刚体的定轴转动
刚体的定轴转动

刚体的定轴转动一、刚体极其运动刚体——受力时不改变形状和体积的物体。
注:(1)刚体是固体物件的理想模型。
(2)刚体是一个特殊的质点系(各质点间的相对位置在运动中保持不变)。
刚体的运动分为平动和转动。
平动:刚体中所有点的运动轨迹都保持完全相同,或者说刚体内任意两点间的连线总是平行于它们的初始位置间的连线。
(用质点力学处理)转动:刚体中所有的点都绕同一直线做圆周运动. 转动又分定轴转动和非定轴转动。
二、刚体转动的角速度和角加速度刚体定轴转动时,由于各质元间的相对位置保持不变,因此描述各质元的角量是一样的。
角坐标:θ=θ(t)角位移:?θ=θ(t+?t)-θ(t) 角速度:?θdθ=?t→0?tdt角速度的方向:右手螺旋法则。
dω角加速度:α= dt定轴转动的特点:(1)每一质点均作圆周运动,圆面为转动平面;(2)任一质点运动?θ,ω,α均相同,但v,a不同;(3)运动描述仅需一个坐标。
三、匀变速转动公式匀变速转动------刚体绕定轴转动的角加速度为恒量。
刚体匀变速转动与质点匀变速直线运动公式对比匀变速转动匀变速直线运动v=v+at x=x0+v0t+at2212222v=v0+2a(x-x0)2ω=lim 匀四、角量与线量的关系v=rωaτ=rαan=rω24-2力矩转动定律转动惯量一、力矩设一质点系由n个质点组成,其中i质点受力为n-1j=1Fi外+∑fjin-1 Mi=ri?(Fi外+∑fji)现对i质点所受力的力矩:j=1对i求和,刚体所受力的力矩为n M=∑Mi=∑ri?Fi外ii=1(内力矩为零)二、刚体的转动定律组成刚体的各质点间无相对位移,所以刚体对给定轴的力矩为dω2 M=rma=(rm)α=J=Jα∑iz∑∑iiτiidtii即刚体定轴转动的转动定律:绕定轴转动的刚体的角加速度与作用于刚体上的合外力矩成正比,与刚体的转动惯量成反比。
它在定轴转动中的地位相当于牛顿第二定律在质点力学中的地位。
刚体定轴转动定律

o
P
x
2.角位移
描写刚体位置变化的物理量。
角坐标的增量:
称为刚体的角位移
y v2 p v1
P
3.角速度
R
x
描写刚体转动快慢和方向
的物理量。
角速度 lim d
t0 t dt 方向:满足右手定则,沿刚体转动方向右旋大拇指指向。
角速度是矢量,但对于刚体定轴 转动角速度的方向只有两个,在表 示角速度时只用角速度的正负数值 就可表示角速度的方向,不必用矢 量表示。
11mb 2
例4、半径为 R 质量为 M 的 圆环,绕垂直于圆环平面的 质心轴转动,求转动惯量J。
解: J R2dm MR 2
M o R dm
例5、半径为 R 质量为 M 的圆盘,绕垂直于圆盘 平面的质心轴转动,求转动惯量 J。
解:分割圆盘为圆环
dm
M
R2
2
rdr
J r2dm
M
dr
R
0
t 细杆绕一端的转动惯量
J 1 ml 2 3
摩擦阻力
t
例8、质量为 m1 和m2 两个物体, 跨在定滑轮上 m2 放在光滑的桌 面上,滑轮半径为 R,质量为 M,求:m1 下落的加速度,和 绳子的张力 T1、T2。
解:m1 g T1 m1a (1)
T2 m2a
b)作圆周运动的质点的角动量 L= r m v
