信号与系统§7.3 离散时间系统的数学模型—差分方程
信号与系统求差分方程
信号与系统求差分方程
信号与系统是电子工程中的重要学科，它研究的是信号的传输和处理以及系统的特性与性能。
在这个领域中，差分方程是一种常用的数学工具，用于描述离散时间系统中的信号和系统行为。
差分方程是一种离散时间系统的数学模型，描述了系统的输入和输出之间的关系。
它可以用于分析和预测系统的行为，以及设计合适的控制算法。
差分方程的形式通常是这样的：
y[n] = a*y[n-1] + b*x[n-1]
其中，y[n]表示系统的输出信号，x[n]表示系统的输入信号，y[n-1]和x[n-1]分别表示前一时刻的输出和输入信号，a和b是差分方程中的常数系数。
通过差分方程，我们可以推导出系统的响应和稳定性等重要性能指标。
对于给定的输入信号，我们可以使用差分方程来计算系统的输出，并通过比较输出信号与期望信号来评估系统的性能。
差分方程的求解通常需要使用离散时间系统的特定方法，比如Z变换等。
通过这些方法，我们可以将差分方程转化为代数方程，从而得到系统的解析解或数值解。
在信号与系统的研究中，差分方程是一个非常重要的工具。
它帮助我们理解和分析离散时间系统的行为，从而为系统设计和控制提供
了理论基础。
通过差分方程的应用，我们可以更好地理解和利用信号与系统的原理，提高系统的性能和稳定性。
差分方程是信号与系统中的重要工具，用于描述离散时间系统的行为和性能。
它的应用可以帮助我们理解和分析系统，从而提高系统的性能和稳定性。
希望通过学习差分方程，能够更好地应用信号与系统的知识，解决实际工程问题。
信号与系统课件第七章离散时间系统
两序列的样值 ======= 新序列
2）相乘：z(n) x(n) y(n)
逐项对应相加
两序列的样值 ======= 新序列
3）延时：z(n) x(n m)
逐项对应相乘
原序列 ============ 新序列
2016/1/21 信号与系统 11
逐项依次左移或右移m位
离散信号的运算
4）反褶：z(n) x(n)
1 n 0 u ( n) 0 n 0
n=0,其 值=1
u (n i )
n
1 n i u (n i ) 0 n i
n
3 2 1 0
1
i
u ( n) ( n k ) k 0 (n) u (n) u (n 1)
序列：信号的时间函数只在某些离散瞬时nT 有定义值,即x(nT )
其中T为均匀的离散时刻之间隔隔; nT 称函数的宗量, n 0, 1, 2,
样值：离散信号处理的非实时性 x(n)表示序列
其中n表示各函数值在序列中出现的序号
某序列n的函值x(n)=== 在第n个样值的“样值”
2016/1/21 信号与系统 9
2016/1/21 信号与系统 30
五、离散、时间系统的数学模型联系
离散、连续模型之间联系 差分方程与 微分方程：
对连续y(t ), 若在t nT 各点取样值y(nT ), 且T 足够小
y(nT ) n 1 T dy(t ) y 则 dt T
2016/1/21
x ( n)
6
3
3 2 1 0 1 2 3 4 5 6
n
x(2n)
6 4 2
离散系统的数学模型
离散系统的数学模型
1.1 离散时间系统的数学模型
为激励信号,
为响应信号
离散时间系统 将激励序列转换为响应序列的系统，其 输入输出都是离散信号。在数学上，离 散系统的输入-输出关系可表示为
离散系统可以用差分方程来描述 差分方程 由输入序列、输出序列以及它们的差分所组
成的方程。 例如:
无反馈差分方程 某ຫໍສະໝຸດ 时刻的输出只与输入有关，而余 ，月利率为1%。写出结余 与净存款
的
关系式。
解： 当月的净存款
月末结余
月末利息
所以有
或
例5.3.2 试写出第k 节点电压 的数学模型。
解： 整理得
例5.3.3 假设离散时间系统的差分方程为 求其传输算子
解：算子方程为 即
所以
离散系统的模拟框图表示
差分方程的基本元算符号
例5.3.4 某离散系统的差分方程为
与该时刻之前的输出无关 。
有反馈差分方程 某一时刻的输出不仅与输入有关，还 与该时刻之前的输出有关。
