3.2 刚体定轴转动的描述
刚体的定轴转动
J
1 2 m( R12 R2 ) 2
1 mR 2 2 若R1 R2 R, J mR 2
16
例：求长度为L，质量为m的均匀细棒AB的转动惯量。 （1）对于通过棒的一端与棒垂直的轴。 （2）对于通过棒的中心与棒垂直的轴。 m 解（1）细杆为线质量分布，单位长度的质量为： l L 1 3 2 2 dm A B J A x dm x dx L o 0 3 x
2 0
2
0
dm MR
2
绕圆环质心轴的转动惯量为
M
o
R
பைடு நூலகம்dm
J MR
2
讨论：若圆环绕其直径轴转动，再求此圆环的转动 惯量。
14
例: 一质量为m，半径为R的均匀圆盘，求对通过盘 中心并与盘面垂直的轴的转动惯量。
m 解： σ πR 2
dm σ 2π rdr
dJ r dm 2πσ r dr
5
匀变速圆周运动的基本公式
p
1 2 0 0t t 2
0 t
s
R
o
p
x
2 2 0 2 ( 0 )
定轴转动刚体上任一点的速度和加速度 s R 路程与角位移之间的关系：
v R 线速度与角速度的关系：
加速度与角量的关系： 2 dv d v at R R , an 2 R, dt dt R
1
柱壳形状的质元 ,其长为l半径为r厚度为dr, 则该质元的质量为 dm dV ( 2 rdr )l
R2
R2
l
J r dm 2lr dr
2 3 m R1
l
2
§3-2定轴转动定理
刚体内力是刚体内各质元间的相互作用力， 可以证明：刚体内各质元间每一对内力的内力 矩之和为零。 讨论 1）力经过转轴，力矩恒为零。 2）合力为零，合力矩不一定为零. 太原理工大学物理系
3）合力矩为零，合力不一定为零
例：将两个半径不同的圆盘 同心地粘在一起，两个圆盘 的半径分别为r1、r2，圆盘 上绕有绳子，如图。 如果
太原理工大学物理系
设外力作用于P点， F 的方向 与轴既不垂直也不平行,将力分解 为垂直于转轴和平行于转轴两个 分量
力对原点o´的力矩
M RF
一、力对转轴的力矩
z
F //
F
F
R
o'
P
力矩在z轴方向的分量
M
z
xF y yF x
x
y
太原理工大学物理系
写成矢量式 M z k r F 平行于转动轴的分力 只能引 起轴的变形, 对转动无贡献。
三、转动惯量 转动惯量 J
m r
i
2
i i
由刚体的各质元相对于固定转轴的分布所 决定的，与刚体的运动及所受外力无关。 对于质量连续分布的刚体
J
m
r
2
dm
其中r为质元dm到转轴的垂直距离。
太原理工大学物理系
对质量线分布的刚体： d m d l
质量线密度
对质量面分布的刚体： d m
太原理工大学物理系
f
/ r
当不计滑轮质量及摩擦阻力矩
即令m=0、Mf=0时，有
T1 T 2
2 m1m 2 m 2 m1
g
a
m 2 m1 m 2 m1
g
阿特伍德机是一种可用来测量重力加速 度g的简单装置。
大学物理第3章刚体的定轴转动
13
【例5】长为 l、质量为 m 的匀质细杆，绕与杆垂直的 质心轴转动，求转动惯量 J。
【解】建立坐标系，分割质量元
J x2dm
l2 l 2
x2Байду номын сангаас
ml dx
1 ml 2 12
x o x dx
【例6】长为 l、质量为 m 的匀质细杆，绕细杆一端轴 转动，求转动惯量 J。
【解】J x2dm
L
L
11
【例2】半径为 R 质量为 M 的圆环，绕垂直于圆环平 面的质心轴转动，求转动惯量J。
【解】分割质量元，环上各质元到轴的距离相等。
M
J
R2dm R2
M
dm
MR2
0
0
【例3】在无质轻杆的 b 处 3b 处各系质量为 2m 和 m 的质点，可绕 O轴转动，求质点系的转动惯量J。
刚体作定轴转动时, 刚体上各质点都作圆周运动。 各质点运动的线量一般不同，但角量完全相同。
1.角坐标
OP与极轴之间的夹角称 为角坐标（或角位置）
角坐标为标量，但可有正负。
o
P
x
在定轴转动过程中，角坐标是时间的函数： =(t)，称为转动方程。
3
2.角位移
角坐标的增量 称为刚体的角位移
i
i
i
得 LJ
v i m i ri
29
由刚体定轴转动定律
得到
MJ J
d dt