c)角动量是描述转动状态的物理量;
P L
d)质点的角动量又称为动量矩。
or
dL
d (r mv)
dr
mv
r
d (mv)
r
F
dt
刚体的定轴转动

角速度是代数量,其正负表示刚体的转向。角速度为正值时表
明转角随时间而增加,刚体作逆时针转动;反之,转角随时间而减
小,刚体作顺时针转动。
角速度的单位是rad/s。工程上还常用每分钟转过的圈数表示刚
体转动的快慢,称为转速,用n表示,单位是r/min。角速度ω与转速
n之间的换算关系为
2n n
60 30
理论力学
刚体的运动\刚体的定轴转动
刚体的定轴转动
刚体运动时,若刚体内或其延伸部分有一直线始终保持不动, 刚体的这种运动称为定轴转动,简称转动。这条保持不动的直线称 为转轴。显然,刚体转动时,刚体内不在转轴上的各点都在垂直于 转轴的平面内作圆周运动,其圆心都在转轴上,圆的半径为该点到 转轴的垂直距离。
刚体的定轴转动在工程实际中随处可见,例如电动机转子的转 动,胶带轮、齿轮的转动等。
目录
刚体的运动\刚体的定轴转动
1.1 转动方程
设某刚体绕固定轴z转动,如图所示,为确定 该刚体在任一瞬时的位置,过转轴z作一固定平 面Ⅰ,再过转轴z作一与刚体固连、随刚体一起 转动的动平面Ⅱ。这样,该刚体在任一瞬时的位
置就可以用动平面Ⅱ与定平面Ⅰ的夹角确定, 角称为刚体的转角。当刚体转动时,转角是时
间t的单值连续函数,即 (t)
上式称为刚体的转动方程。若转动方程已知,则刚体在任一瞬时的 位置就确定了。因此,转动方程反映了刚体转动的规律。
转角是一个代数量,其正负号的规定如下:从转轴z的正端向 负端看去,逆时针转为正,反之为负。转角的单位是rad。
目录
刚体的运动\刚体的定轴转动
【例6.2】已知汽轮机在启动时主动轴的转动方程为t3,式中 的单位是rad,t的单位是s,求t=3s时该轴的角速度和角加速度。
刚体定轴转动(公式)

旋转木马通常配备安全带、护栏等安全措施,以确保乘客安全。
儿童游乐设施
旋转木马是儿童游乐场常见的设施之一,为儿童提供娱乐和刺激。
电风扇的转动
电风扇的工作原理
电风扇通过电机驱动叶片 旋转,产生风流,实现送 风效果。
风力调节
电风扇通常配备调速器, 可调节电机转速,从而调 节风力大小。
维护保养
定期清洗电风扇叶片和外 壳,检查电线和开关是否 正常,以确保安全和正常 使用。
04
刚体定轴转动的实例分析
匀速转动的飞轮
01
02
03
飞轮的转动
飞轮在匀速转动时,其角 速度保持恒定,不受外力 矩作用。
动能与势能转换
飞轮在转动过程中,动能 和势能之间相互转换,但 总能量保持不变。
平衡状态
在匀速转动状态下,飞轮 的合力矩为零,处于平衡 状态。
旋转木马的转动
旋转木马的转动原理
旋转木马通过电机驱动,使木马旋转,当木马旋转时,离心力作 用使木马保持稳定。
力矩平衡方程
合力矩=0,即所有作用在刚体上的力对旋转轴产生的力矩之和为零。
注意事项
在应用力矩平衡方程时,需要明确各个力的作用点和方向,并计算其对旋转轴产生的力矩。同时,需要注意力的 方向和力臂的长度对力矩的影响。
如何应用动量矩守恒定律?
动量矩守恒定律
在没有外力矩作用的情况下,刚体的动量矩是守恒的。
05
刚体定轴转动的常见问题与解决方案
如何计算转动惯量?
