发生的概率
随机事件的概率
古典概型虽然比较简单，但它有多方面的应用. 箱中摸球 分球入箱
随机取数 是常见的几种模型 .
分组分配
三、概率的几何定义
早在概率论发展初期，人们就认识到， 只考虑有限个等可能样本点的古典方法是不 够的. 把等可能推广到无限个样本点场合,人们 引入了几何概型. 由此形成了确定概率的另 一方法——几何方法. 请看演示 几何概率
n n
第1次选取
第2次选取
B
第3次选取 C 例如：n=4,
D B D B
k =3
A
C D
C
B
P 4 3 2 24
3 4
C
D
……
P4 4 3 2 1 24
从n个不同元素取 k个（允许重复）
（1k n)的不同排列总数为：
n n n n回地摸取3张
这里我们先简要复习一下计算古典概率 所用到的 基本计数原理 1. 加法原理
设完成一件事有m种方式， 第一种方式有n1种方法， 第二种方式有n2种方法, 则完成这件事总共 有n1 + n2 + … + nm …； 第m种方式有nm种方法, 种方法 . 无论通过哪种方法都可以 完成这件事，
例如，某人要从甲地到乙地去, 可以乘火车,
一、概率的统计定义
1、频率
若设n A是n次试验中事件 A发生的次数， nA 则比值 称为事件A发生的频率，记为 n n A f n ( A)，即 f ( A)
n
n
nA称为事件A发生的频率。
频率具有下列性质： 性质1
性质2 性质3
0 f n ( A) 1
f n ( ) 1
若事件A与事件B互斥，即AB ，则 f n ( A B ) f n ( A) f n ( B )
事件发生的可能性大小与概率的认识
小学六年级小升初数学专题复习（25）——事件发生的可能性大小与概率的认识知识归纳事件可分为确定事件和不确定事件，确定事件可分为必然事件和不可能事件．不确定事件又称为随机事件．常考题型例：一个盒子里面分别放了一些花，任意摸一朵的可能性会怎样？用线连一连【分析】根据可能性的大小进行依次分析：盒子有1朵白花，9朵红花，摸出一朵，因为9＞1，所以摸出红花的可能性大，白花的可能性小；盒子有5朵白花，5朵红花，摸出一朵，因为5=5，所以摸出红花的可能性大和白花的可能性一样；盒子里有9朵白花，1朵红花，摸出一朵，因为9＞1，所以摸出白花的可能性大，红花的可能性小；盒子里有10朵红花，摸出一朵，肯定是红花，不可能是白花，据此解答．解：根据分析，连线如下：【点评】此题应根据可能性的大小进行分析、解答．二、可能性的大小知识归纳事件的概率的表示方法：一般地，事件用英文大写字母A，B，C，…，表示事件A的概率p，可记为P（A）=P．必然事件的概率为1．常考题型例：从如图所示盒子里摸出一个球，有种结果，摸到球的可能性大，摸到球的可能性小．【分析】（1）右边盒子里只有白球和黑球，所以摸球的结果只有两种情况；（3）白球3个，黑球1个，3＞1，所以摸到白球可能性大，黑球的可能性小．解：（1）因为盒子里只有白球和黑球，所以摸球的结果只有两种情况．（2）因为白球3个，黑球1个，所以3＞1，所以摸到白球可能性大，黑球的可能性小．故答案为：两，白，黑．【点评】此题考查可能性的大小，数量多的摸到的可能性就大，根据日常生活经验判断．三、事件发生的可能性大小语言描述知识归纳定义：用语言描述事件的发生的可能性大小．例子：因为盒子里共有1000个红球，1个白球，则共有1001个球；任意摸一个球，白球摸到的概率为总球数的，红球占总球数的，白球摸到的概率很小，但也有可能．常考题型例：口袋中有4个红球，如果每次任意摸出一个球，要使摸出红球的可能性是，应再往袋中放个白球．要使摸到红球的可能性小于，至少要再放个黄球．【分析】（1）因为红球有4个，由题意知：要使摸出红球的可能性是，用除法求出球的总个数，再减去4即可；（2）假设摸到的红球的可能性是，则用除法求出球的总个数，再减去4，因为要使摸到红球的可能性小于，所以至少要再多放1个黄球．