RLC串联和并联谐振电路谐振时的特性.
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电路谐振
X L XC
1 LC 0
1 L C
1 2 LC
f0
8.6
正弦稳态电路的谐振
（三）串联谐振的特点
I
R
1、X L X C
U R
U L
Z Z min R X L X C
2
2
U
L C
R 最小
U C
2、 当电源电压一定时： U I I 0 I max 最大 R
L1
C
RL2
L2
L2 L3
e1、e2、e3
e1 e2 e3
C
为来自3个不同电台（不同频率）的电动势信号；
L2 - C 组成谐振电路 ，选出所需的电台。
8.6
正弦稳态电路的谐振
问题（一）：如果要收听
e1
节目，C 应配多大？
RL2
L2
已知：
L2 250 H、 RL2 20
f1 820 kHz
8.6
正弦稳态电路的谐振
1、 网络的频率特性
概念：网络的频率特性是 研究正弦交流电路 中电压、电流随频 率变化的关系（即 频域分析）。 传递函数：
U T （j ) O U i
U i
网 络
U o
根据网络的频率特性，可将网络分成低通、高通、带通、 带阻、全通网络。
8.6
正弦稳态电路的谐振
正弦稳态电路的谐振
2、串联谐振的阻抗频率特性
Z ，X L , X C
( )
XL R 0 ω0 XC ω
2
0
ω0
ω
2
8.6
正弦稳态电路的谐振
3、电流的频率特性
rlc串联并联谐振电路特点
rlc串联并联谐振电路特点串联并联谐振电路特点及其应用串联谐振电路是由电感、电容和电阻元件组成的。
当电感、电容和电阻元件串联形成的电路中谐振频率与输入信号频率相匹配时，电路会表现出特殊的特点。
首先，串联谐振电路具有频率选择性。
当输入信号频率接近谐振频率时，电路中的电感和电容元件形成回路，实现能量的存储与释放，从而增强了电路的响应。
而在其他频率下，电路中的电感和电容元件起到阻抗的作用，导致电压幅度减小，电路的响应则减弱。
其次，串联谐振电路具有阻抗最小的特点。
在谐振频率时，电感和电容元件的阻抗对消，电路中总的阻抗最小。
这导致电路对输入信号的阻抗较低，使得电路能够吸收更多的能量，从而达到最大的电流和电压响应。
另外，串联谐振电路还具有相位特性。
在电路的谐振频率时，电阻元件的电压与电流处于同相位，而电感元件的电压与电流处于相位滞后90度，电容元件的电压与电流处于相位超前90度。
这种相位特性可以被用来滤波和频率选择的应用。
并联谐振电路与串联谐振电路类似，只是电感和电容元件是并联连接的。
并联谐振电路具有的特点与串联谐振电路类似，但其频率选择性与阻抗最小点的位置相反。
在并联谐振电路中，电路在谐振频率时具有最大的阻抗，而在其他频率下阻抗较低。
串联和并联谐振电路在实际应用中具有广泛的用途。
它们可以作为滤波器、频率选择器和信号调节器使用。
谐振电路也常用于无线传输系统、天线系统、音频放大器以及其他需要特定频率响应的电子设备中。
总之，串联和并联谐振电路具有频率选择性、阻抗最小的特点，并且可以应用于多种电子设备中。
通过合理设计和搭建谐振电路，可以实现各种功能的电路响应。
实验五RLC串联电路的幅频特性与谐振现象
电路分析》实验实验一简单万用表线路计算和校验一、实验目的1．了解万用表电流档、电压档及欧姆档电路的原理与设计方法。
2．了解欧姆档的使用方法。
3．了解校验电表的方法。
二、实验说明万用表是测量工作中最常见的电表之一，用它可以进行电压、电流和电阻等多种物理量的测量，每种测量还有几个不同的量程。
万用表的内部组成从原理上分为两部分：即表头和测量电路。