转动惯量计算公式
I=mr^2,其中m是刚体的质量,r是质心到旋转轴的距离。
注意事项
在计算转动惯量时,需要明确旋转轴的位置,并计算质心到旋转轴的距离。同时 ,需要考虑刚体的质量分布情况,因为不同位置的质量对转动惯量的贡献不同。
刚体定轴转动1基本概念

r 0 .2 4 ( m s
该点的切向加速度
a r 0 .2 (
) 2 .5 ( m s
)
6
) 0 . 105 m s
2
该点的法向加速度
a n r
2
4 2 0 .2
ms 2 31 . 6
作业:P31 1- 5 1-7 (1) 作业要求: 1、习题解答要有解题步骤,若需作图的则按规定要求画图,画图必须
用铅笔和直尺,要有原始公式和数据代入过程,最后所求的物理量 要写单位。
2、布置的习题写在单行作业本的纸上,并在纸的右上角写上班级、 学号、姓名,每班的学习委员收作业时将班上同学交的作业纸
按学号顺序排好后再交给老师。
15
质点运动
转动: 刚体上所有的点都绕同一直线做圆周运动。 转动分为定轴转动和非定轴转动
刚体的定轴转动:
1、转动平面: 垂直于固定转轴的平面
转轴
转动平面
2、刚体的定轴转动的特点: ⑴.各质元都绕转轴在各自的转动平面上 做圆周运动
⑵.各质元运动的线量 v , a 不同,
但角量 , , , a 均相同
与 方向相同,为加速运动,否则为减速运动。
8
匀速转动和匀变速转动的概念 匀速转动: 0 , 为恒量, 0 t 匀变速转动: 当刚体做定轴转动的角加速度 时,刚体做匀变速转动。 为恒量
刚体匀变速转动与质点匀变速直线运动公式对比
9
补充:矢量乘法公式 点乘(标积):A B A B cos( A , B ) 叉乘(矢积): A B C 大小 方向
刚体的定轴转动定律

刚体的定轴转动定律一、前言刚体的定轴转动定律是物理学中的重要概念之一,它描述了刚体在绕固定轴进行运动时的物理规律。
本文将从定义、公式、特点和应用四个方面来全面介绍刚体的定轴转动定律。
二、定义刚体的定轴转动指的是一个刚体在绕一个固定轴进行旋转运动时,其各个部分都沿着圆周运动,且旋转轴不发生移动。
而刚体的定轴转动定律则是描述这种运动状态下物理量之间关系的规律。
三、公式1. 角加速度公式角加速度指的是角速度随时间变化率,通常用符号α表示。
根据牛顿第二定律和角动量守恒原理,可以得到以下公式:Iα = τ其中,I表示刚体绕固定轴旋转时所具有的惯性矩,τ表示作用在刚体上的扭矩。
2. 角位移公式角位移指的是一个物体在绕某一点旋转时所经过的角度变化量,通常用θ表示。
根据定义可以得到以下公式:θ = s / r其中,s表示弧长,r表示绕定轴旋转的半径。
3. 角速度公式角速度指的是一个物体在绕某一点旋转时所具有的单位时间内经过的角度变化量,通常用符号ω表示。
根据定义可以得到以下公式:ω = Δθ / Δt其中,Δθ表示角位移变化量,Δt表示时间变化量。
4. 动能公式刚体绕定轴旋转时所具有的动能可以通过以下公式计算:E = 1/2 Iω²其中,I表示刚体绕固定轴旋转时所具有的惯性矩,ω表示角速度。
四、特点1. 惯性矩与扭矩之间存在直接关系。
根据牛顿第二定律和角动量守恒原理可以得到Iα = τ这一公式,表明惯性矩与扭矩之间存在直接关系。
当扭矩增大时,刚体的角加速度也会增大;当惯性矩增大时,则需要更大的扭矩来产生相同大小的角加速度。
2. 角加速度与扭矩之间存在反比关系。
根据Iα = τ这一公式可以看出,当惯性矩不变时,角加速度与扭矩之间存在反比关系。
也就是说,当扭矩增大时,角加速度会减小;当扭矩减小时,角加速度会增大。
3. 角速度与角位移之间存在直接关系。
根据定义可以得到ω = Δθ / Δt这一公式,表明角速度与角位移之间存在直接关系。
刚体的定轴转动

ri
mi
z
2 L mi ri
i
2
( mi ri )
O
vi
L J
第二章 守恒定律
26
i
物理 (工)
2-4
刚体的定轴转动
2 刚体定轴转动的角动量定理 质点mi受合力矩Mi(包括Miex、 Miin )
dLi d( J ) d 2 Mi (mi ri ) dt dt dt in 合外力矩 对定轴转动的刚体 M i 0 , ex d d( J ) 2 M M i ( mi ri ) dt dt d( J ) dL M dt dt
(3) 运动描述仅需一个角坐标.
第二章 守恒定律
7
物理 (工)
2-4
刚体的定轴转动
第二章 守恒定律
8
物理 (工)
2-4
刚体的定轴转动
一
力矩
用来描述力对刚体 的转动作用.