解：（1）4÷-4=6-4=2（个）答：应再从袋中放2个白球．（2）4÷-4+1=12-4+1=8+1=9（个）答：至少要再放9个黄球．故答案为：2，9．【点评】根据已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法解答，进而得出结论．四、概率的认识知识归纳1．一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率会稳定在某个常数p附近，那么这个常数p就叫做事件A的概率，记作P（A）=P，概率从某种数量上刻画一个不确定事件发生的可能性的大小．2．事件和概率的表示方法：一般地，事件用英文大写字母A，B，C，…，表示事件A的概率p，可记为P（A）=P．3．事件的概率：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，随机事件A的概率为0．常考题型例：有一个箱子里放着一些黄色乒乓球，为了估计球的数量，我们把20个白色乒乓球放入箱子中，充分搅拌混合后，任意摸出30个球，发现其中有3个白球．你估计箱子里原来大约有多少个黄色乒乓球？【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率，求出白球的概率之后，白球的数量已知，再除以概率，就是球的总量，减去白球的数量即为黄球的数量．解：摸到白球的概率是3÷30=20÷-20=200-20=180（个）答：估计箱子里原来大约有180个黄色乒乓球．【点评】此题考查了利用概率的求法估计总体个数，利用如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）= 是解题关键．一．选择题（共6小题）1．8个同学在一起，其中小希的年龄不是最大的，那么小希的年龄是最小的概率是（）A．B．C．D．2．给正方体涂上红蓝两种颜色，要使掷出红色的可能性比蓝色大一些，应该选择（）涂法．A．2面红色，4面蓝色B．3面红色，3面蓝色C．4面红色，2面蓝色3．一种彩票的中奖率是1%，那么买100张彩票是否会中奖？（）A．可能会中奖B．一定会中奖C．一定不会中奖4．任意转动转盘，转盘停止后，指针指向（）A．单数的可能性大B．双数的可能性大C．单、双数的可能性相同5．白菜（）是树上结的．A．一定B．很有可能C．不可能6．指针停在下面（）颜色上的可能性大．A．蓝色、紫色B．红色、黄色C．白色、绿色二．填空题（共6小题）7．把扑克牌中的红桃A、K和黑桃Q、J均匀混合后，从中任意抽出一张牌，如果按花色分类有种可能的结果；如果按字母分类有种可能的结果。
概率初中知识点总结
概率初中知识点总结概率是数学中的一个重要分支，它用于研究随机事件发生的可能性。
在初中阶段，概率是数学课程的一个重要内容，它是培养学生逻辑思维和推理能力的重要工具。
下面将对初中知识点进行总结，以帮助读者更好地理解概率的概念和应用。
一、基本概念概率是指某个事件发生的可能性，通常用一个介于0和1之间的数来表示。
0表示不可能事件，1表示必然事件。
概率的取值范围在0和1之间，概率越大，事件发生的可能性就越大。
二、概率的计算1. 事件的概率计算公式：事件的概率等于有利结果的个数除以总的可能结果的个数。
2. 等可能事件的概率计算公式：等可能事件的概率等于事件的个数除以总的可能结果的个数。
三、概率的性质1. 互斥事件的概率：互斥事件是指两个事件不能同时发生的情况。
互斥事件的概率等于两个事件概率之和。
2. 对立事件的概率：对立事件是指两个事件中只能发生一个的情况。
对立事件的概率等于1减去另一个事件的概率。
四、概率的应用1. 抽样与事件发生概率：在抽样问题中，通过对样本空间和事件的分析，可以计算出事件发生的概率。
2. 生日悖论：生日悖论是指在一群人中，至少有两个人生日相同的概率远远大于我们的直觉。