系统的差分方程的一般形式 ：
前向差分方程
后向差分方程
差分算子 离散系统的传输算子
差分方程 算子方程
传输算子
系统的输入-输出模型
1.2离散时间系统数学模型的建立
例5.3.1 某一银行按月结余。设第 个月末的结
试用模拟框图表示此系统。 解：系统的差分方程可化为 框图来表示为
信号与系统
信号与系统差分方程z域解中前向差分
信号与系统是电子信息类专业中重要的课程之一，差分方程是信号与系统中重要的内容之一，而z域解是差分方程求解中常用的方法之一。
本文将针对差分方程z域解中前向差分进行较为详细的介绍，希望能够为读者对该知识点有更深入的理解。
一、差分方程的引入在信号与系统中，差分方程是描述离散时间信号的重要数学工具。
它可以描述离散时间信号的演变规律，对于系统的分析和设计具有重要意义。
二、z变换及z域表示z变换是拉普拉斯变换在离散时间信号中的推广，它可以将离散时间域中的信号转换到z域。
在z域中，信号与系统的分析更加方便，因此z 变换及z域表示是信号与系统中的重要内容。
三、差分方程的z域解差分方程的z域解即是将差分方程通过z变换转换到z域中进行求解的过程。
z域解可以帮助我们更加清晰地了解离散时间系统的特性，并且为系统的分析提供了重要的数学工具。
四、前向差分前向差分是差分方程中常用的一种形式，它通过求取当前时刻与前一时刻的差分来描述离散时间信号的演变规律。
前向差分在信号与系统中具有重要的应用，对系统的分析和设计有着重要的意义。
五、前向差分在z域中的表示在z域中，前向差分可以通过z变换的性质进行表示，这样可以方便地进行系统的分析和设计。
掌握前向差分在z域中的表示对于信号与系统的学习具有重要意义。
六、前向差分在系统分析中的应用前向差分在系统分析中有着广泛的应用，特别是在控制系统中的离散控制中，前向差分被广泛地应用。
了解前向差分在系统分析中的应用对于提高学习者的专业素养有着重要的作用。
七、结论本文对差分方程z域解中前向差分进行了较为详细的介绍，希望能够帮助读者对该知识点有更深入的理解。
差分方程z域解在信号与系统中有着重要的作用，掌握这一知识点对于提高学习者的专业素养具有重要意义。
希望读者能够通过本文对差分方程z域解中前向差分有所了解，进一步加深对信号与系统这一重要学科的理解。
由于差分方程z 域解在离散时间信号与系统中的重要性，我们需要进一步深入研究前向差分在系统分析中的应用。
§7.3 差分方程及其求解
P,Q为待定系数
M 1 y n 为等幅正弦序列 M 1 y n 为增幅正弦序列 M 1 y n 为减幅正弦序列
X
2.特解
线性时不变系统输入与输出有相同的形式
第 21 页
输入 an x n e
x n e
jn
输出 an y n Ae
y n Ae
第 11 页
X
常系数线性差分方程的求解
北京电子科技学院
第
解法
1.迭代法
13 页
2.时域经典法：齐次解+特解； 3.零输入响应+零状态响应 利用卷积求系统的零状态响应
4. z变换法反变换y(n)
X
第
一．迭代法
解差分方程的基础方法 差分方程本身是一种递推关系。
缺点：得不到y n 输出序列的解析式
通式 : a k y n k br x n r
k 0 r 0 N M
X
差分方程的特点
(3)微分方程可以用差分方程来逼近，微分方程解是 精确解，差分方程解是近似解，两者有许多类似之 处。
(4)差分方程描述离散时间系统，输入序列与输出序 列间的运算关系与系统框图有对应关系，应该会写 会画。
yn C
yn C r
n
x n r （r与特征根重）
yn C1nr C2 r
n
n
X
第
例3
y n 2 y n 1 5u n 求全解 且 y 1 1
22 页
r 2 0 r 2
由递推关系,可得输出值：
y n 1, 4, 13, 40, n 0
信号与系统-离散信号与系统
(1)
y (k + 3) − 2 2 y (k + 2) + y (k + 1) + 0 y (k ) = f (k ) 1 y (k + 2) − y (k + 1) + y (k ) = f (k ) 4
