刚体定轴转动的特点转轴固定
刚体的定轴转动定律解析
刚体在平动时，在任意一段时间内，刚体中 所有质点的位移都是相同的。而且在任何时刻， 各个质点的速度和加速度也都是相同的。所以刚 体内任何一个质点的运动，都可代表整个刚体的 运动。因此，此时可将刚体视为一个质点。
➢ 定轴转动：刚体中所有的点都绕同一直线做圆周运动.
定轴转动的刚体上各点都绕同一转轴 作不同半径的圆周运动，且具有相同的角 位移、角速度和角加速度，但是，线速度 、切向加速度和法向加速度不同。即角量 相同而线量不同。因此，定轴转动的刚体 通常要用角量来描述。
四、角量与线量的关系
d
dt
d
dt
d 2
d2t
v r
a
an
r
a
v
a r an r 2
a
r
r
2
n
r
v
v
r
a
r
五、力矩
z
M Or
d
F
P
M Fd Frsin d: 力臂
FM对 转r轴
z F
的力矩
讨论
若力
F
不在转动平面内，把力分解为
平行和垂直于转轴方向的两个分量
F Fz F
竿
子
长
些
还
是
短
些
较
安
飞轮的质量为什么
全
大都分布于外轮缘？
？
刚体定轴转动的转动定律的应用
例、如图所示，一个质量为M， 半径为R的圆盘形定滑轮，上面 绕有细绳，绳子一端固定在滑轮 上，另一端悬挂一个质量为m的 物体而下垂，忽略轴处的摩擦， 绳子与滑轮间无相对滑动，求物 体m下落的加速度。直棒，其一端固定在光滑 水平轴上，因而可以在竖直平面内转动，假设最初棒处于水 平位置，求棒从初始位置下摆到时的角速度和角加速度。
刚体的定轴转动
J
1 2 m( R12 R2 ) 2
1 mR 2 2 若R1 R2 R, J mR 2
16
例：求长度为L，质量为m的均匀细棒AB的转动惯量。 （1）对于通过棒的一端与棒垂直的轴。 （2）对于通过棒的中心与棒垂直的轴。 m 解（1）细杆为线质量分布，单位长度的质量为： l L 1 3 2 2 dm A B J A x dm x dx L o 0 3 x
2 0
2
0
dm MR
2
绕圆环质心轴的转动惯量为
M
o
R
பைடு நூலகம்dm
J MR
2
讨论：若圆环绕其直径轴转动，再求此圆环的转动 惯量。
14
例: 一质量为m，半径为R的均匀圆盘，求对通过盘 中心并与盘面垂直的轴的转动惯量。
m 解： σ πR 2
dm σ 2π rdr
dJ r dm 2πσ r dr
5
匀变速圆周运动的基本公式
p
1 2 0 0t t 2
0 t
s
R
o
p
x
2 2 0 2 ( 0 )
定轴转动刚体上任一点的速度和加速度 s R 路程与角位移之间的关系：
v R 线速度与角速度的关系：
加速度与角量的关系： 2 dv d v at R R , an 2 R, dt dt R
1
柱壳形状的质元 ,其长为l半径为r厚度为dr, 则该质元的质量为 dm dV ( 2 rdr )l
R2
R2
l
J r dm 2lr dr
2 3 m R1
l
2
刚体定轴转动定律
o
P
x
2.角位移
描写刚体位置变化的物理量。
角坐标的增量：
称为刚体的角位移
y v2 p v1
P
3.角速度
R
x
描写刚体转动快慢和方向
的物理量。
角速度 lim d
t0 t dt 方向：满足右手定则，沿刚体转动方向右旋大拇指指向。
角速度是矢量，但对于刚体定轴 转动角速度的方向只有两个，在表 示角速度时只用角速度的正负数值 就可表示角速度的方向，不必用矢 量表示。
11mb 2
例4、半径为 R 质量为 M 的 圆环，绕垂直于圆环平面的 质心轴转动，求转动惯量J。
解： J R2dm MR 2
M o R dm
例5、半径为 R 质量为 M 的圆盘，绕垂直于圆盘 平面的质心轴转动，求转动惯量 J。