表头通常是一个直流微安表，它的工作原理可归纳为：“表头指针的偏转角与流过表头的电流成正比”。
在设计电路时，只考虑表头的“满偏电流Im”和“内阻Ri”值就够了。
满偏电流是指表针偏转满刻度时流过表头的电流值，内阻则是表头线圈的铜线电阻。
表头与各种测量电路连接就可以进行多种电量的测量。
通常借助于转换开关可以将表头与这些测量电路分别连接起来，就可以组成一个万用表。
本实验分别研究这些实验。
1．直流电流档多量程的分流器有两种电路。
图1-1的电路是利用转换开关分别接入不同阻值的分流器来改变它的电流量程的。
这种电路计算简单，缺点是可能由于开关接触不太好致使测量不准。
最坏情况（在开关接触不通或带电转换量程时有可能发生）是开关断路，这时全部被测电流都流过表头造成严重过载（甚至损坏）。
因此多量程分流器都采用图1－2的电路，以避免上述缺点。
计算时按表头支路总电阻r0’＝2250Ω来设计，其中ｒ’是一个“补足”电阻，数值视r0大小而定。
图1-1 利用转换开关的分流器图1-2 常用的多量程分流器电路图1-3 实验用万用表直流电流档电路给定表头参数：Ω='μ=2250r A 100I 0m ， 由图1-3得知：1m 10m R )I I (r I -=' 1110m R I )R r (I =+' 1101m I )R r (R I +'=同理，可推得：2102m I )R r (R I +'=合并上两式1101I )R r (R +'=2102I )R r (R +'将10R r +'消去有：2211R I R I = 现将已知数据代入计算如下：)I I (r I R m 10m 1-'=Ω==-⨯⨯=---250922501010225010100R 4361 2211R I R I =1212R I I R =Ω=⨯=5025051R 2 Ω==Ω=50R r 200r 221，2．直流电压档图1-4为实验用万用表直流电压档线路，给定表头参数同上。
实验7RLC串`并联谐振电路
注意: 每次改变频率时，都要重新调节信号发生器的输出电压， 使它保持5V。 2.测量谐振时，L和C上的电压值， 谐振时: UL = ，UC = 与Uab比较，计算Q值
6
3．确定通频带宽度△f、并计算Q值:
Q
f0 f
4．由公式: 计算Q值，并与上述两个Q值进 行比较。
表1 RLC串联电路
L =0.1H（ r0 = ） C = 0.5 μf R = 100 保持Vab=5伏
100 200 300
f (HZ) U( 伏 )
× 500 700 1000
Q 0L
谐振时: IL =
R
IC =
9
R2 (L CR 2 3CL2 )2
Z并
(CR)2 ( 2 LC 1)2
tg 1 L C(R 2 2 L2 )
R
谐振频率:
1 LC
(R)2 L
0
1
1 Q2
式中ω 为串联谐振的角频率
0
5
[实验内容与步骤]
1.测定串联电路的谐振曲线
（1）按图接好电路, 根据R、L和C的数据, 大致估计 电路谐振频率f 0 , 然后, 调节信号源的频率, 按表1进 行测试, 当R两端的电压降最大时, 处于谐振状态, 在 谐振频率附近可多测几次, 以能正确确定谐振频率。 按测试值作出谐振曲线。
f ( Hz) 700 800 900 950 x
1050 1100 1200 1300
U(R)
I
7
2.测定并联电路谐振曲线
只要找到主回路电流最小 时的对应频率, 就是改变信 号源频率, 测出Rs上的压降 最小时的频率, 即为并联电 路的谐振频率。
8
表2 RLC并联电路
6
3．确定通频带宽度△f、并计算Q值:
Q
f0 f
4．由公式: 计算Q值，并与上述两个Q值进 行比较。
表1 RLC串联电路
