高考数学二轮复习 解答题题型练习10 含参数不等式的恒成立问题
新高考数学二轮复习不等式恒成立或有解问题专项复习课件
(2)当x>0时，f(x)<－1，求a的取值范围. 解 设h(x)＝xeax－ex＋1，则h(0)＝0， 又h′(x)＝(1＋ax)eax－ex， 设g(x)＝(1＋ax)eax－ex， 则g′(x)＝(2a＋a2x)eax－ex， 若 a>12，则 g′(0)＝2a－1>0， 因为g′(x)为连续不间断函数，故存在x0∈(0，＋∞)， 使得∀x∈(0，x0)，总有g′(x)>0， 故g(x)在(0，x0)上单调递增，故g(x)>g(0)＝0， 故h(x)在(0，x0)上单调递增，故h(x)>h(0)＝0，与题设矛盾.
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高分训练 对接高考
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一、基本技能练
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1.已知函数 f(x)＝(x－2)ex－21ax2＋ax(a∈R)，当 x≥2 时，f(x)≥0 恒成立，求 a 的取值范围. 解 法一 f′(x)＝(x－1)(ex－a)， ①当 a≤0 时，因为 x≥2，所以 x－1＞0，ex－a＞0，所以 f′(x)＞0， 则 f(x)在[2，＋∞)上单调递增，f(x)≥f(2)＝0 成立. ②当 0＜a≤e2 时，f′(x)≥0， 所以 f(x)在[2，＋∞)上单调递增，所以 f(x)≥f(2)＝0 成立. ③当 a＞e2 时，在区间(2，ln a)上，f′(x)＜0； 在区间(ln a，＋∞)上，f′(x)＞0，
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设 g(x)＝2xex，则 g′(x)＝2（x－x21）ex， 因为 x＞2，所以 g′(x)＞0， 所以 g(x)在区间(2，＋∞)上单调递增， 所以 g(x)＞g(2)＝e2，所以 a≤e2. 综上所述，a 的取值范围是(－∞，e2].
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2.若ex＋cos x－ax－2≥0在[0，＋∞)上恒成立，求a的取值范围. 解 令h(x)＝ex＋cos x－ax－2，则h′(x)＝ex－sin x－a， 令t(x)＝ex－sin x－a，则t′(x)＝ex－cos x， ∵ex≥1，－1≤cos x≤1，故t′(x)≥0， ∴h′(x)在[0，＋∞)上单调递增， ∴h′(x)≥h′(0)＝1－a. ①当1－a≥0，即a≤1时，h′(x)≥0， 故h(x)在[0，＋∞)上单调递增， 故h(x)≥h(0)＝0，满足题意；
专题二 不等式恒成立、能成立问题(原卷版)
强化专题2 不等式恒成立、能成立问题在解决不等式恒成立、能成立的问题时，常常使用不等式解集法、分离参数法、主参换位法和数形结合法解决，方法灵活，能提升学生的逻辑推理，数学运算等素养．【技巧目录】一、“Δ”法解决恒成立问题二、数形结合法解决恒成立问题三、分离参数法解决恒成立问题四、主参换位法解决恒成立问题五、利用图象解决能成立问题六、转化为函数的最值解决能成立问题【例题详解】一、“Δ”法解决恒成立问题例1 若关于x 的不等式2220ax ax --<恒成立，则实数a 的取值范围为（ ）A ．[]2,0-B ．(]2,0-C ．()2,0-D ．()(),20,-∞-⋃+∞【小结】(1)如图①一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)在R 上恒成立⇔一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)的解集为R ⇔二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象恒在x 轴上方⇔y min >0⇔⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ<0.(2)如图②一元二次不等式ax 2＋bx ＋c <0(a ≠0)在R 上恒成立⇔一元二次不等式ax 2＋bx ＋c <0(a ≠0)的解集为R ⇔二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象恒在x 轴下方⇔y max <0⇔⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ<0.二、数形结合法解决恒成立问题例2 当1≤x ≤2时，不等式x 2＋mx ＋4<0恒成立，求m 的取值范围．【小结】结合函数的图象将问题转化为函数图象的对称轴，区间端点的函数值或函数图象的位置(相对于x轴)关系求解．可结合相应一元二次方程根的分布解决问题．三、分离参数法解决恒成立问题例3 若不等式x 2+ax +1≥0在x ∈[－2，0）时恒成立，则实数a 的最大值为（ ）A ．