转动惯量的计算平行轴定理
最全的转动惯量的计算
dl
R
例题3 求质量为m、半径为R、厚为h的均质圆盘 对通过盘心并与盘面垂直的轴的转动惯量。
解：如图所示，将圆盘看成许多薄圆环组成。取 任一半径为r，宽度为dr的薄圆环，此薄圆环的转 动惯量为
dJ r dm
2
dm为薄圆环的质量。以 表示圆盘的质量体密度
dm dV 2rhdr
例一静止刚体受到一等于M0（N.m)的不变力矩的 作用,同时又引起一阻力矩M1， M1与刚体转动的 角速度成正比,即| M1 |= a(Nm),(a为常数)。又 已知刚体对转轴的转动惯量为J,试求刚体角速度 变化的规律。 已知：M0 J M1= –a |t=0= 0 求：（t）=？ 解： 1）以刚体为研究对象； M+ 2）分析受力矩 M 0 J M1 3）建立轴的正方向； 4）列方程：
M 0 M1 J
4）列方程： 解：
M 0 M1 J
M+ M0
分离变量：
M1=–a M 0 M 1 M 0 a J J d M 0 a M 0 a 1 t dt J (ln )
a
d dt M dJ
1 2 2 2 ( R Z ) dZ 2 R
R
4 8 2 3 5 2 m R R mR 3 15 5
（1）平行轴定理
JC JD
J D J C md2
d
C
（2）薄板的正交轴定理
z o x
Jz Jx J y
y
常见刚体的转动惯量
1 RT J MR 2 2
M
T1 T2 a mg h
对物体m，由牛顿第二定律，
mg T ma
滑轮和物体的运动学关系为 a R
平行轴定理的证明
平行轴定理的证明嘿，你知道平行轴定理不？这可是个超厉害的定理呢！它在物理学中那可是有着重要的地位。
咱先来看看平行轴定理到底是啥。
简单说，就是对于一个刚体，它对任意轴的转动惯量，等于对通过质心的平行轴的转动惯量加上刚体质量乘以两轴之间距离的平方。
听起来有点复杂？别急呀，咱慢慢理解。
就好比一个大圆盘，你可以把它想象成一个超级大披萨。
如果这个大披萨绕着中心轴转，那它的转动惯量是一种情况。
但要是把这个大披萨稍微挪一下位置，让它绕着一个离中心有点距离的平行轴转呢？这时候平行轴定理就派上用场啦。
它能告诉你这个新的转动惯量是怎么来的。
为啥平行轴定理这么重要呢？你想想看，在现实生活中，很多物体的转动可不是都绕着质心转呀。
比如说自行车的轮子，它在转动的时候，轴可不是正好在轮子的质心位置吧。
这时候就得靠平行轴定理来帮忙计算转动惯量啦。
要是没有这个定理，那我们要计算这些物体的转动可就难上加难喽。
那平行轴定理是怎么被证明的呢？这可不是一件容易的事儿。
咱得从转动惯量的定义开始说起。
转动惯量呢，就是衡量一个物体绕某一轴转动时惯性大小的物理量。
对于一个质点，它的转动惯量就是质量乘以它到转轴距离的平方。
但对于一个刚体，那就得把刚体分成无数个小质点，然后把每个小质点的转动惯量加起来。
假设我们有一个刚体，质量为M。
先考虑它对通过质心的轴的转动惯量，记为Ic。
然后再考虑这个刚体对另一个与通过质心的轴平行的轴的转动惯量，记为I。
这两个轴之间的距离为d。
咱可以把刚体上的任意一个小质点的质量记为dm。
这个小质点到通过质心的轴的距离为r。
那么这个小质点对通过质心的轴的转动惯量就是dm×r²。
把所有小质点的转动惯量加起来，就得到了Ic。
现在来看这个小质点到另一个平行轴的距离。
根据几何关系，这个距离就是r+d。
所以这个小质点对平行轴的转动惯量就是dm×(r+d)²。
把所有小质点对平行轴的转动惯量加起来，就得到了I。
平行轴定理适用条件
平行轴定理适用条件平行轴定理是物理学中的一个重要定理，它可以帮助我们计算物体的转动惯量。
在这篇文章中，我们将讨论平行轴定理适用的条件。
平行轴定理是指一个刚体绕通过其重心的轴的转动惯量等于该刚体绕过与重心平行的任意轴的转动惯量与该刚体质量乘以该轴与重心的距离平方之和的总和。
