在C 上，且12PF F △的面积为7，则OP =（）A ．3B ．73C ．83D ．39．已知12,F F 分别是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左，右焦点，点M 是椭圆C 上的一点，且1212,2F MF F MF π∠= 的面积为1，则椭圆C 的短轴长为（）A ．1B ．2C ．22D ．4四、与内切圆相结合10．已知椭圆2212516x y +=两焦点1F 、2F ，P 为椭圆上一点，若123F PF π∠=，则12F PF △的内切圆半径为______五、与平面向量相结合11．已知P 是椭圆221259x y +=上的点，1F 、2F 分别是椭圆的左、右焦点，若1212PF PF PF PF ⋅=⋅12，则12F PF △的面积为（）A ．33B ．93C ．3D ．912．已知1F 、2F 是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的两个焦点，P 为椭圆C 上一点，且12PF PF ⊥ ．若12PF F △的面积为9，求实数b 的值．【巩固训练】一、单选题13．已知点P 在椭圆221164x y +=上，1F 与2F 分别为左、右焦点，若1223F PF π∠=，则12F PF △的面积为（）A ．43B ．63C ．83D ．13314．已知椭圆C ：221259x y +=，1F ，2F 分别为它的左右焦点，A ，B 分别为它的左右顶点，点P 是椭圆上的一个动点，下列结论中错误的是（）A ．离心率45e =B ．12F PF △的周长为18C ．直线PA 与直线PB 斜率乘积为定值925-D ．若1290F PF ︒∠=，则12F PF △的面积为815．已知椭圆2221(10)y x b b +=>>的左､右焦点分别为1F ，2F ，点M 是椭圆上一点，点A 是线段12F F 上一点，且121223F MF F MA π∠=∠=，3||2MA =，则该椭圆的离心率为（）A ．32B ．12C ．223D ．33二、多选题16．椭圆22:143x y C +=的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 在椭圆C 上，若方程340mx y m ++-=所表示的直线恒过定点M ，点Q 在以点M 为圆心，C 的长轴长为直径的圆上，则下列说法正确的是（）A ．椭圆C 的离心率为12B ．12PF PF ⋅的最大值为4C ．12PF F △的面积可能为2D ．2PQ PF -的最小值为256-17．已知椭圆22:14x M y +=，若P 在椭圆M 上，1F 、2F 是椭圆M 的左、右焦点，则下列说法正确的有（）A ．若12PF PF =，则1230PF F ∠=B ．12F PF △面积的最大值为3C ．12PF PF -的最大值为23D ．满足12F PF △是直角三角形的点P 有4个18．已知椭圆22:143x y C +=的左、右焦点分别是1F ，2F ，04,3M y ⎛⎫ ⎪⎝⎭为椭圆C 上一点，则下列结论正确的是（）A ．12MF F △的周长为6B ．12MF F △的面积为153C ．12MF F △的内切圆的半径为159D ．12MF F △的外接圆的直径为321119．双曲线22:1124x y C -=的左，右焦点分别为1F ，2F ，点P 在C 上.若12PF F △是直角三角形，则12PF F △的面积为（）A ．833B ．433C ．4D ．220．已知P 是椭圆C ：2216x y +=上的动点，过11,4Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭直线与椭圆交于,M N 两点，则（）A ．C 的焦距为5B ．当Q 为MN 中点时，直线MN 的斜率为3-C ．C 的离心率为306D ．若1290F PF ︒∠=，则12F PF △的面积为121．设椭圆22:12x C y +=的左右焦点为1F ，2F ，P 是C 上的动点，则下列结论正确的是（）A ．离心率62e =B ．12PF F △面积的最大值为2C ．以线段12F F 为直径的圆与直线20x y +-=相切D ．12PF PF ⋅的最小值为0三、填空题22．设12F F ，是椭圆22196x y +=的两个焦点，P 是椭圆上的点，且1221PF PF =：：，则12F PF △的面积等于_______.23．已知F 1，F 2是椭圆2214x y +=的两个焦点，点P 在椭圆上，2PF ⊥x 轴，则12PF F 的面积为_________．四、解答题24．设椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，点P ，Q 为椭圆C 上任意两点，且()110PF QF λλ=< ，若2PQF 的周长为8，12PF F △面积的最大值为2．(1)求椭圆C 的方程；(2)设椭圆C 内切于矩形ABCD （椭圆与矩形四条边均相切），求矩形ABCD 面积的最大值．25．已知椭圆C 的两焦点分别为()11,0F -、()21,0F ，P 为椭圆上一点，且12122F F PF PF =+．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若点P 在第二象限，12120F PF ∠=︒，求△12PF F 的面积．26．已知圆22:(3)64M x y ++=圆心为M ，定点(3,0)N ，动点A 在圆M 上，线段AN 的垂直平分线交线段MA 于点P(1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)若点Q 是曲线C 上一点，且60QMN ∠=︒，求 QMN 的面积.参考答案1．33【分析】由椭圆方程可得,,a b c ，利用椭圆定义和余弦定理可构造方程求得12PF PF ⋅，由三角形面积公式可求得结果.【详解】由椭圆方程知：5a =，3b =，则22216c a b =-=；由椭圆定义知：12210PF PF a +==，由余弦定理得：222121212122cos F F PF PF PF PF F PF =+-⋅∠，()2212121243100364c PF PF PF PF PF PF ∴=+-⋅=-⋅=，解得：1212PF PF ⋅=，12121213sin 63322F PF S PF PF F PF ∴=⋅∠=⨯= .故答案为：33.2．33或63##63或33【分析】由椭圆方程可求得,,a b c ；当123F PF π∠=时，由焦点三角形面积公式可求得12F PF S ；当123PF F π∠=时，利用余弦定理可构造方程求得1PF ，由三角形面积公式可得结果.【详解】由椭圆方程知：5a =，3b =，则224c a b =-=；若123F PF π∠=，则12212tan9tan 3326F PF F PF S b π∠=== ；若123PF F π∠=，设1PF m =，则2210PF a m m =-=-，由余弦定理得：22222112112122cos 648PF PF F F PF F F PF F mm =+-⋅∠=+-=()210m -，解得：3m =，1211212113sin 3863222F PF S PF F F PF F ∴=⋅∠=⨯⨯⨯= ；同理可得：当21π3PF F Ð=时，1263F PF S = .综上所述：12F PF △的面积为33或63.故答案为：33或63.3．D【分析】根据椭圆的定义求出12||4,||3PF PF ==，从而判断出12PF F △为直角三角形，然后即可求出12PF F △的面积.【详解】易知2494a =，26b =，所以222254c a b =-=，72a =，即52c =，由椭圆的定义，知12||||27PF PF a +==，又因为12||:||4:3PF PF =，所以12||4,||3PF PF ==，又1225F F c ==，所以12PF F △为直角三角形，所以13462ABC S =⨯⨯=△.故选：D.4．