M Fr sin Fd d : 力臂 F 对转轴 z 的力矩 M r F F F
Fi 0,
刚体定轴转动 (一维转动)的转动 方向可以用角速度 的正、负来表示.
d 角加速度 dt
z
z
>0
第二章 守恒定律
<0
6
物理 (工)
2-4
刚体的定轴转动
定轴转动的特点 (1) 每一质点均作圆周运动,圆面为转动 平面;
均相同,但 (2) 任一质点运动 , , v, a 不同;
第二章 守恒定律
大学物理刚体的定轴转动

2l
l
17
例 一匀质细杆,长为 l 质量为 m ,在摩擦系数为
的水平桌面上转动,求摩擦力的力矩 M阻。 解: 建立如图坐标,取质元
dm dx
质元受阻力矩:
dM 阻 dmgx
o
xl dm m dx
x
细杆受的阻力矩
M阻
dM
阻
0l
gxdx
1 mgl
2
18
例 一半径为R,质量为m的均匀圆盘平放在粗糙的
令 J miri2
刚体绕Z轴转动的转动惯量
即
M z J ----刚体的定轴转动定律
说明
1. 上式是矢量式(力矩只有两个方向)。
2. M、J、是对同一轴而言的。
3. 具有瞬时性,是力矩的瞬时效应。
4. 转动惯量J是刚体转动惯性大小的量度。
8 8
3、转动惯量的计算
转动惯量: J miri2
l
r
dr
d
dm g
M
dM
l
0
mg l
r
cosdr
mg
l 2
cos
16
M J 1 ml2
3
3g cos
2l
(2) d d d d 3g cos dt d dt d 2l
分离变量积分 g cos d l d
02
03
(3g sin ) l
300 , 3g 900 , 3g
i
质量连续分布的刚体: J r2dm
质量为线分布: dm dl
面分布: dm ds
体分布: dm dV
1)总质量
转动惯量与下列因素有关: 2)质量分布 3)转轴位置
9
✓ J与质量分布有关:
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《物理学》多媒体学习辅导系统第三章 刚体的定轴转动教学要求一.理解定轴转动刚体运动的角速度和角加速度的概念,理解角量与线量的关系。
二.理解刚体定轴转动定律,能解简单的定轴转动问题。
三.了解力矩的功和转动动能的概念。
四.了解刚体对定轴的角动量定理及角动量守恒定律。
五.理解转动惯量的概念,能用平行轴定理和转动惯量的可加性计算刚体对定轴的转动惯量。
基本内容本章的重点是刚体定轴转动的力矩、转动惯量、角动量等物理量的概念和转动定律,难点是刚体绕定轴转动的角动量守恒定律及其应用。
一.角量与线量的关系2ωαωθr a r a r v r s ====n t二.描述刚体定轴转动的物理量和运动规律与描述质点直线运动的物理量和运动规律有类比关系,有关的数学方程完全相同, 为便于比较和记忆,列表如下。
只要将我们熟习的质点直线运动的公式中的x 、v 、a 和m 、F 换成θ、ω、α和I 、M , 就成为刚体定轴转动的公式。
表3—1质点的直线运动 刚体定轴转动位置 x 角位置 θ 位移 x ∆ 角位移 θ∆ 速度 t x v d d =角速度 tdd θω=加速度 22d d d d txt v a == 角加速度 2t t d d d d 2θωα== 匀速直线运动 vt x x +=0 匀角速转动 t 0ωθθ+= 20021at t v x x ++= 20021t t++ =αωθθ ()02022x x a v v -=- ()0202 2 θθαωω-=-质量 m 转动惯量 iim r I ∆=∑2力 F 力矩r F M θ=牛顿第二定律 ma F = 定轴转动定律 αI M = 力的功 ⎰=xx x F A 0d 力矩的功 ⎰=θθθ0d M A动能 221mv E =k 动能 k 221ωI E = 动能定理202210mv mv x F xx 21d -=⎰ 动能定理 2022121d ωωθθθI I M -=⎰20冲量⎰tt t F 0d 冲量矩⎰tt t M 0d动量 mv 角动量( 动量矩 ) ωI 动量定理00mv mv t F t t -=⎰d 角动量定理⎰-=tt I I t M 00d ωω系统的机械能守恒定律 系统的机械能守恒定律若0=+非保内外A A ,则 若0=+非保内外A A ,则=+p k E E 常量 =+p k E E 常量系统的动量守恒定律 系统的角动量守恒定律 若0=∑外F,则 若0=∑外M ,则 =∑ii vm 常量=∑iL常量三.对于质点、刚体组成的系统,动能定理仍然适用,系统的动能包括系统内所有质点的平动动能和刚体的转动动能。
