方法技能专题--利用“三线合一”解题的技巧
2024年北师大版七年级下册数学期末提分复习第11招等腰三角形“三线合一”解题的六种技巧
(1)如图①，E，F分别是AB，AC上的点，且BE＝AF，试
判断△DEF的形状，并说明理由.
分类训练
【解】(1)△DEF为等腰直角三角形.
理由：连接AD，易说明△BDE≌△ADF，
所以DE＝DF，∠BDE＝∠ADF.
因为AB＝AC，D为BC的中点，
所以AD⊥BC.所以∠ADB＝90°.
AB的中点，∠B＝50°，求∠ACD的度数.
【解】因为CA＝CB，∠B＝50°，所以∠A＝∠B＝50°.
所以∠ACB＝180°－50°－50°＝80°.
又因为D是AB的中点，即CD是底边AB上的中线，
所以CD平分∠ACB.
所以∠ACD＝ ∠ACB＝40°.
分类训练
利用“三线合一”求线段长
2.如图，在△ABC中，AB＝AC，AD＝DB，DE⊥AB于点E.
过程.
典例剖析
如图，在△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于点D.试说明：
∠DBC＝ ∠BAC.
等腰三角形“三线合一”的性质是说明
线段或角的倍分关系、相等关系常用的性质之
一，如解答含等腰三角形的题型时，常常要考
虑构造等腰三角形“三线合一”的基本图形来
进行解答.本例通过作垂线，根据等腰三角形
“三线合一”的性质说明角的倍分关系.
所以∠EDF＝∠EDA＋∠ADF＝∠EDA＋∠BDE＝
∠ADB＝90°.
所以△DEF为等腰直角三角形.
分类训练
(2)如图②，若E，F分别为AB，CA的延长线上的点，且仍
有BE＝AF，请判断△DEF是否仍是(1)中的形状(不必说
明理由).
【解】△DEF仍是等腰直角三角形.
典中点全等三角形专训6 三线合一解题的六种技巧
典中点全等三角形专训6 三线合一解题的六种技巧
◐名师点金◑
等腰三角形中的“顶角平分线、底边上的高、底边上的中线”只要知道其中“一线”,就可以说明这“一线”也是其他“两线”。
运用等腰三角形“三线合一”的性质证明角相等、线段相等或垂直关系,可减少证全等的次数,简化解题过程。
技巧1：利用“三线合一”求角
1.如图,房屋顶角∠BAC=100°,过屋顶A的立柱AD⊥BC,屋檐AB=AC.求顶架上的∠B,∠C,∠BAD,∠CAD的度数。
技巧2：利用“三线合一”求线段
2.如图,在△ABC中,AB=AC,AD=DB,DE⊥AB于点E,若BC=10,且△BDC的周长为24,求AE的长。
技巧3：利用“三线合一”证线段(角)相等
3.已知△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,D为BC的中点。
(1)如图①,E,F分别是AB,AC上的点,且BE=AF，试判断△DEF的形状,并说明理由。
(2)如图②,若E,F分别为AB,CA的延长线上的点,且仍有BE=AF.请判断△DEF是否仍有(1)中的形状,并说明理由。
技巧4：利用“三线合一”证垂直
4.如图,在△ABC中,AC=2AB,AD平分∠BAC,E是AD上一点,且EA=EC.求证:EB⊥AB。
技巧5：利用“三线合一”证线段的倍数关系(构造三线法)
5.如图,已知等腰直角三角形ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,BF平分∠ABC,CD⊥BF交BF的延长线于点D.试说明:BF=2CD
技巧6：利用“三线合一”证线段的和差关系(构造三线法)
6.如图,在△ABC中,AD⊥BC于点D,且∠ABC=2∠C，试说明:CD=AB+BD。
解题技巧专题：利用等腰三角形的'三线合一'作辅助线(3类热点题型讲练)(解析版) 八年级数学下册
