第2讲 刚体的定轴转动及其描述
刚体的定轴转动定律
刚体的定轴转动定律1. 介绍刚体是物理学中的一个重要概念，它指的是在运动过程中形状和大小保持不变的物体。
刚体的定轴转动定律是描述刚体绕固定轴线转动的规律和性质，对于我们理解刚体的运动和应用相关物理问题具有重要意义。
2. 刚体的转动惯量2.1 定义刚体绕轴线转动时，其转动惯量是衡量刚体抵抗转动运动的特性。
转动惯量的大小取决于刚体的质量分布以及轴线的位置和方向。
2.2 转动惯量的计算方法转动惯量可以通过积分计算得到，对于一个质量为m的刚体，其转动惯量可以用以下公式表示： [ I = r^2 dm ] 其中，r是质量元dm到转轴的距离。
对于一些常见的简单形状的刚体，转动惯量可以通过一些公式直接计算得到，例如：- 细杆绕直线轴线转动：[ I = mL^2 ] - 球体绕直径轴线转动：[ I = MR^2 ] - 圆环绕直径轴线转动：[ I = MR^2 ]3. 定轴转动的角动量3.1 定义角动量是描述物体转动的物理量，刚体的角动量可以通过转动惯量和角速度的乘积得到。
3.2 角动量的守恒对于一个孤立系统，如果没有外力矩作用，刚体的角动量将保持不变，这就是角动量守恒定律的内容。
3.3 角动量定理角动量定理描述了外力矩对刚体角动量的影响，它可以表示为以下公式： [ = ] 其中，()是作用在刚体上的外力矩，(L)是刚体的角动量。
4. 牛顿第二定律与角加速度4.1 牛顿第二定律牛顿第二定律描述了刚体转动的加速度与作用力的关系，其公式为： [ = I] 其中，()是作用在刚体上的合外力矩，(I)是刚体的转动惯量，()是刚体的角加速度。
4.2 角加速度的计算对于旋转轴与力矩不垂直的情况，我们可以通过以下公式计算刚体的角加速度：[ = ] 其中，()是力矩与旋转轴之间的夹角。
5. 定轴转动的动能5.1 定义刚体的转动动能是由于其转动而具有的能量，它可以通过转动惯量和角速度的平方的乘积得到。
5.2 动能定理动能定理描述了外力对刚体转动动能的影响，它可以表示为以下公式： [ W = K ] 其中，(W)是作用在刚体上的合外力所做的功，(K)是刚体的转动动能。
物理课件2.91刚体的定轴转动力矩转动定律转动惯量
目录
• 刚体的定轴转动 • 力矩 • 转动定律 • 转动惯量
01
刚体的定轴转动
刚体的定义
刚体
在任何力的作用下，其形状和大 小都不会发生变化的物体。刚体 是一个理想化的物理模型，用于 简化对物理现象的研究。
刚体的特点
刚体在力的作用下，只发生平动 或定轴转动，不会发生形变。在 刚体的定轴转动中，其上任意两 点之间的距离保持不变。
刚体的定轴转动
定轴转动
刚体绕某一固定轴作转动。
定轴转动的特点
刚体在定轴转动中，其上任意一点都绕同一固定轴作圆周运动，且各点的角速 度相同。
刚体的定轴转动定律
刚体的定轴转动定律
转动惯量
刚体绕固定轴转动的角动量守恒。即 刚体在不受外力矩作用时，其角动量 保持不变。
描述刚体转动惯性的物理量，等于刚 体质量与质心到转轴距离平方的乘积 。
转动惯量
描述刚体绕定轴转动的惯性大小的物理量。
转动惯量的定义公式
I = Σ (m * r^2)，其中I是转动惯量，m是质量， r是质点到转轴。
转动惯量的计算
对于细杆，若其质量分布均匀，则其 转动惯量等于质量与质心到转轴距离 平方的乘积。
对于质量分布不均匀的刚体，需要将 刚体分割成若干微元，然后对每个微 元应用转动惯量的定义公式进行计算 。
对于质量分布均匀的圆盘，其转动惯 量等于圆盘质量与半径平方的乘积。
转动惯量的应用
在动力学问题中，转动惯量是描 述刚体转动状态的重要物理量， 可以用于计算刚体的角速度、角
加速度等物理量。
在振动问题中，转动惯量可以影 响刚体的振动频率和振幅。
在陀螺仪和电机控制等领域，转 动惯量也是重要的参数之一。
2.2 刚体定轴转动定律及其应用
两边积分
2 k R 2 d dt 0 0 m
0
t
d
0
0
0
2 k R 2 d m
2 k R 2 0 m m0 m 0 N 2 2 2 k R 2 2 4 kR
例. 将一根质量为M，长为L的匀质细杆两端A、B用 等长的线水平地悬挂在天花板上，若突然剪断其中一 根，求此瞬间另一根绳内的张力有多大。 解: 突然剪断B线，棒AB受重力和A线对它的拉力作用 AB绕A点在竖直面内转动。 A线的拉力对A点的力矩为零 重力对A点的力矩为 转动定律