这个问题可以通过概率的方法进行解答。
3. 游戏中的概率：在游戏中，概率也有很大的应用。
比如掷骰子，扑克牌游戏等，概率可以帮助我们计算出不同结果的可能性。
4. 事件的独立性：事件的独立性是指一个事件的发生不会对另一个事件的发生产生影响。
在计算复杂问题的概率时，可以根据事件的独立性将问题简化。
五、概率与统计概率与统计是紧密相关的两个学科。
统计学中的概念和方法往往需要概率知识的支持。
比如抽样调查、数据分析等都需要用到概率的方法。
同时，概率也可以通过统计学的方法进行验证和应用。
六、概率与现实生活概率在现实生活中有广泛的应用。
比如购买彩票、天气预报、金融投资等都与概率有关。
了解概率的知识可以帮助人们做出更明智的决策。
概率是数学中的重要分支，它可以帮助我们理解和计算随机事件发生的可能性。
概率公式从基本概率公式到条件概率的推导
概率公式从基本概率公式到条件概率的推导概率是数学中非常重要的一个概念，用来描述某个事件发生的可能性。
概率公式是计算概率的数学工具，从基本概率公式到条件概率的推导，为我们提供了不同场景下求解概率的方法。
本文将介绍概率公式的推导过程以及它们在实际问题中的应用。
一、基本概率公式在概率理论中，我们用P(A)表示事件A发生的概率，该概率在[0, 1]的范围内。
基本概率公式是计算概率的基础，它由事件A发生的可能性与样本空间Ω中所有事件的可能性之比得出。
P(A) = N(A)/N(Ω)其中，N(A)表示事件A发生的结果数，N(Ω)表示样本空间Ω中所有事件的结果数。
举个例子，假设我们有一副标准扑克牌，其中共有52张牌。
如果我们想知道抽到一张黑桃的概率，可以使用基本概率公式来计算。
假设事件A表示抽到一张黑桃，那么N(A) = 13，因为一副扑克牌中有13张黑桃牌。
样本空间Ω中的结果数为N(Ω) = 52，所以P(A) = 13/52 = 1/4 = 0.25。
二、条件概率的定义与公式条件概率是在已知其他相关事件发生的情况下，求解某个事件发生的概率。
条件概率表示为P(A|B)，读作事件B已经发生的条件下，事件A发生的概率。
条件概率的计算方法为：P(A|B) = P(A∩B)/P(B)其中，P(A∩B)表示事件A和B同时发生的概率，P(B)表示事件B发生的概率。
举个例子，假设事件A表示抽到一张黑桃，事件B表示抽到一张红桃。
我们想求解在抽到红桃的情况下，抽到黑桃的条件概率。
假设一副扑克牌中有26张红桃牌和13张黑桃牌。
那么P(B) =26/52 = 1/2。
在红桃已经抽出的情况下，剩下的牌中有13张黑桃牌，所以P(A∩B) = 13/52 = 1/4。
根据条件概率的计算公式，我们可以得到P(A|B) = (1/4) / (1/2) = 1/2。
这表示在已知抽到的牌是红桃的情况下，抽到黑桃的概率为1/2。
三、乘法法则与全概率公式乘法法则是计算多个事件同时发生的概率的方法。
概率和频率的计算方法
概率和频率的计算方法
概率和频率是统计学中重要的概念，它们可以用来描述不同的现象，并用来预测未知的事件。
概率是一个衡量某件事发生的可能性的概念，它是一个介于0和1之间的实数，0表示某件事不可能发生，而1表示某
件事肯定会发生。
概率描述了某件事发生的可能性，即它可以用来预测未知的事件，但不能绝对保证其准确性。
频率是指某种事件发生的次数，它描述了某件事发生的可能性，但与概率不同，它是描述实际发生次数的一种衡量方法。
概率和频率的计算方法有很多，其中最简单的一种是贝叶斯定理。
贝叶斯定理可以用来计算某件事情在特定情况下发生的概率，其计算公式为：P(A|B)=P(B|A)*P(A)/P(B)，其中P(A)表示某件事发生的先验概率，P(B|A)表示某件事发生的条件概率，P(B)表示另一件事发生的概率。
另外，频率的计算也可以通过计算实际发生次数来完成。
其计算公式为：频率=实际发生次数/总发生次数。
