物理微积分
微积分在物理中的应用举例
微积分在物理中的应用举例
微积分，作为数学中的重要分支，不仅仅是一种抽象的理论，而在现实世界中有着广泛的应用。
特别是在物理学领域，微积分的应用更是无处不在。
本文将通过几个具体的例子来说明微积分在物理中的应用。
运动学中的微积分应用
在研究物体的运动时，我们需要对其位置、速度和加速度进行分析。
而微积分正是运动学中经常使用的工具之一。
例如，对于一个运动的物体，我们可以通过微积分来求解其在不同时刻的位置，速度和加速度之间的关系。
通过对这些关系进行分析，可以更好地理解物体的运动规律。
力学中的微积分应用
在力学中，微积分可被用来分析受力物体的运动。
例如，通过对牛顿第二定律的微积分分析，我们可以得出物体在不同时间下的轨迹和速度变化。
此外，微积分还可以帮助我们计算物体受力时的加速度，从而更好地理解物体的受力情况。
热力学中的微积分应用
在研究热力学问题时，微积分同样扮演着重要角色。
例如，通过微积分可以分析热传导过程中物体温度的变化规律。
此外，微积分还可以用来解决热力学系统中的复杂方程，从而帮助我们更好地理解热力学系统的特性。
结论
通过以上几个例子，我们可以看到微积分在物理学中的重要性和广泛应用。
无论是运动学、力学还是热力学，微积分都扮演着至关重要的角色，帮助我们更好地理解和解决物理学中的问题。
因此，微积分的学习和应用对于物理学研究具有重要意义。
微积分在物理学中的应用
微积分在物理学中的应用微积分，是数学中的一个分支，是研究极限、导数、积分以及无限级数等概念和运算的一门学科。
微积分在物理学中有着广泛的应用。
物理学家们用微积分理论来解决很多物理问题，比如运动学、动力学、热力学、电磁学、光学、量子力学等等。
一、运动学在运动学中，微积分理论被用来推导出质点的速度和加速度，以及曲线上的切线、法线等。
例如，对于一个质点在直线上运动的问题，可以通过微积分求出质点的速度和加速度，进而得到其运动的规律。
对于曲线运动，则可以用微积分求解曲线上的切线和法线，以及曲率等物理量。
二、动力学在动力学中，微积分可以用来求解物体的运动方程和力学变量等。
例如，通过微积分求解牛顿第二定律的微分形式，可以推得物体的运动方程，并且可以求解出物体在不同时间点的位置、速度、加速度等，并且可以预测其未来的运动状态。
三、热力学在热力学中，微积分可以用来求解热力学变量。
例如，通过微积分求解热力学第一定律的微分形式，可以推得热量、内能等热力学变量的微分方程，并且可以利用这些微分方程进行各种热力学计算。
四、电磁学在电磁学中，微积分可以用来计算电场、磁场、电势等物理量。
通过微积分可以求出电场、磁场等物理量的微分、积分形式，并且可以从中得到电势、电势差等计算需要的物理量。
五、光学在光学中，微积分可以用来分析光的传播和折射、反射等现象。
通过微积分可以推导光线的传播路线、光线的折射和反射等现象，并且可以利用微积分的方法求解光学问题。
六、量子力学在量子力学中，微积分可以用来描述微观物理现象。
例如，通过微积分可以求解量子力学的薛定谔方程，进而得到量子态等物理量，并且可以对量子力学中的各种现象进行各种定量计算。
综上所述，微积分在物理学中扮演着重要的角色。
物理学家们用微积分来解决各种物理问题，并且在物理学的各个方面都发挥着重要的作用。
随着微积分理论的不断发展，将有更多的物理问题可以得到解决。
物理竞赛微积分知识点总结
物理竞赛微积分知识点总结1.导数与微分导数是微积分的重要概念，它描述了函数在某一点处的变化率。
对于物理竞赛而言，导数在描述速度、加速度等动力学量时有着重要的应用。
