转动惯量的计算平行轴定理

最全的转动惯量的计算

dl
R
例题3 求质量为m、半径为R、厚为h的均质圆盘对通过盘心并与盘面垂直的轴的转动惯量。
解：如图所示，将圆盘看成许多薄圆环组成。取任一半径为r，宽度为dr的薄圆环，此薄圆环的转动惯量为
dJ r dm
2
dm为薄圆环的质量。以表示圆盘的质量体密度
dm dV 2rhdr
例一静止刚体受到一等于M0（N.m)的不变力矩的作用,同时又引起一阻力矩M1， M1与刚体转动的角速度成正比,即| M1 |= a(Nm),(a为常数)。又已知刚体对转轴的转动惯量为J,试求刚体角速度变化的规律。已知：M0 J M1= –a |t=0= 0 求：（t）=？解： 1）以刚体为研究对象； M+ 2）分析受力矩 M 0 J M1 3）建立轴的正方向； 4）列方程：
M 0 M1 J
4）列方程：解：
M 0 M1 J
M+ M0
分离变量：
M1=–a M 0 M 1 M 0 a J J d M 0 a M 0 a 1 t dt J (ln )
a
d dt M dJ
1 2 2 2 ( R Z ) dZ 2 R
R
4 8 2 3 5 2 m R R mR 3 15 5
（1）平行轴定理
JC JD
J D J C md2
d
C
（2）薄板的正交轴定理
z o x
Jz Jx J y
y
常见刚体的转动惯量
1 RT J MR 2 2
M
T1 T2 a mg h
对物体m，由牛顿第二定律，
mg T ma
滑轮和物体的运动学关系为 a R

证明平行轴定理

证明平行轴定理平行轴定理是力学中的一个重要定理，它描述了质点系的转动惯量与质点距离转轴的关系。

在本文中，我将详细介绍平行轴定理的概念、原理和应用，并通过实例进行说明。

让我们来了解一下平行轴定理的概念。

平行轴定理是指当质点系绕通过质心的轴旋转时，其转动惯量等于质点系转动惯量与质点系质量与质心距离平方的乘积之和。

这个定理的重要性在于它可以帮助我们计算复杂物体的转动惯量，从而更好地研究物体的转动性质。

接下来，我们来看一下平行轴定理的原理。

假设有一个质点系，其中包含n个质点，质量分别为m1、m2、...、mn。

质点系的转动惯量可以表示为Ic，质点系质量的总和为M，质心到转轴的距离为d。

根据平行轴定理，我们可以得到以下公式：I = Ic + Md^2其中，I表示质点系绕平行于转轴的轴的转动惯量。

这个公式告诉我们，质点系的转动惯量等于质点系质量的总和与质心距离平方的乘积之和。

平行轴定理的应用非常广泛。

例如，在工程中，我们经常需要计算复杂物体的转动惯量。

通过使用平行轴定理，我们可以将复杂物体分解成多个简单的部分，然后分别计算它们的转动惯量，最后将它们相加得到整个物体的转动惯量。

这种方法不仅简化了计算过程，还提供了一种更直观的理解物体转动性质的方法。

为了更好地理解平行轴定理的应用，让我们来看一个实例。

假设有一个由三个质点构成的质点系，质量分别为m1、m2、m3，质心到转轴的距离分别为d1、d2、d3。

根据平行轴定理，我们可以计算出质点系绕转轴的转动惯量：I = m1d1^2 + m2d2^2 + m3d3^2通过这个例子，我们可以看到平行轴定理的具体应用过程。

