上海市鲁迅中学2020-2021学年高一上学期期中考试数学试题答案和解析

合集下载

高一上学期数学期中考试试卷含答案(共5套,上海市)

上海高一第一学期期中考试数学试卷一. 填空题 1. 不等式13x≤的解集是 2. 已知正数x 、y 满足1x y +=，则14x y+的最小值为 3. 已知关于x 的不等式210kx kx -+≤解集为空集，则实数k 的取值范围是4.32a b-= （其中0a >，0b >）5. 不等式||4|1|x x <-+的解集是6. 已知关于x 的方程221(1)104x k x k -+++=有两个实数根1x 、2x ，若2212126x x x x +=-15，则k 的值为 7. 若不等式|4||3|x x a +--≤对一切实数x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是 8. 已知关于x 的不等式2(5)()0mx x m --<的解集为A ，若2A ∈且3A ∉，则实数m 的取值范围为9. 已知集合2{(,)|1}A x y y x ax ==-+-，{(,)|3,03}B x y x y x =+=≤≤，若A B 中有且仅有一个元素，则实数a 的取值范围10. 已知正数a 、b 满足2(2)4a b a b +=，则a b +的最小值为二. 选择题11. 下列条件中，使“020x x >⎧⎨-<⎩”成立的充分不必要条件是（）A. 01x <<B. 02x <<C. 03x <<D. 11x -<< 12. 若,,a b c ∈R ，且a b >，则下列不等式中，一定成立的是（）A. a b b c +>-B. ac bc ≥C.20c a b>- D. 2()0a b c -≥ 13. 设全集U =R ，{|4A x x =<-或3}x ≥，{|16}B x x =-<<，则集合{|13}x x -<<是（） A. AB B. A B C. A B D. A B14. 定义：区间[,]a b ，(,]a b ，(,)a b ，[,)a b 的长度均为b a -，若不等式1212m x x +≥--（0m ≠）的解集是互不相交区间的并集，则该不等式的解集中所有区间的长度之和为l ，则（）A. 当0m >时，l =B. 当0m >时，3l m=C. 当0m <时，l =D. 当0m <时，3l m=-三. 解答题15.（1）已知35a b m ==，且112a b+=，求实数m 的值；（2）已知lg 2a =，lg3b =，试用a 、b 表示2log 3，12log 25.16.（1）当1x >时，求证：2211x x x x+>+；（2）已知x ∈R ，21a x x =-+，4b x =-，22c x x =-，求证：a 、b 、c 至少有一个不小于1.17. 已知函数2()(41)4f x ax a x =-++（a ∈R ）.（1）若关于x 的不等式()f x b ≥的解集为{|12}x x ≤≤，求实数a 、b 的值；（2）解关于x 的不等式()0f x >.18. 设关于x 的不等式2(21)(2)(1)0x a x a a -+++->和2()()0x a x a --<的解集分别为A 和B . （1）求集合A ；（2）是否存在实数a ，使得A B =R ？如果存在，求出a 的值，如果不存在，请说明理由；（3）若A B ≠∅，求实数a 的取值范围.四. 附加题19. 对任意a ∈R ，|1||1|a a ++-的最小值为A .（1）若三个正数x 、y 、z 满足x y z A ++=，证明：2222x y z y z x++≥；（2）若三个正数x 、y 、z 满足x y z A ++=，且2221(2)(1)()3x y z m -+-++≥恒成立，求实数m 的取值范围.20. 已知集合12{,,,}n A a a a =⋅⋅⋅中的元素都是正整数，且12n a a a <<⋅⋅⋅<，集合A 具有性质M ：对任意的,x y A ∈，且x y ≠，都有||25xy x y -≥. （1）判断集合{1,2,3,4}是否具有性质M ；（2）求证：111125n n a a --≥；（3）求集合A 中元素个数的最大值，并说明理由.参考答案一. 填空题1. 1(,0)[,)3-∞+∞ 2. 9 3. [0,4) 4. a 5. 53(,)22- 6. 4 7. 7a ≥ 8. 55[,)(4,9]329. 103a >或3a = 10. 2【10解析】223240a b a b +-=，求根公式得b a ==-+，∴2a b +===二. 选择题11. A 12. D 13. C 14. B三. 解答题15.（1）m =（2）b a ，222aa b-+. 16.（1）证明略；（2）证明略.17.（1）1a =-，6b =；（2）当0a <时，解集为1{|4}x x a<<；当0a =时，解集为{|4}x x <；当104a <<时，解集为{|4x x <或1}x a >；当14a =时，解集为{|4}x x ≠；当14a >时，解集为1{|x x a<或4}x >.18.（1）{|2A x x a =>+或1}x a <-；（2）不存在；（3）01a <<. 19.（1）证明略；（2）(,0][2,)-∞+∞.20.（1）具有性质M ；（2）证明略；（3）集合A 中元素个数的最大值是9.上海高一第一学期数学期中考试试卷满分：100分考试时间：90分钟一、填空题（每小题3分,满分36分）1．已知集合{}1,A x =，则x 的取值范围是___________________.2．命题“若0>a 且0>b ，则0ab >”的否命题为__ _ ____ . 3．已知集合M ⊂≠{4,7,8},则这样的集合M 共有个.4．用描述法表示“平面直角坐标系内第四象限的点组成的集合”：______________ ___. 5．设全集}7,6,5,4,3,2,1{=U ，集合}5,3,1{=A ，集合}5,3{=B ，() .U A C B ⋂= 6.11 .x<不等式的解集是 7．不等式｜2x －1｜＜ 2的解集是 . 8. 已知0x >，当2x x+取到最小值时，x 的值为_____ _. 9．已知集合}1|{≤=x x M ，}|{t x x P >=，若M P ⋂=∅，则实数t 的取值范围是 .10. 关于x 的不等式22210x kx k k -++->的解集为{},x x a x R ≠∈，则实数a =___________.11. 已知24120x x +->是8x a -≤≤的必要非充分条件，则实数a 的取值范围是______________________。

2020-2021高一数学上期中试卷(及答案)(5)

2020-2021高一数学上期中试卷(及答案)(5)一、选择题1．在下列区间中，函数()43xf x e x =+-的零点所在的区间为（）A ．1,04⎛⎫-⎪⎝⎭B ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．11,42⎛⎫⎪⎝⎭D ．13,24⎛⎫⎪⎝⎭2．如图，点O 为坐标原点，点(1,1)A ，若函数xy a =及log b y x =的图象与线段OA 分别交于点M ，N ，且M ，N 恰好是线段OA 的两个三等分点，则a ，b 满足．A ．1a b <>D ．1a b >>3．若函数()(),1231,1x a x f x a x x ⎧>⎪=⎨-+≤⎪⎩是R 上的减函数，则实数a 的取值范围是( )A ．2,13⎛⎫⎪⎝⎭B ．3,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．23,34⎛⎤⎥⎝⎦D ．2,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭4．三个数20.420.4,log 0.4,2a b c ===之间的大小关系是（）A ．a c b <⎩，若存在三个不同实数a ，b ，c 使得()()()f a f b f c ==，则abc 的取值范围是（） A ．(0,1)B ．[-2,0)C ．(]2,0-D ．（0,1）7．设奇函数()f x 在[1,1]-上是增函数，且(1)1f -=-，若函数2()21f x t at ≤-+对所有的[1,1]x ∈-都成立，当[1,1]a ∈-时，则t 的取值范围是（） A ．1122t -≤≤ B ．22t -≤≤C ．12t ≥或12t ≤-或0t = D ．2t ≥或2t ≤-或0t =8．已知函数21(1)()2(1)a x x f x x x x x ⎧++>⎪=⎨⎪-+≤⎩在R 上单调递增，则实数a 的取值范围是 A ．[]0,1B ．(]0,1C ．[]1,1-D ．(]1,1- 9．函数f(x)=23x x +的零点所在的一个区间是 A ．（-2，-1）B ．（-1,0）C ．（0,1）D ．（1,2）10．若函数6(3)3,7(),7x a x x f x a x ---≤⎧=⎨>⎩单调递增,则实数a 的取值范围是( )A ．9,34⎛⎫⎪⎝⎭B ．9,34⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．()1,3D ．()2,311．若a ＞b ＞0，0＜c ＜1，则 A ．log a c ＜log b cB ．log c a ＜log c bC ．a c ＜b cD ．c a ＞c b12．设a ＝2535⎛⎫ ⎪⎝⎭，b ＝3525⎛⎫ ⎪⎝⎭ ，c ＝2525⎛⎫ ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a>c>bB ．a>b>cC ．c>a>bD ．b>c>a二、填空题13．若函数()24,43,x x f x x x x λλ-≥⎧=⎨-+<⎩恰有2个零点，则λ的取值范围是______.14．函数()12x f x =-的定义域是__________．15．已知1240x x a ++⋅>对一切(],1x ∞∈-上恒成立，则实数a 的取值范围是______． 16．函数f(x)为奇函数，且x>0时，f(x)＝x ＋1，则当x<0时，f(x)＝________. 17．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (x ＋4)＝f (x －2)．若当x ∈[－3,0]时，f (x )＝6－x ，则f (919)＝________.18．设()f x 是定义在R 上的奇函数，且()y f x =的图像关于直线12x =对称，则(1)(2)(3)(4)(5)f f f f f ++++= ．19．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且当0x ≥时，2()2f x x x =-．若关于x 的方程()0f x m -=有四个不同的实数解，则实数m 的取值范围是_____． 20．已知函数在区间，上恒有则实数的取值范围是_____.三、解答题21．某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益()f x 与投资额x 成正比，且投资1万元时的收益为18万元，投资股票等风险型产品的收益()g x 与投资额x 的算术平方根成正比，且投资1万元时的收益为0.5万元，（1）分别写出两种产品的收益与投资额的函数关系；（2）该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎样分配资金能使投资获得最大收益，其最大收益为多少万元？ 22．设函数()(0.af x x x x=+≠且x ，)a R ∈．（1）判断()f x 的奇偶性，并用定义证明；（2）若不等式()12262xxxf <-++在[]0,2上恒成立，试求实数a 的取值范围；（3）()11,0,12x g x x x -⎡⎤=∈⎢⎥+⎣⎦的值域为.A 函数()f x 在x A ∈上的最大值为M ，最小值为m ，若2m M >成立，求正数a 的取值范围．23．已知()f x 是定义在()1,1-上的奇函数，且当01x <<时，()442xx f x =+，（1）求()f x 在()1,0-上的解析式；（2）求()f x 在()1,0-上的值域；（3）求13520172018201820182018f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L 的值. 24．已知函数()22f x ax ax b =-+()0a >在[]2,3上的值域为[]1,4. （1）求a ，b 的值；（2）设函数()()f xg x x=，若存在[]2,4x ∈，使得不等式()22log 2log 0g x k x -≥成立，求k 的取值范围.25．已知()y f x =是定义域为R 的奇函数，当[)0,x ∈+∞时，()22f x x x =-. (1)写出函数()y f x =的解析式；(2)若方程()f x a =恰3有个不同的解，求a 的取值范围. 26．设a 为实数，函数()()21f x x x a x R =+-+∈．（1）若函数()f x 是偶函数，求实数a 的值；（2）若2a =，求函数()f x 的最小值；（3）对于函数()y m x =，在定义域内给定区间[],a b ，如果存在()00x a x b <<，满足()0()()m b m a m x b a-=-，则称函数()m x 是区间[],a b 上的“平均值函数”，0x 是它的一个“均值点”．如函数2y x =是[]1,1-上的平均值函数，0就是它的均值点．现有函数()21g x x mx =-++是区间[]1,1-上的平均值函数，求实数m 的取值范围．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【解析】【分析】先判断函数()f x 在R 上单调递增，由104102f f ⎧⎛⎫< ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪> ⎪⎪⎝⎭⎩,利用零点存在定理可得结果.