d( J ) dt
dL dt
M dL 定轴转动刚体角动量定理微分形式 dt
t
L
Mdt d
t0
L0
LLL0
刚体的定轴转动定律
刚体的定轴转动定律1. 介绍刚体是物理学中的一个重要概念，它指的是在运动过程中形状和大小保持不变的物体。
刚体的定轴转动定律是描述刚体绕固定轴线转动的规律和性质，对于我们理解刚体的运动和应用相关物理问题具有重要意义。
2. 刚体的转动惯量2.1 定义刚体绕轴线转动时，其转动惯量是衡量刚体抵抗转动运动的特性。
转动惯量的大小取决于刚体的质量分布以及轴线的位置和方向。
2.2 转动惯量的计算方法转动惯量可以通过积分计算得到，对于一个质量为m的刚体，其转动惯量可以用以下公式表示： [ I = r^2 dm ] 其中，r是质量元dm到转轴的距离。
对于一些常见的简单形状的刚体，转动惯量可以通过一些公式直接计算得到，例如：- 细杆绕直线轴线转动：[ I = mL^2 ] - 球体绕直径轴线转动：[ I = MR^2 ] - 圆环绕直径轴线转动：[ I = MR^2 ]3. 定轴转动的角动量3.1 定义角动量是描述物体转动的物理量，刚体的角动量可以通过转动惯量和角速度的乘积得到。
3.2 角动量的守恒对于一个孤立系统，如果没有外力矩作用，刚体的角动量将保持不变，这就是角动量守恒定律的内容。
3.3 角动量定理角动量定理描述了外力矩对刚体角动量的影响，它可以表示为以下公式： [ = ] 其中，()是作用在刚体上的外力矩，(L)是刚体的角动量。
4. 牛顿第二定律与角加速度4.1 牛顿第二定律牛顿第二定律描述了刚体转动的加速度与作用力的关系，其公式为： [ = I] 其中，()是作用在刚体上的合外力矩，(I)是刚体的转动惯量，()是刚体的角加速度。
4.2 角加速度的计算对于旋转轴与力矩不垂直的情况，我们可以通过以下公式计算刚体的角加速度：[ = ] 其中，()是力矩与旋转轴之间的夹角。
5. 定轴转动的动能5.1 定义刚体的转动动能是由于其转动而具有的能量，它可以通过转动惯量和角速度的平方的乘积得到。
5.2 动能定理动能定理描述了外力对刚体转动动能的影响，它可以表示为以下公式： [ W = K ] 其中，(W)是作用在刚体上的合外力所做的功，(K)是刚体的转动动能。
刚体力学基础
0
0t
1 t2
2
2
2 01 刚体 刚体定轴转动的描述
四、绕定轴转动刚体上各点的速度和加速度
线速度大小与 角速度大小的关系
v r
at
dv dt
r
z
a an r
at ve t
an
v2 r
2r a
ret
r 2en
第三章 刚体力学基础
3-1 刚体 刚体定轴转动的描述 3-2 刚体定轴转动的转动定律 3-3 刚体定轴转动的动能定理 3-4 刚体定轴转动的角动量定理和角动量守 恒定律
教学基本要求
一 理解刚体绕定轴转动的角速度和角加速 度的概念，理解角量与线量的关系。
二 理解力矩和转动惯量的概念，能应用 平行轴定理和转动惯量的可加性，计算刚体对定 轴的转动惯量。
O
F ri
Fii
i
i
ie
mi
Fie sini Fii sin i miait miri
以 ri 乘上式两边
Fieri sin i Fiiri sin i miri2
rad s1
62.8
rad s1
角位移 0 2πN 2π 10 rad 62.8 rad
角加速度
2 02
0 62.82
rad s2 31.4 rad s2
2 0 2 62.8
制动过程的时间
t
0
0 62.8 31.4
法向加速度
an r 2 0.5 3.142 m s2 493 m s2
§3.2 刚体定轴转动的转动定律
第3章刚体的定轴转动
绕通过质心 由合外力矩决定（应用
轴的转动
转动定律）
第3章 刚体的定轴转动
例3 质量为 mA 的物体 A 静止在光滑水平面上，
和一质量不计的绳索相连接，绳索跨过一半径为 R、质
量为 的圆mC柱形滑轮 C，并系在另一质量为 的物mB
体 B 上. 滑轮与绳索间没有滑动， 且滑轮与轴承间的摩
擦力可略去不计. 问：（1） 两物体的线加速度为多少？
dt
M
dL
作用于质点的合力对参考点 O 的力矩 ，等于质点对该点 O 的角
dt 动量随时间的变化率.