概率和频率的计算方法有很多，可以根据不同的场景和情况选择合适的方法来计算。
此外，概率和频率的计算还可以通过计算机软件来完成，例如用Excel来计算概率和频率，可以
更加方便快捷地完成计算。
总之，概率和频率是统计学中重要的概念，它们可以用来描述不同的现象，并用来预测未知的事件。
有多种不同的计算方法可以用来计算概率和频率，在不同的场景中选择合适的计算方法，可以有效地完成概率和频率的计算工作。
概率的定义
概率的定义表示一个事件发生的可能性大小的数，叫做该事件的概率。
它是随机事件出现的可能性的量度,同时也是概率论最基本的概念之一。
人们常说某人有百分之多少的把握能通过这次考试，某件事发生的可能性是多少，这都是概率的实例。
但如果一件事情发生的概率是1/n，不是指n次事件里必有一次发生该事件，而是指此事件发生的频率接近于1/n这个数值。
概率的频率定义随着人们遇到问题的复杂程度的增加，等可能性逐渐暴露出它的弱点，特别是对于同一事件，可以从不同的等可能性角度算出不同的概率，从而产生了种种悖论。
另一方面，随着经验的积累，人们逐渐认识到，在做大量重复试验时，随着试验次数的增加，一个事件出现的频率，总在一个固定数的附近摆动，显示一定的稳定性。
R.von 米泽斯把这个固定数定义为该事件的概率，这就是概率的频率定义。
从理论上讲，概率的频率定义是不够严谨的。
A.H.柯尔莫哥洛夫于1933年给出了概率的公理化定义。
百万分之一概率黑白配双胞胎概率的严格定义设E是随机试验，S是它的样本空间。
对于E的每一事件A赋于一个实数，记为P(A)，称为事件A的概率。
这里P(·)是一个集合函数，P(·)要满足下列条件：（1）非负性：对于每一个事件A，有P(A)≥0; （2）规范性：对于必然事件S，有P(S)=1; （3）可列可加性：设A1，A2……是两两互不相容的事件，即对于i≠j，Ai∩Aj=φ，（i,j=1,2……），则有P（A1∪A2∪……）=P（A1）+P（A2）+……概率的古典定义如果一个试验满足两条：（1）试验只有有限个基本结果；（2）试验的每个基本结果出现的可能性是一样的。
这样的试验，成为古典试验。
对于古典试验中的事件A，它的概率定义为：P(A)=m/n，n表示该试验中所有可能出现的基本结果的总概率数目。
m表示事件A包含的试验基本结果数。
这种定义概率的方法称为概率的古典定义。
概率的统计定义在一定条件下，重复做n次试验，nA为n次试验中事件A发生的次数，如果随着n逐渐增大，频率nA/n逐渐稳定在某一数值p附近，则数值p称为事件A在该条件下发生的概率，记做P(A)=p。
算概率的最简单的方法
算概率的最简单的方法
计算概率是统计学中的重要组成部分，它可以帮助人们分析复杂的数据，以便于作出更明智的决定。
计算概率的最简单的方法就是利用数学公式。
将给定条件下事件发生次数与这类事件总数相比例，可以得到这一事
件发生的可能性。
计算概率的关键就是要搞清楚所涉及的所有事件以及它们之间的相互
关系。
在许多情况下，计算概率的最简单方法就是利用概率论中的公式。
例如，如果我们知道所有可能发生的事件出现的次数，我们就可以使用这
个公式来计算概率：p（A）=次数（A）/总次数。
这个公式表明，事件A
发生的概率就是其出现次数除以所有可能事件的总次数，根据公式，概率
必定介于0到1之间。
另外，概率的计算也可以使用统计学中的另一个基本公式，叫做期望，它可以用来估计实际发生事件的可能性。
期望可以定义为：期望=事件发
生可能性*事件发生的结果。
简而言之，期望是在概率几何中使用，给出
的是计算的“期望”值，即期望发生的结果。
一旦了解了概率计算的基础概念，就可以借助计算机来简化计算概率
的过程。
目前，我们可以使用特定的软件包来计算各种概率，比如Matlab、R、SAS等统计学软件包。
条件概率发生率
条件概率发生率
