节 刚体定轴转动 自学总结
刚体转动总结
转轴I
转轴II
总质量 m
m i
ri
ri
刚体转轴的位置。
1. 转动惯量的计算 质点组成的系统的转动惯量
J mi ri m r m r m r
2 2 1 1 2 2 2 2 3 3 i
质量连续分布的物体的转动惯量 转轴
转轴 L
线密度
r
J r dm
ri
转轴
m i
刚体转动动能等于所有 质点动能相加
2
2
2
1 1 1 E m v m r J 2 2 2
2
k
i
i
i
i
i
i
vi ri
转动惯量
二.力矩的功 当刚体在外力 F 作用 下有一角位移d 时，力的 作用点位移 dr 的大小为
0
如果力矩恒定不变
根据转动定律，合外力矩为
M J J d dt
在dt时间内刚体角位移为 d d t
则
dW M d J
d dt
dt J d
当刚体角速度由 1变为 2时，合外力矩的功
W
2
1
J d
1 2
J
2 2
1 2
J1
2
合外力矩对刚体所作的功等于刚体转动动能的增量 刚体的动能定理
存在以下对应关系
F ma F M m J a 1 2 mv
2
M
J
J
1 2
J
2
角 动 量
mv
质点做圆周运动时对转轴的角动量
L J mr mvr
刚体旋转知识点归纳总结
刚体旋转知识点归纳总结1. 刚体旋转的基本概念刚体是指在一定时间内，其内部各点的相对位置不改变的物体。
刚体旋转是指刚体围绕固定点或固定轴发生的旋转运动。
在刚体旋转中，需要引入一些基本概念：1.1 刚体的转动刚体的旋转可以是定点转动，也可以是定轴转动。
在定点转动中，刚体绕固定点旋转，而在定轴转动中，刚体绕固定轴旋转。
定点转动和定轴转动都是刚体旋转运动的两种基本形式。
1.2 刚体的转动角度和角速度刚体的转动角度是刚体在单位时间内所转过的角度，通常用θ表示。
刚体的角速度是指刚体单位时间内转过的角度，通常用ω表示。
在刚体定点转动中，角速度是刚体绕定点旋转的角度速度；在刚体定轴转动中，角速度是刚体绕定轴旋转的角度速度。
1.3 刚体的转动惯量刚体的转动惯量是衡量刚体抵抗旋转的惯性大小，通常用I表示。
刚体转动惯量的大小取决于刚体形状、质量分布以及旋转轴的位置。
对于质点组成的刚体，其转动惯量可以通过对质点的质量进行积分得到。
1.4 刚体的角动量刚体的角动量是刚体旋转运动的物理量，通常用L表示。
角动量的大小和方向分别由角速度和转动惯量决定。
在定点转动中，如果刚体的角速度和转动惯量都不变，那么刚体的角动量也保持不变；在定轴转动中，如果刚体绕固定轴旋转，那么刚体的角动量也保持不变。
2. 刚体的转动力学刚体的转动力学研究刚体在旋转运动中所受的力和力矩，包括转动定律、角动量定理、动能定理等内容。
2.1 刚体的平衡刚体旋转平衡需要满足一定的条件，包括力矩平衡条件和动量平衡条件。
刚体力矩平衡条件是指刚体所受的合外力矩为零；刚体动量平衡条件是指刚体所受的合外力矩关于某一点的力矩为零。
2.2 刚体的角动量定理刚体的角动量定理描述了刚体在受到外力矩作用下，其角动量的变化规律。
根据角动量定理，刚体所受外力矩产生的角动量变化率等于刚体所受外力矩的矢量和。
2.3 刚体的动能定理刚体的动能定理描述了刚体在旋转运动中，其动能的变化规律。
根据动能定理，刚体所受外力矩产生的功率等于刚体动能的变化率。
大学物理刚体的定轴转动归纳
B 角速度从小到大，角加速度从小到大
C 角速度从大到小，角加速度从大到小
D 角速度从大到小，角加速度从小到大
提交
单选题 1分
关于刚体对轴的转动惯量，下列说法中正确的是 ［］
只取决于刚体的质量,与质量的空间分布和轴 A 的位置无关
取决于刚体的质量和质量的空间分布，与 B 轴的位置无关