【详解】因为函数()43xf x e x =+-在R 上连续单调递增，且114411221143204411431022f e e f e e ⎧⎛⎫=+⨯-=-<⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪=+⨯-=-> ⎪⎪⎝⎭⎩, 所以函数的零点在区间11,42⎛⎫⎪⎝⎭内，故选C. 【点睛】本题主要考查零点存在定理的应用，属于简单题.应用零点存在定理解题时，要注意两点：（1）函数是否为单调函数；（2）函数是否连续.2．A解析：A 【解析】【分析】由,M N 恰好是线段OA 的两个三等分点，求得,M N 的坐标，分别代入指数函数和对数函数的解析式，求得,a b 的值，即可求解. 【详解】由题意知(1,1)A ，且,M N 恰好是线段OA 的两个三等分点，所以11,33M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，22,33N ⎛⎫ ⎪⎝⎭，把11,33M ⎛⎫ ⎪⎝⎭代入函数xy a =，即1313a =，解得127a =，把22,33N ⎛⎫ ⎪⎝⎭代入函数log b y x =，即22log 33b =，即得3223b ⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以1a b <<. 故选A. 【点睛】本题主要考查了指数函数与对数函数的图象与性质的应用，其中解答熟练应用指数函数和对数函数的解析式求得,a b 的值是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.3．C解析：C 【解析】【分析】由题意结合分段函数的解析式分类讨论即可求得实数a 的取值范围. 【详解】当1x >时，x a 为减函数，则01a <<，当1x ≤时，一次函数()231a x -+为减函数，则230a -<，解得：23a >，且在1x =处，有：()12311a a -⨯+≥，解得：34a ≤，综上可得，实数a 的取值范围是23,34⎛⎤ ⎥⎝⎦. 本题选择C 选项. 【点睛】对于分段函数的单调性，有两种基本的判断方法：一保证各段上同增(减)时，要注意上、下段间端点值间的大小关系；二是画出这个分段函数的图象，结合函数图象、性质进行直观的判断．4．B解析：B 【解析】20.4200.41,log 0.40,21<<Q ,01,0,1,a b c b a c ∴<<∴<<，故选B.5．D解析：D 【解析】【分析】利用换元法将函数转化为f （t ）=e+1，根据函数的对应关系求出t 的值，即可求出函数f （x ）的表达式，即可得到结论【详解】设t=f （x ）-e x ，则f （x ）=e x +t ，则条件等价为f （t ）=e+1，令x=t ，则f （t ）=e t +t=e+1， ∵函数f （x ）为单调递增函数， ∴t=1， ∴f （x ）=e x +1，即f （ln5）=e ln1.5+1=1.5+1=2.5，故选：D ．【点睛】本题主要考查函数值的计算，利用换元法求出函数的解析式是解决本题的关键．6．C解析：C 【解析】【分析】画出函数图像，根据图像得到20a -<≤，1bc =，得到答案. 【详解】()201911,02log ,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪>⎩，画出函数图像，如图所示：根据图像知：20a -<≤，20192019log log b c -=，故1bc =，故20abc -<≤. 故选：C .【点睛】本题考查了分段函数的零点问题，画出函数图像是解题的关键.7．D解析：D 【解析】试题分析：奇函数()f x 在[]1,1-上是增函数, 且()11f -=-,在[]1,1-最大值是21,121t at ∴≤-+,当0t ≠时, 则220t at -≥成立, 又[]1,1a ∈-,令()[]22,1,1r a ta t a =-+∈-, 当0t >时,()r a 是减函数, 故令()10r ≥解得2t ≥, 当0t <时,()r a 是增函数, 故令()10r -≥,解得2t ≤-,综上知，2t ≥或2t ≤-或0t =,故选D. 考点：1、函数的奇偶性与单调性能；2、不等式恒成立问题.【方法点晴】本题主要考查函数的奇偶性与单调性能、不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：①分离参数()a f x ≤恒成立（min ()a f x ≤即可）或()a f x ≥恒成立（max ()a f x ≥即可）；②数形结合（()y f x =图象在()y g x =上方即可）；③讨论最值min ()0f x ≥或max ()0f x ≤恒成立；④讨论参数.本题是利用方法①求得t 的范围.8．C解析：C 【解析】x ⩽1时,f (x )=−(x −1)2+1⩽1，x >1时,()()21,10a a f x x f x x x=++'=-…在(1,+∞)恒成立，故a ⩽x 2在(1,+∞)恒成立，故a ⩽1，而1+a +1⩾1，即a ⩾−1，综上,a ∈[−1,1]，本题选择C 选项.点睛：利用单调性求参数的一般方法：一是求出函数的单调区间，然后使所给区间是这个单调区间的子区间，建立关于参数的不等式组即可求得参数范围；二是直接利用函数单调性的定义：作差、变形，由f (x 1)－f (x 2)的符号确定参数的范围，另外也可分离参数转化为不等式恒成立问题．9．B解析：B 【解析】试题分析：因为函数f(x)=2x +3x 在其定义域内是递增的，那么根据f(-1)=153022-=-<,f （0）=1+0=1>0,那么函数的零点存在性定理可知，函数的零点的区间为（-1,0），选B ．考点：本试题主要考查了函数零点的问题的运用．点评：解决该试题的关键是利用零点存在性定理，根据区间端点值的乘积小于零，得到函数的零点的区间．10．B解析：B 【解析】【分析】利用函数的单调性，判断指数函数底数的取值范围，以及一次函数的单调性，及端点处函数值的大小关系列出不等式求解即可【详解】解：Q 函数6(3)3,7(),7x a x x f x a x ---⎧=⎨>⎩…单调递增，()301373a a a a⎧->⎪∴>⎨⎪-⨯-≤⎩解得934a ≤<所以实数a 的取值范围是9,34⎡⎫⎪⎢⎣⎭．故选：B ．【点睛】本题考查分段函数的应用，指数函数的性质，考查学生的计算能力，属于中档题．11．B解析：B 【解析】试题分析：对于选项A ，a b 1gc 1gclog c ,log c lg a lg b==，01c <<Q ，10gc ∴<，而0a b >>，所以lg lg a b >，但不能确定lg lg a b 、的正负，所以它们的大小不能确定;对于选项B ，c lg lg log ,log lg lg c a b a b c c ==,lg lg a b >，两边同乘以一个负数1lg c改变不等号方向，所以选项B 正确;对于选项C ，利用cy x =在第一象限内是增函数即可得到c c a b >，所以C 错误;对于选项D ，利用xy c =在R 上为减函数易得a b c c <，所以D 错误.所以本题选B.【考点】指数函数与对数函数的性质【名师点睛】比较幂或对数值的大小,若幂的底数相同或对数的底数相同,通常利用指数函数或对数函数的单调性进行比较；若底数不同,可考虑利用中间量进行比较.12．A解析：A 【解析】试题分析：∵函数2()5xy =是减函数，∴c b >；又函数25y x =在(0,)+∞上是增函数，故a c >.从而选A考点：函数的单调性.二、填空题13．【解析】【分析】根据题意在同一个坐标系中作出函数和的图象结合图象分析可得答案【详解】根据题意在同一个坐标系中作出函数和的图象如图：若函数恰有2个零点即函数图象与轴有且仅有2个交点则或即的取值范围是：解析：(1，3](4,)+∞U ．【解析】【分析】根据题意，在同一个坐标系中作出函数4y x =-和243y x x =-+的图象，结合图象分析可得答案．【详解】根据题意，在同一个坐标系中作出函数4y x =-和243y x x =-+的图象，如图：若函数()f x 恰有2个零点，即函数()f x 图象与x 轴有且仅有2个交点，则13λ<…或4λ>，即λ的取值范围是：(1，3](4,)+∞U 故答案为：(1，3](4,)+∞U ．【点睛】本题考查分段函数的图象和函数的零点，考查数形结合思想的运用，考查发现问题解决问题的能力.14．【解析】由得所以所以原函数定义域为故答案为解析：(],0-∞【解析】由120x -≥，得21x ≤，所以0x ≤，所以原函数定义域为(],0-∞，故答案为(],0-∞.15．【解析】【分析】根据题意分离出参数a 后转化为求函数的最值即可通过换元后利用二次函数的性质可求得最大值【详解】可化为令由得则在上递减当时取得最大值为所以故答案为【点睛】本题考查二次函数的性质函数恒成立解析：3,4∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭【解析】【分析】根据题意分离出参数a 后转化为求函数的最值即可，通过换元后利用二次函数的性质可求得最大值．【详解】1240xxa ++⋅>可化为212224xx x x a --+>-=--，令2x t -=，由(],1x ∈-∞，得1,2t ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，则2a t t >--，2213()24t t t --=-++在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上递减，当12t =时2t t --取得最大值为34-，所以34a >-．故答案为3,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭．【点睛】本题考查二次函数的性质、函数恒成立问题，考查转化思想，考查学生解决问题的能力．属中档题.16．【解析】当x<0时－x>0∴f(－x)＝＋1又f(－x)＝－f(x)∴f(x)＝故填解析：1【解析】当x <0时，－x >0，∴f (－x )＝1，又f (－x )＝－f (x )，∴f (x )＝1,故填1.17．6【解析】【分析】先求函数周期再根据周期以及偶函数性质化简再代入求值【详解】由f(x+4)=f(x-2)可知是周期函数且所以【点睛】本题考查函数周期及其应用考查基本求解能力解析：6 【解析】【分析】先求函数周期，再根据周期以及偶函数性质化简()()9191f f =-，再代入求值. 【详解】由f (x +4)=f (x -2)可知,()f x 是周期函数,且6T =,所以()()()919615311f f f =⨯+=()16f =-=.【点睛】本题考查函数周期及其应用，考查基本求解能力.18．0【解析】试题分析：的图像关于直线对称所以又是定义在上的奇函数所以所以考点：函数图象的中心对称和轴对称解析：0 【解析】试题分析：()y f x =的图像关于直线12x =对称，所以()(1)f x f x =-，又()f x 是定义在R 上的奇函数，所以(5)(15)(4)(4)f f f f =-=-=-，(3)(13)(2)(2)f f f f =-=-=-，(1)(11)(0)0f f f =-==，所以(1)(2)(3)(4)(5)0f f f f f ++++=.考点：函数图象的中心对称和轴对称.19．【解析】【分析】若方程有四个不同的实数解则函数与直线有4个交点作出函数的图象由数形结合法分析即可得答案【详解】因为函数是定义在R 上的偶函数且当时所以函数图象关于轴对称作出函数的图象：若方程有四个不同解析：(1,0)-【解析】【分析】若方程()0f x m -=有四个不同的实数解，则函数()y f x =与直线y m =有4个交点，作出函数()f x 的图象，由数形结合法分析即可得答案．【详解】因为函数()f x 是定义在R 上的偶函数且当0x ≥时，2()2f x x x =-，所以函数()f x 图象关于y 轴对称，作出函数()f x 的图象：若方程()0f x m -=有四个不同的实数解，则函数()y f x =与直线y m =有4个交点，由图象可知：10m -<<时，即有4个交点. 故m 的取值范围是(1,0)-，故答案为：(1,0)- 【点睛】本题主要考查了偶函数的性质以及函数的图象，涉及方程的根与函数图象的关系，数形结合，属于中档题.20．(131)【解析】【分析】根据对数函数的图象和性质可得函数f （x ）＝loga （2x ﹣a ）在区间1223上恒有f （x ）＞0即0<a<10<2x-a<1或a>12x-a>1分别解不等式组可得答案【详解】解析：【解析】【分析】根据对数函数的图象和性质可得，函数f （x ）＝log a （2x ﹣a ）在区间[]上恒有f （x ）＞0，即，或，分别解不等式组，可得答案．【详解】若函数f （x ）＝log a （2x ﹣a ）在区间[]上恒有f （x ）＞0，则，或当时，解得＜a ＜1，当时，不等式无解.综上实数的取值范围是（，1）故答案为（，1）．【点睛】本题考查的知识点是复合函数的单调性，及不等式的解法，其中根据对数函数的图象和性质构造不等式组是解答的关键，属于中档题．三、解答题21．（1）()11,(),(0)82f x xg x x x ==≥；（2）投资债券等稳健型产品为16万元，投资股票等风险型产品为4万元，投资收益最大为3万元. 【解析】【分析】（1）投资债券等稳健型产品的收益()f x 与投资额x 成正比，投资股票等风险型产品的收益()g x 与投资额x 的算术平方根成正比，用待定系数法求这两种产品的收益和投资的函数关系；（2）由（1）的结论，设投资股票等风险型产品为x 万元，则投资债券等稳健型产品为20x -万元，这时可构造出一个关于收益y 的函数，然后利用求函数最大值的方法进行求解. 【详解】（1）依题意设()1,()f x k x g x k x ==，1211(1),(1)82f kg k ====，()1,()0)8f x x g x x ==≥；（2）设投资股票等风险型产品为x 万元，则投资债券等稳健型产品为20x -万元，1(20)()(20)8y f x g x x =-+=-212)3,0208x =-+≤≤Q ，2,4x ==万元时，收益最大max 3y =万元， 20万元资金，投资债券等稳健型产品为16万元，投资股票等风险型产品为4万元，投资收益最大为3万元. 