L =0.1H（ r0 = ） C = 0.5 μf R = 100 保持Vab=5伏
100 200 300
f (HZ) U( 伏 )
× 500 700 1000
Q 0L
谐振时: IL =
R
IC =
9
R2 (L CR 2 3CL2 )2
Z并
(CR)2 ( 2 LC 1)2
tg 1 L C(R 2 2 L2 )
R
谐振频率:
1 LC
(R)2 L
0
1
1 Q2
式中ω 为串联谐振的角频率
0
5
[实验内容与步骤]
1.测定串联电路的谐振曲线
（1）按图接好电路, 根据R、L和C的数据, 大致估计 电路谐振频率f 0 , 然后, 调节信号源的频率, 按表1进 行测试, 当R两端的电压降最大时, 处于谐振状态, 在 谐振频率附近可多测几次, 以能正确确定谐振频率。 按测试值作出谐振曲线。
f ( Hz) 700 800 900 950 x
1050 1100 1200 1300
U(R)
I
7
2.测定并联电路谐振曲线
只要找到主回路电流最小 时的对应频率, 就是改变信 号源频率, 测出Rs上的压降 最小时的频率, 即为并联电 路的谐振频率。
8
表2 RLC并联电路
RLC串联谐振特性
Q1: RLC串联电路作用
在无线电接收设备中用来选择接收信号 电路对非谐振频率的信号衰减作用大，广播电台以不同频率的电
磁波向空间发射自己的讯号，调节收音机中谐振电路的可变电容， 可将不同频率的各个电台分别接收。
在电子技术中用来获取高频高压 对于一般实用的串联谐振电路，R很小且常用L的电阻（即电感线圈
并联时，负载电压只有一个，电流回路有两个，电压与电源相同， 电容电流与电感电流的差值等于电源电流。因此这是电流谐振。
Q3:
在串联谐振发生时，电容或电感上的电压约等于外加电压的Q倍。但 是当你将负载并联到电容或电感上时，电路的Q值将大大下降，这时 在电路中计算时就不能用原来的空载Q值，而要用“有载Q值”，有 载Q可能小于1！ 在串联谐振电路中，电感和电容的电压数值相等，方向相反。 理论上是无穷大,不过实际中由于二极管的压降,共频和负载等原因会 使其电压大大缩减, 变压器的基本原理是电磁感应原理,在初级线圈上加一交流电压，在 次级线圈两端就会产生感应电动势。当N2>N1 时，其感应电动势要 比初级所加的电压还要高，这种变压器称为升压变压器：当N2<N1 时，其感应电动势低于初级电压，这种变压器称为降变压器。初级次 级电压和线圈圈数间具有下列关系。 式中n 称为电压比(圈数比) 。 当n<1 时，则N1>N2 ，V1>V2 ，该变压器为降压变压器。反之则 为升压变压器
(5) 功率
+
P=RI02=U2/R，电阻功率达最大。
•
Q QL QC 0,
U
即QLL与Cω交0换LI能02量, ，Q与C 电源间ω无10C能量I02交换。
_
•
IR
+
_
•
+
RLC电路谐振
8
6
R=100 Ω R=200 Ω
4
2
f(Hz) 0 1500 2000 2500 3000
图1 RLC串联谐振曲线
思考题
1、为什么串联谐振称为电压谐振？为什么并 联谐振称为电流谐振？ 2、求Q值时选取的两个频率f1、f2是否对称 于f0？在什么条件下接近于对称？应用公式 （5-73）时是否要求对称？
大学物理实验
RLC谐振（串联） 实验
深圳大学物理实验中心
一、实验目的
力学实验中，有简谐振动，同样，在电学实验中，由正 弦波电源与电感、电容和电阻组成的串联电路，也会产生 类似现象。当正弦波电源输出频率达到某一频率时，电路 的电流达到最大值，即产生谐振现象。 研究交流电路的谐振现象，认识RLC电路的谐振特性； 学习测绘RLC电路串联谐振曲线的方法.
