平行轴定理和垂直轴定理的讲解知识讲解
平行轴及垂直轴定理
平行轴定理转动惯量与转动轴的位置有关。
绕着一个固定轴转动的物体的动能是2z I 21K ω= 之前我们可以将动能用质心的动能和相对于质心的内能之和的形式表示出来： int 2cm K Mv 21K +=一个刚体上的两个平行轴。
Z 轴是固定的，质心轴绕着z 轴运动。
相对于任意一个轴物体都处于运动状态。
考虑绕不经过质心的固定轴（假设是z 轴）的转动。
质心绕着这个固定轴转动，设它与轴之间的距离为d ：因此 ωd v cm =222cm Md 21Mv 21ω= 一个物体以角速度ω绕固定轴z 轴的转动同样可以视为以同样的角速度绕平行于z 轴且通过质心的固定轴的转动。
也就是说，绕z 轴的转动等同于绕过质心的平行轴的转动与质心的转动的叠加。
绕通过质心的固定轴转动的动能为：2cm int I 21K ω=所以 222cm Md 21I 21K ωω+= 22cm 2z ]Md I [21I 21ωω+= 两相比较可得：2cm z Md I I +=，这就是平行轴定理。
例：木棒细木棒绕着它长度的中点转动，转动惯量为：2cm ML 121I = ——那么，当木棒绕着它的一端转动时，它的转动惯量是多少？3ML I )2L (M 12ML I 2Ld 222=+== 垂直轴定理一个薄平板，它可以绕着三个坐标轴中的任意一个转动。
表明了一个平板状物体绕着它的三个互相垂直的坐标轴转动的转动惯量之间的关系。
考虑一个薄板，它可以绕着它的三个垂直的坐标轴中的任意一个转动。
设与之相对应的转动惯量分别为z y x I I ,I 和假设平板处于xy 平面上，从z 轴到参考点P 的垂直距离为22y x R +=∫∫+==dV )y x (dV R I 222z ρρ∫=dV y I 2x ρ∫=dV x I 2y ρ所以 ，这便是垂直轴定理。
y x z I I I +=例：1） 圆盘•处于xy 平面上的一个圆盘，其转动惯量为2z MR 21I = 由对称性可知，y x I I =因此由垂直轴定理即可得到：x z 2I I =4MR 2I I I 2z y x === 2） 正方形平板•正方形的变长为a通过对称性可知，y x I I =因此由垂直轴定理即可得到：2z x Ma 61I 2I == 例：当圆柱体转动时，绳子开始释放，物体m 向下落。
大学工程力学重点知识点总结—期末考试、考研必备!!
工程力学重点总结—期末考试、考研必备！！第一章静力学的基本概念和公理受力图一、刚体P2刚体：在力的作用下不会发生形变的物体。
力的三要素：大小、方向、作用点。
平衡：物体相对于惯性参考系处于静止或作匀速直线运动。
二、静力学公理1、力的平行四边形法则：作用在物体上同一点的两个力，可以合成为仍作用于改点的一个合力，合力的大小和方向由这两个力为边构成的平行四边形的对角线矢量确定。
2、二力平衡条件：作用在同一刚体上的两个力使刚体保持平衡的必要和充分条件是：这两个力的大小相等、方向相反，并且作用在同一直线上。
3、加减平衡力系原理：作用于刚体的任何一个力系中，加上或减去任意一个平衡力系，并不改变原来力系对刚体的作用。
（1）力的可传性原理：作用在刚体上某点的力可沿其作用线移动到该刚体内的任意一点，而不改变该力对刚体的作用。
（2）三力平衡汇交定理：作用于刚体上三个相互平衡的力，若其中两个力的作用线汇于一点，则此三个力必在同一平面内，且第三个力的作用线通过汇交点。
4、作用与反作用定律：两个物体间相互作用的力，即作用力和反作用力，总是大小相等，方向相反，作用线重合，并分别作用在两个物体上。
5、刚化原理：变形体在某一力系作用下处于平衡状态时，如假想将其刚化为刚体，则其平衡状态保持不变。
三、约束和约束反力1、柔索约束：柔索只能承受拉力，只能阻碍物体沿着柔索伸长的方向运动，故约束反力通过柔索与物体的连接点，方位沿柔索本身，指向背离物体。