B【分析】利用椭圆的几何性质，得到12246PF PF a +==，12243F F c ==，进而利用1213cos F PF ∠=得出1218PF PF ⋅=，进而可求出12S PF F 【详解】解：由椭圆2211224x y +=的方程可得2224,12a b ==，所以22212c a b =-=，得26,23a c ==且12246PF PF a +==，12243F F c ==，在12PF F △中，由余弦定理可得222221212121212121212||||||(||||)2||||||cos 2||||2||||PF PF F F PF PF PF PF F F F PF PF PF PF PF +-+--∠==22212121212442||||42||||2||||2||||a c PF PF b PF PF PF PF PF PF ---==12124122||||2||||PF PF PF PF ⨯-=，而121cos 3F PF ∠=，所以，1218PF PF ⋅=，又因为，121cos 3F PF ∠=，所以1222sin 3F PF ∠=，所以，1212121122sin 1862223S PF F PF PF F PF =⋅∠=⨯⨯= 故选：B 5．1【分析】设00(,)M x y ，则可得1200(2,2)MF MF x y +=-- ，再由1223MF MF += 可得22003x y +=，而点00(,)M x y 在椭圆上，则有220014x y +=，求出0y ，从而可求出12MF F △的面积【详解】由题意可得2,1,3a b c ===，则12(3,0),(3,0)F F -，设00(,)M x y ，则12000000(3,)(3,)(2,2)MF MF x y x y x y +=---+--=--，因为1223MF MF +=，所以22004412x y +=，所以22003x y +=，因为点00(,)M x y 在椭圆上，所以220014x y +=，解得033y =，所以12MF F △的面积为1323123⨯⨯=，故答案为：16．2【分析】由三角形面积公式、向量数量积的坐标表示及P 在椭圆上列方程可得||4P c y =、2||P b y c=，即可求参数b .【详解】由题设，12||||42P P c y c y ⨯⨯==，且(,)(,)0P P P P c x y c x y ---⋅--=，可得222P P x c y =-，又222222222:1P P P Px y c y y C a b a b-+=+=，则2||P b y c =，综上，24b =，又0b >，则2b =.故答案为：27．A【分析】由于12F F 为定值，所以当点M 到12F F 的距离最大时，12MF F △面积取得最大值，即当M 与短轴的一个端点重合时，12MF F △面积的最大【详解】由2214x y +=，得224,1a b ==，所以222,1,3a b c a b ===-=，由椭圆的性质可知当M 与短轴的一个端点重合时，12MF F △面积的最大，所以12MF F △面积的最大值为1211231322F F b =⨯⨯=，故选：A 8．A【分析】根据三角形12PF F △的面积可求得点P 的坐标，由此可求得OP 的值.【详解】在椭圆C 中，10a =，1b =，则223c a b =-=，所以，1226F F c ==，12121372PF F P P S F F y y =⋅==△，所以73P y =，所以253P x =，则223P P OP x y =+=，故选：A.9．B【分析】首先分别设1MF x =，2MF y =，再根据椭圆的定义和性质列出等式，即可求解椭圆的短轴长.【详解】设1MF x =，2MF y =，所以22221124x y a xy x y c+=⎧⎪⎪=⎨⎪+=⎪⎩，即()222222244x y x y xy x y a +=++=++=，即22444c a +=，得2221b a c =-=，短轴长为22b =.故选：B 10．233##233【分析】根据椭圆的方程求得c ，得12||F F ，设出11||PF t =，22||PF t =，利用余弦定理可求得12t t 的值，得到△12F PF 的面积，再由等面积法求出△12F PF 内切圆的半径．【详解】由题意方程可得，5a =，4b =，223c a b ∴=-=，即12||6F F =,设11||PF t =，22||PF t =，则根据椭圆的定义可得：1210t t +=，①在12F PF △中，123F PF π∠=，∴根据余弦定理可得：22212122cos 63t t t t π+-⋅=，②联立①②得12643t t ⋅=，∴121211643163sin 232323F PF S t t π=⋅=⨯⨯= ,设△12F PF 内切圆半径为r ，△12F PF 的周长为10616L =+=，面积为1633S =，则1112F PF S Lr =，2233S r L ∴==，故答案为：23311．A【分析】由已知可得12F PF ∠，然后利用余弦定理和椭圆定义列方程组可解.【详解】因为121212121212cos 1cos 2PF PF F PF PF PF F PF PF PF PF PF ⋅∠⋅==∠=⋅⋅，120F PF π∠≤≤所以123F PF π∠=，又224c a b =-=记12,PF m PF n ==，则222464210m n mn c m n a ⎧+-==⋅⋅⋅⎨+==⋅⋅⋅⎩①②，②2-①整理得：12mn =，所以12113sin 12332322F PF S mn π==⨯⨯= 故选：A12．3b =【分析】由题意以及椭圆的几何性质列方程即可求解.【详解】因为12PF PF ⊥，所以1290F PF ∠=︒，所以12F PF △为直角三角形，22212(2)PF PF c +=，122PF PF a +=，()2221212122PF PF PF PF PF PF +=+-⋅，即()()221212242c a PF PF =-⨯⋅，1212192F PF S PF PF =⋅=△，所以2244490c a =-⨯=，所以2449b =⨯．所以3b =；综上，b =3.13．A【分析】由椭圆的定义结合余弦定理解得1216PF PF =，通过三角形面积公式即可求得答案.【详解】由12222121212128cos 2PF PF PF PF F F F PF PF PF ⎧+=⎪+-⎨∠=⎪⎩，，又1243F F =，解得1216PF PF =，1212121sin 313422162F PF S PF P PF F F =⨯⨯==∠△.故选：A.14．D【分析】根据离心率的定义可判断A ；利用椭圆的定义可判断B ；求出PA PB k k ⋅可判断C ；利用勾股定理以及椭圆的定义求出12PF PF 可判断D.【详解】由221259x y +=，可得5a =，3b =，224c a b =-=，A ，离心率45c e a ==，故A 正确；B ，12F PF △的周长为12122218PF PF F F a c ++=+=，故B 正确.C ，设()00,P x y ，2020002200009125955252525PA PBx y y y k k x x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭⋅=⋅===-+---，故C 正确；D ，1290F PF ︒∠= ，222121264PF PF F F ∴+==，又因为12210PF PF a +==，所以()212100PF PF +=，即2212122100PF PF PF PF ∴++=，解得1218PF PF =,所以1212192F PF S PF PF ==△，故D 错误.故选：D 15．B【分析】由椭圆定义得12MF MF +，由余弦定理可得12MF MF ，再由三角形面积公式得12MF MF +和12MF MF 的关系，从而求得c ，然后可得离心率．【详解】解：设11||MF r =，22||MF r =，则1222r r a +==，由余弦定理得2221212122||||||2||||cos3F F MF MF MF MF π=+-，即222212*********()4c r r r r r r r r r r =++=+-=-，所以21244r r c =-，因为1212F MF F MA AMF S S S =+ ，所以12121211sin ||sin ||sin 232323r r r MA r MA πππ=⋅⋅+⋅⋅，整理得1212()||r r r r MA =+⋅，即234422c -=⨯，整理得214c =，所以12c =，1a =，12c e a ==，故选：B.16．