最新重点中学高一数学3月份月考试题及答案
北京市高一下学期3月月考数学试题(解析版)
一、单选题1．四边形ABCD 中，设＝，＝，＝，则＝( )ABa ADb BCc DCA ．－＋B ．－(＋) a b c b a cC ．＋＋D ．－＋a b c b a c 【答案】A【分析】在四边形ABCD 中, 观察图形知,由此能可得答案.+DC +=b a c 【详解】解：在四边形ABCD 中,＝，＝，＝, AB a ADb BCc ,∴+DC +=b a c =, ∴DC+-a b c 故选A.【点睛】本题主要考查向量的加减混合运算及其几何意义，得出,是解题的关键.+DC +=b a c2．将函数的图象向右平移单位后，所得图象对应的函数解析式为（ ）24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭12πA ．B ．5212y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭5212y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C ．D ．212y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭212y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭【答案】D【分析】先将函数中x 换为x-后化简即可.24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭12π【详解】化解为2(124y x ππ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭212y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭故选D【点睛】本题考查三角函数平移问题,属于基础题目,解题中根据左加右减的法则,将x 按要求变换. 3．如图所示，在正方形中，为的中点，为的中点，则ABCD E BC F AE DF =A ．B ．1324AB AD -+1223AB AD +C ．D ． 1132AB AD - 1324AB AD - 【答案】D【分析】利用向量的三角形法则和向量共线定理可得：，，DF AF AD =- 1=2AF AE=AE AB BE+ ，，，即可得出答案.1=2BE BC =BC AD【详解】利用向量的三角形法则，可得，， DF AF AD =- =AE AB BE +为的中点，为的中点，则，E BCF AE 1=2AF AE 1=2BE BC1111==()=+2224DF AF AD AE AD AB BE AD AB BC AD ∴=--+-- 又 =BC AD .1324DF AB AD ∴=- 故选D.【点睛】本题考查了向量三角形法则、向量共线定理，考查了推理能力与计算能力. 向量的运算有两种方法：一是几何运算，往往结合平面几何知识和三角函数知识解答，运算法则是： （１）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差）； （２）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）；二是坐标运算，建立坐标系转化为解析几何问题解答（求最值与范围问题，往往利用坐标运算比较简单）．4．若 θA ． B ． C ． D ．2tan θ2tan θ2tan θ-2tan θ-【答案】D【解析】根据同角三角函数的关系化简可求出. 【详解】为第二象限角，，θsin 0θ∴>==1cos 1+cos sin sin θθθθ-=-. 1cos 1+cos 2cos 2sin sin sin tan θθθθθθθ-=-=-=-故选：D.5．如果函数是定义在上的奇函数，当时，函数的图象如图所示，那么不等()f x ()3,3-03x <<()f x 式的解集是()cos 0f x x <A ．B ．(3,)(0,1)(,3)22ππ--⋃⋃(,1)(0,1)(,3)22ππ--⋃⋃C ． D ． (3,1)(0,1)(1,3)--⋃⋃(3,(0,1)(1,3)2π--⋃⋃【答案】B【详解】试题分析：图1图2如图1为f(x)在（-3，3）的图象，图2为y=cosx 图象，要求得的解集，只需转化为()cos 0f x x <在寻找满足如下两个关系的区间即可：，结合图象易知当(3,3)-()0()0{{cos 0cos 0f x f x x x ><<>或(,1)2x π∈--时，，当时，，当时，，故选B.()0,cos 0f x x (0,1)x ∈()0,cos 0f x x (,3)2x π∈()0,cos 0f x x ><【解析】奇函数的性质，余弦函数的图象，数形结合思想.6．已知函数，若，，则的最小值为（ ）()()2sin()06f x x ωωπ=->R x ∀∈()()3f x f π≤ωA ．2 B ．4C ．6D ．8【答案】A【分析】由题意可得函数在时取最大值，再利用正弦型函数的性质列式求解作答.()f x 3x π=【详解】因，则有，即， ()R,()3x f x f π∀∈≤max ()(23f x f π==()2Z 362k k ωππππ-=+∈解得，而，则，即当时，， ()26Z k k ω=+∈0ω>N k ∈0k =min 2ω=所以的最小值为2 ω故选：A7．一般地，设函数的定义域为A ，区间，如果对任意的，，当()y f x =I A ⊆12,x x I ∈()0,1t ∈时，都有，则称在区间I 上是“函数”下列函数12x x <()()()()121211f t x tx t f x tf x ⎡⎤-+>-+⎣⎦()y f x =n -中是区间上是“函数”的是（ ） ()0,2πn -A ．B ． sin 2y x =cos 2y x =C ．D ．sin 2xy =cos 2xy =【答案】C 【分析】当时，如果对任意的，当时，都有，12t =()12,0,2πx x ∈12x x <()()121222f x f x x x f ++⎛⎫> ⎪⎝⎭故函数为凸函数，进而分析各选项即可得答案. 【详解】解：由题知，当时，如果对任意的，当时，都有12t =()12,0,2πx x ∈12x x <，故函数为凸函数；()()121222f x f x x x f ++⎛⎫> ⎪⎝⎭对于A 选项，的最小正周期为，由于正弦函数在一个周期内凸函数性质，又有凹函数sin 2y x =π性质，所以在不具有始终为凸函数的性质，故错误；sin 2y x =()0,2π对于B 选项，的最小正周期为，由于余弦函数在一个周期内凸函数性质，又有凹函数cos 2y x =π性质，所以在不具有始终为凸函数的性质，故错误；cos 2y x =()0,2π对于C 选项，的最小正周期为，其函数图像在始终具有为凸函数的性质，故正sin 2xy =4π()0,2π确；对于D 选项，的最小正周期为，其函数图像在上即具有凸函数性质，又有凹函cos 2xy =4π()0,2π数性质，故错误； 故选：C8．如图，A ，B ，C 三点在半径为l 的圆O 上运动，M 是圆O 外一点，且，，则AC BC ⊥2OM =的最大值为（ ）MA MB MC ++A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】D【分析】连接，结合题意得到为的中点，再利用向量的运算即可求解. AB O AB 【详解】连接，AB由题意可知为圆的直径，所以为的中点，AB O O AB 则，当且仅当同向时取等号， 2247MA MB MC MO MC MO MC MC ++=+≤+≤+= ,MO OC 故选：D.二、填空题9．已知扇形的面积为9，圆心角为2rad ，则扇形的弧长为______． 【答案】6【分析】联立公式和，即可得到本题答案.12S lr =l r α=⋅【详解】设半径为，弧长为，r l 由题得，，，192S lr ==①2l r =②②代入①得，，所以，则. 29r =3r =26l r ==故答案为：6三、双空题10．设向量，，. ()3,1OA =- ()1,2OB =- ()3,OC t =-（1）若A ，B ，C 三点共线，则________；t =（2），则_______.2OB OC AB +=t =【答案】##3.5 724-【分析】（1）若A ，B ，C 三点共线，则，由平行向量的坐标表示即可得出答案；//AB AC（2）由向量的模长公式可求出，，解方程2OB OC += 5AB = 5=即可得出答案.【详解】（1），， ()4,3AB OB OA =-=- ()6,1AC OC OA t =-=-+ 若A ，B ，C 三点共线，则，//AB AC，解得：.()()41360t -⨯+-⨯-=72t =（2），()()()221,23,5,4OB OC t t +=-+-=-+ ()4,3AB OB OA =-=-因为，则，， 2OB OC AB += 2OB OC +=5AB =，解得：.5=4t =-11．的最小正周期为_______，对称轴为_______.πcos 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭【答案】πππ,62k x k =-+∈Z 【分析】根据题意，由余弦型函数的性质，代入计算，即可得到结果. 【详解】因为函数，则其最小正周期为，πcos 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭2ππ2T ==令，解得，π2π,3x k k +=∈Z ππ,62k x k =-+∈Z 所以其对称轴为: ππ,62k x k =-+∈Z 故答案为:; πππ,62k x k =-+∈Z四、填空题12．已知是两个平面向量，，恒有，则的最,a b||b = t R ∈||||b ta b a -- …||||a b a -+ 大值是__________． 【答案】4【分析】根据平面向量数量积的运算律及不等式恒成立，得到恒成立，即222220t a tb a b a a -⋅+⋅-≥可得到，从而得到，设，，则，再利用基本不()2240b a a ⋅-≤ ()a b a ⊥-||a x = ||b a y -= 228x y +=等式计算可得．【详解】解：对任意，恒有，t R ∈||||b ta b a --…所以，即()()22b ta b a -- …2222222b tb a t a b b a a -⋅+-⋅+ …即恒成立，所以，即222220t a tb a b a a -⋅+⋅-≥()()2222420b a a b a a -⋅-⋅-≤()2240b a a ⋅-≤所以，即20b a a ⋅-= ()0b a a -⋅= ．∴()a b a ⊥-设，，则，||a x =||b a y -=2228x y +==，∴||||4a b a x y -+=+==当且仅当“”时“”成立．的最大值为4．x y ==∴||||a b a -+故答案为：4．13．已知函数的图象关于直线对称，且在上单()()cos 22f x x πϕϕ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭1110x π=()f x ,6m π⎡⎤⎢⎥⎣⎦调，则的最大值为_____. m 【答案】3π5【分析】根据函数的对称性求出，即可求出函数解析式，再根据的取值范围，求出的取ϕx 2π5x -值范围，根据余弦函数的性质得到不等式组，解得即可；【详解】解：因为函数的图象关于直线对称，()()cos 22f x x πϕϕ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭11π10x =所以，，即，， 11π210k ϕπ⨯+=Z k ∈511πk ϕπ=-Z k ∈又，所以，从而.2πϕ<π5ϕ=-()2π5cos f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭因为，所以，因为函数在上单调递减，在上π,6x m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦22π2ππ,5155x m ⎡⎤--⎢⎣∈⎥⎦cos y x =[]0,π[],2ππ单调递增， 所以，即，故的最大值为. 2ππ2155m π<-≤π3π65m <≤m 3π5故答案为：3π514．已知，若∈，使得，若的最大π()2sin(23f x x =+123,,x x x ∃3π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦123()()()f x f x f x ==123x x x ++值为M ，最小值为N ，则___________. M N +=【答案】23π6【分析】作出在上的图象，为的图象与直线y =m 交点的横坐标，()f x 3π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦123,,x x x ()f x 利用数形结合思想即可求得M 和N ﹒ 【详解】作出在上的图象（如图所示） π()2sin(2)3f x x =+3π[0,]2因为 π(0)2sin3f ==3ππ(2sin(π23f =+=所以当的图象与直线 ()f x y =设前三个交点横坐标依次为、、，此时和最小为N ，1x 2x 3x由，π2sin(23x +=πsin(23x +=则，，，；10x =2π6x =3πx =7π6N =当的图象与直线相交时，()f x y =设三个交点横坐标依次为、、，此时和最大为， 1x 2x 3x M由π2sin(23x +=πsin(23x +=则，，；127π6x x +=33π2x =8π3M =所以. 23π6M N +=故答案为：. 23π6五、解答题 15．化简求值. (1)计算：14π29π53π19πsin cos tan sin cos 25π3662⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭(2)化简：()()()3sin 2πcos 3πcos π21sin πsin π2ααααα⎛⎫-++ ⎪⎝⎭⎛⎫-++⎪⎝⎭【答案】 (2) sin α-【分析】（1）（2）根据诱导公式化简，利用特殊角的三角函数值即可求解. 【详解】（1）14π29π53π19πsin cos tan sin cos 25π3662⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()14π29π53π19πsin 4πcos tan 8πsin 8πcos 25π24π3662⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++--- ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭2π29π5π3πsin cos 4πtan sin cos π=13662⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=---+-+-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭（2）()()()()()()()31sin 2πcos 3πcos πsin cos πcos πsin cos sin 22sin 11sin cos sin πsin πsin πsin π22αααααααααααααααα⎛⎫⎛⎫-++-+-+ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭===--⎛⎫⎛⎫-++--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭16．某港口的水深y （单位：m ）是时间t （，单位：h ）的函数，下面是该港口的水深024t ≤≤表： t （单位：h ）…3… 9 … 15 …h （单位：m） 10 … 13 … 7 … 13 …经过长时间的观察，描出的曲线如下图所示，经拟合，该曲线可近似地看成函数的图象.()sin y A x B ωϕ=++(1)试根据数据表和曲线，求出函数的表达式；()sin y A x B ωϕ=++(2)一般情况下，船舶航行时船底同海底的距离不少于4.5m 时是安全的.如果某船的吃水深度（船底与水面的距离）为7m ，那么该船在什么时间段能够安全进港?若该船欲当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过多少小时?（忽略离港所用的时间） 【答案】(1) π3sin 106y t =+(2)16【分析】（1）由图象求出函数的最大值和最小值以及周期进行求解即可． （2）根据条件解不等式，然后进行求解即可．7 4.5y -≥【详解】（1）由图象知最大值，最小值，得，， 13A B +=7A B -+=3A =10B =得，即，得，此时，又当时，15312T =-=2π12ω=π6ω=π3sin 106y t ϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭3t =,πππ3sin 310132π,Z 2π,Z 622y k k k k ϕϕϕ⎛⎫=⨯++=⇒+=+∈⇒=∈ ⎪⎝⎭故．π3sin 106y t =+（2）由，得，即，得，7 4.5y -≥11.5y ≥π3sin 1011.56t +≥π1sin 62t ≥得，，解得，， ππ5π2π+2π+666k t k ≤≤Z k ∈121125k t k +≤≤+Z k ∈，时，，时，，024t ≤≤ 0k ∴=15t ≤≤1k =13317t ≤≤故当1时至5时，或13时至17时，能够安全进港，若该船欲当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过多长时间为小时．17116-=17．如图所示，L ，M ，N 分别为的边，，上的点，且，，ABC ∆BC CA AB BLl BC =CM m CA=，若．求证：． ANn AB=0AL BM CN ++= l m n ==【答案】证明见解析【解析】令，为一组基底，根据已知有，．根据向量的三角形法则以BC a = CA b =BL la = CM mb = 及平面向量的基本定理把用向量表示出来即可。