2、光滑面约束：约束反力通过接触点，沿接触面在接触点的公法线，并指向物体，即约束反力为压力。
3、光滑圆柱铰链约束：①圆柱、②固定铰链、③向心轴承：通过圆孔中心或轴心，方向不定的力，可正交分解为两个方向、大小不定的力；④辊轴支座：垂直于支撑面，通过圆孔中心，方向不定。
4、链杆约束（二力杆）：工程中将仅在两端通过光滑铰链与其他物体连接，中间又不受力作用的直杆或曲杆称为连杆或二力杆，当连杆仅受两铰链的约束力作用而处于平衡时，这两个约束反力必定大小相等、方向相反、沿着两端铰链中心的连线作用，具体指向待定。
垂直轴定理的一般形式
垂直轴定理的一般形式垂直轴定理又称“柯西定理”，是由美国数学家、物理学家和天文学家柯西（C.E.Cox）在1894年发明的一种数学定理。
它是计算空间中任意形变几何体的形状和构造的关键工具。
此定理用于证明给定的几何体中的垂直轴子可以被根据给定的条件进行定义。
垂直轴定理仅适用于任意形变几何体，而不是任何其他形状的几何体。
垂直轴定理的一般形式由以下公式表示：若假定三角形ABC的内角A，B，C的对称边位于垂直轴上，则公式为：AB2+BC2=AC2这个公式表明，如果一个三角形的内角A，B，C的对称边位于垂直轴上，那么这三角形的两个对角叉乘积就等于其底边的平方。
该公式往往用于计算三角形的面积和周长。
在垂直轴定理的一般形式中，一般认为AB就是垂直轴，BC就是三角形的底边，AC就是另一条对角线，而ABC就是三角形。
这里使用的是叉乘积的概念，它是将两个矢量之间的乘积定义为矢量的数量积，即矢量A乘以矢量B的结果。
三角形的形变是指将三角形的顶点移动到其他位置，不改变三角形形状，使其变为另一个三角形。
在三角形形变过程中，垂直轴定理仍然有效，即如果一个三角形的内角A，B，C的对称边位于垂直轴上，那么其仍然有AB2+BC2=AC2。
例如，如果我们从几何图形中剥离出一个三角形ABC，并将其顶点A，B，C进行形变，使之变成另一个三角形A’B’C’，则它们仍然具有垂直轴定理的形状，即A’B’2+B’C’2=A’C’2。
垂直轴定理的一般形式可以用来证明一些几何定理，例如向量定理、勾股定理、极坐标方程、椭圆方程等等。
它还可以用来证明平行线定理，即当四条直线在一个平面上分布时，如果两条直线平行，那么其他两条直线也必定平行。
垂直轴定理的一般形式还可以应用于求解几何体相关问题，例如找出三角形的周长、求解圆弧的弧长、求解空间几何体的体积等等。
解决这些问题，都要使用垂直轴定理的一般形式，以确定各个度量的准确值。
总而言之，垂直轴定理的一般形式是一种非常重要的数学定理，它在空间中任意形变几何体的计算中发挥着重要作用。
什么是刚体转动惯量的平行轴定理
什么是刚体转动惯量的平行轴定理在物理学中，刚体转动惯量是描述刚体绕轴线旋转的难易程度的物理量。
对于一个给定的刚体，它的转动惯量可能会因为绕不同的轴旋转而发生变化。
在这种情况下，我们就需要用到平行轴定理，来方便地计算出刚体绕某个轴线的转动惯量。
那么，什么是刚体转动惯量的平行轴定理呢？1. 简介刚体的转动惯量可以用来描述刚体围绕某一轴线旋转的难易程度，其大小与刚体的质量分布和旋转轴的位置有关。
而平行轴定理则是描述了这种转动惯量与刚体其他轴线转动惯量的关系。
平行轴定理为计算刚体围绕通过其质心的平行轴的转动惯量提供了一种便捷的方法。
2. 平行轴定理的表述刚体绕通过其质心的轴线的转动惯量可以通过以下公式得到：\[I = \sum m_i r_i^2\]其中，\(m_i\) 是刚体的质量，\(r_i\) 是每个质点到旋转轴的距离。
而根据平行轴定理，刚体绕与通过其质心平行且距离为\(d\)的轴线的转动惯量\(I'\)可以通过以下公式得到：这个公式说明了一个重要的性质，即刚体关于通过其质心的任意一条与初始轴平行的轴线的转动惯量恰好等于其关于质心轴的转动惯量与质量总和乘以平行距离的平方之和。