条件概率是指在已知某一事件发生的情况下，另一事件发生的概率。
它是概率论中的一个重要概念，有着广泛的应用。
条件概率的计算公式为：P(A|B) = P(AB)/P(B)，其中P(A|B)表示在B发生的条件下，A发生的概率；P(AB)表示A和B同时发生的概率；P(B)表示B发生的概率。
条件概率的应用非常广泛。
例如，在医学诊断中，医生可以根据病人的症状和临床表现来判断其是否患有某种疾病；在金融风险管理中，可以根据历史数据和市场情况来预测某些事件的发生概率；在自然语言处理中，可以根据语境和上下文来识别词语的含义。
但是，条件概率的计算需要满足一定的前提条件，例如独立性假设。
如果两个事件不是独立的，则条件概率的计算结果可能会产生误差。
因此，在使用条件概率进行推断和预测时，需要仔细考虑其适用范围和限制条件。
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发生的概率
参考教材
概率论与数理统计（陈希孺）
概率论与数理统计（茆诗松）
参考视频
中科大精品课程概率论与数理统计（廖柏其）
1.随机事件及其运算
1.1随机现象
随机现象：在一定条件下，并不是总出现相同结果的现象。
如抛一枚
硬币
随机试验：可以重复的随机现象。
比如抛n次硬币。
基本结果W:随机现象的最简单的结果，它将是统计中抽样的基本单元，又称样本点。
样本空间：随机现象所有基本结果的全体。
1.2基本空间（样本空间）
随机现象的所有基本结果叫做这个随机现象的基本空间，又称样本空间。
例如扔一枚骰子这一随机现象的样本空间是
其中w1,w2....又称基本结果，又称样本点。
样本空间可以是有限的，或者是无限的。
也可以是离散的或者是连续的。
1.3随机事件
随机现象的某些基本结果组成的集合称为随机事件，简称事件。
如“扔一枚骰子，结果为偶数”是一个随机事件，踏实由样本点的集合{2,4,6}组成。
随机事件的几个特征
任意一个事件A都是相应基本空间的一个子集。
事件A发生当且仅当A中某一基本结果发生
事件A可以用集合表示也可以用语言描述，但是要确保无歧义。
1.4必然事件与不可能事件
必然事件：一个随机现象的基本空间的最大子集（基本空间本身）称为必然事件。
如扔一枚骰子，其结果不超过6。
不可能事件：一个随机现象的基本空间的最小子集（空集）称为不可能事件。
如扔一枚骰子，其结果为7。
1.5事件间的关系
包含：同一试验中的两个事件A与B,若事件A中的基本结果必包含在B中，则称A被B包含，或是B包含A.
如扔一枚骰子，事件A为结果为4，事件B为结果为偶数。
记为：
维恩图：
快照2.png
相等：同一试验中的两个事件A与B,若事件A中的基本结果与时间B 的基本结果相同。
如扔两枚骰子，结果记为（x,y），事件A为x+y为奇数，事件B为x,y奇偶性不同。
互不相容（互斥）：同一试验中的两个事件A与B,若事件A与事件B 没有相同的基本结果。
两个事件的互不相容可以多个事件的互不相容。
维恩图：
快照3.png
1.6事件的运算
对立事件
快照4.png
事件的并
快照5.png
事件的交
快照6.png
事件的差：A与B的差由在A中但是不在B中的基本结果组成。
快照8.png
事件的交于并的推广
快照9.png
2.事件的概率
2.1事件的概率
随机事件的发生具有偶然性的，但是随机事件发生的可能性还是有大小之别，如扔一枚硬币正面向上的可能与扔一枚骰子结果为6的可能性大小不相同。
我们使用比率来衡量这种可能性。
概率的公理化定义：在随机现象中，用来表示任一随机事件A发生的可能性大小的实数（既比率）称为该事件的概率，记为P(A)，并规定：非负性公理：对任意事件A,P(A)>=0
正则性公理：必然事件的概率为1
可加性公理：若A与B是互不相容事件，则有
除了概率的公理化定义，还曾经存在概率的古典定义、概率的统计定义、概率的主观定义等。
2.2排列与组合概要