n0 30 270 弧度 2 20 . 4 270 N 43 圈 2
2
2
例、一轻绳跨过一质量为 m，半径为 r 的定滑轮，滑 轮视为匀质圆盘，绳的两端分别悬有质量为m1和m2的 物体， m1<m2 ，忽略滑轮轴处的摩擦。绳与滑轮之间 无相对滑动。求物体的加速度和绳的张力。 解： 认对象，看运动； 分析力和力矩; 定方向, 列方程 m1： T1 m1 g m1a m2： m 2 g T2 m2 a
其中
a
解方程得 MBg
1 2 Jc Mc r 2
a r
1 M A M B MC 2 1 M A MC M B g 2 T2 1 M A M B MC 2
M AM B g T1 1 M A M B MC 2
M C 0时
MBg a M A MB
M J
f
d
解：(1) 求
f N
d M f 2
以向外为正
由转动定律
刚体定轴转动的转动定律力矩
力矩平衡的条件
静平衡
刚体在转动过程中，如果合力矩 为零，则刚体保持静止状态。
动平衡
刚体在转动过程中，如果合力矩为 零，则刚体保持匀速转动状态。
平衡状态
无论是静平衡还是动平衡，刚体的 平衡状态都满足合力矩为零的条件。
力矩平衡的应用
机械平衡
在机械设计中，通过调整刚体的质量 分布或添加平衡装置，使刚体在转动 过程中满足力矩平衡条件，以保证机 械设备的稳定性和可靠性。
刚体的定轴转动
定轴转动：刚体绕某一固定轴线作旋 转运动。
在定轴转动中，刚体的角速度和角加 速度是矢量，其方向沿固定轴线，而 力矩是改变刚体转动状态的唯一物理 量。
刚体定轴转动的特点
角速度矢量、角加速度矢量和力 矩矢量都与固定轴线平行。
刚体定轴转动时，其上各点的速 度方向与该点到轴线的垂直线段 相垂直，各点的加速度方向与该
实例三：旋转木马的旋转
总结词
旋转木马的旋转是刚体定轴转动的又一实例，通过外力矩的作用，使旋转木马绕轴转动。
详细描述
旋转木马在外力矩的作用下开始转动，当旋转木马转动时，由于摩擦阻力和空气阻力的作用，旋转木 马会逐渐减速并最终停止。
实例四：陀螺的稳定旋转
总结词
陀螺的稳定旋转是刚体定轴转动的最后一个实例，陀螺通过自转保持稳定的旋转状态。
在日常生活和工业生产中，转动 定律也广泛应用于各种旋转运动
的分析和设计。
04
刚体定轴转动的力矩平衡
力矩平衡的概念
力矩平衡
刚体在转动过程中，受到 的力矩之和为零，即合力 矩为零。
力矩
力对转动轴的力矩等于力 和力臂的乘积，其中力臂 是从转动轴到力的垂直距 离。
转动轴
刚体转动的中心轴，可以 是固定的点或线。
刚体定轴转动概述
刚体定轴转动概述刚体定轴转动是力学中的重要概念之一，用于描述刚体绕固定轴线旋转的运动形式。
本文将对刚体定轴转动进行概述，介绍其基本概念、定律和运动方程。
一、刚体定义与特点在力学中，我们将形状和大小不变的物体称为刚体。
与之相对的是流体，流体具有流动性质。
刚体的定义特点是：既能保持形状，又能在空间内绕固定轴线旋转。
二、刚体定轴转动的基本概念1. 轴线：刚体绕其旋转的直线称为轴线，轴线可以是直线也可以是曲线。
2. 物体上的任意一点：在刚体定轴转动中，我们可以选择物体上的任意一点作为参考点，称为转轴或转动中心，用O表示。
3. 角位移：刚体定轴转动时，转动中心O和物体上的任意一点P之间的角位移用Δθ表示。
4. 刚体转动惯量：刚体定轴转动惯量是描述刚体惯性特性的物理量，用I表示。
三、刚体定轴转动的定律1. 转动惯量定律：转动惯量I定义为刚体对绕轴线转动的惯性特性的度量。
根据转动惯量定律，转动惯量I与刚体的质量分布以及轴线相对于质心的位置有关。
2. 角动量守恒定律：刚体定轴转动时，其角动量L守恒。
角动量L的大小等于刚体转动惯量I乘以角速度ω，即L=Iω。
四、刚体定轴转动的运动方程在刚体定轴转动中，我们可以利用牛顿第二定律推导出运动方程。
根据牛顿第二定律，物体所受合外力的矩等于转动惯量I乘以角加速度α，即Στ=Iα。
其中，Στ表示合外力对转动中心O产生的合力矩，相当于力对于轴线的力矩。
五、刚体定轴转动的应用刚体定轴转动在物理学中有着广泛的应用。
例如，在机械工程中，我们可以利用刚体定轴转动理论研究机械零件的稳定性和运动方式；在体育运动中，刚体定轴转动理论也被用来解释各种运动技巧和动作。