ABD【分析】A ：根据椭圆方程可直接求得2a =，3b =，1c =，和离心率ce a=；B ：由椭圆的定义可得124PF PF +=，结合不等式22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭代入运算；C ：点P 位于椭圆的上、下顶点时，12PF F △的面积取得最大，计算判断；D ：利用椭圆定义和圆的性质转化处理．【详解】对于选项A ，由椭圆C 的方程知2a =，3b =，1c =，所以离心率12c e a ==，故选项A 正确；对于选项B ，由椭圆的定义可得124PF PF +=，所以2121242PF PF PF PF ⎛+⎫⋅≤= ⎪⎝⎭，即12PF PF ⋅的最大值为4，故选项B 正确；对于选项C ，当点P 位于椭圆的上、下顶点时，12PF F △的面积取得最大值123322⨯⨯=<，故选项C 错误；对于选项D ，易知()3,4M -，则圆()()22:344M x y ++-=，所以()21114424256PQ PF PQ PF QF MF -=--≥-≥--=-，故选项D 正确，故选：ABD ．17．ABC【分析】利用余弦定理可判断A 选项；利用三角形的面积公式可判断B 选项；利用椭圆的定义可判断C 选项；利用平面向量的数量积可判断D 选项.【详解】在椭圆M 中，2a =，1b =，3c =，且1223F F =，对于A 选项，当12PF PF =时，则122PF PF a ===，由余弦定理可得2221122121123cos 22PF F F PF PF F PF F F +-∠==⋅，因为120180PF F <∠<，所以，1230PF F ∠= ，A 对；对于B 选项，当点P 为椭圆M 的短轴顶点时，点P 到x 轴的距离最大，所以，12F PF △面积的最大值为1232c b bc ⨯⨯==，B 对；对于C 选项，因为2a c PF a c -≤≤+，即22323PF -≤≤+，所以，()1222222223PF PF a PF a a c c -=-≤--==，C 对；对于D 选项，当112PF F F ⊥或212PF F F ⊥时，12PF F 为直角三角形，此时满足条件的点P 有4个，当P 为直角顶点时，设点()00,P x y ，则220044x y =-，()1003,F P x y =+ ，()2003,F P x y =- ，222120003130F P F P x y y ⋅=-+=-= ，所以，033y =±，0263x =±，此时，满足条件的点P 有4个，综上所述，满足12F PF △是直角三角形的点P 有8个，D 错.故选：ABC.18．ABC【分析】求得0y ，进而求得12,MF MF ，由此对选项进行分析，从而确定正确选项.【详解】椭圆22:143x y C +=的左、右焦点分别是()11,0F -，()21,0F ，04,3M y ⎛⎫ ⎪⎝⎭为椭圆C 上一点，220041531,433y y ⎛⎫ ⎪⎝⎭+==，所以2212715884,433333MF MF ⎛⎫⎛⎫=+==-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.所以12MF F △的周长为22426a c +=+=，A 正确.12MF F △的面积为001151521233c y c y ⨯⨯=⨯=⨯=，B 正确.设12MF F △的内切圆的半径为r ，则115156,239r r ⨯⨯==，C 选项正确.1212641641199cos 0,8416233F MF F MF +-∠==>∠⨯⨯为锐角，12121135315sin 12561616F MF ∠=-==，所以12MF F △的外接圆的直径为12122323215sin 4531531516F F F MF ===∠，D 选项错误.故选：ABC 19．AC【分析】根据双曲线方程求出c ，再根据对称性只需考虑112PF F F ⊥或12PF PF ⊥.当12PF PF ⊥时，将4x =-代入双曲线方程，求出y ，即可求出三角形面积，当12PF PF ⊥时，由双曲线的定义可知1243PF PF -=，再由勾股定理求出12PF PF ，即可得解；【详解】解：由双曲线22:1124x y C -=可得221244c a b =+=+=.根据双曲线的对称性只需考虑112PF F F ⊥或12PF PF ⊥.当12PF PF ⊥时，将4x =-代入221124x y -=可得233y =±，所以12PF F △的面积为12118323F F PF =.当12PF PF ⊥时，由双曲线的定义可知，12243PF PF a -==，由勾股定理可得()22221212264PF PF F F c +===.因为()222121212264PF PF PF PF PF PF +=-+⋅=，所以128PF PF =，此时12PF F △的面积为12142PF PF ⋅=综上所述，12PF F △的面积为4或833.故选：AC .20．CD【分析】由题知226,1a b ==，25c =，进而根据离心率公式和焦距可判断A ，C ；对于B ，利用中点弦的直线的斜率公式直接计算即可判断；对于D 选项，结合椭圆定义得122PF PF =，进而计算面积即可判断.【详解】解：由题知226,1a b ==，所以2615c =-=，故焦距为225c =，故A 选项错误；对于B 选项，当Q 为MN 中点时，由中点弦公式得2020121364MNb x k a y =-=-=-⨯，故B 选项错误；对于C 选项，椭圆的离心率为53066c e a ===，故C 选项正确；对于D 选项，1290F PF ︒∠=，则12222121226PF PF PF PF F F ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，即()1222121212262PF PF PF PF PF PF F F ⎧+=⎪⎨+-=⎪⎩，代入数据得122PF PF =，所以12F PF △的面积为12112S PF PF ==，故D 选项正确；故选：CD 21．CD【分析】求出离心率可判断A ；计算12PF F △面积的最大值1212F F b ⋅可判断B ；求出圆的方程，再判断圆心到直线的距离与半径的关系可判断C ；设(),P x y 进行数量积的坐标运算结合2212x y +=可判断D ，进而可得正确选项.【详解】对于A ：由椭圆22:12x C y +=可知，2a =，1b =，1c =，所以左、右焦点分别为()11,0F -，()21,0F ，离心率22c e a ==，故选项A 错误；对于B ：122F F =，当P 点与椭圆的上下顶点重合时，12PF F △面积的最大，所以12PF F △面积的最大值为11221122b ⨯⨯=⨯⨯=，故选项B 错误；对于C ：以线段12F F 为直径的圆的圆心()0,0，半径为1，由圆心()0,0到直线20x y +-=的距离222111d c ===+，所以以线段12F F 为直径的圆与直线20x y +-=相切，故选项C 正确；对于D ：设(),P x y ，()()121,,1,PF x y PF x y =---=--，2222212111022x x PF PF x y x ⋅=+-=+--=≥ ，则12PF PF ⋅ 的最小值为0，故选项D 正确；故选：CD ．22．23【分析】先利用定义求出12F PF △的各边，再求出123sin 2F PF ∠=，即可求出12F PF △的面积.【详解】由126PF PF +=，且1221PF PF =：：，12124229623PF PF F F ∴===-=，，又在12PF F △中，cos ∠2221242(23)12422F PF +-==⨯⨯，123sin 2F PF ∴∠=12121S sin 232PF PF F PF ∴=∠=.故答案为：2323．32##132【分析】2PF ⊥x 轴可得P 点横坐标，再根据点P 在椭圆上，求出P 的纵坐标，代入三角形面积公式即可求解.【详解】由题意不妨设1(F ﹣3，0)，2(F 3，0)，∵P 2F ⊥x 轴，∴P (3，±12)，∵△P 12F F 的面积＝12|P 2F ||12F F |＝12⨯12⨯23＝32，故答案为：32．24．