解：分割圆盘为圆环
dm
M
R2
2
rdr
J r2dm
M
dr
R
0
t 细杆绕一端的转动惯量
J 1 ml 2 3
摩擦阻力
t
例8、质量为 m1 和m2 两个物体， 跨在定滑轮上 m2 放在光滑的桌 面上，滑轮半径为 R，质量为 M，求：m1 下落的加速度，和 绳子的张力 T1、T2。
解：m1 g T1 m1a （1）
T2 m2a
b)作圆周运动的质点的角动量 L＝ r m v
c)角动量是描述转动状态的物理量；
P L
d)质点的角动量又称为动量矩。
or
dL
d (r mv)
dr
mv
r
d (mv)
r
F
dt
物理学9-刚体定轴转动定律的应用举例
物理学9-刚体定轴转动定律的应用举例刚体定轴转动定律是描述刚体绕固定轴转动时的运动规律的重要定律。
它包括角动量定理、角动量守恒定律和动能定理三个部分，这些定理在物理学中有着广泛的应用。
以下是一些应用举例。
1.陀螺的稳定性陀螺是一种具有一定自旋的旋转体，它的转轴固定在空间中的一点上。
当陀螺开始旋转时，它的自旋轴并不和转轴重合，但是随着陀螺的旋转，自旋轴始终在垂直于转轴的平面内旋转。
根据角动量定理和角动量守恒定律可以说明，当外力瞬间作用在陀螺上时，它会使陀螺的自旋轴发生进动，即自旋轴绕着转轴做圆周运动。
而由于角动量守恒，陀螺的自旋速度不会发生改变，因此在一定条件下陀螺能够保持稳定旋转，虽然它的自旋轴始终在变化。
2.动物的奔跑在物理学中，奔跑的过程可以视为人体绕着重心做定轴转动。
根据角动量定理和动能定理，人体的角动量和动能随着奔跑的速度变化而改变。
如果奔跑速度比较慢，人体的重心不会发生太大的变化，因此可以近似地看作点质量绕着固定轴转动。
但是当奔跑速度比较快时，人体的重心会发生较大的偏移，因此需要考虑人体的形变和弹性来描述奔跑的过程。
3.滑冰在滑冰的过程中，滑冰鞋与冰面之间存在摩擦力，摩擦力使得滑冰鞋相对于冰面产生旋转。
根据角动量定理和动能定理，滑冰鞋的角动量和动能会不断地改变，从而导致身体的姿态和速度也在不断变化。
为了保持平衡和稳定性，滑冰运动员需要不断进行调整和控制。
4.扭曲摆扭曲摆是一种具有非线性运动特征的振动系统，它包括一个重物、一个弹簧和一个摆动的基座。
当扭曲摆发生振动时，重物会绕着摆动的基座旋转，同时弹簧也会发生形变。
根据扭曲摆的特征方程和能量守恒定律可以推导出扭曲摆的振动规律，从而用来描述一系列自然现象，比如地震、心脏跳动等。
5.自行车的平衡自行车是一种需要保持平衡的交通工具，它的平衡性和稳定性与骑车人的动作和机械结构密切相关。
根据角动量定理和动能定理可以推导出自行车的转动惯量和角加速度，并利用牛顿第二定律和动能定理求解车轮的角速度和匀速斜面上行驶的距离等问题。
刚体的定轴转动定律
刚体的定轴转动定律1. 介绍刚体是物理学中的一个重要概念，它指的是在运动过程中形状和大小保持不变的物体。
刚体的定轴转动定律是描述刚体绕固定轴线转动的规律和性质，对于我们理解刚体的运动和应用相关物理问题具有重要意义。
2. 刚体的转动惯量2.1 定义刚体绕轴线转动时，其转动惯量是衡量刚体抵抗转动运动的特性。
转动惯量的大小取决于刚体的质量分布以及轴线的位置和方向。
2.2 转动惯量的计算方法转动惯量可以通过积分计算得到，对于一个质量为m的刚体，其转动惯量可以用以下公式表示： [ I = r^2 dm ] 其中，r是质量元dm到转轴的距离。
对于一些常见的简单形状的刚体，转动惯量可以通过一些公式直接计算得到，例如：- 细杆绕直线轴线转动：[ I = mL^2 ] - 球体绕直径轴线转动：[ I = MR^2 ] - 圆环绕直径轴线转动：[ I = MR^2 ]3. 定轴转动的角动量3.1 定义角动量是描述物体转动的物理量，刚体的角动量可以通过转动惯量和角速度的乘积得到。