结语刚体定轴转动是力学中的重要概念，通过本文的概述，我们对刚体定轴转动的基本概念、定律和运动方程有了更深入的了解。
刚体定轴转动的研究对于解释和预测物体的旋转运动具有重要意义，也为相关学科的发展提供了理论基础。
3.1-3.2刚体定轴转动的描述
3.1 刚体定轴转动的描述
3
一、刚体的概念
刚体（Rigid Body） ：在外力作用下，形状和大小都不 发生变化的物体。（或任意两质点间距离保持不变的 特殊质点系）。
说明： 1) 理想化的力学模型；
2) 任何两点之间的距离在运动过程中保持不变；
3)刚体可以看成是无数质点组成的质点系，每一个质点叫做刚 体的一个质元; 4)关于质点系的运动基本定律适用. 刚体可以看成一个包含由大量质点、而各个质点间距离保 持不变的质点系。
• 转动惯量与刚体的质量、 刚体的形状、以及转动轴有 关
•刚体转动惯性大小的量度。
2
例、求质量为m、半径为R的均匀圆环的转动惯量。轴与 圆环平面垂直并通过圆心。
解：
J r dm R dm
2 2
R
2
dm
2
ORdm RP148 表5.1：一些均匀刚体的转动惯量 (记住)
例 一质量为 m 、半径为 R 的均匀圆盘，求通过 盘中心 O 并与盘面垂直的轴的转动惯量 .
转动：刚体中所有的点都绕同一直线做圆周 运动。转动又分定轴转动和非定轴转动。
刚体的平面运动。
6
刚体的一般运动： 质心的平动
+
绕质心的转动
7
2、刚体的定轴转动（Fixed-axis Rotation） 在刚体转动中，如果转轴 固定不动，称为定轴转动。 定轴转动的特点：
每一质点均作圆周运动，圆面垂直于转轴线， 称为转动平面；
力的空间累积效应 力矩的空间累积效应
力的功,动能,动能定理. 力矩的功,转动动能,动能定理. 0
一
力矩作功
dA F dr F cos dr Ft ds Ft rdq
高二物理竞赛：第二章刚体的定轴转动PPT(课件)
刚刚转体体是 :动(1实惯) 物际量体物受体力的作一用种I 时理,想组13的成m模它L型的2 各质量元之间的相对位
刚体: (1) 物体受力作用时,组成它的各质量元之间的相对位
第二任章意刚位体置的力定矩轴转动mg L cos 式中IC 为刚体对通过质心的2轴的转动惯量, m是刚 mg
令 miri2I 转动惯量
firisin i 0 F irisin i M
MI 转动定律
转动惯量:转动中惯性大小的量度,与m,转轴 位置,质量分布有关.
10
三.转动惯量的计算:
质点系
I miri2
质量连续分布 I r2dm
线分布
dm dl
面分布 体分布
dm ds
dmdV
11
例:计算质量为m、长为L,的均匀细棒对中 心或一端并与棒垂直的轴的转动惯量。
取半径为r、宽为 dr的圆环 如图所示，其质量为
y R
·r
o
dr
x
dm2rdr
圆盘对Oz轴(过O点垂直于纸面)的转动惯量为
20
Iz
Rr2 dm
0
R2πr3 dr
0
2π Rr3 dr 1mR2
0
2
根据垂直轴定理 Iz Ix Iy
由于对称性, I x I y , 所以
Iz
2Ix
1 mR2 2
例 速:度不转为计动u滑时定轮,律物质体量m 上,人升与g的L 2物速c体度o质.s量相1 3等m ,人加2L速上爬,求当人相对于绳
周运动。
24
角加速度 3g cos
2L
角速度 d d td d d d td d mg
刚体的定轴转动
角动量守恒定律
第2章 运动定律与力学中的守恒定律
2–6 刚体的定轴转动
30
例 质量很小长度为l 的均匀细杆, 可绕过其中心 O 并与 纸面垂直的轴在竖直平面内转动 . 当细杆静止于水平位 置时, 有一只小虫以速率 v0 垂直落在距点 O 为 l/4 处, 并背离点O 向细杆的端点 A 爬行. 设小虫与细杆的质量 均为m. 问: 欲使细杆以恒定的角速度转动, 小虫应以多 大速率向细杆端点爬行? 解: 碰撞前后系统角动量 守恒
rj
j
内力矩之和 0
mi ri
2
令
J mi ri
2
M ij M ji
第2章 运动定律与力学中的守恒定律
——刚体转动惯量
M J
2–6 J
刚体作定轴转动时，刚体的角加速度与它所受 合外力矩成正比，与刚体的转动惯量成反比。