提交
单选题 1分 刚体角动量守恒的充分而必要的条件是（）
A 刚体不受外力矩的作用 B 刚体所受合外力矩为零 C 刚体所受的合外力和合外力矩均为零 D 刚体的转动惯量和角速度均保持不变
提交
单选题 1分 跳水运动员在空中绕通过自身的轴转动，开始时 身体展开，转动惯量为J0，角速度为 ω，然后她 将身体迅速蜷紧，这时她转动的角速度将（）
刚体的定轴转动
转动定律
• 掌握 M J 的应用
• M：定轴转动刚体的合外力矩 • J：转动惯量（物理意义及性质） • α：角加速度（与切向××加××速×度的关系：a=Rα） • 1、如何计算合外力矩M？ • M=力×力臂 • 力臂：转动中心到力作用线的垂直距离
单选题 1分 如图，一细长匀质杆，质量为m，长为L，绕定轴 o点转动，从竖直方向转到任意位置，其夹角为θ， 则重力矩为（）
A 增大 B 减小 C 不变 D 可能增大也可能减小
提交
主观题 10分
一轻绳绕过一定滑轮，轴间无摩擦，滑轮视为匀 质圆盘，绳的一端悬有质量为m的物体，如图所 示。设滑轮质量为M，半径为R，转动惯量 J。绳 与滑轮之间无相对滑动。试求1）物体m的加速度 大小；2）定滑轮的角加速度 解：这道题按照前面所讲解的，用“对号入座” 方法列方程求解。
正常使用主观题需2.0以上版本雨课堂
刚体、定轴转动
其中： J
r 2 dm
M
刚体对轴的转动惯量
二、力对定轴的力矩
力 F 对轴上 o 点：
o
k 0
z
w
Mz
M r F 0 0 0 rr ( Fr r F Fz k )
r
0 M r
o r
F
0 0 rF k rFz M z k M
2 2 L 2 L
o
dm
x
L 2 1 (2) J 2 J 1 m( ) mL2 2 3
四、定轴转动定律 对质点系（刚体） 的任意运动： 对刚体的定轴转动：
M 合外 M 轴的 M 轴以外
dL M 合外 dt
L Jwk
0 M 轴的 M z k M M z k
M r F
K
转动定律：
角动量定理：
dL M 合外 dt t2 M 合外dt L2 L1
t1
t2
t1
M ( t )dt
角动量守恒定律： 若：M合外 0 则：L 常矢量
第五章 §5.1
刚体的定轴转动 刚体及 • 在受力时形状和大小保持不变的物体； • 包含大量质点（质元），而各质点间相对 位置保持不变的质点系； 二、刚体的性质
dL dw Mz J Jb dt dt
刚体的定轴转动定律： 刚体作定轴转动时，所受合外力矩（沿轴） 等于刚体对轴的转动惯量与角加速度的乘积 M z Jb 质点： F ma 五、应用 1. 2. 3. 4. 5. 确定研究对象，画受力图； 标明加速度和角加速度的方向； 建立坐标系（线量和角量方向要匹配）； 根据牛顿二定律和转动定律列方程； 求解并讨论。
–刚体的定轴转动定律刚体力学
平行轴定理
质量为 m 的刚体，如果对
其质心轴的转动惯量为JC ，则
对任一与该轴平行，相距为 d
的转轴的转动惯量
d
C mO
JO JC md 2
P
圆盘对P 轴 的转动惯量
JP
1 mR2 mR2 2
R Om
3 – 1 刚体的定轴转动定律
飞轮的质量为什么 大都分布于外轮缘？
第三章 刚体力学
竿 子 长 些 还 是 短 些 较 安 全 ？
的圆环
圆环质量 dm 2 π rdr
圆环对轴的转动惯量
O r dr
R
dJ r2dm 2 πr3dr
J
R
0
2
π
r
3dr
2
π R4
而 m π R2
所以 J 1 mR2 2
3 – 1 刚体的定轴转动定律
第三章 刚体力学
注意 转动惯量的大小取决于刚体的质量、质
量的分布及转轴的位置 .