0B ．2C ．52D ．3 【小结】通过分离参数将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题．四、主参换位法解决恒成立问题例4 已知[]1,1a ∈-，不等式()24420x a x a +-+->恒成立，则x 的取值范围为___________.【小结】转换思维角度，即把变元与参数变换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围求解．五、利用图象解决能成立问题例5 当1<x <2时，关于x 的不等式x 2＋mx ＋4>0有解，则实数m 的取值范围为________．【小结】结合二次函数的图象，将问题转化为端点值的问题解决．六、转化为函数的最值解决能成立问题例6 若存在x ∈R ，使得4x ＋m x 2－2x ＋3≥2成立，求实数m 的取值范围． 【小结】能成立问题可以转化为m >y min 或m <y max 的形式，从而求y 的最大值与最小值，从而求得参数的取值范围．【过关训练】1．若关于x 的不等式220mx x m ++>的解集是R ，则m 的取值范围是（ ）A ．（1，+∞）B ．（0，1）C ．（-1，1）D ．[1，+∞）2．若集合2{|10}A x ax ax =-+≤=∅，则实数a 的取值集合为（ ）A ．{|04}a a <<B ．{|04}a a ≤<C ．{|04}a a <≤D ．{|04}a a ≤≤3．若R x ∈，210ax ax ，则实数a 的取值范围是（ ）A ．()4,0-B ．(]4,0-C ．[)4,0-D ．[]4,0-4．“x ∀∈R ，2230x ax a -+>”的充要条件是（ ）A ．12a -<<B ．0<<3aC ．13a <<D ．35a <<5．已知关于x 的不等式2680kx kx k -++≥对任意x ∈R 恒成立，则k 的取值范围是（ ） A ．[]0,1 B ．(]0,1C ．()(),01,-∞⋃+∞D ．(][),01,-∞+∞6．已知关于x 的不等式²4x x m -≥对任意(]0,3x ∈恒成立，则有（ ）A ．4m ≤-B ．3m ≥-C ．30m -≤<D ．40m -≤<7．若对任意的2[1,0],2420x x x m ∈--+++≥恒成立，则m 的取值范围是（ ）A ．[4,)+∞B ．[2,)+∞C ．(,4]-∞D ．(,2]-∞8．若两个正实数,x y 满足12+1=x y ，且不等式2+32+<y x m m 有解，则实数m 的取值范围是（）A ．(4,1)-B ．(1,4)-C ．()(),41,-∞-+∞D ．()(),14,-∞-⋃+∞9．已知命题p ：“15x ∃≤≤，250x ax -->”为真命题，则实数a 的取值范围是（ ） A ．4a < B ．4a C ．4a > D ．4a >-10．若关于x 的不等式2420x x a --->在区间(1,4)内有解，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(,2)-∞B ．(,2)-∞-C ．(6,)-+∞D ．(,6)-∞-11．已知关于x 的不等式2240ax x a -+<在(0,2]上有解，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．(,2)-∞D ．(2,)+∞12．设函数2()2f x ax ax =--，若对任意的[1,3]x ∈，()22f x x a >--恒成立，则实数a 的取值范围为_____________.13．已知关于x 的不等式244x mx x m +>+-．(1)若对任意实数x ，不等式恒成立，求实数m 的取值范围；(2)若对于04m ≤≤，不等式恒成立，求实数x 的取值范围．14．设2(1)2y ax a x a =+-+-， 若不等式2y ≥-对一切实数x 恒成立，求实数a 的取值范围；19．设函数()21f x mx mx =--．(1)若对于2,2x ，()5f x m <-+恒成立，求m 的取值范围；(2)若对于[]2,2m ∈-，()5f x m <-+恒成立，求x 的取值范围．20．已知函数y ＝mx 2－mx －6＋m ，若对于1≤m ≤3，y <0恒成立，求实数x 的取值范围．。
高考数学含参数函数不等式恒成立问题专题