第2章 运动定律与力学中的守恒定律
2–6 刚体的定轴转动
35
4、质量为m的不太大的整个刚体的重力势能
E P yg d m g y d m
Y y yc C
dm
mg
结论：
ydm
m
m gyc
O m X
一个不太大的刚体的重力势能 和它的全部质量集中在质心时所具 有的势能一样。
第2章 运动定律与力学中的守恒定律
第2章 运动定律与力学中的守恒定律
2–6 刚体的定轴转动
4
转轴
转轴 Z
ri vi
O 转动平面
Δmi
Ｐ
第2章 运动定律与力学中的守恒定律
2–6 刚体的定轴转动
5
3.刚体定轴转动的特点
• 各质点都作圆周运动；
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d
300
t 2dt
0
0 1500
当t=300 s时，
6000，N
2
6000 2
3000r
1
数为k，则有 kt
d
d ktdt
dt
9
3.1 刚体的定轴转动及其描述
t
d ktdt
0
0
1 kt 2
2
当t=300 s时， =1800 r/min=60 rad/s ，代入得
k
750
t2
1500
d t 2
dt 1500
刚体平动的运动规律与质点的运动规律相同。
3
3.1 刚体的定轴转动及其描述
3. 定轴转动
(1) 转 动
如果刚体的各个质点在运动中都绕同一直线 作圆周运动，这种运动称为转动。 (2) 转 轴
转动中刚体所绕的直线称为转轴。 (3) 定轴转动
如果刚体转动过程中，转轴在空间的位置保 持不变，这种转动称为定轴转动。
4
3.1 刚体的定轴转动及其描述
4. 定轴转动的特点 (1) 任一质点都在某个垂直 转轴的平面内作圆周运动。 (2) 各质点轨迹半径大小不 一。在同一时间内，各质
A r1
A
B r2
B
z
O1
O2
点转过的圆弧长度不相同。 刚体的定轴转动
(3) 各质点半径所扫过的角度相同。各质点的角
位移、角速度和角加速度都相同。
A
B
在力的作用下，大小和形状都保A持不变的物B
体称为刚体。
2. 刚体的运动 D
C
刚体最简单的运动形式是平动和转动。
A
B
(1) 平动：刚体内各质(点2) 的轨迹完全相同。
刚体的平动
3.1 刚体的定轴转动及其描述
(2)平动的特点 ① 在任意时间段内, 所有质点的运动轨迹、位移 都相同。 ② 各个质点的速度和加速度也都是相同的。 ③ 刚体上任意一点的运动可代表整个刚体的运 动。
5
3.1 刚体的定轴转动及其描述
二、刚体定轴转动状态的描述 与描述质点的圆周运动类似， 也采用角量描述刚体的定轴 转动状态。如图所示。
1. 角位移
2. 角速度
z
A r1
A
B r2
B
O1 O2
刚体的定轴转动
lim d t0 t dt
6
3.1 刚体的定轴转动及其描述
刚体逆时针转动，角速度为正； 刚体顺时针转动，角速度为负； （2）非定轴转动：“右手法则”：四指弯曲方 向与转动方向一致，拇指指向为角速度方向。 定轴转动中，角速度方向总是沿着转轴，因此， 只要规定了角速度的正负，就可用标量进行计算。83.1 刚体的定轴转 Nhomakorabea及其描述
例：高速旋转的转子，初始角速度0=0，经过 300 s后，角速度增加到=1800 r/min，设角加速 度与时间t成正比，求转子300s内转过的转数。 分析：求转子在300 s内转过的转数，关键是要 求出在300s内转子转过的角度。 解：由题知角加速度与时间t成正比，设比例系
二、刚体定轴转动状态的描述
3. 角加速度
d
dt
d 2
dt 2
4. 角量和线量的关系
v r
z
A r1
A
B r2
B
O1 O2
刚体的定轴转动
at r
an r 2
7
3.1 刚体的定轴转动及其描述
三、角速度矢量 在转轴上画一有向线段，使其长度按一定比
例代表角速度大小，方向分为两种情况判断： （1）定轴转动：角速度方向以正、负表示。俯视：
3.1 刚体的定轴转动及其描述
研究对象：做定轴转动的刚体； 研究问题：刚体运动学； 研究内容：
1. 刚体定轴转动的特点； 2. 刚体定轴转动状态的描述：角位移、
角速度、角加速度。 3. 角量与线量之间的关系。
1
3.1 刚体的定轴转动及其描述
一、刚体
1D.
(1)
刚体
C
(3)
D
C
继质点之后又一理想化模型。