取圆环为质量元 dm ，则
圆环质量 dm 2 π rdr
O r dr
圆环受到的摩擦力矩为
R
dM r dFf grdm
M 0R 2 π gr2dr
2 π gR3 2 mgR
3
3
由角动量定理得：
M
t
0
1 2
mR
2
0
t
3R
4g
0
3 – 1 刚体的定轴转动定律
角动量守恒定律是自然界的一个基本定律.
3 – 1 刚体的定轴转动定律
第三章 刚体力学
有许多现象都可以 用角动量守恒来说明.
刚体旋转知识点总结图解
刚体旋转知识点总结图解一、刚体的定义刚体是指形状和大小在一定范围内不改变，结构完整，部分不会随着外力的作用而发生形变的物体。
刚体的旋转是指刚体绕着某个固定轴线旋转的运动。
二、刚体的转动定律1. 刚体的角位移：刚体绕固定轴线旋转时，每个质点的位移方向都与该质点的运动轨迹相切，并且线速度不同，但角速度相同。
2. 刚体的角加速度：刚体绕固定轴线旋转时，各质点的加速度虽然大小不同，但方向都垂直于该质点的运动轨迹，并与其对应的线速度方向一致。
3. 刚体的角动量：刚体绕固定轴线旋转时，当刚体的转动轴不经过质心时，刚体的角动量等于该点相对于质心的角动量之和。
三、刚体的转动定律1. 角动量定理：刚体绕固定轴线旋转时，刚体的角动量与外力矩之和等于刚体对旋转轴的角动量的变化率。
2. 动能定理：刚体绕固定轴线旋转时，刚体的动能等于刚体的角动量的变化率与角速度的乘积之和。
3. 动量矩定理：刚体绕固定轴线旋转时，刚体的角动量改变的原因是外力矩。
如果外力矩为零，则刚体的角动量是守恒的。
四、刚体的转动惯量1. 刚体的转动惯量：刚体绕固定轴线旋转时，刚体对于该轴线的转动惯量等于各质点到该轴线距离的平方与质点质量乘积之和。
2. 转动惯量的计算方法：刚体对于不同轴线的转动惯量计算是以刚体某一坐标轴为基准，按照平行轴定理或垂直轴定理进行转动惯量的计算。
3. 转动惯量的应用：刚体绕固定轴线旋转时，转动惯量的大小决定了刚体旋转的惯性大小。
转动惯量越大，刚体绕轴旋转越困难。
五、刚体的转动动力学1. 合力与合力矩：刚体绕固定轴线旋转时，合力是刚体质心的动力学性质，而合力矩是刚体绕轴线旋转的动力学性质。
2. 麦克尔斯定理：刚体绕固定轴线旋转时，如果刚体受到合力矩的作用，则该合力矩等于刚体在质心处受到的效力矩与刚体到该轴的距离的乘积。
3. 角动量矩定理：刚体绕固定轴线旋转时，角动量矩定理描述了刚体对旋转轴的角动量的变化率等于刚体受到的外力矩。
六、刚体的平衡与稳定1. 刚体的平衡：刚体绕固定轴线旋转时，刚体处于平衡状态可以分为静平衡和动平衡，其中静平衡是指刚体的合外力和合外力矩均为零，而动平衡是指刚体的合外力为零。
刚体转轴知识点总结
刚体转轴知识点总结一、刚体转轴的概念刚体转轴是指刚体绕某一确定点进行旋转运动时的轴线。
在刚体的运动学和动力学中，刚体的旋转运动通常是绕着固定的点或者固定的轴线进行的，而这个固定的点或轴线就被称为刚体的转轴。
在实际应用中，我们经常会遇到刚体转轴的相关问题，比如物体的转动惯量、角动量等。
二、刚体转轴的性质1. 刚体转轴是刚体旋转的轴线，刚体可以绕着转轴进行自旋运动。
2. 对于任意一个刚体的旋转运动来说，都必须存在一个转轴。
3. 刚体的转轴可以是固定的，也可以是随时间变化的。