(1)22142x y +=(2)12【分析】（1）根据椭圆的定义可知24PQF C a = ，即可求出a ，再根据()12max122PF F S c b =⨯⨯ 及a 、b 、c 的关系计算可得；（2）当矩形ABCD 中有一条边与坐标轴平行时，直接求出矩形的面积，当矩形ABCD 的边都不与坐标轴平行时，设出直线方程，联立直线与椭圆方程，消元、根据0∆=求出2242m k =+，同理得2242n k =+，再由平行线之间的距离公式求出AD ，AB ，即可求出ABCD S ，最后利用基本不等式计算可得；(1)解：由()110PF QF λλ=<得P 、1F 、Q 三点共线，因为三角形2PQF 的周长为8，即22211224PQF C PQ PF QF PF QF PF QF a =++=+++=，所以48a =，则2a =．当P 点为椭圆上或下顶点时12PF F △的面积最大，即121222=⨯⨯== PF F S c b bc ，由222244=-=-b ac b，解得22b =，所以椭圆C 的方程为22142x y +=．(2)解：当矩形ABCD 中有一条边与坐标轴平行时，则另外三条边也与坐标轴平行，矩形ABCD 的两条边长分别为24a =，222b =，此时42282ABCD S =⨯=．当矩形ABCD 的边都不与坐标轴平行时，由对称性，不妨设直线AB 的方程为：y kx m =+，则CD 的方程为：y kx m =-，AD 的方程为：1y x n k =-+，BC 的方程为：1y x n k =--．由22142y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()()222124220k x kmx m +++-=，令0∆=得2242m k =+，同理得2242n k =+，矩形ABCD 的边长分别为221m AD k =+，2211n AB k =+，∴()22222222821122411111ABCD kk m n mnk k S k kk k⎛⎫++ ⎪⎝⎭=⨯==++++，2211828212142k k=+≤+=++，当且仅当1k =±时取等号，所以矩形ABCD 面积的最大值是12．综上所述，矩形ABCD 面积的最大值是12．25．(1)22143x y +=(2)33【分析】（1）根据椭圆的定义得1,2c a ==，进而得答案；（2）根据余弦定理，结合椭圆定义，解决焦点三角形的面积问题即可.(1)解:∵椭圆C 的两焦点分别为()11,0F -、()21,0F ，∴设椭圆C 的方程为()222210x y a b a b+=>>，1c =，12||||42PF PF a ∴+==，2a ∴=．222413b a c ∴=-=-=，∴椭圆的标准方程为22143x y +=．(2)解：在△12PF F 中，由余弦定理得222121212||||||2||||cos F F PF PF PF PF =+-120︒，即212124(||||)||||PF PF PF PF =+-，212124(2)||||16||||a PF PF PF PF ∴=-=-，12||||12PF PF ∴=，1212113||||sin1201233222PF F S PF PF ∴=︒=⨯⨯= ．26．(1)221167x y +=；(2)213.5【分析】（1）根据题意中的几何关系，判断动点P 的轨迹为椭圆，写出其方程即可；（2）利用椭圆定义结合余弦定理，即可求得MQ ，再求三角形面积即可.(1)由已知PN PA =，故8PM PN PM PA AM MN +=+==>，所以P 点轨迹是以M 、N 为焦点的椭圆，设P 点轨迹方程为22221(0)x y a b a b+=>>，则228,3,7a c b ===，所以P 点轨迹方程为221167x y +=.(2)不妨设MQ m =，由椭圆定义可得28QN a m m =-=-，又26MN c ==，则在MNQ 中，由余弦定理可得：()222681cos 212m m QMN m+--∠==，解得145m =.故 QMN 的面积13314213sin 2322255S QMN m c c m =⨯∠⨯⨯=⨯=⨯⨯=.。
有关圆锥曲线的焦点三角形面积公式的证明及其应用
圆锥曲线的焦点三角形面积问题比较常见，这类题目常以选择题、填空题、解答题的形式出现.圆锥曲线主要包括抛物线、椭圆、双曲线，每一种曲线的焦点三角形面积公式也有所不同，其适用情形和应用方法均不相同.在本文中,笔者对圆锥曲线的焦点三角形面积公式及其应用技巧进行了归纳总结，希望对读者有所帮助.1.椭圆的焦点三角形面积公式：S ΔPF 1F 2=b 2tan θ2若椭圆的标准方程为x 2a 2+y 2b2=1（a >b >0），∠F 1PF 2=θ，则三角形ΔF 1PF 2的面积为：S ΔPF 1F 2=b 2tan θ2.对该公式进行证明的过程如下：如图1，由椭圆的定义知||F 1F 2=2c ，||PF 1+||PF 2=2a ，图1可得||PF 12+2||PF 1||PF 2+||PF 22=4a 2，①由余弦定理可得||PF 12+||PF 22-2||PF 1||PF 2cos θ=4c 2，②①-②可得：2||PF 1||PF 2(1+cos θ)=4b 2，所以||PF 1||PF 2=2b 21+cos θ，则S ΔPF 1F2=12|PF 1||PF 2|sin θ=12×2b 21+cos θsin θ，=b 22sin θ2cos 2θ22cos 2θ2=b 2tan θ2.若已知椭圆的标准方程、短轴长、两焦点弦的夹角，则可运用椭圆的焦点三角形面积公式S ΔPF 1F 2=b 2tan θ2来求椭圆的焦点三角形面积.例1.（2021年数学高考全国甲卷理科）已知F 1，F 2是椭圆C ：x 216+y 24=1的两个焦点，P ，Q 为椭圆C 上关于坐标原点对称的两点，且||PQ =||F 1F 2，则四边形PF 1QF 2的面积为________．解析：若采用常规方法解答本题，需根据椭圆的对称性、定义以及矩形的性质来建立关于||PF 1、||PF 2的方程，通过解方程求得四边形PF 1QF 2的面积.而仔细分析题意可发现四边形PF 1QF 2是一个矩形，且该矩形由两个焦点三角形构成，可利用椭圆的焦点三角形面积公式求解.解：S 四边形PF 1QF 2=2S ΔPF 1F 2=b 2tan θ2=2×4×tan π2=8.利用椭圆的焦点三角形面积公式，能有效地简化解题的过程，有助于我们快速求得问题的答案.例2.已知F 1，F 2是椭圆C:x 2a 2+y 2b2=1()a >b >0的两个焦点，P 为曲线C 上一点，O 为平面直角坐标系的原点.若PF 1⊥PF 2，且ΔF 1PF 2的面积等于16，求b的值.解：由PF 1⊥PF 2可得∠F 1PF 2=π2，因为ΔF 1PF 2的面积等于16，所以S ΔPF 1F 2=b 2tan θ2=b 2tan π2=16，解得b =4.有关圆锥曲线的焦点三角形面积公式的思路探寻48的面积，2.则ΔF 1PF 如|||PF 1-|得：|||PF 2cos θ即|由②所以则S Δ夹角、例3.双曲线C 是().A.72且)设双曲F 1，F 2，离△PF 1F 2=1.本题.运用该=p 22sin θ，且与抛S ΔAOB =图3下转76页）思路探寻49考点剖析abroad.解析：本句用了“S+Vt+动名词”结构，能用于此结构的及物动词或词组有mind ，enjoy ，finish ，advise ，consider ，practice ，admit ，imagine ，permit ，insist on ，get down to ，look forward to ，put off ，give up 等。
过焦点的阿基米德三角形的性质及其在高考中的应用
