高三数列专题训练
专题16 数列(选填压轴题)(解析版)-【挑战压轴题】备战2023年高考数学高分必刷必过题
所以 x 0, 2023 ，则方程x x 1 由 2022 个根.①④正确，
2 故选：D.
4．（2022·河南信阳·高二期末（理））二进制数是用 0 和 1 表示的数，它的基数为 2，进位
规则是“逢二进一”，借位规则是“借一当二”，二制数
a0
a1a2
ak
2
(
k
N
*
）对应的十进制数
记为 mk ，即 mk a0 2k a1 2k1 ... ak1 2 ak 20 ，其中 a0 1 ， ai 0，1（i 1，2，3，，k），
317
4
c13 c23 c33 c173
56 4 c23 16 64 ，
1 所以
c18
4
，所以
7 2
1 c18
4 ，则
1 4
c18
2 7
.
故选：C.
6．（2022·江苏南京·高二期末）将等比数列bn按原顺序分成 1 项，2 项，4 项，…， 2n1 项 的各组，再将公差为 2 的等差数列an 的各项依次插入各组之间，得到新数列cn：b1 ，a1 ，
1 2
nt
0
1 2
n
，
若
n
为偶数，此时
1 2
n
0
，则此时不存在 t
N*
，使得
1 nt 2
1 n 2
，
综上：B 选项错误；
设 an 2n 1 ，此时满足 a1 2 1 3 0 ，
也满足 n, s N*, ans 2n s 1， an as 2n 1 2s 1 2n s 2 ，
② n, s N*, ans an as ；③ n N* ，t N*, ant an .定义：同时满足性质①和②的数
专题3 数列专题压轴小题(原卷版)
专题3 数列专题压轴小题一、单选题1．（2022·全国·模拟预测（理））数列{}n a 满足1a a =，2131n n n a a a +=--，则下列说法错误的是（ ） A ．若1a ≠且2a ≠，数列{}n a 单调递减B ．若存在无数个自然数n ，使得1n n a a +=，则1a =C ．当2a >或1a <时，{}n a 的最小值不存在D ．当3a =时，121111,12222n a a a ⎛⎤++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+∈ ⎥---⎝⎦2．（2022·浙江·杭州高级中学模拟预测）已知数列{}n a 中，11a =，若()*112,N n n n na a n n n a --=≥∈+，则下列结论中错误的是（ ） A ．41225a =B ．11112n n a a +-≤ C ．ln(1)1n a n ⋅+<D ．21112n n a a -≤ 3．（2022·浙江·高三开学考试）已知数列{}n a 满足递推关系1e 1e nn a an a +-=，且10a >，若存在等比数列{}n b 满足1+≤≤n n n b a b ，则{}n b 公比q 为（ ）A ．12B ．1eC ．13D ．1π4．（2022·浙江·模拟预测）已知数列{}n a 满足()()112,1ln n n a a a b b n *+=-=+-∈N ．若{}n a 有无穷多个项，则（ ） A ．0b ≥B ．1b ≥-C ．1b ≥D ．2b ≥-5．（2022·全国·高三专题练习）已知等差数列{}n a （公差不为零）和等差数列{}n b 的前n 项和分别为n S ，n T ，如果关于x 的实系数方程22021202120210x S x T -+=有实数解，那么以下2021个方程()201,2,3,,2021i i x a x b i -+==⋅⋅⋅中，无实数解的方程最多有（ ）A ．1008个B ．1009个C ．1010个D ．1011个6．（2022·全国·高三专题练习）己知数列{}n a 满足：12a =，)()1123n n a a n *+=∈N ．记数列{}n a 的前n 项和为n S ，则（ ） A ．101214S << B ．101416S << C ．101618S <<D ．101820S <<7．（2022·浙江·慈溪中学模拟预测）已知数列{}n a 满足：112a =-，且()1ln 1sin +=+-n n n a a a ，则下列关于数列{}n a 的叙述正确的是（ ） A ．1n n a a +>B ．1124-≤<-n aC ．212nn n a a a +>-+D ．2124n n a -≤-8．（2022·浙江省江山中学高三期中）已知数列{}n a 满足13a =，121n n na a a +=+-，记数列{}2n a -的前n项和为n S ，设集合12624535,,,5251712M ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，{nN M Sλλ=∈>对*n ∈N 恒成立}，则集合N 的元素个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．49．（2022·浙江省嘉善中学高三阶段练习）已知数列{}n a 满足11a =，()*14,2n n a a n N n -⎫=+∈≥，n S 为数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和，则（ ） A ．20227833S << B ．2022723S <<C ．2022523S << D ．2022513S <<10．（2022·全国·高三专题练习）已知数列{}{}{}n n n a b c 、、满足()*111112233411111112334n n n n n n n n n n n b a b c c a a c c n S n T n b b b b a a a n+++====-=⋅∈=+++≥=+++≥---N ，，，（），（），则下列有可能成立的是（ ）A ．若{}n a 为等比数列，则220222022a b > B ．若{}n c 为递增的等差数列，则20222022S T <C ．若{}n a 为等比数列，则220222022a b < D ．若{}n c 为递增的等差数列，则20222022S T >11．（2022·浙江·模拟预测）已知各项均为正数的数列{}n a 满足11a =，()1*111n n n n n a a n N a +++=-∈，则数列{}n a （ ）A ．无最小项，无最大项B ．无最小项，有最大项C ．有最小项，无最大项D ．有最小项，有最大项12．（2022·浙江浙江·二模）已知{}n a 为非常数数列且0n a ≠，1a μ=，()()*1sin 2,,n n n a a a n λμλ+=++∈∈R N ，下列命题正确的是（ ）A ．对任意的λ，μ，数列{}n a 为单调递增数列B ．对任意的正数ε，存在λ，μ，()*00n n ∈N ，当0n n >时，1n a ε-<C ．存在λ，μ，使得数列{}n a 的周期为2D ．存在λ，μ，使得2122n n n a a a +++->13．（2022·浙江温州·二模）对于数列{}n x ，若存在正数M ，使得对一切正整数n ，恒有n x M ≤，则称数列{}n x 有界；若这样的正数M 不存在，则称数列{}n x 无界，已知数列{}n a 满足：11a =，()()1ln 10n n a a λλ+=+>，记数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}2na 的前n 项和为nT ，则下列结论正确的是（ ） A ．当1λ=时，数列{}n S 有界 B ．当1λ=时，数列{}n T 有界 C ．当2λ=时，数列{}n S 有界D ．当2λ=时，数列{}n T 有界14．（2022·北京市育英学校高三开学考试）[]x 为不超过x 的最大整数，设n a 为函数()[]f x x x ⎡⎤=⎣⎦，[)0,x n ∈的值域中所有元素的个数.若数列12n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和为n S ，则2022S =（ ）A ．10121013B ．12C ．20214040D ．1011101215．（2022·浙江浙江·高三阶段练习）已知数列{}n a 满足11a =，且12n n T a a a =，若*12,1n nn n a T T n N a ++∈=，则（ ） A ．5011,1211a ⎛⎫∈⎪⎝⎭B ．5011,1110a ⎛⎫∈⎪⎝⎭C ．1011,87a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭D ．1011,65a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭16．（2022·浙江·高三专题练习）已知数列{}n a 满足()*111,1ln 2n n a a a n N +==+∈，记n T 表示数列{}n a 的前n 项乘积.则（ ） A ．911,3026T ⎛⎫∈⎪⎝⎭ B ．911,2622T ⎛⎫∈⎪⎝⎭ C ．911,2218T ⎛⎫∈⎪⎝⎭ D ．911,1814T ⎛⎫∈⎪⎝⎭ 17．（2022·浙江·湖州中学高三阶段练习）已知各项均为正数的数列{}n a 满足11a =，()11e cos n a n n a a n +*+=-∈Ν，其前n 项和为n S ，则下列关于数列{}n a 的叙述错误的是( ) A ．()1n n a a n *+>∈Ν B ．()211n n n a a a n *++<+∈ΝC．)n a n *∈ΝD．)n S n *<∈Ν18．（2022·浙江·镇海中学高三期末）已知无穷项实数列{}n a 满足： 1a t =， 且 14111n n n a a a +=--， 则（ ）A ．存在1t >， 使得20111a a =B ．存在0t <， 使得20211a a =C ．若2211a a =， 则21a a =D ．至少有2021个不同的t ， 使得20211a a =19．（2022·浙江杭州·高三期末）若数列{}n a 满足1n n a a +<，则下列说法错误的是（ ） A ．存在数列{}n a 使得对任意正整数p ，q 都满足p pq q a a a =+ B ．存在数列{}n a 使得对任意正整数p ，q 都满足pq q p a pa qa =+ C ．存在数列{}n a 使得对任意正整数p ，q 都满足p q q p a pa qa +=+ D ．存在数列{}n a 使得对任意正整数p ，q 部满足p q p q a a a +=20．（2022·全国·高三专题练习）已知{}n a 是各项均为正整数的数列，且13a =，78a =，对*k N ∀∈，11k k a a +=+与1212k k a a ++=有且仅有一个成立，则127a a a ++⋅⋅⋅+的最小值为（ ） A ．18 B ．20C ．21D ．2221．（2022·浙江·海亮高级中学模拟预测）已知数列{},n a n N *∈，212,n n n a a a m m R +=-+∈，下列说法正确的是（ ）A ．对任意的(0,1)m ∈，存在1[1,2]a ∈，使数列{}n a 是递增数列；B ．对任意的95(,)42m ∈，存在1[1,2]a ∈，使数列{}n a 不单调；C ．对任意的(0,1)m ∈，存在1[1,2]a ∈，使数列{}n a 具有周期性；D ．对任意的(0,1)m ∈，当1[1,2]a ∈时，存在3n a >.22．（2022·全国·高三专题练习）已知{}n a 是等差数列，()sin n n b a =，存在正整数()8t t ≤，使得n t n b b +=，*n N ∈.若集合{}*,n S x x b n N==∈中只含有4个元素，则t 的可能取值有（ ）个A ．2B ．3C ．4D ．523．（2022·上海民办南模中学高三阶段练习）已知数列{}n a 满足：当0n a ≠时，2112+-=n n na a a ；当0n a =时，10n a +=；对于任意实数1a ，则集合{}0,1,2,3,nn an ≤=的元素个数为（ ）A ．0个B ．有限个C ．无数个D ．不能确定，与1a 的取值有关24．（2022·全国·高三专题练习）已知数列{}n a 满足1221nn n a a a +=+，满足()10,1a ∈，1220212020a aa ++⋅⋅⋅+=，则下列成立的是（ ） A ．120211ln ln 2020a a ⋅> B ．120211ln ln 2020a a ⋅=C ．120211ln ln 2020a a ⋅<D ．以上均有可能25．（2022·全国·高三专题练习）已知各项都为正数的数列{}n a 满足1(2)a a a =>，1*11()n a n n ne a ka n N a +-++=-+∈，给出下列三个结论：①若1k =，则数列{}n a 仅有有限项；①若2k =，则数列{}n a 单调递增；①若2k =，则对任意的0M >，陼存在*0n N ∈，使得020n n M a >成立．则上述结论中正确的为（ ） A ．①① B ．①① C ．①① D ．①①①二、多选题26．（2022·全国·清华附中朝阳学校模拟预测）数列{}n a 满足1a a =，2131n n n a a a +=--，则下列说法正确的是（ ）A ．若1a ≠且2a ≠，数列{}n a 单调递减B ．若存在无数个自然数n ，使得1n n a a +=，则1a =C ．当2a >或1a <时，{}n a 的最小值不存在D ．当3a =时，121111,12222n a a a ⎛⎤++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+∈ ⎥---⎝⎦27．（2022·福建省福州第一中学高三开学考试）已知数列{}n a 满足101a <<，()()11ln 2N*n n n a a a n ++=-∈，n S 为数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和，则下列结论正确的是（ ） A ．()12n n n S +>B ．202212022a >C ．01n a <<D ．若113a =，则1132n n a -≥⋅28．（2022·江苏·高三开学考试） 已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，21n n S S n +=-+，则（ ）A ． 121(2)n n a a n n ++=-≥B ． 22n n a a +-=C ． 当10a =时，501225S =D ． 当数列{}n a 单调递增时，1a 的取值范围是11,44⎛⎫- ⎪⎝⎭29．（2022·湖北武汉·高三开学考试）已知数列{}n a 满足：11a =，(()11322n n a a n -=≥，下列说法正确的是（ ）A ．N n *∀∈，12,,n n n a a a ++成等差数列B ．()1132n n n a a a n +-=-≥C ．()11*23N n n n a n --≤≤∈D ．*N n ∀∈，12,,n n n a a a ++一定不成等比数列30．（2022·浙江绍兴·模拟预测）已知正项数列{}n a ，对任意的正整数m 、n 都有222m n m n a a a +≤+，则下列结论可能成立的是（ ） A ．n mmn a a a m n+= B ．m n m n na ma a ++= C ．2m n mn a a a ++=D ．2m n m n a a a +⋅=31．（2022·全国·模拟预测）已知数列{}n a 满足328a =，()()1122nn n a n a n --⎡⎤=+≥⎢⎥⎣⎦，*n ∈N ，数列{}n b 的前n 项和为n S ，且()()222212221log log n n n n n b a a a a +-+=⋅-⋅，则下列说法正确的是（ ） A ．4221a a = B ．1216a a ⋅=C ．数列212n n a a -⎧⎫⎨⎬⎩⎭为单调递增的等差数列D ．满足不等式50n S ->的正整数n 的最小值为6332．（2022·福建南平·三模）如图，在平面直角坐标系中的一系列格点(),i i i A x y ，其中1,2,3,,,i n =⋅⋅⋅⋅⋅⋅且,i i x y ∈Z .记n n n a x y =+，如()11,0A 记为11a =，()21,1A -记为20a=，()30,1A -记为31,a =-⋅⋅⋅，以此类推；设数列{}n a 的前n 项和为n S .则（ ）A ．202242a =B ．202287S =-C ．82n a n =D ．()245312n n n n S ++=33．（2022·全国·长郡中学模拟预测）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1n n S a +=对于*n N ∀∈恒成立，若定义(1)n n S S =，()()(1)12nk k ni i S S k -==≥∑，则以下说法正确的是（ ）A ．{}n a 是等差数列B ．()232122nn n n S -+=-C ．()()()121A 1!k k k n k nn S S k +++--=+D ．存在n 使得()202120222022!nn S =34．（2022·全国·高三专题练习）我们常用的数是十进制数，如32101079110010710910⨯⨯+⨯⨯=++，表示十进制的数要用10个数码．0，1，2，3，4，5，6，7，8，9；而电子计算机用的数是二进制数，只需两个数码0和1，如四位二进制的数()3212110112120212⨯⨯⨯++⨯=+，等于十进制的数13．把m 位n 进制中的最大数记为(),M m n ，其中m ，*,2n n ∈≥N ，(),M m n 为十进制的数，则下列结论中正确的是（ ）A ．()5,231M =B ．()()4,22,4M M =C ．()()2,11,2M n n M n n ++<++D ．()()2,11,2M n n M n n ++>++35．（2022·全国·高三专题练习）已知数列{}n a 满足11a =，()12ln 11n n n a a a +=++，则下列说法正确的有（ ） A ．31225a a a <+B ．2211n nn a a a +-≤+ C ．若2n ≥，则131141ni i a =≤<+∑ D ．()()1ln 121ln 2nni i a =+≤-∑36．（2022·海南·嘉积中学高三阶段练习）“0，1数列”在通信技术中有着重要应用，它是指各项的值都等于0或1的数列．设A 是一个有限“0，1数列”，()f A 表示把A 中每个0都变为1，0，每个1都变为0，1，所得到的新的“0，1数列”，例如()0,1,1,0A，则()()1,0,0,1,0,1,1,0f A =．设1A 是一个有限“0，1数列”，定义()1k k A f A +=，1k =、2、3、⋅⋅⋅．则下列说法正确的是（ ）A ．若()31,0,0,1,1,0,0,1A =，则()10,0A =B ．对任意有限“0，1数列”1A ，则()2,n A n n ≥∈N 中0和1的个数总相等C ．1n A +中的0，0数对的个数总与n A 中的0，1数对的个数相等D ．若()10,0A =，则2021A中0，0数对的个数为10101413-（） 37．（2022·全国·高三专题练习（理））设数列{}n a 满足10a =，3128,N n na ca c n *+=+-∈其中c 为实数，数列{}2n a 的前n 项和是n S ，下列说法不正确的是（ ） A ．当1c >时，{}n a 一定是递减数列 B ．当0c <时，不存在c 使{}n a 是周期数列 C ．当10,4c ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，[]0,2n a ∈D ．当17c =时，52n S n >- 三、填空题38．（2022·全国·高三专题练习）对于数列{}n a ，若1,n n a a +是关于x 的方程2103n n x c x -+=的两个根，且12a =，则数列{}n c 所有项的和为________．39．（2022·全国·高三专题练习（文））已知函数()2()log 41xf x x =+-，数列{}n a 是公差为2的等差数列，若()()()()112233440a f a a f a a f a a f a +++=，则数列{}n a 的前n 项和n S =__________．40．（2022·全国·高三专题练习）数列{}n a 满足：2110n n n a a a a c +==-++，.若数列{}n a 单调递减，则c的取值范围是________；若数列{}n a 单调递增，则c 的取值范围是__________.41．（2022·全国·高三专题练习（理））黎曼猜想由数学家波恩哈德·黎曼于1859年提出，是至今仍未解决的世界难题．黎曼猜想研究的是无穷级数1111()123s s s sn n n ξ∞-===+++⋅⋅⋅∑，我们经常从无穷级数的部分和1111123s s s s n +++⋅⋅⋅+入手．