当系统内力只有保守力作功,其外力和非保守内力作的总功为零,则整个系统机械能守恒。
问题讨论一.一长为l 、质量为m 的匀直细棒一端固定,可在竖直平面内转动,最初棒静止在水平位置,问放手后它下摆到竖直位置时的角速度。
有人这样解:放手后杆受重力矩2lmg M =, 细杆绕点O 的水平轴转动的转动惯量为231ml I =, 由转动定律αI M =,解得l g 23=α;又根据θαωω∆=-2202,00=ω,2πθ=∆得lg23πω=。
这种解法对吗?为什么? 讨论:上述计算方法是错误的! 其根源在于忽视了转动定律的瞬时性。
刚放手时重力矩2lmgM =,角加速度lg 23=α,但随着杆的转动,重力矩越来越小,在θ处,为θcos l mg M 21=;角加速度也随之减小,在θ处,为θαcos lg23=。
到竖直位置,0=M ,0=α。
也就是说,在杆转动过程中,角加速度是变量,杆的摆动是变加速运动,不可用匀变速转动的公式θαωω∆=-2202。
此题的解法有多种,我们介绍两种从功和能的角度求解的方法。
解法一:用动能定理杆摆到任一θ角时,其所受的重力矩为θcos 2lmg M =杆从水平位置转到竖直位置时,重力对杆所作的功为222l mg l mg M A A ====⎰⎰⎰θθθπd cos d d由刚体的动能定理k E A ∆=20221212ωωI I l mg -=式中00=ω,231ml I = 解得lgI mgl 3==ω 解法二: 用机械能守恒求解取杆和地球为系统,除重力外无其它力作功,机械能守恒。
取竖直位置时杆的质心位置为重力势能零点,有)(200212lmg I --=-ω 式中231ml I =解得lgI mgl 3==ω 二.如图,一质量为m '的黏土块以水平速度0v 甩向长为l 质量为m 的杆的末端,并粘在杆端。
求系统获得的角速度。
有人这样解:取黏土块与杆为系统,碰撞中水平方向动量守恒,有v m m v m )(+'='0,解得)(m m v m v +''=,lm m v m l v )(+''==0ω。
这样解对吗?为什么?讨论:上述计算方法是错误的! 其根源在于没有认真分析守恒定律成立的条件。
在黏土块甩在杆上瞬时,杆的上端受到一个很大的力,这个力对黏土块与杆组成的系统而言是外力,其水平分量亦不可忽略,故水平方向动量不守恒。
但这个力通过转轴,其力矩为零,且系统的重力矩也为零,即系统的合外力矩为零,角动量守恒。
黏土块开始与杆碰撞的瞬时,系统的角动量仅为黏土块对转轴的角动量,其2l m I '=,lv 00=ω, l v m L 00'=碰撞结束时,系统的角动量为 ω)(2231ml l m L +'= 由碰撞过程中角动量守恒ω2031l m m l v m ⎪⎭⎫⎝⎛+'=' 解得lm m v m )(+''=330ω典型例题例一 如图,质量kg 10=m 、半径cm 10=r 的定滑轮两边挂着质量分别为kg101=m 和kg 52=m 的滑块,滑块2m 在倾角 30=θ的斜面上滑动,它们之间的摩擦系数为300.=μ。
设滑轮与转轴间无摩擦,绳与轮间无相对滑动,求滑块的加速度和绳中张力的大小。
解:这是一个质点、刚体组成的系统,需隔离物体,分析各物体所受力(力矩)。
作受力分析图,由牛顿第二定律和转动定律立出动力学111a m F g m =-T1(1)222a m g m F F =--θsin r T2(2)αI r F r F ='-'T2T1(3)221mr I = (4)αr a a a ===21 (5) θμcos r g m F 2= (6)1T1TF F '= (7)2T2TF F '= (8) 解得()22122104331021-⋅==++--=s m ..sin cos g g mm m m m m a θθμ()() N 66769011T1..==-=g m a g m F()N 4520712222T2..sin cos ==++=g m a m g m g m F θθμ例二 如图, 均匀细杆可绕距其一端l 41(l 为杆长)的水平轴o 在竖直平面内转动,杆的质量为m 、当杆自由悬挂时,给它一个起始角速度0ω,如杆恰能持续转动而不摆动(不计一切摩擦),则0ω必须如何取值? 杆处于水平位置时角速度角和加速度为多少?解: 由平行轴定理 ,杆绕水平轴的转动惯量为2222487161121ml l m ml md I I c =+=+= 杆和地球组成的系统在转动过程中机械能守恒。