3. 应用举例为了更好地理解平行轴定理，我们可以通过一个简单的例子来说明其应用。
还是看一个在平行轴定理基础上的问题：求一组质点围绕一个与之共面的轴的转动惯量。
假设有一根长为\(L\)，均匀质量为\(m\)，质点在其上的刚直杆围绕其中心转轴竖直旋转。
竖直轴上有一组质点，每个质点的质量为\(m_i\)，距离竖直轴的水平距离为\(r_i\)。
我们需要求解这组质点围绕竖直轴的转动惯量。
根据平行轴定理，我们可以利用已知的关于质心轴的转动惯量和平行轴定理来解决这个问题。
我们需要计算关于质心轴的转动惯量。
\[I = \frac{1}{12}mL^2\]我们需要计算每个质点关于质心轴的转动惯量。
根据平行轴定理，我们可以得到这组质点关于竖直轴的转动惯量。
平行轴定理和垂直轴定理的讲解
三. 转动动能定理 —— 合力矩功的效果
dA Md (J
对于一有限过程
d )d
dt
Jd
d( 1 2
J 2 )
dEk
A
2 dA
1
2 1
d( 1 2
J 2 )
1 2
J22
1 2
J12
Ek
绕定轴转动刚体在任一过程中动能的增量，等于在该过程中
作用在刚体上所有外力所作功的总和。 —— 动能定理
刚体的机械能 刚体重力势能
1)
l' 2l 3
Nx 0
N y mg
质心运动定理与转动定律联用
§6.2 绕定轴转动刚体的动能 动能定理
一. 转动动能
z
设系统包括有 N 个质量元
m1, m2
r1, r2,..., ri,
,.......,
..., rN
mi,......,mN
v1,v2,...,vi ,...,v N
取第 i 个质元 ,其动能为
Ny
J 1 ml，2 现有一水平力作用于距轴为 l' 处
O
3
求 轴对棒的作用力（也称轴反力）。
Nx
解 设轴对棒的作用力为 N
Nx, Ny
由转动定律 Fl' J
由质心运 动定理
F
Nx
macx
m
l 2
Ny
mg
macy
ml 2
2
0
l' C F mg
质点系
打击中心
Nx
ml 2
Fl ' J
F
F (3l ' 2l
d
O
r' ri
刚体转动惯量的几种计算方法
对 于有些刚体也可 以投影到某一平面 ，进而计算平 面质
的转 动 惯 量 都 可 以用 这 种 方 法 求 解 。
３ 垂 直轴 定理 法
垂 直 轴 定 理 （也 叫 正交 轴 定 理 ）是一 个 物 理 学 定 理 ，可
以用 来 计 算 一 片 薄 片 的转 动 惯 量 。思 考 一 个 直 角 坐 标 系 ，薄
片 位 于 其 中两 个 坐 标 轴 组 成 的 平 面 内 。如 果 已知 此 薄 片 对 于
８２
学 术 理 论
刚体 转 动惯 量 的几 种 计 算 方 法
田 硕
（郑 州航 空工业管理学院数理系，河南 郑州 ４５００１ ５）
摘 要 ：本 文总结了刚体转动惯量计算的几种常见方法，即定义法 、平行轴定理 、垂 直轴定理 、投 影法、微元模型法、标度 变换法 ，分析 了不 同方法的使 用范围，并给 予例题加 以说 明。 关 键 词 ：转 动 惯 量 ； 平 行 轴 定 理 ； 垂 直 轴 定理 ；投 影 法 ；标 度 变换 法
进行计算 ，即 Ｊ ＝ ｌ １１２ｄｍ
例 １：一质量为 １ＴＩ、长为 ，的均匀细长棒 ，求过棒 中心 并与棒垂直 的轴的转动惯量 。
解 ：根 据 定 义 ，设 细 棒 线 密 度 为 ：＿ｍ 则 ｄｍ ＝ ， ，
由Ｊ＝ Ｉ ｄｍ得：
＝ 硅 ｄｍ：巨１ ｔ．２胁＝ ＝等
动惯量为 ： ＋ ｄ ： １２ ＋ ｆ ２１ ／ ‘： ３ ， 。
ＤＯＩ： １０．３９６９／ｊ．ｉ ｓｓｎ．１６７１—６３９６．２０１５．０６．０３６
刚体是刚体力学里重要的物理模型之一 ，转动惯量是 刚