4. 对于平面刚体来说，其转轴通常是固定的，而对于空间刚体来说，其转轴可以是随着时间变化的。
三、刚体转轴与刚体运动的关系1. 刚体转轴与刚体的自旋运动密切相关，刚体绕着转轴进行自旋运动。
2. 刚体转轴的位置和方向决定了刚体的旋转运动的性质，对于不同位置和方向的转轴，刚体的旋转运动是不同的。
3. 对于不同形状和质量分布的刚体来说，其转轴的位置和方向也是不同的。
四、刚体转轴的应用1. 在机械工程中，刚体转轴广泛应用于各种机械设备和工具中，比如转轴的设计和制造、转轴的定位和安装等。
2. 在航空航天领域，刚体转轴常常用于飞行器和卫星的姿态控制系统中，用来控制飞行器的姿态和稳定性。
3. 在物理学和工程学中，刚体转轴被用来研究停车、转弯、滚动等运动现象，以及相关的力学和动力学问题。
五、刚体转轴的相关定理和定律1. 旋转惯量定理：刚体围绕着转轴做直线运动，它的动能是角动能 -- 这是刚体转动的基本定理。
2. 平行轴定理：将刚体的质心转移到刚体质心轴上的转动惯量，通过一个和刚体质心轴平行的轴线，刚体的转动惯量。
这是把刚体坐标原点转移到质心坐标原点的矢量转换法。
3. 垂直轴定理：刚体被转移到刚体质心轴上的转动惯量通过垂直于刚体的质心轴平行轴的平方。
这个震动也可以通过用刚体质心轴和刚体的垂直轴的垂直轴定理来推导。
4. 平均定理：当刚体平衡的时候，它转动惯量与异常性能合，并等于它的权重力面在平衡上的较小平均动能/较大转动惯量5. 平界定理：当刚体平衡时，它围绕它的质心旋转的转动惯量和围绕其他类的质心转动的转动惯量之间的比率和围绕它的转动惯量之间的比率相等。
刚体定轴转动知识点总结
刚体定轴转动知识点总结1. 刚体的转动定轴刚体的转动定轴是指固定不动的直线，沿其进行转动的刚体的每一个质点所受的力矩的代数和等于零。
在实际中，通常通过支点来实现转动定轴，比如钟摆、摇摆、旋转的转轴等。
2. 刚体的角位移、角速度和角加速度在刚体定轴转动中，刚体围绕定轴线进行旋转，其角位移、角速度和角加速度是非常重要的物理量。
角位移表示刚体在围绕定轴线旋转的过程中所经过的角度变化量，通常用θ表示；角速度表示刚体围绕定轴线旋转的速度，通常用ω表示；角加速度表示刚体围绕定轴线旋转的加速度，通常用α表示。
3. 牛顿第二定律在刚体定轴转动中的应用牛顿第二定律也适用于刚体定轴转动的情况。
在刚体定轴转动中，外力会给刚体带来转动运动，根据牛顿第二定律，刚体的角加速度与作用在其上的外力矩成正比。
因此，可以根据力矩的大小和方向来分析刚体的转动运动。
4. 转动惯量和转动动能在刚体定轴转动中，转动惯量是一个非常重要的物理量。
转动惯量描述了刚体围绕定轴线旋转的难易程度，其大小与刚体的质量分布和轴线的位置有关。
转动动能是刚体围绕定轴线旋转的能量，其大小取决于刚体的转动惯量和角速度。
5. 转动定律和角动量守恒定律在刚体定轴转动中，转动定律和角动量守恒定律是非常重要的定律。
转动定律描述了刚体受力矩产生的角加速度与所受力矩的关系，角动量守恒定律描述了刚体转动过程中角动量的守恒规律。
6. 平衡条件和稳定性分析在刚体定轴转动中，平衡条件和稳定性分析是非常重要的内容。
通过平衡条件，可以分析刚体围绕定轴线旋转的平衡状态。
稳定性分析则是分析刚体在平衡状态下的稳定性，通常通过刚体的势能函数和平衡位置的稳定性来进行分析。