高考数学含参数函数不等式恒成立问题专题一、整理方法 提升能力洛必达法则如果当0x x →（0x 也可以是±∞）时，两个函数()f x 和()g x 都趋向于零或都趋向于无穷大，那么极限()()0lim x x f x g x →可能存在，也可能不存在．如果存在，其极限值也不尽相同．我们称这类极限为00型或∞∞型不定式极限．对于这类极限，一般要用洛必达法则来求．定理1：若函数()f x 和()g x 满足条件：（1）()()00lim lim 0x x x x f x g x →→==． （2）()f x 和()g x 在0x 的某个去心邻域内可导，且()0g x '≠．（3）()()0lim x x f x g x →存在或为无穷大．则有()()()()00lim lim x x x x f x f x g x g x →→'='． 定理2：若函数()f x 和()g x 满足条件：（1）()()00lim lim x x x x f x g x →→==∞． （2）()f x 和()g x 在0x 的某个去心邻域内可导，且()0g x '≠．（3）()()0lim x x f x g x →存在或为无穷大．则有()()()()00lim lim x x x x f x f x g x g x →→'='． 在定理1和定理2中，将分子、分母分别求导再求极限的方法称为洛必达法则．使用洛必达法则时需要注意：（1）()()0lim x x f x g x →必须是00型或∞∞型不定式极限． （2）若()()0lim x x f x g x →''还是00型或∞∞型不定式极限，且函数()f x '和()g x '仍满足定理中()f x 和()g x 所满足的条件，则可继续使用洛必达法则，即()()()()()()000lim lim lim x x x x x x f x f x f x g x g x g x →→→'''=='''． （3）若无法判定()()f xg x ''的极限状态，或能判定它的极限振荡而不存在，则洛必达法则失效，此时，需要用其它方法计算()()0lim x x f x g x →． （4）可以把定理中的0x x →换为0x x +→，0x x -→，x →+∞，x →-∞，此时只要把定理中的条件作相应的修改，定理仍然成立．例1例2例3二、练习巩固 整合提升练习1：已知函数()1ln 1x f x x+=-． （1）求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程；（2）求证：当()0,1x ∈时，()323x f x x ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭； （3）设实数k 使得()33x f x k x ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭对()0,1x ∈恒成立，求k 的最大值． 练习2：设函数()2e mx f x x mx =+-．（1）证明：()f x 在(),0-∞单调递减，在()0,+∞单调递增；（2）若对于任意1x 、[]21,1x ∈-，都有()()12e 1f x f x -≤-，求m 的取值范围．练习3：已知函数()()()1ln 1f x x x a x =+--．（1）当4a =时，求曲线()y f x =在()()1,1f 处的切线方程；（2）若当()1,x ∈+∞时，()0f x >，求a 的取值范围．练习4：已知函数()ln 1a x b f x x x=++，曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为230x y +-=． （1）求a 、b 的值； （2）如果当0x >，且1x ≠时，()ln 1x k f x x x >+-，求k 的取值范围．。
高中含参不等式的恒成立问题整理版
高中数学不等式的恒成立问题?一、用一元二次方程根的判别式????有关含有参数的一元二次不等式问题，若能把不等式转化成二次函数或二次方程，通过根的判别式或数形结合思想，可使问题得到顺利解决。
基本结论总结例1??对于x ∈R ，不等式恒成立，求实数m 的取值范围。
例2：已知不等式04)2(2)2(2<--+-x a x a 对于x ∈Ｒ恒成立，求参数a 的取值范围． 解：要使04)2(2)2(2<--+-x a x a 对于x ∈Ｒ恒成立，则只须满足：（1）⎩⎨⎧<-+-<-0)2(16)2(4022a a a 或 （2）⎪⎩⎪⎨⎧<-=-=-040)2(202a aR ，求实数a 的取值范围。
2.，不等式恒成立，求实数3.若不等式的解集是4.例3．设22)(2+-=mx x x f ，当),1[+∞-∈x 时，关键点拨：为了使在恒成立，构造一个新函数是解题的关键，再利用二分布解决问题。
解：m mx x x F -+-=22)(2，则当),1[+∞-∈x 时，0)(≥x F 恒成立 当120)2)(1(4<<-<+-=∆m m m 即时，0)(>x F 显然成立； 当0≥∆时，如图，0)(≥x F 恒成立的充要条件为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-≤--≥-≥∆1220)1(0m F 解得23-≤≤-m 。
综上可得实数m 的取值范围为)1,3[-。
例4。
已知1ax x )x (f 2+-=，求使不等式0)x (f <对任意]2,1[x ∈恒成立的a 的取值范围。
解法1：数形结合结合函数)x (f 的草图可知]2,1[x ,0)x (f ∈<时恒成立⇔25a 0a 25)2(f 0a 2)1(f >⎩⎨⎧<-=<-=得。
所以a 的取值范围是),25(+∞。
解法2：转化为最值研究1.若]2,1[)x (f ,3a 232a 在时即≤≤上的最大值,25a ,0a 25)2(f )x (f max ><-==得3a 25≤<所以。