也就是说，如果我们知道了一个刚体绕过某个轴的转动惯量，我们可以使用平行轴定理来计算它绕过另一个与之平行的轴的转动惯量。
但是，平行轴定理并不是在所有情况下都适用的。
平行轴定理适用的条件如下：1. 刚体必须是一个刚性物体，也就是说，它的形状和大小不能随意改变。
2. 刚体必须是一个连续体，也就是说，它的所有部分都必须连接在一起，不能有任何间隙。
3. 刚体必须是一个均匀物体，也就是说，它的密度必须在整个物体内保持恒定。
如果密度不均匀，我们需要将物体分成若干个小部分，然后对每个小部分分别计算转动惯量，最后再将它们相加。
4. 轴必须是与刚体平行的轴，也就是说，它们之间的距离在整个物体内保持恒定。
如果轴是斜的或者不平行的，我们需要将它分解成两个平行的轴，然后对每个轴分别计算转动惯量，最后再将它们相加。
5. 轴必须在刚体的平面内，也就是说，它们之间不能有任何偏移或旋转。
如果轴不在平面内，我们需要将它旋转回平面内，然后再计算转动惯量。
平行轴定理只适用于均匀、连续、刚性的物体，而且要求轴与物体平行且在同一平面内。
如果不满足这些条件，我们就不能使用平行轴定理计算转动惯量。
在实际应用中，我们需要根据具体情况来判断是否可以使用平行轴定理，以避免出现错误的结果。
平行轴定理适用的条件是物体要求均匀、连续、刚性，并且轴必须与物体平行且在同一平面内。
只有在满足这些条件的情况下，我们才能使用平行轴定理计算物体的转动惯量。
转动惯量平移轴定理
转动惯量平移轴定理平行移轴定理：刚体对于任一轴的转动惯量，等于刚体对于通过质心，并与该轴平行的轴的转动惯量，加上刚体的质量与两轴间距离平方的乘积。
一、转动惯量的平移定理：I=I0+d2m其中，m为物体质量，I0为通过物体质心的某定轴转动惯量，I为与I0转轴平行且相距d的定轴转动惯量。
二、惯性积的平移定理：J'xy=J xy+x1y1mJ'xz=J xz+x1z1mJ'yz=J yz+y1z1m其中，J xy、J xz、J yz为空间直角坐标系原点在物体质心的三个惯性积，J'xy、J'xz、J'yz为将坐标系原点从质心平移到(x1，y1，z1)的三个惯性积。
三、转动惯量的不等式：0＜Ix ≤ Iy+Iz、 0＜Iy ≤ Ix+Iz、 0＜Iz ≤ Ix+Iy其中，Ix、Iy、Iz分别是物体以三个坐标轴为转轴的转动惯量。
对非线段物体，只有一个等号有可能成立。
四、惯性积的取值范围：1、三个惯性积的一次不等式：|J xy|＜(I z)/2、 |J xz|＜(I y)/2、|J yz|＜(I x)/22、当三个惯性积“三非正”或“一非正二非负”时，还有以下条件：|J xy|+|J xz|+|J yz|＜(I x+I y+I z)/43、三个惯性积的二次不等式：(J xy)2＜(I x)(I y)、(J xz)2＜(I x)(I z)、(J yz)2＜(I y)(I z)；由“斜轴惯量公式”或“椭圆判别式”得之。
五、斜轴转动惯量公式：I=I x cos2α+I y cos2β+I z cos2γ-2J xy cosαcosβ-2J xz cosαcosγ-2J yz cosβcosγ其中，I为通过坐标系原点的斜轴转动惯量，cosα、cosβ、cosγ分别为斜轴在x、y、z轴上的方向余弦。
六、惯性主轴位置方程(回转曲率方程)：x2I x+y2I y+z2I z=m+2xyJ xy+2xzJ xz+2yzJ yz.1、方程坐标（x，y，z）是表示斜轴回转曲率矢量。
转动惯量平行轴定理
转动惯量平行轴定理转动惯量平行轴定理是物理学中重要的定理之一，可以帮助我们了解物体的运动规律。
首先我们来了解一下它的定义。
定义：转动惯量平行轴定理是指当物体处于惯性系统中，其转动惯量可以按照平行轴来分解，即由物体自身质心平行轴所分解而得出。