已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足112n n n S a a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则122021111S S S ⎡⎤++⋅⋅⋅=⎢⎥⎣⎦______．（其中[]x 表示不超过x 的最大整数） 42．（2022·上海·华东师范大学附属东昌中学高三阶段练习）已知函数2()(2),2x f x f x x ≤<=-≥⎪⎩，若对于正数(*)n k n N ∈，直线n y k x =与函数()f x 的图像恰好有21n 个不同的交点，则22212n k k k ++⋯+=___________.43．（2022·全国·高三专题练习）设①A n B n C n 的三边长分别为a n ，b n ，c n ，n =1，2，3…，若11b c >，1112b c a +=，11,2n n n n n a c a a b +++==，12n n n a bc ++=，则n A ∠的最大值是________________.44．（2022·上海·高三专题练习）若数列{}n a 满足()**120,n n n n k a a a a n N k N +++++++=∈∈，则称数列{}n a 为“k 阶相消数列”.已知“2阶相消数列”{}n b 的通项公式为2cos n b n ω=，记12n n T b b b =，12021n ≤≤，*n N ∈，则当n =___________时，n T 取得最小值45．（2022·上海·高三专题练习）若数列{}n a 满足()*4411414242434141032n n n n n n n n a a a a a a a n N a a +-----=-=-===∈，，，且对任意*n N ∈都有n a m ＜，则m 的最小值为________.46．（2022·全国·高三开学考试（理））用()g n 表示自然数n 的所有因数中最大的那个奇数，例如：9的因数有1，3，9，(9)9g =，10的因数有1，2，5，10，(10)5g =，那么2015(1)(2)(3)(21)g g g g ++++-=__________．47．（2022·江苏苏州·模拟预测）设函数()21f x x =，()()222f x x x =-，()31sin 23f x x π=，取2019i it =，0,1,2,,2019i =，()()()()()()102120192018k k k k k k k S f t f t f t f t f t f t +-++=－－，1,2,3k =，则1S ，2S ，3S 的大小关系为________.（用“<”连接）四、双空题48．（2022·浙江·模拟预测）已知数列{}n a 对任意的n *∈N ，都有n a *∈N ，且131,,2n n n n n a a a a a ++⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数．①当18a =时，2022a =_________．①若存在m *∈N ，当n m >且n a 为奇数时，n a 恒为常数P ，则P ＝_________．49．（2022·全国·高三专题练习）2022年北京冬奥会开幕式中，当《雪花》这个节目开始后，一片巨大的“雪花”呈现在舞台中央，十分壮观.理论上，一片雪花的周长可以无限长，围成雪花的曲线称作“雪花曲线”，又称“科赫曲线”，是瑞典数学家科赫在1904年研究的一种分形曲线.如图是“雪花曲线”的一种形成过程：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边，重复进行这一过程若第1个图中的三角形的周长为1，则第n 个图形的周长为___________；若第1个图中的三角形的面积为1，则第n 个图形的面积为___________.50．（2022·全国·高三专题练习）对于正整数n ，设n x 是关于x 的方程：()222253log 1nn n nx x x ++++=的实根，记12nnax⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，其中[]x表示不超过x的最大整数，则1a=______；若πsin2n nnb a=⋅，nS为{}n b的前n项和，则2022S=______．。
高三高考数学专题07 以崭新的数列递推式为背景的专题训练
专题7 以崭新的数列递推式为背景的专题训练题型一 以复杂数列关系为载体的数列问题1．【2017届江西抚州市七校高三理上学期联考】若数列{}n a 满足()()()()1123252325lg 1n n n a n a n n n +⎛⎫+-+=+++⎪⎝⎭，且15a =，则数列23n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的第100项为（ ）A ．2B ．3C ．1lg99+D ．2lg99+ 【答案】B2.【2017届山西省怀仁县第一中学高三上学期期末】数列满足，，，，则（ ）A. B. C. D.【答案】B 【解析】 因为，所以数列成等差数列，公差为，因此，选B.3.【2017届浙江省宁波市高三上学期期末】已知数列的通项公式为，数列的通项公式为，设，在数列中，，则实数的取值范围为__________. 【答案】4.【2017届江苏如东高级中学等四校高三12月联考】已知数列{}n x 各项为正整数，满足1, 21,nn n nn x x x x x +⎧⎪=⎨⎪+⎩为偶数，为奇数，*n ∈N ．若343x x +=，则1x 所有可能取值的集合为__________． 【答案】{}1,2,3,4,8 【解析】试题分析： 由题意得34341,22,1x x x x ====或；当31x =时，22x =，从而114x =或；当32x =时，214x =或，因此当21x =时，12x =；当24x =时，183x =或，综上1x 所有可能取值的集合为{}1,2,3,4,85. 【2017届江西抚州市七校高三理上学期联考】在数列{}n a 及{}n b 中，11111,1n n n n n n a a b b a b a b ++=+=+==．设112n n n n c a b ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则数列{}n c 的前n 项和为_____________． 【答案】224n +-6.【2017届河北省衡水中学高三上学期六调】已知满足，类比课本中推导等比数列前项和公式的方法，可求得__________．【答案】 【解析】 由①；得②；①+②得：．所以．7.【2017届河北武邑中学高三理周考】已知数列{}n a中，11a=，且点()()*1n nP a a n N+∈，在直线10x y-+=上．⑴求数列{}n a的通项公式；⑵若函数()123123nnf nn a n a n a n a=++++++++…（n N∈，且2n≥），求函数()f n的最小值；⑶设1nnba=，nS表示数列{}n b的前n项和，试问：是否存在关于n的整式()g n，使得()()12311n nS S S S S g n-++++=-⋅…对于一切不小于2的自然数n恒成立？若存在，写出()g n 的解析式，并加以证明；若不存在，试说明理由．【答案】(1)na n=；（2）65)2(=f；(3)nng=)(，证明见解析.【解析】试题解析：⑴ 点）（1,+nnaaP在直线01=--yx上，即11=-+nnaa，且11=a，∴数列}{na是以1为首项，1为公差的等差数列，)2(1)1(1≥=⋅-+=∴n n n a n ，11=a 也满足，n a n =∴⑵ n n n n n f 22211)(+++++=， ∴22112213221)1(+++++-+++++=+n n n n n n n n n f ， 0)()1(≥-+∴n f n f ，)(n f ∴是单调递增的，故)(n f 的最小值是65)2(=f ． ⑶ n S n b n n 1312111++++=⇒= ，)2(11≥=-∴-n nS S n n ，即1)1(11+=----n n n S S n nS ，1,,1)2()1(112221+=-+=---∴---S S S S S n S n n n n ，,1-n 1211++++=-∴-n n S S S S nS)2()1(121≥⋅-=-=+++∴-n n S n nS S S S n n n ，n n g =∴)(．故存在关于n 的整式n n g =)(，使等式对于一切不小于2的自然数n 恒成立． 法二：先由3,2==n n 的情况，猜想出n n g =)(，再用数学归纳法证明．题型二 以函数为载体的数列递推式问题8.【2017届福建南平浦城县高三文上学期期中】对于函数()y f x =，部分x 与y 的对应关系如下表：数列{}n x 满足12x =，且对任意*n N ∈，点1(,)n n x x +都在函数()y f x =的图象上，则1232016x x x x ++++…的值为（ ）A ．9400B ．9408C ．9410D ．9414 【答案】B9.【2017届河北沧州市高三9月联考】已知函数()y f x =的定义域为()0+∞，，当1x >时，()0f x >，对任意的()0x y ∈+∞，，，()()()f x f y f x y +=⋅成立，若数列{}n a 满足()11a f =，且()()()*121N n n f a f a n +=+∈，则2017a 的值为（ ） A ．20141a - B ．20151a - C ．20161a - D ．20171a - 【答案】C 【解析】试题分析：∵()()()f x f y f x y +=⋅，∴()()()111f f f +=，∴()10f =，()110a f ==，设120x x <<，211x x >，∵()()()f x f y f x y +=⋅，∴()()22110x f x f x f x ⎛⎫-=> ⎪⎝⎭，∴()()21f x f x >，所以()y f x =为增函数．()()()()()11121210121n n n n n n a f a f a f a f a f f a +++⎛⎫=+-+=== ⎪+⎝⎭，，1121n n aa +=+，121n n a a +=+，()1121n n a a ++=+，112n n a -+=，121n n a -=-，∴2016201721a =-． 10.【2017届云南曲靖一中高三理上学期月考】已知α为锐角，且tan 1α=，函数2()tan 2sin(2)4f x x x παα=+⋅+，数列{}n a 的首项112a =，1()n n a f a +=，则1n a +与n a 的大小关系为 ． 【答案】1n n a a +>11.【湖南省2017届高三长郡中学、衡阳八中等十三校重点中学第一次联考】已知函数，数列中，，则数列的前100项之和__________． 【答案】10200 【解析】因为，所以同理可得：,的前100项之和.故答案为：.12.【2017届湖北宜昌葛洲坝月考】设数列{}n a 是首项为0的递增数列，()()[]*11sin,,,n n n n f x x a x a a n N n+=-∈∈，满足：对于任意的[)()0,1,n b f x b ∈=总有两个不同的根，则{}n a 的通项公式为_________ 【答案】()12n n n a π-= 【解析】试题分析：∵10a =，当n=1时，f 1（x ）=|sin （x-a 1）|=|sinx|，x∈， 又∵对任意的b∈，a 2=π 又f 2（x ）=|sin 12（x-a 2）|=|sin 12（x-π）|=|cos 2x|，x∈ ∵对任意的b∈∵对任意的b∈[0，1），f 1（x ）=b 总有两个不同的根，∴a 4=6π…（6分）由此可得1n n a a n π+-=，∴()()()()12111012n n n n n a a a a a a n πππ--=+-++-=+++-=∴()12n n n a π-=13.【2017届四川凉山州高三理上学期一诊考试】已知数列{}n a 满足11a =，12nn n a a +=，*n N ∈．（1）若函数()sin(2)f x A x ϕ=+（0A >，0ϕπ<<）在6x π=处取得最大值41a +，求函数()f x 在区间,122ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域； （2）求数列{}n a 的通项公式．【答案】（1）5,52⎡⎤-⎢⎥⎣⎦；（2）1222,2,n n n n a n -⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数，为偶数..【解析】试题解析：（1）∵12n n n a a +=，则1122n n n a a +++=，∴22n na a +=， 又11a =，故1122a a =，即22a =， ∴32a =，44a =，∴415A a =+=，故()5sin(2)f x x ϕ=+，又6x π=时，()5f x =，∴sin()13πϕ+=，且0ϕπ<<，解得6πϕ=，∴()5sin(2)6f x x π=+，而,122x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，故720,66x ππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，从而1sin(2),162x π⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦， 综上知5(),52f x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦．（2）由（1）得：11a =，22a =，12n na a +=， ∴当n 为奇数时，1122122n n n a a --=⨯=；当n 为偶数时，222222n n n a a -=⨯=．∴数列{}n a 的通项公式为1222,2,n n n n a n -⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数，为偶数.题型三 以平面向量为载体的数列递推式问题14.【2017届湖南郴州市高三理第二次质监】在ABC ∆中，11,A B 分别是边,BA CB 的中点，22,A B 分别是线段11,A A B B 的中点，,,n n A B 分别是线段*11,(1)n n A A B B n N n --∈>，的中点， 设数列{},{}n n a b 满足：向量*()n n n n B A a CA b CB n N =+∈ ，有下列四个命题，其中假命题是：（ ）A ．数列{}n a 是单调递增数列，数列{}n b 是单调递减数列B ．数列{+}n n a b 是等比数列 C.数列{}nna b 有最小值，无最大值D ．若ABC ∆中，90C =，CA CB =，||n n B A ，则最小时，12n n a b +=【答案】C 【解析】试题分析：由111(1)(1)(),222n n n n n BA BA CA CB B B CB =-=--=，111(1)(1)22n n n n n n B A B B BA CA CB -=+=-+- ，所以1111,122n n n n a b -=-=-，所以C 为假命题，故选C.15.【2017届湖南衡阳市八中月考】我们把一系列向量(1,2,3,,)i a i n = 按次序排成一列，称之为向量列，记作{}n a ，已知向量列{}n a满足：()1,11=a ，11111(,)(,)2n n n n n n n a x y x y x y ----==-+ ()2n ≥．（1）证明：数列{}n a是等比数列；（2）设n θ表示向量n a 与1n a - 间的夹角，若2n n n b θπ=，对于任意正整数n，不等式(2)a a ++>+ 恒成立，求实数a 的范围 （3）设2l o g n n n c a a =⋅，问数列{}n c 中是否存在最小项？若存在，求出最小项；若不存在，请说明理由【答案】（1）见解析；（2）(11--；（3）存在最小项，最小项是325322c -=-⋅试题解析：（1）∵ ()()11111,,2n n n n n n n a x y x y x y ----==-+ ()2n ≥，∴1n n a -=== ，∴数列{}n a是等比数列；（2）∵ 11cos n n n n na a a a θ--⋅==⋅ ，∴4n πθ= ，24n n b = ，(2)a a +>+ 对任意正整数n 恒成立． 设222122n T n n n=++++ ． 又 ()122222021*******n n T T n n n n n +-=+-=->+++++， ∴ 数列{}n T 单调递增，()1min 1n T T ==，要使不等式恒成立，只要1(2)a a >+， 212a a ->，得11a -<-∴ 使不等式对于任意正整数恒成立的a的取值范围是．(11---（3）∵12222n nn a --==⎭，∴ 22222nn n c --=⋅， 假设{}n c 中的第 n 项最小，由1c =，20c =，∴210c c ≤<， 当3n ≥时，有0n c <，由1n n c c +≤可得()()212222122222n nn n -+--+-⋅≤⋅，即12221n n --≥-，∴22112n n -⎛⎫≥ ⎪-⎝⎭，2670n n -+≥，3n ≥+3n ≤， ∴ 5n ≥，即有567c c c <<< ，由1n n c c +≥，得35n ≤≤， 又210c c ≤<，∴ 541c c c <<< ；故数列{}n c 中存在最小项，最小项是325322c -=-⋅题型四 以数学文化和新定义为载体的数列递推式问题16.【2017届陕西省西安市铁一中学高三上学期第五次模拟考试】如图，将正整数排成三角形数阵，每排的数称为一个群，从上到下依次为第1群，第2群，…第群…，且第群恰好有个数，则第群中个数的和是__________．【答案】17.【2017届云南曲靖一中高三理上学期月考四】把数列121n ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭的所有数按照从大到小的原则写出如图所示的数表，第k 行有12k -个数，第t 行的第s 个数（从左数起）记为(,)A t s ，则数列121n ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭中的项1287应记为 ．【答案】(8,17)A 【解析】试题分析：令14428712=⇒=-n n ⇒1287是数列121n ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭的第144项，由125121277=--=S ⇒(8,17)A ．18.【2017届安徽蚌埠怀远县高三上学期摸底考】对于任意实数[],x x 表示不超过x 的最大整数，如[]0,21-=-，[]1.721=，已知()*,3n n n a n N S ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦为数列{}n a 的前项和，则2017S =___________．【答案】67771219.【2017届湖北省荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟高三2月联考】“斐波那契”数列由十三世纪意大利数学家斐波那契发现．数列中的一系列数字常被人们称之为神奇数．具体数列为：，即从该数列的第三项数字开始，每个数字等于前两个相邻数字之和．已知数列为“斐波那契”数列，为数列的前项和，则（Ⅰ）__________； （Ⅱ）若，则__________．（用表示）【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）; （Ⅱ）因为所以 叠加得因为所以20.【2017届吉林省吉林市普通中学高三毕业班第二次调研测试】艾萨克·牛顿（1643年1月4日----1727年3月31日）英国皇家学会会长，英国著名物理学家，同时在数学上也有许多杰出贡献，牛顿用“作切线”的方法求函数零点时给出一个数列：满足，我们把该数列称为牛顿数列。
高三复习专题3——数列练习
专题3——数列数列通项公式的求法一、定义法 —— 直接利用等差或等比数列的定义求通项。
特征：适应于已知数列类型的题目．例1．等差数列{}n a 是递增数列，前n 项和为n S ，且931,,a a a 成等比数列，255a S =．求数列{}n a 的通项公式.二、公式法求数列{}n a 的通项n a 可用公式⎩⎨⎧≥⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=-2111n S S n S a n n n 求解。