第07讲解题技巧专题：利用等腰三角形的'三线合一'作辅助线(3类热点题型讲练)目录【考点一等腰三角形中底边有中点时，连中线】 (1)【考点二等腰三角形中底边无中点时，作高】 (9)【考点三巧用“角平分线+垂线合一”构造等腰三角形】 (20)【考点一等腰三角形中底边有中点时，连中线】例题：（2023上·浙江宁波·八年级统考期末）如图，在ABC 中，120BAC ∠=︒，AB AC =，D 为BC 的中点，DE AC ⊥于E ．(1)求EDC ∠的度数；(2)若2AE =，求CE 的长．【答案】(1)60︒(2)6【分析】本题考查了等腰三角形的“三线合一”，含30︒角的直角三角形的性质等知识，（1）连接AD ，根据等腰三角形的“三线合一”即可作答；（2）根据含30︒角的直角三角形的性质即可作答．【详解】（1）连接AD ，1．（2023下·陕西宝鸡·八年级统考期中）如图，ABC 中，AB AC =，D 是BC 的中点，E 、F 分别是AB 、AC 上的点，且AE AF =．求证：DE DF =．【答案】见解析【分析】连接AD ，根据等腰三角形的性质可得∠∠EAD FAD =，然后即可证明(SAS)AED AFD △≌△，进而可得结论．【详解】证明：连接AD ，AB AC = ，D 是BC 的中点，EAD FAD ∴∠=∠，在AED △和AFD △中，AE AF EAD FAD AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，(SAS)AED AFD ∴△≌△，DE DF ∴=．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和全等三角形的判定和性质，属于基础题目，熟练掌握上述知识是解题的关键．2．（2023上·宁夏吴忠于点E ，DF AC ⊥于点(1)求证：DE DF =；(2)若60,A BE ∠=︒=【答案】(1)见解析(2)24【分析】（1）连接AD （2）根据已知条件证明【详解】（1）证明：连接∵AB AC =，D 为BC 边的中点，∴AD 平分BAC ∠，∴∠∠EAD FAD =，∵DE AB ⊥，DF AC ⊥∴90AED AFD ∠=∠=︒又AD AD =，=；(1)DE DF(2)BG CH=．【答案】(1)见解析(2)见解析AB AC =，点D 为BC 的中点，∴AD BC ⊥，∴90ADB ∠=︒，EF BC ∥，∴90DAF ADB ∠=∠=︒，∴AD EF ⊥，AE AF =，∴AD 垂直平分EF ，∴DE DF =；（2）,,DE DF DA EF =⊥ ,EAD FAD ∴∠=∠,ADB ADC ∠=∠ ,EDB FDC ∴∠=∠,AB AC =,B C ∴∠=∠在BDG 和CDH △中，,B C BD CD BDG CDH ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩(ASA),BDG CDH ∴△≌△.BG CH ∴=【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，余角的性质，熟练掌握等腰三角形“三线合一"的性质是解题的关键．4．（2023上·辽宁葫芦岛·八年级统考期末）如图，在ABC 中，AB 的垂直平分线EF 交BC 于点E ，交AB 于点F ，D 为线段CE 的中点，且BE AC =．(1)求证：AD BC ⊥．(2)若90BAC ∠=︒，2DC =，求BD 的长．【答案】(1)见解析(2)6【分析】（1）连接AE ，根据线段垂直平分线的性质得到BE AE =，证明AE AC =，根据等腰三角形的三线合一证明结论；（2）证明AEC △为等边三角形，根据等边三角形的性质解答即可．【详解】（1）证明：连接AE ，EF 是AB 的垂直平分线，BE AE ∴=，BE AC = ，AE AC ∴=，AEC ∴ 是等腰三角形，D 为线段CE 的中点，AD BC ∴⊥；（2）解：BE AE = ，EAB B ∴∠=∠，2AEC EAB B B ∴∠=∠+∠=∠，AE AC = ，AEC C ∴∠=∠，2C B ∴∠=∠，90BAC ∠=︒ ，60C ∴∠=︒，AEC ∴ 为等边三角形，2DC ED ==，24AE EC BE DC ∴====，426BD BE ED ∴=+=+=．【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、等边三角形的判定和性质，掌握等腰三角形的三线合一是解题的关键．5．（2023上·全国·八年级专题练习）如图，已知ABC 中，AB AC =，90BAC ∠=︒，点D 为BC 的中点，点E 、F 分别在直线AB AC 、上运动，且始终保持AE CF =．(1)如图①，若点E F 、分别在线段AB AC 、上，DE 与DF 相等且DE 与DF 垂直吗？请说明理由；(2)如图②，若点E F 、分别在线段AB CA 、的延长线上，（1）中的结论是否依然成立？