2023-2024学年河南省南阳市邓州第一高级中学高一(下)月考数学试卷(3月份)(B卷)+答案解析
2023-2024学年河南省南阳市邓州第一高级中学高一（下）月考数学试卷（3月份）（B 卷）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设，是非零向量，“”是“”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件2.在平面直角坐标系中，若角a 的终边经过点，则()A.B.C.D.3.已知扇形的周长为8，扇形圆心角的弧度数是2，则扇形的面积为()A.2B.4C.6D.84.已知，则的值是()A.B.C.D.5.如图，一个半径为4米的筒车按逆时针方向每分钟转圈，筒车的轴心O距离水面的高度为2米.设筒车上的某个盛水筒P 到水面的距离为单位：在水面下则d 为负数，若以盛水筒P 刚浮出水面时开始计算时间，则d 与时间单位：之间的关系可以表示为()A. B.C.D.6.已知函数的图象如图，轴，轴，四边形BCDE 的面积为4，，则()A.，，B.，，C.，，D.，，7.设函数是常数，，若在区间上具有单调性，且，则的最小正周期为()A. B. C. D.8.已知函数，则下列结论中正确的个数为()①为偶函数；②的一个周期为；③在上单调递减；④的值域为A.1B.2C.3D.4二、多选题：本题共4小题，共20分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.下列四个函数中，以为周期，且在区间上单调递增的是()A. B. C. D.10.下列命题中错误的有()A.的充要条件是且B.若，，则C.若，则存在实数，使得D.若与是共线向量，则A，B，C三点共线11.已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是()A.在区间上是增函数B.点是图象的一个对称中心C.若，则的值域为D.的图象可以由的图象向右平移个单位长度得到12.下列说法正确的是()A.函数的最小正周期为，则B.已知函数，其中，且函数的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于，若函数的图象向左平移m个单位所对应的函数是偶函数，则最小正实数C.已知函数和的图象的对称轴完全相同，若，则的取值范围是D.将表的分针拨快10分钟，则分针转过的角的弧度数是三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
上海市重点高一下学期3月月考数学试题(解析版)
一、填空题1．函数y _____． 【答案】{}|1x x ≥【分析】由函数的解析式和偶次根号下被开方数大于等于0，列出不等式求出x 即可． 【详解】解：若函数有意义，则， 10x -≥解得，1x ≥故函数的定义域为． {}|1x x ≥故答案为：．{}|1x x ≥2．已知，，则______．3sin 5α=-π,02α⎛⎫∈- ⎪⎝⎭cos α=【答案】##0.8 45【分析】利用同角三角函数关系式已知正弦求余弦值即可.【详解】因为，，3sin 5α=-π,02α⎛⎫∈- ⎪⎝⎭所以，4cos 5α===故答案为：. 453．在单位圆中，扇形的弧所对的圆心角为 ，则扇形的弧长为______； 60︒【答案】## π31π3【分析】将角度化为弧度，根据扇形的弧长公式，即可求得答案. 【详解】在单位圆中，扇形的弧所对的圆心角为,即弧度， 60︒π3故扇形的弧长为，ππ133⨯=故答案为：π34．函数（且）的图象恒过定点______． log 2a y x =+0a >1a ≠【答案】()1,2【分析】根据对数函数过定点求解. 【详解】解：由， log 2a y x =+令，得，1x =2y =所以函数（且）的图象恒过定点， log 2a y x =+0a >1a ≠()1,2故答案为：()1,25．是2的倍数，是6的倍数，则是的______条件． :x α:x βαβ【答案】必要非充分【分析】利用充要条件的定义判定即可.【详解】当时，满足是2的倍数,但不满足是6的倍数，充分性不成立； 4x =x x ∴若是6的倍数，则一定是2的倍数，必要性成立. x x ∴则是的必要非充分条件. αβ故答案为：必要非充分. 6．当时，的最小值为______． 1x >41x x +-【答案】5【分析】将所求代数式变形为，利用基本不等式即可求解. 441111x x x x +=-++--【详解】解：因为，所以， 1x >10x ->所以， 44111511x x x x +=-++≥=--当且仅当，即时等号成立，411x x -=-3x =所以的最小值为. 41x x +-5故答案为：.57．一元二次方程的两个实根为，则______． 230x x +-=12,x x 221221x x x x +=【答案】3【分析】利用韦达定理即可求解. 【详解】依题意，因为一元二次方程的两个实根为，230x x +-=12,x x 所以由韦达定理得：，， 12111x x +=-=-12331x x -==-所以.()()2212211212133x x x x x x x x +=+=-⨯-=故答案为：3.8．函数是偶函数，且定义域是，则______．()21f x ax bx =++[]6,2a a -a b +=【答案】2【分析】根据函数的奇偶性与定义域，列出方程组即可确定的值，进一步即可得到的值.,a b a b +【详解】是偶函数，且定义域是，()21f x ax bx =++ []6,2a a -且，则，()()f x f x ∴-=620a a -+=2a =又，()22()()11f x a x b x ax bx -=-+-+=++，故，2211ax bx ax bx ∴-+=++0b =.2a b ∴+=故答案为：2.9．定义在R 上的奇函数，当时，（k 为常数），则______．()f x 0x ≥()32xf x x k =++()1f -=【答案】-4【分析】由奇函数的性质，代入解析式求出的值，利用函数的奇偶性将转换成()00f =k ()1f -，然后直接代入解析式即可.()1f -【详解】是定义在R 上的奇函数，()f x ，解得，()100f k ∴=+=1k =-则当时，，0x ≥()321xf x x =+-.()()(321)411f f ∴--+-===--故答案为：-4.10．在锐角△ABC 中，角B 所对的边长b =6，△ABC 的面积为15，外接圆半径R =5，则△ABC 的周长为______.【答案】)61【分析】先由正弦定理得,进而得,由的面积可得，再由余弦定理求得，即sin B cos B ABC A ac a c +得周长.【详解】因为，外接圆半径，所以，6b =5R =63sin 2105b B R ===4cos 5B =因为的面积为15，所以，ABC A 1sin 152ac B =50ac =因为，22222cos ()22cos b a c ac B a c ac ac B =+-=+--所以 224()22cos 361001002165a cb ac ac B +=++=++⨯=即)61a b c ++=故答案为：)61+11．高斯是著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，用其名字命名的“高斯函数”：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，也称取整函数，例x ∈R []x x []y x =如：，.已知，则函数的值域为______.[]3.74-=-[]2.32=()12121x x f x +-=+()y f x ⎡⎤=⎣⎦【答案】{}1,0,1-【分析】先把函数分离常数，然后求分离常数后的取值范围，最后根据取值范围求()12121x x f x +-=+解.()y f x ⎡⎤=⎣⎦【详解】 ()()122132122233221212121x x x x x x x f x ++--⨯+-====-++++ 又， 133202110130122212121x xx x x >∴+>∴<<∴-<-<∴-<-<+++ 当时，所以的值域里有 312021x -<-<+32121x ⎡⎤∴-=-⎢⎥+⎣⎦()y f x ⎡⎤=⎣⎦1-当时，所以的值域里有 302121x ≤-<+32021x ⎡⎤∴-=⎢⎥+⎣⎦()y f x ⎡⎤=⎣⎦0当时，所以的值域里有 312221x ≤-<+32121x ⎡⎤∴-=⎢⎥+⎣⎦()y f x ⎡⎤=⎣⎦1所以的值域为 ()y f x ⎡⎤=⎣⎦{}1,0,1-故答案为：{}1,0,1-二、单选题12．已知是第四象限的角，则点在（ ）． α()tan ,cos P ααA ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】B【分析】根据题意，由所在象限可判断三角函数的符号，可得 ，可得答案． αtan 0,cos 0αα<>【详解】根据题意， 是第四象限角，则， αtan 0,cos 0αα<>则点在第二象限, ()tan ,cos P αα故选：．B 13．若，则等于 18log 9185b a ，==36log 45A ．B ． 2a ba ++2a ba+-C ．D ．2a ba+2a ba +【答案】B【分析】先化为，化再利用换底公式化简，解得185b =5531823log log 2log b ==+9318233log 2log 2log a ==+，最后利用换底公式求结果. 3322log 22log 5a ab a -⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩【详解】∵18b =5，∴，又，联立解得． 5531823log log 2log b ==+9318233log 2log 2log a ==+3322log 22log 5a a b a -⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴．故选B ．9554533364923322log 2log log 22log22log 222ba b a a a a⨯⨯+++====-+-+⨯【点睛】本题考查换底公式，考查基本化简求解能力. 14．关于幂函数的图象，下列选项描述正确的是（ ） A ．幂函数的图象一定经过和 (0,0)(1,1)B ．幂函数的图象一定关于y 轴或原点对称 C ．幂函数的图象一定不经过第四象限D ．两个不同的幂函数的图象最多有两个公共点 【答案】C【分析】由幂函数的性质对选项一一判断即可得出答案.【详解】对于A ，函数的图象不经过点，所以A 不正确； 1y x=()0,0对于B ，是非奇非偶函数，所以B 不正确； 12y x =对于C ，对于幂函数，当时，一定成立， y x α=0x >0y >所以任何幂函数的图象都不经过第四象限，所以C 正确；对于D ，，则令，解得：或或， 3,y x y x ==3x x =0x =1x ==1x -所以幂函数和有三个交点，所以D 不正确. 3y x =y x =故选：C.15．已知定义域为的函数满足：①对任意，恒成立；②若R ()y f x =,R x y ∈()()()f x y f x f y +=⋅则.以下选项表述不正确的是（ ）x y ≠()()f x f y ≠A ．在上是严格增函数 B ．若，则()y f x =R (3)10f =(6)100f =C ．若，则 D ．函数的最小值为2(6)100f =1(3)10f -=()()()F x f x f x =+-【答案】A【分析】根据给定条件，探讨函数的性质，再举例判断A ；取值计算判断B ，C ；借助均值不()f x 等式求解判断D 作答.【详解】任意，恒成立，,R x y ∈()()()f x y f x f y +=⋅且，假设，则有，R a ∈0a ≠()0f a =(2)()()()0()f a f a a f a f a f a =+=⋅==显然，与“若则”矛盾，假设是错的，因此当且时，， 2a a ≠x y ≠()()f x f y ≠R a ∈0a ≠()0f a ≠取，有，则，于是得，，0,0x a y =≠=()()(0)f a f a f =⋅(0)1f =R x ∀∈()0f x ≠，，，R x ∀∈2()([()]0222x x x f x f f =+=>()()(0)1f x f x f ⋅-==对于A ，函数，，，1()()2xf x =,x y ∀∈R 111()()()()()()222x y x y f x y f x f y ++==⋅=⋅并且当时，，即函数满足给定条件，而此函数在上是严格减函数，x y ≠()()f x f y ≠1()()2xf x =R A 不正确；对于B ，，则，B 正确；(3)10f =(6)(3)(3)100f f f =⋅=对于C ，，则，而，有，又，因此(6)100f =(3)(3)100f f ⋅=(3)0f >(3)10f =(3)(3)1f f ×-=，C 正确； 1(3)10f -=对于D ，，，则有，()()1f x f x ⋅-=()0f x >()()()1F x f x f x =+-³=当且仅当，即时取等号，所以函数的最小值为2，D 正确. ()()1f x f x =-=0x =()()()F x f x f x =+-故选：A【点睛】关键点睛：涉及由抽象的函数关系求函数值，根据给定的函数关系，在对应的区间上赋值即可.三、解答题16．已知全集为，集合. R {}|342=->A x x (1)求；A (2)已知集合，且，求实数的取值范围. {}01B xx m =≤≤+∣A B = R m【答案】(1)2|23⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭A x x (2) {}|1≥m m【分析】（1）根据补集的运算可得答案；（2）利用结合图形可得实数的取值范围.A B = R m 【详解】（1）因为或，{}{342|2=->=>A x x x x 23⎫<⎬⎭x 所以.2|23⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭A x x （2）因为，所以，解得. AB = R 12m +≥m 1≥实数的取值范围是.m {}|1≥mm17．已知为第二象限角，且求的值. αsin αsin()4sin2cos 21πααα+++【答案】【详解】试题分析：先对sin()4sin 2cos 21πααα+++根据为第二象限角，且，可计算出，然后代入代数式计算即可．试题解析：因为sin()4sin 2cos 21πααα+=++，又当为第二象限角，且时，所以，，所以sin()4sin 2cos 21πααα+++【解析】两角和差的正弦公式，二倍角公式．18．如图，以为始边作角与，它们的终边分别与单位圆相交于点，已知Ox α()0ββαπ<<<,P Q 点的坐标为.P 34(,55-（1）求的值； 113sin()5sin()2tan()72cos()cos()2ππααπαπαα-+--+--+（2）若，求的值.2παβ=+2sin cos 2cos βββ-【答案】（1）；（2）.49301625-【分析】（1）由题意利用任意角的三角函数的定义，同角三角函数基本关系式及诱导公式即可计算求解；（2）由题得，利用诱导公式可求，的值，即可求解．2πβα=-sin βcos β【详解】（1）由题得，，，3cos 5α=-4sin 5α=4tan 3α=-∴113sin()5sin()3sin 5cos 2tan()tan 72cos sin 2cos()cos()2ππααααπααπαααα-+-+-+=----+.43354495534330255⎛⎫⨯+⨯- ⎪⎝⎭=+=⎛⎫⨯-- ⎪⎝⎭（2）由题得，∴，，2πβα=-cos sin αβ-=sin cos αβ=∴，，3sin 5β=4cos 5β=∴.344162sin cos 2cos 2255525βββ-=⨯⨯-⨯=-19．某网红食品店近日研发出一款糕点，为给糕点合理定价，食品店进行了市场调研．调研发现，销售量（单位：斤）与定价x （单位：元/斤）满足如下函数关系：()t x 4500()10500,1550t x x x x=-++≤≤(1)为使销售量不小于150斤，求定价x 的取值范围；(2)试写出总销售额）y （单位：元）关于定价x 的函数表达式；并求总销售额的最大值，及此时定价x 的值．