它最早是由美国物理学家伯恩斯提出的，他以发表于1717年的《转动惯量平行轴定理》一文而建立它。
它最初只是一个简单的假设，即物体可以按照一个等分的轴来分解惯量。
然而，研究这一定理的理论还有很多歧义，因此需要进一步的解释和实验来解决。
转动惯量平行轴定理的应用十分广泛，涉及地球物理学、力学、化学、天文学、电动学等多个领域。
在地球物理学中，它可以帮助我们解释地球的旋转运动；在力学中，它可以帮助我们了解任何物体运动的惯量分解规律；在化学中，它可以帮助我们解释分子键之间的转动惯量；在天文学中，它还可以帮助我们正确分析天体的相对速度；在电动学中，转动惯量平行轴定理还可以帮助我们计算电机的电动力、牵引力等。
简而言之，转动惯量平行轴定理是一种在物理学中重要的定义，它可以帮助我们了解物体运动的惯量分解规律，以及在地球物理学、力学、化学、天文学和电动学等领域的应用，为我们在研究物理学提供了重要的参考依据。
转动惯量平行轴定理的研究一直处于活跃状态，各大院校及科研机构都在持续努力，为我们深入理解它带来更多的见解。
例如，中科院物理所的学者曾经提出了基于极坐标的解析方程，用于描述物体不同角度的转动惯量分解；哈尔滨工业大学的学者利用有限元方法，推导出了针对复杂形状物体的惯量分解解析方程；而实验研究也更加精进，一些新技术也在应用中得到了不断地发展，例如可以使用激光测试技术测量物体在不同方向上的惯量。
从上述内容可以看出，转动惯量平行轴定理为物理学研究提供了重要的理论准备，而且正在不断地发展。
研究者们正在持续努力，为我们进一步理解转动惯量带来更多的方法和参考。
希望在不久的将来，我们能够更加深入的理解转动惯量平行轴定理，从而为物理学的研究带来更多的收获。
3_2转动定律 转动惯量 平行轴定理
平行轴定理 质量为m的刚体，如果对 其质心轴的转动惯量为JC ，则 对任一与该轴平行，相距为d 的转轴的转动惯量
d
C
m
O
J O J C md
JP 1 2 mR mR
2 2
2
圆盘对P 轴的转动惯量 P
R
O m
四 转动定律应用举例 对平动的物体应用牛顿定律；对转动的物体应 用转动定律；建立平动与转动之间的关系。
对质量面分布的刚体： d m
dS
：质量面密度
对质量体分布的刚体：d m
dV
：质量体密度
第三章 刚体的转动
3 – 2 转动定律 转动惯量 平行轴定理
例3-1 一质量为m、长为l的均匀细长棒，求通 过棒中心并与棒垂直的轴的转动惯量。
O r
l 2
O
dr
l 2
r
dr
O
O´
l
解: 设棒的线密度为，取一距离转轴 OO 为r 处的质量元dm=dr . d J r 2 d m r 2 d r
(m A m C 2)m B g mA mB mC 2
A
mA
FT1
C
F T1
F T2
mC F T2
mB B
如令 m C 0，可得
F T1 F T2
mAmBg mA mB
第三章 刚体的转动
3 – 2 转动定律 转动惯量 平行轴定理
F T1 F T2
3） 刚体内作用力和反作用力的力矩互相抵消
M ij
O
M
rj
j
d
ji
iF ri ij
F ji
最全的转动惯量的计算
J dJ R 2r3hdr 1 R4h
0
2
m
R2h
代入得
J 1 mR2
2
J与h无关
一个质量为m、半径为R的实心圆柱体对其中心 轴的转动惯量也与上述结果相同。
例4）求一质量为m的均匀实心球对其一条直径
为轴的转动惯量。
Z
解：一球绕Z轴旋转，离球
Zr
d Z 心Z高处切一厚为dz的薄圆 盘。其半径为
O X
R
Y r R2 Z2
其体积：
dV r2dZ (R2 Z 2)dZ
其质量： dm dV (R2 Z 2 )dZ
其转动惯量：dJ 1 r2dm 1 (R2 Z 2 )2 dZ
2
2
dJ 1 r 2dm 2
1 (R2 Z 2 )2 dZ