另外，在曲线的切线方程、求解最值等问题中，导数也发挥着重要作用。
微分是导数的一种运算形式，它可以捕捉函数在某一点附近的局部线性变化。
在物理问题中，微分常用于描述微小的变化量，比如位移、速度、加速度等。
2.积分与定积分积分是导数的逆运算，它可以用来求解函数的原函数或不定积分。
在物理竞赛中，积分常用于计算曲线下的面积、求解物理问题中的总量、平均值等。
定积分是对指定区间上的函数值进行积分，它可以用于求解质点在一段时间内的位移、速度、加速度等物理量，还可以用于计算某些物理量的平均值、总量等问题。
3.微积分基本定理微积分基本定理是微积分的核心定理，它建立了积分与导数之间的联系。
第一积分基本定理将不定积分与定积分联系起来，可以将积分问题转化为求解原函数的问题。
第二积分基本定理则给出了定积分的计算方法，它将定积分与不定积分联系在一起，为求解定积分提供了便利。
在物理竞赛中，微积分基本定理在积分问题的求解中起着十分重要的作用。
4.微分方程微分方程是描述变化规律的数学工具，在物理竞赛中经常出现。
一阶微分方程描述了变量的变化率与变量本身之间的关系，它常用于描述弹簧振子、RC电路、衰减问题等。
对于线性微分方程，可以通过特征方程的求解来求解微分方程的通解。
在物理竞赛中，熟练掌握微分方程的解法对于解决物理问题是十分重要的。
5.级数与收敛性级数是无穷个数项的和，它在物理问题中也常常出现。
级数的收敛性是级数是否有意义的重要标志，熟练掌握级数的收敛性判别方法对于求解物理问题十分重要。
常见的级数有等比级数、调和级数、幂级数等，在物理竞赛中需要能够熟练应用级数的性质及收敛性的判别方法。
6.多元函数微积分多元函数微积分是微积分的拓展，它描述的是多元函数的变化规律。
对于物理竞赛而言，多元函数微积分在描述多变量物理量之间的关系、求解多元函数的极值等问题中有着重要的应用。
微积分在物理学中的应用
微积分在物理学中的应用微积分作为数学的一个基础分支，在物理学中发挥着至关重要的作用。
它不仅提供了描述物理现象的数学语言，还为解决复杂的物理问题提供了有力的工具。
本文将探讨微积分在物理学中的几个关键应用。
一、运动学分析在物理学中，运动学研究物体的运动状态和变化规律。
微积分在这里的应用主要体现在速度和加速度的概念上。
速度是位移对时间的导数，而加速度则是速度对时间的导数。
通过微积分，我们可以精确地描述物体运动的瞬时状态，进而深入理解运动的本质。
二、力学系统在力学系统中，微积分用于分析力的作用效果。
牛顿第二定律表明，物体的加速度与作用在其上的合外力成正比，这需要用到微分来描述加速度随时间的变化。
同时，通过积分可以计算出在一定时间内，物体因受力而产生的位移或速度变化。
三、电磁学电磁学是研究电荷产生电场和磁场以及这些场如何影响电荷的科学。
在电磁学中，微积分被用来描述电场和磁场的空间分布。
例如，电势差可以通过电场强度的积分得到，而电流产生的磁场则可以通过安培环路定理来计算，这涉及到对闭合路径的线积分。
四、热力学热力学是研究能量转化以及物质状态变化的学科。
在热力学中，微积分用于计算热量、功和内能等物理量的变化。
例如，通过对温度-熵图的面积积分，可以得到系统的热量变化；而对压强-体积图的面积积分，则可以得到系统对外做的功。
五、量子力学量子力学是研究微观粒子行为的基本理论。
在量子力学中，微积分用于描述波函数的时间演化和空间分布。
薛定谔方程就是一个典型的偏微分方程，它描述了量子态随时间的演变。
通过求解这个方程，可以得到粒子在不同能级的概率分布。
六、光学在光学领域，微积分用于分析光的传播和干涉现象。
波动方程描述了光波的传播特性，而通过积分方法可以解释光的干涉和衍射现象。