【点睛】本题考查函数应用题，考查正比例函数、二次函数的最值、待定系数法等基础知识与基本方法，属于中档题.22．（1）奇函数；见解析（2）7a <-；（3）15,153⎛⎫⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）可看出()f x 是奇函数，根据奇函数的定义证明即可；（2）由题意可得出22(2)162x xa <-++⋅在[]0,2上恒成立，然后令2x t =，[]1,4t ∈，从而得出2261y t t =-++，只需min a y <，配方求出y 的最小值，即可求解；（3）容易求出1,13A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，从而得出1,13x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，2()()min max f x f x >，可讨论a ：容易得出0a ≤时，不符合题意；0a >时，可知()f x 在(上是减函数，在)+∞上是增函数，从而可讨论109a <≤，1a ≥和119a <<，然后分别求出()f x 在1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值和最大值，根据2m M >求出a 的范围即可．【详解】()()1f x Q 的定义域为()(),00,-∞⋃+∞，且()()af x x f x x-=-+=--， ()f x ∴为奇函数；()2若不等式()12262x x xf <-++在[]0,2上恒成立，即122622xxx x a +<-++在[]0,2上恒成立，即22(2)162x x a <-++⋅在[]0,2上恒成立，令2x t =，则[]1,4t ∈，223112612()22y t t t =-++=--+， ∴当4t =，即2x =时，函数取最小值7-，故7a <-；()()123111x g x x x -==-+++是10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的减函数， ()g x ∴在10,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上的值域为()][11,0,123A g g ⎡⎤⎛⎫== ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，()f x ∴在区间1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦上，恒有2()()min max f x f x >，0a <①时，()f x 在1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，()()11max f x f a ∴==+，11()333min f x f a ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，12313a a ⎛⎫∴+>+ ⎪⎝⎭，解得115a >，不满足0a <；0a =②时，()f x x =在1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数，1()1,()3max min f x f x ∴==，1213⨯<，不满足题意；0a >③时，()f x 在(上单调递减，在)+∞上单调递增，13≤，即109a <≤时，()f x 在1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数，11()333min f x f a ⎛⎫∴==+ ⎪⎝⎭，()()11max f x f a ==+，12313a a ⎛⎫∴+>+ ⎪⎝⎭，解得11159a <≤；1≥，即1a ≥时，()f x 在1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，()()11min f x f a ∴==+，11()333max f x f a ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，()12133a a ∴+>+，解得513a ≤<；13)13<<，即119a <<时，()f x 在13⎡⎢⎣上单调递减，在⎤⎦上单调递增，()min f x f∴==()113,1133f a f a ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，当1313a a +≥+，即113a ≤<时，133a >+，a <<，113a ∴≤<，当1313a a +<+，即1193a <<时，1a >+，解得77a -<<+1193a ∴<<，综上，a 的取值范围是15,153⎛⎫ ⎪⎝⎭．【点睛】本题考查了奇函数的定义及证明，指数函数的单调性，配方求二次函数最值的方法，换元法求函数最值的方法，函数()af x x x=+的单调性，根据函数单调性求函数在闭区间上的最值的方法，考查了计算和推理能力，属于中档题． 23．（1）()1124x f x -=+⋅（2）2133,⎛⎫-- ⎪⎝⎭（3）10092 【解析】【分析】（1）令0x <<-1,则01x <-<,代入解析式可求得()f x -.再根据奇函数性质即可求得()f x 在()1,0-上的解析式;（2）利用分析法,先求得当0x <<-1时,4x 的值域,即可逐步得到()f x 在()1,0-上的值域; （3）根据函数解析式及所求式子的特征,检验()()1f x f x +-的值,即可由函数的性质求解. 【详解】（1）当0x <<-1时,01x <-<,()4142124x x xf x ---==++⋅, 因为()f x 是()1,1-上的奇函数所以()()1124x f x f x -=--=+⋅, （2）当0x <<-1时,14,14x⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,3124,32x ⎛⎫+⋅∈ ⎪⎝⎭,121,12433x -⎛⎫∈-- ⎪+⋅⎝⎭,所以()f x 在()1,0-上的值域为21,33⎛⎫-- ⎪⎝⎭；（3）当01x <<时,()442x x f x =+,()()11444411424242424x x x x x x xf x f x --+-=+=+=++++⋅, 所以1201732015520131201820182018201820182018f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=+== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L , 故135********20182018201820182f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L . 【点睛】本题考查了奇函数的性质及解析式求法,利用分析法求函数的值域,函数性质的推断与证明,对所给条件的分析能力要求较高,属于中档题. 24．(1)1,1a b == (2) 1,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【解析】【分析】（1）先求得函数()f x 的对称轴，然后根据函数()f x 在[]2,3上的单调性列方程组，解方程组求得,a b 的值.（2）由（1）求得函数()f x 的解析式，进而求得()g x 的解析式，将不等式()22log 2log 0g x k x -≥分离常数2k ，利用换元法，结合二次函数的性质，求得k 的取值范围. 【详解】（1）由已知可得()()21f x a x b a =-+-，对称轴为1x =. 因为0a >，所以()f x 在[]2,3上单调递增，所以()()21,34,f f ⎧=⎪⎨=⎪⎩即1,44,a b a a b a +-=⎧⎨+-=⎩解得1,1,a b =⎧⎨=⎩（2）由（1）可得()221f x x x =-+，则()()12f x g x x x x==+-. 因为()22log 2log 0g x k x -≥，所以2221log 22log log x k x x+-≥. 又[]2,4x ∈，所以()2221221log log k xx ≤-+.令21log t x=，则2221k t t ≤-+. 因为[]2,4x ∈，所以1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦. 记()221h t t t =-+，1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以当12t =时，()max 14h t =，所以124k ≤，解得18k ≤，故k 的取值范围是1,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.【点睛】本小题主要考查根据二次函数的对称轴、单调性和值域求解析式，考查存在性问题的求解策略，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.25．(1) ()222,02,0x x x f x x x x ⎧-≥=⎨--<⎩ (2) ()1,1-【解析】【分析】（1）由奇函数的定义求解析式，即设0x <，则有x -＞0，利用()f x -可求得()f x ，然后写出完整的函数式；（2）作出函数()f x 的图象，确定()f x 的极值和单调性，由图象与直线y a =有三个交点可得a 的范围．【详解】解：(1)当(),0x ∈-∞时，()0,x -∈+∞，()f x Q 是奇函数，()()f x f x ∴=--=-()()2222x x x x ⎡⎤---=--⎣⎦()222,02,0x x x f x x x x ⎧-≥∴=⎨--<⎩.(2)当[)0,x ∈+∞时，()()22211f x x x =-=--，最小值为1-；当(),0x ∈-∞，()()22211f x x x x =--=-+，最大值为1.据此可作出函数的图象，如图所示，根据图象得，若方程()f x a =恰有3个不同的解，则a 的取值范围是()1,1-. 【点睛】本题考查函数奇偶性，考查函数零点与方程根的关系．在求函数零点个数（或方程解的个数）时，可把问题转化为一个的函数图象和一条直线的交点个数问题，这里函数通常是确定的函数，直线是动直线，由动直线的运动可得参数取值范围． 26．（1）；（2）；（3）()0,2【解析】试题分析：（1）考察偶函数的定义，利用通过整理即可得到；（2）此函数是一个含有绝对值的函数，解决此类问题的基本方法是写成分段函数的形式，()2221,221{3,2x x x f x x x x x x +-≥=+-+=-+<，要求函数的最小值，要分别在每一段上求出最小值，取这两段中的最小值；（3）此问题是一个新概念问题，这种类型都可转化为我们学过的问题，此题定义了一个均值点的概念，我们通过概念可把题目转化为“存在()01,1x ∈-，使得()0g x m =”从而转化为一元二次方程有解问题．试题解析：解：（1）()f x Q 是偶函数，()()f x f x ∴-=在R 上恒成立，即()2211x x a x x a -+--+=+-+，所以x a x a +=-得0ax =x R ∈Q 0a ∴=（2）当2a =时，()2221,221{3,2x x x f x x x x x x +-≥=+-+=-+<所以()f x 在[)2,+∞上的最小值为()25f =， ()f x 在(),2-∞上的的最小值为f （）＝，因为＜5，所以函数()f x 的最小值为．（3）因为函数()21g x x mx =-++是区间[]1,1-上的平均值函数，所以存在()01,1x ∈-，使()0(1)(1)1(1g g g x --=--）而(1)(1)1(1g g m --=--），存在()01,1x ∈-，使得()0g x m =即关于x 的方程21x mx m -++=在()1,1-内有解；由21x mx m -++=得210x mx m -+-=解得121,1x x m ==-所以111m -<-<即02m << 故m 的取值范围是()0,2考点：函数奇偶性定义；分段函数求最值；含参一元二次方程有解问题．。

上海市上海中学2020-2021学年第一学期高一数学期中考试卷

4. l本题满分 IO 分）已知关寸;x的方程竺二二已二过尘主).
(l)若方程在区间[-1,1]上有实根，求实数a的取值范围；
{e[ a (2)若方程有两个空妇'.'且
点， 10J求实数的最大值．
-- . l
:
} 5. (本题满分12分）设n是正整数，集合A={a/a=(t"片，... t,. ),tk E{0,1},k=I,2,…，n'
·"
C的值．
2. (本题满分 10 分消吓列不等式：
2
少lx-11 >(豆）
'·2x2 -3x-5 (2) 3x2 -13x+4
�1.
I
3. (本匙满分JO分）为f倡导“节舫减排，绿色生态”，朵企业采用新工艺，把企业生
4产0．0中吨:排:>，f放o展O的多二为�t6壬化0h0碳o吨 "转，化H为处种理成可本利y用的(兀化）T与产月品处，已理知缸该仰（单吨位�）旬�乏月✓�的向_o、o的处函理数迅关砐少系可为
�
.
值范围是．
二、选择题（每题 4 分，共 16 分）
]t
-J,
�- ✓2 _, ， l.· 若泸= -1, 则已上已一等于（
' ' '. "一�,
a +a
）
·(A) 2-2✓2
/z (B) 打
伲叶L忙 (C) 2✓2-1
(D) °2✓2�1
2. 用反一一证．法．．一证明： ” 已知 a,be�, a2 +b2 =0, 求证： a=b=O"时，应假设（
.
a,'b c .
