北航研究生矩阵论课后参考答案

矩阵论课后参考答案：

第1章 线性代数引论

习题1.1

2

（1）解：由定义知

n m C n m ⋅=⨯)dim(

故可知其基为n m ⋅个n m ⨯阶矩阵，简单基记为在矩阵上的某一元素位置上为1，其他元素为0 ，如下

⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡00

00

0000000

1 ，⎥⎥

⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎣⎡00

00

0010

000

（2）解：对约束A A T =分析可知，其为一个上下对称的矩阵（对称阵），则其维数为

2

)

1(1)1()dim(+=++-+=n n n n V 其基为

2

)

1(+n n 个n n ⨯阶的矩阵，故基可写为 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡00

000000

1

，⎥⎥

⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎣⎡00

00

0001

001

0 ，

⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡1000

0000000

（3）解：同上理，对A A T -=分析可知其为一个上下成负对称的矩阵，且对角元全为0，则其维数为 2

)

1(2)1)1)((1(1)2()1()dim(-=+--=++-+-=n n n n n n V

其基为

2

)

1(-n n 个n n ⨯阶的矩阵，故基可写为

⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-00

00

00000001001

0 ，⎥⎥⎥⎥

⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-00

00

00010000010

， ⎥⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-011

0000

0000000

00

3

解：由题可得

},,,{212121ββααspan W W =+ 不难看出其秩为3，则3)dim(21=+W W 设21W W x ∈,则存在2121,,,l l k k 有 22112211ββααl l k k x +=+=

则 ⎪⎩⎪⎨⎧=--=-+=+++=---070

30

20

221

222121212121l l k l k k l l k k l l k k ，故有⎪⎩⎪⎨⎧-==-=21222

134l l l k l k 即)4,3,2,5()4(21222211-=-=+=l l k k x αααα 所以1)dim(21=W W 8

(先补充定理：

定理：设n 元齐次线性方程组的系数矩阵A 的秩n r A r <=)(，则齐次线性方程组的基础解析存在，并且基础解系所含线性无关的解向量的个数等于r n -)

证：1）对任意的21V V B ∈,则有0=AB 且0)(=-B I A 成立，故0=B 所以{0}21=V V 。 2）明显n V V F 21⊂+

3）对于1V 来说，X 为A 的一个基础解系，不妨设r A =)dim(，则 有 r V -=n )dim(1 式1 而由约束条件A A =2知 0)(=-I A A

其中I A -为A 的一个基础解系，则有 r n I A -=-)dim(

故2V 的秩为r I A V =--=)dim(n )dim(2 式2

故由式1及式2可知：)dim()dim()dim(21n F n V V ==+

综上1），2），3）。则有21F V V n ⊕= 证毕

习题1.2

8

解：由题可知321,,ααα与321,,ηηη时空间)(3F L 的两组基，则存在一个过渡矩阵C 使得

()()C 321321,,,,αααηηη= -------------------------------------1 引入)(3F L 的一组简单基 131211,,E E E

则 ()()()()⎩⎨

⎧==2

1312113211131211321,,,,,,,,C E E E C E E E ηηηααα------------------------------------2 其中 ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡----=713737

691681C ，⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎣⎡-=22111-2231

2C --------------------------------3 故有 ()()()2113212131211321,,,,,,C C C E E E -==αααηηη-----------------------------4

则 ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣⎡---==-63152131121

1

C C C -------------------------------------------------5

设B 为T 在基321,,ηηη下的矩阵，则由题意有

()()()()B

T A T 321321321321,,,,,,,,ηηηηηηαααααα==-------------------------------------------6 由式1与式6综合可得

AC C B 1-=-----------------------------------------------------------7

故 ⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡---⨯⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡----⨯⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡---=13221322

1631521311222512022115181121231133B

补充知识：对2C 求逆及求原始的C

从题中我们可以看出直接求1C 的逆有很大的困难度，而2C 的逆矩阵较为好求，故我们将式5转化一下变为1121-C C C -=，

[]⎥⎥⎦⎤

⎢⎢⎣⎡−−−→−⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-=-++101-01-001255000123110022101011-20012311)1(31)2(22r r r r I C

⎥⎥⎥⎥⎦

⎤⎢

⎢⎢⎢⎣

⎡

--−−−→−⎥⎥⎥⎥

⎦⎤⎢

⎢⎢⎢⎣

⎡

-−−→−-+↔-15

15310010101000

123105

152110101

010001

2312

)1(33

23)1(251

r r r r r r ⎥⎥⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣

⎡

-

--

-−−−→−-+-+15

153100101

010152

5

40013)2(12)3(1r r r r 故可知 ⎥⎥⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣

⎡---

-=-15

153101

152

5

412C 从而可求得 ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣⎡---==--1212311331

121

C C C

同理知道1-C 后可求得C 如下