【答案】(1){}|1545x x ≤≤(2)定价为25元/斤时总销售额最大为10750元.【分析】（1）由题意销售量不小于150斤，即解不等式即得定价x 的取值范围； ()150t x ≥（2）由总销售额=定价销售量可得函数关系式，化简利用二次函数求最值即可得到总销售额的最⨯大值及此时定价x 的值.【详解】（1）因为量不小于150斤，所以， 4500()10500150t x x x=-++≥即，解得， 21035045000x x -++≥1045x -≤≤又因为，则， 1550x ≤≤{}|1545x x ≤≤故定价x 的取值范围. {}|1545x x ≤≤（2）总销售额=定价销售量 ⨯ 4500(10500),1550y x x x x=-++≤≤∴210(25)10750x =--+当时取得最大值，此时25x =y 210(2525)1075010750y =--+=即定价为25元/斤时总销售额最大为10750元.20．若两个函数和对任意都有，则称函数和()y f x =()y g x =[,]x a b ∈|()()|1f x g x -≤()y f x =在上是“密切”的．()y g x =[],a b (1)已知命题“函数和在上是“密切”的”，判断该命题的真假．若211()22f x x x =--+()1g x x =-+[]1,2该命题为真命题，请给予证明;若为假命题，请说明理由;(2)若函数和在上是“密切”的，求实数的取值范围；211()22f x x x =--+()1g x x =-+[,1]a a +a (3)已知常数，若函数与在上是“密切”的，求实数的取1m >()1()3xx F x m m -=-2()3x G x m =[]1,2m值范围．【答案】(1)假命题，理由见解析； (2)[1,0]-(3)【分析】（1）由题意可知，由一元二次函数的图像结合函数“密切”的定义判211()()22f xg x x -=+断即可；（2）由解出的取值范围，根据集合间的关系求解即可； |()()|1f x g x -≤x （3）由函数“密切”的定义结合对勾函数的单调性求解即可.【详解】（1）由可得211(),()122f x x xg x x =--+=-+，222111111()()(1)222222f xg x x x x x x -=-+--+=--=+由一元二次函数的图像可知，21151,222x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦所以，即， 21151222x ≤+≤51()()2f xg x ≤-≤故命题“函数和在上是“密切”的”是假命题.211()22f x x x =--+()1g x x =-+[]1,2（2）由（1）知，即，所以， 22111|()()|1222x f x g x x +-=+=≤21x ≤11x -≤≤所以，解得，故实数a 的取值范围为.111aa -≤⎧⎨+≤⎩10a -≤≤[1,0]-（3）因与在上是“密切”的， ()1()3xx F x m m -=-2()3x G x m =[1,2]所以在上恒成立，()12133x xx m m m ---≤[1,2]所以，即， ()113xx m m -+≤13x x m m+≤因为，，所以，且单调递增，只需即可， 1m >[1,2]x ∈1x m >x m 13xxm m +≤又因为对勾函数在上为增函数，所以当时，取最大值，1y t t =+[1,)+∞2x =1xx m m+所以，即， 2213m m+≤42310m m -+≤所以，解得， 223524m ⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭232m ≤-≤2m ≤≤所以222m ≤≤m ≤≤。
江苏省重点高一下学期3月月考数学试题(解析版)
高一下学期3月月考数学试题一、单选题1．命题“”的否定是（ ） 2010x x ∀>->，A ． B ． 2010x x ∀≤->，2010x x ∃>->，C ． D ．2010x x ∃≤-≤，2010x x ∃>-≤，【答案】D【分析】根据全称命题的否定为特称命题即可求解. 【详解】命题“”的否定是, 2010x x ∀>->，2010x x ∃>-≤，故选：D2．求值：（ ） sin105=A B C D 【答案】B【分析】根据两角和的正弦公式求得结果.【详解】()16045sin 60cos 45cos 60sin 4sin1505sin 2⎫+=+==⎪⎪=⎭故选：B.3．一个扇形的圆心角为，面积为，则该扇形弧长为（ ） 120 3πA ． B ． C ． D ．π2π3π4π【答案】B【分析】由扇形的面积公式求得扇形的半径，进而由弧长公式计算可得.【详解】设扇形的弧长为，半径为，根据已知的扇形的圆心角，面积， l r 2π1203α==3πS =由扇形的面积公式，得，解得（负值舍去），212S r α=212π3π23r =⨯⨯3r =由弧长公式， 2π32π3l r α==⨯=故选：B4．已知角的终边经过点，则的值等于（ ） α()2,4P -sin cos αα-A ．BC ．D ．15【答案】A【分析】根据三角函数的定义求出、，再代入计算可得. sin αcos α【详解】因为角的终边经过点，所以，α()2,4P -sin α=-，cos α=所以sin cos αα-==故选：A5．已知函数的图象如图所示，则可以为（ ）()f x ()f xA ．B ．C ．D ． ||()e x f x x =()e e x xxf x -=-()e xx f x =||3()e x x f x =【答案】D【分析】观察函数的图像，根据函数的性质，利用排除法可得选项.【详解】对于A ，由函数图像可知，时，，而，当时，x →+∞()0f x →||()e x f x x =x →+∞，故A 错误；()f x →+∞对于B ，由函数的图像可以看出，当时，函数有意义，而函数在无定0x =()f x ()e e x xxf x -=-0x =义，故B 错误；对于C ，函数图像关于原点对称，即函数为奇函数，由为非奇非偶函数，故C 错误； ()e xxf x =对于D ，是一个奇函数，时，，符合图象，故D 正确. ||3()ex xf x =x →+∞()0f x →故选：D. 6．已知，，，则（ ） 21log 3a =0.5e b =ln 2c =A ． B ． C ． D ．a b c >>b a c >>b c a >>c b a >>【答案】C【分析】根据指数函数、对数函数的性质判断即可. 【详解】因为，，，33323110log 2log 31log 3log 3log 2a <===<=0ln 2ln e 1c <=<=0.50e e 1b =>=又，所以，即. 3ln 2ln 2ln 3ln 2ln 3ln e 1ln 2log 2ln 2ln 3==⨯=>=3ln 2log 2>b c a >>故选：C7．已知函数的图象在区间上与轴有2024个交点，则的最小值π()2sin(2)13f x x =+-[]a b ，x b a -是（ ） A ． B ．C ．D ．3035π31011π1012π【答案】A【分析】求出方程的根，再找到取最小值时的零点,求得结果即可.()0f x =b a -【详解】由得，π()2sin(2)103=+-=f x x π1sin(2)32x +=解得或， ππ22π36+=+x k π5π22π,36x k k +=+∈Z 所以或，ππ12x k =-+ππ,4x k k =+∈Z 令,,,,,1π12=-x 2π4x =3π11ππ1212=-+=x 4π5ππ=44=+x ⋅⋅⋅,,当,时，2023π1011π12=-+x 2024π1011π4=+x 2023π1011π12==-+b x 1π12==-a x 取最小值，最小值为. b a -20241ππ103034π311π412⎛⎫-=+--= ⎪⎝⎭x x 故选：A.8．函数的零点为，函数的零点为，则下列结论正确的是()e 1x f x x =-a ()(ln 1)e g x x x =--b （ ） A ． B ． C ． D ．2eba +=2eb a +>2e ab =2e ab >【答案】B【分析】变换得到，，构造，确定函数单调递增得到ln 0a a +=e eln 0b b+=()ln g x x x =+，确定，根据均值不等式计算得到答案.()e g a g b ⎛⎫= ⎪⎝⎭e ab =【详解】，则，，即，即；()e 1a f a a =-1e aa =0a >1ln ln a a a==-ln 0a a +=，，则，即.()()ln 1e 0g b b b =--=0b >e e lnln e b b b==-e eln 0b b +=设，则函数在上单调递增，，()ln g x x x =+()0,∞+()e g a g b ⎛⎫= ⎪⎝⎭故，即，ea b=e ab =，当时，不成立，故， 12e b a a a +=+≥=1a =ln 0a a +=1a ≠等号不成立，故，ACD 错误B 正确.12e b a a a +=+>故选：B【点睛】关键点睛：本题考查了函数的零点问题，对数运算，均值不等式，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中构造函数确定单调性，变换得到是解题的关键.()e g a g b ⎛⎫= ⎪⎝⎭二、多选题9．已知∈R ，则下列结论正确的是（ ） a b c ，，A ．若，则 B ．若，则 22ac bc >a b >0a b <<2a ab >C ．若，则 D ．若，则 0c a b >>>a b c a c b<--1a b >>11a b b a->-【答案】ABD【分析】对于ABC 项：根据不等式的性质逐项判断.对于D 项，使用作差法比大小. 【详解】对于A ：因为，所以，所以，故A 正确；22ac bc >20c >a b >对于B ：因为，所以，两边同乘以得，故B 正确； 0a b <<0a b ->->a -2a ab >对于C ：因为，所以，所以，又，两式相乘0c a b >>>0c a c b <-<-110c a c b>>--0a b >>得，故C 错误； a bc a c b>--对于D ：,()()()11111a b ab a b a b a b a b b a b a ab ab --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---=---=--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭因为，所以,所以，所以，故D 正确. 1a b >>1ab >()10ab a b ab -⎛⎫-> ⎪⎝⎭11a b b a ->-故选：ABD10．将函数的图像上所有点横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数π()2sin(2)3f x x =-的图像，则下列结论正确的是（ ）()g x A ．π()2sin()6g x x =-B ．函数在上单调递增()g x (0π2，C ．点是函数图像的一个对称中心 4π(0)3()g x D ．当时，函数的最大值为2π[π]2x ∈-，()g x 【答案】BC【分析】先根据伸缩得出新函数判断A 选项，再根据单调性判断B 选项，代入法验证对称中心判断C 选项，根据值域判断D 选项.【详解】函数的图像上所有点横坐标变为原来的2倍，,A 选π()2sin(23f x x =-π()2si 3n()g x x =-项错误;,函数在上单调递增,B 选项正确;(0),ππππ,2336x x ⎛⎫∈-- ⎪⎝∈⎭，()g x (0π2，当,点是函数图像的一个对称中心,C 选项正确; 4π,3x =4π4ππ(2sin()2sin π0333g =-==4π(0)3，()g x 当,,选项错误.π[π]2x ∈-，π4ππ,336x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦-max 4π()(π)2sin(3g x g =-=-=故选:BC.11．关于平面向量，有下列四个命题，其中说法正确的是（ ）A ．若，，则1,3)a = （(24)b =-，()a b a +⊥ B ．点，与向量同方向的单位向量为()()1132M N --，，，MN 4355⎛⎫- ⎪⎝⎭，C ．若，则与的夹角为20a b a b a +=-=≠ a b + a b -60 D ．若向量，，则向量在向量上的投影向量为 (12)a = ，(26)b =- ，a b 14b -【答案】ABD【分析】对于A ，利用向量垂直的坐标表示进行判断；对于B ，与向量同方向的单位向量为MN；对于C ，利用两向量夹角的余弦坐标公式求解即可；对于D ，利用投影向量公式求解即可. MN MN【详解】对于A ，，，，1,3)a = （(24)b =-，()3,1+=- a b 因为，则，故A 正确； ()()=31+13=0a b a +⋅⨯-⨯ ()a b a +⊥对于B ，已知点，，()()1132M N --，，，()4,3MN =- 5=与向量同方向的单位向量为，故B 正确； MN4355MN MN ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，对于C ，若，由得. 20a b a b a +=-=≠ 22a b a b +=- 0a b ⋅=由，得，224a b a += 223b a = ，，2a a +== 2a a +==则， ()()222222241cos ,2a b a b a b a b a b a b a b a a a a+⋅-+-===-+---=⋅则与的夹角为，故C 错误；a b + a b -120 对于D ，若向量，，， (12)a = ，(26)b =-，()122610a b ⋅=⨯+⨯-=- ，则向量在向量上的投影向量为，故D 正确.=a b 14a b b b b bb ⋅⋅==-故选：ABD.12．已知函数，则（ ） 2()441x x xf x x =+--A ．是奇函数 B ．的图象关于点对称()f x ()f x ()1,1C ．有唯一一个零点 D ．不等式的解集为()f x ()()223f x f x +<()(),11,3-∞- 【答案】BCD【分析】求解的定义域，可知定义域不关于原点对称，知A 错误；根据解析式验证可知()f x ，则知B 正确；当时，由单调性的性质可确定在上单调递()()112f x f x ++-=1x >()f x ()1,+∞减，结合值域的求法可求得；结合对称性可知在上单调递减；利用零点存在()1f x >()f x (),1-∞定理可说明在有且仅有一个零点，知C 正确；结合C 的结论可说明时，()f x (),1-∞1x >()1f x >时，；利用单调性，分别讨论和在同一单调区间内、两个不同单调区间内的1x <()1f x <23x +2x 情况，解不等式组可求得结果.【详解】对于A ，由得：，即定义域为，不关于原点对称，44010x x ⎧-≠⎨-≠⎩1x ≠()f x {}1x x ≠为非奇非偶函数，A 错误；()f x \对于B ，，()112121144242x x x xx xf x x x+++++=+=+-⨯- ， ()()1122112412121444224244444xx x x x x x x xx x x x f x x x x x ----⋅---=-=-=-=---⨯-⨯-，图象关于点对称，B 正确；()()112f x f x ∴++-=()f x \()1,1对于C ，当时，； 1x >()1141212x xf x x=+--在上单调递增，在上单调递增， 2x t = ()1,+∞4y t t=-()2,+∞在上单调递增，在上单调递减；422xx y ∴=-()1,+∞1422x x y ∴=-()1,+∞在上单调递增，在上单调递减；11y x=- ()1,+∞111y x ∴=-()1,+∞在上单调递减；()f x \()1,+∞由B 知：图象关于对称，在上单调递减；()f x ()1,1()f x \(),1-∞当时，，，，在上无零点； 1x >2044xx >-11111x x x =+>--()1f x ∴>()f x \()1,+∞当时，，， 1x <()11000143f =+=-<-()1111210123044f -=+=>-，使得，则在上有唯一零点；()01,0x ∴∃∈-()00f x =()f x (),1-∞0x x =综上所述：有唯一一个零点，C 正确；()f x 对于D ，由C 知：在和上单调递减， ()f x (),1-∞()1,+∞又时，；1x >()1f x >时，；1x ∴<()1f x <①当，即时，由得，解得，即；22311x x +>⎧⎨>⎩1x >()()223f x f x +<223x x +>13x -<<13x <<②当时，不等式组无解，不合题意；22311x x +<⎧⎨<⎩③当，即时，，，不合题意；22311x x +>⎧⎨<⎩11x -<<()231f x +>()21f x <④当，即时，，，符合题意；22311x x +<⎧⎨>⎩1x <-()231f x +<()21f x >综上所述：的解集为：，D 正确.()()223f x f x +<()(),11,3-∞- 故选：BCD.三、填空题13．请写出一个满足条件①和②的幂函数，条件：①是偶函数；②为上的减()f x ()f x ()f x ()0,∞+函数．