第3章 刚体的定轴转动
M
dL
dt
t2 t1
Mdt
L2
L1
冲量矩
t2
Mdt
t1
质点的角动量定理：对同一参考点 O ，质点所受
的冲量矩等于质点角动量的增量.
3 质点的角动量守恒定律
M 0, L 恒矢量
的大小与角速度的平方成正比，比例系数为 k
（ k 为大于零的常数).当 1 30 时，飞轮的角
加速度为
，所经历的时间为
M k2
M J
k 2
J
k
2 0
9J
第3章 刚体的定轴转动
M k2
M J J d
k 2 J d
dt
dt
t dt J
1
3
0
1
d
0
k 0 2
2J t
M mr 2
2）刚体
质量元受外力 Fej，内力 Fij
Mej Mij mjrj2
外力矩
内力矩
第3章 刚体的定轴转动
z
M
F
F
O
3.2 定轴转动中的功能关系
A= ∫
θ2
2.恒力 矩的功
M与ω 方向相同 A > 0 M与ω 方向相反 A < 0
A = M∆θ
P = Mω
θ1
内容 Mdθ 小结
3.力矩的功率 3.力矩的功率
作者 杨 鑫
3.2 定轴转动中的功能关系
20 第3章 刚体的定轴转动 20
二、转动动能
三、动能定理
1 2 1 2 1 2 Ek = Iω A = Iω2 − Iω1 2 2 2 四、机械能守恒定律 c m hc 1.刚体重力势能 1.刚体重力势能 EP = mgh c
作者 杨 鑫
内容 回顾
① 各质点都绕转轴 作 圆 周 运 动 ②运 动 的 角 量 (∆θ, ω, β)都一样
O
ω
定轴
3.2 定轴转动中的功能关系
第3章 刚体的定轴转动
33
4.刚体定轴转动的角量描述 4.刚体定轴转动的角量描述 (1)角 (1)角 量 ①角位置
转动平面
ωO 。 θ = θ (t ) A θ ②角位移 ∆θ = θ −θ 2 1 x ③角速度 ω = d θ dt ω
作者 杨 鑫
I = mr
2
dm = λdx dm = σds 2 dI = r dm dm = ρdV
I = I1 + I2 +⋯+ In
I = ∫ r dm
2 m
I =∑ ∆m r
2 i i
3.2 定轴转动中的功能关系
11 第3章 刚体的定轴转动 11
2 . 物 理 意 义 量度刚体转动惯性的物理量 3 . 决定转动 ①与物体的总质量有关 惯 量 的 ②与转轴的位置有关 三 个 因 素 ③与物体的质量分布有关 4 . 平 行 轴 刚体对任意轴的转动惯量等 定 理 于刚体对通过质心轴的转动 惯量加上 加上刚体的质量与两平 惯量加上刚体的质量与两平 m 行轴之间距离平方的乘积 Od C
大学物理 第3章 刚体力学基础
2 1
Jd
1 2
J22
1 2
J12
2 Md (1 J2 )
1
2
力矩对刚体所做的功，等于刚体转动动能的增量。
例 如图所示，一根质量为m，长为l的均匀细棒OA，可绕固定点O在竖直平 面内转动.今使棒从水平位置开始自由下摆，求棒摆到与水平位置成30°角 时中心点C和端点A的速度.