(或 f0
2 LC
)
1
f0称为RLC电路的固有谐振频率，它只与电路的参数有 关，与信号源无关。由此得到使电路发生谐振的方法有: ①调整信号源的频率，使之等于电路的固有频率； ②信号源的频率不变时，可以改变电路中L或C的大小， 使电路的固有频率等于信号源的频率。
二、实验原理
RLC串联谐振有如下特征: ①谐振时,回路总阻抗为一纯电阻,且取极小值; ②在保持信号源输出电压恒定的条件下,谐振时,电 流有极大值.
二、实验原理
（一）串联谐振
C
L U
R
~ RLC串联电路如图一所示，设信号源输出电压的频 率为 ，则回路中的电流有效值I和信号源的电压有效 值之间的关系为： U U I Z 1 2 （1） 2
(R r ) (L ) L C
I
rL 式中Z为总阻抗， 为电感上直流电阻。电压与电 1 流的位相差为： L （2 ） C ) tg 1 (
电工技术：并联电路的谐振
BL BC
f f0
1 2 LC
一、并联谐振的条件
2.RL串联再与C并联电路的谐振
Y
+ i
u －
i1 R L iC C
1 jC R jL R L 2 j (C 2 ) 2 2 R (L) R （L)
电路发生谐振时，电压与电流同相，复数导纳的虚部为零。得谐振 条件：
并联电路的谐振
一、并联谐振的条件
1.RLC并联电路的谐振
并联谐振时，电路的复数导纳虚部为零。
Y G j ( BC BL )
BL BC
电路发生谐振时，电感支路电流与电容支路电流大小相 等，方向相反，总电压与总电流同相位，电路呈阻性。
U U IL , IC XL XC
求得谐振条件和谐振频率：
L C 2 R (L) 2
R R Y0 2 2 R (0 L) (0 L)2
一、并联谐振的条件
+ i
u －
i1 R L iC C
谐振角频率
1 R2 1 C 0 2 1 R2 LC L L LC
谐振频率
R很小
0
1 LC
1 1 R2 1 CR 2 f0 2 1 2 LC L 2 LC L
2 2
P I L0 R I L0
L
2 1.59 106 100 106 10 10 3 2 1mW Q 100
当 Q 远大于 1时， 电感支路电流和电容支路电流比总电流大很多，因此并联谐振也称为电流谐振。
三、习题讲解
例题 如图所示电路，已知L=100μ H，C=100pF，电路品质因数为100，电源电压U =10V，若电路
电路中的谐振
类似地，将并联谐振中I1或IC与I0的比值称为品质因数Q，即
Q I1 IC 0L 1 1 L I0 I0 R 0CR R C
（4）
第 12 页
电 路 中 的 谐 振
并 联 谐 振
1.1
RLC
第 13 页
例2-11
将一个R＝15Ω、L＝0.23mH的电感线圈与一个C＝100pF的电
容器并联，求该并联电路的谐振频率和谐振时的等效阻抗。
，其值最小，电路呈电阻
性。由于此时电源电压与电路中的电流同相，因此，电源供给电路的能量全
部被电阻所消耗，电源与电路之间不发生能量互换，能量互换只发生在电感
线圈与电容器之间。
②在电源电压U不变的情况下， 电路中的电流在谐振时将达到最大，即
Hale Waihona Puke I0U R③• 由于• XL＝XC，所以，UL＝UC。但
因
U
与
L
下（右）图所示。
电 路 中 的 谐 振
并 联 谐 振
1.1
RLC
由基尔霍夫电流定律的相量表示式可知
•
•
•
I
•
I1
•
IC
R
U
jL
U j 1
C
•
U
R2
R
L2
j
R2
L
L2
C
（1）
••
由于谐振时U与 I 同相，因此，上式中的虚部应为零，即
R2
L
L2
C
0
（2）
第 10 页
电 路 中 的 谐 振
U
C
相位相反，互相抵消，故电
源电压等于电阻电压
•
U
•
UR
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(2)电路谐振时, UL和UC为何值。