则________． ()f x =【答案】(答案不唯一)2x -【分析】根据幂函数的性质即可求解.【详解】设，根据幂函数为偶函数，则为偶数，又为上单调递减，故()f x x α=α()f x ()0,∞+0α< ，故可取， 2()f x x -=故答案为：（答案不唯一）2x -14．已知函数则________．()()e ,11,1xx f x f x x ⎧≤⎪=⎨->⎪⎩(ln3)f =【答案】3e【分析】由及可得：，即可求得：，ln31>()()e ,11,1xx f x f x x ⎧≤⎪=⎨->⎪⎩()()ln3ln31f f =-()3ln31e f -=问题得解.【详解】因为，所以， ln31>()()ln3ln31f f =-因为，所以，所以.ln311-<()ln3ln31e 3l 31ee n ef -=-==()3ln3e f =故答案为：3e15．点P 是正方形外接圆圆O 上的动点，正方形的边长为2，则的取值ABCD 2OP OB OP OC ⋅+⋅范围是________．【答案】 [-【分析】根据题意求出圆的半径，建立如图平面直角坐标系，设，xOy )P θθ，利用平面向量线性运算和数量积的坐标表示可得，[]0,2πθ∈2OP OB OP OC ⋅+⋅=)ϕθ-结合三角函数的有界性即可求解.【详解】由题意知，圆O =建立如图平面直角坐标系，，xOy (1,1),(1,1)C B -得，(1,1),(1,1)OC OB ==-设，，则， )P θθ[]0,2πθ∈)OP θθ=所以2)OP OB OP OC θθθθ⋅+⋅=，其中， )θθϕθ==-tan 3ϕ=又，所以，02πϕθ≤-≤1sin()1ϕθ-≤-≤则，2OP OB OP OC ⋅+⋅=)[ϕθ-∈-即的取值范围为.2OP OB OP OC ⋅+⋅[-故答案为：.[-四、双空题16．已知函数的图象如图所示，图象与轴的交点为()()πsin 02||0f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭,,x ，与轴的交点为，最高点，且满足．则________；将的图5,02M ⎛⎫⎪⎝⎭y N ()1,P A NM NP ⊥ω=()f x 象向右平移1个单位得到的图象对应的函数为，则________．()g x ()1g =【答案】/ 3π13π【分析】根据图象可求得最小正周期，由此可得，结合五点作图法可求得，将代入解析式ωϕ0x =可求得点坐标，根据垂直关系可构造方程求得的值，进而得到的解析式，再根据三角函N A ()f x 数的变换规则得到的解析式，从而求出.()g x ()1g 【详解】由图象可知的最小正周期，， ()f x 54162T ⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭2ππ3T ω∴==由五点作图法可知：，解得，()π52ππ32k k ϕ⨯+=+∈Z ()π2π6k k ϕ=+∈Z 又，，，，π2ϕ<π6ϕ∴=()ππsin 36f x A x ⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭()π0sin 62A f A ∴==即，，，0,2A N ⎛⎫⎪⎝⎭5,22A MN ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭ 1,2A NP ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，，，又，MN NP ⊥ 25024A MN NP ∴⋅=-+= 210A ∴=0A >，A∴=()ππ36f x x ⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭将的图象向右平移1个单位得到，()f x ()()ππππ13636g x x x ⎡⎤⎛⎫=-+=- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭所以()πππ3166g ⎛⎫=-=⎪⎝⎭故答案为：π3五、解答题17．设，已知集合，集合． a ∈R 32{1}1x A x x +=<-22{210}B x x ax a =-+-<(1)若，求；1a =A B ⋃(2)求实数的取值范围，使_______成立．a 从① ② ③中选择一个填入横线处并解答． A B ⋂=∅A B ⊆R ðB A ⊆R ð注：若选择多个条件分别作答，按第一个解答计分． 【答案】(1)3(,2)2A B ⋃=-(2)或52a ≤-2a ≥【分析】（1）先解分式不等式求出集合A ，根据一元二次不等式的解法求出集合B ，结合并集的概念和运算即可得出结果；（2）①根据集合没有公共元素，列出不等式求得结果；②根据补集的概念和运算求出，,A B B R ð利用集合间的包含关系可求出对应条件的参数；③根据补集的概念和运算求出，利用集合间的A R ð包含关系可求出对应条件的参数.【详解】（1）因为 3232231100111x x x A xx x x x x ⎧⎫⎧⎫⎧⎫+++=<=-<=<⎨⎬⎨⎬⎨⎬---⎩⎭⎩⎭⎩⎭所以.3(,1)2A =-因为，{}{}22|21011B x x ax a x a x a =-+-<=-<<+所以.(1,1)B a a =-+所以 3(,2)2A B ⋃=-（2）①，又， A B =∅ 3(,1)2A =-(1,1)B a a =-+或， 312a ∴+≤-11a -≥或. 52a ∴≤-2a ≥②，，又 A B ⊆R ð(][),11,=-∞-++∞ B a a R ð3(,1)2A =-或， 312a ∴+≤-11a -≥或. 52a ∴≤-2a ≥③，，又 B A ⊆R ð[)3,1,2⎛⎤=-∞-+∞ ⎥⎝⎦ A R ð(1,1)B a a =-+或 312a ∴+≤-11a -≥或 52a ∴≤-2a ≥18．已知． 3ππsin 2cos 022αα⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(1)若为第一象限角，求；αsin α(2)求的值． 221sin cos sin cos αααα+-【答案】(1)sin α(2) 73-【分析】（1）由诱导公式以及同角平方和关系即可求解，（2）由弦切互化以及齐次式即可求解.【详解】（1）得即 3ππsin 2cos 022αα⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭cos 2sin 0αα-+=2sin cos αα=又联立解得22sin cos 1αα+=sin cosαα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩sin cos αα⎧=⎪⎪⎨⎪⎪⎩因为为第一象限角，所以． αsin α（2）由（1）知得． ． 2sin cos αα=1tan 2α=． 221sin cos sin cos αααα+-2222sin cos sin cos sin cos αααααα++=-． ． 22tan 1tan tan 1ααα++=-73=-19．已知，． π(,π)2α∈π3sin()45α+=(1)求；cos α(2)若，且，求． π(0)2β∈，4cos 5β=αβ+【答案】(1)(2)3π4 【分析】（1）利用同角三角函数的平方关系及两角差的余弦公式即可求解；（2）根据（1）的结论及同角三角函数的平方关系，结合两角和的正弦公式及三角函数的特殊值对应特殊角注意角的范围即可求解.【详解】（1）由，得． π(,π)2α∈3ππ5π444α<+<， π3sin()45α+=π4cos(45α∴+==- ππππππcos cos[(]cos()cos sin()sin 444444αααα∴=+-=+++． 4355=-=（2）由， π(,π)2α∈cos α=sin α==由，得， π(0,2β∈4cos 5β=3sin 5β==． 43sin()sin cos cos sin (55αβαβαβ∴+=+=+⨯=又 ππ(,π),(0,)22αβ∈∈ π3π(,22αβ∴+∈ 3π4αβ∴+=20．如图，在平行四边形中，，，． ABCD 60BAD ∠=︒12BE BC = 2CF FD =(1)若，求的值；EF xAB y AD =+ 32x y +(2)若，，求边的长．6AB = 18AC EF ⋅=- AD 【答案】(1)321x y +=-(2)4【分析】（1）根据平面向量线性运算法则及平面向量基本定理求出，，即可得解； x y （2）设长为，根据数量积的运算律得到方程，解得即可.AD x 【详解】（1）在平行四边形中，，, ABCD 12BE BC = 2CF FD = 所以， 1121()3232EF AF AE AD AB AB AD AB AD =-=+-+=-+ 又，，，. EF xAB y AD =+ 23x ∴=-12y =321x y ∴+=-（2）设长为， AD x ()2132AC EF AB AD AB AD ⎛⎫⋅=+⋅-+ ⎪⎝⎭ 22211326AB AD AB AD =-+-⋅ 222c 1os 2136BAD AB AD AB AD =⋅∠-+- ， 211241822x x =--=-，或（舍去），即.2120x x ∴--=4x ∴=3-4=AD 21．水培植物需要一种植物专用营养液，已知每投放且个单位的营养液，它在水(04a a <≤R)a ∈中释放的浓度克/升随着时间天变化的函数关系式近似为，其中(y )(x )()y af x =，若多次投放，则某一时刻水中的营养液浓度为每次投放的营养液在相()[](]2046154102x x x f x x x +⎧∈⎪⎪-=⎨⎪-∈⎪⎩，，，，应时刻所释放的浓度之和，根据经验，当水中营养液的浓度不低于克/升时，它才能有效．4()(1)若只投放一次4个单位的营养液，则有效时间最多可能持续几天？(2)若先投放2个单位的营养液，6天后再投放个单位的营养液，要使接下来的4天中，营养液能m 够持续有效，试求的最小值．m【答案】(1)6天(2)2【分析】（1）根据给定函数，列出不等式求解作答.（2）求出两次投放营养液在水中释放的浓度，由已知列出恒成立的不等式，分离参数借助均值不等式求出最值作答.【详解】（1）因为一次投放4个单位的营养液，所以水中释放的营养液浓度为， ．()84,0446202,410x x f x y x x x +⎧≤≤⎪==-⎨⎪-<≤⎩当时，，解得； ． 04x ≤≤8446x x+≥-24x ≤≤当时，，解得； ．410x <≤2024x -≥48x <≤综上求得，28x ≤≤所以一次投放4个单位的营养液，则有效时间可持续6天． ． （2）设从第一次投放起，经过x （）天后，浓度为610x ≤≤1()2526(626)g x x m x x ⎛⎫⎛⎫=-+-+ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭． 41012x x m x-=-+-因为，所以，610x ≤≤120x ->40x ->所以即 410412x x m x--+≥-(6)(12)4x x m x --≥-1610[(4)]4x x =--+-所以 ()161041024x x ⎡⎤--+≤-=⎢⎥-⎣⎦当且仅当，即时，等号成立，所以 1644x x -=-8x =2m ≥答：为使接下来的4天中能够持续有效m 的最小值为222．已知函数的图象过点，函数，函数()()()ln R f x x c c =-∈(1)0，()(1)(1)h x f x f x =+--．1()421x x g x m m +=+-+(1)判断并证明函数的奇偶性；()h x (2)若存在两不相等的实数，使，且，求实数的取值范围．a b ，()()0h a h b +=()()0g a g b +≥m 【答案】(1)奇函数；证明见解析(2) 2512∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，【分析】（1）根据奇偶性的定义判断的奇偶性；()h x （2）根据条件知且，原问题等价于不等式在0a b +=()()1001a ∈-⋃，，()()0g x g x +-≥有解，令转化为在有解即可. ()()1001-⋃，，22x xt -=+221t m t ≥--522t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，【详解】（1）函数的图象过点，，解得，函数()()()ln R f x x c c =-∈()10，()ln 10c ∴-=0c =∴的解析式为；， ()f x ()ln f x x =()()()ln 1ln 1h x x x ∴=+--，解得， 1010x x ->⎧∴⎨+>⎩11x -<<的定义域为，其定义域关于原点对称，()h x ∴()11-，又，，()()()ln 1ln 1h x x x -=--+()()0h x h x ∴-+=故为定义域内的奇函数.()h x （2）函数都是上的增函数， ()()ln 1ln 1y x y x =+=--，()11-，是定义域内的增函数，()h x ∴，且为定义在的奇函数，()()()0h a h b a b +=≠ ()h x ()11-，且， 0a b ∴+=()()1001a ∈-⋃，，原问题等价于不等式在有解， ∴()()0g x g x +-≥()()1001-⋃，，， ()()()044222220x x x x g x g x m m --+-≥⇔++++⋅-≥令，，则， 22x x t -=+()()1001x ∈- ，，2442x x t -=++令，可知，则， 2x k =()11122k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ ，，1t k k =+构造函数，， ()1F k k k =+()11122k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，设，则 211k k >>()()()122121212112111k k F k F k k k k k k k k k ⎛⎫--=+--=- ⎪⎝⎭由得，所以，所以在为增函数， 211k k >>121k k >()()210F k F k ->()F k [1)+∞，同理可证在为减函数.()F k (0,1)由，可得，所以， ()()1512222F F F ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()522F k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，522t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以在上有解， 2220t mt m +-≥522t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，当时，，因此在有解． 522t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()10t ->221t m t ≥--522t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，取，则，从而． 1s t =-312s ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，2121t s t s=++-因此在上有解．函数在上单调递增， 122s m s ++≥-312s ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，12y x x =++312⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以，所以，即. 1322522236s s ++<++=2526m >-2512m >-故实数的取值范围为． m 2512∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭【点睛】关键点点睛：对的处理方法是，从而将用表44x x -+()244222x x x x --+=+-44x x -+22x x -+示，换元后将问题转化为二次函数处理.。
福建高一下学期3月月考数学试题(解析版)