体转动惯性大小的量度，是刚体力学里 很重要 的物理量 。在
平行轴定理——精选推荐
四、平行轴定理前例中J C 表示相对通过质心的轴的转动惯量， J A 表示相对通过棒端的轴的转动惯量。
两轴平行，相距L/2。
可见：222231411212mLmL mL L m J J C A =+=⎟⎠⎞⎜⎝⎛＋＝推广上述结论，若有任一轴与过质心的轴平行，相距为d ，刚体对其转动惯量为J ，则有：这个结论称为平行轴定理。
2C J J md＝＋例：右图所示刚体对经过棒端且与棒垂直的轴的转动惯量如何计算？(棒长为L、球体半径为R）2131L m J L L =225o oJ m R =2002dm J J L +=22212()35L o o J m L m R m L R =+++作业： P1504-8 4-9Lom oR Lm zz ′解：棒绕zz ’轴的转动惯量：球体绕球心O 的转动惯量：利用平行轴定理：五、刚体定轴转动的转动定律的应用例１、一个质量为Ｍ、半径为Ｒ的定滑轮（当作均匀圆盘）上面绕有细绳，绳的一端固定在滑轮边上，另一端挂一质量为ｍ的物体而下垂。
忽略轴处摩擦，求物体ｍ由静止下落高度ｈ时的速度和此时滑轮的角速度。
解：如图所示，M、m的受力图得知：: m mg T ma a R α−==21 2M M T R J J MRα′′：＝＝＝MmM g�m g�T�T ′�N�a�T T ′=M m mghR R v +==241ω例2、一个飞轮的质量为69kg，半径为0.25m,正在以每分1000转的转速转动。
现在要制动飞轮，要求在5.0秒内使它均匀减速而最后停下来。
求闸瓦对轮子的压力N为多大？242Mm mgh ah v +==gM m ma 2+=解方程得：F ω0解：飞轮制动时有角加速度tωωα−=20rad/s9.20s 5 0rad/s 7.104min /r 1000−=∴====αωωt 外力矩是摩擦阻力矩，角加速度为负值。
ααµ2mR J NR R f M r ==−=−＝αµ2mR NR =−N784=−=µαmR N αω0Nf r例3、一根长为l 、质量为m 的均匀细直棒，其一端有一固定的光滑水平轴，因而可以在竖直平面内转动。
平行轴定理及其应用
在 其 平 衡 位置 附近 振动 时 , 对 通过 D 点 的水 平轴 的转 动惯 量 。 解 直杆 是 在半 圆柱 面上 作 平面 平行 运 动 , D 是 水平转 动 瞬 轴 , 在 平 衡位 置 附近 来 回 移
动 , 由 图 3 可知 , 质 心 C 与 D 之 间 的 距 离为面 = d = R 口, 于 是 由平行轴 定理 得
例 1 匀 质 细杆 A B 长 为 L , 质 量为 m , 杆 的 A 端置 于水 平地 面上 , B 端 则 靠在 墙上 。 如
图 1 所示 , 求杆 对通 过 D 点的 水 平轴的转 动惯量 。
解
由题 意可 知 , 杆在 下落 过 程 中作 平面 平行运动 ,
绕水 平瞬 时转轴 D 转 动 ,
示 ) , 求 半圆 柱 体对 通 过 D 点的 水 平瞬 时 轴 的 转 动 惯 量 。
解
在 本题 中通 过 质心 C的 水 平袖 的转 动惯 量是 未知 的
由 平 丁,,
l卜耳 闰 声 廷 气一 门 习一\,/ó口卜ù了 口 产 `j/\ ù力卜、一 \、/厂、j. 刀仁、叫 叮 曰 冲 户客 寸,·月 习 ó脚 ,沐 夕\心/J2
1艺
教 学与管理 一 九 八八 年 第一 期
号 =
2L ` ” R Z 一
2,
’习 之
以 上 两例 中 的 转轴 均在 刚 体之 外 , 转 动 惯 量 I D都 是 固 定 不 变 的 。 例 3 匀 质杆 A B 长 L , 质 量 m , 置 于一粗 糙 的半径 为 R的 圆 柱 上 ( 如 图 3 所示 ) , 求杆
乙
3, ,
。, .