要使杆恰能持续转动而不摆动,杆转过180时0≥ω,此时杆的势能增加为2l mg E P =∆动能增加为2022121ωωI I E k -=∆ 由P k E E ∆-=∆解得lg74820+=ωω由0≥ω得lgl g 7347480=≥ω 杆处于水平位置时势能增加为4l mg E P =∆动能变化2022121ωωI I E k -=∆ 由P k E E ∆-=∆解得lg72420-=ωω 杆处于水平位置时重力矩为4lmg M =由转动定律 αI M =l g ml lmg I M 71248742=⨯==α过关测试第一关1. 选出下述说法中的正确者。
A .公式ωr v =中, v 是速率。
因为 v 只能取正值,所以ω也只能取正值; B .法向加速度n a 恒大于零, 切向加速度t a 也恒大于零;C . 对定轴转动刚体而言,刚体上一点的线速度v 、切向加速度t a 、法向加速度n a 的大小都与该质点距轴的距离r 成正比;D . 因rv a 2n =,所以,上面( C ) 中关于法向加速度的叙述不正确。
答: C2.在下列说法中,错误的是:A.刚体作定轴转动时,其上各点的角速度相同,线速度则不同;M=,式中M、I、α均为对同一条固定轴而言B.刚体定轴转动的转动定律为αI的,否则该式不成立;C.刚体的转动动能等于刚体上各质元的动能之和;D.对给定的刚体而言,它的质量和形状是一定的,则其转动惯量也是唯一确定的。
答: D3.细棒可绕光滑轴转动,该轴垂直地通过棒的一个端点,今使棒从水平位置开始下摆,在棒转到竖直位置的过程中,下述说法正确的是A.角速度从小到大,角加速度从大到小;B.角速度从小到大,角加速度从小到大;C.角速度从大到小,角加速度从小到大;D.角速度从大到小,角加速度从大到小。
答:正确答案是A4.几个力同时作用于一个具有固定转轴的刚体上。
如果这几个力的矢量和为零,则正确答案是A.刚体必然不会转动;B.转速必然不变;C.转速必然会变;D.转速可能变, 也可能不变。
答:正确答案是D5.如图所示,四个质量相同、线度相同而形状不同的均质物体,它们对各自的几何对称轴的转动惯量最大的和最小的是A.(1)和(2);B .(1)和(4);C .(2)和(3);D .(2)和(4)。
答: B6.一质点作匀速率圆周运动时A .它的动量不变,对圆心的角动量也不变;B .它的动量不变,对圆心的角动量不断改变;C .它的动量不断改变,对圆心的角动量不变;D .它的动量不断改变,对圆心的角动量也不断改变。
答: C 第二关1.刚体绕定轴作匀变速转动时,刚体上距转轴为r 的任一点的 A .切向、法向加速度的大小均随时间变化; B .切向、法向加速度的大小均保持恒定;C .切向加速度的大小恒定,法向加速度的大小变化;D .切向加速度的大小变化,法向加速度的大小恒定。
答: C2.两个匀质圆盘A 和B 的密度分别为A ρ和B ρ,且B A ρρ>,但两圆盘质量和厚度相同。
如两盘对通过盘心垂直于盘面的轴的转动惯量分别为A I 和B I ,则 A .B A I I >; B .A B I I >; C .B A I I =; D .不能确定。
答: B(解 B A m m = 即h r h r 22B B A A πρπρ=,B A ρρ>则A B r r >,又221mr I =,A B I I >∴)3.关于力矩有以下几种说法(1) 内力矩不会改变刚体对某个定轴的角动量; (2) 作用力和反作用力对同一轴的力矩之和为零;(3) 大小相同方向相反两个力对同一轴的力矩之和一定为零;(4) 质量相等,形状和大小不同的刚体,在相同力矩作用下,它们的角加速度一定相等。