一、单选题1．已知单位向量、满足，则（ ）a b a b ⊥()a a b ⋅-= A ．0 B ．C ．1D ．212【答案】C【分析】根据单位向量长度为1，结合，即可容易求得结果.a b ⊥【详解】因为单位向量、满足，a b a b ⊥所以，，||||1a b == 0a b ⋅=所以，22()()||1a a b a a b a a b ⋅-=-⋅=-⋅=故选：C .【点睛】本题考查根据数量积的定义求数量积，属简单题.2．已知角是第三象限角，且满足，则（ ）α()3π3sin πcos 12αα⎛⎫---= ⎪⎝⎭()tan πα-=A B ．C D ．【答案】D【分析】先利用诱导公式求出，再根据平方关系及商数关系求出，再根据诱导公式即可sin αtan α得解.【详解】因为，()3π3sin πcos 12αα⎛⎫---= ⎪⎝⎭所以，则，3sin sin 1αα-+=1sin 2α=-又角是第三象限角，所以， αcos α==所以 sin tan cos ααα==所以. ()tan πtan αα-=-=故选：D.3．如图所示，在中，点是线段上靠近A 的三等分点，点是线段的中点， 则ABC D AC E AB （ ）DE =A ．B ．1136BA BC -- 1163BA BC -- C ． D ． 5163BA BC -- 5163BA BC -+ 【答案】B【分析】由向量线性运算的几何意义即可计算【详解】.()111111323263DE DA AE CA AB CB BA BA BA BC =+=+=+-=--故选：B4．在直角坐标系中，角的始边为轴的正半轴，顶点为坐标原点，已知角的终边与单xOy αx O αl 位圆交于点，将绕原点逆时针旋转与单位圆交于点，若，则()0.6,A m l 2π(),B x y 4tan 3α=-x =（ ） A ．0.6 B ．0.8 C ．-0.6 D ．-0.8【答案】B【分析】已知角的终边与单位圆交于点，且，利用三角函数的定义，求出αl ()0.6,A m 4tan 3α=-，得出在第四象限，绕原点逆时针旋转与单位圆交于点，0.8m =-()0.6,0.8A -l 2π(),B x y 可知点在第一象限，则，再利用三角函数的定义和诱导公式进行化简计算，(),B x y 2BOx πα∠=+即可求出的值.x 【详解】解：已知角的终边与单位圆交于点，且，αl ()0.6,A m 4tan 3α=-则，解得：， 4tan 0.63m α==-0.8m =-所以在第四象限，角为第四象限角，()0.6,0.8A -α绕原点逆时针旋转与单位圆交于点，l 2π(),B x y 可知点在第一象限，则，(),B x y 2BOx πα∠=+所以，即：，cos cos sin 2BOx παα⎛⎫∠=+=- ⎪⎝⎭0.811x -⎛⎫=- ⎪⎝⎭解得：. 0.8x =故选：B.【点睛】本题考查单位圆中任意角的三角函数的定义的应用以及运用诱导公式化简，考查计算能力.5．已知，是两个不共线的平面向量，向量，，若，a b AB a b λ=+ AC a b μ=- (),R λμ∈//AB AC u u u r u u u rA ．B ．C ．D ．2λμ+=1λμ-=1λμ=-1λμ=【答案】C【分析】根据平面向量共线定理可设，可得，再根据平面向量基本定AB k AC =()a b k a b λμ+=- 理列方程组即可求解.【详解】因为，所以设，//AB AC u u u r u u u rAB k AC = 因为，，AB a b λ=+ AC a b μ=-(),R λμ∈所以，可得，()a b k a b λμ+=- 1k k λμ=⎧⎨=-⎩所以， 1λμ=-故选：C ．6．若将函数的图像向右移后关于原点中心对称，则的可能是（ ） ()cos()f x x ϕ=+6πϕA ． B ．C ．D ．3π-6π-6π3π【答案】A【分析】首先由条件判断函数关于点对称，代入得，即可求解.()f x ,06π⎛⎫- ⎪⎝⎭62k ππϕπ-+=+ϕ【详解】由条件可知，函数关于点对称，()cos()f x x ϕ=+,06π⎛⎫- ⎪⎝⎭则，，得，， 62k ππϕπ-+=+Z k ∈23k πϕπ=+Z k ∈当，，1k =-3πϕ=-故选：A7．在中，设，那么动点的轨迹必通过的（ ）ABC 222AC AB AM BC -=⋅M ABC A ．垂心 B ．内心 C ．外心 D ．重心【答案】C【分析】设的中点是，根据题意化简可得，即可确定的轨迹. BC O 0MO BC ⋅=M 【详解】设的中点是，BC O ，()()2222AC AB AC AB AC AB AO BC AM BC -=+⋅-=⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 即，所以，()0AO AM BC MO BC -⋅=⋅= MO BC ⊥ 所以动点在线段的中垂线上，故动点的轨迹必通过的外心，M BC M ABC【点睛】关键点点睛：本题考查向量的运算法则，熟练掌握向量的运算法则，数量积与垂直的关系，三角形的外心定义是解题的关键，属于较难题. 8．关于函数有下列四个结论： ()cos cos 2f x x x =+①的值域为；()f x []1,2-②在上单调递减；()f x 0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦③的图象关于直线于对称；()f x 34x π=④的最小正周期为．()f x π上述结论中，正确命题的个数有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个【答案】C【分析】利用二倍角的余弦公式将函数解析式化为，令利用二()212cos +o |s |c f x x x =-cos ,x t =次函数可求出值域，说明①正确；根据复合函数的单调性可知②正确；根据可知③()2f f ππ⎛⎫≠ ⎪⎝⎭不正确；根据的最小正周期是，可知④正确.cos y x =π【详解】，由得()2cos cos 2cos 2||||||||1cos f x x x x x =++-＝cos ||cos x x =，()222||||12cos 2cos 2co 1s +cos cos +c |s ||o 1|f x x x x x x x +=-=-=-所以，()212cos +o |s |c f x x x =-对于①：令则，又在上单调递增，所以当时，cos ,x t =[]0,1t ∈22+1t y t =-[]0,1cos 0t x ==，当时，， ()min 1f x =-cos 1t x ==()max 2f x =所以f （x ）的值域为[，2]，故①正确；1-对于②：当时，，且在上单调递减，又令02，π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦x cos 0,cos cos x x x ≥=cos y x =0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦cos ,x t =且单调递增，所以f （x ）在[0，]上单调递减，故②正确；22+1t y t =-2π对于③：因为，，而，cos cos 2221||2||f πππ⎛⎫+⨯ ⎪⎝⎭=-＝()cos cos |||22|f πππ+=＝()2f f ππ⎛⎫≠ ⎪⎝⎭所以f （x ）的图象关于直线x ＝对称不成立，故③不正确；34π对于④：因为，且的最小正周期是，所以 f （x ）的最小正周()212cos +o |s |c f x x x =-cos y x =π期为π，故④正确. 故选：C.二、多选题9．下列各组向量中，不能作为基底的是（ ） A ．B ．12(0,0),(1,2)e e ==-12(1,2),(5,7)e e =-=C ．D ．12(3,5),(6,10)e e ==1213(2,3),(,)24e e ==- 【答案】AC【解析】判断向量是否共线，共线的不能作为平面的基底．【详解】A ．由于，因此共线，不能作基底，10e =12,e e B ．两向量不共线，可以作基底，C ．由于，不能作基底，212e e =D ．两向量不共线，可以作基底， 故选：AC ．10．下列四个选项，正确的有（ ）A ．在第三象限，则是第二象限角()tan ,cos P αααB ．已知扇形OAB 的面积为4，周长为10，则扇形的圆心角（正角）的弧度数为 12C ．若角的终边经过点，则α()(),20≠a a a sin α=D ． sin 3cos 4tan 50>【答案】ABD【分析】根据三角函数在各个象限的正负，扇形周长和面积的计算公式，三角函数的定义，三角函数值的正负，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.【详解】对A ：由题可得，则属于第二或者第四象限；tan 0α<α，则属于第二或者第三象限或角度终边落在轴的负半轴上；故属于第二象限，A 正cos 0α<αx α确；对B ：设扇形的圆心角为，半径为，圆心角对的弧长为，OAB (0)αα>R l 则，，解得，又，即，解得，B 正确；142lR =210l R +=2,4l R ==l R α=24α=12α=对C ：根据题意可得C 错误； sin α==对D ：因为，，故，3,2ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭334,,5,222ππππ⎛⎫⎛⎫∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭sin 30,cos 40,tan 50><<故，D 正确. sin 3cos 4tan 50>故选：ABD.11．已知向量，则下列说法正确的是（ ） ()()2,1,1,a b t =-=A ．若，则t 的值为-2 //a b r rB ．的最小值为1a b +C ．若，则t 的值为2a b a b +=- D ．若a 与b 的夹角为钝角，则t 的取值范围是 2t <【答案】BC【分析】A 选项：利用向量共线列方程，求出t ，即可判断；B 选项：求出a +=C 选项：由列方程，即可判断； a b a b +=-D 选项：利用向量夹角公式直接求解.【详解】A 选项：若，则，解得：，故A 错；//a b r r 210t --=12t =-B 选项：，所以t =-1时，取得最小值为()1,1a b t +=-+ a += 1，故B 正确；C 选项：， ()1,1a b t +=-+ ()3,1a b t -=--若，即，故C 正确；a b a b +=- =2t =D 选项：若与的夹角为钝角，则且，a b cos ,0a b < cos ,1a b ≠-cos ,a b a b a b ⋅==⋅，所以，解得：且，故D 错误．20t -+<1≠-2t <12t ≠-故选：BC12．设函数，已知在有且仅有个零点，对于下列个说法正()sin (0)6f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭()f x []0,π34确的是（ ）A ．在上存在，，满足 ()0,π1x 2x ()()122f x f x -=B ．在有且仅有个最大值点 ()f x ()0,π1C ．在单调递增()f x 0,2π⎛⎫⎪⎝⎭D ．的取值范围是ω1319,66⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】AD【分析】利用三角函数图象及周期的计算，由有且仅有个零点来得区间长度的大致位置，进而3π解的范围，再判断区间单调性．由题意根据在区间有个零点画出大致图象，可得区ω0,2π⎛⎫⎪⎝⎭[]0,π3间长度介于周期，再用表示周期，得的范围，进而求解即可．π3,2T OA T OA ⎡⎫++⎪⎢⎣⎭ωω【详解】画出大致图象如下图，当时而，0x =1sin 62y π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭0ω>所以时先单调递增，0x >函数在仅有个零点时，则的位置在之间包括，不包括，[]0,π3πC D ～(C )D 令，则得， ，()sin 06f x x πω⎛⎫=-= ⎪⎝⎭6x k πωπ-=16x k ππω⎛⎫=+⋅ ⎪⎝⎭()k Z ∈轴右侧第一个零点为，周期，y 6πω2T πω=所以， 3232131966266266T T ππππππππωωωωωωω+≤<+⇒+≤<+⋅⇒≤<所以D 正确．在区间上，函数可达到最大值和最小值，[]0,π所以存在，，满足，所以A 正确， 1x 2x ()()122f x f x -=由大致图象得，可能有两个最大值，不一定正确； B 因为最小值为，所以时，，但， ω13602x π<<116612x πππω-<-<11,1222πππ⎛⎫∉- ⎪⎝⎭所以，函数不单调递增，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()f x 所以不正确． C 故选：．AD三、填空题 13．已知，，则_______________________． in()3s 4a β+=()1sin 3αβ-=tan tan αβ=【答案】135【分析】根据，，利用两角和与差的正弦公式展开，两式相加减，再in()3s 4a β+=()1sin 3αβ-=利用商数关系求解. 【详解】因为，， in()3s 4a β+=()1sin 3αβ-=所以，，3sin cos cos sin 4a a ββ+=1sin cos cos sin 3a βαβ-=所以，， 13sin cos 24αβ=5cos sin 24αβ=则． tan sin cos 13tan cos sin 5ααββαβ==故答案为：13514．正六角星是我们生活中比较常见的图形，很多吊饰品中就出现了正六角星图案（如图一）.正六角星可由两个正三角形一上一下连锁组成（如图二）.如图三所示的正六角星的中心为，，O A B，是该正六角星的顶点，若，则______. C 2OB = OA OC ⋅=【答案】6-【分析】根据正六角星的性质，结合平面向量加法的几何意义、平面向量数量积的定义和运算性质进行求解即可.【详解】延长至正六角星一个顶点，如下图所示：COD由题意可知，则， 2π3AOB ∠=1cos 2AOB ∠=-根据正六角星的性质和平面向量加法的几何意义可知：，2OD OA OB =+所以，()2OC OD OA OB =-=-+ 则. ()12242262OA OC OA OA OB ⎛⎫⋅=⋅--=-⨯-⨯⨯-=- ⎪⎝⎭故答案为：6-15．在中，，点满足，若，则ABC ∆2AB AC ==M 20BM CM +=2·3BC AM = BAC ∠=___________.(用弧度制作答) 【答案】3π【分析】根据条件求得，所以是等边三角形，因此得.2BC =ABC 3BAC π∠=【详解】取的中点为，连接，则，BC O AO AM OM OA =-∴， ()2 (3)BC AM BC OM OA BC OM =-== 设，则，解得，BC x = 212()323x x x ⋅-=2x =∴是等边三角形，∴.ABC 3BAC π∠=故答案为：.3π16．如图，在半径为的圆中，点为圆上的定点，且，点为圆上的一个动1O AB 、O 60AOB ∠=︒C 点，若，则的取值范围是________．OC xOA yOB =+1)2x y +【答案】⎡⎣-【分析】建立平面直角坐标系，根据，得到，进而得到OC xOA yOB =+1cos 2sin x y yθθ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，结合三角函数的性质，即可求解.22cos 2sin 1))4x y πθθθ+=+=+【详解】如图所示，以为原点，以为轴建立平面直角坐标系， O OA x 因为圆的半径为，且，可得，160AOB ∠=︒1(1,0),(2A B 设点，其中，(cos ,sin )C θθ[0,2)θπ∈因为，可得，OC xOA yOB =+1(cos ,sin )(1,0)(2x y θθ=⋅+⋅所以，可得，1cos 2sin x y yθθ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩22cos 2sin 1))4x y πθθθ+=+=+因为，可得1sin()14θπ-+≤≤4πθ-≤+≤即的取值范围是. 1)2x y +⎡⎣-故答案为：.⎡⎣-四、解答题17．已知，.1a = 2b = (1)若，求；,60a b =︒ a b + (2)若与垂直，求当为何值时，? a b - a k ()()2ka b a b -⊥+【答案】(2)3【分析】(1)根据向量模长公式即可求出结果；(2)根据与垂直可以求出，根据即可求出的值. a b - a 1a b ⋅= ()()20ka b a b -⋅+= k 【详解】（1），cos ,1a b a b a b ⋅=⋅⋅=a b += 所以；a + （2）因为与垂直， ab - a 所以，即， ()0a a b -⋅= 20a a b -⋅= 解得，1a b ⋅= 当时，， ()()2ka b a b -⊥+ ()()20ka b a b -⋅+= 即，()222120k a k a b b +-⋅⋅-= 解得，3k =所以当时，. 3k =()()2ka b a b -⊥+18．若，，求的值． sin 2α=()sin βα-=π,π4α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦3ππ,2β⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦αβ+【答案】 74π【分析】首先由已知的范围，确定的范围，然后再正弦值结合正弦函数性质缩小,αβ2,αβα-的范围，从而得的范围，然后求得的值可得角．,αβα-αβ+cos()αβ+在此范围内【详解】∵，，∴，， π,π4α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦3ππ,2β⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦2[,2]2παπ∈5[0,]4πβα-∈，则，，， sin 20α=>2[,]2παπ∈[,42ππα∈524ππβα<-<，， sin()0βα-=>2πβαπ<-<又，，则，， 102<<102<<526παπ<<56πβαπ<-<于是， 52()23παβααβπ<+-=+<所以， cos2α==cos()βα-==cos()cos(2)cos 2cos()sin 2sin()αβαβααβααβα+=+-=---(=，所以． 