高中数学：求函数值域的方法十三种

高中数学：求函数值域的十三种方法一、观察法（☆）二、配方法（☆）三、分离常数法（☆）四、反函数法（☆）五、判别式法（☆）六、换元法（☆☆☆）七、函数有界性八、函数单调性法（☆）九、图像法（数型结合法）（☆）十、基本不等式法十一、利用向量不等式十二、一一映射法十三、多种方法综合运用一、观察法：从自变量x 的范围出发，推出()y f x =的取值范围。

【例1】求函数1y =+的值域。

0≥11+≥，∴函数1y =+的值域为[1,)+∞。

【例2】求函数x 1y =的值域。

【解析】∵0x ≠∴0x 1≠显然函数的值域是：),0()0,(+∞-∞ 【例3】已知函数()112--=x y ，{}2,1,0,1-∈x ，求函数的值域。

【解析】因为{}2,1,0,1-∈x ，而()()331==-f f ，()()020==f f ，()11-=f 所以：{}3,0,1-∈y 注意：求函数的值域时，不能忽视定义域，如果该题的定义域为R x ∈，则函数的值域为{}1|-≥y y 。

二．配方法：配方法式求“二次函数类”值域的基本方法。

形如2()()()F x af x bf x c =++的函数的值域问题，均可使用配方法。

【例1】求函数225,[1,2]y x x x =-+∈-的值域。

【解析】将函数配方得：∵由二次函数的性质可知：当x=1∈[-1,2]时，，当时，故函数的值域是：[4，8]【变式】已知232x x ≤，求函数f x x x ()=++21的最值。

【解析】由已知232x x ≤，可得032≤≤x ，即函数f x ()是定义在区间032，⎡⎣⎢⎤⎦上的二次函数。

将二次函数配方得f x x ()=+⎛⎝ ⎫⎭+12342，其对称轴方程x =-12，顶点坐标-⎛⎝ ⎫⎭⎪1234，，且图象开口向上。

显然其顶点横坐标不在区间032，⎡⎣⎢⎤⎦⎥内，如图2所示。

函数f x ()的最小值为f ()01=，最大值为f 32194⎛⎝ ⎫⎭=。

图2【例2】若函数2()22,[,1]f x x x x t t =-+∈+当时的最小值为()g t ，（1）求函数()g t （2）当∈t [-3,-2]时，求g(t)的最值。

（说明：二次函数在闭区间上的值域二点二分法，三点三分法）【解析】(1)函数f x x ()()=-+112，其对称轴方程为x =1，顶点坐标为（1，1），图象开口向上。

图1图2图3①如图1所示，若顶点横坐标在区间[]t t ，+1左侧时，有1<t ，此时，当x t =时，函数取得最小值f x f t t ()()()min ==-+112。

②如图2所示，若顶点横坐标在区间[]t t ，+1上时，有t t ≤≤+11，即01≤≤t 。

当x =1时，函数取得最小值f x f ()()min ==11。

③如图3所示，若顶点横坐标在区间[]t t ，+1右侧时，有t +<11，即t <0。

当x t =+1时，函数取得最小值f x f t t ()()min =+=+112综上讨论，g(t)=⎪⎩⎪⎨⎧<+≤≤>+-=0110,11,1)1()(22mint t t t t x f (2)221(0)()1(01)22(1)t t g t t t t t ⎧+≤⎪=<<⎨⎪-+≥⎩(,0]t ∈-∞时，2()1g t t =+为减函数∴在[3,2]--上，2()1g t t =+也为减函数∴min ()(2)5g t g =-=，max ()(3)10g t g =-=【例3】已知2()22f x x x =-+，当[1]()x t t t ∈+∈R ，时，求()f x 的最大值．【解析】由已知可求对称轴为1x =．（1）当1t >时，2min max ()()23()(1)2f x f t t t f x f t t ∴==-+=+=+，．（2）当11t t +≤≤，即01t ≤≤时，．根据对称性，若2121≤++t t 即102t ≤≤时，2max ()()23f x f t t t ==-+．若2121>++t t 即112t <≤时，2max ()(1)2f x f t t =+=+．（3）当11t +<即0t <时，2max ()()23f x f t t t ==-+．综上，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤+->+=21,3221,2)(22maxt t t t t x f当a <0时⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<-≤-≤->-=)(2)()(2)2()(2)()(876max如图如图如图，，，m a b m f n a b m a b f n a b n f x f f x f m b a m n f n b a m n ()()()()()()()min =-≥+-<+⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪，，如图如图212212910【例4】(1)求2f (x )x 2ax 1=++在区间[-1,2]上的最大值。

(2)求函数)(a x x y --=在]1,1[-∈x 上的最大值。

【解析】(1)二次函数的对称轴方程为x a =-，当1a 2-<即1a 2>-时，max f (x )f (2)4a 5==+；当1a 2-≥即1a 2≤-时，max f (x )f (1)2a 2=-=+。