= 」刀 气 二二 五 - 一 乙 与 找 C 0 5 口 少 Nhomakorabea乙
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质心运动定理与转动定律联用
Xu Zhongfeng, Xi’an Jiaotong University, 2010
University Physics
§6.2 绕定轴转动刚体的动能 动能定理
一. 转动动能
z
设系统包括有 N 个质量元
m1, m2
r1, r2,..., ri,
,.......,
摩擦力矩
R
R
M z 0 dM z
R
0
2gr
2dr
2 3
mgR
由转动定律 M z
t
0
dt
3R d
0
0 4g
t 3R0 4g
J
d
dt
2 mgR 1 mR2 d
3
2 dt
2 mgR 1 mR2 4g
3
2
3R
(1 2
miri2 2 )
1 2
miri2 2
Ek
1 2
J 2
结论 定轴转动刚体的动能等于转动惯量与其角速度平方乘积的一半
转动物体具有储能、稳速等作用：……
二. 力矩的功
dA
F
dr
Fcosds
Frcosd
F rd
Md
Xu Zhongfeng, Xi’an Jiaotong University, 2010
Xu Zhongfeng, Xi’an Jiaotong University, 2010
University Physics
例 一根长为 l ，质量为 m 的均匀细直棒，可绕轴 O 在竖直平 面内转动（光滑无摩擦），初始时它在水平位置
求 它由此下摆 角时的 和
O•
ml x
解 取一质元 M z xdm g g xdm
0
t
4g
3R
t
0
4g
3R
t
Xu Zhongfeng, Xi’an Jiaotong University, 2010
University Physics
例 一个刚体系统，如图所示，已知，转动惯量
J 1 ml，2 现有一水平力作用于距轴为 l' 处 3
求 轴对棒的作用力（也称轴反力）。
Jz
ML2
—— 平行轴定理
(Parallel-Axis Theorem)
Jz —— 刚体绕通过质心轴的转动惯量
例如: J Z
JZ
M
L 2
2
1 12
ML2
1 4
ML2
1 3
ML2
z
z' z LM
C
z
J z J x J y —— (薄板)垂直轴定理
M
L
ri2 L2 2xi L
z
J z'
z'
Jz
ri' mri i
x
L
r
OC
M
o
miri2 mi (ri2 L2 2xi L)
i
i
J z ML2 2MLxc
J z' J z ML2
M (mi xi L)
(mi M
xi
)L
MxC
L
Xu Zhongfeng, Xi’an Jiaotong University, 2010
..., rN
mi,......,mN
v1,v2,...,vi ,...,v N
取第 i 个质元 ,其动能为
d
O
r' ri
dr
P•
vi
mi
F
Eki
1 2
miv
i
2
Байду номын сангаас
1 2
mi
ri
2
2
各质元速度不同，
刚体对定轴的总动能为
但角速度相同
Eki
University Physics
Xi’an Jiaotong University Zhongfeng Xu 04 / 01 / 2010
Xu Zhongfeng, Xi’an Jiaotong University, 2010
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➢ 平行轴定理及垂直轴定理
J z'
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四. 转动定律的应用举例
例 一轻绳绕在半径 r =20 cm 的飞轮边缘，在绳端施以F=98 N 的拉力，飞轮的转动惯量 J=0.5 kg·m2，飞轮与转轴间的摩擦 不计，绳与滑轮间无相对滑动，(见图)
求 (1) 飞轮的角加速度; (2) 如以重量P =98 N
xy 轴 —— 在薄板内
z 轴 —— 垂直于薄板
z
例如:
Jz
1 mR2 2
z m 圆盘
Jz Jx Jy Jx Jy
Jx
Jy
1 4
mR2
C R
x
y
x
Xu Zhongfeng, Xi’an Jiaotong University, 2010
y
薄板
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ri ri ro ri2 ri2 ro2 2ri ro
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dA Md (力矩的功就是力的功)
对一有限过程
A 2 Md ( 积分形式 ） 若 M = C 1
的物体挂在绳端，试计算飞轮的角加速度.
解 (1) Fr J
Fr J
98 0.2 0.5
39.2
rad/s 2
(2) mg T ma
Tr J
J
mgr mr2
两者区别
rO
T
TF mg
a r
98 0.2 0.5 10 0.22
21.8
rad/s 2
2l
d
3gsin
l
Xu Zhongfeng, Xi’an Jiaotong University, 2010
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例 匀质圆盘以 0 在水平桌面上转动,受摩擦力而静止
求 到圆盘静止所需时间
解 取一质元 dm ds 2π rdr
dM z rdf r gdm
M z mgxC
xdm mxC
•C dm
Mz
1 2
mgl cos
mg
重力对整个棒的合力矩等于重力全部集中于质心所产生的力矩
Mz J
1 mgl cos
2
3 ml2
3g cos
2l
d d 3g cos dt d 2l
ω
d
0
θ 0
3gcos
解 设轴对棒的作用力为 N
Nx, Ny
由转动定律 Fl' J
由质心运 动定理
F
Nx
macx
m
l 2
Ny
mg
macy
ml 2
2
0
Ny O
Nx l' C F mg
质点系
打击中心
Nx
ml 2
Fl ' J
F
F (3l ' 2l
1)
l' 2l 3
Nx 0
N y mg