说明理由．【答案】(1)DE DF =且DE DF ⊥，见解析(2)成立，见解析【分析】（1）先利用等腰直角三角形的性质得到45BAD DAC B C ∠=∠=∠=∠=︒和AD BD DC ==，再证明AED CFD SAS ≌（），利用全等三角形的性质即可求解；（2）利用等腰直角三角形的性质得到45BAD DAC B C ∠=∠=∠=∠=︒和AD BD DC ==，再证明AED CFD SAS ≌（），利用全等三角形的性质即可求解．【详解】（1）DE DF =且DE DF ⊥，理由是：如图①，连接AD ，∵90BAC ∠=︒，AB AC =，D 为BC 中点，∴45BAD DAC B C ∠=∠=∠=∠=︒，∴AD BD DC ==，在AED △和CFD △中，AE CF EAD DAC AD DC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴AED CFD SAS ≌（），∴DE DF =，ADE CDF ∠=∠，又∵90CDF ADF ∠+∠=︒，∴90ADE ADF ∠+∠=︒，∴90EDF ∠=︒，∴DE DF ⊥．根据题意，90BAC ∠=︒，AB ∴222(2)BC AB AC =+=∴190452B ACB ∠=∠=⨯︒=︒，∵F 为BC 中点，【考点二等腰三角形中底边无中点时，作高】例题：（2023上·福建厦门·八年级厦门一中校考期中）如图，已知60AOB ∠=︒，点P 在边OA 上，12OP =，【答案】2【分析】本题考查了等腰三角形的性质、含角形的性质可得CM CN =练掌握等腰三角形的三线合一以及直角三角形中【详解】解：如图，作PC PM PN = ，PC OB ⊥CM CN ∴=，在OPC 中，90PCO ∠=162OC OP ∴==，5OM = ，65CM OC OM ∴=-=-1．（2023下·广东广州·八年级广州市番禺区钟村中学校考期中）如图，四边形ABCD 中，1013125AB BC CD AD ====，，，，AD CD ⊥，求四边形ABCD 的面积．【答案】ABCD S =四边形【分析】连接AC ，过点的性质得出AE BE =得出结论．∵AD CD ⊥，∴90D Ð=°．在Rt ACD △中，AD =∴22AC AD CD =+=∵13BC =，(1)如图1，若ADC △是直角三角形，①当AD BC ⊥时，求AD 的长；②当AD AC ⊥时，求CD 的长．(2)如图2，点E 在AB 上（不与点A ，B 重合），且ADE ∠=∵10AB AC ==，16BC =，∴182CD BD BC ===，Rt ADC 22AD AC =由①得6AH =，8CH =，在Rt AHD △中，2AD AH =在Rt ADC 中，22AD CD =-(1)BC边上的高的长度为；(2)如图1，若点P从点B出发，以每秒2个单位的速度向点C运动，设运动时间为t秒t值，使得APC△为等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．(3)如图2，把APB△沿着直线AP翻折，点B的对应点为点F，PF交边AC于点E，当的长度．∵AB AC =，AD BC ⊥，∴116322BD BC ==⨯=由勾股定理，得()22221332AD AB BD =-=-=，∴BC 边上的高的长度为2．则2BP t =，62AP CP t ==-，由(1)知∶3BD =，2AD =，∴23DP t =-，由勾股定理，得()()22262223t t -=+-，由（1）知，2AD =，3BD =，由折叠知：F B ∠=∠，13AF AB ==，又∵90AGF ADB ∠=∠=︒，∴()AAS AGF ADB ≌，∴3GF BD ==，2AG AD ==，(1)如图1，若AB AC =，AD AE =．求证：BD CE =；(2)如图2，若90BAC ∠=︒，BA BD =，设B x ∠=︒，CAD y ∠=︒．①猜想y 与x 的数量关系，并说明理由；②在①的条件下，CA CE =，请直接写出DAE ∠的度数．【答案】(1)见解析（2）①猜想：2x y =，理由是：∵BA BD =，B x ∠=︒，∴(11802BAD BDA ∠=∠=︒-∠∵90BAC ∠=︒，CAD y ∠=︒，∴90BAD CAD ∠+∠=︒，即90整理得：2x y =；(1)如图1，当点E 与点C 重合时，AD 与CB '的位置关系是表示）(2)如图2，当点E 与点C 不重合时，连接DE ．