7. 应用领域刚体定轴转动的理论和方法在工程技术、航空航天、机械制造、物理学等领域都有重要的应用价值。
比如在机械制造中，可以通过分析刚体的定轴转动来设计机械装置；在航空航天中，可以通过分析刚体的定轴转动来设计飞行器的运动控制系统。
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无滑动滚动：vpt
C
R ap
acvvCca, pap点pt aaa加CCpna速Caa度Cpt 沿 aa半ppnn径方向
p
过p点转轴惯性力矩等于零
24
【例】两个质量和半径 都相同，但转动惯量不 同的柱体，在斜面上作 无滑动滚动，哪个滚得 快？
C R
fp mg
关于瞬转轴列转动定理重解：
mgR sin Jp
第5章 刚体的定轴转动 自学总结
2005年春季学期 陈信义编
目录 一、刚体的定轴转动定律
演示实验
1、茹科夫斯基 转椅（和车轮）
二、转动刚体的角动量守恒 三、刚体转动的功和能
2、陀螺仪
3、质心运动 （杠杆）
四、无滑动滚动 瞬时转轴（补充） 4 、 不 同 质 量 分
五、进动
布的等质量柱体 滚动
5、车轮进动
由求 ：
3g cos
2l
,
d
dt
,
d dt
d dt d
d d
0
0
12 3g sin
2 2l
3g sin
l
3、求转轴受力
（1）Nn 平动：质心运动定理
Nn mg sin ma n
an
1 2
l
2
l 2
Nn
5 2
mg
sin
（2）Nt 转动：关于质心轴列转动定理
MC JC , C O 为什么？
Rf JC 过质心轴转动定理 aC R 纯滚动条件（运动学条件）
mgR sin
JC mR2
转动惯量小的滚得快！
【演示实验】不同质量分布的等质量柱体滚动
3、轴对称刚体无滑动滚动中的瞬时转轴
时刻t 接触点P 瞬 时静止；
B A
D v
E
在 时 间 (t~t+t)
C
F
内，以P点为原点
建立平动坐标系；
1 2
m R2
薄球壳：
J 直径
2 3
m
R2
球体：
J 直径
2 5
m
R2
【例】转轴光滑，初态静止，求下摆到
角时受力分析
2、关于O轴列 转动定理
MO JO
Mo
l cos
2
mg
JO
1 3
m l2
3g
cos
2l
【思考】为什么不关于过质心轴列转动定理？
W
Ek2
Ek1
1 2
J22
1 2
J12
力矩的功：W 2M d 1
不太大刚体的重力势能：E p mghC
机械能守恒定律：只有保守力做功时
Ek Ep 常数
用机械能守恒重解：
转轴光滑，初态静止，求下摆到θ角
时的角加速度，角速度。
解：杆机械能守恒
势能零点
0
mg
l 2
sin
1 2
J
2
J
1 3
只考虑圆柱，球等轴对称刚体的滚动。
2、无滑动滚动：任意时刻接触点P 瞬时静止
【思考】下一时刻P点位置？
C
ac
无滑动滚动条件：
R
vc
vC R
p
aC R
【例】两个质量和半径 都相同，但转动惯量不 同的柱体，在斜面上作 无滑动滚动，哪个滚得 快？
C
y
R
f
x
mg
mgsin f maC 质心运动定理
2、适用于转轴固定于惯性系中的情况。
3、对于转轴通过质心的情况，如果质心有加速 度，上式也成立。（惯性力对质心的力矩和 为零）
外力对固定转轴力矩的计算：
M
(r
f )
zˆ
r f
zˆ
f
f //
转动平面内的分 力对转轴的力矩