特征：已知数列的前n 项和n S 与n a的关系例2．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足1,)1(2≥-+=n a S n n n ．求数列{}n a 的通项公式。
三、由递推式求数列通项法 类型1 特征：递推公式为)(1n f a a n n +=+对策：把原递推公式转化为)(1n f a a n n =-+，利用累加法(逐差相加法)求解。
例3. 已知数列{}n a 满足211=a ，nn a a n n ++=+211，求n a 。
类型2 特征：递推公式为 n n a n f a )(1=+ 对策：把原递推公式转化为)(1n f a a nn =+，利用累乘法(逐商相乘法)求解。
例4. 已知数列{}n a 满足321=a ，n n a n n a 11+=+，求n a 。
类型3 特征：递推公式为q pa a n n +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1((≠-p pq ） 对策：把原递推公式转化为：)(1t a p t a n n -=-+，其中pqt -=1，再利用换元法转化为等比数列求解。
例5. 已知数列{}n a 中，11=a ，321+=+n n a a ，求n a .类型4 特征：递推公式为n n n qa pa a +=++12（其中p ，q 均为常数）。
对策：先把原递推公式转化为)(112n n n n sa a t sa a -=-+++ 其中s ，t 满足⎩⎨⎧-==+qst pt s ，再应用前面类型3的方法求解。
高三数学数列多选题专项训练单元检测试题
一、数列多选题1．黄金螺旋线又名等角螺线，是自然界最美的鬼斧神工．在一个黄金矩形（宽长比约等于0.618）里先以宽为边长做正方形，然后在剩下小的矩形里以其宽为边长做正方形，如此循环下去，再在每个正方形里画出一段四分之一圆弧，最后顺次连接，就可得到一条“黄金螺旋线”．达·芬奇的《蒙娜丽莎》，希腊雅典卫城的帕特农神庙等都符合这个曲线．现将每一段黄金螺旋线与其所在的正方形所围成的扇形半径设为a n (n ∈N *)，数列{a n }满足a 1＝a 2＝1，a n ＝a n －1＋a n －2 (n ≥3)．再将扇形面积设为b n (n ∈N *)，则（ ）A ．4(b 2020－b 2019)＝πa 2018·a 2021B ．a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2019＝a 2021－1C ．a 12＋a 22＋a 32…＋(a 2020)2＝2a 2019·a 2021D ．a 2019·a 2021－(a 2020)2＋a 2018·a 2020－(a 2019)2＝0答案：ABD 【分析】对于A ，由题意得bn＝an2，然后化简4(b2020－b2019)可得结果；对于B ，利用累加法求解即可；对于C ，数列{an}满足a1＝a2＝1，an ＝an －1＋an －2 (n≥3解析：ABD 【分析】对于A ，由题意得b n ＝4πa n 2，然后化简4(b 2020－b 2019)可得结果；对于B ，利用累加法求解即可；对于C ，数列{a n }满足a 1＝a 2＝1，a n ＝a n －1＋a n －2 (n ≥3)，即a n －1＝a n －2－a n ，两边同乘a n －1 ，可得a n －12＝a n －1 a n －2－a n －1 a n ，然后累加求解；对于D ，由题意a n －1＝a n －a n －2，则a 2019·a 2021－(a 2020)2＋a 2018·a 2020－(a 2019)2，化简可得结果 【详解】 由题意得b n ＝4πa n 2，则4(b 2020－b 2019)＝4(4πa 20202－4πa 20192)＝π(a 2020＋a 2019)(a 2020－a 2019)＝πa 2018·a 2021，则选项A 正确； 又数列{a n }满足a 1＝a 2＝1，a n ＝a n －1＋a n －2 (n ≥3)，所以a n －2＝a n －a n －1(n ≥3)，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2019＝(a 3－a 2)＋(a 4－a 3)＋(a 5－a 4)＋…＋(a 2021－a 2020)＝a 2021－a 2＝a 2021－1，则选项B 正确；数列{a n }满足a 1＝a 2＝1，a n ＝a n －1＋a n －2 (n ≥3)，即a n －1＝a n －2－a n ，两边同乘a n －1 ，可得a n－12＝a n －1 a n －2－a n －1 a n ，则a 12＋a 22＋a 32…＋(a 2020)2＝a 12＋(a 2a 1－a 2a 3)＋(a 3a 2－a 3a 4)＋…＋(a 2020a 2019－a 2020a 2021)＝a 12－a 2020a 2021＝1－a 2020a 2021，则选项C 错误；由题意a n －1＝a n －a n －2，则a 2019·a 2021－(a 2020)2＋a 2018·a 2020－(a 2019)2＝a 2019·(a 2021－a 2019)＋a 2020·(a 2018－a 2020)＝a 2019·a 2020＋a 2020·(－a 2019)＝0，则选项D 正确； 故选：ABD. 【点睛】此题考查数列的递推式的应用，考查累加法的应用，考查计算能力，属于中档题 2．已知数列{}n a 的前4项为2，0，2，0，则该数列的通项公式可能为（ ）A ．0,2,n n a n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数B ．1(1)1n n a -=-+C ．2sin2n n a π= D ．cos(1)1n a n π=-+答案：BD 【分析】根据选项求出数列的前项，逐一判断即可. 【详解】解：因为数列的前4项为2，0，2，0， 选项A ：不符合题设； 选项B ： ，符合题设； 选项C ：， 不符合题设； 选项D ： ，符合题设解析：BD 【分析】根据选项求出数列的前4项，逐一判断即可. 【详解】解：因为数列{}n a 的前4项为2，0，2，0， 选项A ：不符合题设；选项B ：01(1)12,a =-+=12(1)10,a =-+=23(1)12,a =-+=34(1)10a =-+=，符合题设；选项C ：，12sin2,2a π==22sin 0,a π==332sin22a π==-不符合题设；选项D ：1cos012,a =+=2cos 10,a π=+=3cos212,a π=+=4cos310a π=+=，符合题设.故选：BD. 【点睛】本题考查数列的通项公式的问题，考查了基本运算求解能力，属于基础题. 3．已知数列{}n a 的前n 项和为()0n n S S ≠，且满足11140(2),4n n n a S S n a -+=≥=，则下列说法正确的是（ ） A ．数列{}n a 的前n 项和为1S 4n n= B ．数列{}n a 的通项公式为14(1)n a n n =+C ．数列{}n a 为递增数列D ．数列1{}nS 为递增数列 答案：AD 【分析】先根据和项与通项关系化简条件，再构造等差数列，利用等差数列定义与通项公式求，最后根据和项与通项关系得. 【详解】因此数列为以为首项，为公差的等差数列，也是递增数列，即D 正确；解析：AD 【分析】先根据和项与通项关系化简条件，再构造等差数列，利用等差数列定义与通项公式求S n ，最后根据和项与通项关系得n a . 【详解】11140(2),40n n n n n n n a S S n S S S S ---+=≥∴-+=11104n n n S S S -≠∴-= 因此数列1{}n S 为以114S =为首项，4为公差的等差数列，也是递增数列，即D 正确； 所以1144(1)44n n n n S S n=+-=∴=，即A 正确； 当2n ≥时111144(1)4(1)n n n a S S n n n n -=-=-=---所以1,141,24(1)n n a n n n ⎧=⎪⎪=⎨⎪-≥-⎪⎩，即B ，C 不正确；故选：AD 【点睛】本题考查由和项求通项、等差数列定义与通项公式以及数列单调性，考查基本分析论证与求解能力，属中档题.4．首项为正数，公差不为0的等差数列{}n a ，其前n 项和为n S ，则下列4个命题中正确的有（ ）A ．若100S =，则50a >，60a <；B ．若412S S =，则使0n S >的最大的n 为15；C ．若150S >，160S <，则{}n S 中7S 最大；D ．若89S S <，则78S S <.答案：ABD 【分析】利用等差数列的求和公式及等差数列的性质，逐一检验选项，即可得答案. 【详解】对于A ：因为正数，公差不为0，且，所以公差， 所以，即，根据等差数列的性质可得，又， 所以，，故A 正解析：ABD 【分析】利用等差数列的求和公式及等差数列的性质，逐一检验选项，即可得答案. 【详解】对于A ：因为正数，公差不为0，且100S =，所以公差0d <， 所以1101010()02a a S +==，即1100a a +=， 根据等差数列的性质可得561100a a a a +=+=，又0d <， 所以50a >，60a <，故A 正确； 对于B ：因为412S S =，则1240S S -=，所以561112894()0a a a a a a ++⋅⋅⋅++=+=，又10a >， 所以890,0a a ><， 所以115815815()15215022a a a S a +⨯===>，116891616()16()022a a a a S ++===，所以使0n S >的最大的n 为15，故B 正确； 对于C ：因为115815815()15215022a a a S a +⨯===>，则80a >， 116891616()16()022a a a a S ++===，则890a a +=，即90a <， 所以则{}n S 中8S 最大，故C 错误；对于D ：因为89S S <，则9980S a S =->，又10a >， 所以8870a S S =->，即87S S >，故D 正确， 故选：ABD 【点睛】解题的关键是先判断d 的正负，再根据等差数列的性质，对求和公式进行变形，求得项的正负，再分析和判断，考查等差数列性质的灵活应用，属中档题. 5．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.已知450,5S a ==，则（ ） A ．25n a n =-B ．310na nC ．228n S n n =-D ．24n S n n =-答案：AD 【分析】设等差数列的公差为，根据已知得，进而得，故，. 【详解】解：设等差数列的公差为，因为所以根据等差数列前项和公式和通项公式得：， 解方程组得：， 所以，. 故选：AD.解析：AD 【分析】设等差数列{}n a 的公差为d ，根据已知得1145460a d a d +=⎧⎨+=⎩，进而得13,2a d =-=，故25n a n =-，24n S n n =-.【详解】解：设等差数列{}n a 的公差为d ，因为450,5S a ==所以根据等差数列前n 项和公式和通项公式得：1145460a d a d +=⎧⎨+=⎩，解方程组得：13,2a d =-=，所以()31225n a n n =-+-⨯=-，24n S n n =-.故选：AD.6．等差数列{}n a 的前n 项和记为n S ，若10a >，717S S =，则（ ） A ．0d < B ．120a > C ．13n S S ≤D ．当且仅当0nS <时，26n ≥答案：AB 【分析】根据等差数列的性质及可分析出结果. 【详解】 因为等差数列中， 所以， 又， 所以，所以，，故AB 正确，C 错误； 因为，故D 错误， 故选：AB 【点睛】关键点睛：本题突破口在于由解析：AB 【分析】根据等差数列的性质及717S S =可分析出结果. 【详解】因为等差数列中717S S =， 所以89161712135()0a a a a a a ++++=+=，又10a >，所以12130,0a a ><，所以0d <，12n S S ≤，故AB 正确，C 错误； 因为125251325()2502a a S a +==<，故D 错误， 故选：AB 【点睛】关键点睛：本题突破口在于由717S S =得到12130a a +=，结合10a >，进而得到12130,0a a ><，考查学生逻辑推理能力.7．{} n a 是等差数列，公差为d ，前项和为n S ，若56S S <，678S S S =>，则下列结论正确的是（ ）A ．0d <B ．70a =C ．95S S >D ．170S <答案：ABD 【分析】结合等差数列的性质、前项和公式，及题中的条件，可选出答案. 【详解】由，可得，故B 正确； 由，可得， 由，可得，所以，故等差数列是递减数列，即，故A 正确； 又，所以，故C 不正确解析：ABD 【分析】结合等差数列的性质、前n 项和公式，及题中的条件，可选出答案. 【详解】由67S S =，可得7670S S a -==，故B 正确； 由56S S <，可得6560S S a -=>， 由78S S >，可得8780S S a -=<，所以876a a a <<，故等差数列{}n a 是递减数列，即0d <，故A 正确； 又()9567897820S S a a a a a a -=+++=+<，所以95S S <，故C 不正确； 又因为等差数列{}n a 是单调递减数列，且80a <，所以90a <， 所以()117179171702a a S a +==<，故D 正确.故选：ABD. 【点睛】关键点点睛：本题考查等差数列性质的应用，解题的关键是熟练掌握等差数列的增减性及前n 项和的性质，本题要从题中条件入手，结合公式()12n n n a S S n --≥=，及()12n n n a a S +=，对选项逐个分析，可判断选项是否正确.考查学生的运算求解能力与逻辑推理能力，属于中档题. 8．(多选题)等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若10a >，公差0d ≠，则下列命题正确的是（ ）A ．若59S S =，则必有14S =0B ．若59S S =，则必有7S 是n S 中最大的项C ．若67S S >，则必有78S S >D ．若67S S >，则必有56S S >答案：ABC 【分析】根据等差数列性质依次分析即可得答案. 【详解】解：对于A.，若，则，所以，所以，故A 选项正确；对于B 选项，若，则，由于，公差，故，故，所以是中最大的项；故B 选项正确； C. 若解析：ABC 【分析】根据等差数列性质依次分析即可得答案. 【详解】解：对于A.，若59S S =，则67890a a a a +++=，所以781140a a a a +=+=，所以()114141402a a S +==，故A 选项正确； 对于B 选项，若59S S =，则780+=a a ，由于10a >，公差0d ≠，故0d <，故780,0a a ><，所以7S 是n S 中最大的项；故B 选项正确；C. 若67S S >，则70a <，由于10a >，公差0d ≠，故0d <，故80a <，6a 的符号不定，故必有78S S >，56S S >无法确定；故C 正确，D 错误． 故选：ABC ． 【点睛】本题考查数列的前n 项和的最值问题与等差数列的性质，是中档题．9．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差为d .已知312a =，120S >，70a <则（ ） A ．60a >B ．数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是递增数列C ．0n S <时，n 的最小值为13D ．数列n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中最小项为第7项答案：ACD 【分析】由已知得，又，所以，可判断A ；由已知得出，且，得出时，，时，，又，可得出在上单调递增，在上单调递增，可判断B ；由，可判断C ；判断 ，的符号， 的单调性可判断D ； 【详解】由已知解析：ACD 【分析】 由已知得()()612112712+12+220a a a a S ==>，又70a <，所以6>0a ，可判断A ；由已知得出2437d -<<-，且()12+3n a n d =-，得出[]1,6n ∈时，>0n a ，7n ≥时，0n a <，又()1112+3n a n d =-，可得出1na 在1,6n n N上单调递增，1na 在7nnN，上单调递增，可判断B ；由()313117713+12203213a a a S a ⨯==<=，可判断C ；判断 n a ，n S 的符号， n a 的单调性可判断D ； 【详解】由已知得311+212,122d a a a d ===-，()()612112712+12+220a a a a S ==>，又70a <，所以6>0a ，故A 正确；由7161671+612+40+512+3>0+2+1124+7>0a a d d a a d d a a a d d ==<⎧⎪==⎨⎪==⎩，解得2437d -<<-，又()()3+312+3n a n d n d a =-=-，当[]1,6n ∈时，>0n a ，7n ≥时，0n a <，又()1112+3n a n d=-，所以[]1,6n ∈时，1>0na ，7n ≥时，10n a <，所以1na 在1,6nnN上单调递增，1na 在7nn N，上单调递增，所以数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭不是递增数列，故B 不正确；由于()313117713+12203213a a a S a ⨯==<=，而120S >，所以0n S <时，n 的最小值为13，故C 选项正确 ；当[]1,6n ∈时，>0n a ，7n ≥时，0n a <，当[]1,12n ∈时，>0n S ，13n ≥时，0n S <，所以当[]7,12n ∈时，0n a <，>0n S ，0nnS a <，[]712n ∈，时，n a 为递增数列，n S 为正数且为递减数列，所以数列n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中最小项为第7项，故D 正确； 【点睛】本题考查等差数列的公差，项的符号，数列的单调性，数列的最值项，属于较难题. 10．已知等差数列{}n a 的前n 项和为S n （n ∈N *），公差d ≠0，S 6=90，a 7是a 3与a 9的等比中项，则下列选项正确的是（ ） A ．a 1=22B ．d =－2C ．当n =10或n =11时，S n 取得最大值D ．当S n >0时，n 的最大值为21答案：BC 【分析】分别运用等差数列的通项公式和求和公式，解方程可得首项和公差，可判断A ，B ；由配方法，结合n 为正整数，可判断C ；由Sn>0解不等式可判断D ． 【详解】由公差，可得，即，① 由a7是a解析：BC 【分析】分别运用等差数列的通项公式和求和公式，解方程可得首项和公差，可判断A ，B ；由配方法，结合n 为正整数，可判断C ；由S n >0解不等式可判断D ． 【详解】由公差60,90d S ≠=，可得161590a d +=，即12530a d +=，①由a 7是a 3与a 9的等比中项，可得2739a a a =，即()()()2111628a d a d a d +=++，化简得110a d =-，②由①②解得120,2a d ==-，故A 错，B 对；由()()22121441201221224n S n n n n n n ⎛⎫=+-⨯-=-=--+⎪⎝⎭*n N ∈，可得10n =或11时，n S 取最大值110，C 对；由S n >0，解得021n <<，可得n 的最大值为20，D 错； 故选：BC 【点睛】本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题．。
高三数学专题训练《数列》解析版