(A} I

上海市上海中学2020-2021学年高一上学期期中数学试题 (1)

上海市上海中学【最新】高一上学期期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．若集合2{|20}M x x x =+=，{0,1,2}N =，则M N ⋃=________2．不等式4021x x -<-的解是________ 3．函数2()41([1,1])f x x x x =-++∈-的最大值等于____________.4．命题“若1x =且2y =，则3x y +=”的逆否命题是________5．若集合7{|||}5x x Z x m ∈-<且中只有一个元素，则实数m 的取值范围是________ 6．已知“125m x m -<<+”是“23x <<”成立的必要非充分条件，请你写出符合条件的实数m 的一个值________7．已知正实数x 、y 满足22x y xy +=，则x y +的最小值为________8．若集合2{|320}A x x x =-+≤，{|}B x x a =<，若A B ⊆，则最小的整数a 为_______9．若关于x 的不等式|1|||2x x a a -+-<上的解集为∅，则实数a 的取值范围是________10．关于x 的不等式210x kx k -+-<，当(1,2)x ∈时恒成立，则实数k 的取值范围是____11．若三个二次函数2443y x ax a =+-+，22(1)y x a x a =+-+，222y x ax a =--+表示的图像中至少有一条与x 轴有交点，则实数a 的取值集合是________12．上海中学在每学年的上学期会举行体育嘉年华活动，假设在今年的活动中共设了8个体育项目，高一某班的班主任参加了其中的若干个项目，甲、乙、丙三位同学猜测该老师参加的项目见下表：（“×”表示未参加，“√”表示参加）老师告诉甲、乙、丙：“你们分别猜对5次、5次、6次”，由此请你猜测该老师参加的体育项目编号依次为________二、单选题13．设,x y R ∈，“||||1x y +>”一个充分条件是（）A ．||1x ≥B ．||1x y +≥C ．2y ≤-D ．1||2x ≥或1||2y ≥ 14．不等式||x x x >的解集是（） A ．{|01}x x <或1}x <- C ．{|1x x >或10}x -<<D ．{|1x x <-或01}x << 15．对三个正实数a 、b 、c ，下列说法正确的是（）A ．存在（a 、b 、c ）的一组值，使得1a b +、1b c +、1c a +均小于2B ．存在（a 、b 、c ）的一组值，使得1a b +、1b c +、1c a +中恰有两个小于2 C ．对（a 、b 、c ）任意值，1a b +、1b c +、1c a+都不小于2 D ．对（a 、b 、c ）任意值，1a b +、1b c +、1c a +中至多有两个不小于216．已知非空集合M 满足：对任意x M ∈，总有2x M ∉M ，若{}0,1,2,3,4,5M ⊆，则满足条件的M 的个数是（）A ．11B ．12C ．15D ．16三、解答题17．设二次函数2()f x x ax b =++的图像过原点，且集合{|()}A x f x x ==为单元集，求a 、b 的值.18．解下列不等式：（1）21331x x -<-；（2）2|22||21|x x x -+>-.19．已知集合2{|20}A x x px q =+-=，22{|420}B x x qx q p =+-+=（其中p 、q 为实数），判断“1p q ==”是“()1A B ∈”的什么条件，并说明理由.20．已知函数2()(1)||f x x x x a =+--.（1）若1a =-，解不等式()1f x >；（2）是否存在实数a ，使不等式()23f x x ≥-对一切实数x ∈R 恒成立？若存在，求出a 的取值范围，若不存在，请说明理由.21．已知二次函数2()f x ax bx c =++（0a >）.（1）若1a =，图像()f x 与x 轴的两个不同交点的横坐标都在(2,1)--内，求证：(2)(0,1)f -∈；（2）若存在0x Z ∈，满足01|()|4f x ≤，则称0x 为函数()f x 的一个“近似整零点”，若()f x 有四个不同的“近似整零点”，求a 的最大值.参考答案1．{2,0,1,2}-【解析】【分析】计算求得集合M ，根据并集定义求得结果.【详解】{}{}2202,0M x x x =+==- {}2,0,1,2MN ∴=- 本题正确结果：2,0,1,2【点睛】本题考查集合运算中的并集运算，属于基础题.2．1(,4)2【分析】将分式不等式转化为一元二次不等式，解一元二次不等式求得结果.【详解】由4021x x -<-得：()()4210x x --<，解得：142x << 1,42x ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭本题正确结果：1,42⎛⎫⎪⎝⎭ 【点睛】本题考查分式不等式的求解，关键是能够将分式不等式转化为一元二次不等式，属于基础题. 3．【解析】试题分析：∵函数()()[]()2241251,1f x x x x x =-++=--+∈-，∴函数在上是增函数，故当时，函数取得最大值为，故答案为．考点：二次函数在闭区间上的最值.4．若3x y +≠，则1x ≠或2y ≠ 【分析】根据逆否命题定义直接写出结果.【详解】由逆否命题定义可得原命题的逆否命题为：“若3x y +≠，则1x ≠或2y ≠”本题正确结果：若3x y +≠，则1x ≠或2y ≠【点睛】本题考查命题中逆否命题的定义,注意或与且的交换，属于基础题.5．23(,]55【分析】解绝对值不等式可得7755m x m -<<+且0m >，由75y x =-图象关于75x =对称可知整数解为1x =或2，分别在两种情况下得到不等式组，解不等式组求得结果.【详解】由75x m -<得：7755m x m -<<+且0m > 75y x =-图象关于75x =对称 ∴当整数解为1x =时，7015725m m ⎧≤-<⎪⎪⎨⎪+≤⎪⎩，解得：2355m <≤ 当整数解为2x =时，7157235m m ⎧-≥⎪⎪⎨⎪<+≤⎪⎩，无解综上所述：23,55m ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦ 本题正确结果：23,55⎛⎤⎥⎝⎦【点睛】本题考查根据集合中元素的个数求解参数范围问题，关键是能够根据不等式的解，确定整数解的可能的取值，从而构造出不等式组.6．0（答案不唯一，只需满足13m -<<即可）【分析】根据必要非充分条件的定义可知解集的包含关系，从而得到不等式组，解不等式组求得m 范围后，写出一个符合范围的值即可.【详解】由必要非充分条件的定义可知：12512253m m m m -<+⎧⎪-≤⎨⎪+≥⎩，解得：13m -≤≤，经检验m=-1或3时，满足题意，∴符合条件的实数m 的一个值为0（答案不唯一，只需满足13m -≤≤即可）【点睛】本题考查根据必要非充分条件求解参数值的问题，属于常考题型.7．32【分析】将已知等式变为1112y x +=，利用()112x y x y y x ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭可构造出符合基本不等式的形式，利用基本不等式可求得最小值.【详解】由22x y xy +=得：1112y x += ()113222x y x y x y y x y x ⎛⎫∴+=++=++ ⎪⎝⎭ 0x ，0y > 0x y ∴>，02y x>2x y y x ∴+≥=2x y y x =，即y =时取等号） x y ∴+的最小值为32+本题正确结果：32+ 【点睛】本题考查利用基本不等式求解和的最小值的问题，关键是能够灵活运用和为1的式子构造出符合基本不等式的形式.8．3【分析】求解出集合A 后，根据集合的包含关系可求得2a >，从而得到最小的整数a 的值.【详解】由题意得：()(){}{}12012A x x x x x =--≤=≤≤ A B ⊆ 2a ∴> ∴最小的整数a 为3本题正确结果：3【点睛】本题考查根据集合的包含关系求解参数值的问题，属于基础题.9．1,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【分析】当0a ≤时，解集为∅，满足题意；当0a >时，利用绝对值三角不等式可求得11x x a a -+-≥-，根据解集为∅可得12a a -≥，解不等式求得结果.【详解】当0a ≤时，解集为∅，满足题意当0a >时，()111x x a x x a a -+-≥---=-不等式解集为∅ 12a a ∴-≥，即12a a -≥或12a a -≤-，解得：13a ≤ 103a ∴<≤ 综上所述：1,3a ⎛⎤∈-∞ ⎥⎝⎦本题正确结果：1,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【点睛】本题考查根据绝对值不等式的解集求解参数范围的问题，涉及到绝对值三角不等式的应用、绝对值不等式的解法等知识，属于常考题型.10．[)3,+∞【分析】采用分离变量的方法得到1k x >+，通过1x +的范围求得k 的取值范围.【详解】由210x kx k -+-<得：()211x k x -<- 当()1,2x ∈时，10x -> 2111x k x x -∴>=+- 又()12,3x +∈ 3k ∴≥，即k 的取值范围为[)3,+∞本题正确结果：[)3,+∞【点睛】本题考查一元二次不等式在区间内恒成立问题的求解，关键是能够通过分离变量的方法将问题转化为所求变量与函数最值之间的关系.11．3(,][1,)2-∞--+∞【分析】当三个二次函数图象与x 轴均无交点时，可知判别式均小于零，从而构造出不等式组，解不等式组求得a 的范围；取补集即可得到至少有一条与x 轴有交点时，a 的取值范围.【详解】当三个二次函数图象与x 轴都无交点时，()()2122223164340140480a a a a a a ⎧∆=--<⎪⎪∆=--<⎨⎪∆=+<⎪⎩ 解得：312a -<<- ∴三个二次函数图象至少一条与x 轴有交点时，[)3,1,2a ⎛⎤∈-∞--+∞ ⎥⎝⎦ 本题正确结果：[)3,1,2⎛⎤-∞--+∞ ⎥⎝⎦【点睛】本题考查根据二次函数图象确定参数取值范围的问题，关键是能够通过求解对立事件中参数的范围，取补集得到所求事件中的参数的范围.12．1,3【分析】通过表格可发现只有项目4和项目5的猜测，丙与甲、乙均不同；从这两个项目角度出发，分为丙全猜错、全猜对和猜对1个三种情况；全猜错时，可验证出符合题意；另外两种情况下，甲、乙不能保证均猜对5次，由此可得到符合题意的情况.【详解】丙共猜对6次，猜错2次，其中项目4和项目5与甲、乙猜测均不同，则可分为以下情况：①若丙只有项目4和项目5猜错，其余猜测全正确此时甲猜对5次，乙猜对5次，满足题意 ∴老师参加项目1和项目3②若丙项目4和项目5均猜对，则甲、乙两个项目均猜错∴在项目1,2,3,6,7,8中，甲、乙每人只能错1次项目1,2,3,6,7,8，甲、乙猜测均不同 ∴不可能每人只错1次∴假设不成立③若丙项目4和项目5只猜对1项，则甲、乙两个项目中均猜对1次∴在项目1,2,3,6,7,8中，甲、乙每人只能错2次项目1,2,3,6,7,8，甲、乙猜测均不同 ∴不可能每人只错2次∴假设不成立综上所述：老师参加了项目1和项目3本题正确结果：1,3【点睛】本题考查逻辑推理的相关知识，关键是能够通过所给条件的差异性分析，找到合适的切入点，利用彼此的制约关系来进行判断，属于中档题.13．C【分析】通过反例可依次排除,,A B D 选项；通过绝对值的性质可证明C 正确.【详解】当1x =时，若0y =，则1x y +=，则A 错误当1x =，0y =时，满足11x y +=≥，此时1x y +=，则B 错误当2y ≤-时，2y ≥，又0x ≥，则21x y +≥>，充分条件成立，C 正确命题“若12x ≥或12y ≥，则1x y +>”的逆否命题为：“若1x y +≤，则12x <且12y <” 当1x =，0y =时，11x y +=≤，此时12x >，可知逆否命题为假 ∴原命题为假，即充分条件不成立，则D 错误本题正确选项：C【点睛】本题考查充分条件的判定，此类问题通常采用特殊值排除的方式找到正确结果.14．C【分析】分别在0x ≥和0x <两种情况下去掉绝对值符号得到不等式，解不等式求得结果.【详解】当0x ≥时，原不等式等价于：2x x >，解得：1x >当0x <时，原不等式等价于：2x x ->，解得：10x -<<x x x ∴>的解集为：{1x x >或}10x -<<本题正确选项：C【点睛】本题考查绝对值不等式的求解，关键是能够通过分类讨论去除绝对值符号，属于基础题. 15．B【分析】假设12a b +<，12b c +<，可根据正实数的条件确定122b <<，根据不等关系可得11212bc a b b +>+--，利用函数思想可求得1132122b b b +≥--，即12c a+>恒成立，从而排除A ；通过特殊值可验证出B 正确，,C D 错误.【详解】若1a b +、1b c +、1c a +均小于2，则1a b +11++6b c c a++<，但由基本不等式可得1a b +11++6b c c a ++≥ ∴1a b +、1b c +、1c a +不能均小于2，则A 错误当12a =，1b =，2c =时 1131222a b +=+=<，1131222b c +=+=<，12242c a+=+=> ∴存在(),,a b c 的一组值，使得1a b +、1b c +、1c a +中恰有两个小于2，则B 正确当1a b ==，12c =时 1112a b +=+=，11232b c +=+=>，1131222c a +=+=< ∴存在(),,a b c 的一组值，使得1a b +、1b c +、1c a +中有小于2的值，则C 错误当2a b c ===时，11115222a b c b c a +=+=+=+= ∴存在(),,a b c 的一组值，使得1a b +、1b c +、1c a +均不小于2，则D 错误本题正确选项：B【点睛】本题考查含逻辑联结词的命题真假性的判断，通常可采用特殊值的方式来进行排除；难点是本题中对于存在命题的排除，需借用函数恒成立的思想来进行求解，通过证明任意性来得到结论.16．