3.2 角动量的守恒对于一个孤立系统，如果没有外力矩作用，刚体的角动量将保持不变，这就是角动量守恒定律的内容。
3.3 角动量定理角动量定理描述了外力矩对刚体角动量的影响，它可以表示为以下公式： [ = ] 其中，()是作用在刚体上的外力矩，(L)是刚体的角动量。
4. 牛顿第二定律与角加速度4.1 牛顿第二定律牛顿第二定律描述了刚体转动的加速度与作用力的关系，其公式为： [ = I] 其中，()是作用在刚体上的合外力矩，(I)是刚体的转动惯量，()是刚体的角加速度。
4.2 角加速度的计算对于旋转轴与力矩不垂直的情况，我们可以通过以下公式计算刚体的角加速度：[ = ] 其中，()是力矩与旋转轴之间的夹角。
5. 定轴转动的动能5.1 定义刚体的转动动能是由于其转动而具有的能量，它可以通过转动惯量和角速度的平方的乘积得到。
5.2 动能定理动能定理描述了外力对刚体转动动能的影响，它可以表示为以下公式： [ W = K ] 其中，(W)是作用在刚体上的合外力所做的功，(K)是刚体的转动动能。
刚体的定轴转动
角速度是代数量，其正负表示刚体的转向。角速度为正值时表
明转角随时间而增加，刚体作逆时针转动；反之，转角随时间而减
小，刚体作顺时针转动。
角速度的单位是rad/s。工程上还常用每分钟转过的圈数表示刚
体转动的快慢，称为转速，用n表示，单位是r/min。角速度ω与转速
n之间的换算关系为
2n n
60 30
理论力学
刚体的运动\刚体的定轴转动
刚体的定轴转动
刚体运动时，若刚体内或其延伸部分有一直线始终保持不动， 刚体的这种运动称为定轴转动，简称转动。这条保持不动的直线称 为转轴。显然，刚体转动时，刚体内不在转轴上的各点都在垂直于 转轴的平面内作圆周运动，其圆心都在转轴上，圆的半径为该点到 转轴的垂直距离。
刚体的定轴转动在工程实际中随处可见，例如电动机转子的转 动，胶带轮、齿轮的转动等。
目录
刚体的运动\刚体的定轴转动
1.1 转动方程
设某刚体绕固定轴z转动，如图所示，为确定 该刚体在任一瞬时的位置，过转轴z作一固定平 面Ⅰ，再过转轴z作一与刚体固连、随刚体一起 转动的动平面Ⅱ。这样，该刚体在任一瞬时的位
置就可以用动平面Ⅱ与定平面Ⅰ的夹角确定， 角称为刚体的转角。当刚体转动时，转角是时
间t的单值连续函数，即 (t)
上式称为刚体的转动方程。若转动方程已知，则刚体在任一瞬时的 位置就确定了。因此，转动方程反映了刚体转动的规律。
转角是一个代数量，其正负号的规定如下：从转轴z的正端向 负端看去，逆时针转为正，反之为负。转角的单位是rad。
目录
刚体的运动\刚体的定轴转动
【例6.2】已知汽轮机在启动时主动轴的转动方程为t3，式中 的单位是rad，t的单位是s，求t＝3s时该轴的角速度和角加速度。
刚体定轴转动的转动定律力矩
力矩平衡的条件
静平衡
刚体在转动过程中，如果合力矩 为零，则刚体保持静止状态。
动平衡
刚体在转动过程中，如果合力矩为 零，则刚体保持匀速转动状态。
平衡状态
无论是静平衡还是动平衡，刚体的 平衡状态都满足合力矩为零的条件。
力矩平衡的应用
机械平衡
在机械设计中，通过调整刚体的质量 分布或添加平衡装置，使刚体在转动 过程中满足力矩平衡条件，以保证机 械设备的稳定性和可靠性。
刚体的定轴转动
定轴转动：刚体绕某一固定轴线作旋 转运动。
在定轴转动中，刚体的角速度和角加 速度是矢量，其方向沿固定轴线，而 力矩是改变刚体转动状态的唯一物理 量。
刚体定轴转动的特点
角速度矢量、角加速度矢量和力 矩矢量都与固定轴线平行。
刚体定轴转动时，其上各点的速 度方向与该点到轴线的垂直线段 相垂直，各点的加速度方向与该
