教学设计《阿波罗尼斯圆及其简单应用》

《阿波罗尼斯圆及其简单应用》教学设计

一．教学目标

根据课程标准与教学内容并结合学生实际，确定本节课的教学目标为：

1.知识与技能

了解阿波罗尼斯圆及其文化背景，掌握阿波罗尼斯圆的简单性质并能应用性质解决问题。

2.过程与方法

通过具体例子引导学生自主合作、探究、抽象概括，对阿波罗尼斯圆由感性认识上升到理性认识的过程，体会从特殊到一般的数学研究方法，渗透数形结合的思想．

3.情感、态度与价值观

通过学生对问题的自主探究，培养学生的独立思考能力和抓主要矛盾解决问题的能力．在问题逐步深入的研究中唤起学生追求真理，乐于创新的情感需求，引发学生渴求知识的强烈愿望，树立科学的人生观、价值观．

二．重难点分析

重点：阿波罗尼斯圆及其性质的理解和应用．

难点：阿波罗尼斯圆性质的推导及其应用．

三．教学过程

（一）引入：由椭圆、双曲线定义提出问题：到两定点距离之比为定值的点的轨迹是什么？

引例点M到椭圆

22

22

1

1312

x y

+=的左焦点和右焦点的距离的比为2:3. 求点M满足的

方程，并画出草图.

设计意图：先提出问题，激发学生进一步探究的欲望.再以课本练习题引入，说明问题源于课本，但又高于课本，提醒学生重视课本，用好课本，发掘课本的潜在价值。

（二）抽象概括：

阿波罗尼斯 (Apollonius of Perga，也有文献上将其名字翻译为“阿波罗尼奥斯”)约公元前262～前190,古希腊人.阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德合称为亚历山大时期的“数学三杰”.在其巨著《圆锥曲线论》给出了一个著名的几何问题：

“在平面上给定相异两点A、B，设点P在同一平面内且满足，P点的

轨迹是个圆”，这个圆我们称之为“阿波罗尼斯圆”，又称阿氏圆.这个结论称作“阿波罗尼斯轨迹定理”．

以阿波罗尼斯圆为背景的考题在历年高考中频频出现，备受青睐。《普通高中数学课程标准（实验）》在不同部分对数学文化的内涵和价值做了阐述，首次明确提出数学课程要“体现数学的文化价值”。

设计意图：抽象概括，形成概念，渗透数学文化，体现课程标准． （三）阿波罗尼斯圆再探究

1.设定点(,0),(,0)(0)A c B c c ->，点P 在同一平面上且满足(0,1)PA PB

λλλ=>≠P 点的

轨迹是以__________为圆心，半径为_________的圆． 2.在平面上给定相异两点A 、B ，点P 在同一平面上且满足

(0,1)PA PB

λλλ=>≠ ，则P 点的轨迹是圆．若此圆与直线AB 交于,M N 两点，则

____,____.MA NA MB

NB

==

由此你能得到什么结论？（提示：以引例为研究对象，再抽象概括）

设计意图：分解难点，提炼重点，从两个不同角度给出阿波罗尼斯圆的快速作

图法，为后面的应用做好铺垫．培养学生合作交流的能力和抽象概括能力．

（四）阿波罗尼斯圆的应用

巩固练习1.（06四川）已知两定点).0,1(),0,2(B A -如果动点P 满足PB PA 2=，则点P 的轨迹所围成的平面图形的面积是________________.

解析：此题若用常规思路先求点P 的轨迹方程，再求半径和面积自然可以求解．但对于填空题大可不必“小题大做”，若应用性质2可以很快确定点P 的轨

迹是以(0,0),(4,0)M N 为直径的圆，则易得半径2r =，面积为4π.也可以先把A 、B 两点向右平移到''( 1.5,0),(1.5,0)A B -，即 1.5,2c λ==，直接代入性质1计算半径和面积.

巩固练习2.（05江苏）圆1O 和圆2O 的半径121,r r ==

，421=O O ，过动点P 分别作圆1O 和圆2O 的切线N M PN PM ,(,分别为切点），使得PN PM 2=，试建立适当坐标

系，求动点P 的轨迹方程.

例1.(08江苏)满足条件BC AC AB 2,2==的ABC ∆面积的最大值是___________.

解析：此题表面上看是解三角形，常规思路可以边长（或角）为自变量建立函数关系式，转化为函数最值问题来处理，但都比较繁琐. 如果换个思路，将三角问题解析化则会有意想不到的效果.

解析：以A 、B 所在直线为x 轴，以线段AB 的中垂线为y 轴建立平面直角坐标系，

则(1,0),(1,0)A B -，由性质1，1,c λ=，点C 的轨迹是圆心为(3,0)，半径

r =ABC ∆底边AB 上高h 的最大值即为上述圆的半径max r h ==，

所以max 1

()22

ABC S ∆=⨯⨯=.

变式训练.在等腰ABC ∆中，BD AC AB ,=是腰AC 上的中线，且,3=BD 则ABC ∆面积的最大值是___________.

解析：此题的隐含条件是AB=2AD, 同题2可求ABD ∆面积的最大值，取其2倍即可解决问题.

思考题：已知点A (-2 , 0)，B (4 , 0)，圆()2

2:416C x y ++=，P 是圆C 上任意一点，问是否存在常数λ，使得

PA

PB

λ=？若存在，求出常数λ；若不存在，请说明理由． 设计意图：巩固提升，突出重点，突破难点，进一步提高学生分析问题和解决问题的能力． （五）课堂总结

(1)在这节课中,你有什么收获? (2)你最感兴趣的是什么? (3)你想继续探究些什么?

再思考

1.关于阿波罗尼斯圆再探究.

2.平面内到两定点的距离之积（平方和、平方差）为定值的点的轨迹是什么？

3.平面内到一定点和一定直线（两直线）的距离之和（差、积、商）为定值的点的轨迹是什么？

设计意图：由学生自己回顾总结本节课探究的知识与方法，在此基础上提出可以继续探究的问题，使本节的总结成为学生凝练提高的平台．

四．板书设计