F
·
F
式中为力F到轴的距离
F
若力的作用线不在转动在平面内，
则只需将力分解为与轴垂直、平行
r
的两个分力即可。
力对固定点的力矩为零的情况：
1、力F等于零， 2、力F的作用线与矢径r共线
（有心力对力心的力矩恒为零）。
力对固定轴的力矩为零的情况：
若力的作用线与轴平行 若力的作用线与轴相交
则力对该轴无力矩作用。
dJ R2dm
考虑到所有质元到转轴的距离均为R，所以细圆环对中心轴的转动惯量为
J dJ R2dm R2 dm mR2
m
m
(2)求质量为m，半径为R的圆盘对中心轴的转动惯量.整个圆盘可以看成许
多半径不同的同心圆环构成.为此，在离转轴的距离为r处取一小圆环，如
图2.36(b)所示，其面积为dS＝2πrdr，设圆盘的面密度(单位面积上的质量)
力矩在x,y,z轴的分量式，称力对轴的矩。例如上面所列
Ｍx , My , Mz , 即为力对Ｘ轴、Ｙ轴、Ｚ轴的矩。 设力Ｆ 的作用线就在Z轴
的转动平面内，作用点到Ｚ
轴的位矢为r，则力对Ｚ轴
的力矩为
M z rF sin
r sin F F rF sin rF
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刚体定轴转动的描述
目录
如何描述刚体的定轴转动
定轴转动有何特点
匀变速转动公式（角加速度恒定）
角量和线量的关系
01
02
03
04
一、如何描述刚体的定轴转动？
)
(t θθ=角坐标 < 0
θ 0
> θ 约定： 沿逆时针方向转动 沿顺时针方向转动 )
()(t t t θθθ-∆+=∆角位移 ω
ω
t
t t d d lim 0
θθω=
∆∆=→∆角速度矢量
角加速度
t d d ωβ =2
2d d t
θ=
二、定轴转动有何特点？
βωθ ,,∆a
,v （1） 每一质点均作圆周运动，圆面为转动平面。
（2） 任一质点运动 均相同，但 不同，
（3） 运动描述仅需一个坐标。
角量相同，线量一般不同。
三、匀变速转动公式（角加速度恒定）
刚体绕定轴作匀变速转动
质点匀变速直线运动 at
+=0v v 2
2
100at
t x x ++=v )
(2020
2
x x a -+=v v t
βωω+=0)
(2020
2
θθβωω-+=2
2
100t
t βωθθ++=dt d ωβ=⇒⎰=dt βωt
dt t
βωβωω+=+=⎰00
10⇒
四、角量和线量的关系
t
e r
ω=v 2
ωβr a r a ==n t n
t e r e r a 2ωβ+=
已知：一飞轮半径为 0.2m，转速为150r·min-1，因受制动而均匀减速，经30 s停止转动。
试求：（1）角加速度和在此时间内飞轮所转的圈数（2）制动开始后t = 6 s时飞轮的角速度；
（3）t = 6 s 时飞轮边缘上一点的线速度、
切向加速度和法向加速度。
解: （1） ,60
150201
s rad -⋅⨯=
πω.0=ω t = 30 s 时， 设 .飞轮做匀减速运动 00=θ
时， t = 0 s 2
1s
rad πs rad --⋅-=⋅-=-=6
30π500t ωωβ飞轮 30 s 内转过的角度
rad
πππ75)
6(2)
5(22
2
2
=-⨯-=-=βωωθ转过的圈数 r 5.37π
2π75π2===θN
解: （2） s 6=t 时，飞轮的角速度
1
1s
rad s rad π--⋅=⋅⨯-=+=π4)66
π5(0t βωω（3） s 6=t 时，飞轮边缘上一点的线速度大小
2
2
s
m 5.2s m π42.0--⋅=⋅⨯==ωr v 该点的切向加速度和法向加速度
2
2t s
m s m π--⋅-=⋅-⨯==105.0)6
(2.0βr a 2
2n s
m s m π--⋅=⋅⨯==6.31)4(2.022ωr a
Thanks!。