一、选择题(每小题5分，共60分)1．已知等差数列{a n }满足a 2＋a 4＝4，a 3＋a 5＝10，则它的前10项的和S 10＝( )A ．138B ．135C ．95D ．23解析：由a 2＋a 4＝4，a 3＋a 5＝10可得d ＝3，a 1＝－4，所以S 10＝－4×10＋10×92×3＝95.答案：C2．若{a n }是公差为1的等差数列，则{a 2n －1＋2a 2n }是( )A ．公差为3的等差数列B ．公差为4的等差数列C ．公差为6的等差数列D ．公差为9的等差数列解析：设{a n }的公差为d ，则d ＝1，设c n ＝a 2n －1＋2a 2n ，则c n ＋1＝a 2n ＋1＋2a 2n ＋2，c n ＋1－c n ＝a 2n ＋1＋2a 2n ＋2－a 2n －1－2a 2n ＝6d ＝6，选择C.答案：C3．在等差数列{a n }中，已知a 1＝13，a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝20，那么a 3等于( )A ．4B ．5C ．6D ．7解析：a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝5a 3＝20，a 3＝4.答案：A4．等差数列{a n }的公差d ≠0，a 1≠d ，若这个数列的前40项和是20m ，则m 等于( )A ．a 1＋a 20B ．a 5＋a 17C ．a 27＋a 35D ．a 15＋a 26解析：S 40＝40(a 1＋a 40)2＝20(a 1＋a 40)＝20m ，m ＝a 1＋a 40＝a 15＋a 26.答案：D5．在等比数列{a n }中，若a 5＋a 6＝a (a ≠0)，a 15＋a 16＝b ，则a 25＋a 26的值是( )A.b aB.b 2a2C.b 2aD.ba2解析：记等比数列{a n }的公比为q ，依题意得a 15＋a 16＝a 5q 10＋a 6q 10＝(a 5＋a 6)q 10，q 10＝a 15＋a 16a 5＋a 6＝b a，a 25＋a 26＝a 5q 20＋a 6q 20＝(a 5＋a 6)q 20＝a ×(b a)2＝b 2a，选C. 答案：C6．在等比数列{a n }中，若a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝158，a 2a 3＝－98，则1a 1＋1a 2＋1a 3＋1a 4＝( )A.53B.35 C ．－53D ．－35解析：依题意，设公比为q ，则q ≠1，因此⎩⎪⎨⎪⎧a 1(1－q 4)1－q ＝158①a 21q 3＝－98 ②，又1a 1，1a 2，1a 3，1a 4构成以1a 1为首项，以1q 为公比的等比数列，所以1a 1＋1a 2＋1a 3＋1a 4＝1a 1[1－(1q)4]1－1q＝(1－q 4)a 1q 3(1－q )，①÷②得(1－q 4)a 1q 3(1－q )＝－53，即1a 1＋1a 2＋1a 3＋1a 4＝－53，选择C.答案：C7．(2010·江西九校联考)设{a n }是等比数列，S n 是{a n }的前n 项和，对任意正整数n ，有a n ＋2a n ＋1＋a n ＋2＝0，又a 1＝2，则S 101＝( )A ．200B ．2C ．－2D ．0解析：设等比数列{a n }的公比为q ，因为对任意正整数，有a n ＋2a n ＋1＋a n＋2＝0，a n ＋2a nq ＋a n q 2＝0，因为a n ≠0，所以1＋2q ＋q 2＝0，q ＝－1，S 101＝2×(1＋1)1＋1＝2，选择B.答案：B8．(2010·西安八校二联)已知等比数列{a n }的公比q <0，其前n 项和为S n ，则a 9S 8与a 8S 9的大小关系是( )A ．a 9S 8>a 8S 9B ．a 9S 8<a 8S 9C ．a 9S 8＝a 8S 9D ．a 9S 8与a 8S 9的大小关系与a 1的值有关 解析：依题意得，a 9S 8－a 8S 9＝a 1q 8·a 1(1－q 8)1－q－a 1q 7·a 1(1－q 9)1－q＝－a 21q 7>0，因此a 9S 8>a 8S 9，选A.答案：A9．已知等比数列{a n }的各项均为正数，数列{b n }满足b n ＝ln a n ，b 3＝18，b 6＝12，则数列{b n }前n 项和的最大值等于( )A ．126B ．130C ．132D ．134解析：∵{a n }是各项不为0的正项等比数列， ∴b n ＝ln a n 是等差数列．又∵b 3＝18，b 6＝12，∴b 1＝22，d ＝－2， ∴S n ＝22n ＋n (n －1)2×(－2)＝－n 2＋23n ，∴(S n )max ＝－112＋23×11＝132. 答案：C10．(2009·安徽蚌埠测验)数列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,5,5,5,5,6，…的第1000项等于( )A ．42B ．45C ．48D ．51解析：将数列分段，第1段1个数，第2段2个数，…，第n 段n 个数，设a 1000＝k ，则a 1000在第k 个数段，由于第k 个数段共有k 个数，则由题意k 应满足1＋2＋…＋(k －1)<1000≤1＋2＋…＋k ，解得k ＝45.答案：B11．(2010·湖北八校联考)在数列{a n }中，n ∈N *，若a n ＋2－a n ＋1a n ＋1－a n＝k (k 为常数)，则称{a n }为“等差比数列”．下列是对“等差比数列”的判断：①k 不可能为0②等差数列一定是等差比数列 ③等比数列一定是等差比数列 ④等差比数列中可以有无数项为0 其中正确的判断是( )A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④解析：依题意，∵a n ＋2－a n ＋1a n ＋1－a n＝k (n ∈N *)，∴k ≠0，①正确，排除B ，C 选项，又由于公差是0的等差数列不是等差比数列，②错误，排除A ，选择D.答案：D12．(2009·湖北高考)设x ∈R ，记不超过x 的最大整数为[x ]，令{x }＝x －[x ]，则{5＋12}，[5＋12]，5＋12( )A ．是等差数列但不是等比数列B ．是等比数列但不是等差数列C ．既是等差数列又是等比数列D ．既不是等差数列也不是等比数列 解析：由题意，记a 1＝{5＋12}＝5＋12－[5＋12]＝5＋12－1＝5－12，a 2＝[5＋12]＝1，a 3＝5＋12，若为等差数列，则2a 2＝a 1＋a 3，不满足；若为等比数列，则(a 2)2＝a 1a 3，有12＝5－12×5＋12，∴是等比数列但非等差数列，选B.答案：B二、填空题(每小题4分，共16分)13．已知{a n }是等差数列，a 4＋a 6＝6，其前5项和S 5＝10，则其公差d ＝__________.解析：由a 4＋a 6＝6，得a 5＝3，又S 5＝5(a 1＋a 5)2＝10，∴a 1＝1.∴4d ＝a 5－a 1＝2，d ＝12.答案：1214．(2009·重庆一诊)已知数列{a n }是等比数列，且a 4·a 5·a 6·a 7·a 8·a 9·a 10＝128，则a 15·a 2a 10＝__________.解析：设等比数列{a n }的公比为q ，则依题意得a 71·q 42＝128，a 1·q 6＝2，a 7＝2，a 15·a 2a 10＝a 2·q 5＝a 7＝2.答案：215．把100个面包分给5个人，使每人所得的面包数成等差数列，且使较多的三份之和的13等于较少的两份之和，则最少的一份面包个数是__________．解析：设构成等差数列的五个数为a －2d ，a －d ，a ，a ＋d ，a ＋2d ，则⎩⎨⎧5a ＝1003(a ＋d )＝3(2a －3d )解得⎩⎨⎧a ＝20d ＝5，则最少的一份为a －2d ＝10.答案：1016．数列{a n }中，a 1＝3，a n －a n a n ＋1＝1(n ＝1,2，…)，A n 表示数列{a n }的前n 项之积，则A 2005＝__________.解析：可求出a 1＝3，a 2＝23，a 3＝－12，a 4＝3，a 5＝23，a 6＝－12，…，数列{a n }每3项重复一次，可以理解为周期数列，由2005＝668×3＋1且a 1×a 2×a 3＝－1，则A 2005＝(a 1×a 2×a 3)…(a 2002×a 2003×a 2004)×a 2005＝(a 1×a 2×a 3)668a 1＝3. 答案：3三、解答题(本大题共6个小题，共计74分，写出必要的文字说明、计算步骤，只写最后结果不得分)17．(12分)S n 是无穷等比数列{a n }的前n 项和，公比q ≠1，已知1是12S 2和13S 3的等差中项，6是2S 2和3S 3的等比中项． (1)求S 2和S 3的值； (2)求此数列的通项公式； (3)求此数列的各项和S . 解：(1)由题意知⎩⎨⎧12S 2＋13S 3＝22S 2·3S 3＝36，解得S 2＝2，S 3＝3.(2)⎩⎨⎧a 1＋a 1q ＝2a 1＋a 1q ＋a 1q 2＝3，解得⎩⎨⎧a 1＝4q ＝－12或⎩⎨⎧a 1＝1q ＝1(舍去)．∴a n ＝4·(－12)n －1.(3)∵|q |＝|－12|＝12<1.∴S ＝41－(－12)＝83.18．(12分)已知函数f (x )＝x3x ＋1，数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝f (a n )(n ∈N *)．(1)求证：数列{1a n}是等差数列；(2)记S n (x )＝x a 1＋x 2a 2＋…＋eq \f(x n ,a n )，求S n (x )．(1)证明：∵a n ＋1＝f (a n )，∴a n ＋1＝a n3a n ＋1.∴1a n ＋1＝1a n ＋3，即1a n ＋1－1a n＝3.∴{1a n}是以1a 1＝1为首项，3为公差的等差数列．∴1a n＝1＋3(n －1)＝3n －2.(2)解：S n (x )＝x ＋4x 2＋7x 3＋…＋(3n －2)x n ，① 当x ＝1时，S n (x )＝1＋4＋7＋…＋(3n －2)＝n (1＋3n －2)2＝n (3n －1)2.当x ≠1时，xS n (x )＝x 2＋4x 3＋…＋(3n －5)x n ＋(3n －2)x n ＋1，②①－②，得(1－x )S n (x )＝x ＋3x 2＋3x 3＋…＋3x n －(3n －2)x n ＋1＝3(x ＋x 2＋…＋x n )－2x －(3n －2)x n ＋1＝3x (1－x n )1－x－2x －(3n －2)x n ＋1，S n (x )＝3x －3x n ＋1(1－x )2－2x ＋(3n －2)x n ＋11－x.19．(12分)(2010·东城一模)已知递增的等比数列{a n }满足a 2＋a 3＋a 4＝28，且a 3＋2是a 2、a 4的等差中项．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝log 2a n ＋1，S n 是数列{b n }的前n 项和，求使S n >42＋4n 成立的n 的最小值．解：(1)设等比数列{a n }的公比为q ，依题意有2(a 3＋2)＝a 2＋a 4，① 又a 2＋a 3＋a 4＝28，将①代入得a 3＝8.所以a 2＋a 4＝20.于是有⎩⎨⎧a 1q ＋a 1q3＝20，a 1q 2＝8，解得⎩⎨⎧a 1＝2，q ＝2，或⎩⎨⎧a 1＝32，q ＝12.又{a n }是递增的，故a 1＝2，q ＝2. 所以a n ＝2n .(2)b n ＝log 22n ＋1＝n ＋1，S n ＝n 2＋3n2.故由题意可得n 2＋3n2>42＋4n ，解得n >12或n <－7.又n ∈N *，所以满足条件的n 的最小值为13.20．(12分)商学院为推进后勤社会化改革，与桃园新区商定：由该区向建设银行贷款500万元在桃园新区为学院建一栋可容纳一千人的学生公寓，工程于2002年初动工，年底竣工并交付使用，公寓管理处采用收费还建行贷款(年利率5%，按复利计算)，公寓所收费用除去物业管理费和水电费18万元，其余部分全部在年底还建行贷款．(1)若公寓收费标准定为每生每年800元，问到哪一年可偿还建行全部贷款？(2)若公寓管理处要在2010年底把贷款全部还清，则每生每年的最低收费标准是多少元？(精确到元)(参考数据：lg1.7343＝0.2391，lg1.05＝0.0212,1.058＝1.4774)解：依题意，公寓2002年底建成，2003年开始使用．(1)设公寓投入使用后n 年可偿还全部贷款，则公寓每年收费总额为1000×800元＝800000元＝80万元，扣除18万元，可偿还贷款62万元．依题意有62[1＋(1＋5%)＋(1＋5%)2＋…＋(1＋5%)n －1]≥500(1＋5%)n ＋1. 化简得62(1.05n －1)≥25×1.05n ＋1， ∴1.05n ≥1.7343.两边取对数整理得n ≥lg1.7343lg1.05＝0.23910.0212＝11.28，∴取n ＝12(年)．∴到2014年底可全部还清贷款． (2)设每生每年的最低收费标准为x 元， ∵到2010年底公寓共使用了8年，依题意有(1000x10000－18)[1＋(1＋5%)＋(1＋5%)2＋…＋(1＋5%)7]≥500(1＋5%)9.化简得(0.1x －18)1.058－11.05－1≥500×1.059.∴x ≥10(18＋25×1.0591.058－1)＝10(18＋25×1.05×1.47741.4774－1)＝10×(18＋81.2)＝992(元)故每生每年的最低收费标准为992元．21．(12分)若公比为c 的等比数列{a n }的首项a 1＝1，且a n ＝a n －1＋a n －22(n＝3,4，…)．(1)求c 的值．(2)求数列{na n }的前n 项和S n .解：(1)由题设，当n ≥3时，a n ＝c 2a n －2， a n －1＝ca n －2，a n ＝a n －1＋a n －22＝1＋c 2a n －2， ∴c 2＝1＋c 2. 解得c ＝1或c ＝－12. (2)当c ＝1时{a n }是一个常数数列，a n ＝1.此时S n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2.当c ＝－12时，a n ＝(－12)n －1(n ∈N *)． 此时S n ＝1＋2(－12)＋3(－12)2＋…＋n (－12)n －1.① －12S n ＝－12＋2(－12)2＋3(－12)3＋…＋(n －1)(－12)n －1＋n (－12)n .② ①－②，得(1＋12)S n ＝1＋(－12)＋(－12)2＋…＋(－12)n －1－n (－12)n ＝1－(－12)n 1＋12－n (－12)n .∴S n ＝19[4－(－1)n 3n ＋22n －1]． 22．(14分)(2009·陕西高考)(理)已知数列{x n }满足x 1＝12，x n ＋1＝11＋x n，n ∈N *.(1)猜想数列{x 2n }的单调性，并证明你的结论；(2)证明：|x n ＋1－x n |≤16(25)n －1. (文)已知数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝2，a n ＋2＝a n ＋a n ＋12，n ∈N *.(1)令b n ＝a n ＋1－a n ，证明：{b n }是等比数列；(2)求{a n }的通项公式．解：(理)(1)由x 1＝12及x n ＋1＝11＋x n得x 2＝23，x 4＝58，x 6＝1321. 由x 2>x 4>x 6猜想，数列{x 2n }是递减数列．下面用数学归纳法证明：①当n ＝1时，已证命题成立．②假设当n ＝k 时命题成立，即x 2k >x 2k ＋2，易知x n >0，那么x 2k ＋2－x 2k ＋4＝11＋x 2k ＋1－11＋x 2k ＋3＝x 2k ＋3－x 2k ＋1(1＋x 2k ＋1)(1＋x 2k ＋3)＝x 2k －x 2k ＋2(1＋x 2k )(1＋x 2k ＋1)(1＋x 2k ＋2)(1＋x 2k ＋3)>0，即x 2(k ＋1)>x 2(k ＋1)＋2， 也就是说，当n ＝k ＋1时命题也成立．结合①和②知，命题成立．(2)当n ＝1时，|x n ＋1－x n |＝|x 2－x 1|＝16，结论成立； 当n ≥2时，易知0<x n －1<1，∴1＋x n －1<2，x n ＝11＋x n －1>12， ∴(1＋x n )(1＋x n －1)＝(1＋11＋x n －1)(1＋x n －1) ＝2＋x n －1≥52， ∴|x n ＋1－x n |＝|11＋x n －11＋x n －1|＝|x n －x n －1|(1＋x n )(1＋x n －1)≤25|x n －x n －1|≤(25)2|x n －1－x n －2|≤…≤(25)n －1|x 2－x 1|＝16(25)n －1. (文)(1)b 1＝a 2－a 1＝1，当n ≥2时，b n ＝a n ＋1－a n ＝a n －1＋a n 2－a n ＝－12(a n －a n －1)＝－12b n －1， ∴{b n }是以1为首项，－12为公比的等比数列． (2)由(1)知b n ＝a n ＋1－a n ＝(－12)n －1， 当n ≥2时，a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝1＋1＋(－12)＋…＋(－12)n －2 ＝1＋1－(－12)n －11－(－12)＝1＋23[1－(－12)n －1]＝53－23(－12)n －1，当n ＝1时，53－23(－12)1－1＝1＝a 1.∴a n ＝53－23(－12)n －1(n ∈N *)．。
高三数学数列模块专题训练
高三数学数列模块专题训练1．数列{a n }的前n 项和记为S n ，()111,211n n a a S n +==+≥（1）求{a n }的通项公式;（2）等差数列{b n }的各项为正，其前n 项和为T n ，且315T =，又112233,,a b a b a b +++成等比数列，求T n2. 设{}n a 是一个公差为)0(≠d d 的等差数列，它的前10项和11010=S 且1a ，2a ，4a 成等比数列。
（1）证明d a =1；（2）求公差d 的值和数列{}n a 的通项公式. 3. 已知等比数列{}n x 的各项为不等于1的正数，数列{}n y 满足)1,0(l o g 2≠>=a a x y na n ，y 4=17, y 7=11(1) 证明：{}n y 为等差数列；（2）问数列{}n y 的前多少项的和最大，最大值为多少？ 4.已知数列{}n a 是等差数列，且.12,23211=++=a a a a （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）令).(R x x a b nn n ∈=求数列{}n b 前n 项和的公式.5. 假设你正在某公司打工，根据表现，老板给你两个加薪的方案： （Ⅰ）每年年末．．．．加1000元； （Ⅱ）每半年．．．结束时加300元。
请你选择。