乘法原理：如果某个事件需要K个步骤完成，第i个步骤有Mi个方法（0<i<=K）,那么完成这件事共有M1*M2...Mk个方法
加法原理：如果某个事件需要K类方法可以完成，第i个步骤有Mi 个方法（0<i<=K）,那么完成这件事共有M1+M2+...+Mk个方法排列：从n个不同的元素中任意选取r（r<=n）个元素排成一排，按乘法原理，此排列共有以下种情况。
若n=r则称为全排列
重复排列：从n个不同元素中每次取出一个，放回后再取下一个，如果连续取r次，所得的排列为重复排列，这种重复排列的个数是且r不存在范围限制。
组合：从n个不同元素中任取r个组成一组（不考虑顺序）称为一个组合，按乘法原理，这种组合总数为
这个式子还是二项式展开式的系数。
若令a=1,b=1,可以得到一个重要的组合公式：
重复组合：从n个不同元素每次抽取一个，放回然后再取下一个，如此连续取r次得到的组合成为重复组合。
此种组合的总数为
2.3古典方法
基本思想：
样本空间有限
基本结果等可能
概率P(A)=K/N
2.4频率方法
基本思想：
多次独立重复实验
2.5主观方法
基本思想：
个人经验等
3.概率的性质
对于n各互不相容事件Ai有
若事件A包含事件B,则
对任意事件A与B
对任意三个事件A、B、C有
4.独立性
4.1两个事件之间的独立性
对任意两个事件A与B,若P(AB)=P(A)P(B),则称A,B相互独立，否则
称A与B不独立。
若事件A与事件B独立，则事件A与B的对立事件也独立
4.2多个事件的独立性
三个事件独立：首先事件两两独立。
再加上：
则三个事件独立
多个事件独立：n个事件A1...An,假若对所有的1<=i<j<k<...<=n,
以下等式均成立：
称这n个事件彼此独立
将相互独立的时间的任意部分换成对立事件，所得的所有事件之间依
然彼此独立。
4.3试验的独立性
进行n次不同的试验，E1,E2...En，这n个试验之间的结果相互独立，则称试验相互独立。
若这n次试验相同，如扔n次同一枚硬币，则这n次试验叫做n重独
立重复试验
4.4n重贝努力试验
贝努力试验：只有两个可能的结果，可重复；
n重贝努力试验：由n次相同的、独立的贝努力试验组成的随机试验
称为n重贝努力试验。
例如重复扔五次硬币。
在n重贝努力试验中，成功的次数成为人们最关心的信息，记
那么
K可能的取值是0，1,2...n
5.条件概率
5.1条件概率
条件概率的定义：设A与B是基本空间中的两个事件，且P(B)>0,在
事件B已发生的条件下P(A/B)定义为P(AB)/P(B),即
如何理解条件概率：举个例子，两家工厂同时生产同一种零件，作为
试验随机抽取了25个零件作为样品，具体见一下二维表：事件A表示生
产厂商为1，事件B表示有缺陷
如何求当已知事件B发生的情况下，事件A再发生的概率是多少？
事件B发生的概率是7/25,事件B发生表示B的对立事件是不能能发
生了，因此有十八种基本结果应该从基本空间中剔除，考虑剩余的7种基
本结果，这意味着B的发生改变了基本空间，这时事件A发生占剩余基本
空间的5/7.其实5种基本结果也是A,B同时发生的所有情况。
可以得到。
5.2条件概率的性质
条件概率满足的三条公理：
(1)非负性：
(2)正则性：
(3)可加性：
乘法公式：对任意两个事件A与B,有
独立性定理：加入事件A与事件B独立，且P(B)>0,则
反之亦然。
一般乘法公式：对于任意三个事件A1,A2,A3有
其中P(A1A2)>0
5.3全概率公式
设A与B是任意两个事件，假如0<P(B)<则
设B1,B2,B3...是基本空间的一个分割，则对任一事件A有
5.4贝叶斯公式
从全概率公式可以推出一个著名的公式，贝叶斯公式：
贝叶斯公式：
设事件B1,B2,B3...Bn是基本空间的一个分割，且它们各自的概率P(B1),P(B2)...P(Bn)均是正，有设它们各自的概率是P(Bi).。