2020年第4期(上)中学数学研究5过焦点的阿基米德三角形的性质及其在高考中的应用安徽省合肥市第一中学(230601)谷留明文[1]介绍了抛物线中阿基米德三角形—–圆锥曲线的弦与过弦端点的两条切线所围成的三角形的一些性质,在此基础上,本问探究圆锥曲线中过一个焦点的阿基米德三角形的统一性质及其逆定理,由此得出圆锥曲线在任意一点处或过准线上任意一点的切线的作图方法,并举例说明了这些性质在解决近几年相关高考题中的妙用.1性质定理性质已知圆锥曲线C 的焦点F 对应的准线为l ,过l 上一点P 引曲线C 的两条切线P A ,P B ,切点分别为A ,B ,则直线P F 垂直AB 于F.图1证明当圆锥曲线C 为椭圆时,如图1,不妨设C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0),F (−c,0),P (−a 2c,t ),其中c =√a 2−b 2,t ∈R .设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则l P A :x 1x a 2+y 1y b 2=1,l P B :x 2x a 2+y 2yb2=1,因为P 在l P A ,l P B 上,所以−x 1c +y 1t b 2=1,−x 2c +y 2tb2=1.由此得l AB :−x c +tyb2=1.令y =0,得x =−c .所以l AB 过点F (−c,0).易知k P F =t −0c −a 2c=−ctb 2.由l AB 方程得,t =0时,k AB =b 2ct,k P F ·k AB =−1;t =0时,k P F =0,k AB 不存在.所以恒有P F ⊥AB 于F .当圆锥曲线C 为双曲线时,如图2,证明类似,略.需注意的是,如图3,对于l 上的点P ,当且仅当P 在渐近线上时,过P 只能引双曲线C 的一条切线.设切点为A ,此时易证P F ⊥AF 于F.图2图3图4当圆锥曲线C 为抛物线时,如图4,不妨设C :y 2=2px (p >0),则F (p2,0),P (−p 2,t ),t ∈R .设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则l P A :y 1y =p (x 1+x ),l P B :y 2y =p (x 2+x ).因为P 在l P A ,l P B 上,所以y 1t =p (x 1−p2),y 2t =p (x 2−p 2).由此得l AB :ty =p (x −p 2)，令y =0,得x =p2,所以l AB过点F (p 2,0).易知k P F =t −0−p 2−p 2=−tp .由l AB 方程得,t =0时,k AB =pt,k P F ·k AB =−1;t =0时,k AF =0,k AB不存在.所以恒有P F ⊥AB 于F .若此性质的条件和结论适当逆过来,命题也成立.逆定理1已知过圆锥曲线C 的一个焦点F 的直线交曲线C 于点A 和B ,过F 作直线AB 的垂线,若垂线与F 对应的准线相交于点P ,则直线P A ,P B 均为曲线C 的切线.证明当圆锥曲线C 为椭圆时,不妨设C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0),F (−c,0),A (x 0,y 0),P (−a 2c,t ),其中c =√a 2−b 2,t ∈R .由−→F A ·−→F P =0得t =b 2(x 0+c )cy 0.所以k P A =y 0−tx 0+a 2c=cy 20−b 2(x 0+c )y 0(a 2+cx 0),因为曲线C 在A 处的切线为l A :x 0x a 2+y 0yb2=1,其斜率为−b 2x 0a 2y 0.而k P A −(−b 2x 0a 2y 0)=c (a 2y 20+b 2x 20−a 2b2)a 2y 0(a 2+cx 0),又x 20a 2+y 20b 2=1,所以a 2y 20+b 2x 20−a 2b 2=0,k P A =−b 2x 0a 2y 0.所以点P 在l A 上,即直线P A 为曲线C 的切线.同理可证直线P B 也为曲线C 的切线.当圆锥曲线C 为双曲线或抛物线时,证明类似,略.逆定理2已知线段AB 为圆锥曲线C 的过焦点F 的弦,若曲线C 在A ,B 处的切线相交于点P ,则点P 必在焦点F 所对应的准线上,且P F ⊥AB .证明当圆锥曲线C 为抛物线时,不妨设C :y 2=2px (p >0),则F (p2,0).设l AB :x =my +p 2,A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则曲线C 在A,B 处的切线分别为l A :y 1y =p (x 1+x ),l B :y 2y =p (x 2+x )联立这两个切线方程,解得交点P 的横坐标为x P =x 1y 2−x 2y 1y 1−y 2=(my 1+p 2)y 2−(my 2+p 2)y 1y 1−y 2=−p 2,y P =p (x 1−x 2)y 1−y 2=pm .所以P 在F 所对应的准线l :x =−p 2上.6中学数学研究2020年第4期(上)当m =0时，l AB ⊥x 轴,k P F =0,P F ⊥AB ;当m =0时,k P F ·k AB =pm −0−p 2−p 2·1m =−1,P F ⊥AB .当圆锥曲线C 为椭圆或双曲线时,证明类似,略.进一步研究发现,还有以下结论成立.结论1已知抛物线C 的弦AB 过焦点F ,抛物线C 在A,B 处的切线相交于点P ,则∠AP B =90◦.证明不妨设C :y 2=2px (p >0),则F (p2,0).设l AB :x =my +p 2,A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),P (−p 2,t ),则l P A :y 1y =p (x 1+x ),l P B :y 2y =p (x 2+x ),所以k P A ·k P B =p y 1·p y 2=p 2y 1y 2.联立抛物线C 与l AB 的方程,得y 2−2pmy −p 2=0,y 1y 2=−p 2.所以k P A ·k P B =−1,∠AP B =90◦.结论2已知抛物线C 的弦AB 过焦点F ,点P 在抛物线C 的准线上,且∠AP B =90◦,则P F ⊥AB ,且直线P A,P B 均为抛物线C 的切线.证明不妨设C :y 2=2px (p >0),则F (p2,0).设P (−p 2,t ),l AB :x =my +p2,A (x 1,y 1),B (x 2,y 2).联立抛物线C 与l AB 的方程,得y 2−2pmy −p 2=0,y 1+y 2=2pm,y 1y 2=−p 2,x 1+x 2=m (y 1+y 2)+p =2pm 2+p ,x 1x 2=y 212p ·y 222p =(y 1y 2)24p 2=p 24.−→P A ·−−→P B =(x 1+p 2)(x 2+p 2)+(y 1−t )(y 2−t )=x 1x 2+p2(x 1+x 2)+y 1y 2−t (y 1+y 2)+t 2=(pm −t )2.又∠AP B =90◦,所以−→P A ·−−→P B =(pm −t )2=0,t =pm ,从而k P F =t −0−p 2−p 2=−m .当m =0时,l AB不存在斜率,k P F =0,故P F ⊥AB ；当m =0时,k P F ·k AB =−m ·1m=−1,故P F ⊥AB .再根据逆定理1,可得直线P A,P B 均为抛物线C 的切线.2切线作图由性质2,可以得到圆锥曲线在任意一点A 处,或者过准线l 上任意一点P 的切线的作图方法.2.1作圆锥曲线C 在任意一点A 处的切线(设C 的一个焦点为F ,其对应的准线为l ):(1)连接AF ;(2)过F 作AF 的垂线,交l 于点P ;(3)连接P 和A ,直线P A 即为圆锥曲线C 在点A 处的切线.2.2作圆锥曲线C 的过准线l 上任意一点P 的切线(设准线l 对应的焦点为F ):(1)连接P F ;(2)过F 作P F 的垂线,作出垂线与曲线C 的交点(一个或者两个);(3)连接P 和交点,所得直线(一条或者两条)即为圆锥曲线C 过点P 的切线.3考题妙解例1(2018年高考全国卷Ⅲ理科第16题)已知点M (−1,1)和抛物线C :y 2=4x ,过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A,B 两点.若∠AMB =90◦,则k =.分析本题主要考查直线与圆锥曲线的相交关系,考查数学结合和转化化归思想,考查直观想象和数学运算等核心素养.其基本思路是:设过A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)两点的直线方程为y =k (x −1),将它与抛物线方程联立、消y ,可得k 2x 2−2(k 2+2)x +k 2=0,由此表示出x 1+x 2,x 1x 2,再结合直线方程表示出y 1+y 2,y 1y 2,代入−−→MA ·−−→MB =(x 1+1)(x 2+1)+(y 1−1)(y 2−1)=0,整理可求出k .此法的计算量大而易出错.而根据结论2,设C 的焦点为F ,则MF ⊥AB .所以k ·k MF =k ·1−0−1−1=−1,轻松得解k =2.例2(2019年高考全国卷Ⅲ理科第21题第(1)问)已知曲线C :y =x 22,D 为直线y =−12上的动点,过D 作C 的两条切线,切点分别为A,B .(1)证明：直线AB 过定点.分析由性质定理直接可知,定点为C 的焦点.证明方法既可以用上文中性质定理的证明方法,也可以直接验证C 的焦点坐标恒符合直线AB 的方程.若对性质定理中的条件进行推广,比如过与圆锥曲线C 相离的直线l 上任一点,甚至过圆锥曲线C 外任一点,引曲线C 的两条切线,又会有何规律与结论呢?可进行更深的研究.参考文献[1]王宁岚.“形”“性”而解—–浅议阿基米德三角形的应用[J].中学数学(高中版)，2013(02):31-33.[2]杨艳萍.多角度认识圆锥曲线的切线[J].中学数学研究，2018(03):28-31.。