（1）如果在该公司干10年，问两种方案各加薪多少元？ （2）对于你而言，你会选择其中的哪一种？6、在数列{}n a 中，11a =，2112(1)n n a a n+=+.（Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）令112n n n b a a +=-，求数列{}n b 的前n 项和n S .（Ⅲ）求数列{}n a 的前n 项和n T .7、数列{}n a 的前n 项和记为()11,1,211n n n S a a S n +==+≥ （Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）等差数列{}n b 的各项为正，其前n 项和为n T ， 且315T =，又112233,,a b a b a b +++成等比数列，求n T8． 设数列}{n a 、}{n b 、}{n c 满足：2+-=n n n a a b ，2132++++=n n n n a a a c （n =1，2，3，…），证明：}{n a 为等差数列的充分必要条件是}{n c 为等差数列且1+≤n n b b （n =1，2，3，…） 9． 已知数列3021,,,a a a ，其中1021,,,a a a 是首项为1，公差为1的等差数列；201110,,,a a a 是公差为d 的等差数列；302120,,,a a a 是公差为2d 的等差数列（0≠d ）.（1）若4020=a ，求d ；（2）试写出30a 关于d 的关系式，并求30a 的取值范围；（3）续写已知数列，使得403130,,,a a a 是公差为3d 的等差数列，……，依次类推，把已知数列推广为无穷数列. 提出同（2）类似的问题（（2）应当作为特例），并进行研究，你能得到什么样的结论？10．某市去年11份曾发生流感，据统计，11月1日该市新的流感病毒感染者有20人，此后，每天的新感染者平均比前一天的新感染者增加50人，由于该市医疗部门采取措施，使该种病毒的传播得到控制，从某天起，每天的新感染者平均比前一天的新感染者减少30人，到11月30日止，该市在这30日内感染该病毒的患者总共8670人，问11月几日，该市感染此病毒的新患者人数最多？并求这一天的新患者人数.11．等差数列{}n a 中，12a =，公差d 是自然数，等比数列{}n b 中，1122,b a b a ==． （Ⅰ）试找出一个d 的值，使{}n b 的所有项都是{}n a 中的项；再找出一个d 的值，使{}n b的项不都是{}n a 中的项（不必证明）；（Ⅱ）判断4d =时，是否{}n b 所有的项都是{}n a 中的项， 并证明你的结论；（Ⅲ）探索当且仅当d 取怎样的自然数时，{}n b 的所有项都是{}n a 中的项，并说明理由．12．已知数列{n a }中，112--=n n a a （n ≥2，+∈N n ），（1）若531=a ，数列}{nb 满足11-=n n a b （+∈N n ），求证数列{n b }是等差数列；（2）若531=a ，求数列{n a }中的最大项与最小项，并说明理由；（3）若211<<a ，试证明：211<<<+n n a a ．答 案1．（1）由121n n a S +=+可得()1212n n a S n -=+≥，两式相减得()112,32n n n n n a a a a a n ++-==≥又21213a S =+= ∴213a a = 故{a n }是首项为1，公比为3得等比数列 ∴13n n a -=. （2）设{b n }的公差为d ，由315T =得，可得12315b b b ++=，可得25b =，故可设135,5b d b d =-=+又1231,3,9a a a ===由题意可得()()()2515953d d -+++=+解得122,10d d == ∵等差数列{b n }的各项为正，∴0d >，∴2d = ∴()213222n n n T n n n-=+⨯=+2. 证明：因1a ，2a ，4a 成等比数列，故4122a a a =，而{}n a 是等差数列，有d a a +=12，d a a 314+=,于是 21)(d a +)3(11d a a +=，即d a a d d a a 121212132+=++，化简得 d a =1（2）解：由条件11010=S 和d a S 291010110⨯+=，得到11045101=+d a ，由（1），d a =1，代入上式得11055=d ，故 2=d ，n d n a a n 2)1(1=-+=， ,3,2,1=n3. （1）{}0q q,,1x n >≠则设公比为成等比数列且n x y 常数q x x x x y a nn a n n a n n log 2log 2log 2log 21a 11==-=-+++∴{}.x n 成等差数列(2)y 11,1774==y ∴3d=－6 d=－2 y 231={}n n n n n d n n y y n 24)1(332)1(S n 21n+-=--=-+=项和前当n=12时，S n 有最大值144. ∴{}n y 前12项和最大为144.4.(Ⅰ）解：设数列}{n a 公差为d ，则 ,12331321=+=++d a a a a 又.2,21==d a 所以.2n a n =（Ⅱ）解：令,21n n b b b S +++= 则由,2nnn n nx x a b ==得,2)22(4212n n n nx x n x x S +-++=- ①,2)22(42132++-+++=n n n nx x n x x xS ②当1≠x 时，①式减去②式，得 ,21)1(22)(2)1(112++---=-++=-n n n nn nx xx x nxx x x S x所以.12)1()1(212xnx x x x Sn n n----=+当1=x 时, )1(242+=+++=n n n S n综上可得当1=x 时,)1(+=n n S n ；当1≠x 时，.12)1()1(212xnx x x x Sn n n----=+5. 设方案一第n 年年末加薪a n ，因为每年末加薪1000元，则a n =1000n ； 设方案二第n 个半年加薪b n ，因为每半年加薪300元，则b n =300n ；(1)在该公司干10年(20个半年)，方案1共加薪S 10=a 1＋a 2＋……＋a 10=55000元。
高三复习单元检测题：数列
高三复习单元检测题：数列一、选择题(每小题5分，共60分)1．设数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2，则a 8的值为A ．15B ．16C ．49D ．64 2．在等差数列{a n }中，a 2＋a 3＝12,2a 6－a 5＝15，则a 4等于A ．7B ．9C ．11D ．13 3．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，8a 2＋a 5＝0，则S 5S 2等于A ．11B ．5C ．－8D ．－114．已知不等式x 2－2x －3<0的整数解构成等差数列{a n }的前三项，则数列{a n }的第四项为A ．3B ．－1C ．2D ．3或－1 5．等比数列{a n }的公比为q ，则“q>1”是“对任意n (n ∈N *)都有a n ＋1>a n ”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知数列{a n }为等比数列，S n 是它的前n 项和．若a 2a 3＝2a 1，且a 4与2a 7的等差中项为54，则S 5等于A ．35B ．33C ．31D ．29 7．在等差数列{a n }中，若a 2＋a 4＋a 6＋a 8＋a 10＝80，则a 7－12a 8的值为A ．4B ．6C ．8D ．10 8．已知等比数列{a n }中a 2＝1，则其前3项和S 3的取值范围是A ．(－∞，－1]B ．(－∞，0)∪(1，＋∞)C ．[3，＋∞)D ．(－∞，－1]∪[3，＋∞) 9．如果数列{a n }满足a 1＝2，a 2＝1，且11++-n n n a a a ＝a n －a n ＋1a n ＋1(n ≥2)，则这个数列的第10项等于A.1210B.129C.110D.1510．在函数y ＝f (x )的图象上有点列{x n ，y n }，若数列{x n }是等差数列，数列{y n }是等比数列，则函数y ＝f (x )的解析式可能为A ．f (x )＝(34)x B ．f (x )＝log 3xC ．f (x )＝4x 2D ．f (x )＝2x ＋111．(密码改编)若数列1,2cos θ，22cos 2θ，23cos 3θ，…，2k cos k θ，…前2 012项之和为0，则θ的值为A ．2k π±π3，k ∈ZB ．2k π±2π3，k ∈ZC ．k π±π3，k ∈Z D ．不确定12．一房地产开发商将他新建的20层商品房的房价按下列方法定价，先定一个基价a 元/m 2，再根据楼层的不同上下浮动．一层的价格为(a －d )元/m 2，二层的价格为a 元/m 2，三层的价格为(a ＋d )元/m 2，第i 层(i ≥4)的价格为[a ＋d (23)i －3]元/m 2，其中a >0，d >0，则该商品房的各层房价的平均价格是A ．a 元/m 2B ．a ＋110[1－(23)18]d 元/m 2C ．a ＋[1－(23)17]d 元/m 2D ．a ＋110[1－(23)17]d 元/m 2二、填空题(每小题4分，共16分)13．已知数列{a n }满足a 1＝1，11＋a n ＋1－11＋a n＝1，则a n ＝______.14．已知各项为正数的等比数列{a n }中，a 2＝1，且过点P 1(3，a 3)，P 2(4，a 4)的直线斜率为2，则S 4＝______.15．设{a n }是正项数列，其前n 项和S n 满足：4S n ＝(a n －1)·(a n ＋3)，则数列{a n }的通项公式a n ＝________.16．已知数列{a n }满足a 1＝36，a n ＋1－a n ＝2n ，则a nn的最小值为______．三、解答题(74分)17．(12分)记等差数列{a n }的前n 项和为S n ，设S 3＝12，且2a 1，a 2，a 3＋1成等比数列，求S n .18．(12分)已知数列{a n }满足：a 1＝14，a 2＝34，a n ＋1＝2a n －a n －1(n ≥2，n ∈N *)，数列{b n }满足b 1<0,3b n －b n －1＝n (n ≥2，b ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项a n ；(2)求证：数列{b n －a n }为等比数列．19．(12分)已知{a n }是各项均为正数的等比数列，且a 1＋a 2＝2(1a 1＋1a 2)，a 3＋a 4＋a 5＝64(1a 3＋1a 4＋1a 5)．(1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝(a n ＋1a n)2，求数列{b n }的前n 项和T n .20．(12分)已知数列{a n }的各项为正数，前n 项和为S n ，且S n ＝a n (a n ＋1)2，n ∈N *.(1)求证：数列{a n }是等差数列；(2)设b n ＝12S n，T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，求T n .21．(12分)某鱼塘养鱼，由于改进饲养技术，预计第一年的增长率为200%，以后每年的增长率是前一年的一半，设原有产量为a .(1)写出改进饲养技术后的第一年、第二年、第三年的产量，并写出第n 年与第n －1年(n ≥2，n ∈N *)的产量之间的关系式；(2)由于存在环境污染等问题，估计每年将损失年产量的10%，照这样下去，以后每年的产量是否始终是逐步提高的？若是，请给予证明；若不是，请说明从第几年起，产量将不如上一年．22．(14分)已知数列{a n }满足a 1＝5，a 2＝5，a n ＋1＝a n ＋6a n －1(n ≥2，n ∈N *)，且当λ＝2，或λ＝－3时，数列{a n ＋1＋λa n }是等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设3n b n ＝n (3n －a n )，且|b 1|＋|b 2|＋…＋|b n |<m 对于n ∈N *恒成立，求m 的取值范围．参考答案及其详细解析一、选择题(每小题5分，共60分) 1．解析：a 8＝S 8－S 7＝64－49＝15.答案：A2．解析：设公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧ 2a 1＋3d ＝12a 1＋6d ＝15，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3d ＝2，∴a 4＝a 1＋3d ＝9. 答案：B3．解析：设公比为q ，则8a 1q ＋a 1q 4＝0，∵a 1，q 都不为0，∴q ＝－2. ∴S 5S 2＝a 1(1－q 5)1－q a 1(1－q 2)1－q ＝1－q 51－q 2＝33－3＝－11. 答案：D4．解析：x 2－2x －3<0解得－1<x<3，∴整数解为0,1,2，如果{a n }为0,1,2，…，则第四项为3；如果{a n }为2,1,0，…，则第四项为－1.答案：D5．解析：当a 1<0，q >1时，a n ＋1<a n ，∴充分性不成立，当a 1<0,0<q <1，数列a n ＋1>a n 成立．∴必要性不成立．答案：D6．解析：∵a 2a 3＝a 1q ·a 1q 2＝2a 1⇒a 4＝2，∴a 4＋2a 4q 3＝52，∴q ＝12，∴a 1＝a 4q 3＝2(12)3＝16，∴S 5＝16(1－125)1－12＝31.答案：C7．解析：由a 2＋a 4＋a 6＋a 8＋a 10＝80，得a 6＝16，a 7－12a 8＝(a 6＋d )－12(a 6＋2d )＝12a 6＝8.答案：C8．解析：∵{a n }为等比数列，∴a 1a 3＝a 22＝1，且a 1，a 3同号，当a 1>0，a 3>0时，S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝1＋(a 1＋a 3)≥1＋2a 1a 3＝3.当a 1<0，a 3<0时，S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝1－[(－a 1)＋(－a 3)]≤1－2(－a 1)(－a 3)＝－1. ∴S 3≤－1或S 3≥3. 答案：D9．解析：当n ≥2时，由已知得1－a n a n －1＝a n a n ＋1－1，∴2＝a n a n －1＋a n a n ＋1，∴2a n ＝1a n －1＋1a n ＋1，∴数列{1a n }是等差数列，又∵a 1＝2，a 2＝1，∴1a 1＝12，1a 2＝1，d ＝1a 2－1a 1＝12，∴1a n ＝n2，∴a n＝2n ，∴a 10＝210＝15. 答案：D10．解析：结合选项，对于函数f (x )＝(34)x 上的点列{x n ，y n }，有y n ＝(34)x n .由于{x n }是等差数列，所以x n ＋1－x n ＝d ，因此y n ＋1y n ＝(34)x n ＋1(34)x n ＝(34)x n ＋1－x n ＝(34)d ，这是一个与n 无关的常数，故{y n }是等比数列．答案：A11．解析：显然当2cos θ＝1时不合题意．∴1×[1－(2cos θ)2 012]1－2cos θ＝0.∴2cos θ＝－1，∴θ＝2k π±2π3，k ∈Z .答案：B12．解析：由已知各层房价的总和为(a －d )＋a ＋(a ＋d )＋(a ＋23d )＋[a ＋(23)2d ]＋[a ＋(23)3d ]＋…＋[a ＋(23)17d ]＝20a ＋d [23＋(23)2＋(23)3＋…＋(23)17]＝20a ＋d ×23[1－(23)17]1－23＝20a ＋2d [1－(23)17]，∴各层房的平均价格为a ＋110[1－(23)17]d . 答案：D二、填空题(每小题4分，共16分) 13．解析：由已知得11＋a n ＋1－11＋a n ＝1，∴数列{1a n ＋1}为公差是1的等差数列．又∵a 1＝1，∴1a 1＋1＝12，∴1a n ＋1＝2n －12.∴a n ＋1＝22n －1，a n ＝3－2n 2n －1.答案：3－2n2n －114．解析：设公比为q ，且q >0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1q ＝1a 4－a 34－3＝a 1q 3－a 1q 2＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧q ＝2a 1＝12或⎩⎪⎨⎪⎧q ＝－1a 1＝－1(舍去)， ∴S 4＝12(1－24)1－2＝12(24－1)＝152.答案：15215．解析：由4S n ＝a 2n ＋2a n －3①当n ≥2时，4S n －1＝a 2n －1＋2a n －1－3②①－②得，4a n ＝a 2n －a 2n －1＋2a n －2a n －1，∴(a n ＋a n －1)(a n －a n －1－2)＝0. ∵{a n }为正项数列，∴a n －a n －1＝2. ∴数列{a n }是公差为2的等差数列． 又∵a 1＝3，∴a n ＝2n ＋1. 答案：2n ＋116．解析：∵a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋(a 4－a 3)＋…＋(a n －a n －1)＝36＋2[1＋2＋3＋…＋(n －1)]＝36＋n 2－n . ∴a n n ＝36n ＋n －1≥236－1＝11. 当且仅当n ＝6时取等号． 答案：11 三、解答题(74分) 17．(12分)解：设数列{a n }的公差为d .依题设有⎩⎪⎨⎪⎧2a 1(a 3＋1)＝a 22a 1＋a 2＋a 3＝12， 即⎩⎪⎨⎪⎧a 21＋2a 1d －d 2＋2a 1＝0a 1＋d ＝4， 解得a 1＝1，d ＝3或a 1＝8，d ＝－4. 因此S n ＝12n (3n －1)或S n ＝2n (5－n )．18．(12分)解：(1)∵2a n ＝a n ＋1＋a n －1(n ≥2，n ∈N *)， ∴{a n }是等差数列． 又∵a 1＝14，a 2＝34，n 424(2)证明：∵b n ＝13b n －1＋n 3(n ≥2，n ∈N *)，∴b n ＋1－a n ＋1＝13b n ＋n ＋13－2n ＋14＝13b n －2n －112＝13(b n －2n －14)＝13(b n －a n )．又∵b 1－a 1＝b 1－14≠0，∴{b n －a n }是以b 1－14为首项，以13为公比的等比数列． 19．(12分)解：(1)设公比为q ，则a n ＝a 1q n －1.由已知有⎩⎨⎧a 1＋a 1q ＝2(1a 1＋1a 1q )a 1q 2＋a 1q 3＋a 1q 4＝64(1a 1q 2＋1a 1q 3＋1a 1q4).化简得⎩⎪⎨⎪⎧a 21q ＝2a 21q 6＝64.又a 1>0，故q ＝2，a 1＝1. 所以a n ＝2n －1.(2)由(1)知b n ＝(a n ＋1a n )2＝a 2n ＋1a 2n ＋2＝4n －1＋14n －1＋2.因此T n ＝(1＋4＋…＋4n －1)＋(1＋14＋…＋14n －1)＋2n ＝4n－14－1＋1－14n1－14＋2n ＝13(4n －41－n )＋2n ＋1. 20．(12分)解：(1)证明：S n ＝a n (a n ＋1)2，n ∈N *，n ＝1时，S 1＝a 1(a 1＋1)2，∴a 1＝1.⎩⎪⎨⎪⎧2S n ＝a 2n ＋a n 2S n －1＝a 2n －1＋a n －1⇒2a n ＝2(S n －S n －1)＝a 2n －a 2n －1＋a n －a n －1， ∴(a n ＋a n －1)(a n －a n －1－1)＝0，∵a n ＋a n －1>0， ∴a n －a n －1＝1，n ≥2，所以数列{a n }是等差数列． (2)由(1)知a n ＝n ，S n ＝n (n ＋1)2，∴b n ＝12S n ＝1n (n ＋1)，∴T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝11·2＋12·3＋…＋1n (n ＋1)223n n ＋1＝1－1n ＋1＝n n ＋1.21．(12分)解：(1)第一年增长率为2，第二年增长率为1，第三年增长率为12，…，第n 年增长率为22－n ，∴a 1＝3a ，a 2＝6a ，a 3＝a 2(1＋12)＝9a ，∴a n ＝a n －1(1＋22－n )(n ≥2)．(2)设第n 年实际产量为b n ，则 b 1＝a (1＋2)(1－110)＝3·910a ＝2710a ，b 2＝b 1(1＋1)·910，b 3＝b 2(1＋12)·910，…，b n ＝b n －1(1＋22－n )·910.∴b n b n －1＝910(1＋42n )，显然产量不可能逐年提高．设第n 年不如上一年，则b nb n －1<1， ∴910(1＋42n )<1.∴2n >36， ∴n ≥6，∴从第6年起不如上一年产量． 22．(14分)解：(1)当λ＝2时，可得{a n ＋1＋2a n }为首项是a 2＋2a 1＝15，公比为3的等比数列，则a n ＋1＋2a n ＝15·3n －1.①当λ＝－3时，{a n ＋1－3a n }为首项是a 2－3a 1＝－10，公比为－2的等比数列，∴a n ＋1－3a n ＝－10(－2)n －1.②①－②得a n ＝3n －(－2)n .(2)∵3n b n ＝n (3n －a n )＝n [3n －3n ＋(－2)n ]＝n (－2)n ， ∴b n ＝n (－23)n .令S n ＝|b 1|＋|b 2|＋…＋|b n | ＝23＋2(23)2＋3(23)3＋…＋n (23)n .③ ∴23S n ＝(23)2＋2(23)3＋…＋(n －1)(23)n ＋n (23)n ＋1.④∴③－④可得13S n ＝23＋(23)2＋(23)3＋…＋(23)n －n (23)n ＋1 ＝23[1－(23)n ]1－23－n (23)n ＋1＝2[1－(23)n ]－n (23)n ＋1.∴S n ＝6[1－(23)n ]－3n (23)n ＋1<6.要使得|b 1|＋|b 2|＋…＋|b 2|<m 对于n ∈N *恒成立，只须m ≥6， ∴m 的取值范围是[6，＋∞）。
专题16 数列(选填压轴题)(原卷版)-【挑战压轴题】备战2023年高考数学高分必刷必过题
中
a1
1，数列
anan1
的前
n
项和为 Tn，若Tn≥10
恒成立，则
的最小值为（
）
A．8
B．9
C．10
D．20
10．（2022·全国·高三专题练习）设等差数列an 的前 n 项和为 Sn ，首项 a1 0 ，公差 d 0 ，
若对任意的 n N ，总存在 k N ，使 S2k1 (2k 1)Sn ．则 k 9n 的最小值为（ ）
18．（2022·浙江·高二期末）已知数列an 满足 a1 0 ，对于每一个 n N* ，a4n3 ，a4n2 ，a4n1
构成公差为
2
的等差数列，
a4n1
， a4 n
， a4 n1
构成公比为
1 3
的等比数列，若
n
N*
，不等式
t2 an2 4t 4an 0 恒成立，则正整数 t 的最小值为______.