首先，我们需要确定质点系的质量和质心到转轴的距离。

然后，根据平行轴定理的公式，我们可以计算出转动惯量。

最后，我们可以利用这个转动惯量来分析物体的转动性质，如角加速度、角动量等。

总结起来，平行轴定理是力学中一个重要的定理，它描述了质点系的转动惯量与质点距离转轴的关系。

平行轴定理的证明

平行轴定理的证明嘿，你知道平行轴定理不？这可是个超厉害的定理呢！它在物理学中那可是有着重要的地位。

咱先来看看平行轴定理到底是啥。

简单说，就是对于一个刚体，它对任意轴的转动惯量，等于对通过质心的平行轴的转动惯量加上刚体质量乘以两轴之间距离的平方。

听起来有点复杂？别急呀，咱慢慢理解。

就好比一个大圆盘，你可以把它想象成一个超级大披萨。

如果这个大披萨绕着中心轴转，那它的转动惯量是一种情况。

但要是把这个大披萨稍微挪一下位置，让它绕着一个离中心有点距离的平行轴转呢？这时候平行轴定理就派上用场啦。

它能告诉你这个新的转动惯量是怎么来的。

为啥平行轴定理这么重要呢？你想想看，在现实生活中，很多物体的转动可不是都绕着质心转呀。

比如说自行车的轮子，它在转动的时候，轴可不是正好在轮子的质心位置吧。

这时候就得靠平行轴定理来帮忙计算转动惯量啦。

要是没有这个定理，那我们要计算这些物体的转动可就难上加难喽。

那平行轴定理是怎么被证明的呢？这可不是一件容易的事儿。

咱得从转动惯量的定义开始说起。

转动惯量呢，就是衡量一个物体绕某一轴转动时惯性大小的物理量。

对于一个质点，它的转动惯量就是质量乘以它到转轴距离的平方。

但对于一个刚体，那就得把刚体分成无数个小质点，然后把每个小质点的转动惯量加起来。

假设我们有一个刚体，质量为M。

先考虑它对通过质心的轴的转动惯量，记为Ic。

然后再考虑这个刚体对另一个与通过质心的轴平行的轴的转动惯量，记为I。

这两个轴之间的距离为d。

咱可以把刚体上的任意一个小质点的质量记为dm。

这个小质点到通过质心的轴的距离为r。

那么这个小质点对通过质心的轴的转动惯量就是dm×r²。

把所有小质点的转动惯量加起来，就得到了Ic。

现在来看这个小质点到另一个平行轴的距离。

根据几何关系，这个距离就是r+d。

所以这个小质点对平行轴的转动惯量就是dm×(r+d)²。

把所有小质点对平行轴的转动惯量加起来，就得到了I。

转动惯量平移轴定理

转动惯量平移轴定理平行移轴定理：刚体对于任一轴的转动惯量，等于刚体对于通过质心，并与该轴平行的轴的转动惯量，加上刚体的质量与两轴间距离平方的乘积。

一、转动惯量的平移定理：I=I0+d2m其中，m为物体质量，I0为通过物体质心的某定轴转动惯量，I为与I0转轴平行且相距d的定轴转动惯量。

二、惯性积的平移定理：J'xy=J xy+x1y1mJ'xz=J xz+x1z1mJ'yz=J yz+y1z1m其中，J xy、J xz、J yz为空间直角坐标系原点在物体质心的三个惯性积，J'xy、J'xz、J'yz为将坐标系原点从质心平移到(x1，y1，z1)的三个惯性积。

三、转动惯量的不等式：0＜Ix ≤ Iy+Iz、 0＜Iy ≤ Ix+Iz、 0＜Iz ≤ Ix+Iy其中，Ix、Iy、Iz分别是物体以三个坐标轴为转轴的转动惯量。

对非线段物体，只有一个等号有可能成立。

四、惯性积的取值范围：1、三个惯性积的一次不等式：|J xy|＜(I z)/2、 |J xz|＜(I y)/2、|J yz|＜(I x)/22、当三个惯性积“三非正”或“一非正二非负”时，还有以下条件：|J xy|+|J xz|+|J yz|＜(I x+I y+I z)/43、三个惯性积的二次不等式：(J xy)2＜(I x)(I y)、(J xz)2＜(I x)(I z)、(J yz)2＜(I y)(I z)；由“斜轴惯量公式”或“椭圆判别式”得之。

五、斜轴转动惯量公式：I=I x cos2α+I y cos2β+I z cos2γ-2J xy cosαcosβ-2J xz cosαcosγ-2J yz cosβcosγ其中，I为通过坐标系原点的斜轴转动惯量，cosα、cosβ、cosγ分别为斜轴在x、y、z轴上的方向余弦。

六、惯性主轴位置方程(回转曲率方程)：x2I x+y2I y+z2I z=m+2xyJ xy+2xzJ xz+2yzJ yz.1、方程坐标（x，y，z）是表示斜轴回转曲率矢量。

转动惯量平行轴定理

转动惯量平行轴定理转动惯量平行轴定理是物理学中重要的定理之一，可以帮助我们了解物体的运动规律。

首先我们来了解一下它的定义。

定义：转动惯量平行轴定理是指当物体处于惯性系统中，其转动惯量可以按照平行轴来分解，即由物体自身质心平行轴所分解而得出。

它最早是由美国物理学家伯恩斯提出的，他以发表于1717年的《转动惯量平行轴定理》一文而建立它。

它最初只是一个简单的假设，即物体可以按照一个等分的轴来分解惯量。

然而，研究这一定理的理论还有很多歧义，因此需要进一步的解释和实验来解决。

转动惯量平行轴定理的应用十分广泛，涉及地球物理学、力学、化学、天文学、电动学等多个领域。

在地球物理学中，它可以帮助我们解释地球的旋转运动；在力学中，它可以帮助我们了解任何物体运动的惯量分解规律；在化学中，它可以帮助我们解释分子键之间的转动惯量；在天文学中，它还可以帮助我们正确分析天体的相对速度；在电动学中，转动惯量平行轴定理还可以帮助我们计算电机的电动力、牵引力等。