高中数学论文双曲线焦点三角形面积公式在高考中的妙用
双曲线焦点三角形面积公式的应用定理 在双曲线12222=-by a x （a ＞0，b ＞0）中，焦点分别为1F 、2F ，点P 是双曲线上任意一点，θ=∠21PF F ，则2cot 221θ⋅=∆b S PF F . 证明：记2211||,||r PF r PF ==，由双曲线的第一定义得.4)(,2||222121a r r a r r =-∴=-在△21PF F 中，由余弦定理得：.)2(cos 22212221c r r r r =-+θ配方得：.4cos 22)(22121221c r r r r r r =-+-θ即.4)cos 1(242212c r r a =-+θ .cos 12cos 1)(222221θθ-=--=∴b a c r r 由任意三角形的面积公式得：2cot 2sin 22cos 2sin 2cos 1sin sin 2122222121θθθθθθθ⋅=⋅=-⋅==∆b b b r r S PF F . .2cot 221θ⋅=∴∆b S PF F 同理可证，在双曲线12222=-bx a y （a ＞0，b ＞0）中，公式仍然成立. 典题妙解例1 设1F 和2F 为双曲线1422=-y x 的两个焦点，P 在双曲线上，且满足︒=∠9021PF F ，则△21PF F 的面积是（ ）A. 1B.25 C. 2 D. 5 解：,145cot 2cot 221=︒=⋅=∆θb S PF F ∴选A.例2 (03天津)已知1F 、2F 为双曲线1422=-y x 的两个焦点，P 在双曲线上，若△21PF F 的面积是1，则21PF PF ⋅的值是___________.解: ,12cot 2cot 221==⋅=∆θθb S PF F ︒=∴452θ,即.90︒=θ ∴21PF PF ⊥，从而.021=⋅PF例3 已知1F 、2F 为双曲线的两个焦点，点P 在双曲线上，且︒=∠6021PF F ，△21PF F 的面积是312，离心率为2，求双曲线的标准方程. 解：由31230cot 2cot 2221=︒=⋅=∆b b S PF F θ得：.122=b 又,2122=+=ab e .41212=+∴a从而.42=a ∴所求的双曲线的标准方程为112422=-y x ，或112422=-x y . 金指点睛1. 已知双曲线1422=-y x 的两个焦点为1F 、2F ，点P 在双曲线上，且△21PF F 的面积为3，则 21PF PF ∙的值为( )A. 2B. 3C. 2-D. 3-2.（05北京6）已知双曲线的两个焦点为)0,5(),0,5(21F F -，P 是此双曲线上的一点，且2||||,2121=⋅⊥PF PF PF PF ，则该双曲线的方程是（ ） A. 13222=-y x B. 12322=-y x C. 1422=-y x D. 1422=-y x 3.（05全国Ⅲ）已知双曲线1222=-y x 的焦点为1F 、2F ，点M 在双曲线上，且021=⋅MF ，则点M 到x 轴的距离为（ ） A.34 B. 35 C. 332 D. 34. 双曲线116922=-y x 两焦点为F 1，F 2，点P 在双曲线上，直线PF 1，PF 2倾斜角之差为,3π则 △F 1PF 2面积为( )A ．163B ．323C ．32D ．42 5. 双曲线14491622=-y x ，1F 、2F 为双曲线的左、右焦点，点P 在双曲线上，且32||||21=⋅PF PF ，求21PF F ∠的大小.6. 已知双曲线12222=-by a x （a ＞0，b ＞0）的焦点为1F 、2F ，P 为双曲线上一点，且021=⋅PF PF ，ab PF PF 4||||21=⋅，求双曲线的离心率.参考答案1. 解：32cot 2cot 221===∆θθb S PF F ，∴︒=︒=60,302θθ. 又3sin ||||212121=⋅⋅=∆θPF PF S PF F ，∴4||||21=⋅PF PF . ∴21PF PF ∙=2214cos ||||21=⨯=⋅⋅θPF PF . 故答案选A. 2. 解： ,21PF PF ⊥∴1221||||212121=⨯=⋅=∆PF PF S PF F . 又145cot 2cot22221==︒==∆b b b S PF F θ，∴1=b ，而5=c ，∴2=a .故答案选C. 3. 解： 021=⋅MF ，∴21MF MF ⊥. ∴245cot 22cot 221=︒==∆θb S MF F .点M 到x 轴的距离为h ，则23||212121===⋅⋅=∆h ch h F F S MF F ，∴332=h . 故答案选C.4. 解：设θ=∠21PF F ，则3πθ=. ∴3166cot 162cot 221===∆πθb S PF F .故答案选A. 5. 解：由14491622=-y x 得116922=-y x . 设θ=∠21PF F （︒≤︒1800 θ）. ∴2cot 162cot221θθ==∆b S PF F . 又θθsin 16sin ||||212121=⋅⋅=∆PF PF S PF F .∴2cot sin θθ=，即2sin 2cos 2cos 2sin 2θθθθ=. 整理得：212sin 2=θ，∴222sin =θ，︒=452θ，︒=90θ. 故21PF F ∠的大小为︒90.6. 解：设θ=∠21PF F ， 021=⋅PF PF ∴︒=90θ. ∴22245cot 2cot21b b b S PF F =︒==∆θ. 又 ab ab PF PF S PF F 2421||||212121=⨯=⋅=∆， ∴ab b 22=. 得2=ab . ∴离心率5)(12=+=ab e .。
高考数学复习专题15解析几何椭圆的焦点三角形考点剖析【含答案】
1 椭圆的焦点三角形
主标题：椭圆的焦点三角形 副标题：为学生详细的分析椭圆的焦点三角形的高考考点、命题方向以及规律总结。
关键词：椭圆，椭圆的焦点三角形
难度：3
重要程度：4
考点剖析：1.明白什么是椭圆的焦点三角形；
2．会解决有关椭圆的焦点三角形的问题； 命题方向：
1.从考查内容看，椭圆的焦点三角形是高考的重点，也是高考考查的热点．
2．从考查形式看，对椭圆的焦点三角形的考查常以选择题、填空题的形式出现，属中档题． 知识梳理
(1)椭圆上一点与两焦点构成的三角形，称为椭圆的焦点三角形，与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，得到a 、c 的关系． 规律总结： （1）对△F 1PF 2的处理方法⎩⎪⎨⎪⎧ 定义式的平方余弦定理
面积公式⇔
⎩⎪⎨⎪⎧ PF 1|＋|PF 22＝a 24c 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|cos θS △＝12|PF 1||PF 2|sin θ。
焦点三角形的性质(经典!必看)
(1)由题设2｜F
F2｜＝｜PF1｜＋｜PF2｜
2a＝４，又2c＝2，∴b＝3
422yx＝1．
设∠F
PF2＝θ，则∠PF2F1＝60°－θ
1e
60sin(
3sin)60sin(120sin)180sin(21oooo，
5sinθ＝3(1＋cosθ)
1bbPFPFSPFF
),0(1
222ba
yax左右两焦点分别为,,21FF设焦点三角
1FPF，若21PFF最大，则点P为椭圆短轴的端点。
),(
oyxP,由焦半径公式可知：oexaPF1，oexaPF1
1PFF中，
122121212cosPFPFFFPFPF21221221242)(PFPFcPFPFPFPF
(余)弦定理、内角和定理、面积公式等.