实例三：旋转木马的旋转
总结词
旋转木马的旋转是刚体定轴转动的又一实例，通过外力矩的作用，使旋转木马绕轴转动。
详细描述
旋转木马在外力矩的作用下开始转动，当旋转木马转动时，由于摩擦阻力和空气阻力的作用，旋转木 马会逐渐减速并最终停止。
实例四：陀螺的稳定旋转
总结词
陀螺的稳定旋转是刚体定轴转动的最后一个实例，陀螺通过自转保持稳定的旋转状态。
在日常生活和工业生产中，转动 定律也广泛应用于各种旋转运动
的分析和设计。
04
刚体定轴转动的力矩平衡
力矩平衡的概念
力矩平衡
刚体在转动过程中，受到 的力矩之和为零，即合力 矩为零。
力矩
力对转动轴的力矩等于力 和力臂的乘积，其中力臂 是从转动轴到力的垂直距 离。
转动轴
刚体转动的中心轴，可以 是固定的点或线。
刚体定轴转动1基本概念
r 0 .2 4 ( m s
该点的切向加速度
a r 0 .2 (
) 2 .5 ( m s
)
6
) 0 . 105 m s
2
该点的法向加速度
a n r
2
4 2 0 .2
ms 2 31 . 6
作业：P31 1- 5 1-7 (1) 作业要求： 1、习题解答要有解题步骤，若需作图的则按规定要求画图，画图必须
用铅笔和直尺，要有原始公式和数据代入过程，最后所求的物理量 要写单位。
2、布置的习题写在单行作业本的纸上，并在纸的右上角写上班级、 学号、姓名，每班的学习委员收作业时将班上同学交的作业纸
按学号顺序排好后再交给老师。
15
质点运动
转动： 刚体上所有的点都绕同一直线做圆周运动。 转动分为定轴转动和非定轴转动
刚体的定轴转动：
1、转动平面： 垂直于固定转轴的平面
转轴
转动平面
2、刚体的定轴转动的特点: ⑴.各质元都绕转轴在各自的转动平面上 做圆周运动
⑵.各质元运动的线量 v , a 不同，
但角量 , , , a 均相同
与 方向相同，为加速运动，否则为减速运动。
8
匀速转动和匀变速转动的概念 匀速转动： 0 , 为恒量， 0 t 匀变速转动: 当刚体做定轴转动的角加速度 时，刚体做匀变速转动。 为恒量
刚体匀变速转动与质点匀变速直线运动公式对比
9
补充：矢量乘法公式 点乘（标积）：A B A B cos( A , B ) 叉乘（矢积）： A B C 大小 方向
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3
刚体
刚体是特殊的质点系，其上各质点间的相对 位置保持不变。质点系的规律都可用于刚体，而 且考虑到刚体的特点，规律的表示还可较一般的 质点系有所简化。
平动 刚体的运动形式 转动
4
刚体的平动 平动
刚体中所有点的运动
轨迹都保持完全相同。
特点
各点运动状态一样，如： v、a、r 等都
第四章 刚体的转动
陀螺仪
1
研究刚体运动的基本方法 质点系运动定理 加 刚体特性
刚体定轴转动的
动能定理
平动：动量定理
角动量定理
F mac
可以解决刚体的一般运动（平动加转动）
2
刚体 概念
在外力作用下，形状和大小都不发
生变化的物体。(任意两质点间距离保持
不变的特殊质点组。) 说明 (1) 刚体是理想模型
(3) 电动机转动的角加速度为
d m t / t / 2 2 e 540πe rad s dt
19
例题 例2 在高速旋转圆柱形转子可绕垂直 其横截面通过中心的轴转动．开始时，它的 角速度 ω0 0 ，经300 s 后，其转速达到 18 000 r· min-1 ．转子的角加速度与时间成 正比．问在这段时间内，转子转过多少转？
21
例题
d π 2 由 t dt 150 π t 2 得 d t dt 0 150 0 π 3 t rad 450
在 300 s 内转子转过的转数
π 3 4 N (300) 3 10 2π 2π 450