S n ___________（用含 n 的代数式表示）.
21．（2022·全国·高三专题练习）已知有穷数列 an 各项均不相等，将 an 的项从大到小重
新排序后相应的项数构成新数列bn，称数列bn 为数列an 的“序数列”.例如数列 a1 ， a2 ，
a3 满足 a1 a3 a2 ，则其序数列bn 为 1，3，2.若有穷数列dn 满足 d1 1 ， dn1 dn
T2022 2022 S2022
0
成立．关于上述两个命题，
以上说法正确的是______．（填写序号） 20．（2022·广东深圳·高三阶段练习）设正整数 n a0 70 a1 7 a k1 7 k1 a k 7 k ，其中
ak 0,1, 2,3, 4,5, 6 ，记 n a0 a1 ak , S n 1 2 7n ，当 n 6 时，
2023年新高考数学创新题型微专题08 数列专题(新定义)(解析版)
专题08 数列专题（新定义）一、单选题1．（2023春·甘肃张掖·高二高台县第一中学校考阶段练习）对于正项数列{}n a 中，定义：12323nn a a a na G n+++⋅⋅⋅+=为数列{}n a 的“匀称值”已知数列{}n a 的“匀称值”为2n G n =+，则该数列中的10a =（ ） A ．83B ．125 C ．94D ．2110【答案】D【分析】确定()123223n n nG n n a a a na =+=+++⋅⋅⋅+，取10n =和9n =带入式子，相减得到答案. 【详解】123232nn a a a na G n n+++⋅⋅⋅+==+，即()123223n n nG n n a a a na =+=+++⋅⋅⋅+，故()12310231010102a a a a +++⋅⋅⋅+=⨯+；()1239239992a a a a +++⋅⋅⋅+=⨯+； 两式相减得101021a =，所以102110a =． 故选：D2．（2023春·浙江·高三开学考试）对任意正整数对(,)h k ，定义函数(,)f h k 如下：(1,)1f j =，()()()()11,,,i f i j j i f i j i ++=−≤，则（ ）A ．(1,)1f j j +=B ．1(,)2C i j f i j −=C ．()21(,)21jji j f i j j =⎡⎤⋅=⋅−⎣⎦∑D ．[]11(,)22jn nj i j f i j n ==⋅=+−∑∑【答案】C【分析】根据新定义得(1,)(,)1f i j j if i j i +−=+，令i j =即可判断A ，根据()()()()()()2,3,4,123,,,1,22,33,4f j f j f j j j j f j f j f j −−−===累乘可判断B ，利用二项式定理求得12C C C 21nnnnn+++=−，结合()211(,)21jji jji i j f i j j C j ==⎡⎤⋅==−⎣⎦∑∑判断C ，[]()111(,)21j n nj j i j j f i j ===⋅=−∑∑∑，结合等比数列的前n 项和公式判断D. 【详解】()()()()()()1,11,,,,1f i j j ii f i j j i f i j f i j i +−++=−∴=+，令i j =，则(1,)0(,)f j j f j j +=，(1,)0f j j ∴+=，A 错误；(2,)1(3,)2(4,)3,,,(1,)2(2,)3(3,)4f j j f j j f j j f j f j f j −−−===，(,)1,(1,)f i j j i f j i−+= 累乘得：(,)(1)(2)(3)(1)1C (1,)2345ij f i j j j j j i f j i j−−−−+==⨯⨯⨯⨯⨯，1(1,)1,(,)C ,()ij f j f i j i j j=∴=≤，令1i =，则B 错误； 因为()01211C C C C nnn n n n +=++++，所以12C C C 21n nn n n +++=−，()211(,)C 21jji jj i i jf i j j j ==⎡⎤⋅==−⎣⎦∑∑，则C 正确；[]()11112(12)(,)212212n jnnjn j i j j f i j n n +===−⋅=−=−=−−−∑∑∑，则D 错误． 故选：C ．3．（2023春·安徽·高二合肥市第八中学校联考开学考试）定义：对于数列{}n a ，如果存在一个常数()*N T T ∈，使得对任意的正整数0n n ≥恒有n T n a a +=，则称数列{}n a 是从第0n 项起的周期为T 的周期数列．已知周期数列{}n b 满足：11b =，23b =，12n n n b b b −−=−（3n ≥），则2023b =（ ） A ．1− B ．3− C ．2− D ．1【答案】D【分析】写出周期数列{}n b 的前几项，发现周期为6，进而求得2023b 的值. 【详解】写出周期数列{}n b 的前几项：1，3，2，1−，3−，2−，1，3，2，1−，3−，2−，1，…， 发现周期数列{}n b 是周期为6的周期数列， ∴20233376111b b b ⨯+===． 故选：D ．4．（2023秋·福建南平·高二统考期末）若数列{}n a 的前n 项和为n S ，nn S b n=，则称数列{}n b 是数列{}n a 的“均值数列”．已知数列{}n b 是数列{}n a 的“均值数列”且n bn =，设数列⎧⎫的前n 项和为n T ，若()2132n m m T −<对*n ∈N 恒成立，则实数m 的取值范围为（ ） A ．[]1,2−B ．()1,2-C ．()(),12,−∞−⋃+∞D ．(][),12,−∞−⋃+∞【答案】B【分析】由新定义求得n S ，然后由1n n n a S S −=−求得n a ，从而可求得n T （裂项相消法）后得n T 的最小值，解相应不等式可得结论． 【详解】由题意nS n n=,即2n S n =, ∴2n ≥时，221(1)21n n n a S S n n n −=−=−−=−，又111a S ==，∴*n ∈N 时，21n a n =−，==2n n T +=+=， 易知1{}2是递增数列，∴1{}2的最小值是12（1n =时取得）， 由题意21(3)2m m −<，解得12m −<<．故选：B ．5．（2023秋·山西长治·高三校联考阶段练习）对于一个n 项数列()*1212:,,,,1,n k k A a a a S a a a k n k =+++≤≤∈N ，记A 的“Cesaro 平均值”为()121+++n S S S n，若数列121010,,,a a a 的“Cesaro 平均值”为2022，数列121010,,,,x a a a 的“Cesaro 平均值”为2046，则x =（ ）A ．24B ．26C ．1036D ．1541【答案】B【分析】先求出121010S S S +++的值，再根据Cesaro 平均值的求法列出等式，即可求出x 的值.【详解】因为数列121010,,,a a a 的“Cesaro 平均值”为12101020221010S S S +++=，所以12101020221010S S S +++=⨯. 因为121010,,,,x a a a 的“Cesaro 平均值”为()()()12101020461011x x S x S x S +++++++=，所以10112022101020461011x +⨯=，所以20202046x +=，解得26x =，故选:B.6．（2023春·湖北咸宁·高二校考开学考试）等比数列{}n a 中1512a =，公比12q =−，用12Π⋅⋅⋅⋅⋅⋅=n n a a a 表示它的前n 项之积，则1Π，2Π，…，n ∏中最大的是（ ） A ．11Π B ．10Π C ．9Π D ．8Π【答案】C【分析】根据题意分析,n n a ∏的符号，结合前n 项之积的性质运算求解.【详解】∵110,02a q >=−<，则当n 为奇数时，0n a >，当n 为偶数时，0n a <，∴当()43N n k k *=−∈或()4N n k k *=∈时，0n ∏>，当()42N n k k *=−∈或()41N n k k *=−∈时，0n ∏<，由题意可得：115122n n a −⎛⎫=− ⎪⎝⎭，令1151212n n a −⎛⎫=≥ ⎪⎝⎭，解得10n ≤，若n ∏取到最大，则3k =，9n =，即{}n ∏中最大的是9Π. 故选：C.7．（2022秋·北京·高二北京二中校考期末）如果数列{}n a 满足211n n n na a k a a +++−=（k 为常数），那么数列{}n a 叫做等比差数列，k 叫做公比差．下列四个结论中所有正确结论的序号是（ ） ①若数列{}n a 满足12n na n a +=，则该数列是等比差数列；②数列{}2nn ⋅是等比差数列；③所有的等比数列都是等比差数列； ④存在等差数列是等比差数列． A ．①②③ B ．①③④ C ．①②④ D ．②③④【答案】B【分析】根据比等差数列的定义211n n n na a k a a +++−=(k 为常数)，逐一判断①②③④是否是等比差数列即可可得到答案.【详解】①数列{}n a 满足12n na n a +=，则2112(1)22n n n na a n n a a +++−=+−=，满足等比差数列的定义，故①正确； ②数列{2}n n ⋅，+212111(2)2(1)2(1)22n n n n n nn n a a a a n n n n +++++−=+⋅+⋅−+⋅⋅ 2(2)2(1)22(1)(1)n n n n n n n ⋅+⋅−+⋅==−⋅+⋅+，不满足等比差数列的定义，故②错误； ③设等比数列的公比为q ，则2110n n n na a a a q q +++−==−，满足等比差数列，故③正确； ④设等差数列的公差为d ， 则22112()n n n n n n n n n n a a a a a d a d d a d a a a d +++−++−=−=++， 故当0d=时，满足2110n n n na a a a +++−=，故存在等差数列是等比差数列，即④正确；故答案为：①③④ 故选：B.8．（2019秋·北京·高三101中学校考阶段练习）定义在()(),00,∞−+∞U 上的函数()f x ，如果对于任意给定的等比数列{}n a ，(){}n f a 仍是等比数列，则称()f x 为“保等比数列函数”．现有定义在()(),00,∞−+∞U 上的如下函数：①()2f x x =；②()2xf x =；③()1f x x=；④()ln f x x =，其中是“保等比数列函数”的序号为（ ） A ．①② B ．③④ C ．①③ D ．②④【答案】C【分析】根据新定义，结合等比数列性质221n n n a a a ++=，一一加以判断，即可得到结论．通过积的乘方，即可判断①；通过指数的幂的运算，即可判断②；通过积的运算即可判断③；由对数的运算法则，即可判断④．【详解】设{}n a 是等比数列，由等比数列性质知221n n n a a a ++=，对于①，()()()()222222211n n n n n n a a f a f a a f a ++++===，即(){}n f a 仍是等比数列，故正确；对于②，()()()22122212222n n n n n a a a a a n n n f a f a f a ++++++==≠=，即(){}n f a 不是等比数列，故不正确； 对于③，()()()221221111n n n n n n f a f a f a a a a ++++=⋅==，即(){}n f a 是等比数列，故正确；对于④，()()()()222211ln ln ln n n n n n n f a f a a a a f a ++++=≠=， 即(){}n f a 不是等比数列，故不正确； 故选：C ．9．（2023秋·吉林·高二吉林一中校考期末）若数列{}n a 满足1120n na a +−=，则称{}n a 为“必会数列”，已知正项数列{}n a 为“必会数列”，若453a a +=，则23a a +=（ ）. A ．19B ．1C ．6D ．12【答案】D【分析】根据数列新定义可得数列{}n a 是以12q =为公比的等比数列，利用等比数列通项公式，即可求得答案.【详解】由题意数列{}n a 满足1120n n a a +−=，可得112n n a a +=， 故正项数列{}n a 是以12q =为公比的等比数列， 则2322532341()()3,124a a a a a a a a q +===+∴=++，故选：D10．（2022秋·陕西渭南·高二统考期末）设{}n a 是无穷数列，若存在正整数k ，使得对任意的n *∈N ，均有n k n a a +>，则称{}n a 是间隔递增数列，k 是{}n a 的间隔数.若{}n b 是间隔递增数列，则数列{}n b 的通项不可能．．．是（ ）A ．92n b n n=−B ．31n n b =+C ．113n nb =−D ．()2nn b n =−−【答案】D【分析】根据间隔递增数列的定义求解即可. 【详解】对于A ：()()9922n k n b n k n b n k n ++−=−++−，化简得：()920n n kb k n b n k +⎡⎤=+>⎢⎥+−⎢⎥⎣⎦，存在正整数k ，使得对任意的n *∈N ，0n n k b b +>−恒成立，所以{}n b 是间隔递增数列；对于B ：()3131313n k n k nk n n b b ++=+−−−−=， 因为k 为正整数且n *∈N ，所以()3130k n−>，所以0n n k b b +>−，所以{}n b 是间隔递增数列； 对于C ：11111113333n k n k n nn k b b ++⎪−⎛⎫=−−+=− ⎝⎭， 因为k 为正整数且n *∈N ，所以111033n k ⎛⎫−> ⎪⎝⎭，所以0n n k b b +>−，所以{}n b 是间隔递增数列； 对于D ：()()()22n knn k n b n k n b ++−=−+−+−()()()22n kn n k ⎡⎤=−−+−⎣⎦，当k ∈正奇数，n *∈N 时，()()20kn n k −+−>，()2n−的正负由n 的奇偶性决定，此时0n n k b b +>−不恒成立，不符合间隔递增数列的定义；当k ∈正偶数，n *∈N 时，()()20kn n k −+−<，()2n−的正负由n 的奇偶性决定，此时0n n k b b +>−不恒成立，不符合间隔递增数列的定义； 故选：D.11．（2023·全国·高三专题练习）对于数列{}n a ，若存在正整数()2k k ≥，使得1k k a a −<，1k k a a +<，则称k a 是数列{}n a 的“谷值”，k 是数列{}n a 的“谷值点”．在数列{}n a 中，若98n a n n=+−，则数列{}n a 的“谷值点”为（ ） A ．2 B ．7C ．2，7D ．2，5，7【答案】C【分析】先求出12a =，232a =，32a =，474a =，565a =，612a =，727a =，898a =，再得到7n ≥，N n ∈，980n n+−>，结合数列的单调性以及谷值点的定义即可得求解．【详解】因为98n a n n=+−， 所以12a =，232a =，32a =，474a =，565a =，612a =，727a =，898a =，当7n ≥，N n ∈，980n n+−>，所以9988n a n n n n =+−=+−，因为函数98y x x=+−在[)7,+∞上单调递增， 所以7n ≥时，数列98n a n n=+−为单调递增数列， 所以21a a <，23a a <，76a a <，78a a <， 所以数列{}n a 的“谷值点”为2，7． 故选：C.12．（2023·全国·高二专题练习）若数列{}n a 满足121n n a a +=−，则称{}n a 为“对奇数列”．已知正项数列{}1n b +为“对奇数列”，且12b =，则n b =（ ） A ．123n −⨯ B ．12n − C ．12n + D ．2n【答案】D【分析】根据题意可得()11211n n b b ++=+−，进而可得{}n b 为等比数列，再求得通项公式即可.【详解】由题意得()11211n n b b ++=+−，所以12n n b b +=，又12b =，所以{}n b 是首项为2，公比为2的等比数列，所以1222n nn b −=⨯=．故选：D ．13．（2022春·辽宁葫芦岛·高二校联考阶段练习）设()n a Ω表示落在区间[],n n a 内的偶数个数.在等比数列{}n a n −中，14a=，211a =，则()4a Ω=（ ）A ．21B ．20C ．41D ．40【答案】C【分析】设{}n a n −的公比为q ，根据1a 和2a 求出q ，从而得n a 和4a ，再根据()n a Ω的定义可求出结果. 【详解】设{}n a n −的公比为q ，则2121123141a q a −−===−−， 所以111(1)(41)33n n n n a n a q−−−=−⋅=−⋅=，则3n n a n =+，所以445438a =+=.所以落在区间[]4,85内的偶数共有41个，故()441a Ω=. 故选：C14．（2023春·湖北·高三黄冈中学校联考开学考试）对于数列{}n a ，定义11222−=+++n n n A a a a 为数列{}n a 的“加权和”，已知某数列{}n a 的“加权和”12n n A n +=⋅，记数列{}+n a pn 的前n 项和为n T ，若5≤n T T 对任意的N n *∈恒成立，则实数p 的取值范围为（ ）A ．127,53⎡⎤−−⎢⎥⎣⎦B ．167,73⎡⎤−−⎢⎥⎣⎦C ．512,25⎡⎤−−⎢⎥⎣⎦D ．169,74⎡⎤−−⎢⎥⎣⎦【答案】A【分析】根据n A 与n a 的关系求出n a ，再根据等差数列的求和公式求出n T ，将5≤n T T 化为216(5)06+⎛⎫−+≤ ⎪+⎝⎭n n p n 对任意的n N *∈恒成立，分类讨论n 可求出结果.【详解】由1112222n n n n A a a a n −+=+++=⋅，∴2n ≥时,212122(1)2n n n a a a n −−+++=−⋅，∴1122(1)2−+⋅=⋅−−⋅n n n n a n n ，∴22n a n =+，1n =时，14a =也成立，∴22n a n =+，∴数列{}+n a pn 的前n 项和为：12(12)n n T a a a p n =+++++++2(422)(1)(1)3222++++=+⋅=++⋅n n n n n n p n n p ，∵5≤n T T 对任意的n N *∈恒成立，∴225(1)56353522+⨯++⋅≤=+⨯+⨯n n n n p T p ， 即225335(1)5(51)022p pn n n n −+−⨯++−⨯⨯+≤， 即22225335(5)(5)022p pn n n n −+−⨯+−+−≤， 即5(5)(53)0222pn p p n n −+++++≤， 即(6)(5)(8)02p n n n +−++≤， 即216(5)06+⎛⎫−+≤ ⎪+⎝⎭n n p n 对任意的n N *∈恒成立，当14n ≤≤时，2164266+−≤=+++n p n n 对任意的n N *∈恒成立， 因为4412226465n +≥+=++，∴125−≤p ，所以125p ≥−，当5n =时，216(5)06n n p n +⎛⎫−+= ⎪+⎝⎭恒成立，R p ∈，当6n ≥时，2164266+−≥=+++n p n n 对任意的n N *∈恒成立， 因为447226663n +≤+=++，∴73−≥p ，所以73p ≤−，综上可得：实数p 的取值范围为127,53⎡⎤−−⎢⎥⎣⎦．