1 椭圆上一点P到焦点
1,FF的距离之差为2，试判断21FPF的形状.
：由1
1622yx椭圆定义：
||,5||.2||||,8|||
12121PFPFPFPFPFPF.
又4||
1FF，故满足：,||||||2122122PFFFPF故21FPF为直角三角形.
sin)180sin(1221PFPFFFo
sin)sin(2121PFPFFF
sin(2)sin(21cFF，sinsin2sinsin21aPFPF
sin)sin(ace。
F
(－1，0)、F2(1，0)，P为椭圆上一点，且｜F1F2｜是｜PF1｜和｜PF2｜
求椭圆的方程；
若点P在第三象限，且∠PF
.
),0(1
222ba
焦点三角形在高考中的应用
椭圆、双曲线焦点三角形在高考中的应用焦点三角形的定义：椭圆、双曲线相关的∆21F PF ,(为曲线上的任意一点P 21F F 与为曲线的焦点）。
在椭圆、双曲线的第一定义中，我们可以简记两边之和大于第三边的动点P 的轨迹为椭圆，两边之差小于第三边的动点P 的轨迹为双曲线。
焦点三角形中的边角关系是学生必须掌握的重点知识，也是高考的热点内容之一，尤其是近几年的出题频率呈上升趋势.现列举部分典型试题说明焦点三角形相关结论应用类型.一、焦点三角形面积公式及应用例 1.椭圆)0(12222>>=+b a by a x 上一点P 与12,F F 所成的角12.F PF α∠=求证:21PF F S ∆=.22αtgb证明:设.2,,212211a r r r PF r PF =+∴==在21PF F ∆中,由余弦定理得:αcos 24212221221r r r r c F F -+==)cos 1(24)cos 1(2)(21221221αα+-=+-+=r r a r r r r即2212122)cos 1(21),cos 1(21b r r r r a c =+∴+-=αα. 成立从而2.2sin cos 1sin 21222212121αααααtg b S tg b b r r S PF F PF F ==⋅+==∴∆∆ 类似于椭圆：点P 是双曲线22221(0)x y a b a b-=>>上一点，12,F F 为双曲线的两个焦点，角12F PF α∠=，求证:21PF F S ∆=2cot.2b α14．（08海南、宁夏卷）数学（理科）设双曲线221916x y -=的右顶点为A ，右焦点为F ．过点F 平行双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B ，则△AFB 的面积为 ．解：双曲线的右顶点坐标(3,0)A ，右焦点坐标(5,0)F ，设一条渐近线方程为43y x =， 建立方程组224(5)31916y x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，得交点纵坐标3215y =-，从而13232221515AFBS =⨯⨯=例.(2001年高考理科第14题)双曲线116922=-y x 的两个焦为21,F F ，点P 在双曲线上，若21PF PF ⊥，则点P 到x 轴的距离为 .解:由116922=-y x 可得:.5,4,3===c b a 依题意有：,,2,222122212121F F PF PF c F F a PF PF =+==-.516,516,165,,522121,,1621,24224212222121212212212122212故答案为因此则的距离为到轴设点的面积得因此===⋅=⋅⋅===-=⋅=∆⋅-=⋅-=⋅-+=h h h c h F F h S h x P b a c PF PF S PF F PF PF c PF PF F F PF PF PF PF a 例2.（88年广东省高考题）设1F 和2F 是双曲线14491622=-y x 的左、右焦点，点P 在双曲线上，且21PF PF ⋅=32，求21PF F∠的大小. 解:由已知双曲线方程变形得:116922=-y x . 记.322122,11===d d d PF d PF 依题设得由双曲线的几何性质得:362,6221222121=-+∴==-d d d d a d d 即100236212221=+=+d d d d . 又∴==,10221c F F 22212221221100PF PF d d F F +=+==2221221PF PF F F +=∴,从而21F PF ∆是以21F F 为斜边的∆Rt ,即21PF F ∠是直角,故02190=∠PF F .11．（08四川卷）数 学（文科）及详解详析已知双曲线22:1916x y C -=的左右焦点分别为12,F F ，P 为C 的右支上一点，且212PF F F =，则12PF F ∆的面积等于( C )（Ａ）24 （Ｂ）36 （Ｃ）48 （Ｄ）96【解1】：∵双曲线22:1916x y C -=中3,4,5a b c === ∴()()125,0,5,0F F - ∵212PF F F = ∴12261016PF a PF =+=+=作1PF 边上的高2AF ，则18AF =∴26AF == ∴12PF F ∆的面积为12111664822PF PF ⋅=⨯⨯= 故选C 强化训练：椭圆)0(12222>>=+b a by a x 与双曲线22221(0,0)x y m n m n -=>>共焦点12,F F ，且P 是一个交点。
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2021年第01期总第494期数理化解题研究点击解析几何中的焦点三角形问题李怀忠（甘肃省景泰县第二中学730400）摘 要：焦点三角形是高考历年关于解析几何命题的热点问题，涉及了椭圆、双曲线的定义、几何性质以及解三角形等相关知识，综合性强、方法灵活，是考查学生数学思想和综合能力的重要素材.关注并归纳焦点三角形相关考点对提高高考备考效率具有现实意义•关键词： 定义； 性质； 方法； 思想中图分类号：G632 文献标识码:A 文章编号：1008 -0333（2021）01 -0033 -03所谓焦点三角形，指的是椭圆或双曲线上任一点与 两焦点连接而成的三角形.焦点三角形是高考考查椭圆、双曲线的定义、几何性质、解三角形的重要素材，其涉及的知识范围宽广、方法灵活、数学思想突出•本文就常见 的焦点三角形问题做一归纳总结.一、焦点三角形中的离心率问题解析pH ,\FiX图2F 2是线段PF 1垂直平分线上的点，则有PF 2 -22例1 如图1,已知P 是椭圆":+ ,-1(% > b >0)上%b2F 1F 2 -2 c , F 2 H - Q - c.在 RtA PF 2 H 中，有 PF 2 > F 2 H .1 2 2 c2 2 2的一点,F 1，F 2是两焦点,Z PF 1F 2 - a. /PF ?你-0,求椭因为点P 是准线上的动点，则pf 2m f 2h .圆的离心率.解析在焦点APF 1F 2中，由正弦定理，得PF 1 - PF 2 - F 1F 2sin S sin a sin( a + 0)PF 1 + PF 2sin a + sin S所以 e - £ -sin(a +/S S .% sin a + sin S图1点评 椭圆中的离心率借助焦点三角形中的两内角求解，涉及到椭圆定义、正弦定理、等比定理等相关知识 结构，内涵丰富，题目灵活多变.例2如图2,设f 1,f 2分别是椭圆%2 + y 2 -1（%>b%b > 0）的左、右焦点,若在其右准线上存在点P ,使线段PF 1的中垂线过点F 2,则椭圆的离心率的取值范围是（）.5，訂 B .