①用等式表示BAC ∠与DAE ∠之间的数量关系，并证明；②用等式表示线段BE ，CD ，DE 之间的数量关系，并证明．则90AMC ADC ∠∠=︒=∵AB AC =，∴1122CM BM BC ===在ACD 与ACM △中，则90AMC ANC ∠=∠=∴90CAN ACB '∠+∠=∵90DAE ACD ∠+∠=︒，∵AB AC =，∴B ACB ∠=∠，∵ACB ACB '∠=∠，∴B ACB ACD '∠=∠=∠∴FAE DAE ∠=∠，在FAE 和DAE 中，AF AD FAE DAE AE AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()SAS FAE DAE ≌，∴FE DE=，∴BE FE BF CD DE =+=+．【点睛】本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理、垂直定义等知识，熟练掌握等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质并作出合理的辅助线是解题的关键．【考点三巧用“角平分线+垂线合一”构造等腰三角形】例题：（2022春·上海普陀·八年级校考期中）如图，在ABC 中，AD 平分BAC ∠，E 是BC 的中点，过点E 作FG AD ⊥交AD 的延长线于H ，交AB 于F ，交AC 的延长线于G ．求证：(1)AF AG =；(2)BF CG =．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）根据ASA 证明AHF AHG ≌ ，即可得出AF AG =；（2）过点C 作CM AB ∥交FG 于点M ，由AHF AHG ≌ 可得AFH G ∠=∠，根据平行线的性质得出CMG AFH ∠=∠，可得CMG G ∠=∠，进而得出CM CG =，再根据据ASA 证明BEF CEM ≌ ，得出BF CM =，等量代换即可得到BF CG =．【详解】（1）证明：∵AD 平分BAC ∠，∴FAH GAH ∠=∠，∵FG AH ⊥，∴90AHF AHG ∠=∠=︒，在AHF △和AHG 中，FAH GAH AH AH AHF AHG ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴()ASA AHF AHG ≌ ，∴AF AG =；（2）证明：过点C 作CM AB ∥交FG 于点M ，∵AHF AHG ≌ ，∴AFH G ∠=∠，∵CM AB ∥，∴CMG AFH ∠=∠，∴CMG G ∠=∠，∴CM CG =，∵E 是BC 的中点，∴BE CE =，∵CM AB ∥，∴B ECM ∠=∠，在BEF △和CEM 中，B ECM BE CE BEF CEM ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴()ASA BEF CEM ≌ ，∴BF CM =，∴BF CG =．【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，等角对等边，平行线的性质，熟记全等三角形的判定定理、性质定理及作出合适的辅助线是解此题的关键．【变式训练】(1)【问题情境】利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1，OP 平分MON ∠．点A 为OM 上一点，过点AC OP ⊥，垂足为C ，延长AC 交ON 于点B ，可根据证明AOC BOC ≌△△，则AO 点C 为AB 的中点）．(2)【类比解答】如图2，在ABC 中，CD 平分ACB ∠，AE CD ⊥于E ，若63EAC ∠=︒，37B ∠=︒，通过上述构造全等的办法，可求得DAE ∠=．(3)【拓展延伸】如图3，ABC 中，AB AC =，90BAC ∠=︒，CD 平分ACB ∠，BE CD ⊥，垂足E 在CD 究BE 和CD 的数量关系，并证明你的结论．