例如，通过计算两束光波的相位差积分，可以得到它们相遇时的干涉图样。
总结微积分在物理学中的应用广泛而深刻，它不仅是描述自然现象的语言，也是解决物理问题的工具。
微积分在物理的应用
微积分在物理的应用
微积分在物理学中有广泛的应用，主要体现在以下几个方面：
1. 速度和加速度的计算：微积分可以用于计算物体的速度和加
速度。
通过对物体的位置函数进行微分，可以得到物体的速度函数；再对速度函数进行微分，可以得到物体的加速度函数。
2. 曲线及面积的计算：微积分可以用于计算曲线和面积。
通过
对曲线进行积分，可以得到曲线下的面积；再通过对面积进行微分，可以得到曲线的长度。
同样地，对于曲面，可以通过对曲面进行积分，得到曲面下的体积。
3. 力学问题的求解：微积分可以用于求解力学问题，例如弹性
势能、动能和势能等。
通过对力学方程进行微分和积分，可以得到物体的运动状态和能量变化情况。
4. 电磁学问题的求解：微积分也可以用于求解电磁学问题。
例如，通过对带电粒子在电场中的运动轨迹进行微分和积分，可以得到带电粒子的加速度和速度等信息。
总之，微积分是物理学中非常重要的工具，可以帮助我们理解物理学中的许多现象和问题，同时也为我们提供了解决这些问题的方法。
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物理微积分知识点总结
物理微积分知识点总结微积分作为数学的一个分支，是研究函数的变化规律、求积分与求导数的学科。
在物理学中，微积分是非常重要的工具，它可用于描述物体的运动规律、研究场景中的能量变化、求解力学问题等方面。
本文将从宏观角度对物理微积分知识进行总结，主要包括导数、积分、微分方程和级数发散收敛等方面。
一、导数导数是微积分中一个重要的概念，它描述了函数在某一点的瞬时变化率。
对于给定函数y=f(x)，函数在点x处的导数可以用极限的概念表示，即导数f'(x)等于函数在x+h处减去x处的函数值除以h，当h趋近于0时得到：f'(x)=lim(h->0)(f(x+h)-f(x))/h导数的应用十分广泛，如物理学中的速度、加速度等概念都与导数有关。
例如，对于物体的位移函数s(t)，它的导数s'(t)就是物体在t时刻的瞬时速度；再对速度函数求导得到加速度函数就可以描述物体在某一时刻的瞬时加速度。
二、积分积分是导数的逆运算，它描述了函数在某一区间上的总体变化量。
对于给定函数y=f(x)，函数在区间[a,b]上的积分可以用定积分的概念表示，即积分{a到b}f(x)dx=lim(n->∞)(b-a)/n*Σi=1到n(f(xi*)),其中xi*是区间[a,b]上的任意取点。
物理学中使用积分的情况也非常多，例如能量的积分就描述了物体在某一过程中的总体变化量，物理场景中的力对位移的积分可以求得功等。
三、微分方程微分方程是描述自变量与因变量之间的关系，并且含有导数或者积分的方程。
它在物理学中的应用同样很广泛，例如描述运动物体的牛顿运动定律可以形式化为微分方程，电路中的电压和电流关系也可以用微分方程来描述。
微分方程的求解有很多不同的方法，其中包括分离变量法、变换法、特解法等。
这些方法可以用来求解一阶或者高阶的微分方程，常见的微分方程类型有线性微分方程、非线性微分方程等。
四、级数的发散和收敛级数是一种无穷项的无穷和，对于数列a1,a2,a3,...,an,...，它的部分和Sn=a1+a2+...+an，当n趋近于无穷时得到级数的和。
微积分在物理中的应用举例
微积分在物理中的应用举例微积分是一门研究变化的数学学科，它在物理学中有着广泛的应用。