故选：A ．15．（2023·全国·高三专题练习）若数列{}n b 满足：若()*,m n b b m n ∈=N ，则11m n b b ++=，则称数列{}n b 为“等同数列”．已知数列{}n a 满足55a =，且()1+=−n n n a n a a ，若“等同数列”{}n b 的前n 项和为n S ，且114b a b ==，22b a =，510S a =，则2022S =（ ）A ．4711B ．4712C ．4714D ．4718【答案】D【分析】先对已知关系式变形，求出数列{}n a 的通项公式，再利用“等同数列”的定义与已知条件得{}n b 是周期数列，即可得2022S ． 【详解】由()1+=−n n n a n a a 得11n n a a n n+=+，则1251125n n n a a aa n n n −−=====−−， 故n a n =,所以111b a ==，222b a ==，411b a ==， 所以41b b =，所以522b b ==1010S a ==，所以3121210b ++++=，解得34b =，同理得634b b ==， 741b b ==，852b b ==，…，故数列{}n b 是以3为周期的数列，所以()202267431246744718S S ⨯==++⨯=， 故选:D ．16．（2022·全国·高三专题练习）设数列{}n a ，若存在常数t ，对任意小的正数s ，总存在正整数0n ，当0n n ≥时，n a t s −<，则数列{}n a 为收敛数列．下列关于收敛数列说法正确的是（ ） A ．若等比数列{}n a 是收敛数列，则公比()0,1q ∈ B ．等差数列不可能是收敛数列C ．设公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和为()0n n S S ≠，则数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭一定是收敛数列D ．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足11a =，11n n S a +=+，则数列{}n a 是收敛数列 【答案】C【分析】根据题中定义，结合特殊的等差数列和等比数列、数列的周期性、等差数列前n 项和公式逐一判断即可.【详解】当数列为常数列（不为零），因此该数列是等差数列又是等比数列，显然该数列是收敛数列，因此选项AB 不正确；选项C ：设等差数列{}n a 的公差为()d d ≠0，所以1111(1)2n S na n n d =+−，当0d ≠时，当n →+∞时，10nS →， 所以数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭一定是收敛数列，因此本选项正确；选项D ：因为11a =，11n n S a +=+，所以可得21a =，当2,N n n *≥∈时，由1111n n n n S a S a +−=+⇒=+，两式相减，得11n n n a a a +−=−，所以345670,1,1,0,1a a a a a ==−=−==，所以该数列的周期为6，该数列不可能是收敛数列，因此本选项说法不正确， 故选：C【点睛】关键点睛：利用数列的周期性、常数列的性质是解题的关键.17．（2022春·安徽亳州·高三蒙城县第六中学校联考开学考试）设数列{}m A ：1a ，2a ，…，()2m a m ≥，若存在公比为q 的等比数列{}1m B +：1b ，2b ，…，1m b +，使得1k k k b a b +<<，其中1k =，2，…，m ，则称数列{}1m B +为数列{}m A 的“等比分割数列”.若数列{}10A 的通项公式为()21,2,,10nn a n ==，其“等比分割数列”{}11B 的首项为1，则数列{}11B 的公比q 的取值范围是（ ） A ．()9102,2 B ．()10112,2C ．()1092,2D ．()11102,2【答案】C【分析】由题意可得，()121,2,3,,10n n n qq n −<<=L ，从而可得2q >且()121,2,3,,10n n q n −<=L ，可得122nn q −<<，再根据指数函数的单调性求出12nn −的最小值即可【详解】由题意可得，()121,2,3,,10n n n qq n −<<=L ，所以2q >，且()121,2,3,,10n n qn −<=L ，当1n =时，12<成立；当2n =，3，…，10时，应有12nn q −<成立， 因为2x y =在R 上单调递增，所以111122nn n −−+=随着n 的增大而减小，故1092q <，综上，q 的取值范围是()1092,2. 故选：C.18．（2022春·江苏无锡·高二江苏省江阴市第一中学校考开学考试）若数列{an }满足21321111222n n a a a a a a −−<−<<−<……，则称数列{an }为“半差递增”数列.已知“半差递增”数列{cn }的前n项和Sn 满足*221()n n S c t n N +=−∈，则实数t 的取值范围是（ ）A ．1(,)2−∞B ．（-∞，1）C ．1(,)2+∞D ．（1， +∞）【答案】A【分析】根据*221()n n S c t n N +=−∈,利用递推公式求得数列{}n c 的通项公式.再根据新定义的意义,代入解不等式即可求得实数t 的取值范围.【详解】因为*221()n n S c t n N +=−∈所以当2n ≥时, 11221n n S c t −−+=−两式相减可得1220n n n c c c −+−=,即123n n c c −=,所以数列{}n c 是以公比23q =的等比数列 当1n =时,1213t c −=所以121233n n t c −−⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭，则1221121221221223363183n n n n n t t t c c −−−−−−−⎛⎫⎛⎫⎛⎫−=⋅−⋅=⋅ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭11112121212212233233183nn n n n t t t c c −−+−−−⎛⎫⎛⎫⎛⎫−=⋅−⋅=⋅ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭由“差半递增”数列的定义可知21212212183183n n t t −−−−⎛⎫⎛⎫⋅<⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭化简可得()221213t t −<−⨯解不等式可得12t <即实数t 的取值范围为1,2⎛⎫−∞ ⎪⎝⎭故选：A.19．（2022·浙江·高二学业考试）通过以下操作得到一系列数列：第1次，在2，3之间插入2与3的积6，得到数列2，6，3；第2次，在2，6，3每两个相邻数之间插入它们的积，得到数列2，12，6，18，3；类似地，第3次操作后，得到数列：2，24，12，72，6，108，18，54，3.按上述这样操作11次后，得到的数列记为{}n a ，则1025a 的值是（ ） A ．6 B ．12 C ．18 D ．108【答案】A【分析】设数列经过第n 次拓展后的项数为n b ，因为数列每一次拓展是在原数列的相邻两项中增加一项，则经过第1n +次拓展后增加的项数为1n b −，从而可得1121n n n n b b b b +=+−=−，从而可求出21nn b =+，从而可知经过11次拓展后在2与6之间增加的数为1021−，由此可得出经过11次拓展后6所在的位置，即可得出答案.【详解】解：设数列经过第n 次拓展后的项数为n b ，因为数列每一次拓展是在原数列的相邻两项中增加一项，则经过第1n +次拓展后增加的项数为1n b −， 所以1121n n n n b b b b +=+−=−， 即()1121n n b b +−=−，即1121n n b b +−=−， 所以数列{}1−n b 是以12b =为首项，2为公比的等比数列，是以12nn b −=，所以21n n b =+，则经过11次拓展后在2与6之间增加的数为1021−，所以经过11次拓展后6所在的位置为第10102111211025−++=+=， 所以10256a =. 故选：A.二、多选题20．（2022秋·安徽阜阳·高三安徽省临泉第一中学校联考阶段练习）若数列{}n a 满足：对任意正整数{}1,n n n a a +−为递减数列，则称数列{}n a 为“差递减数列”．给出下列数列{}()*N n a n ∈，其中是“差递减数列”的有（ ） A ．2n n a = B ．2n a n =C ．n aD ．ln n a n =【答案】CD【分析】利用差递减数列的定义及函数的单调性即可求解.【详解】对A ，若2n n a =，则11222n n nn n a a ++−=−=，由函数2n y =在()0,∞+上单调递增，所以{}1n n a a +−为递增数列，故A 错误；对B ，若2n a n =，则221(1)21n n a a n n n +−=+−=+，由函数21y n =+在()0,∞+上单调递增，所以{}1n n a a +−为递增数列，故B 错误；对C ，若n a =1n n a a +−==y =()0,∞+上单调递减，所以{}1n n a a +−为递减数列，故C 正确；对D ，若ln n a n =，则()111ln 1ln ln ln 1n n n a a n n n ++⎛⎫−=+−==+ ⎪⎝⎭，由函数1ln 1y n ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在()0,∞+上单调递减，所以{}1n n a a +−为递减数列，故D 正确． 故选：CD ．21．（2023春·江西新余·高二新余市第一中学校考阶段练习）若数列{}n a 满足：,A B ∃∈R ，0AB ≠，使得对于*n ∀∈N ，都有21n n n a Aa Ba ++=+，则称{}n a 具有“三项相关性”，下列说法正确的有（ ）. A ．若数列{}n a 是等差数列，则{}n a 具有“三项相关性” B ．若数列{}n a 是等比数列，则{}n a 具有“三项相关性” C ．若数列{}n a 是周期数列，则{}n a 具有“三项相关性”D ．若数列{}n a 具有正项“三项相关性”，且正数A ，B 满足1A B +=，12a a B +=，数列{}n b 的通项公式为n n b B =，{}n a 与{}n b 的前n 项和分别为n S ，n T ，则对*n ∀∈N ，n n S T <恒成立【答案】ABD【分析】根据题目给出的“三项相关性”的定义，逐项验证即可.【详解】若{}n a 为等差数列，则有211n n n n a a a a +++−=−，212n n n a a a ++=−，A 正确；若数列{}n a 是等比数列，则21n n a qa ++=，1n n a qa +=，（0q ≠）,即()211n n n a q a qa ++=−+，易知1q ≠，显然成立，1q =时，21n n n a a a ++==，取12A B ==，有211122n n n a a a ++=+，也成立，所以B 正确； 对周期数列：0，0，1，0，0，1，⋅⋅⋅，所以1n =时，100A B =⨯+⨯，显然不成立，所以C 错误； 对D ，()211n n n a B a Ba ++=−+，即()211n n n n a a B a a ++++=+，12a a B += ∴121n n n n a a B BB −+++=⋅=，1B >，易知()211n n n n n a a B a a a ++++=+>，即n n b a >，*N n ∈，故n n S T <，D 正确； 故选：ABD22．（2023春·广东惠州·高三校考阶段练习）斐波那契数列又称黄金分割数列，因数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”．斐波那契数列用递推的方式可如下定义：用n a 表示斐波那契数列的第n 项，则数列{}n a 满足：121a a ==，21n n n a a a ++=+，记121ni n i a a a a ==++⋅⋅⋅+∑，则下列结论正确的是（ ）A ．数列{}n a 是递增数列B ．()2123n n n a a a n −+=+≥C ．20222202220231i i a a a ==⋅∑D ．2021202311i i a a ==−∑【答案】BCD【分析】由数列的递推公式可判断A,B ；利用累加法计算可判断选项C,D.【详解】对A ，由21n n n a a a ++=+知，{}n a 的前10项依次为：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55， 其中，第一二项相等，不满足递增性，故A 错误；对B ，根据递推公式12n n n a a a −−=+，得()21213n n n n n n n a a a a a a a n −−−++=++=+≥，故B 正确；对C ，2121a a a =⋅，()222312321a a a a a a a a =⋅−=⋅−⋅，()233423432a a a a a a a a =⋅−=⋅−⋅，……，()220222022202320212022202320222021a a a a a a a a =⋅−=⋅−⋅，∴22212202220222023a a aa a ++⋅⋅⋅=⋅，即20222202220231i i a a a ==⋅∑，故C 正确；对D ，由递推式，得321a a a −=，432a a a −=，…，202320222021a a a −=， 累加得324320232022122021a a a a a a a a a −+−+⋅⋅⋅+−=++⋅⋅⋅+， ∴20232122021a a a a a −=++⋅⋅⋅+， ∴1220212023220231a a a a a a ++⋅⋅⋅+=−=−， 即2021202311i i a a ==−∑，故D 正确；故选：BCD ．23．（2023秋·河北邯郸·高二统考期末）若{}n a 不是等比数列，但{}n a 中存在互不相同的三项可以构成等比数列，则称{}n a 是局部等比数列.下列数列中是局部等比数列的是（ ） A ．(){}28n−+ B ．137n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭C ．17122n n +⎧⎫−⎨⎬⎩⎭D ．{}225n +【答案】ABD【分析】对于ABD ，直接取特定项验证即可；对于C ，定义法可证为等比数列后即可判断.【详解】对于A ：若()28nn a =−+，则16a =，212a =，424a =，由212624=⨯，得1a ，2a ，4a 成等比数列，因为(){}28n−+不是等比数列，所以(){}28n−+是局部等比数列.故A 正确；对于B ：若137n a n =+，则1110a =，11140a =，511160a =，由21114010160⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭，得1a ，11a ，51a 成等比数列，因为137n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭不是等比数列，所以137n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭是局部等比数列. 故B 正确；对于C ：若117113222n n n n a ++=−=，则112n n a a +=，则{}n a 是等比数列，所以17122n n +⎧⎫−⎨⎬⎩⎭不是局部等比数列. 故C 错误；对于D ：若225n a n =+，则550a =，15250a =，351250a =，由250125050250=，得5a ，15a ，35a 成等比数列，因为{}225n +不是等比数列，所以{}225n +是局部等比数列. 故D 正确.故选：ABD.24．（2023春·安徽蚌埠·高二蚌埠二中校考阶段练习）已知数列{}n a 是各项均为正数且公比不等于1的等比数列()*N n ∈，对于函数()f x ，若数列(){}ln n f a 为等差数列，则称函数()f x 为“保比差数列函数”，则定义在()0,∞+上的如下函数中是“保比差数列函数”的有（ ） A ．()1f x x=为“保比差数列函数” B ．()2f x x =为“保比差数列函数”C ．()e xf x =为“保比差数列函数” D ．()f x =“保比差数列函数”【答案】ABD【分析】设数列{}n a 的公比为()1q q ≠，利用保比差数列函数的定义，结合等差数列的定义逐项验证即可. 【详解】设数列{}n a 的公比为()1q q ≠， 选项A ：()1ln lnn nf a a =， 所以()()11111ln ln lnln ln ln n n n n n n af a f a q a a a +++−=−==−是常数， 所以数列(){}ln n f a 为等差数列，A 满足题意；选项B ：()2ln ln n n f a a =，所以()()22221112ln ln ln ln ln ln 2ln n n n n nna f a f a aa q q a +++−=−===是常数，所以数列(){}ln n f a 为等差数列，B 满足题意；选项C ：()ln ln e n an n f a a ==，所以()()11ln ln n n n n f a f a a a ++−=−不是常数， 所以数列(){}ln n f a 不为等差数列，C 不满足题意； 选项D ：()ln n f a =所以()()11ln ln ln 2n n f a f a q +−==是常数，所以数列(){}ln n f a 为等差数列，D 满足题意； 故选：ABD25．（2022秋·福建福州·高二校联考期末）在数列{}n a 中，若221(2,,n n a a p n n p *−−=≥∈N 为常数），则称{}n a 为“平方等差数列”.