[°,訂 C .[ ；,1] D .[詢2所以2心% - c ,解得c所以椭圆离心率的取值范围是；We <1.点评离心率的取值范围求解的关键是寻找几何量之间的不等关系，RMPF 2H 中,PF 2M F 2H 不等关系的确 立是本题的突破口.二、焦点三角形中的面积问题例3设P 是双曲线%2 --1上的一点,F 1，F 2分别是双曲线上的两个焦点,若PF 1： PF 2 -3：2,则△ PF 1F 2的面积为（ ）•A. 6 3B. 12C. 12 3D.24解析由双曲线的定义，可知PF 1 - PF 2 -2.3又因为 PF 1 - 2 PF 2,解得 PF 2 -4,PF 1 -6.收稿日期：2020 -10 -05作者简介：李怀忠（1975 -），中学高级教师，从事高中数学教学研究.— 33—数理化解题研究2021年第01期总第494期由 %： -1：二1 知 F 1F ： _W13.故 PF ： + PF 1 _ F 1F ：. 所以△PF/：是以点P 为顶点的直角三角形.所以 △pf 1f ： _ 1 PF 】・ PF ：二12.例4如图3,设P 是椭圆%； + y ： _1( a > 6 >0)上的a6解得 y _ 26.点评 利用等面积法，从两个不同的角度来理解问 题,实现问题的整体转化.焦点三角形面积公式是问题的突破点.三、焦点三角形中的边长问题例7已知F 2( -1,0), F ：(1,0)是椭圆C 的两个焦点，过F ：且垂直于%轴的直线交C 于A ,B 两点，且 AB _3,则C 的方程为()•. %2 y 2A . — + y _ 12R %2 y ： 1B . 3 +2 _2%2 y 2d . " + 歹 _i证明 令 PF 2 _ m , PF ： _ :，则 m + : _ 2a.由余弦定理，得(2c )2 _ m 2 + :2 - 2m:cos O _ (m + :)2-2 m: (1 + cos O ).解得 m ：4 a 2 - 4 c 22(1+ cos O )2 6：1 + cos O 故 S △PF i F ：2 m:sin O _ 6：2sin O 1 + cos O2sin O cos O解析 因为过F ：且垂直于%轴的直线交C 于A ,B 两点,AB 为通径，则AB __ 3.由题意知c _ 1,解得a 2 _a4,6： _3.即椭圆方程为；+ y, _ 1.故选C .评析焦点三角形中当底角为90°，即PF 】丄F i F ：时,pf 2是通径的一半,pf 2 _手.%2 y 2例8椭圆%2 + y ： _1的右焦点为F ,其右准线与%a6点评 椭圆中焦点三角形的面积S △pf ^： _ 6：tan 2,双曲线中焦点三角形的面积S △pf ^： _ 6；,结论的呈现能有效提高解决问题的效率.例5已知F i ,F ：为双曲线C ： %2 - y 2 _1的左、右焦点，点 P 在 C 上，乙 F 2 PF ： _ 60 °,则 I PF 2 ・ PF ： _( ).A. 2B. 4C. 6D. 8解析 由等面积,得S _ —6二対二Otan 2：PF i ・ PF ： sin .所以 PF i ・ PF ： _4.故选 B .22例6双曲线；-二_1的两个焦点为F i ，F ：,点P916在双曲线上，若PF 2丄PF ：,则点P 到%轴的距离为 .解析 由等面积，得S _一6— _ 16 _c • |y |二5・|y|.Otan 2轴的交点为A ,在椭圆上存在一点P ,满足线段AP 的垂直平分线过点F ,则椭圆的离心率的取值范围是.解析题目中给出了中垂线,所以要用到中垂线的性质，即AF _ PF.要求e 的范围，我们需要构造一个关于 基本量的不等关系,且在有动态变量的题目中,需要把定 值和变量进行比较.根据题意，知AF a 2_ c 一c _ PF.2由于 a - c W PF W a + c ,所以 a - c W a - c W a + c.c解得2 W e < 1.点评 焦点三角形中,P 到焦点F 的距离为焦半径,则 a - c W PF W a + c , 焦半径的取值范围是解决离心率范围的主要依据.—34—2021年第01期总第494期数理化解题研究四、焦点三角形中的周长问题例9短轴长为5,离心率为3的椭圆的两个焦点分别为你，F2,过你作直线交椭圆于A,B两点,则△ABF?的周长为().A.14B.12C.6D.3解析由题意,可知2b=点,2二字,b2+c2=a2,解a3得a=3,b=，c=1.所以A ABF2的周长二AF1+AF2+ BF1+BF2=2a+2a=4a=6.故选C.点评过椭圆的一焦点你的弦AB两端点与另一焦点F2所成三角形的周长为4a是一个定值,与直线AB的倾斜角无关.%2例10设F1,F2分别是椭圆C：；+y2=1的左、右焦点，过F1且斜率不为零的动直线/与椭圆C交于A,B两点.求△AF1F2的周长；解析由椭圆的方程予+y2=1,可知AF1+AF2=2a =2a,F1F2=2c=2.所以△AF1F2的周长为AF1+AF2+F1F2=26+2.点评椭圆中焦点三角形的周长为2a+2c,与直线的斜率没有关系.五、焦点三角形相关的最值问题%2y2例11已知P是椭圆；+]=1上任一点，F],F2是椭圆两焦点，求Z F1PF2的最大值.解析由椭圆的定义和余弦定理,可知PF1+PF2= 4,F1F2=2c=2,F1F2=PF2+PF；-2PF1・PF2cos0= (PF1+PF2)2-2PF1PF2(1+cos O).解得PF】・PF2=6O.121+cos O由基本不等式,PF】・PF2W(PF1；"2)2=4,当且仅当PF1=PF2=2时取等号.即解得cos O M2.又O e(0,n)，所以O W:，所以Z F1PF2的最大值为:•点评本题可以一般化，在焦点厶PF1F2中，Z F1PF2 =O,则由余弦定理，得o pf2+pf2-F1f2cos=2PF]・PF2(PF1+PF2)2-F1F2-2P F1PF2=2P F]・PF24a2-4c212PF]・PF22b2PF]・PF2-”1.a当PF1=PF2时,等号成立,即Z F1PF2=O,当点P靠近短轴端点时O增大，当点P靠近长轴端点时O减小，当点P与短轴端点重合时O最大.%2y2例12已知F],F2是椭圆笃+1=1的左、右焦点,abP是椭圆上一点,Z F1PF2=90°,求椭圆离心率的最小值解析设椭圆短轴的一个端点为B],所以可知Z F1B1F2M90°,Z0B1F2M45°.所以e=~a~=sin Z0B1F2M sin45°=乎.由上题的结论，当点P与点B]重合时取等号.所以椭圆离心率的最小值为j.点评结合椭圆图形的几何性质，应用上述焦点三角形结论解决问题简洁、明快、准确.例13点P是双曲线%2-町=1右支上的动点,F2为双曲线的右焦点,A(3,1),求PA+I PF2I的最小值.解析在椭圆或双曲线中出现了圆锥曲线上的一个点和其中一个焦点,往往需要考虑另外一个焦点,本题中△PF1F2是焦点三角形.设双曲线的另一个焦点为F],所以有F](-2,0), F2(2,0),PA+PF2=PA+PF1-2M AF1-2,当且仅当A,P,F1三点共线时取等号.因为F](-2,0),A(3,1),所以AF]=26.所以PA+I PF2I的最小值为26-2.点评在求距离之和的最值问题中经常用到三角形两边之和大于第三边，当涉及的三点共线时，取等号,距离和取得最小值•运用三点共线法求最值的问题在双曲线、椭圆、抛物线都会出现,是利用几何法求解圆锥曲线最值的典型问题.参考文献：[1]许金聚.焦点三角形高考常青树[J].考试周刊，2018(29)：85.[责任编辑：李璟]—35—。