74αβπ+=19．已知向量，，. ()cos ,sin a αα= ()cos ,sin b ββ= ()2,0c = （1）求向量的长度的最大值；b c +r r （2）设，且，求的值. 3πα=()a b c ⊥+ cos β【答案】（1）；（2）. 312-【解析】（1）根据题意化简，利用余弦函数的性质，即可求解；254cos b c β+=+ （2）由，得到，根据向量的数量积的 求得，根据3πα=12a ⎛= ⎝ ()sin 16a b c πβ⎛⎫⋅+==++ ⎪⎝⎭ ，所求得，进而求得的值. ()a b c ⊥+ sin 16πβ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭cos β【详解】（1）由题意，向量，， ()cos ,sin b ββ= ()2,0c = 可得，()cos 2,sin b c ββ+=+则.()222cos 2sin 54cos b c βββ+=++=+ 因为，所以，即. 1cos 1β-≤≤219b c ≤+≤ 13b c ≤+≤ 即当时， 的最大值为3.cos 1β=b c +r r （2）由，则，3πα=12a ⎛= ⎝ 又由，， ()cos ,sin b ββ= ()2,0c = 得， ()()11cos 2,sin cos 122a b c ββββ⎛⋅+=⋅+=+ ⎝ sin 16πβ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭因为，所以，即， ()a b c ⊥+ ()0a b c ⋅+= sin 16πβ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭解得，可得，所以. 262k ππβπ+=-223k πβπ=-1cos 2β=-20．已知函数的部分图象如图所示： ()()πsin 0,0,2f x A x Aωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭(1)求方程的解集；()2f x =(2)求函数的单调递增区间. ()ππ1212g x f x f x ⎛⎫⎛⎫=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】(1) π|π,Z 6x x k k ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭(2) π5ππ,π,Z 1212k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦【分析】（1）观察图象可得周期，根据点在函数图象上得；再根据点在函数图象ω5π012⎛⎫ ⎪⎝⎭，ϕ()0,1上得，求得解析式，进而求出解集；A （2）首先将化简为，利用三角函数单调性可得答案. ()g x ()π2sin 23g x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭【详解】（1）由图象可知，周期， 5π7π2ππ21212πT ω⎛⎫=+=∴== ⎪⎝⎭，∵点在函数图象上，∴， 5π012⎛⎫ ⎪⎝⎭5πsin 2012A ϕ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭解得， 5πππ2π2πZ 66，ϕϕ+=+=+∈k k k ∵，∴； π2ϕ<π6ϕ=∵点在函数图象上，∴， ()0,1πsin126，==A A ∴函数的解析式为， ()f x ()π2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭由得， ()π2sin 226f x x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭πsin 216x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，解得， ππ22π,62+=+∈x k k Z π,Z 6πk x k =+∈所以解集为. π|π,Z 6x x k k ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭（2） ()ππ1212g x f x f x ⎛⎫⎛⎫=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由（1）知， ()π2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ ()πππππ2sin 22sin 22sin22sin 21261263g x x x x x ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦， 1π=2sin22sin2=sin22sin 223x x x x x x ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由，得， πππ2π22πZ 232，-+≤-≤+∈k x k k π5πππ1212-≤≤+k x k ∴函数的单调递增区间为. ππ()=1212g x f x f x ⎛⎫⎛⎫--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭π5ππ,π,Z 1212k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦21．已知函数，且的最小正周期为，将的()()2π2cos 10,02f x x ωϕωϕ⎛⎫=+-><< ⎪⎝⎭()2f x π()f x 图像沿x 轴向左平移个单位，得到函数，其中为的一条对称轴． π6()g x π3x =()g x (1)求函数与的解析式；()f x ()g x (2)若方程在区间有解，求实数t 的取值范围． ()()ππ21033g x f x g x f x t ⎛⎫⎛⎫--+-⋅+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭π5,π126⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】(1)； ()sin f x x =-()πsin 6g x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭(2) t ⎡∈⎢⎣【分析】（1）先化简得到，根据性质求出和得到和()()cos 22f x x ωϕ=+12ω=π4ϕ=()sin f x x =-（2）记，即()()()5,33126H x g x f x g x f x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎡⎤=--+-⋅∈ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎝⎭，.利用换元法，()sin cos sin cos H x x x x x =-+⋅5,126x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦sin cos 4x x x πλ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭则的值域求解问题等价于，的5,126x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()H x ()()22112122h λλλλλ-=+=---λ⎡∈⎢⎣值域，把原命题“若方程在区间有解”转化为()()21033g x f x g x f x t ππ⎛⎫⎛⎫--+-⋅+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭5,126ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦在内有解，即可求得. ()12h t λ=-λ⎡∈⎢⎣【详解】（1）由条件则()()cos 22f x x ωϕ=+且的最小正周期为，则 ()()2cos 42f x x ωϕ=+π12ω=即，将的图像沿轴方向向左平移个单位， ()()cos 2f x x ϕ=+()f x x π6得到函数 ()πcos 26g x x ϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭且为的一条对称轴，即 π3x =()g x ()πππ22π362k k ϕϕ++=+=∈Z 由可得 π0,2ϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭π4ϕ=从而可得 ()πcos sin 2f x x x ⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭． ()ππ2ππcos cos sin 2636g x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=+=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（2）由（1）可知 ππsin cos 32g x x x ⎛⎫⎛⎫-=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭记 ()()()5,33126H x g x f x g x f x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎡⎤=--+-⋅∈ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎝⎭即， ()sin cos sin cos H x x x x x =-+⋅5,126x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦再记， sin cos 4x x x πλ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭5,126x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 21sin cos 2x x λ-⇒⋅=λ⎡∈⎢⎣代入中，则的值域求解问题等价于()H x ()H x，的值域， ()()22112122h λλλλλ-=+=---λ⎡∈⎢⎣当时， λ=()min 14h λ=1λ=()max 1h λ=因此的值域为，也即为 ()λh 1,14⎡⎤+⎢⎥⎣⎦()H x 1,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦原命题“若方程在区间有解” ()()21033g x f x g x f x t ππ⎛⎫⎛⎫--+-⋅+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭5,126ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦即等价于在内有解 ()12h t λ=-λ⎡∈⎢⎣只需即可，解得即为所求． ()112,14t ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦t ⎡∈⎢⎣22．设函数.()sin f x x x =(1)证明：在上单调递增； ()f x π0,2⎡⎤⎢⎣⎦(2)若方程在上有且仅有两个根、，证明：.()1f x =[]0,παβπαβ+>【答案】(1)见解析；(2)见解析.【分析】（1）根据与在上的单调性，结合不等式的性质即可证明； y x =sin y x =π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦（2）易知与不是方程的根，画出函数与在上的图象，设0π()1f x =()sin g x x =()1h x x =()0,π,可得，.证明，结合在上的单调性αβ<π0π2αβ<<<<π0π2β<-<()()πf f βα-<()f x π0,2⎡⎤⎢⎣⎦即可证明.παβ+>【详解】（1）设，因为在上单调递增，所以. 12π02x x ≤<≤sin y x =π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦120sin sin 1x x ≤<≤所以，即,1122sin sin x x x x <()()12f x f x <故在上单调递增. ()f x π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦（2）因为，所以与不是方程的根. ()()π00f f ==0π()1f x =所以方程在上有且仅有两个根、，不妨设, ()1f x =()0,παβαβ<由，可得. ()1f x =1sin x x=在坐标系中分别作出函数与在上的图象如图： ()sin g x x =()1h x x=()0,π可得， π0π2αβ<<<<所以. π0π2β<-<因为,1sin ββ=所以.()()()()ππππsin ππsin 11f ββββββββ--=--=-==-<又，所以. ()1f α=()()πf f βα-<因为，，且在上单调递增， π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ππ0,2β⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭()f x π0,2⎡⎤⎢⎣⎦所以，即.πβα-<παβ+>。
湖北省名校高一下学期3月联考数学试题 Word版含解析
A. 函数 f (x) 的最小正周期为 π
C. x π 为函数 f (x) 的一条对称轴 2
【答案】BCD
B.
函数
f
(x)
在
π 2
,
0
上单调递增
D. 函数 f (x) 在[π, π] 上有且仅有 3 个零点
【解析】
【分析】根据函数周期性的定义可判断 A；根据复合函数单调性的判断方法可判断 B；根据函数对称轴的 性质可判断 C；求出函数 f (x) 在[π, π] 上的零点可判断 D.
数．已知函数 f (x) 2(x 2) x2 mx n 的对称中心为 (1, 0) ，且与函数 g(x) 2x3 k 的图象有且仅
有一个交点，则 k 的值为（）
A. 5
B. 2
C. 16
D. 22
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意可得
y
f
(x 1) 是 奇 函 数 ， 利 用 奇 函 数 的 定 义 计 算 出
x2
，则
1 107 3
107
1 107 e
，
可得 x2 107 ln 3 ，
故所求时间为
x2 x1 107
ln 3 ln
4 3
ln
9 4
2 ln 3
2 ln
2
0.8 （秒），
故选：B.
二、多项选择题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的四个选项中有
多项符合题目要求的，全部选对的得 5 分，有错选的得 0 分，部分选对的得 2 分．
m 5 n 4 ， 然 后 由 函 数
g( x) 2x3 k 的图象与 f (x) 有且仅有一个交点可得 6x2 12x 16 k 0 有且仅有一个解，计算判别式
学高一3月第一次月考数学试题(解析版)
【详解】A.正八边形ABCDEFGH中 那么 故A对；
B. 故B对；
C. 与 夹角为 故 故C对；
D. 故D错；
故选：ABC
11.已知锐角 内角 的对边分别为 若 则边 的可能取值为（）
A 2B. 3C. 4D. 5
【答案】CD
【解析】
【分析】由于三角形的正弦定理和正弦函数的值域可得 的范围讨论 结合条件可得所求结论.
A. 3B. C. 1D.
5. 的内角ABC的对边分别为abc 则 （）
A. B. 3C. D. 2
6.有很多立体图形都体现了数学的对称美 其中半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体．半正多面体因其最早由阿基米德研究发现 故也被称作阿基米德体．某公园中设置的供市民休息的石凳如图所示 它是一个棱数为24的半正多面体 且所有顶点都在同一个正方体的表面上 它也可以看成是由一个正方体截去八个一样的四面体所得的 若被截正方体的棱长为 则该石凳的表面积为（）
（1）若 求 的值；
（2）求 的最小值；
【答案】（1） ；（2）最小值 .
【解析】
【分析】（1）依题意画出图形即可求出 再 中由余弦定理求出 再求出 最后根据 计算可得；
（2）以 为原点 所在直线为 轴建立如图所示的平面直角坐标系求出 的坐标设 即可表示出 再根据向量数量积的坐标运算及三角函数的性质计算可得；
【详解】因为 所以 所以 因此
故答案为： .
14.已知向量 那么 在 上的投影向量为__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据投影向量的定义进行求解即可.