A【分析】可得集合M 是集合{}2,3,4,5的非空子集，且2,4不同时出现，即可得到结论.【详解】由题意，可得集合M 是集合{}2,3,4,5的非空子集，共有42115-=个，且2,4不能同时出现，同时出现共有4个，所以满足题意的集合M 的个数为11个，故选A.【点睛】本题主要考查了元素与集合的关系，以及集合的子集个数的判定及应用，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.17．1a =，0b =.【分析】根据()00f =求得b ；利用()f x x =有唯一解得到判别式等于零，从而求得a .【详解】()f x 过原点，即()00f = 0b ∴=(){}A x f x x ==为单元集 2x ax x ∴+=有唯一解()210a ∴∆=-=，解得：1a =【点睛】本题考查二次函数解析式的求解，关键是能够根据一元二次方程根的个数构造方程，属于基础题.18．（1）(,2)(1,5)-∞-；（2）(,1)(3,)-∞+∞.【分析】（1）移项通分，将分式不等式转化为一元高次不等式()()()5210x x x -+-<来进行求解；（2）根据绝对值不等式的解法，将不等式化为22221x x x -+>-或22212x x x -+<-，由一元二次不等式的解法求得结果.【详解】（1）由21331x x -<-得：()()22252131333310301111x x x x x x x x x x x -+---+---===<---- 即：()()()5210x x x -+-<，解得：()(),21,5x ∈-∞-∴不等式解集为：()(),21,5-∞- （2）由22221x x x -+>-得：22221x x x -+>-或22212x x x -+<-即：()()243130x x x x -+=-->或210x +<，解得：1x <或3x > ∴不等式解集为：()(),13,-∞⋃+∞【点睛】本题考查分式不等式和绝对值不等式的求解，涉及到一元高次不等式的解法，属于基础题. 19．充分不必要条件.【分析】当1p q ==时，分别求解出集合A 和集合B ，得到A B ，可知()1A B ∈，充分条件成立；当()1A B ∈时，将1x =代入集合A 和集合B 可构造方程组求得,p q ，从而可知必要条件不成立，从而得到结论.【详解】当1p q ==时，{}{}2202,1A x x x =+-==-，{}{}2202,1B x x x =+-==- {}2,1A B ∴=- ()1A B ∴∈ ∴充分条件成立当()1A B ∈时，1A ∈且1B ∈21201420p q q q p +-=⎧∴⎨+-+=⎩，解得：11p q =⎧⎨=⎩或1214p q ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴必要条件不成立综上所述：“1p q ==”是“()1AB ∈”的充分不必要条件【点睛】本题考查充分条件与必要条件的判定，涉及到元素和集合的关系的应用，属于基础题. 20．（1）(1,)+∞；（2）存在，[3,1]a ∈-满足题意，详见解析【分析】（1）分别在1x ≤-和1x >-两种情况下去掉绝对值符号得到不等式，解不等式求得解集；（2）当1x =时，可验证恒成立，则a R ∈；当1x >时，将不等式变为2231x x x a x -+--≥-，由于22301x x x -+-<-，可知不等式恒成立，得到a R ∈；当1x <时，将不等式转化为22232311x x x x x a x x -+-+-≤-≤--，通过分离变量的方式得到a 与函数22331x x y x -+=-和31x y x -=-的大小关系，通过求解函数最值得到[]3,1a ∈-；将三种情况取交集得到最终结果. 【详解】（1）当1a =-时，()()211f x x x x =+-+ 当1x ≤-时，()1f x >等价于()2211x x -->，解集为∅当1x >-时，()1f x >等价于()2211x x +->，解得：1x > 综上所述：不等式()1f x >的解集为：()1,+∞（2）()23f x x ≥-等价于()2123x x a x x --≥-+- 当1x =时，不等式为：02≥-，恒成立 a R ∴∈当1x >时，不等式为：2231x x x a x -+--≥- 2230x x -+-<恒成立且10x -> 22301x x x -+-∴<- 又0x a -≥ a R ∴∈当1x <时，不等式为：2231x x x a x -+--≤- 即22232311x x x x x a x x -+-+-≤-≤-- 222323311x x x x a x x x -+--+∴≥-=--且223311x x x a x x x -+-≤-=-- 令()2233221111x x y x x x -+==-++-- 当1x <时，10x -<()22141x x ∴-+≤-=--（当且仅当0x =时取等号） 413y ∴≤-+=- 3a ∴≥-令32111x y x x -==--- 当1x <时，1y > 1a ∴≤则当1x <时，[]3,1a ∈-综上所述：当[]3,1a ∈-时，()23f x x ≥-对x ∈R 恒成立【点睛】本题考查绝对值不等式的解法、绝对值不等式中恒成立问题的求解；解决恒成立问题常用的方法为分离变量的方式，将问题转化为参数与函数最值之间的比较，本题中需根据自变量的范围讨论分离变量所得函数的形式.21．（1）证明见解析；（2）14 【分析】（1）根据()f x 与x 轴两个不同交点横坐标的位置可得不等式组，从而得到可行域；利用线性规划求解出最值，从而得到()2f -的取值范围；（2）设四个“近似整零点”为3m +，2m +，1m +，m （m Z ∈），可得()()()()3214f m f m f m f m a ++-+++=⎡⎤⎣⎦，结合()()()()()()()()321321f m f m f m f m f m f m f m f m ++-+++≤++++++⎡⎤⎣⎦可构造出不等式，解不等式求得最大值.【详解】（1）当1a =时，()2f x x bx c =++ ()f x 与x 轴交点横坐标都在()2,1--内()()()240242011021200b c f b c f b c b f c ⎧∆=->⎪-=-+>⎪⎪-=-+>∴⎨⎪-<-<-⎪⎪=>⎩，即240241240b c b c b c b c ⎧->⎪-<⎪⎪-<⎨⎪<<⎪⎪>⎩可得可行域如下图所示（不包含曲线和直线上的点）：令()242z f b c =-=-+，则24c b z =+-当24c b z =+-过C 时，max 14411z z ==-+=当24c b z =+-与24b c -=重合时，min 20z z ==又()min max 2z f z <-< ()()20,1f ∴-∈（2）取四个连续整数作为近似整零点：3m +，2m +，1m +，m （m Z ∈）则()()()()22333f m f m a m b m c am bm c ++=+++++++ ()()()()()()22212211f m f m a m b m c a m b m c +++=+++++++++整理可得：()()()()3214f m f m f m f m a ++-+++=⎡⎤⎣⎦又()()()()()()()32132f m f m f m f m f m f m f m ++-+++≤+++++⎡⎤⎣⎦()11414f m +≤⨯= 41a ∴≤，解得：14a ≤a ∴的最大值为14【点睛】本题考查二次函数图象与性质的综合应用问题，涉及到根据函数与x 轴交点位置确定参数范围、线性规划求解最值问题、新定义运算的求解等知识；本题难点在于能够得到四个连续整数对应的函数值之间的关系，从而构造出关于a 的不等式来进行求解，属于难题.。

2020年高一数学上期中试题(含答案)

2020年高一数学上期中试题(含答案)一、选择题1．函数y =2x 2–e |x |在[–2,2]的图像大致为（）A ．B ．C ．D ．2．函数2y 34x x =--+ ）A ．(41)--，B ．(41)-，C ．(11)-， D ．(11]-， 3．三个数0.32，20.3，0.32log 的大小关系为（）.A ．20.30.3log 20.32<< B ．0.320.3log 220.3<<C ．20.30.30.3log 22<<D ．20.30.30.32log 2<<4．已知(31)4,1()log ,1aa x a x f x x x -+<⎧=⎨≥⎩是(,)-∞+∞上的减函数，那么a 的取值范围是（） A ．(0,1)B ．1(0,)3C ．11[,)73D ．1[,1)75．函数()(1)f x x x =-在[,]m n 上的最小值为14-，最大值为2，则n m -的最大值为（） A ．52B ．522 C ．32D ．26．已知函数224()(log )log (4)1f x x x =++，则函数()f x 的最小值是A ．2B ．3116C ．158D ．17．三个数20.420.4,log 0.4,2a b c ===之间的大小关系是（）A ．a c b <⎪=⎨⎪-+≤⎩在R 上单调递增，则实数a 的取值范围是 A ．[]0,1B ．(]0,1C ．[]1,1-D ．(]1,1-9．定义在R 上的奇函数()f x 满足()()2f x f x +=-，且当[]0,1x ∈时，()2cos x f x x =-，则下列结论正确的是（）A ．()20202019201832f f f ⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．()20202019201832f f f ⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．()20192020201823f f f ⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．()20192020201823f f f ⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭10．函数()f x 的图象如图所示,则它的解析式可能是( )A ．()212xx f x -= B ．()()21xf x x =-C ．()ln f x x =D ．()1xf x xe =-11．设()f x 是定义域为R 的偶函数，且在()0,∞+单调递减，则（）A ．233231log 224f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭B ．233231log 224f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭C ．23332122log 4f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭D ．23323122log 4f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭12．设a ＝2535⎛⎫ ⎪⎝⎭，b ＝3525⎛⎫ ⎪⎝⎭ ，c ＝2525⎛⎫ ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a>c>bB ．a>b>cC ．c>a>bD ．b>c>a二、填空题13．若函数()24,43,x x f x x x x λλ-≥⎧=⎨-+<⎩恰有2个零点，则λ的取值范围是______. 14．设函数()212log ,0log (),0x x f x x x >⎧⎪=⎨-<⎪⎩ ，若()()f a f a >-，则实数a 的取值范围是__________．15．1232e 2(){log (1)2x x f x x x ，，-<=-≥，则f （f （2））的值为____________． 16．已知函数f(x)＝log a x ＋x －b(a ＞0，且a≠1)．当2＜a ＜3＜b ＜4时，函数f(x)的零点为x 0∈(n ，n ＋1)，n ∈N *，则n= .17．已知1240x x a ++⋅>对一切(],1x ∞∈-上恒成立，则实数a 的取值范围是______． 18．某在校大学生提前创业,想开一家服装专卖店,经过预算,店面装修费为10000元,每天需要房租水电等费用100元,受营销方法、经营信誉度等因素的影响,专卖店销售总收入P 与店面经营天数x 的关系是P(x)=21300,0300245000,300x x x x ⎧-≤<⎪⎨⎪≥⎩则总利润最大时店面经营天数是___.19．函数()()log 2a f x ax =-在[]0,1上是x 的减函数，则实数a 的取值范围是______．20．若函数|1|12x y m -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象与x 轴有公共点，则m 的取值范围是__________．三、解答题21．已知函数()()log 1xa f x a =-（0a >，1a ≠）（1）当12a =时，求函数()f x 的定义域；（2）当1a >时，求关于x 的不等式()()1f x f <的解集；（3）当2a =时，若不等式()()2log 12xf x m -+>对任意实数[]1,3x ∈恒成立，求实数m 的取值范围.22．已知二次函数()f x 满足(1)()2f x f x x +-=（x ∈R ），且(0)1f =．