北航研究生矩阵论课后参考答案

矩阵论课后参考答案：第1章 线性代数引论习题1.12（1）解：由定义知n m C n m ⋅=⨯)dim(故可知其基为n m ⋅个n m ⨯阶矩阵，简单基记为在矩阵上的某一元素位置上为1，其他元素为0 ，如下⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡000000000001 ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡00000010000（2）解：对约束A A T =分析可知，其为一个上下对称的矩阵（对称阵），则其维数为2)1(1)1()dim(+=++-+=n n n n V 其基为2)1(+n n 个n n ⨯阶的矩阵，故基可写为 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡000000001，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡000000010010 ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡10000000000（3）解：同上理，对A A T -=分析可知其为一个上下成负对称的矩阵，且对角元全为0，则其维数为 2)1(2)1)1)((1(1)2()1()dim(-=+--=++-+-=n n n n n n V其基为2)1(-n n 个n n ⨯阶的矩阵，故基可写为⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-0000000000010010 ，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-000000010000010， ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-01100000000000003解：由题可得},,,{212121ββααspan W W =+ 不难看出其秩为3，则3)dim(21=+W W 设21W W x ∈,则存在2121,,,l l k k 有 22112211ββααl l k k x +=+=则 ⎪⎩⎪⎨⎧=--=-+=+++=---0703020221222121212121l l k l k k l l k k l l k k ，故有⎪⎩⎪⎨⎧-==-=21222134l l l k l k 即)4,3,2,5()4(21222211-=-=+=l l k k x αααα 所以1)dim(21=W W 8(先补充定理：定理：设n 元齐次线性方程组的系数矩阵A 的秩n r A r <=)(，则齐次线性方程组的基础解析存在，并且基础解系所含线性无关的解向量的个数等于r n -)证：1）对任意的21V V B ∈,则有0=AB 且0)(=-B I A 成立，故0=B 所以{0}21=V V 。

2）明显n V V F 21⊂+3）对于1V 来说，X 为A 的一个基础解系，不妨设r A =)dim(，则 有 r V -=n )dim(1 式1 而由约束条件A A =2知 0)(=-I A A其中I A -为A 的一个基础解系，则有 r n I A -=-)dim(故2V 的秩为r I A V =--=)dim(n )dim(2 式2故由式1及式2可知：)dim()dim()dim(21n F n V V ==+综上1），2），3）。

则有21F V V n ⊕= 证毕习题1.28解：由题可知321,,ααα与321,,ηηη时空间)(3F L 的两组基，则存在一个过渡矩阵C 使得()()C 321321,,,,αααηηη= -------------------------------------1 引入)(3F L 的一组简单基 131211,,E E E则 ()()()()⎩⎨⎧==21312113211131211321,,,,,,,,C E E E C E E E ηηηααα------------------------------------2 其中 ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡----=713737691681C ，⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-=22111-22312C --------------------------------3 故有 ()()()2113212131211321,,,,,,C C C E E E -==αααηηη-----------------------------4则 ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡---==-631521311211C C C -------------------------------------------------5设B 为T 在基321,,ηηη下的矩阵，则由题意有()()()()BT A T 321321321321,,,,,,,,ηηηηηηαααααα==-------------------------------------------6 由式1与式6综合可得AC C B 1-=-----------------------------------------------------------7故 ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡---⨯⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡----⨯⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡---=132213221631521311222512022115181121231133B补充知识：对2C 求逆及求原始的C从题中我们可以看出直接求1C 的逆有很大的困难度，而2C 的逆矩阵较为好求，故我们将式5转化一下变为1121-C C C -=，[]⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡−−−→−⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-=-++101-01-001255000123110022101011-20012311)1(31)2(22r r r r I C⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--−−−→−⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-−−→−-+↔-15153100101010001231051521101010100012312)1(3323)1(251r r r r r r ⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----−−−→−-+-+15153100101010152540013)2(12)3(1r r r r 故可知 ⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=-151531011525412C 从而可求得 ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡---==--1212311331121C C C同理知道1-C 后可求得C 如下[]⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡−−→−⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=↔00113-301023-110012-110012-101023-100113-3131-r r I C⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡---−−−→−⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡---−−−→−-+-+-+63110011011010012-130123011011-010012-12)1(2)3(31)3(31)1(2r r r r r r r⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡---−−−→−⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-−−→−-+++6311005210103110016311005-2101010012-13)1(12)2(132r r r r r r从而可得 ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡---=631521311C17证明：由题知n 阶矩阵A 的秩为1，则说明A 有n-1重0特征根与一个特征根0λ。