【详解】设向量 的夹角为
因为
所以向量 方向上的单位向量为：
河北省高一下学期3月月考数学试题(解析版)
河北省唐县高一下学期3月月考数学试题一、单选题1．在复平面内，复数对应的点位于（ ） 2i 1z =-A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B【分析】根据复数对应的点的坐标即可确定结果. 【详解】对应的点为，位于第二象限. 2i 1z =-()1,2-故选：B.2．已知向量，若，则（ ）(2,1),(,2)a b x ==- //a ba b += A ．(－2，－1) B ．(2，1)C ．(3，－1)D ．(－3，1)【答案】A【分析】由，利用向量共线的坐标运算解得x ，再利用向量和的坐标运算求.//a b a b +【详解】解析：因为，所以，解得x ＝－4．所以. //a b 2(2)x ⨯-=()214,22,()()1a b +=---- ,＋＝故选：A3．下列命题中正确的个数是（ ）①起点相同的单位向量，终点必相同；②已知向量，则四点必在一直线上；AB CD∥,,,A B C D ③若，则；,a b b c∥∥a c ∥④共线的向量，若起点不同，则终点一定不同. A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】A【分析】由平面向量的概念对选项逐一判断，【详解】对于A ，单位向量的方向不确定，故起点相同的单位向量，终点不一定相同，故A 错误，对于B ，向量，则四点共线或，故B 错误，AB CD∥,,,A B C D //AB CD 对于C ，若，当时，不一定平行，故C 错误，,a b b c∥∥0b = ,a c 对于D ，若三点共线，则，此时起点不同，终点相同，故D 错误， ,,A B C //AC BC故选：A4．在中，已知，，，则（ ）ABC a =12c =π3C =A =A ．B ．C ．或D ．或π36π6π5π66ππ3【答案】B【分析】结合正弦定理求得正确答案. 【详解】由于，所以是锐角，a c <A由正弦定理得， sin sin a c A C =12πsin3=解得，所以. 1sin 2A =π6A =故选：B5．已知平面向量满足，则在方向上的投影向量为（ ）,a b ||2,4a a b =⋅=b a A ．B ．C ．D ．12a12b r ab 【答案】C【分析】根据投影向量的定义结合向量的夹角公式运算求解.【详解】在方向上的投影向量为 b a()2cos ,a a b a a b b a bb a a a a a a b ⎛⎫⋅⋅ ⎪=⨯==⎪⎝⎭故选：C.6．已知向量，满足，，，则与的夹角为（ ）a b 1a = 2b = ()a b a -⊥ a bA ．B ．C ．D ．π6π4π32π3【答案】C【分析】由向量垂直，利用数量积运算可得，即，代入已知条件，求得()0a a b -⋅= 20a a b -⋅= ，所以，得解1cos ,2a b = π3a b ⋅=r r 【详解】因为，所以()0a a b-⋅=20a a b -⋅= 所以22cos a a b a b a b a =⋅=⋅⋅⋅= 又，，，,1a = 2b = 1cos ,2a b = [],0,πa b ∈ 所以，π,3a b = 故选：C ．7．在平行四边形中，为的重心，，则（ ）ABCD G BCD △AG xAB y AD =+3x y +=A ．B ．C ．D ．732833【答案】C【分析】由题意作图，根据重心的几何性质，得到线段的比例关系，利用平面向量的运算，可得答案.【详解】如图，设与相交于点，由为的重心，可得为的中点，AC BD O G BCD △O BD，则，2CG GO =()144122333233AG AO OG AO OC AO AB AD AB AD =+=+==⨯+=+可得，故23x y ==83.3x y +=故选：C.8．为捍卫国家南海主权，我海军在南海海域进行例行巡逻.某天，一艘巡逻舰从海岛出发，沿南A偏东的方向航行40海里后到达海岛，然后再从海岛出发，沿北偏东的方向航行了70︒B B 35︒海里到达海岛.若巡逻舰从海岛出发沿直线到达海岛，则航行的方向和路程（单位：海里）C A C 分别为（ ）A ．北偏东，B ．北偏东， 80︒65︒2)C ．北偏东，D ．北偏东，65︒80︒2)【答案】C【分析】在中，，，ABC 7035105ABC ︒︒︒∠=+=40AB =BC =AC 的长度，在中，可由正弦定理建立方程，求出．ABC sin 105BC ACCAB sin ︒=∠CAB ∠【详解】据题意知，在中，，海里， ABC 7035105ABC ︒︒︒∠=+=40AB =BC =所以2222cos AC AB BC AB BC ABC =+-⨯⨯∠2240240=+-⨯⨯，3200=+所以海里， AC ===sin CAB ∠=又因为为锐角，所以，CAB ∠45CAB ︒∠=所以航行的方向和路程分别为北偏东，海里. 65︒故选：C .【点睛】本题考查解三角形的实际应用，考查逻辑思维能力和运算求解能力，属于常考题.二、多选题9．下列命题为真命题的是（ ） A ．若，为共扼复数，则为实数 1z 2z 12z z ⋅B ．若为虚数单位，为正整数，则 i n 43i i n +=C ．复数在复平面内对应的点在第三象限 2i --D ．复数的共轭复数为 5i 2-2i --【答案】AC【分析】根据共轭复数的概念可判断A 项；利用复数的乘方运算可判断B 项；利用复数的几何意义可判断C 项；利用复数的除法运算结合共轭复数的概念可判断D 项.【详解】解：设，则，故，故A 正确；1i(,R)z a b a b =+∈1i z a b =-()()2212i i z z a b a b a b ⋅=+-=+因为，故B 错误；()4343i i =1i =i-i n n +=⨯⨯-因为复数在复平面内对应点的坐标为，所以在第三象限，故C 正确； 2i --(2,1)--因为，其共轭复数为，故D 错误； ()()()5i 25i 2i 2i 2i 2+==----+2i -+故选：AC.10．在中，下列命题正确的是（ ） ABC A ．是的充要条件A B >sin sin A B >B ．若，则是直角三角形 cos cos a B b A =ABC C ．若，，则是等边三角形 60B =︒2=b ac ABC D ．若，则 cos sin b a C c A =+45A =︒【答案】ACD【分析】由正弦定理可判断ACD 正确，选项B 中由正弦定理可得，所以是等腰三角形. =A B ABC 【详解】对于A ，若，则，由正弦定理知， A B >a b >sin sin A B >反之，若，由正弦定理知，则有， sin sin A B >a b >A B >故是的充要条件，A 正确；A B >sin sin A B >对于B ，若且，易得：，cos cos a B b A =,(0,π)A B ∈π,(0,2A B ∈由正弦定理得：，即，则，有，sin cos sin cos A B B A =sin()0A B -=ππ(,)22A B -∈-=A B 所以是等腰三角形，B 错误；ABC 对于C ，若，由正弦定理得，而， 2=b ac 2sin sin sin B A C =π3B =则，化简得：且， 23sin sin()34A A π-=sin(2)16A π-=2(,)666A ππ11π-∈-即，得，故，所以是等边三角形，C 正确； 262A ππ-=π3A =3C π=ABC 对于D ，若，由正弦定理得， cos sin b a C c A =+sin sin cos sin sinB AC C A =+从而，化简得：， sin()sin cos sin sin A C A C C A +=+cos sin sin sin A C C A =而，所以且，得，D 正确. sin 0C ≠cos sin A A =(0,π)A ∈45A =︒故选：ACD11．在平面直角坐标系中，已知点，则（ ）(0,0),(1,2),(3,1)O OA OB ==A ．||AB =B ．是直角三角形AOB C ．在方向上的投影向量的坐标为OA OB 11,3⎛⎫⎪⎝⎭D ．与垂直的单位向量的坐标为或 OB⎛⎝【答案】ABD【分析】根据向量模的坐标表示求出可判断A ；求出向量、以及的模，根据勾股定||AB OA OB AB理逆定理可判断B ；根据投影向量的定义求出在方向上的投影向量可判断C ；根据向量垂直OA OB的坐标表示求出与垂直的单位向量，判断D.OB【详解】因为，A 正确()2,1AB OB OA =-=-=，所以， ==222||||OAAB OB += 所以，即为直角三角形，B 正确；OA AB ⊥OAB 设与同向的单位向量为，， OB eOB e OB ==所以在方向上的投影向量为，OA OB31cos ,,22OA OB OA OA OB e e e OB ⋅⎛⎫〈=⋅== ⎪〉⎝⋅⎭C 错误；因为，设与垂直的单位向量为，(3,1)OB = OB(,)y m x = 则，解得22301x y x y +=⎧⎨+=⎩x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩xy ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩故与垂直的单位向量的坐标为或，D 正确，OB⎛ ⎝故选：ABD ．12．在中，角A ，B，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且，则下列说法正ABC 23cos 3cos b C c B a +=确的是（ ）A ． 3a =B ．若，且有两解，则b 的取值范围为 π4A =ABC ⎡⎣C ．若，且为锐角三角形，则c 的取值范围为 2C A =ABC (D ．若，且，O 为的内心，则 2A C =sin 2sin B C =ABCAOB S =△【答案】ACD【分析】选项A ：根据条件求出；选项B ：由余弦定理得23cos 3cos b C c B a +=3a =，将此式看作关于的二次方程,由题意得此方程有两个正解,求得b 的取值范围；229b c =+c 选项C ：根据正弦定理得，利用为锐角三角形求角A 的范围，从而求边的范围；6cos c A =ABC c 选项D ：利用正弦定理求出角，从而判断出是直角三角形，利用等面积法求的内切C ABC ABC 圆半径，从而求的面积.AOB 【详解】解：对于A 选项，因为，23cos 3cos b C c B a +=所以由正弦定理，得,即 ， 3sin cos 3sin cos sin B C C B a A +=()3sin sin B C a A +=因为，所以，且，所以，A 选项正确； πA B C ++=()sin sin B C A+=sin 0A ≠3a =对于B 选项，由余弦定理得， 2222cos a b c bc A =+-229b c =+将此式看作关于的二次方程,由题意得此方程有两个正解,c 2209c b +-=故 ,解得，所以选项B 错误； ()22290)490b b ⎧->⎪⎨-->⎪⎩(b ∈对于C 选项，由正弦定理，得 ，即 ， sin sin 2a cA A=2cos 6cos c a A A ==因为为锐角三角形，ABC所以 ，即，解得， π02π02π02A BC ⎧<<⎪⎪⎪<<⎨⎪⎪<<⎪⎩π02π0π32π022A A A ⎧<<⎪⎪⎪<-<⎨⎪⎪<<⎪⎩ππ64A <<所以，故选项C 正确； (6cos c A =∈对于D 选项，因为，所以， sin 2sin B C =2b c =因为，所以， 2A C =()sin sin sin 3B A C C =+=所以由正弦定理，得，即， sin sin b c B C =2sin 3sin c c C C=sin 32sin C C =所以， sin 2cos cos 2sin 2sin C C C C C +=即，222sin cos 2cos sin sin 2sinC C C C CC +-=因为，所以，即， sin 0C ≠222cos 2cos 3C C +=23cos 4C =又因为， 2A C =所以，， ，是直角三角形，π6C =π3A =π2B =b c ==ABC 所以内切圆的半径满足，即r ()1122ABC S a b c r ac =++= ac r a b c ==++所以的面积为D 正确. AOB 1122S cr ===故选：ACD.【点睛】方法点睛:在三角形中,常常隐含角的范围:①若已知一个角数，则另两角的范围不能是，如＝，则,特别是在求值域问题时会用到. (0,π)B π32π(0,)3A ∈②在锐角三角形中，不要只考虑，还要想到另外两角之和在内,若再知其中一π,,(0,)2A B C ∈π(,π)2角,要考虑其它角的范围,如＝，则,所以; B π32ππ32A C =-<ππ63C <<若知其中两角关系,也要考虑角的范围,如在本题中，综合三个角为锐角有,得2A C =π02π0π32π022A A A ⎧<<⎪⎪⎪<-<⎨⎪⎪<<⎪⎩. ππ64A <<三、填空题13．已知向量满足，且，则__________. ,a b1,2a b == ||||a b a b +=- 2a b +=【答案】【分析】根据向量的模长公式可得，进而根据模长公式即可求解.a b ⊥【详解】由得，所以，||||a b a b +=-()()220a ba ba b +=-⇒⋅=2a故答案为：14．若复数，则实数的值为________.()2390m m i -+-≥m 【答案】3【分析】由题意知为实数，实部大于或等于，虚部等于，即可求解. ()239m m i -+-00【详解】因为复数不能比较大小，所以为实数，()239m m i -+-可得解得23090m m -≥⎧⎨-=⎩3m =所以实数的值为， m 3故答案为：315．已知，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围为______．()1,2a = ()1,1b = a a b λ+λ【答案】()5,00,3⎛⎫-⋃+∞ ⎪⎝⎭【分析】先利用题意算出，再利用平面向量夹角为锐角的充要条件，列出不等()1,2a b λλλ+=++式求解作答【详解】解：因为，，所以，()1,2a = ()1,1b = ()1,2a b λλλ+=++因为与的夹角为锐角，所以，且与不共线，a ab λ+ ()0a a b λ+⋅> a a b λ+所以且，()1220λλ+++>()212λλ+≠+解得且，所以的取值范围为，53λ>-0λ≠λ()5,00,3⎛⎫-⋃+∞ ⎪⎝⎭故答案为：()5,00,3⎛⎫-⋃+∞ ⎪⎝⎭四、双空题16．已知的内角A ，B ，C 的对边分别为．若，则ABC ,,a b c 2sin sin cos 1cos 2=-B C A A 222+=b ca_____；的最大值为_____． sin A 【答案】 3【分析】由二倍角公式，正弦定理，余弦定理化简已知等式可得，根据基本不等式可求2223+=b c a ，结合范围，利用三角函数的性质即可求解的最大值．2cos 3≥A ()0,A π∈sin A 【详解】解：∵，∴， 22sin sin cos 1cos 22sin B C A A A =-=22222cos 2==+-bc A a b c a ∴，当且仅当时不等式两边取等号， ()2222122233cos 223b c b c bc A bc bc +-+⋅=≥=b c =∴当取得最小值时，cos A 23sinA =故答案为：3． 【点睛】本题考查了正弦定理，考查了余弦定理，考查了基本不等式，考查了同角三角函数的基本关系，属于中档题.五、解答题17．已知，，.()1,3A ()2,2B -()4,1C (1)若，求D 点的坐标；AB CD =(2)设向量，，若与平行，求实数k 的值. a AB = b BC = ka b -3a b + 【答案】(1)4(5,)D -(2)13k =-【分析】（1）根据题意设，写出的坐标，根据向量相等的坐标关系求解；(,)D x y ,C AB D（2）直接根据向量共线的坐标公式求解即可.【详解】（1）设，又因为， (,)D x y ()()()1,3,2,2,4,1A B C -所以，=(1,5),(4,1)AB CD x y -=--因为，=AB CD 所以，得，4115x y -=⎧⎨-=-⎩54x y =⎧⎨=-⎩所以.4(5,)D -（2）由题意得，，，(1,5)a =- (2,3)b =所以，，=(2,53)ka b k k ----3(7,4)a b += 因为与平行，ka b -3a b + 所以，解得.4(2)7(53)0k k ----=13k =-所以实数的值为.k 13-18．已知a ，b ，c 分别为锐角三个内角A ，B ，C 的对边，，且ABC ),3m =()2sin ,n B b =-． 0m n ⋅=(1)求A ；(2)若，的周长为6，求△ABC 的面积． 2a =ABC 【答案】(1)3A π=【分析】（1）由，得到，求得的大小；0m n ⋅= sin 30B b -+=sin A =A （2）由余弦定理得到，结合题意求得，利用面积公式，即可求解.224b c bc =+-4bc =【详解】（1）解：由题意，向量，，),3m =()2sin ,n B b =-因为，可得， 0m n ⋅=sin 30B b -+=由正弦定理得，sin 3sin 0A B B -+=因为为锐角三角形，可得，所以，ABC 0,2B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭sin 0B >所以，即， 30A -+=sin A 因为，所以．