图12－18
解：(l)电压源的角频率应为
0
1 LC
1
rad/s 10 6 rad/s
10 4 10 8
(2)电路的品质因数为
Q 0 L 100
R
则
UL UC QU S 100 10V 1000 V
二、RLC并联谐振电路
即阻抗呈现纯电阻，达到最小值。若在端口上外加电
压源，则电路谐振时的电流为
I U S U S ZR
(12 31)
电流达到最大值，且与电压源电压同相。此时电阻、
电感和电容上的电压分别为
U R RI US (8 32)
U L
j0 LI
j
0L
R
U
S
jQU S
压和电流的正弦振荡。其情况和 LC并联电路由初始储能 引起的等幅振荡相同，因此振荡角频率也是ω 0 1 ，与
LC
串联谐振电路相同。
图12－21 并联电路谐振时的能量交换
谐振时电感和电容的总能量保持常量，即
W
WL
WC
LI
2 L
CU
2 C
CR2IS2
(12 48)
谐振时电感和电容的总能量保持常量，即
§12－3 谐振电路
含有电感、电容和电阻元件的单口网络，在 某些工作频率上，出现端口电压和电流波形相位 相同的情况时，称电路发生谐振。能发生谐振的 电路，称为谐振电路。谐振电路在电子和通信工 程中得到广泛应用。本节讨论最基本的RLC串联 和并联谐振电路谐振时的特性。
一、RLC串联谐振电路
图12－15(a)表示RLC串联谐振电路，图12－15(b)是它 的相量模型，由此求出驱动点阻抗为
Y ( j) jC 1 R jL
R2
R
(L)2
jC
R2
L (L)2
图12－22
Y ( j)
R2
R
(L)2
jC
R2
L (L)2
令上式虚部为零 C L 0 R 2 (L)2
求得
0
1 LC
1 U
j0 L
j
R
0L
IS
jQIS
IC j0CU j0 RCIS jQIS
(12 43) (12 44) (12 45)
其中
Q
R
0L
R 0 C
R
C L
(12 46)
称为RLC并联谐振电路的品质因数，其量值等于谐振 时感纳或容纳与电导之比。电路谐振时的相量图如图1220(b)所示。
相当于短路？哪些单口相当于开路？
图12-3-3
图 12-19(a) 所 示 RLC 并 联 电 路 ， 其 相 量 模 型 如 图 1219(b)所示。
图12－19
驱动点导纳为
Y
(
j )
I U
G j(C 1 ) | Y ( j) | () L
其中
(12 38)
| Y ( j) | G 2 (C 1 )2 L
uC (t) uL (t) QUSm cos(0t 90 )
电感和电容吸收的功率分别为：
pL (t) QUSm Im cos(0t) cos(0t 90 ) QUSI sin(20t) pC (t) pL (t) QUSI sin(20t)
由于 u(t)=uL(t)+uC(t)=0 (相当于虚短路)，任何时刻进 入电感和电容的总瞬时功率为零，即pL(t)+pC(t)=0。电感和 电容与电压源和电阻之间没有能量交换。电压源发出的功 率全部为电阻吸收，即pS(t)=pR(t)。
W
WL
WC
LI
2 L
CU
2 C
CR2IS2
(12 48)
图12－21 并联电路谐振时的能量交换
由于并联电路的电压相同，即UL=UC=RIS。当电阻R
增加到2倍，或电容 C 增加到4倍( Q R C 增加一倍)时，
L
总储能增加到4倍，将导致电流IL= IC增加一倍。若电感减
小到原值的l/4(Q增加一倍)，总能量
R
R(1 Q2 )
当0L>>R 时
Z ( jω 0 )
(ω 0L)2 R
(106
10 4 )2 10k
思考与练习
12-3-l 欲提高串联谐振电路的 Q值，应如何改变 R、L和 C?
12-3-2 欲提高并联谐振电路的 Q值，应如何改变 R、L和 C?