高考数学复习 解决 含参数不等式的恒成立 问题的基本方法 试题
高考数学复习 解决 含参数不等式的恒成立 问题的根本方法“含参数不等式的恒成立〞的问题，是近几年高考的热点，它往往以函数、数列、三角函数、解析几何为载体具有一定的综合性，解决这类问题，主要是运用等价转化的数学思想：即一般的，假设函数()x f 在定义域为D ，那么当x ∈D 时，有()M x f ≥恒成立()M x f ≥⇔min ；()M x f ≤恒成立()M x f ≤⇔max .因此,含参数不等式的恒成立问题常根据不等式的构造特征,恰当地构造函数,等价转化为含参数的函数的最值讨论.例一 函数()()1112>⎪⎭⎫⎝⎛+-=x x x x f .①求()x f 的反函数()x f 1-;②假设不等式()()()x a a x fx ->--11对于⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈41,161x 恒成立,务实数a 的取值范围.分析：此题的第二问将不等式()()()x a a x fx ->--11转化成为关于t 的一次函数()()211a t a t g -++=在⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈21,41t 恒成立的问题. 那么，怎样完成这个转化呢？转化之后又应当如何处理呢？【解析】 ①略解()()10111<<-+=-x xxx f②由题设有()()x a a xx x->-+-111,∴x a a x ->+21,即()0112>-++a x a 对于⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈41,161x 恒成立. 显然,a ≠-1令x t =,由⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈41,161x 可知⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈21,41t那么()()0112>-++=a t a t g 对于⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈21,41t 恒成立.由于()()211a t a t g -++=是关于t 的一次函数.〔在⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈21,41t 的条件下()()211a t a t g -++=表示一条线段，只要线段的两个端点在x 轴上方就可以保证()()0112>-++=a t a t g 恒成立〕∴()()451011210114102104122<<-⇒⎪⎩⎪⎨⎧>-++>-++⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>⎪⎭⎫ ⎝⎛>⎪⎭⎫⎝⎛a a a a a g g例二 定义在R 上的函数()x f 既是奇函数，又是减函数，且当⎪⎭⎫⎝⎛∈2,0πθ时，有 ()()022sin 2cos 2>--++m f m f θθ恒成立，务实数m 的取值范围.分析: 利用函数的单调性和奇偶性去掉映射符号f ，将“()≥x f 0在给定区间[a ，b]上恒成立问题可以转化成为()x f 在[a ，b]上的最小值问题，假设()x f 中含有参数，那么要求对参数进展讨论。
高考中函数含参量不等式恒成立问题的解题
高考中函数含参量不等式恒成立问题的解题函数在高中数学的学习中处于十分重要的地位，从高考卷的出题形式也可看出其重要性。
尤其是关于含参量不等式恒成立问题，更是屡见不鲜。
该类题型不仅考察学生对知识的掌握和理解能力，同时考察学生的思维转换能力，是一种综合类题型。
含参量不等式恒成立问题，一般题型包括已知不等式恒成立求参数范围问题、证明含参量不等式恒成立问题和已知含参量不等式的解，求参数取值范围。
本文主要介绍已知含参量不等式恒成立求参数范围的不同的处理方式，对于相似的题目，怎样分析并抉择哪种方案更为简洁，更有效率。
一、直接求导，确定参数范围在做过大量函数相关问题后，学生们一定会意识到求导对于这类题型的重要性，一般情况下，“求导”的步骤是学生们一定会想到的，然而求导后呢，该如何判断和处理呢?(一)参数看成已知，根据极值点判断例1 已知函数f(x) = a(x2-1)-ln x，若f(x) ≥0，在[1,+∞)上恒成立，求a 范围。
思路探索 f(x) ≥0 在[1,+∞)上恒成立，那么就可以转化为在[1,+∞)求函数f(x)的最小值，使其最小值大于等于零即可。
求函数最大值问题，也就是对该函数求导，之后观察导函数，确定极值点，通过极值点与x 的取值范围确定参数范围进行讨论，进而判断函数取最大值时x 的值，从而求出参数范围。
解1)当a ≤0 时，f′(x) ＜0，所以f(x)在[1,+∞)上单调递减，当x ＞1 时，则有f(x)＜f(1)=0，与题干矛盾，舍去。