物理学家们利用微积分的工具和概念描述自然现象、建立模型、解决问题。
下面将通过几个具体的例子来说明微积分在物理学中的应用。
1. 运动学中的速度与加速度在物理学中，我们经常需要描述物体的运动状态，包括速度和加速度。
速度是位置随时间的变化率，而加速度则是速度随时间的变化率。
这些概念可以通过微积分来表达和计算。
例如，一个物体的位移可以表示为速度关于时间的积分，而速度则可以表示为加速度关于时间的积分。
微积分使得我们能够准确描述和分析物体的运动规律。
2. 牛顿第二定律牛顿第二定律是描述力和物体运动之间关系的基本定律，它可以用微积分来推导和解释。
根据牛顿第二定律，物体的加速度与作用在物体上的合力成正比，通过微积分可以将这个关系表达为一个微分方程。
通过对微分方程的求解，我们可以得到物体在不同情况下的运动方程，从而预测物体的运动轨迹和速度变化。
3. 电场力和电势能在电动力学中，微积分也广泛应用于描述电场力和电势能。
电场力是描述电荷之间相互作用的力，而电势能则是电场力做功的能量。
微积分可以帮助我们计算电场力和电势能之间的关系，以及在不同电场分布下的电势能变化。
这种分析对于研究电路中电荷流动、电场能量转换等现象非常重要。
总结微积分在物理学中的应用是十分广泛的，它为物理学提供了强大的工具和方法。
通过微积分，我们可以更深入地理解自然现象，推导和解释物理原理，建立物理模型并做出预测。
以上是仅仅是几个微积分在物理学中应用的例子，实际上微积分在物理学中的应用远不止这些，它在整个物理学研究中都扮演着重要的角色。
微积分在物理学中的应用
微积分在物理学中的应用微积分是数学的一个重要分支，它研究的是变化、运动以及量的变化。
它的基本思想在物理学中具有广泛的应用，涵盖了从简单的运动到复杂的力学系统、热力学、电磁学甚至量子力学等多个领域。
本文将探讨微积分在物理学中的一些关键应用，阐明其理论基础和实际重要性。
一、微积分的基本概念在讨论微积分在物理学中的应用之前，有必要简要理解微积分的基本概念。
微积分主要由两部分组成：微分和积分。
微分主要用于研究函数在某一特定点的变化率，而积分则用于计算函数在一个区间内的累积量。
这两者通过微积分基本定理紧密相连，前者为后者提供了定义和理论基础。
二、运动学中的应用运动学是物理学的一个分支，专注于物体的运动描述。
在运动学中，微积分被用于处理位置、速度和加速度之间的关系。
位置与速度假设一个物体在直线上的位置可以用时间t的函数x(t)来表示。
通过对位置函数进行微分，可以得到物体的瞬时速度，即：反之，如果已知物体的速度v(t)，我们可以对其进行积分以求得位置x(t)：[ x(t) = v(t) dt ]加速度与速度类似地，加速度是速度随时间变化的速率。
其表达为：[ a(t) = ]同样，若已知加速度a(t)，则可以通过积分求得速度：[ v(t) = a(t) dt ]这些公式使得我们能够通过已知的条件推导出另一个量，极大地方便了运动分析。
三、力学中的应用力学是研究物质及其运动规律的一门科学，其中涉及到很多与微积分密切相关的概念。
牛顿第二定律牛顿第二定律指出，一个物体所受的总外力等于其质量与加速度的乘积。
数学表达为：[ F = m a ]考虑到加速度a可以表示为速度对时间的导数，我们有：因此，力F也可以被视为对动量p = mv（即质量与速度的乘积）时间变化率的描述：[ F = ]这表明，在系统分析中，通过微分我们能理解物体动量变化与受力之间深刻而又紧密的关系。
动能定理此外，微积分也被广泛应用于动能定理中。