平转面动or
r
f
M 0 ：沿转轴方向
M 0 ：沿转轴反方向
计算转动惯量的几条规律：
p
时间(t ~t+t)内，刚体的运动（质心平动、
绕质心轴转动）可以看成：绕过 P 点且垂直于 固定平面的转轴的无滑动滚动。
接触点P ：瞬时转动中心 瞬时转轴
绕瞬时转轴的转动定理的形式？ 虽然p点瞬时静止，但有加速度，所以除了
力矩Mp外，还应考虑惯性力矩。 惯性力作用在质心上，方向与p点的加速度
方向相反。
ml
2
绕固定轴 转动动能
比用转动定律简单！
3g sin
l
d 3g cos
dt 2l
杆动能的另一种表达：科尼西定理
势能零点
0
mg
l 2
sin
Jc
1 ml2 12
1
m
l
2
2 2
质心动能
1 2
Jc
2
绕过质心轴
转动动能
四、刚体的无滑动滚动 瞬时转轴（补充）
1、平面平行运动 质心做平面运动＋绕过质心垂直轴做转动
1、对同一轴可叠加：J Ji i
2、平行轴定理：J Jc md 2
m
3、对薄平板刚体，有垂直轴定理：
z
Jz Jx Jy
Jc J
C 质心
d
xi
yi ri
y
x
Δmi
1 2
m
R2
R
1 4
mR
2
常用的转动惯量
细杆：
J过中点垂直于杆
1 12
m L2
J过一端垂直于杆
1 3
m L2
圆柱体： J对称轴
2、几个刚体绕同一定轴转动 若合外力矩为零，则刚体总角动量守恒，角 动量可在这几部分间传递。
3、关于过质心轴 若对过质心轴合外力矩为零，则对该轴刚体 角动量守恒。无论质心轴是否是惯性系。
【演示实验】茹科夫斯基转椅(和车轮)、陀螺仪
三、刚体转动的功和能
合外力矩对一个绕固定轴转动的刚体所做的
功，等于它的转动动能的增加
F 质心以vC0的初速做上抛运动。
（2）在上抛过程中棒的转动
绕过质心转轴，列转动定理：
Fl JC JC
d
dt
JC
t
JC
t
Flt
JC
12Flt
mL2
在上抛过程中，棒以恒定角
l
速度绕过质心轴转动。
C F
【演示实验】 质心运动（杠杆）
二、转动刚体的角动量守恒 1、绕定轴转动
若合外力矩为零，则刚体角动量守恒。
一、刚体的定轴转动定律
z
Mz
dLz dt
Jz
d
dt
Jz
O
ri
mi
Mz :外力矩沿z轴分量的代数和
Lz :刚体沿z轴的角动量
Lz Jz
Jz : 刚体对z轴的转动惯量
Jz mi ri2 , Jz r 2dm i
Mz
dLz dt
Jz
d
dt
Jz
1、由关于定点的质点系角动量定理，向过该点 的固定转轴投影得到。
Jp JC mR 2
简单多了！
下面证明：对于无滑动滚动的轴对称刚体， 接触点p的加速度沿过p点的半径方向，因此， 关于过p点的转轴，惯性力矩等于零。
轴对称刚体，绕瞬时转轴的转动定理：
Mp Jp
J p : 关于过p点转轴的转动惯量
证明：
ap
aC
ap
按切aa、pp :: 法pp点点向相相分对对解惯质：性心ap系的的加ap加速t 速度a度pn
MC
Nt
l 2
,
JC
1 ml 2 12
Nt
1 4
mg
cos
【例】一长为L，质量为m的均匀细棒，水平放 置静止不动，受垂直向上的冲力F作用，冲量 为Ft（t很短），冲力的作用点距棒的质心l 远，求冲力作用后棒的运动状态。
解 （1）质心的运动
(F mg ) t mv C0
l
vC 0
F
m m
g
t
C