12-3-3 电路如图12-3-3所示。若 ω 1 ，问哪些单口 LC
当 ωL ωC1 0 ，即 ω
1 时，()=0,
LC
|Z(j)|=R,电压u(t)与电流i(t)相位相同，电路发生谐振。
也就是说，RLC串联电路的谐振条件为
0
1 LC
(12 27)
式中 ω 0＝ 1 称为电路的固有谐振角频率。
LC
当电路激励信号的频率与谐振频率相同时，电路发生 谐振。用频率表示的谐振条件为
能量在电感和电容间的这种往复交换，形成电压和电
流的正弦振荡，这种情况与 LC串联电路由初始储能引起
的等幅振荡相同(见第九章二阶电路分析)。其振荡角频率
ω 0＝
1 LC
，完全由电路参数L和C来确定。
谐振时电感和电容中总能量保持常量，并等于电感中
的最大磁场能量，或等于电容中的最大电场能量，即
W
WL
设电流源电流iS(t)=Ismcos(0t)，则：
u(t) Um cos(0t) RISm cos(0t) iL (t) QISm cos(0t 90 ) iC (t) QISm cos(0t 90 ) 电感和电容吸收的瞬时功率分别为：
pL (t) QUmISm cos0t cos(0t 90 ) QUIS sin(20t) pC (t) pL (t) QUIS sin(20t)
图12－15
Z
(
j )
U I
R j(L 1 ) | Z ( j) | () C
其中
(12 24)
| Z ( j) | R2 (L 1 )2 C
L 1 () arctan( C )
R
(12 25) (12 26)
1. 谐振条件
l/4( Q增加一倍)， W CU总C2 能量不变，而电压UL= UC增
加一倍。总之， R、L和 C的改变造成
Q 1 L变化的倍
RC
数与UL= UC变化的倍数相同。
例12-7 电路如图12-18所示。已知 uS (t) 10 2 cosωt V
求: (l) 频率为何值时，电路发生谐振。
U L U C QU S QU R
(12 36)
若Q>>1,则UL=UC>>US=UR，这种串联电路的谐振称为
电压谐振。
3.谐振时的功率和能量
设电压源电压为uS(t)=Usmcos(0t)，则：
i(t)
Im
cos(0t)
U Sm R
cos(0t)
uL (t) QUSm cos(0t 90 )
图12—17串联电路谐振时的能量交换
电感和电容之间互相交换能量，其过程如下:当电流减 小时，电感中磁场能量WL=0.5Li2减小，所放出的能量全部 被电容吸收，并转换为电场能量，如图12-17(a)所示。当电 流增加时，电容电压减小，电容中电场能量WC=0.5Cu2减 小，所放出的能量全部被电感吸收，并转换为磁场能量， 如图12－17(b)所示。
图12－20
由以上各式和相量图可见，谐振时电阻电流与电流源 电流相等 IR IS 。电感电流与电容电流之和为零，
即 IL IC 0 。电感电流或电容电流的幅度为电流源电 流或电阻电流的Q倍，即
I L IC QI S QI R
并联谐振又称为电流谐振。
(8 47)
3.谐振时的功率和能量
CR 2 1
L
1 LC
1 1
Q2
其中 Q 1 L 是RLC串联电路的品质因数。
RC
当Q >>1时, ω 0 1
LC
代入数值得到
0
1 104 108
1 108 rad/s 106 rad/s 104
谐振时的阻抗
Z
(
j 0
)
Y
(
1
j0
)
R (0 L)2
WC
CU
2 C
LI
2 L
L U S R
2
(12 37)
可以从能量的角度来说明电路参数 R、L、C变化对电
感和电容电压UL= UC的影响。若电阻 R减小一半，或电感
L增加到4倍( Q 1
R
L C
增加一倍)，则总能量
W
LU
2 S
/
R 2增
加到4倍，这将造成电压UL=UC增加一倍。若电容 C减少到
f
f0
2
1 LC
(12 28)