2) 当a ＞0 时，令f′(x) ＞0，得得当即时，所以时，f′(x)＜0，即f(x)单调递减，所以f(x)＜f(1)=0 与题干矛盾，舍去。
当即时， x ∈ [1,+∞) 时，f′(x) ＞0，即f(x) 单调递增，所以f(x) ＞f(1) = 0 满足题意。
综上，该题无需对原函数或是导函数进行变换转化，直接进行求导，通过观察导函数小于零(或大于零)，对参数进行分情况讨论，进而确定参数符合题意的范围。
不等式恒成立与存在性问题 -2019年高考理科数学解答题训练含答案
不等式恒成立与存在性问题-2019年高考理科数学解答题训练含答案一、解答题1．已知函数，（1）求函数的最小值；（2）当时，对任意时，不等式恒成立，求的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】【详解】（1），又函数在上为增函数因为，所以当时，，即在区间为减函数；当时，，即在区间为增函数所以（2）由不等式整理为构造函数，所以令，则，所以在上单调递增，因为，且当时，，所以存在，使，且在上单调递减，在上单调递增【点睛】（1）本题主要考查利用导数求函数的最值和单调性，考查利用导数研究不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解答本题的关键有两点，其一是求得，其二是解不等式≥0.2．已知向量，，（为常数，是自然对数的底数），曲线在点处的切线与轴垂直,．（Ⅰ）求的值及的单调区间；（Ⅱ）已知函数(为正实数),若对于任意，总存在，使得，求实数的取值范围．【答案】（Ⅰ），的增区间为，减区间为（Ⅱ）【解析】【分析】（Ⅰ）先求导，再根据得. 利用导数求函数的单调区间.（Ⅱ）先转化为，再求，解不等式即得实数a的取值范围.【详解】（I）由已知可得：=，由已知，，∴所以由，由的增区间为，减区间为【点睛】(1)本题主要考查导数的几何意义，考查利用导数求函数的最值，考查不等式的存在性问题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)第2问解题关键有两点，其一是转化为，其二是求.3．已知函数．(Ⅰ) 当时，求在点处的切线方程及函数的单调区间；(Ⅱ) 若对任意，恒成立，求实数的取值范围．【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】代入，求出函数的解析式，然后求出切线方程和单调区间求导后分类讨论参量的取值范围，求出最大值作比较(Ⅱ) ．当时，，在上单调递增．不恒成立．当时，设∵的对称轴为，∴在上单调递增，且存在唯一使得．∴当即在上单调递减；当即在上单调递增．∴在[1，e]上的最大值∴，得解得.【点睛】本题考查了导数的几何意义，算出切线方程，运用导数求出函数的单调区间，在证明不等式时利用导数转化为最值问题，从而得出参量的取值范围，需要掌握本题的解题方法。
高中含参不等式的恒成立问题整理版
高中数学不等式的恒成立问题一、用一元二次方程根的判别式有关含有参数的一元二次不等式问题，若能把不等式转化成二次函数或二次方程，通过根的判别式或数形结合思想，可使问题得到顺利解决。
基本结论总结例1 对于x ∈R ，不等式恒成立，求实数m 的取值范围。
例2：已知不等式04)2(2)2(2<--+-x a x a 对于x ∈Ｒ恒成立，求参数a 的取值范围． 解：要使04)2(2)2(2<--+-x a x a 对于x ∈Ｒ恒成立，则只须满足：（1）⎩⎨⎧<-+-<-0)2(16)2(4022a a a 或 （2）⎪⎩⎪⎨⎧<-=-=-040)2(202a a 解（1）得⎩⎨⎧<<-<222a a ，解（2）a ＝２∴参数a 的取值范围是－２＜a ≤２．练习1. 已知函数])1(lg[22a x a x y +-+=的定义域为R ，求实数a 的取值范围。
2.若对于x ∈R ，不等式恒成立，求实数m 的取值范围。
3.若不等式的解集是R ，求m 的范围。
4.x 取一切实数时，使3472+++kx kx kx 恒有意义，求实数k 的取值范围．例3．设22)(2+-=mx x x f ，当),1[+∞-∈x 时，m x f ≥)(恒成立，求实数m 的取值范围。
关键点拨：为了使在恒成立，构造一个新函数是解题的关键，再利用二次函数的图象性质进行分类讨论，使问题得到圆满解决。
若二次不等式中x 的取值范围有限制，则可利用根的分布解决问题。
解：m mx x x F -+-=22)(2，则当),1[+∞-∈x 时，0)(≥x F 恒成立 当120)2)(1(4<<-<+-=∆m m m 即时，0)(>x F 显然成立；当0≥∆时，如图，0)(≥x F 恒成立的充要条件为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-≤--≥-≥∆1220)1(0m F 解得23-≤≤-m 。
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题型十 含参数不等式的恒成立问题
(推荐时间：30分钟)
1．已知函数f (x )＝x 3－3ax 2－9a 2x ＋a 3.