（1）求()f x 的解析式；（2）若函数()()2g x f x tx =-在区间[1,5]-上是单调函数，求实数t 的取值范围；（3）若关于x 的方程()f x x m =+有区间(1,2)-上有一个零点，求实数m 的取值范围． 23．已知函数()()log 0,1a f x x a a =>≠，且()()321f f -=. （1）若()()3225f m f m -<+，求实数m 的取值范围；（2）求使3227log 2f x x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭成立的x 的值． 24．某乡镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召，因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”．经调研发现：某珍稀水果树的单株产量W （单位：千克）与施用肥料x （单位：千克）满足如下关系：()253,02()50,251x x W x x x x⎧+≤≤⎪=⎨<≤⎪+⎩，肥料成本投入为10x 元，其它成本投入（如培育管理、施肥等人工费）20x 元．已知这种水果的市场售价大约为15元／千克，且销路畅通供不应求．记该水果树的单株利润为()f x （单位：元）．（Ⅰ）求()f x 的函数关系式；（Ⅱ）当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大?最大利润是多少?25．已知函数()lg(2)lg(2)f x x x =++-. （1）求函数()y f x =的定义域；（2）判断函数()y f x =的奇偶性；（3）若(2)()f m f m -<，求m 的取值范围.26．某辆汽车以x 千米/小时的速度在高速公路上匀速行驶（考虑到高速公路行车安全要求60120)x 剟时，每小时的油耗（所需要的汽油量）为14500()5x k x-+升，其中k 为常数，且60100k 剟．（1）若汽车以120千米/小时的速度行驶时，每小时的油耗为11.5升，欲使每小时的油耗不超过9升，求x 的取值范围；（2）求该汽车行驶100千米的油耗的最小值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【解析】试题分析：函数f （x ）=2x 2–e |x|在[–2,2]上是偶函数，其图象关于轴对称，因为，所以排除选项；当时，有一零点，设为，当时，为减函数，当时，为增函数．故选D2．C解析：C 【解析】要使函数有意义，需使210{340x x x +>--+>，即1{41x x >--<<，所以1 1.x -<< 故选C3．A解析：A 【解析】【分析】利用指数函数与对数函数的单调性即可得出．【详解】∵0＜0.32＜1，20.3＞1，log 0.32＜0， ∴20.3＞0.32＞log 0.32．故选A ．【点睛】本题考查了指数函数与对数函数的单调性，属于基础题．4．C解析：C 【解析】【分析】要使函数()f x 在(,)-∞+∞上为减函数，则要求①当1x <，()(31)4f x a x a =-+在区间(,1)-∞为减函数，②当1x ≥时，()log a f x x =在区间[1,)+∞为减函数，③当1x =时，(31)14log 1a a a -⨯+≥，综上①②③解方程即可.【详解】令()(31)4g x a x =-+，()log a h x x =.要使函数()f x 在(,)-∞+∞上为减函数，则有()(31)4g x a x =-+在区间(,1)-∞上为减函数，()log a h x x =在区间[1,)+∞上为减函数且(1)(1)g h ≥,∴31001(1)(31)14log 1(1)a a a g a a h -<⎧⎪<<⎨⎪=-⨯+≥=⎩,解得1173a ≤<. 故选：C. 【点睛】考查分段函数求参数的问题.其中一次函数y ax b =+，当0a <时，函数y ax b =+在R 上为减函数，对数函数log ,(0)a y x x =>，当01a <<时，对数函数log ay x =在区间(0,)+∞上为减函数.5．B解析：B 【解析】【分析】根据二次函数的图象和性质，求出最大值和最小值对应的x 的取值，然后利用数形结合即可得到结论．【详解】当x≥0时，f （x ）=x （|x|﹣1）=x 2﹣x=（x ﹣12）2﹣1144≥-，当x ＜0时，f （x ）=x （|x|﹣1）=﹣x 2﹣x=﹣（x+12）2+14，作出函数f （x ）的图象如图：当x≥0时，由f （x ）=x 2﹣x=2，解得x=2．当x=12时，f （12）=14-．当x ＜0时，由f （x ）=）=﹣x 2﹣x=14-．即4x 2+4x ﹣1=0，解得x=24444432248-±+⨯-±=⨯=4421282-±-±=， ∴此时x=122--， ∵[m，n]上的最小值为14-，最大值为2， ∴n=2，12122m --≤≤， ∴n﹣m 的最大值为2﹣122--=5222+，故选：B ．【点睛】本题主要考查函数最值的应用，利用二次函数的图象和性质是解决本题的关键，利用数形结合是解决本题的基本数学思想．6．B解析：B 【解析】【分析】利用对数的运算法则将函数()()()224log log 41f x x x =++化为()2221log 1log 12x x +++，利用配方法可得结果.【详解】化简()()()224log log 41f x x x =++()2221log 1log 12x x =+++22211131log log 224161616x x ⎛⎫=++-≥-= ⎪⎝⎭，即()f x 的最小值为3116，故选B.【点睛】本题主要考查对数的运算法则以及二次函数配方法求最值，属于中档题. 求函数最值常见方法有，①配方法：若函数为一元二次函数，常采用配方法求函数求值域，其关键在于正确化成完全平方式，并且一定要先确定其定义域；②换元法；③不等式法；④单调性法；⑤图象法.7．B解析：B 【解析】20.4200.41,log 0.40,21<<Q ,01,0,1,a b c b a c ∴<<∴<<，故选B.8．C解析：C 【解析】x ⩽1时,f (x )=−(x −1)2+1⩽1， x >1时,()()21,10a af x x f x x x=++'=-…在(1,+∞)恒成立，故a ⩽x 2在(1,+∞)恒成立，故a ⩽1，而1+a +1⩾1，即a ⩾−1，综上,a ∈[−1,1]，本题选择C 选项.点睛：利用单调性求参数的一般方法：一是求出函数的单调区间，然后使所给区间是这个单调区间的子区间，建立关于参数的不等式组即可求得参数范围；二是直接利用函数单调性的定义：作差、变形，由f (x 1)－f (x 2)的符号确定参数的范围，另外也可分离参数转化为不等式恒成立问题．9．C解析：C 【解析】【分析】根据f （x ）是奇函数，以及f （x+2）=f （-x ）即可得出f （x+4）=f （x ），即得出f （x ）的周期为4，从而可得出f （2018）=f （0），2019122f f ⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，20207312f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭然后可根据f （x ）在[0，1]上的解析式可判断f （x ）在[0，1]上单调递增，从而可得出结果. 【详解】∵f（x ）是奇函数；∴f（x+2）=f （-x ）=-f （x ）；∴f（x+4）=-f （x+2）=f （x ）； ∴f（x ）的周期为4；∴f（2018）=f （2+4×504）=f （2）=f （0），2019122f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,20207 312f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∵x∈[0，1]时，f （x ）=2x -cosx 单调递增；∴f(0)＜12f ⎛⎫⎪⎝⎭ ＜712f ⎛⎫ ⎪⎝⎭ ∴()20192020201823f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,故选C. 【点睛】本题考查奇函数，周期函数的定义，指数函数和余弦函数的单调性，以及增函数的定义，属于中档题.10．B解析：B 【解析】【分析】根据定义域排除C ，求出()1f 的值，可以排除D ，考虑()100f -排除A . 【详解】根据函数图象得定义域为R ，所以C 不合题意；D 选项，计算()11f e =-，不符合函数图象；对于A 选项， ()10010099992f -=⨯与函数图象不一致；B 选项符合函数图象特征.故选：B 【点睛】此题考查根据函数图象选择合适的解析式，主要利用函数性质分析，常见方法为排除法.11．C解析：C 【解析】【分析】由已知函数为偶函数，把233231log ,2,24f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，转化为同一个单调区间上，再比较大小．【详解】()f x Q 是R 的偶函数，()331log log 44f f ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭．223303322333log 4log 31,1222,log 422---->==>>∴>>Q ，又()f x 在(0，+∞)单调递减，∴()23323log 422f f f --⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，23323122log 4f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故选C ．【点睛】本题主要考查函数的奇偶性、单调性，解题关键在于利用中间量大小比较同一区间的取值．12．A解析：A 【解析】试题分析：∵函数2()5xy =是减函数，∴c b >；又函数25y x =在(0,)+∞上是增函数，故a c >.从而选A考点：函数的单调性.二、填空题13．【解析】【分析】根据题意在同一个坐标系中作出函数和的图象结合图象分析可得答案【详解】根据题意在同一个坐标系中作出函数和的图象如图：若函数恰有2个零点即函数图象与轴有且仅有2个交点则或即的取值范围是：解析：(1，3](4,)+∞U ．【解析】【分析】根据题意，在同一个坐标系中作出函数4y x =-和243y x x =-+的图象，结合图象分析可得答案．【详解】根据题意，在同一个坐标系中作出函数4y x =-和243y x x =-+的图象，如图：若函数()f x 恰有2个零点，即函数()f x 图象与x 轴有且仅有2个交点，则13λ<…或4λ>，即λ的取值范围是：(1，3](4,)+∞U 故答案为：(1，3](4,)+∞U ．【点睛】本题考查分段函数的图象和函数的零点，考查数形结合思想的运用，考查发现问题解决问题的能力.14．【解析】【分析】【详解】由题意或或或则实数的取值范围是故答案为解析：(1,0)(1,)-??【解析】【分析】【详解】由题意()()f a f a >-⇒2120 log log a a a >⎧⎪⎨>⎪⎩或()()1220log log a a a <⎧⎪⎨->-⎪⎩01a a a >⎧⎪⇒⎨>⎪⎩或11a a a a<⎧⎪⇒>⎨->-⎪⎩或10a -<<，则实数a 的取值范围是()()1,01,-⋃+∞，故答案为()()1,01,-⋃+∞.15．2【解析】【分析】先求f （2）再根据f （2）值所在区间求f （f （2））【详解】由题意f （2）=log3（22–1）=1故f （f （2））=f （1）=2×e1–1=2故答案为：2【点睛】本题考查分段函数解析：2 【解析】【分析】先求f （2），再根据f （2）值所在区间求f （f （2））. 【详解】由题意，f （2）=log 3（22–1）=1，故f （f （2））=f （1）=2×e 1–1=2，故答案为：2．【点睛】本题考查分段函数求值，考查对应性以及基本求解能力.16．2【解析】【分析】把要求零点的函数变成两个基本初等函数根据所给的ab 的值可以判断两个函数的交点的所在的位置同所给的区间进行比较得到n 的值【详解】设函数y=logaxm=﹣x+b 根据2＜a ＜3＜b ＜4解析：2 【解析】【分析】把要求零点的函数，变成两个基本初等函数，根据所给的a ，b 的值，可以判断两个函数的交点的所在的位置，同所给的区间进行比较，得到n 的值. 【详解】设函数y=log a x ，m=﹣x+b 根据2＜a ＜3＜b ＜4，对于函数y=log a x 在x=2时，一定得到一个值小于1，而b-2>1，x=3时，对数值在1和2 之间，b-3<1在同一坐标系中画出两个函数的图象，判断两个函数的图形的交点在（2，3）之间，∴函数f （x ）的零点x 0∈（n ，n+1）时，n=2．故答案为2.考点：二分法求方程的近似解；对数函数的图象与性质．17．【解析】【分析】根据题意分离出参数a 后转化为求函数的最值即可通过换元后利用二次函数的性质可求得最大值【详解】可化为令由得则在上递减当时取得最大值为所以故答案为【点睛】本题考查二次函数的性质函数恒成立解析：3,4∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭【解析】【分析】根据题意分离出参数a 后转化为求函数的最值即可，通过换元后利用二次函数的性质可求得最大值．【详解】1240xxa ++⋅>可化为212224xx x x a --+>-=--，令2x t -=，由(],1x ∈-∞，得1,2t ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，则2a t t >--，2213()24t t t --=-++在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上递减，当12t =时2t t --取得最大值为34-，所以34a >-．