(2)
解：用转移算子法求。
1 (1) H ( E ) = 3 2 E − 2 2E + E 1 = E ( E − 2 − 1)( E − 2 + 1) 1 1 1 2( 2 + 1) 2( 2 − 1) = + − E E − 2 −1 E − 2 + 1
f ( n )= ∑ i=-∞ f(i) ∗ δ (k-i)=f(n) ∗ δ (n)
∞
四 离散信号的卷积和
l 定义
f1 (n) ∗ f2 (n)=∑i=-∞ f1 (i) ∗ f2 (k-i)=∑i=-∞ f2 (i) ∗ f1 (k-i)
∞ ∞
l 上下限范围
– 当f1(n), f2(n)均为因果序列
yh (n) =
l
l
∑
K
N i =1
A iα
n i
i −1 n yh (n) = ∑i =+1 An α1 + ∑i=k +1 Aiαin i N
l l l
将所求得的强迫解和自由解相加，即可得到全响应 将给定的全响应的初始值代入到方程中，已确定待定系数 将所求得的待定系数带入到全响应方程中
例：求下列差分方程所 描述的系统的单位响应 h(k)
1 故h(k) =δ (k −1) +[ ( 2 +1)k−1 − 2( 2 +1) 1 k−1 ( 2 −1) ]U(k −1) 2( 2 −1) 1 k−2 1 k−2 =δ (k −1) +[ ( 2 +1) − ( 2 −1) ]U(k −2) −δ (k −1) 2 2 1 k−2 k−2 = [( 2 +1) −( 2 −1) ]U(k −2) 2
信号与系统：第七章 离散信号与系统时域分析
k 0 k 0
推广： 1)
U (k
j)
0, k 1, k
j j
2) AU (k), AU (k j)
性质：
f
(k)U
(k)
f
(k) 0
k 0 k 0
可见，U(k)作用类似于U(t)，
但二者有较大差别：
U(t) ：奇异信号，数学抽象函数； U(k)：非奇异信号，可实现信号。
(k)与U(k)关系： (k) U(k) U(k 1)
y(k+1)Ey(k)
y(k-N)E-N y(k) y(k+N)EN y(k)
E-1 : 单位延迟算子
17
（2）算子形式的差分方程
1) uk 2 2a 1uk 1 u(k) 0 (E2 2a 1 E 1)u(k) 0
a
a
2） y(k)-(1+a)y(k-1)=f(k)
[1-(1+a)E-1 ]y(k)=f(k)
周期：N 20 无周期
13
7-2 离散时间系统基本概念
一、定义： 二、分类：
激励、响应均为离散时间信号的系统。
线性系统 非线性系统
时不变系统 时变系统
因果系统 非因果系统
线性系统： f1(k) y1(k) f2 (k) y2 (k) af1(k) bf2(k) ay1(k) by2(k)
k
y(k) f (i) i
y(k)
k
f1(i)
i
0 k 0
1.5 2.5
k 0 k 1
2 k 2
5
5.差分: 序列与其移序序列的差而得到一个新序列。
y(k)=f(k)-f(k-1)
（后向差分）
离散时间系统的数学模型
2.线性差分方程 a0(n)y(n)+ a1(n)y(n-1)+ …... aN(n)y(n-N)
= b0(n)x(n)+ b1(n)x(n-1)+ …... bM(n)x(n-M) 其中ai(n) 、bj(n)、 x(k) ，i=0,1,……N; j=0,1,……M; k=n-M,……n。
返回
二、差分方程
在连续时间系统中，系统内部的数学运算关系可归结 为微分（积分）、乘系数、相加的关系，即：微分方程。
在离散时间系统中，基本运算关系是延时（移位）、 乘系数、相加的关系，即：差分方程。 这是由于系统的组成以及所处理的信号的性质不同， 因此描述系统的数学手段也不同。
（一）数学模型的基本单元 （二）差分 （三）差分方程 （四）差分方程的建立 （五）差分方程的特点
i
2
2
d i un
n
n
i
n
in+1 u n u
n
1 iu i n n + 1 u n 2 i