(1)设a ＝1，求函数f (x )的极值；
(2)若a >14
，且当x ∈[1,4a ]时，|f ′(x )|≤12a 恒成立，试确定a 的取值范围． 2．(2011·湖北)设函数f (x )＝x 3＋2ax 2＋bx ＋a ，g (x )＝x 2－3x ＋2，其中x ∈R ，a 、b 为常数，已知曲线y ＝f (x )与y ＝g (x )在点(2,0)处有相同的切线l .
(1)求a 、b 的值，并写出切线l 的方程；
(2)若方程f (x )＋g (x )＝mx 有三个互不相同的实根0、x 1、x 2，其中x 1<x 2，且对任意的x ∈[x 1，x 2]，f (x )＋g (x )<m (x －1)恒成立，求实数m 的取值范围．
答案
1．解 (1)当a ＝1时，对函数f (x )求导数，得f ′(x )＝3x 2
－6x －9.
令f ′(x )＝0，解得x 1＝－1，x 2＝3.
所以f (x )的极大值是f (－1)＝6，极小值是f (3)＝－26.
(2)f ′(x )＝3x 2－6ax －9a 2
的图象是一条开口向上的抛物线，关于直线x ＝a 对称． 若14
<a ≤1，则f ′(x )在[1,4a ]上是增函数， 从而f ′(x )在[1,4a ]上的最小值是f ′(1)＝3－6a －9a 2，最大值是f ′(4a )＝15a 2. 由|f ′(x )|≤12a ，得－12a ≤3x 2－6ax －9a 2≤12a ，
于是有f ′(1)＝3－6a －9a 2≥－12a ，且f ′(4a )＝15a 2≤12a .
由f ′(1)≥－12a ，得－13
≤a ≤1； 由f ′(4a )≤12a ，得0≤a ≤45
. 所以a ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤14，1∩⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，1∩⎣⎢⎡⎦
⎥⎤0，45， 即a ∈⎝ ⎛⎦
⎥⎤14，45.
若a >1，则|f ′(a )|＝12a 2>12a ，故当x ∈[1,4a ]时|f ′(x )|≤12a 不恒成立．
所以使|f ′(x )|≤12a (x ∈[1,4a ])恒成立的a 的取值范围是⎝ ⎛⎦
⎥⎤14，45. 2．解 (1)f ′(x )＝3x 2＋4ax ＋b ，g ′(x )＝2x －3.
由于曲线y ＝f (x )与y ＝g (x )在点(2,0)处有相同的切线，
故有f (2)＝g (2)＝0，f ′(2)＝g ′(2)＝1，
由此得⎩⎪⎨⎪⎧ 8＋8a ＋2b ＋a ＝0，12＋8a ＋b ＝1， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－2，b ＝5.
所以切线l 的方程为x －y －2＝0.
(2)由(1)得f (x )＝x 3－4x 2
＋5x －2，
所以f (x )＋g (x )＝x 3－3x 2＋2x .
依题意，方程x (x 2－3x ＋2－m )＝0有三个互不相同的实根0、x 1、x 2，故x 1、x 2是方程
x 2－3x ＋2－m ＝0的两相异的实根，所以Δ＝9－4(2－m )>0，即m >－14
. 又对任意的x ∈[x 1，x 2]，f (x )＋g (x )<m (x －1)恒成立，
特别地，取x ＝x 1时，f (x 1)＋g (x 1)－mx 1<－m 恒成立，得m <0，
由根与系数的关系得x 1＋x 2＝3>0，x 1x 2＝2－m >0.故0<x 1<x 2.
对任意的x ∈[x 1，x 2]，有x －x 2≤0，x －x 1≥0，x >0，
所以f (x )＋g (x )－mx ＝x (x －x 1)(x －x 2)≤0.
又f (x 1)＋g (x 1)－mx 1＝0，
所以函数f (x )＋g (x )－mx 在x ∈[x 1，x 2]上的最大值为0.
于是当m <0时，对任意的x ∈[x 1，x 2]， f (x )＋g (x )<m (x －1)恒成立．
综上所述，m 的取值范围是⎝ ⎛⎭
⎪⎫－14，0.。