(4)【实际应用】如图4是一块肥沃的三角形土地，其中AC 边与灌渠相邻，李伯伯想在这块地中划出一块直角三角形土地进行水稻试验，故进行如下操作：①用量角器取ACB ∠的角平分线CD ；②过点A 作AD 13BC =，10AC =，ABC 面积为20，则划出的ACD 的面积是多少？请直接写出答案．【答案】(1)ASA(2)26︒(3)12BE CD =，证明见解析100【应用实践】请尝试直接应用“情境建模”中的结论解决下列问题：（1）将图1沿着过点B 的直线l 折叠，得到图2，DAC ∠的度数．（2）如图3，90A D ∠=∠=︒，BD 平分ABC ∠【拓展提升】【答案】【情景建模】见解析；（1）60︒；（2）102；（3）至少需要围挡40米．【分析】情景建模：利用角平分线的性质和全等三角形的性质和判定，求证ABP ACP ≌（1）利用角平分线的性质和等腰三角形的性质“等边对等角”将边的关系转化为角的关系，再应用第一问的条件和结论结合方程即可解题．（2）延长BA 和CD 相交于点F ，利用勾股定理和第一问的结论得出12CD CF =,即可解题．90BAC ∠=︒ ，225BC AC AB ∴=+=，BD Q 平分ABC ∠，BD CF ⊥，5BF BC ∴==，541AF ∴=-=，OA 、OB 分别平分BAC ∠和ABC ∠，OM OA ⊥，ON OB ⊥，由“情境建模”的结论得：AOM AOD △△≌，BON BOE △△≌，OM OD ∴=，ON OE =，在MON △和DOE 中，OM OD MON DOE ON OE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()MON DOE SAS ∴ ≌，MN DE ∴=，90ACB ∠=︒ ，50AC =米，120BC =米，130AB ∴=米设AM x =，BN y =，则50CM x =-，120CN y =-，AOM AOD ≌，BON BOE △△≌，AD AM x ∴==，BE BN y ==，130DE AD BE AB x y =+-=+-，130MN DE x y ∴==+-，()()()5012013040CM CN MN x y x y ++=-+-++-=，CMN ∴ 的周长40=答：至少需要围挡40米．【点睛】本题考查角平分线的性质、全等三角形的性质和判定、等腰三角形的性质和勾股定理，本题的关键在于灵活应用角平分线性质结合全等三角形的性质，求解角和边．。
北师大版八年级数学下册《活用“三线合一”巧解题》 讲义
专训3 活用“三线合一”巧解题【名师点睛】等腰三角形“顶角平分线、底边上的高、底边上的中线”只要知道其中“一线”，就可以说明是其他“两线”。
运用等腰三角形“三线合一”的性质证明角相等、线段相等或垂直关系，可以减少证明全等的次数，简化解题过程。
[技巧1]利用“三线合一”求角1.如图,已知房屋的顶角∠BAC =100∘，过屋顶A 的立柱AD ⊥BC ，屋椽AB =AC ，求顶架上∠B 、∠C 、∠BAD 、∠CAD 的度数。
解答：∵△ABC 中,AB =AC ,∠BAC =100∘∴∠B =∠C =21(180∘−∠BAC)=21(180∘−100∘)=40∘ ∵AB =AC ,AD ⊥BC ,∠BAC =100∘∴AD 平分∠BAC∴∠BAD =∠CAD =50. [技巧2]利用“三线合一”求线段2.如图，在△ABC 中，AB =AC ，AD =DB =BC ，DE ⊥AB 于点E ，若CD =4，且△BDC 的周长为24，求AE 的长。
解答：∵AD =DB =BC ，CD =4，且△BDC 的周长为24∴AD =DB =BC =10∴AC =14∵AB =AC[技巧3]利用“三线合一”证全等3.已知：三角形ABC 中,∠A =90∘，AB =AC ，D 为BC 的中点，如图，E ，F 分别是AB ，AC 上的点，且BE =AF ，求证：△DEF 为等腰直角三角形。
解答：证明：连接AD∵AB =AC ,∠A =90∘，D 为BC 中点∴AD =BC 2=BD =CD且AD 平分∠BAC∴∠BAD =∠CAD =45∘在△BDE 和△ADF 中，BD =AD ，∠B =∠DAF =45∘，BE =AF∴△BDE ≌△ADF∴DE =DF ，∠BDE =∠ADF∵∠BDE +∠ADE =90∘∴∠ADF +∠ADE =90∘即：∠EDF =90∘∴△EDF 为等腰直角三角形。