又因存在 )(1A tr ni i=∑=λ，故可知)(0A tr =λ，故A 的特征多项式可写为())()(1A tr n A -=-λλλϕ 且存在可逆矩阵P ， 使得1()00tr A P AP -*⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 又最小多项式)(|)(λϕλA A m ,且最小多项式与特征多项式具有相同的根，则最小多项式为 ()()(),1k A m tr A k λλλ=-≥因为()1[()]0P A A tr A I P --=故n 阶矩阵A 的最小多项式为λλ)(2A tr -。

18 证明：不妨引入辅助矩阵，则有下式成立⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡BA A I B O I A AB I B O I 0000 则⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-I B O I A AB I B O I BA A 00I 00I λλ ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡=I B O I A AB I B O I 00I λ ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡=I B O I A AB I B O I 00I λ=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=00I A AB λ 故可得 ()()AB -BA I I λλλλ=- 亦即 ()()A -B -B I A I m n λλλλ= 从而有 ()()A -B -B I A I n m λλλ-= 19解：借用18题的结论，则可知BA 的特征值为∑=ni i i b a 1，C=AB 的特征多项式为)()()(11∑=--==ni i i n AB C b a λλλϕλϕ20解：和19题的解法相同.A A T 的特征多项式为)()(121∑=--=ni i n A A b Tλλλϕ故特征根为0（n-1重）与∑=ni i b 12。

习题1.313解：由题可得A I -λ的初等因子为 ()()()()λλλλλλλ,,1,1,,1,12+-+-A I -λ的不变因子为()()11)(28+-=λλλλd ，λλ=)(7dλλ=)(6d ，1)()()()()(12345=====λλλλλd d d d d22解：−−−−→−⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡---+-−−→−⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--+--=-++-+↔131))1((221211221121211212112r r r r c c A I λλλλλλλλ()()()()−−→−⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡------≅⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-------↔32110110001110110121c c λλλλλλλλλλλ ()()()()()≅⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡------−−→−⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡------+223100110001110110001λλλλλλλλλr r()()⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡----2100010001λλ 故其初等因子为()()21,1--λλ，所以⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=100110001J令[]321,,X X X P =,则有PJ AP =,即⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=100110001),,(),,(321321X X X X X X A即3232211,,X X AX X AX X AX +=== 则由()01=-X A I 解出向量()T X 0,1,11=则由()02=-X A I 解出向量()T X 1,2,12-=（这为任取一个值） 则由()23X X A I -=-解出向量()T X 1,0,23=（这是2X 给定后的任一值） 故可得⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-=110021211P补充要点：关于2X 的讨论由于2X 不仅与()02=-X A I 有关，它还与下面的式子有关，故需要找到一个合适的式子使得两式成立。

不妨设[][]T T x x x X c b a X 32132,,,,==，则由式()02=-X A I 可得 c b a += 而由式()23X X A I -=-可知⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡----c b a x x x 321111222111故可知()()⎪⎩⎪⎨⎧-=++---=++--=++-cx x x b x x x ax x x 3213213212从而可得⎩⎨⎧-==a c a b 2 不妨取1=a ，则可得[]T X 1,2,12-=习题1.42.（2）解： 复数域中向量T x ,T y 内积为()x y y x y x y x y x H n n =+++=...,2211()()()()()()()()()()12213111132222333111122211225,1,21,,,,0,23,230,,23-2-0,2,3,,0,,y y y i i i y y y y x y y y y x x y i i i i i i y y y y x x y i i x T TTT T-+--+=--=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=--=-=-==）（）（）（()()()TTTTi i i i i i i -=--++--+=,0,0)0,,(0,1,1,1,21正交化后()()⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧-⎪⎭⎫ ⎝⎛++-=T TT i i i i i s ,0,0,0,23,23,0,,2. (3) 解：先取一组简单基为()Txx 2,,1，再根据题中内积定义进行Schmidt 正交化。