故答案为3,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭．【点睛】本题考查二次函数的性质、函数恒成立问题，考查转化思想，考查学生解决问题的能力．属中档题.18．200【解析】【分析】根据题意列出总利润L(x)的分段函数然后在各个部分算出最大值比较大小就能确定函数的最大值进而可求出总利润最大时对应的店面经营天数【详解】设总利润为L(x)则L(x)=则L(x)解析：200 【解析】【分析】根据题意，列出总利润L(x)的分段函数，然后在各个部分算出最大值，比较大小，就能确定函数的最大值，进而可求出总利润最大时对应的店面经营天数. 【详解】设总利润为L(x),则L(x)=2120010000,0300210035000,300x x x x x ⎧-+-≤<⎪⎨⎪-+≥⎩则L(x)=21(200)10000,0300210035000,300x x x x ⎧--+≤<⎪⎨⎪-+≥⎩当0≤x<300时,L(x)max =10000, 当x ≥300时,L(x)max =5000,所以总利润最大时店面经营天数是200. 【点睛】本题主要考查分段函数的实际应用，准确的写出各个部分的函数关系式是解决本题的关键.19．【解析】【分析】首先保证真数位置在上恒成立得到的范围要求再分和进行讨论由复合函数的单调性得到关于的不等式得到答案【详解】函数所以真数位置上的在上恒成立由一次函数保号性可知当时外层函数为减函数要使为减解析：()1,2【解析】【分析】首先保证真数位置20ax ->在[]0,1x ∈上恒成立，得到a 的范围要求，再分01a <<和1a >进行讨论，由复合函数的单调性，得到关于a 的不等式，得到答案.【详解】函数()()log 2a f x ax =-，所以真数位置上的20ax ->在[]0,1x ∈上恒成立，由一次函数保号性可知，2a <，当01a <<时，外层函数log a y t =为减函数，要使()()log 2a f x ax =-为减函数，则2t ax =-为增函数，所以0a ->，即0a <，所以a ∈∅，当1a >时，外层函数log a y t =为增函数，要使()()log 2a f x ax =-为减函数，则2t ax =-为减函数，所以0a -<，即0a >，所以1a >，综上可得a 的范围为()1,2. 故答案为()1,2. 【点睛】本题考查由复合函数的单调性，求参数的范围，属于中档题.20．【解析】【分析】由可得出设函数将问题转化为函数与函数的图象有交点利用数形结合思想可求出实数的取值范围【详解】由可得出设函数则直线与函数的图象有交点作出函数与函数的图象如下图所示由图象可知则解得因此实解析：[)1,0-【解析】【分析】由|1|102x y m -⎛⎫=+= ⎪⎝⎭可得出112xm -⎛⎫-= ⎪⎝⎭，设函数()112xg x -⎛⎫= ⎪⎝⎭，将问题转化为函数y m =-与函数()y g x =的图象有交点，利用数形结合思想可求出实数m 的取值范围.【详解】由|1|102x y m -⎛⎫=+= ⎪⎝⎭可得出112xm -⎛⎫-= ⎪⎝⎭，设函数()112xg x -⎛⎫= ⎪⎝⎭，则直线y m =-与函数()y g x =的图象有交点，作出函数()111,122,1x x x g x x --⎧⎛⎫≥⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪<⎩与函数y m =-的图象如下图所示，由图象可知()01g x <≤，则01m <-≤，解得10m -≤<. 因此，实数m 的取值范围是[)1,0-. 故答案为：[)1,0-. 【点睛】本题考查利用函数有零点求参数的取值范围，在含单参数的函数零点问题的求解中，一般转化为参数直线与函数图象有交点来处理，考查数形结合思想的应用，属于中等题.三、解答题21．（1）(),0-∞；（2）()0,1；（3）21,log 3⎛⎫⎛⎫-∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.【解析】【分析】（1）由a x -1＞0，得a x ＞1 下面分类讨论：当a ＞1时，x ＞0；当0＜a ＜1时，x ＜0即可求得f （x ）的定义域（2）根据函数的单调性解答即可；（3）令()()()2221log 12log 21x xx g x f x ⎛⎫-=-+= ⎪+⎝⎭，[]1,3x ∈可知()g x 在[1，3]上是单调增函数，只需求出最小值即可．【详解】本题考查恒成立问题．（1）当12a =时，()121log 12x f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，故：1102x ->，解得：0x <，故函数()f x 的定义域为(),0-∞；（2）由题意知，()()log 1xa f x a =-（1a >），定义域为()0,x ∈+∞，用定义法易知()f x 为()0,x ∈+∞上的增函数，由()()1f x f <，知：01x x >⎧⎨<⎩，∴()0,1x ∈.（3）设()()()2221log 12log 21x xx g x f x ⎛⎫-=-+= ⎪+⎝⎭，[]1,3x ∈，设21212121x x xt -==-++，[]1,3x ∈，故[]213,9x+∈，2171,2139x t ⎡⎤=-∈⎢⎥+⎣⎦，故：()min 211log 33g x g ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又∵()()2log 12xf x m -+>对任意实数[]1,3x ∈恒成立，故：()min 21log 3m g x ⎛⎫<= ⎪⎝⎭. 【点睛】本题主要考查对数函数有关的定义域、单调性、值域的问题，属于中档题．22．（1）2()1f x x x =-+；（2）39,,22⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭；（3）{}0[1,4)⋃．【解析】试题分析：（1）设2()f x ax bx c =++（0a ≠）代入(1)()2f x f x x +-=得22ax a b x ++=对于x ∈R 恒成立，列出方程，求得,,a b c 的值，即可求解函数的解析式；（2）由()g x ，根据函数()g x 在[1,5]-上是单调函数，列出不等式组，即可求解实数t 的取值范围；（3）由方程()f x x m =+得2210x x m -+-=，令2()21h x x x m =-+-，即要求函数()h x 在(1,2)-上有唯一的零点，分类讨论即可求解实数m 的取值范围．试题解析：（1）设2()f x ax bx c =++（0a ≠）代入(1)()2f x f x x +-=得22ax a b x ++=对于x ∈R 恒成立，故220a a b =⎧⎨+=⎩，又由(0)1f =得1c =，解得1a =，1b =-，1c =，所以2()1f x x x =-+；（2）因为22221(21)()()2(21)1124t t g x f x tx x t x ++⎛⎫=-=-++=-+- ⎪⎝⎭，又函数()g x 在[1,5]-上是单调函数，故2111t +≤-或2151t +≥，解得32t ≤-或92t ≥，故实数t 的取值范围是39,,22⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭；（3）由方程()f x x m =+得2210x x m -+-=，令2()21h x x x m =-+-，(1,2)x ∈-，即要求函数()h x 在(1,2)-上有唯一的零点， ①(1)0h -=，则4m =，代入原方程得1x =-或3，不合题意；②若(2)0h =，则1m =，代入原方程得0x =或2，满足题意，故1m =成立； ③若0∆=，则0m =，代入原方程得1x =，满足题意，故0m =成立； ④若4m ≠且1m ≠且0m ≠时，由(1)40{(2)10h m h m -=->=-<得14m <<，综上，实数m 的取值范围是{}0[1,4)⋃．考点：函数的解析式；函数的单调性及其应用．23．（1）2,73⎛⎫⎪⎝⎭；（2）12-或4.【解析】【分析】（1）先利用对数运算求出32a =，可得出函数()y f x =在其定义域上是增函数，由()()3225f m f m -<+得出25320m m +>->，解出即可；（2）由题意得出272x x -=，解该方程即可. 【详解】（1）()log a f x x =Q ，则()()332log 3log 2log 12a a af f -=-==，解得32a =，()32log f x x ∴=是()0,∞+上的增函数，由()()3225f m f m -<+，得25320m m +>->，解得273m <<. 因此，实数m 的取值范围是2,73⎛⎫ ⎪⎝⎭；（2）()332227log log 2f x x x ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭Q ，得272x x -=，化简得22740x x --=，解得4x =或12x =-.【点睛】本题考查对数运算以及利用对数函数的单调性解不等式，在底数范围不确定的情况下还需对底数的范围进行分类讨论，同时在解题时还应注意真数大于零，考查运算求解能力，属于中等题.24．（Ⅰ）()27530225,02,75030,2 5.1x x x f x x x x x⎧-+≤≤⎪=⎨-<≤⎪+⎩（Ⅱ）当施用肥料为4千克时，种植该果树获得的最大利润是480元．【解析】【分析】（1）根据题意可得f （x ）＝15w （x ）﹣30x ，则化为分段函数即可，（2）根据分段函数的解析式即可求出最大利润．【详解】（Ⅰ）由已知()()()1520101530f x W x x x W x x =--=-()2155330,02,501530,251x x x x x x x ⎧⨯+-≤≤⎪=⎨⨯-<≤⎪+⎩27530225,02,75030,2 5.1x x x x x x x ⎧-+≤≤⎪=⎨-<≤⎪+⎩ (Ⅱ)由(Ⅰ)得()()22175222,02,7530225,02,5=75030,2 5.25780301,2 5.11x x x x x f x x x x x x x x ⎧⎛⎫-+≤≤⎧-+≤≤⎪⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎨-<≤⎡⎤⎪⎪-++<≤+⎩⎢⎥⎪+⎣⎦⎩当02x ≤≤时，()()max 2465f x f ==；当25x <≤时，()()257803011f x x x ⎡⎤=-++⎢⎥+⎣⎦ ()2578030214801x x≤-⨯⋅+=+当且仅当2511x x=++时，即4x =时等号成立．因为465480<，所以当4x =时，()max 480f x =．∴当施用肥料为4千克时，种植该果树获得的最大利润是480元．【点睛】本题考查了函数的应用、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 25．（1）{|22}x x -<<（2）偶函数（3）01m << 【解析】【分析】【详解】（Ⅰ）要使函数有意义，则，得.函数的定义域为. （Ⅱ）由（Ⅰ）可知，函数的定义域为，关于原点对称，对任意，.由函数奇偶性可知，函数为偶函数.（Ⅲ）函数由复合函数单调性判断法则知，当时，函数为减函数又函数为偶函数，不等式等价于，得.26．（1）[60，100]；（2）当75100k 剟，该汽车行驶100千米的油耗的最小值为220900k -升；46【解析】【分析】（1）将120x =代入每小时的油耗，解方程可得100=k ，由题意可得14500(100)95x x-+„，解不等式可得x 的范围；（2）设该汽车行驶100千米油耗为y 升，由题意可得10014500()5y x k x x=-+g ，换元令1t x =、化简整理可得t 的二次函数，讨论t 的范围和对称轴的关系，即可得到所求最小值．【详解】解：（1）由题意可得当120x =时，1450014500()(120)11.555120x k k x -+=-+=，解得100=k ，由14500(100)95x x-+„，即214545000x x -+„，解得45100x 剟，又60120x 剟，可得60100x 剟，每小时的油耗不超过9升，x 的取值范围为[60，100]；（2）设该汽车行驶100千米油耗为y 升，则 2100145002090000()20(60120)5k y x k x x x x x=-+=-+g 剟，令1t x=，则1[120t ∈，1]60，即有22290000202090000()209000900k k y t kt t =-+=-+-，对称轴为9000k t =，由60100k 剟，可得1[9000150k ∈，1]90，①若19000120k …即75100k 剟，则当9000k t =，即9000x k=时，220900min k y =-；②若19000120k <即6075k <„，则当1120t =，即120x =时，10546min ky =-．答：当75100k 剟，该汽车行驶100千米的油耗的最小值为220900k -升；46【点睛】本题考查函数模型在实际问题中的运用，考查函数的最值求法，注意运用换元法和二次函数的最值求法，考查运算能力，属于中档题．。

2020-2021学年上海市某校高一(上)期中数学试卷