下列对“平方等差数列”的判断，其中正确的为（ ）A ．{}(2)n−是平方等差数列B ．若{}n a 是平方等差数列，则{}2n a 是等差数列C ．若{}n a 是平方等差数列，则{}(,,,n ka b k b k b *+∈N 为常数）也是平方等差数列D ．若{}n a 是平方等差数列，则{}(,,,kn b a k b k b *+∈N 为常数）也是平方等差数列【答案】BD【分析】根据等差数列的定义，结合平方等差数列的定义逐一判断即可. 【详解】对于A ，当n 为奇数时，则()1n −为偶数，所以()()()11122223?2n n n n n −−−−−−=−+=−，当n 为偶数时，则()1n −为奇数，所以()()()11122223?2n n n n n −−−−−−=+=，即{}(2)n−不符合平方等差数列的定义，故错误；对于B ，若{}n a 是平方等差数列，则221(2,,n n a a p n n p *−−=≥∈N 为常数），即{}2n a 是首项为21a ，公差为p 的等差数列，故正确；对于C ，若{}n a 是平方等差数列，则221(2,,n n a a p n n p *−−=≥∈N 为常数）， 则()()()()222221112n n n n n n ka b ka b k a a kb a a −−−+−+=−+−，即()())222112n n n n ka b ka b k p kb a a −−+−+=+−，当{}n a 为等差数列时，1n n a a d −−=，则{}n ka b +为平方等差数列， 当{}n a 不为等差数列时，则{}n ka b +不为平方等差数列，故错误；对于D ，因为{}n a 是平方等差数列，所以()()222222121111+++++−−=−==−=kn kn kn kn kn k n a a a a a a p ，把以上的等式相加，得()()()()()222222121111+++++−−+−+⋯+−=kn kn kn kn k n k n a a a a a a kp ， 22(1)k n kn a a kp +∴−=，则()221kn b k n ba a kp +++−=，即数列{}knb a +是平方等差数列，故正确； 故选:BD26．（2023秋·山西吕梁·高二统考期末）定义：在数列的每相邻两项之间插入此两项的积，形成新的数列，这样的操作叫作该数列的一次“美好成长”．将数列1，4进行“美好成长”，第一次得到数列1，4，4；第二次得到数列1，4，4，16，4，L ，设第n 次“美好成长”后得到的数列为121,,,,,4k x x x L ，并记()412log 14n k a x x x =⨯⨯⨯⨯⨯L ，则（ ）A ．25a =B ．131n n a a +=−C ．21nk =+D ．数列{}n na 的前n 项和为()()13213218n n n n +−+++【答案】ABD【分析】对A ：由题意直接运算判断；对B ：根据第1n +次“美好成长”与第n 次“美好成长”的关系分析运算；对C ：根据题意分析可得：()1121n n b b ++=+，利用构造法结合等比数列分析运算；对D ：由131n n a a +=−，利用构造法结合等比数列可得312n n a +=，利用裂项相消结合分组求和运算求解.【详解】对A ：()()25144244log 144log 42,log 144164log 45a a =⨯⨯===⨯⨯⨯⨯==，A 正确；对B ：由题意可知：()()()(){}()()212141211241214log 1414log 1414k n k k k x x x a x x x x x x x x x x +⎡⎤⨯⨯⨯⨯⨯⎡⎤=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎢⎥⎣⎦⨯⎢⎥⎣⎦()()312441214log 3log 141314k k n x x x x x x a ⨯⨯⨯⨯⨯==⨯⨯⨯⨯⨯−=−，故131n n a a +=−，B 正确；对C ：设第n 次“美好成长”后共插入n b 项，即n k b =，共有1n b +个间隔，且11b =， 则第1n +次“美好成长”后再插入1n b +项，则()1121n n n n b b b b +=++=+， 可得()1121n n b b ++=+，且1120b +=≠，故数列{}1n b +是以首项为2，公比为2的等比数列， 则11222n n n b −+=⨯=，故21n n k b ==−，C 错误；对D ：∵131n n a a +=−，则111322n n a a +⎛⎫−=− ⎪⎝⎭，且113022a −=≠， 故数列12n a ⎧⎫−⎨⎬⎩⎭是以首项为32，公比为3的等比数列，则11333222n n n a −−=⨯=，即312n n a +=，设()()()1313232332222n n n n n n n n nna An B A n B An A B +=+⋅−++⋅+=−−−⋅+=⨯+⎡⎤⎣⎦，则122320A A B ⎧−=⎪⎨⎪−−=⎩，解得1438A B ⎧=−⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故1321233882n n n n n nna +−−=⋅−⋅+， 设数列{}n na 的前n 项和为n S ， 则22311211133212122333333888888222n n n n n n n S a a na +⎡−−−−−⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=⨯−⨯+⨯−⨯++⋅−⋅++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦L L L()()1113122321322388218n n n n n n n n ++⎛⎫+ −++⎪−⎝⎭=−⋅++=， 即数列{}n na 的前n 项和为()()13213218n n n n +−+++，D 正确.故选：ABD. 【点睛】结论点睛：（1）构造法：()()110,1n n n n a ka m km k a a λλ++=+≠≠⇔+=+；（2）裂项构造：()()()11n n n kn b q An B q A n B q ++⋅=+⋅−++⋅⎡⎤⎣⎦.27．（2023春·安徽·高二合肥市第八中学校联考开学考试）在数学课堂上，教师引导学生构造新数列：在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列，将数列1，2进行构造，第1次得到数列1，3，2；第2次得到数列1，4，3，5，2；…；第()*N n n ∈次得到数列1，1x ，2x ，3x ，…，k x ,2．记1212n k a x x x =+++⋅⋅⋅++，数列{}n a 的前n 项和为n S ，则（ ） A ．342a = B ．133n n a a +=− C ．()2332n a n n =+ D ．()133234n n S n +=+− 【答案】ABD【分析】根据数列的构造方法先写出前面几次数列的结果，寻找规律，再进行推理运算即可． 【详解】解：由题意可知，第1次得到数列1，3，2，此时1k =， 第2次得到数列1，4，3，5，2，此时3k =，第3次得到数列1，5，4，7，3，8，5，7，2，此时7k =，第4次得到数列1，6，5，9，4，11，7，10，3，11，8，13，5，12，7，9，2，此时15k =，第n 次得到数列1，1x ，2x ，3x ，L ，k x ，2，此时21n k =−， 由此可得133a =+，2339a =++，33392742a =+++=，故A 正确； 43392781a =++++，…，()112331333333333132n n nna +−+=++++⋅⋅⋅+=+=−，故C 错误； 由1332n n a ++=，可得2133332n n n a a +++==−，故B 正确；由()()()23411129131313333333232221324n n n n n n n S a a a n ++−=++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅++=⨯+=+−−，故D 正确．故选：ABD ．三、填空题28．（2022春·上海长宁·高二上海市延安中学校考期中）对于数列{}n a ，若存在正整数m ，使得对任意正整数n ，都有n m n a a q +=（其中q 为非零常数），则称数列{}n a 是以m 为周期，以q 为周期公比的“类周期性等比数列”.若“类周期性等比数列”的前4项为1，1，2，3，周期为4，周期公比为3，则数列{}n a 前21项的和为__． 【答案】1090【分析】确定43n n a a +=，数列{}n a 从第二项起连续四项成等比数列，利用等比数列公式计算得到答案. 【详解】43n n a a +=，故513a a q ==，由题意得数列{}n a 从第二项起连续四项成等比数列， 234512339,3a a a a q +++=+++==，则数列{}n a 前21项的和为()5523451913()(1)11090113a a a a q a q ⨯−+++−+=+=−−． 故答案为：109029．（2022秋·福建泉州·高二统考期末）对于数列{}n a ，记：()()()()()()()1212311112n n n n n n n n n a a +++∆∆∆=∆=∆=∆∆，，，…，()()()111k k n n k n−+−∆∆=∆（其中*n ∈N ），并称数列(){}k n ∆为数列{}n a 的k 阶商分数列.特殊地，当(){}kn ∆为非零常数数列时，称数列{}n a 是k 阶等比数列.已知数列{}n a 是2阶等比数列，且20123220482a a a ===，，，若n m n a a −=，则m =___________. 【答案】23【分析】根据给定的定义，计算(1)(1)12,∆∆，进而求出数列(1){}n ∆的公比及通项，再借助累乘法求出数列{}n a 的通项即可推理计算作答.【详解】由数列{}n a 是2阶等比数列，得(2)(0)nq q ∆=≠，即(1)(2)1(1)n nnq +∆∆==∆， 且(1)(1)10(1)932212(1)12112,2,2a a q a a ∆∆==∆====∆，即数列(1){}n ∆是首项为102，公比为12的等比数列， 则有(1)10111112()()22n n n −−∆=⨯=，即1111()2n n n a a −+=，当2n ≥时， 22320109121(10)(9)(12)3221121111112()()()()()22222nn n n n n n aa a a a a a a −+−−−−+−+−++−−=⋅⋅⋅⋅=⨯⨯⨯⨯==，而12a =满足上式，因此22320212n n n a −+⎛⎫= ⎪⎝⎭，由n m n a a −=得：222320()23()202211()()22nn m n m n −+−−−+=，即222320()23()20n n m n m n −+=−−−+，整理得(2)23(2)m n m n m −=−，又n 为小于m 的任意正整数，所以23m =. 故答案为：23【点睛】关键点睛：涉及数列新定义问题，关键是正确理解给出的定义，由给定的数列结合新定义探求数列的相关性质，并进行合理的计算、分析、推理等方法综合解决.30．（2023·河南郑州·统考一模）“外观数列”是一类有趣的数列，该数列由正整数构成，后一项是前一项的“外观描述”．例如：取第一项为1，将其外观描述为“1个1”，则第二项为11；将描述为“2个1”，则第三项为21；将21描述为“1个2，1个1”，则第四项为1211；将1211描述为“1个1，1个2，2个1”，则第五项为111221，…，这样每次从左到右将连续的相同数字合并起来描述，给定首项即可依次推出数列后面的项．则对于外观数列{}n a ，下列说法正确的有______． ①若13a =，则从4a 开始出现数字2；②若1a k =（1k =，2，3，…，9），则()*n a n ∈N 的最后一个数字均为k ；③{}n a 不可能为等差数列或等比数列； ④若1123a =，则()*n a n ∈N 均不包含数字4．【答案】②④【分析】对①，由外观数列定义列举判断； 对②，由外观数列定义判断； 对③，取反例，如122a =；对④，由反证法，结合外观数列定义判断.【详解】对①，12343,13,1113,3113a a a a ====，①错；对②，由外观数列的定义，每次都是从左到右描述，故一开始的k （1k =，2，3，…，9）始终在最右边，即最后一个数字，②对； 对③，取122a =，则2322a a ===，此时既为等差数列，也为等比数列，③错；对④，1234123,111213,31121113,1321123113a a a a ====，设数列()*,5k a k k N ∈≥首次出现数字4，则1k a −必出现了4个连续的相同数字m （1m =，2，3，…，9），而2k a −的描述必包含“1个m ，1个m ”，与1k a −的描述矛盾，故()*n a n ∈N 均不包含数字4，④对.故选：②④31．（2023秋·内蒙古阿拉善盟·高三阿拉善盟第一中学校考期末）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，对任意n *∈N 都有1n n a a t ++=（t 为常数），则称该数列为“t 数列”，若数列{}n a 为“2数列”，且11a =−，则2023S =______. 【答案】2021【分析】利用并项求和即可.【详解】根据题意得到：2320222402532a a a a a a ++=+===，所以()()()202312345202220232101112021S a a a a a a a =+++++++=⨯−=.故答案为：2021.32．（2023秋·宁夏吴忠·高二吴忠中学校考期末）定义n 个正数12,,,n p p p ⋯的“均倒数”为12nnp p p ++⋅⋅⋅+，若各项均为正数的数列{}n a 的前n 项的“均倒数”为121n +，则2023a 的值为______ 【答案】8091【分析】利用“均倒数”的概念求出(21)n S n n =+，再利用递推关系求出41n a n =−，再代入值即可. 【详解】由已知可得数列{}n a 的前n 项的“均倒数”为 121,21n n n n a a a S n ==++⋯++可得(21)n S n n =+,则2n …时, 21[2(1)1](1)231n S n n n n −=−+−=−+141n n n a S S n −∴=−=−，当1n =时,113a S ==,满足41n a n =−, 202341,4202318091n a n a ∴=−=⨯−=.故答案为: 8091 .33．（2023秋·安徽淮北·高二淮北一中校考期末）对给定的数列{}()0n n a a ≠，记1n n na b a +=，则称数列{}n b 为数列{}n a 的一阶商数列；记1n n nb c b +=，则称数列{}n c 为数列{}n a 的二阶商数列；以此类推，可得数列{}n a 的P 阶商数列()P *∈N ，已知数列{}n a 的二阶商数列的各项均为e ，且121,1a a ==，则10a =___________．【答案】36e【分析】由题意可得1e n n n b c b +==，从而得1e n n b −=，即11e n n naa −+=，由累乘法即可求得10a 的值. 【详解】解：由数列{}n a 的二阶商数列的各项均为e ，可知1e n n nb c b +==， 而2111a b a ==， 故数列{}n b 是以1为首项，e 为公比的等比数列，即1e n n b −=，即11e ,n n na n a −*+=∈N ， 即283102412391,e,e ,,e a a a a a a a a ====． 所以()18828128363102421011239··11e e ?·e e =e=e a a a a a a a a a a +⋅+++=⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=，故3610e a =．故答案为：36e34．（2022秋·上海·高二期中）定义:对于任意数列{}n a ,假如存在一个常数a 使得对任意的正整数n 都有n a a <,且lim n n a a →+∞=,则称a 为数列{}n a 的“上渐近值”．已知数列{}n a 有12,a a a p ==（p 为常数,且0p >）,它的前n 项和为n S ,并且满足()12n n n a a S −=,令2112n n n n n S S p S S ++++=+,记数列{}122n p p p n +++−的“上渐近值”为k ,则100coskπ的值为 _____． 【答案】12−##-0.5【分析】先根据n S 求解数列{}n a 的通项公式,得出等差数列后,利用等差数列求和方法求出n S ,代入n p 得出n p 的表达式,最后即可得出上渐近值． 【详解】解:当1n =时,()1111102a a S a ⨯−===,当2n ≥时,()()()1111122n n n n n n a a n a a a S S −−−−−=−=−,得到112n n n a a n −−=−, 根据累乘法:()212332123421n n n n a a n p n n n −−−=⨯⨯⨯⨯⨯⨯=−−−−;满足n=1情况， 故而数列{}n a 是首项为0,公差为p 的等差数列,()12n n n pS −∴=,21122112222n n n n n S S n n p S S n n n n +++++⎛⎫∴=+=+=+− ⎪++⎝⎭, 122n p p p n ∴+++−=111111111221232435112n n n n n n ⎛⎫+−+−+−++−+−− ⎪−++⎝⎭11121212n n ⎛⎫=+−− ⎪++⎝⎭()()46312n n n +=−++,()()()1246li 231m l 32im n n n n p p p n n n →+∞→+∞⎛⎫+∴+++−=−= ⎪ ⎪++⎝⎭, 3k ∴=,10010021coscos cos 332k πππ⎛⎫∴==−=− ⎪⎝⎭. 故答案为:12−35．（2023·高二课时练习）定义：各项均不为零的数列{}n a 中，所有满足10i i a a +⋅<的正整数i 的个数称为这个数列{}n a 的变号数.已知数列{}n b 的前n 项和26n S n n a =−+（n *∈N ，5a ≠），令41n na b =−（n *∈N ），若数列{}n a 的变号数为2，则实数a 的取值范围是___________. 【答案】()(),59,−∞+∞。