22质点匀变速来自线运动17例题 例1 在高速旋转的微型电动机里，有一 圆柱形转子可绕垂直其横截面并通过中心的 转轴旋转．开始起动时，角速度为零．起动 t / 后其转速随时间变化关系为： m (1 e ) 式中 m 540 r s 1， 2.0 s ．求： (1)t=6 s时电动机的转速．(2)起动后，电动 机在 t=6 s时间内转过的圈数．(3)角加速度 随时间变化的规律．
d 解 令 ct，即 ct ，积分 dt 1 2 t 得 ct d c t d t 0 0 2
20
例题
1 2 ct 2
当 t =300 s 时
18 000 r min
1
600π rad s
1
2 2 600 π π 3 c 2 rad s 2 t 300 75 1 2 π 2 ct t 2 150
14
刚体定轴转动角量与线量的关系 刚体上任意点都 绕同一轴作圆周运动
r
速度大小
v rω
et v
转轴到速度方向的距离
d ω dt
速度方向 沿圆周切线方向
点击进入动画
15
v ω r
刚体定轴转动角量与线量的关系 刚体上任意点都 绕同一轴作圆周运动
at r et r an rω en v
化情况，引入角加速度
矢量 。
刚体 × 基点O
瞬时轴
d dt
方向不一定沿着瞬时轴
13
刚体定轴转动的特点 1) 每一质点均作圆周运动，圆心在转 轴上，圆面为转动平面；
2) 转轴固定， 和 由矢量退化为标 量 和 ；
3) 任一质点运动 , , 均相同，但 不同； v, a 4) 运动描述仅需一个坐标。
(t )
O
z
d P(t)
沿逆时针方向转动 > 0 沿顺时针方向转动 < 0 角位移
r P’(.t+dt)
.
x
(t t ) (t )
10
刚体转动的角速度和角加速度
ω
v
P
d
角速度大小
转向
d lim t 0 t dt
2
en
an
a
et
at
dω d 2 dt dt
2
2 a ret rω en
16
各点加速度
刚体做匀变速定轴转动的角量
当刚体绕定轴转动的α=常量时， 刚体做匀变速转动。
刚体绕定轴作匀 变速转动的角量
0 t
1 2 θ θ 0 0 t t 2 2 2 0 2 ( 0 )
18
例题 解 (1) 将 t=6 s 代入ω m (1 e t / )
ω 0.95ωm 513 r s
1
(2) 电动机在6 s内转过的圈数为
1 6 1 6 t / N ω d t ω ( 1 e ) d t m 2π 0 2π 0 3 2.2110 r
角速度方向
刚体 × 基点O
瞬时轴
点击进入动画
沿瞬 时轴 ， 与 转 向 成右螺旋关系。
11
刚体转动的角速度和角加速度
刚体定轴转动 (一维转动)的转轴 固定不动，其转动 方向可以用角速度 的正、负来表示。
>0
z
z
<0
12
刚体转动的角速度和角加速度
ω
v
P
d
为反映角速度的变
点击进入动画
相同。
点击进入动画
5
刚体的平动 一般可以用连接刚体内任意
两点的直线在运动各个时刻的位
置是否平行来判断刚体的平动。
平动是刚体的基本运动形式
之一。
刚体平动
刚体质心运动
6
刚体的平动
定轴转动 运动中各质元均做圆周运动，且各圆 心都在同一条固定的直线（转轴）上。 定点转动 运动中刚体上只有一点固定不动，整 个刚体绕过该定点的某一瞬时轴线转动。
转动
7
刚体的平面运动 刚体的平面运动
刚体上各点的运动都平行于某一
固定平面的运动。
8
刚体的一般运动
定义 不受任何限制的的任意运动。 一般运动可分解为以下两种刚体的基本运动：
▲ 随基点O（可任选，多数选质心）的平动 ▲ 绕通过基点O的瞬时轴的定点转动
O
O
· ·
O
或
· ·
O
9
刚体转动的角速度和角加速度 角坐标