0,2A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭3A π=（2）解：在中，由余弦定理得，即 ABC 2222cos a b c bc A =+-224b c bc =+-可得()243b c bc =+-因为，的周长为6，所以，可得，2a =ABC 4b c +=4bc =故的面积为ABC 1sin 2S bc A ==19．如图，在直角三角形中，．点分别是线段上的点，满ABC 90,22A CB CA ∠=︒==,D E ,AB BC 足．,(0,1),A B D A C B BE λλλ==∈u u r u u u r u u u r u u u r(1)求的取值范围；AE BC ⋅ (2)是否存在实数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．λAE CD ⊥ λ【答案】(1)(3,1)-(2)存在， 23λ=【分析】（1）由题意得，结合即可得()()AE BC AB BE BC AB BC BC λ⋅=+⋅=+⋅ 34λ=-+(0,1)λ∈解；（2）由，求解即可.()()()()AE CD AB BE AD AC AB BC AB AC λλ⋅=+⋅-=+⋅- 2230λλ=-=【详解】（1）在直角三角形中，．ABC 90,22A CB CA ∠=︒==∴，30,B BA ∠=︒=2cos303BA BC ⋅=⨯︒= ，2()()AE BC AB BE BC AB BC BC AB BC BC λλ⋅=+⋅=+⋅=⋅+ 234BA BC BC λλ=-⋅+=-+ ∵，∴．(0,1)λ∈(3,1)AE BC ⋅∈- （2）()()()()AE CD AB BE AD AC AB BC AB AC λλ⋅=+⋅-=+⋅-22AB AB AC BC AB BC AC λλλ=-⋅+⋅-⋅2302cos15021cos 60λλλ=-+⨯︒-⨯⨯⨯︒2230323λλλλλ=---=-令，得或（舍）. 2230λλ-=23λ=0λ=∴存在实数，使得． 23λ=AE CD ⊥ 20．如图，在平面内将两块直角三角板接在一起，已知，记45,60ABC BCD ∠=∠= . ,AB a AC b →→→→==（1）试用表示向量;,a b →→,AD CD →→（2）若，求. 1b →=AB CD →→⋅【答案】（1），；（2.AD a →→=)1CD a b →→→=+1【分析】（1）由题易知，再结合即可得，进而即CB a b →→→=-BD →=AD a →→=CD AD AC →→→=-可得答案；（2）由题知，进而根据向量数量积运算求解即可.1a b →→⋅=【详解】（1）因为，所以， ,AB a AC b →→→→==CB AB AC a b →→→→→=-=-由题意可知， ，//,AC BD BD =所以，则，BD →=AD AB BD a →→→→=+=)1CD AD AC a b →→→→→=-=+（2）因为， ， 1b →=cos 114a b a b π⋅=⋅==所以))211211AB CD a a b a a b →→→→→→→→⎡⎤⋅=⋅+=+⋅==⎢⎥⎣⎦21．在中，角所对的边长分别为，面积为，且. ABC A B C ､､,2a b c c =､､S cos2A b S =(1)求角的大小.A (2)求的取值范围. b c a +【答案】(1)π3A =(2)(]1,2b c a +∈【分析】(1)结合面积公式，二倍角的正弦公式对条件进行恒等变换即可得出，利用三角1sin22A =形中角的取值范围即可求解；(2)利用正弦定理和两角和的正弦公式得到，然后利用正弦函数的图象和性质即π2sin()6b c B a +=+可求解.【详解】（1），所以，又， cos2A b S = 1cos sin 22A b bc A =2c =，则， cos sin 2A A ∴=cos 2sin cos 222A A A =，因为， 1sin22A ∴=0πA <<所以，故； π26A =π3A =（2）由正弦定理可得：)sin sin sin sin sin b c B C B C a A ++==+()sin sin B B A ⎤=++⎦sin sin 3B B π⎤⎛⎫=++ ⎪⎥⎝⎭⎦1sin sin 2B B B ⎤=+⎥⎦π2sin 6B ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 302πB << πππ666B +<5<∴，也即. 1sin 126B π⎛⎫∴<+≤ ⎪⎝⎭(]1,2b c a +∈22．“我将来要当一名麦田里的守望者，有那么一群孩子在一大块麦田里玩，几千几万的小孩子，附近没有一个大人，我是说，除了我．”《麦田里的守望者》中的主人公霍尔顿将自己的精神生活寄托于那广阔无垠的麦田．假设霍尔顿想在一望无际的麦田里划一块形为平面四边形的麦田ABCD成为守望者．如图所示，为了分割麦田，他将B ，D 连接，经测量知，AB BC CD ====AD(1)霍尔顿发现无论都为一个定值，试问霍尔顿的发现正确吗？若正确，BD cos A C -求出此定值；若不正确，请说明理由.(2)霍尔顿发现小麦的生长和发育与分割土地面积的平方和有关，记与的面积分别为ABD △CBD △和，为了更好地规划麦田，请你帮助霍尔顿求出的最大值．1S 2S 2212S S +【答案】(1)正确，1 (2)632【分析】（1）在和中分别对使用余弦定理，可推出的关系，即可得出ABD △CBD △BD ,A C是一个定值； cos A C -（2）求出的表达式，利用二次函数的基本性质以及余弦函数值的取值范围，可得出2212S S +2212S S +的最大值.【详解】（1）在中，由余弦定理得：， ABD △2222cos BD AD AB AD AB A =+-⋅即，2186224BD A A =+-⨯=-在中，，CBD △2222cos BD CD BC CD BC C =+-⋅即26621212cos BD C C =+-=-因此，即，241212cos A C -=-21cos A C =-．cos 1A C -=（2）因为， 11sin 212S A A AD AB A ⨯=⋅==， 21sin 3sin 212S C C BC CD C =⋅==于是得22221227sin 9sin S S A C +=+由（1）知，cos 1C A =-因此 )22222123627cos 9154cos 27S S A A A A +=---=-++， 26354cos 2A ⎛=-+ ⎝在中，ABD △BD <<在中， CBD △0BD <<BD <<由，得 224BD A =-cos A =即有，0cos 1A <<从而当， cos A =()2212max 632S S +=所以的最大值是． 2212S S +632。
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重点中学2010-2011学年度第二学期高一年级3月份月考数学科试题考试时间：2011年3月（考试范围：人教版必修4第一、二、三章；考试时间120分钟；分值150分）注意事项：1.答卷前,考生要务必填写答题卷上的有关项目.2.选择题每小题选出答案后，用黑色字迹的钢笔或签字笔把答案代号填在答题卷对应的空格内.3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4.考生必须保持答题卷的整洁.考试结束后，将答题卷和答题卡交回.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。
1．下列命题中正确的是（ ）A ．OA OB AB -=u u u r u u u r u u u r B ．0AB BA +=u u u r u u u rC ．00ρρ=• D ．AB BC CD AD ++=u u u r u u u r u u u r u u u r2．在四边形ABCD 中，==•，且0，则四边形ABCD 是（ ） A ． 梯形 B ． 菱形 C ．矩形 D ． 正方形 3．下列表达式中,正确的是（ ） A.()sin cos sin sin cos αβαβαβ+=+B. sin()cos sin sin cos αβαβαβ-=-C.s()cos cos sin sin co αβαβαβ+=+D.cos()cos cos sin cos αβαβαβ-=- 4．下列各组向量中，可以作为基底的是（ ）A ．)2,1(),0,0(-==b a ρρB ．)7,5(),2,1(=-=b a ρρC ．)10,6(),5,3(==b a ρρD ．)43,21(),3,2(-=-=b a ρρ5．已知D 是△ABC 的边AB 上的中点，则向量CD =u u u r（ ）A. 12BC BA -+u u u r u u u rB. 12BC BA--u u u r u u u r C. 12BC BA -u u u r u u u r D. 12BC BA +u u u r u u u r6．已知3(,),sin ,25παπα∈=则tan()4πα+等于（ ）A. 17B. 7C. 17-D. 7-7.),4,3(),1,2(==b a ρρ则向量a ρ在向量b ρ方向上的投影为（ ）A. 52B. 2C. 5D. 108．已知点A （3，0），B （0，3），C （cos α，sin α），O （0，0），若),0(,13||πα∈=+，则OC OB 与的夹角为（ ）A ．2πB ．4πC ．3πD ．6π二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
9．设a ρ表示“向东走3 km ”，b ρ表示“向北走3 km ”，则b a ρρ+表示10．οοοο26cos 34cos 26sin 34sin -=11．若向量a ρ =（x ＋3，x 2－3x －4）与AB → 相等，其中A （1，2），B （3，2），则x 等于12．已知)5,3(),2,(-==b a ρρλ，且b a ρρ与的夹角是钝角，则实数λ的取值范围是13．已知α、β都是锐角，且135)cos(,54sin =+=βαα，则βsin 的值为 14．在△ABC 中，已知|AB →|＝4，|AC →|＝1，且△ABC 的面积为 3 ，则AB →·AC →等于三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明。
15．（本题满分12分）已知0120,3||,4||===θ的夹角与且b a b a ρρρρ求：（1）)()32(b a b a ρρρρ+•-（2）b a ρρ+216．（本题满分12分）已知1tan 3α=-，cos β=,(0,)αβπ∈ （1）求tan()αβ+的值；（2）求角α+β17．（本题满分14分）已知(1,2)a =r ，(3,2)b =-r，当k 为何值时，（1）ka b +r r 与3a b -r r垂直 （2）ka b +r r 与3a b -r r平行18．（本题满分14分） 已知函数x x x f cos sin 3)(+=（1）求)(x f 的最小正周期和最大值（2）求使0)(≥x f 成立的x 的取值集合 19．（本题满分14分）已知向量a ρ=(sin θ，1)，b ρ＝(1，cos θ)， －π2＜θ＜π2．（1）若b a ρρ⊥，求θ；（2）求b a ρρ+的最大值．20．(本题满分14分)已知A 、B 、C 是ABC ∆三内角，向量(1m =-u r(cos ,sin ),n A A =r 且 1.m n =u r r g（1）求角A ； （2）若3sin cos cos sin 2122-=-+BB BB ，求C tan2010-2011学年度第二学期高一年级3月份月考数学科答案一、选择题：1. D2. C3. A4. B5. A6. A7. B8. D 二、填空题：9. 向东北方向走23km 10. －2111. -1 12. (103 ，+∞) 13. 6516 14. ±2三、解答题：15.解：（1）)()32(b a b a +⋅-=2232-⋅-…………………………………………………………………3分 =11 ……………………………………………………………………………6分（2）a +2…………………………………………………………8分10分 =7 …………………………………………………………………………12分16.解：（1）由cos β=(0,)βπ∈得sin β=分 ∴ tan 2β= ------- 4分∴tan()αβ+=12tan tan 3121tan tan 13αβαβ-++==-+. ------- 8 分（2）由),0(,,55cos ,31tan πβαβα∈=-= 得)2,0(),,2(πβππα∈∈…………………………………………10分 )23,2(ππβα∈+∴ 由（1）可知1)tan(=+βα45πβα=+∴………………………12分 17.解：（1）ka b +r r ＝（3,22k k -+），3a b -r r＝（10，－4）----------- 4分 （ka b +r r ）g （3a b -r r）＝0即（k －3）g 10＋（22k +）(4)0-=g ------8分 解得 19k = 即当19k =时，ka b +r r 与3a b -r r垂直。
-----9分(2)方法一：∵ka b +r r 与3a b -r r平行 ∴-4（k －3）=10（22k +）-----13分 解得13k =- 即 当13k =-时，ka b +r r ＝13a b -+r r ∥3a b -r r------------14分方法二：(注意:若用方法二,则(1)、(2)问各占7分)当ka b +r r 与3a b -r r 平行时，存在唯一实数λ，使ka b +r r ＝λ（3a b -r r）------9分由(3,22)(10,4)k k λ-+=-得1310322413k k k λλλ⎧=-⎪-=⎧⎪⇒⎨⎨+=-⎩⎪=-⎪⎩----------13分即 当13k =-时，ka b +r r ＝13a b -+r r ∥3a b -r r-----------------14分18.解：（1）x x x f cos sin 3)(+==2)cos 21sin 23(x x + =2)6sin cos 6cos(sin ππ⋅+⋅x x=2)6sin(π+x ……………………………………………………………7分)(x f ∴的最小正周期为π，最大值为2…………………………………………9分（2）由Z k k x k ∈+≤+≤,262ππππ………………………………………12分得Z k k x k ∈+≤≤+-,26526ππππ…………………………………………13分的取值为成立的使x x f 0)(≥∴Z k k k ∈++-],265,26[ππππ………………14分19.解：解：（Ⅰ）若b a ρρ⊥, 则sin θ＋cos θ＝0，-----------------2分 由此得 tan θ＝－1--------------------3分 ∵－π2＜θ＜π2----------------4分∴ θ＝－π4；------------6分（Ⅱ）由a ρ=(sin θ，1)，b ρ＝(1，cos θ)得 b a ρρ+＝(sin θ＋1)2＋(1＋cos θ)2------------------8分＝3＋2(sin θ＋cos θ)---------10分＝3＋22sin(θ＋π4)，-------------12分当sin(θ＋π4)＝1时，b a ρρ+取得最大值，即当θ＝π4时，b a ρρ+最大值为2＋1．---------------14分20.解：(1)∵1m n ⋅=u r r∴(()cos ,sin 1A A -⋅= cos 1A A -=--------2分12sin cos 12A A ⎛⎫⋅= ⎪ ⎪⎝⎭, 1sin 62A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭---------5分∵50,666A A ππππ<<-<-<---------------6分∴66A ππ-=∴3A π=----------------7分(2)由题知2212sin cos 3cos sin B BB B+=--，整理得22sin sin cos 2cos 0B B B B --=----------8分∵cos 0B ≠ -----------------9分∴2tan tan 20B B --=∴tan 2B =或tan 1B =-------------------10分而tan 1B =-使22cos sin 0B B -=，舍去 -----------11分∴tan 2B =∴()tan tan C A B π=-+⎡⎤⎣⎦()tan A B =-+-----------------12分tan tan1tan tan A B A B +=--==分。