2
J dJ
R 1 (R2 Z 2 )2 dZ R2
F l ac f
纯滚动条件为： aC R
圆柱对质心的转动惯量为：
JC
1 mR2 2
联立以上四式，解得：
2F(R l) aC 3mR
由此可见
f R 2l F 3R
当l < R 2时，f > 0，静摩擦力向后；
当 l > R 2时，f < 0，静摩擦力向前。
例一静止刚体受到一等于M0（N.m)的不变力矩的 作用,同时又引起一阻力矩M1， M1与刚体转动的 角速度成正比,即| M1 |= a(Nm),(a为常数)。又
8 R5 2 mR2
15
5m 4 R33源自（1）平行轴定理J D JC md 2
JC JD
d
C
z （2）薄板的正交轴定理
o
y
Jz Jx Jy
平行轴定理验证实验报告
平行轴定理验证实验报告背景平行轴定理是静力学中的一个基本原理，用于计算物体绕一轴的转动惯量。
该定理表明，一个物体绕通过其质心的轴的转动惯量等于该物体绕平行于通过其质心的轴且距该轴距离为d的轴的转动惯量与物体质量的乘积之和。
平行轴定理的公式表达如下：I = Icm + md^2其中，I表示物体绕通过质心轴的转动惯量，Icm表示物体绕通过质心的轴的转动惯量，m表示物体的质量，d表示通过质心轴与通过质心的轴的距离。
本实验旨在通过实际测量验证平行轴定理的正确性，并进一步了解物体的转动惯量及其与物体几何形状、质量分布等因素的关系。
实验设计实验材料和仪器1.轴：一个长而细的圆柱体，用于支撑物体以及作为转动轴2.轴夹：用于固定轴和物体3.各类几何形状的挂块：长方体、圆环、圆盘等4.千分秤或天平：用于测量物体的质量5.钢直尺：测量物体质心与通过质心的轴的距离实验操作步骤1.测量各类挂块的质量，并记录下来。
2.确定轴的位置，在轴上用轴夹固定一个挂块。
3.按照固定轴的原则，将其他的挂块一次性地固定在轴上，确保它们平行于质心轴且距离相等。
4.依次测量并记录各个挂块组合的质心与通过质心的轴的距离。
5.移动轴的位置，分别测量固定在不同位置的挂块组合的质心与通过质心的轴的距离。
6.根据实验数据计算每个挂块组合的转动惯量，并与质心轴的转动惯量进行对比验证平行轴定理。
分析根据平行轴定理，我们可以得到以下结论：1.一个物体的转动惯量与它的质量和质心位置有关。
2.一个物体绕通过它的质心的轴转动的转动惯量最小。
3.一个物体绕通过质心的轴与通过其他轴的转动惯量之间的差异等于物体质量与这两条轴的距离平方的乘积。
通过实验操作步骤中的实验设计，我们可以得到实验数据。
利用实验数据，我们可以计算每个挂块组合的转动惯量，并与通过质心轴的转动惯量进行比较。
通过对比实验数据和计算结果，我们可以验证平行轴定理的准确性。
如果实验数据和计算结果一致，则可以得出结论，实验验证了平行轴定理的正确性；如果实验数据和计算结果存在差异，则需要进一步分析差异的原因，并提出改进的建议。
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5.2 转动惯量的计算 平行轴定理 垂直轴定理 【例5.2～5.4】 一、转动惯量的计算（自学） 二、平行轴定理
如果刚体的一个轴与过质 心轴平行并相距 d ，则质量为 m 的刚体绕该轴的转动惯量， 等于刚体绕过质心轴的转动惯 量与 md2 之和
I IC md
定理的证明（自学）
2
三、垂直轴定理 对薄平板刚体，有
证明：
xi
x z yi ri Δ mi y
Jz Jx Jy
【思考】为什么要薄？
【例】
R
1 mR 2 2
1 mR 2 4
一些均匀刚体的转动惯量
细棒绕中心轴
细棒绕一端轴 薄圆环(筒)绕中心轴1 mL2 12源自1 mL2 3mR
2
圆盘(柱)绕中心轴
薄球壳绕中心轴 球体绕中心轴
1 mR 2 2
2 mR 2 3 2 mR 2 5