动能是与物体运动状态相关的一种能量形式，其表达式为：[ KE = mv^2 ]当受力做功W时，系统的动能改变可以表示为：[ W = KE_f - KE_i = _{x_i}^{x_f} F dx ]此处，功W是通过移位过程中的力F与位移x之间关系而得出的，这展示了微积分在分析能量转化过程中的重要性。
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微积分的运用——雨雾整理试用稿。
（所有信息来自互联网。
）微积分知识自从2001年引入高中数学教材，并把它作为高考数学必考内容以来，一直到今天，高中物理教材编纂者、高考物理命题者、高中物理知识传授者对微积分知识采取的不是把它作为一种处理物理问题的方法传授给学生，而采取的是回避态度。
这一方面说明了高中物理编纂者、高考物理命题者、高中物理知识传授者思想的严重滞后，另一方面也不能真正体现数学这一学科的工具性。
一．教材编写者不要回避微积分：在现行高中物理教材中，教材编写者在解释某些概念和推导某些公式时，为了避开微积分，致使概念含混不清，给高中学生的正常学习带来了误解。
例如：在人民教育出版社物理室编著的全日制普通高级中学教科书(必修加选修)2002年审查通过的版本中，关于变压器原、副线圈电压关系的推导过程是这样的：推导：设原线圈的匝数为1n ，副线圈的匝数为2n ，穿过闭合铁心的磁通量为Φ，原、副线圈中产生的感应电动势分别为21E E 、（如图1所示）。
t n E ∆∆Φ=11………………………⑴ t n E ∆∆Φ=22………………………⑵ 由于是理想变压器，原、副线圈的电阻可忽略不计，故：11E U =……………………………⑶ 22E U =……………………………⑷图1由以上四式得2121n n U U =，此即为理想变压器原副线圈的电压与线圈匝数的关系式。
这种方法的推导，笔者认为存在不足：由⑴⑵两式求得的感应电动势是平均值，变压器的输入、输出电压是交流电的有效值，平均值等于有效值存在知识性错误。
笔者认为正确的方法应引入微积分，推导如下：推导：如上图所示，因为变压器输入的是正弦交流电，所以穿过原、副线圈的磁通量随时间按下列规律变化：t BS ωsin =Φ………………⑸对⑸求导得t BS tωωcos =∆∆Φ……………………⑹由⑴⑵⑹得：t BS n E ωωcos 11=…………………⑺t BS n E ωωcos 22=…………………⑻由此可知，变压器输入、输出均为正弦交流电。
又由正弦交流电有效值U 和最大值m ε的关系2m U ε=可知：211ωBS n U =……………………⑼222ωBS n U =……………………⑽由⑶⑷⑼⑽得2121n n U U =当然，编者可能认为在利用⑴⑵两式时，取0→∆t ，笔者认为也不妥，因为这样求得的是感应电动势的瞬时值，有效值跟瞬时值也不是一个概念。
二．高考命题者不要回避微积分：高考命题者在高考命题时，故意避开微积分，命的题实在避不开微积分，设计的答案也是取的一些中间过程或一些特殊情况，对高中学生的正常学习是一种错误引导。
例如：（2003年高考物理江苏卷）如图2所示，两根平行金属导轨固定在水平桌面上，每根导轨每米的电阻为m r ⋅Ω=1.00，导轨的端点P 、Q 用电阻可忽略的导线相连，两导轨间的距离m l 20.0=。
有随时间变化的匀强磁场垂直于桌面，已知磁感应强度B 与时间t 的关系为kt B =，比例系数s T k /020.0=，一电阻不计的金属杆可在导轨上无摩擦地滑动，在滑动过程中保持与导轨垂直，在0=t 时刻，金属杆紧靠在P 、Q 端，在外力作用下，杆以恒定的加速度从静止开始向导轨的另一端滑动，求在s t 0.6=时金属杆所受的安培力。
命题者设计的答案：此题的关键是解出t 时刻感应电动势的表达式。