[技巧4]利用“三线合一”证垂直∴AF=AB∵AD平分∠BAC交BC于D∴∠BAD=∠CAD在△BAE和△FAE中，AB=AF，∠BAD=∠CAD，AE=AE∴△ABE≌△AFE(SAS)∴∠ABE=∠AFE=90∘∴EB⊥AB.[技巧5]利用“三线合一”证线段的倍数关系5.如图，已知在等腰直角三角形ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，BF平分∠ABC，CD⊥BF 交BF的延长线于点D.求证：BF=2CD.解答：证明：延长BA交CD的延长线于点E.∵BF是∠CBA的角平分线∴∠CBF=∠DBA∵BD⊥CE∴∠BDC=∠EDB∵∠CBF=∠DBA，BD=BD，∠BDC=∠EDB∴△BDC≌△BDE∴CD=DE∵∠BAC=90°∴AC⊥AB，即△BAF是直角三角形∵∠BAC=90°，∠BDC=90°∴∠BAC=∠BDC∵∠DBA+∠BED=∠BDC，∠ECA+∠AEC=∠BAC，∠BAC=∠BDC，∠AEC=∠BED∴∠DBA=∠ECA∵∠DBA=∠ECA，AB=AC，∠BAC=∠CAE=90°∴△CAE≌△BAF∴BF=CE∵CD+DE=CE，CD=DE，BF=CE∴BF=2CD.[技巧6]利用“三线合一”证线段的和差关系6.如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，且∠ABC=2∠C.求证：CD=AB+BD.解答：证明：在DC上找一点M，使得DM=DB，连接AM.∵AD⊥BC，DM=BD∴AD是BM的垂直平分线∴AB=AM∴∠B=∠AMB∵∠B=2∠C，∠AMB=∠C+∠MAC ∴∠MAC=∠C∴AM=CM∴CM=AB∴CD=DM+MC=BD+AB.。
初中数学巧用“三线合一”定理解几何题学法指导
初中数学巧用“三线合一”定理解几何题学法指导杨玲等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合，这是等腰三角形的性质定理，也称为“三线合一”定理。
它在几何计算和论证过程中有着很重要的应用，若能巧妙地利用这个性质解题，将起到事半功倍的效果。
例1 等腰三角形顶角为α，一腰上的高与底边所夹的角是β，则β与α的关系式为β=_________。
图1分析与解；如图1，AB=AC ，BD ⊥AC 于D ，作底边BC 上的高AE ，E 为垂足，则可知∠EAC=∠EAB=α21，又∠EAC=︒90C ∠-，∠β=C 90∠-︒，所以∠EAC=β，αβ21=。
例2 已知：如图2，AB ∥CD ，M 为AD 的中点，并且AB+CD=BC ，求证：CM 平分∠BCD ，CM ⊥BM 。
图2分析：要证待证的结论，需延长BM 与CD 的延长线交于点E ，构造△CBE 由“三线合一”定理，只需证CE CB =，BM=EM 。
易证DEM ABM △△≅，可得BM=EM ，AB=DE ，又BC=AB+CD=DE+CD=CE ，从而本题得证。
证明：请同学们自己写出。
例3 如图3，AB=AE ，∠ABC=∠AED ，BC=ED ，点F 是CD 的中点。
图3（1）求证：AF ⊥CD ；（2）在你连结BE 后，还能得出什么新的结论，请至少写出三个（不要求证明）（1）证明：连结AC 、AD ，∵AB=AE ，∠ABC=∠AED ，BC=ED ，∴△ABC AED △≅。
∴AC=AD 。
又CF=DF ，∴AF ⊥CD 。
（2）例如：①BE ∥CD ，②AF ⊥BE ，③△ACF ADF △≅，④∠BCF=∠EDF ，⑤五边形ABCDE 是以直线AF 为对称轴的轴对称图形等。
例4 已知：如图4，在Rt △ABC 中，∠ACB=︒90，AC=BC ，D 为BC 的中点，CE ⊥AD ，垂足为点E ，BF ∥AC 交CE 的延长线于点F 。
【人教版】初二数学上册《专训2 “三线合一”解题的六种技巧》