综上所述：max12a 2,a 2f (x )14a 5,a 2⎧-+≤-⎪⎪=⎨⎪+>-⎪⎩。

(2)函数4)2(22a a x y +--=图象的对称轴方程为2a x =，应分121≤≤-a ，12-<a ，12>a 即22≤≤-a ，2-<a 和2>a 这三种情形讨论，下列三图分别为（1）2-<a ；由图可知max ()(1)f x f =-（2）a ≤-22≤；由图可知max ()()2af x f =（3）2>a 时；由图可知max ()(1)f x f =∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>≤≤--<-=2,)1(22,2(2,)1(a f a af a f y 最大；即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-≤≤--<+-=2,122,42,)1(2a a a a a a y 最大【例5】已知二次函数2f (x )ax (2a 1)x 1=+-+在区间3,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为3，求实数a 的值。

【分析】这是一个逆向最值问题，若从求最值入手，需分a 0>与a 0<两大类五种情形讨论，过程繁琐不堪。

若注意到最大值总是在闭区间的端点或抛物线的顶点处取到，因此先计算这些点的函数值，再检验其真假，过程就简明多了。

具体解法为：（1）令2a 1f ()32a --=，得1a 2=-此时抛物线开口向下，对称轴方程为x 2=-，且32,22⎡⎤-∉-⎢⎥⎣⎦，故12-不合题意；（2）令f (2)3=，得1a 2=此时抛物线开口向上，闭区间的右端点距离对称轴较远，故1a 2=符合题意；（3）若3f ()32-=，得2a 3=-此时抛物线开口向下，闭区间的右端点距离对称轴较远，故2a 3=-符合题意。

综上，1a 2=或2a 3=-【变式】已知函数【解析】2()(1)1,[3,2]f x a x a x =++-∈-（1）若0,()1,a f x ==，不符合题意。

（2）若0,a >则max ()(2)81f x f a ==+由814a +=，得38a =（3）若0a <时，则max ()(1)1f x f a =-=-由14a -=，得3a =-综上知38a =或3a =-【例6】已知函数2()2x f x x =-+在区间[,]m n 上的最小值是3m 最大值是3n ，求m ，n 的值。

【解法1】讨论对称轴中1与,,2m nm n +的位置关系。

①若，则max min ()()3()()3f x f n n f x f m m==⎧⎨==⎩解得②若12m nn +≤<，则max min()(1)3()()3f x f n f x f m m ==⎧⎨==⎩，无解③若12m nm +≤<，则max min()(1)3()()3f x f n f x f n m ==⎧⎨==⎩，无解④若，则max min ()()3()()3f x f m nf x f n m==⎧⎨==⎩，无解综上，4,0m n =-=【解法2】由211()(1)22f x x =--+，知113,,26n n ≤≤，则[,](,1]m n ⊆-∞，又∵在[,]m n 上当x 增大时)(x f 也增大所以max()()3()()3f xf n nf x f m m ==⎧⎨==解得4,0m n =-=【例7】求函数y =的值域.【解法1】22)4(122)5)(3(253--+=--+-+-=x x x x x y 显然]4,2[)4(12222∈--+=x y故函数的值域是：]2,2[∈y 【解法2】显然3≤x≤5,2232sin ([0,])52cos 2x x πθθθ-=∈⇒-=,cos )2sin()2]4y πθθθ=+=+∈三、分离常数法：分子、分母是一次函数得有理函数，可用分离常数法（分母少，分子多），通过该方法可将原函数转化为为)(x f k y ±=(为k 常数)的形式此类问题一般也可以利用反函数法。

【例1】求函数12++=x x y 的值域【解析】利用恒等变形，得到：111++=x y ，容易观察知x ≠-1,y ≠1，得函数的值域为y ∈(-∞,1)∪(1,+∞)。

注意到分数的分子、分母的结构特点，分离出一个常数后，再通过观察或配方等其他方法易得函数值域。

【例2】求函数122+--=x x xx y 的值域。

【解析】观察分子、分母中均含有x x -2项，可利用部分分式法；则有43)21(11111122222+--=+--+-=+--=x x x x x x x x x y 不妨令：)0)(()(1)(,4321()(2≠=+-=x f x f x g x x f 从而)∞+⎢⎣⎡∈43)(x f 注意：在本题中应排除0)(=x f ，因为)(x f 作为分母。

所以 ⎝⎛⎥⎦⎤∈43,0)(x g 故)1,31⎢⎣⎡-∈y 【变式】求下列函数的值域：(1)231--=x x y (2)1122+-=x x y .答案：（１）值域),(,(3131+∞⋃-∞∈y （２）值域y ∈[-1,1]四、反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系，通过求反函数的定义域，得到原函数的值域。

【例1】求函数1212xxy -=+的值域。