以a 表示金属杆运动的加速度，在t 时刻，金属杆与初始位置的距离221at L =①，此时杆的速度at v =②，这时，杆与导轨构成的回路面积lL S =③，回路中的感应电动势Blv S t B E +∆∆=④，其中k tkt t t k t B =∆-∆+=∆∆)(⑤，将①②③⑤式代入④式得223klat E =。
这样的解法，存在两点误区：⑴为什么感应电动势可以写成Blv S tBE +∆∆=；⑵S tB∆∆解出的应该是感应电动势的平均值，而题目中要求的是t 时刻的瞬时值。
再解：由感应电动势的导数形式可得Blv dt dB S dt dS B dt dB S dt BS d dt d E +=+===)(φ⑥。
将①②③⑤式代入⑥式可得223klat E =。
由于磁感应强度B 随时间均匀变化（kt B =），所以dtdB是定值，S t B ∆∆解出的感应电动势的平均值与瞬时值相等，命题者设计的答案利用了这一特殊性。
可这样的处理对高中物理教学起不到好的指导作用，如高考命题者设计答案时，利用微积分处理，一方面显得更简单明了，另一方面对高中物理教学能起到更好的引导作用。
图2三．高中物理教师课堂不能回避微积分：直到今天，绝大多数的高中物理教师在课堂上碰到微积分知识处理物理问题时，采取的不是把它作为一种解决物理问题的方法教授给学生，而是采取了回避态度，这直接影响了学生理解物理问题的深度和广度。
例如：（2000广东高考）面积很大的水池，水深为H ，水面上浮着一正方体木块。
木块边长为a ，密度为水的1/2，质量为m 。
开始时，木块静止，有一半没入水中，如图所示。
现用力F 将木块缓慢地压到池底。
不计摩擦。
求⑴从木块刚好完全没入水中到停在池底的过程中，池水势能的该变量。
⑵从开始到木块刚好完全没入水的过程中，力F 所做的功。
教师在给学生讲解此高考题时，只给学生讲解该题提供的标准答案，殊不知，这严重地束缚了学生知识面的拓展，不利于素质教育的推行。
笔者以第⑵问为例采用另一种更具有普遍意义的方法分析：从开始到木块刚好没入水的过程中，对木块运用动能定理得：02F aW mg W +⨯-=浮①，只需求出浮力做的功即可，2442113284aa W F ds ga sds ga ga mga ρρρ===-=⎰⎰浮浮水水水②，将②代入①得力F 所做的功mga W F 41=。
在国家推行素质教育的今天，大力推广新课标，作为一名物理教育工作者，应紧跟时代步伐，充分调动学生的积极性和主观能动性。
这就要求高中物理教材编纂者、高考物理命题者把好航标，高中物理知识传授者紧紧把握航标，充分应用数学这一工具，进一步拓展学生理解问题的深度和广度。
图3伟大的科学家牛顿，有很多伟大的成就，建立了经典物理理论，比如：牛顿三大定律，万有引力定律等；另外，在数学上也有伟大的成就，创立了微积分。
微积分（Calculus ）是研究函数的微分、积分以及有关概念和应用的数学分支。
微积分是建立在实数、函数和极限的基础上的。
微积分最重要的思想就是用"微元"与"无限逼近"，好像一个事物始终在变化你很难研究，但通过微元分割成一小块一小块，那就可以认为是常量处理，最终加起来就行。
微积分学是微分学和积分学的总称。
它是一种数学思想，‘无限细分’就是微分，‘无限求和’就是积分。
无限就是极限，极限的思想是微积分的基础，它是用一种运动的思想看待问题。
微积分堪称是人类智慧最伟大的成就之一。
在高中物理中，微积分思想多次发挥了作用。