专训2 “三线合一”解题的六种技巧名师点金：等腰三角形中的“顶角平分线、底边上的高、底边上的中线”只要知道其中“一线”，就可以说明是其他“两线”．运用等腰三角形“三线合一”的性质证明角相等、线段相等或垂直关系，可减少证全等的次数，简化解题过程．利用“三线合一”求角1．如图，房屋顶角∠BAC＝100°，过屋顶A的立柱AD⊥BC，屋檐AB＝AC.求顶架上的∠B，∠C，∠BAD，∠CAD的度数．(第1题)利用“三线合一”求线段2．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD＝DB，DE⊥AB于点E，若BC＝10，且△BDC 的周长为24，求AE的长．(第2题)利用“三线合一”证线段(角)相等3．已知△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D为BC的中点．(1)如图①，E，F分别是AB，AC上的点，且BE＝AF，试判断△DEF的形状，并说明理由．(2)如图②，若E，F分别为AB，CA的延长线上的点，且仍有BE＝AF.请判断△DEF 是否仍有(1)中的形状，并说明理由．(第3题)利用“三线合一”证垂直4．如图，在△ABC中，AC＝2AB，AD平分∠BAC，E是AD上一点，且EA＝EC.求证：EB⊥AB.(第4题)利用“三线合一”证线段的倍数关系(构造三线法)5．如图，已知等腰直角三角形ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，BF平分∠ABC，CD⊥BD 交BF的延长线于点D.试说明：BF＝2CD.(第5题)利用“三线合一”证线段的和差关系(构造三线法)6．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，且∠ABC＝2∠C.试说明：CD＝AB＋BD.(第6题)答案1．解：因为AB ＝AC ，∠BAC ＝100°，AD ⊥BC ，所以∠B ＝∠C ＝40°，∠BAD ＝∠CAD ＝50°.2．解：因为△BDC 的周长＝BD ＋BC ＋CD ＝24，BC ＝10，所以BD ＋CD ＝14. ∵AD ＝BD ，∴AC ＝AD ＋CD ＝BD ＋CD ＝14.又∵AB ＝AC ＝14.AD ＝DB ，DE ⊥AB ，∴AE ＝EB ＝12AC ＝7. 3．解：(1)△DEF 为等腰直角三角形．理由：连接AD ，易证△BDE ≌△ADF ， ∴DE ＝DF ，∠BDE ＝∠ADF ，又∵∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，D 为BC 的中点，∴AD ⊥BC.∴∠ADB ＝90°.∴∠EDF ＝∠EDA ＋∠ADF ＝∠EDA ＋∠BDE ＝∠ADB ＝90°.∴△DEF 为等腰直角三角形．(2)是，理由略．4．证明：如图，过点E 作EF ⊥AC 于F.∵AE ＝EC ，∴AF ＝12AC. 又∵AB ＝12AC ，∴AF ＝AB. ∵AD 平分∠BAC ，∴∠FAE ＝∠BAE.又∵AE ＝AE ，∴△AEF ≌△AEB(SAS )．∴∠ABE ＝∠AFE ＝90°，即EB ⊥AB.(第4题)5．解：如图，延长BA ，CD 交于点E.(第5题)∵BF 平分∠ABC ，CD ⊥BD ，BD ＝BD ，∴△BDC ≌△BDE.∴BC ＝BE.又∵BD ⊥CE ，∴CE ＝2CD.∵∠BAC ＝90°，∠BDC ＝90°，∠AFB ＝∠DFC ，∴∠ABF ＝∠DCF.又∵AB＝AC，∠BAF＝∠CAE＝90°，∴△ABF≌△ACE(ASA)．∴BF＝CE.故BF＝2CD.6．解：如图，以点A为圆心，AB长为半径画弧交CD于点E，连接AE，则AE＝AB，所以∠AEB＝∠ABC.(第6题)又因为AD⊥BC，所以AD是BE边上的中线，即DE＝BD.又因为∠ABC＝2∠C，所以∠AEB＝2∠C.而∠AEB＝180°－∠AEC＝∠CAE＋∠C，所以∠CAE＝∠C.所以CE＝AE＝AB，故CD＝CE＋DE＝AB＋BD.。
2017年秋八年级数学上册专题复习(八)构造“三线合一”巧解题(选用)课件(新版)新人教版
第十二章 全等三角形
专题(八)
构造“三线合一”巧解题(选用)
等腰三角形“顶角平分线、底边上的高、底边上的中线”只要知道其中“一 线”，就可以说明是其他“两线”．运用等腰三角形“三线合一”的性质证明
角相等、线段相等或垂直关系，可减少证全等的次数，简化解题过程．
方法技巧一：有等腰三角形底边中点时，常作这底边上的中线，构造“三线 合一”图形．
1．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，E，F分别是AB，AC上
的点，且AE＝AF. 求证：DE＝DF.