RLC串联电路在谐振时的感抗和容抗在量值上相等，
其值称为谐振电路的特性阻抗，用表示，即
0L
1
0C
图12－18
解：(l)电压源的角频率应为
0
1 LC
1
rad/s 10 6 rad/s
10 4 10 8
(2)电路的品质因数为
Q 0 L 100
R
则
UL UC QU S 100 10V 1000 V
二、RLC并联谐振电路
即阻抗呈现纯电阻，达到最小值。若在端口上外加电
压源，则电路谐振时的电流为
I U S U S ZR
(12 31)
电流达到最大值，且与电压源电压同相。此时电阻、
电感和电容上的电压分别为
U R RI US (8 32)
U L
j0 LI
j
0L
R
U
S
jQU S
压和电流的正弦振荡。其情况和 LC并联电路由初始储能 引起的等幅振荡相同，因此振荡角频率也是ω 0 1 ，与
LC
串联谐振电路相同。
图12－21 并联电路谐振时的能量交换
谐振时电感和电容的总能量保持常量，即
W
WL
WC
LI
2 L
CU
2 C
CR2IS2
(12 48)
谐振时电感和电容的总能量保持常量，即
§12－3 谐振电路
含有电感、电容和电阻元件的单口网络，在 某些工作频率上，出现端口电压和电流波形相位 相同的情况时，称电路发生谐振。能发生谐振的 电路，称为谐振电路。谐振电路在电子和通信工 程中得到广泛应用。本节讨论最基本的RLC串联 和并联谐振电路谐振时的特性。
一、RLC串联谐振电路
图12－15(a)表示RLC串联谐振电路，图12－15(b)是它 的相量模型，由此求出驱动点阻抗为
Y ( j) jC 1 R jL
R2
R
(L)2
jC
R2
L (L)2
图12－22
Y ( j)
R2
R
(L)2
jC
R2
L (L)2
令上式虚部为零 C L 0 R 2 (L)2
求得
0
1 LC
1 U
j0 L
j
R
0L
IS
jQIS
IC j0CU j0 RCIS jQIS
(12 43) (12 44) (12 45)
其中
Q
R
0L
R 0 C
R
C L
(12 46)
称为RLC并联谐振电路的品质因数，其量值等于谐振 时感纳或容纳与电导之比。电路谐振时的相量图如图1220(b)所示。
相当于短路？哪些单口相当于开路？
图12-3-3
图 12-19(a) 所 示 RLC 并 联 电 路 ， 其 相 量 模 型 如 图 1219(b)所示。
图12－19
驱动点导纳为
Y
(
j )
I U
G j(C 1 ) | Y ( j) | () L
其中
(12 38)
| Y ( j) | G 2 (C 1 )2 L
uC (t) uL (t) QUSm cos(0t 90 )
电感和电容吸收的功率分别为：
pL (t) QUSm Im cos(0t) cos(0t 90 ) QUSI sin(20t) pC (t) pL (t) QUSI sin(20t)
由于 u(t)=uL(t)+uC(t)=0 (相当于虚短路)，任何时刻进 入电感和电容的总瞬时功率为零，即pL(t)+pC(t)=0。电感和 电容与电压源和电阻之间没有能量交换。电压源发出的功 率全部为电阻吸收，即pS(t)=pR(t)。
W
WL
WC
LI
2 L
CU
2 C
CR2IS2
(12 48)
图12－21 并联电路谐振时的能量交换
由于并联电路的电压相同，即UL=UC=RIS。当电阻R
增加到2倍，或电容 C 增加到4倍( Q R C 增加一倍)时，
L
总储能增加到4倍，将导致电流IL= IC增加一倍。若电感减
小到原值的l/4(Q增加一倍)，总能量
R
R(1 Q2 )
当0L>>R 时
Z ( jω 0 )
(ω 0L)2 R
(106
10 4 )2 10k
思考与练习
12-3-l 欲提高串联谐振电路的 Q值，应如何改变 R、L和 C?
12-3-2 欲提高并联谐振电路的 Q值，应如何改变 R、L和 C?