i
1 2 i u i n n + 1 2 n + 1 u n 6 i
n + 1 1 a i a u i u n 1 a i n
xi xn
n
a 1
返回
（三）差分方程
1.一般差分方程
ky(n))=0 表达式F(n,y(n), y(n), …… 或 Q(n,y(n), y(n-1), ……, y(n-k))=0 称为未知序列y(n)的差分方程，F、Q是已知函数。
k
（k阶差分）
3.典型序列的差分（后向） n = n -(n-1)=1 u(n) = u(n) -u(n-1)=d (n) n2= n2 -(n-1)2= 2n - 1 n2u(n) = n2u(n) - (n-1)2u(n-1)= (2n-1)u(n-1) 2 n 1 sin n sin n sin n 1 2 sin cos 4.差分的逆运算———求和 典型序列的求和
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1 aT
1 aT
当前输出 前一个输出 输入
四．由系统框ห้องสมุดไป่ตู้写差分方程
1．基本单元
加法器：
x1 n
x1n x2 n
x2 n 乘法器：
x1n x1n x2 n
x2 n
x1 n
x1n x2 n
x2 n
系统框图
标量乘法器
xn
a
延时器
axn
x(n)
y(n)
1
系统
1
1 O 1 2 3 n
1 O 1 2 3 4 n
x(n N ) 1
系统
y(n N )
1
1 O 1 2 3
n
1 O 1 2 3
n
二．由实际问题直接得到差分方程
例如： y(n)表示一个国家在第n年的人口数 a(常数)：出生率 b(常数): 死亡率 设x(n)是国外移民的净增数 则该国在第n+1年的人口总数为：
一．用差分方程描述线性时不变离散系统
线性：均匀性、可加性均成立；
x1 (n)
离散时间系统
y1 (n)
x2(n) 离 散 时 间 系 统 y2(n)
c1 x1(n) c2 x2 (n)
离散时间系统
c1 y1(n) c2 y2 (n)
时不变性
xn yn，xn N yn N 整个序列右移 N位
N
M
通 式: ak yn k br xn r
k0
r0
差分方程的特点
(3)微分方程可以用差分方程来逼近，微分方程解是 精确解，差分方程解是近似解，两者有许多类似之 处。
(4)差分方程描述离散时间系统，输入序列与输出序 列间的运算关系与系统框图有对应关系，应该会写会 画。
y(n+1)=y(n)+ay(n)-by(n)+x(n)
=(a-b+1)y(n)+x(n)
三．由微分方程导出差分方程
dyt ayt f t
dt
yt ： 输 出
f t：输入
时间间隔: T
后差 dyt yt yt T
dt
T
或前差 dyt yt T yt
xn a axn
yn
1
yn 1
yn
E
yn 1
z 1
单位延时实际是一个移位寄存器，把前一个离 散值顶出来，递补。
五．差分方程的特点
(1)输出序列的第n个值不仅决定于同一瞬间的输入样 值，而且还与前面输出值有关，每个输出值必须依次 保留。 (2)差分方程的阶数：差分方程中变量的最高和最低 序号差数为阶数。 如果一个系统的第n个输出决定于刚过去的几个输出 值及输入值，那么描述它的差分方程就是几阶的。
dt
T
列差分方程
若用后差形式
yt yt T ayt f t
T
若在t=nT 各点取得样值
yt ynT yn
n代表序号
f t f nT f n
yn yn 1 ayn f n
T
yn 1 yn 1 T f n
§7.3 离散时间系统的数学 模型—差分方程
•用差分方程描述线性时不变离散系统 •由实际问题直接得到差分方程 •由微分方程导出差分方程 •由系统框图写差分方程 •差分方程的特点
主要内容
x(n)
y(n)
离散时间系统
本课程讨论的是线性、时不变离散系统。 一.用差分方程描述线性时不变离散系统 二.由实际问题直接得到差分方程 三.由微分方程导出差分方程 四.由系统框图写差分方程 五.差分方程的特点