解：连接 AD，∵AB＝AC，D 是 BC 的中点，∴∠EAD＝∠FAD， AE＝AF， 在△AED 与△AFD 中∠EAD＝∠FAD，∴△AED≌△AFD(SAS)，∴ AD＝AD， DE＝DF
2 ． 如 图 ， 在 △ ABC 中 ， AB ＝ AC ， D 是 BC 的 中 点 ， 过 A 点 的 直 线 EF∥BC，且AE＝AF.求证：DE＝DF. 解：连接AD，∵AB＝AC，D是BC的中点，∴AD⊥BC，∵EF∥BC， ∴AD⊥EF，又∵AE＝AF，∴C，∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD，∠B＝ ∠C，∵∠BAC＝90°，∴∠B＝∠C＝∠BAD＝∠CAD＝45°，∴AD＝ BE＝AF， BD.在△BED 与△AFD 中，∠B＝∠DAF，∴△BED≌△AFD(SAS)，∴ BD＝AD， DE＝DF (2)∵△BED≌△AFD， ∴∠BDE＝∠ADF， ∴∠BDE＋∠EDA＝∠EDA ＋∠ADF＝90°，∴ED⊥DF
方法技巧二：遇到等腰作底边上的高，构造“三线合一”图形．
4．如图，点D，E分别在BA，AC的延长线上，且AB＝AC，AD＝AE.
求证：DE⊥BC. 解 ： 作 AG⊥DE ， ∵ AD ＝ AE ， ∴ ∠ DAG ＝ ∠ EAG ， 又 AB ＝ AC ，
专题6 妙用三线合一巧解题（含答案）
专题6 妙用三线合一巧解题知识解读三线合一：等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边，这就是说，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。
三线合一的几种应用：如图2－6－1，在△ABC 中，①若AB ＝AC ，∠BAD ＝∠CAD ，则AD ⊥BC ，BD ＝CD ； ②若AB ＝AC ，AD ⊥BC ，则∠BAD ＝∠CAD ，BD ＝CD ；③若AB ＝AC ，BD ＝CD ，则∠BAD ＝∠CAD ，AD ⊥BC ；④若∠BAD ＝∠CAD ，AD ⊥BC ，则AB ＝AC ，BD ＝CD ； ⑤若∠BAD ＝∠CAD ，BD ＝CD ，则AD ⊥BC ，AB ＝AC ； ⑥若AD ⊥AC ，BD ＝CD ，则AB ＝AC ，∠BAD ＝∠CAD 。
即“AB ＝AC ，∠BAD ＝∠CAD ，AD ⊥BC ，BD ＝CD ”中已知其中两个结论，总能推出其他两个结论是成立的.等腰三角形三线合一的应用非常广泛，它包含了多层意义.可以用来证明角相等、线段相等、垂直关系等. 等腰三角形顶角平分线、底边上的高、底边上的中线常常作为解决有关等腰三角形问题的辅助线，由于这条线可以把顶角和底边折半，所以常通过它来证明线段或角的倍分问题，在等腰三角形中，虽然顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合，添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时需要作顶角的平分线，有时则需要作高或中线，这要视具体情况来定。
培优学案典例示范一、利用三线合一证明角度之间的倍分关系例1如图2－6－2，在△ABC 中，AB ＝AC ，CD ⊥AB 于点D .求证：∠BAC ＝2∠DCB .【提示】欲证角之间的倍半关系，结合题意，观察图形，∠BAC 是等腰三角形的顶角，于是想到构造它的一半，再证与∠DCB 的关系 【解答】D B CA图2-6-2【技巧点评】要证明一个角等于等腰三角形顶角的一半，常考虑构造等腰三角形三线合一的那根线.由这道题目，我们还可以得出这样一个常用的结论，等腰三角形一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半.跟踪训练1.如图2-6-3①，点P 是BC 的中点，如图2-6-3②，点P 与点C 重合，如图2-6-3③，点P 在BC 的延DBC A 图2-6-1长线上，△ABC都是等腰三角形，BC为底边，PD⊥AB，∠A与∠BPD之间都存在一个相同的数量关系，请猜想这个数量关系，并就图③进行验证。