12-3-3 电路如图12-3-3所示。若 ω 1 ，问哪些单口 LC
当 ωL ωC1 0 ，即 ω
1 时，()=0,
LC
|Z(j)|=R,电压u(t)与电流i(t)相位相同，电路发生谐振。
也就是说，RLC串联电路的谐振条件为
0
1 LC
(12 27)
式中 ω 0＝ 1 称为电路的固有谐振角频率。
LC
当电路激励信号的频率与谐振频率相同时，电路发生 谐振。用频率表示的谐振条件为
能量在电感和电容间的这种往复交换，形成电压和电
流的正弦振荡，这种情况与 LC串联电路由初始储能引起
的等幅振荡相同(见第九章二阶电路分析)。其振荡角频率
ω 0＝
1 LC
，完全由电路参数L和C来确定。
谐振时电感和电容中总能量保持常量，并等于电感中
的最大磁场能量，或等于电容中的最大电场能量，即
W
WL
设电流源电流iS(t)=Ismcos(0t)，则：
u(t) Um cos(0t) RISm cos(0t) iL (t) QISm cos(0t 90 ) iC (t) QISm cos(0t 90 ) 电感和电容吸收的瞬时功率分别为：
pL (t) QUmISm cos0t cos(0t 90 ) QUIS sin(20t) pC (t) pL (t) QUIS sin(20t)
图12－15
Z
(
j )
U I
R j(L 1 ) | Z ( j) | () C
其中
(12 24)
| Z ( j) | R2 (L 1 )2 C
L 1 () arctan( C )
R
(12 25) (12 26)
1. 谐振条件
l/4( Q增加一倍)， W CU总C2 能量不变，而电压UL= UC增
加一倍。总之， R、L和 C的改变造成
Q 1 L变化的倍
RC
数与UL= UC变化的倍数相同。
例12-7 电路如图12-18所示。已知 uS (t) 10 2 cosωt V
求: (l) 频率为何值时，电路发生谐振。
U L U C QU S QU R
(12 36)
若Q>>1,则UL=UC>>US=UR，这种串联电路的谐振称为
电压谐振。
3.谐振时的功率和能量
设电压源电压为uS(t)=Usmcos(0t)，则：
i(t)
Im
cos(0t)
U Sm R
cos(0t)
uL (t) QUSm cos(0t 90 )
图12—17串联电路谐振时的能量交换
电感和电容之间互相交换能量，其过程如下:当电流减 小时，电感中磁场能量WL=0.5Li2减小，所放出的能量全部 被电容吸收，并转换为电场能量，如图12-17(a)所示。当电 流增加时，电容电压减小，电容中电场能量WC=0.5Cu2减 小，所放出的能量全部被电感吸收，并转换为磁场能量， 如图12－17(b)所示。
图12－20
由以上各式和相量图可见，谐振时电阻电流与电流源 电流相等 IR IS 。电感电流与电容电流之和为零，
即 IL IC 0 。电感电流或电容电流的幅度为电流源电 流或电阻电流的Q倍，即
I L IC QI S QI R
并联谐振又称为电流谐振。
(8 47)
3.谐振时的功率和能量
CR 2 1
L
1 LC
1 1
Q2
其中 Q 1 L 是RLC串联电路的品质因数。
RC
当Q >>1时, ω 0 1
LC
代入数值得到
0
1 104 108
1 108 rad/s 106 rad/s 104
谐振时的阻抗
Z
(
j 0
)
Y
(
1
j0
)
R (0 L)2
WC
CU
2 C
LI
2 L
L U S R
2
(12 37)
可以从能量的角度来说明电路参数 R、L、C变化对电
感和电容电压UL= UC的影响。若电阻 R减小一半，或电感
L增加到4倍( Q 1
R
L C
增加一倍)，则总能量
W
LU
2 S
/
R 2增
加到4倍，这将造成电压UL=UC增加一倍。若电容 C减少到
f
f0
2
1 LC
(12 28)
RLC串联电路在谐振时的感抗和容抗在量值上相等，
其值称为谐振电路的特性阻抗，用表示，即
0L
1
0C