简而言之，转动惯量平行轴定理是一种在物理学中重要的定义，它可以帮助我们了解物体运动的惯量分解规律，以及在地球物理学、力学、化学、天文学和电动学等领域的应用，为我们在研究物理学提供了重要的参考依据。

转动惯量平行轴定理的研究一直处于活跃状态，各大院校及科研机构都在持续努力，为我们深入理解它带来更多的见解。

例如，中科院物理所的学者曾经提出了基于极坐标的解析方程，用于描述物体不同角度的转动惯量分解；哈尔滨工业大学的学者利用有限元方法，推导出了针对复杂形状物体的惯量分解解析方程；而实验研究也更加精进，一些新技术也在应用中得到了不断地发展，例如可以使用激光测试技术测量物体在不同方向上的惯量。

从上述内容可以看出，转动惯量平行轴定理为物理学研究提供了重要的理论准备，而且正在不断地发展。

研究者们正在持续努力，为我们进一步理解转动惯量带来更多的方法和参考。

希望在不久的将来，我们能够更加深入的理解转动惯量平行轴定理，从而为物理学的研究带来更多的收获。

3_2转动定律转动惯量平行轴定理

平行轴定理质量为m的刚体，如果对其质心轴的转动惯量为JC ，则对任一与该轴平行，相距为d 的转轴的转动惯量
d
C
m
O
J O J C md
JP 1 2 mR mR
2 2
2
圆盘对P 轴的转动惯量 P
R
O m
四转动定律应用举例对平动的物体应用牛顿定律；对转动的物体应用转动定律；建立平动与转动之间的关系。
对质量面分布的刚体： d m
dS

：质量面密度
对质量体分布的刚体：d m
dV
：质量体密度
第三章刚体的转动
3 – 2 转动定律转动惯量平行轴定理
例3-1 一质量为m、长为l的均匀细长棒，求通过棒中心并与棒垂直的轴的转动惯量。
O r
l 2
O
dr
l 2
r
dr
O
O´
l
解: 设棒的线密度为，取一距离转轴 OO 为r 处的质量元dm=dr . d J r 2 d m r 2 d r
(m A m C 2)m B g mA mB mC 2
A
mA
FT1
C
F T1
F T2
mC F T2
mB B
如令 m C 0，可得
F T1 F T2
mAmBg mA mB
第三章刚体的转动
3 – 2 转动定律转动惯量平行轴定理
F T1 F T2
3）刚体内作用力和反作用力的力矩互相抵消
M ij
O
M
rj
j
d
ji
iF ri ij
F ji

最全的转动惯量的计算

J dJ R 2r3hdr 1 R4h
0
2
m
R2h
代入得
J 1 mR2
2
J与h无关
一个质量为m、半径为R的实心圆柱体对其中心轴的转动惯量也与上述结果相同。
例4）求一质量为m的均匀实心球对其一条直径
为轴的转动惯量。
Z
解：一球绕Z轴旋转，离球
Zr
d Z 心Z高处切一厚为dz的薄圆盘。其半径为
O X
R
Y r R2 Z2
其体积：
dV r2dZ (R2 Z 2)dZ
其质量： dm dV (R2 Z 2 )dZ
其转动惯量：dJ 1 r2dm 1 (R2 Z 2 )2 dZ
2
2
dJ 1 r 2dm 2
1 (R2 Z 2 )2 dZ
2
J dJ
R 1 (R2 Z 2 )2 dZ R2
F l ac f
纯滚动条件为： aC R
圆柱对质心的转动惯量为：
JC
1 mR2 2
联立以上四式，解得：
2F(R l) aC 3mR
由此可见
f R 2l F 3R
当l < R 2时，f > 0，静摩擦力向后；
当 l > R 2时，f < 0，静摩擦力向前。
例一静止刚体受到一等于M0（N.m)的不变力矩的作用,同时又引起一阻力矩M1， M1与刚体转动的角速度成正比,即| M1 |= a(Nm),(a为常数)。又
8 R5 2 mR2
15
5m 4 R33源自（1）平行轴定理J D JC md 2
JC JD
d
C
z （2）薄板的正交轴定理
o
y
Jz Jx Jy