1、解决变速直线运动位移问题匀速直线运动，位移和速度之间的关系x=vt ；但变速直线运动，那么物体的位移如何求解呢？例1、汽车以10m/s 的速度行驶，到某处需要减速停车，设汽车以等减速2m/s 2刹车，问从开始刹车到停车，汽车走了多少公里？【解析】 现在我们知道，根据匀减速直线运动速度位移公式at v v +=02021at t v x +=就可以求得汽车走了0.025公里。
但是，高中所谓的的匀变速直线运动的位移公式是怎么来的，其实就是应用了微积分思想：把物体运动的时间无限细分。
在每一份时间微元内，速度的变化量很小，可以忽略这种微小变化，认为物体在做匀速直线运动，因此根据已有知识位移可求；接下来把所有时间内的位移相加，即“无限求和”，则总的位移就可以知道。
现在我们明白，物体在变速直线运动时候的位移等于速度时间图像与时间轴所围图形的“面积”，即2021at t v x +=。
【微积分解】汽车在减速运动这段时间内速度随时间变化的关系t at v v 2100-=+=，从开始刹车到停车的时间t=5s ， 所以汽车由刹车到停车行驶的位移km t t t at v dt at v dt t v x 025.0)10()2()()(50252050050=-=+=+==⎰⎰小结：此题是一个简单的匀变速直线运动求位移问题。
对一般的变速直线运动，只要结合物理知识求速度关于时间的函数，画出v －t 图像，找“面积”就可以。
或者，利用定积分就可解决.2、解决变力做功问题恒力做功，我们可以利用公式直接求出Fs W =；但对于变力做功，我们如何求解呢？例2：如图所示，质量为m 的物体以恒定速率v 沿半径为R 的竖直圆轨道运动，已知物体与竖直圆轨道间的摩擦因数为μ，求物体从轨道最低点运动到最高点的过程中，摩擦力做了多少功。
【解析】物体沿竖直圆轨道从最低点匀速率运动到最高点的过程中，在不同位置与圆环间的正压力不同，故而摩擦力为一変力，本题不能简单的用s F W ⋅=来求。
可由圆轨道的对称性，在圆轨道水平直径上、下各取两对称位置A 和B ，设OA 、OB 与水平直径的夹角为θ。
在θ∆=∆R S 的足够短圆弧上，△S 可看作直线，且摩擦力可视为恒力，则在A、B 两点附近的△S 内，摩擦力所做的功之和可表示为：)(θμθμ∆-+∆-=∆R N R N W B A f 又因为车在A 、B 两点以速率v 作圆周运动，所以：综合以上各式得：θμ∆-=∆22mv W f故摩擦力对车所做的功：22222mv mv mv W W f f πμθμθμ-=∆∑-=∆-∑=∆∑= 【微积分解】物体在轨道上受到的摩擦力N F f μ=，从最低点运动到最高点摩擦力所做的功为22022)(mv d mv d R N R N W B A f πμθμθμμπ-=-=--=⎰⎰小结：这题是一个复杂的变力做功问题，利用公式直接求功是难以办到的。
利用微积分思想，把物体的运动无限细分，在每一份位移微元内，力的变化量很小，可以忽略这种微小变化，认为物体在恒力作用下的运动；接下来把所有位移内的功相加，即“无限求和”，则总的功就可以知道。
在高中物理中还有很多例子，比如我们讲过的瞬时速度，瞬时加速度、感应电动势、引力势能等都用到了微积分思想，所有这些例子都有它的共性。
作为大学知识在高中的应用，虽然微积分高中不要求，但他的思想无不贯穿整个高中物理。
“微积分思想”丰富了我们处理问题的手段，拓展了我们的思维。
我们在学习的时候，要学会这种研究问题的思想方法，只有这样，在紧张的学习中，我们才能做到事半功倍。
Rmv mg N R mv mg N B A 22sin sin =+=-θθ求解在立体斜面上滑动的物体的速度一物体放在斜面上，物体与斜面间的摩擦因数μ恰好满足αμtg =，α为斜面的倾角。