2020-2021学年上海市某校高一（上）期中数学试卷一、填空题：（每小题3分，满分36分）1. 当a <b 时，化简√(a −b)2=________．【答案】 b −a 【考点】有理数指数幂的运算性质及化简求值【解析】根据a −b 的符号，去绝对值求出答案即可．【解答】a <b 即a −b <0，故√(a −b)2=|a −b|＝b −a ，2. 已知全集U ＝{0, 1, 2, 3, 4}，集合A ＝{x|x 2−3x +2≤0, x ∈Z}，则A ¯=________．【答案】 {0, 3, 4} 【考点】补集及其运算【解析】可求出集合A ，然后进行补集的运算即可．【解答】∵ 全集U ＝{0, 1, 2, 3, 4}，A ＝{x|1≤x ≤2, x ∈Z}＝{1, 2}， ∴ A ¯={0,3,4}．3. 已知a >1，比较大小√a √a ________1log 312+2log 122．【答案】 >【考点】对数值大小的比较【解析】根据a >1及指数函数的单调性可得出√a √a >1，根据对数的运算即可得出1log 312+2log 122=1，然后即可得出答案．【解答】∵ a >1，∴ √a √a =a 34>a 0=1，1log 312+2log 122=log 33log 312+log 124=log 123+log 124＝1，∴ √a √a >1log 312+2log 122．4. 命题“设a ，b ∈R ，若a +b <4，则a <2或b ≤2”是________命题．（填“真”或“假”）【答案】真【考点】四种命题的真假关系【解析】根据不等式的性质即可直接判断．【解答】设a ，b ∈R ，若a +b <4，则a ，b 至少有一个小于等于2，故若a +b <4，则a <2或b ≤2是真命题，5. 已知x >0，y >0，且2x +5y =20，则lg x +lg y 的最大值为________．【答案】 1【考点】基本不等式对数的运算性质【解析】利用基本不等式先求出xy 的范围，再根据对数的运算性质进行化简即可求得最大值，注意等号成立的条件．【解答】解：∵ x >0，y >0，且2x +5y =20， ∴ 2x +5y =20≥2√10xy ，即xy ≤10，当且仅当2x =5y ，即x =5，y =2时取等号． ∴ lg x +lg y =lg xy ≤lg 10=1，即最大值为1．故答案为：1．6. 设不等式|x −a|0时，用根式表示m ab ＝________．【答案】√m 34【考点】绝对值不等式的解法与证明【解析】先根据|x −a|0时，m ab =√m 34．7. 已知关于x 的不等式kx 2−kx +1≥0的解集为R ，则实数k 的取值范围是________．【答案】 [0, 4] 【考点】一元二次不等式的应用【解析】根据题意讨论k ＝0和k ≠0时，求出不等式解集为R 时实数k 的取值范围．【解答】k ＝0时，不等式为1≥0，解集为R ，满足题意； k ≠0时，应满足{k >0△=(−k)2−4k ×1≤0 ，解得0<k ≤4；综上知，实数k 的取值范围是[0, 4]．8. 测量地震级别的里氏震级M 的计算公式为：M ＝lg A −lg A 0，其中A 是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，常数A 0是相应的标准地震的振幅．假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1000，而此次地震的里氏震级恰好为6级，那么里氏9级地震的最大的振幅是里氏5级地震最大振幅的________倍．【答案】 10000 【考点】对数的运算性质【解析】根据题意中的假设，可得M ＝lg A −lg A 0＝lg 1000−lg A 0＝6；设9级地震的最大的振幅是x ，5级地震最大振幅是y ，9＝lg x +3，5＝lg y +3，由此知9级地震的最大的振幅是5级地震最大振幅的10000倍．【解答】根据题意，假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1000，此次地震的里氏震级恰好为6级，则M ＝lg A −lg A 0＝lg 1000−lg A 0＝3−lg A 0＝6，解得：lg A 0＝−3，设9级地震的最大的振幅是x ，5级地震最大振幅是y ， 9＝lg x +3，5＝lg y +3，解得x ＝106，y ＝102， ∴ xy =106102=10000．9. 若关于x 的不等式组{(2x −3)(x +1)≤0x >a 没有整数解，则实数a 的取值范围是________．【答案】 a ≥1 【考点】其他不等式的解法【解析】先求出不等式(2x −3)(x +1)≤0的解集，然后确定不等式组的解集，进而确可求a 的范围．【解答】由(2x −3)(x +1)≤0可得−1≤x ≤32，其中有整数−1，0，1，因为不等式组{(2x −3)(x +1)≤0x >a 没有整数解，故不等式组的解集a <x ≤32且其范围内没有整数，故a ≥1．10. 已知M =m 2+1m−1，其中m >1，则M 的最小值为________．【答案】2√2+2 【考点】基本不等式及其应用【解析】 M =m 2+1m−1=(m −1)+2m−1+2，根据基本不等式即可求出．【解答】 ∵ m >1 ∴ M =m 2+1m−1=(m−1)2+2(m−1)+2m−1=(m −1)+2m−1+2≥2√2+2，当且仅当m −1=2m−1时，即m ＝1+√2时取等号，故M 的最小值为2√2+2，11. 定义：对于非空集合A ，若元素x ∈A ，则必有(m −x)∈A ，则称集合A 为“m 和集合”．已知集合B ＝{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}，则集合B 所有子集中，是“8和集合”的集合有________个．【答案】 15【考点】元素与集合关系的判断【解析】考察子集的概念以及对数学新概念的理解，由x ∈A 及(m −x)∈A 可以得到两个数之和为m 的元素必须同时出现在集合A 中．【解答】①含有1个元素的“8和集合”：{4}；②含有2个元素的“8和集合”：{1, 7}，{2, 6}，{3, 5}；③含有3个元素的“8和集合”：{1, 4, 7}，{2, 4, 6}，{3, 4, 5}；④含有4个元素的“8和集合”：{1, 7, 2, 6}，{1, 7, 3, 5}，{2, 6, 3, 5}；⑤含有5个元素的“8和集合”：{1, 7, 2, 6, 4}，{1, 7, 3, 5, 4}，{2, 6, 3, 5, 4}； ⑥含有6个元素的“8和集合”：{1, 7, 2, 6, 3, 5}； ⑦含有7个元素的“8和集合”：{1, 7, 2, 6, 3, 5, 4}．12. 研究问题：“已知关于x 的不等式ax 2−bx +c >0的解集为(1, 2)，则关于x 的不等式cx2−bx+a>0有如下解法：由ax2−bx+c>0⇒a−b(1x )+c(1x)2>0，令y=1x，则y∈(12,1)，所以不等式cx2−bx+a>0的解集为(12,1)．参考上述解法，已知关于x的不等式kx+a +x+bx+c<0的解集为(−2, −1)∪(2, 3)，则关于x的不等式kxax−1+bx−1cx−1<0的解集________(−12,−13)∪(12,1)．【答案】(−12,−13)∪(12,1)【考点】类比推理【解析】先明白题目所给解答的方法：ax2−bx+c>0化为a−b(1x )+c(1x)2>0，类推为cx2−bx+a>0，解答不等式；然后依照所给定义解答题目即可．【解答】关于x的不等式ka+x +b+xc+x<0的解集为(−2, −1)∪(2, 3)，用−1x 替换x，不等式可以化为：k(−1x)+a+(−1x)+b(−1x)+c=kxax−1+bx−1cx−1<0可得−1x∈(−2,−1)∪(2,3)可得12<x<1−12<x<−13二、选择题：（每小题4分，满分16分）如果a<b<0，那么下列不等式中正确的是（）A.ab <1 B.a2>ab C.1b2<1a2D.−1a<1b【答案】B【考点】不等式的概念不等式的基本性质【解析】由不等式的性质逐一判断即可．【解答】若a<b<0，则ab>1，故A错误；若a<b<0，则a2>ab，故B正确；若a<b<0，则a+b<0，a−b<0，所以1b2−1a2=a2−b2a2b2=(a+b)(a−b)a2b2>0，即1b2>1a2，故C错误；若a<b<0，则−1a >0>1b，故D错误．下列表示图中的阴影部分的是（）A.(A∪C)∩(B∪C)B.(A∪B)∩(A∪C)C.(A∪B)∩(B∪C)D.(A∪B)∩C【答案】A【考点】Venn图表达集合的关系及运算【解析】由韦恩图分析阴影部分表示的集合，关键是要分析阴影部分的性质，先用自然语言将其描述出来，再根据集合运算的定义，将共转化为集合语言，再去利用集合运算的方法，对其进行变形和化简．【解答】图中阴影部分表示元素满足：是C中的元素，或者是A与B的公共元素故可以表示为C∪(A∩B)也可以表示为：(A∪C)∩(B∪C)已知a，s，t都是正实数，且a≠1，下列运算一定正确的是（）A.a s+a t＝a s+tB.a s a t＝a s+tC.log a s+log a t＝log a(s+t)D.log a s⋅log a t＝log a(st)【答案】B【考点】有理数指数幂的运算性质及化简求值对数的运算性质【解析】根据指数幂的运算性质以及对数的运算性质判断即可．【解答】根据指数幂的运算性质得：A错误，B正确；根据对数的运算性质得：C，D错误；已知a1，a2，b1，b2，c1，c2均为非零实数，则“a1a2=b1b2=c1c2”是“关于x的方程a1x2+b1x+c1＝0与a2x2+b2x+c2＝0解集相同”的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件【答案】 A【考点】充分条件、必要条件、充要条件【解析】根据方程的性质，我们可以判断“a 1a 2=b 1b 2=c1c 2”⇒“关于x 的方程a 1x 2+b 1x +c 1=0与a 2x 2+b 2x +c 2=0解集相同”；根据方程的解集可能为空集，可判断“M ＝N ”⇒“a 1a 2=b 1b 2=c1c 2”的真假，进而得到答案．【解答】∵ “a 1a 2=b 1b 2=c 1c 2”时，对应项系数成比例，对应方程的解集相同，即“a 1a 2=b 1b 2=c1c 2”是“M＝N ”的充分条件但当“M ＝N ＝⌀”时，不等式a 1x 2+b 1x +c 1＝0和a 2x 2+b 2x +c 2＝0可能是不同的方程，则“a 1a 2=b 1b 2=c1c 2”不一定成立即“a 1a 2=b 1b 2=c1c 2”是“M ＝N ”的不必要条件，故“a 1a 2=b 1b 2=c1c 2”是“M ＝N ”的充分不必要条件．三、解答题（共5大题，满分48分）解不等式组{|4x +1|>21x≥3 ．【答案】由题意可得，{4x +1>21−3xx ≥0 或−4x +1<−2，即{x >14x <−340<x ≤13 ，解得，14<x ≤13．故不等式的解集(14,13]．【考点】其他不等式的解法【解析】由已知结合绝对值不等式及分式不等式分别求解即可．【解答】由题意可得，{4x +1>21−3x x ≥0 或−4x +1<−2，即{x >14x <−340<x ≤13，解得，14<x≤13．故不等式的解集(14,13 ]．艺术中心要用木料制作如图所示的框架，框架下部是边长分别为x，y（单位：米）的矩形，上部是等腰直角三角形，要求框架围成的总面积为8平方米，问：总用料最省时，用料为多少米？此时x，y分别为多少米？（最后结果精确到0.01）【答案】故当x为2.343m，y为2.828m时，用料最省．【考点】根据实际问题选择函数类型【解析】根据三角形和矩形面积公式得出x和y的关系式，确保有意义求出x的范围得到定义域；根据解析式进而表示出框架用料长度为根据均值不等式求得l的最小值，求得此时的x和y．【解答】由题意得：x⋅y+12x⋅12x=8(x>0, y>0)，∴y=8x −x4，∵y>0，即8x −x4>0，∴0<x<4√2，设框架用料长度为l，则l＝2x+2y+√2x=( 32+√2)x+16x≥2√16(32+√2)=4√6+4√2，当且仅当(32+√2)x=16x，即x＝8−4√2时，取等号，已知p：关于x的一元二次方程x2−2√3x+|m−2|＝0有两个不相等的实数根．q：关于x的一元二次方程x2−mx+|a+1|+|a−3|＝0对于任意实数a都没有实数根．（1）若p成立，求实数m的取值范围；（2）若p和q中有且只有一个成立，求实数m的取值范围．【答案】若命题p成立，即关于x的一元二次方程x2−2√3x+|m−2|＝0有两个不相等的实数根，故△＝12−4|m−2|>0，求得−1<m<5．由q：关于x的一元二次方程x2−mx+|a+1|+|a−3|＝0对于任意实数a都没有实数根，恒成立，可得△′＝m2−4(|a+1|+|a−3|)<0，即|a+1|+|a−3|>m24∴4>m2恒成立，−4<m<4．4若p成立而q不成立，则4≤m<5，若q成立而p不成立，则−4<m≤−1．综上，当p和q中有且只有一个成立时，则4≤m<5，或−4<m≤−1．【考点】一元二次方程的根的分布与系数的关系【解析】（1）由题意利用判别式大于零，求得m的范围．（2）求出命题q正确时，m的范围，再分别求得p成立而q不成立、q成立而p不成立时，m的范围，综合可得结论．【解答】若命题p成立，即关于x的一元二次方程x2−2√3x+|m−2|＝0有两个不相等的实数根，故△＝12−4|m−2|>0，求得−1<m<5．由q：关于x的一元二次方程x2−mx+|a+1|+|a−3|＝0对于任意实数a都没有实数根，恒成立，可得△′＝m2−4(|a+1|+|a−3|)<0，即|a+1|+|a−3|>m24∴4>m2恒成立，−4<m<4．4若p成立而q不成立，则4≤m<5，若q成立而p不成立，则−4<m≤−1．综上，当p和q中有且只有一个成立时，则4≤m<5，或−4<m≤−1．已知有限集A＝(a1, a2,……,a n)(n≥2, n∈N)，如果中A元素a i(i＝1, 2,…,n)满足a1+a2+...+a n＝a1×a2×……×a n，就称A为“完美集”．（1）如果方程：x2−bx+5＝0的解集是一个“完美集”，求log√5b的值．（2）利用反证法证明：若a1，a2是两个不同的正数，且{a1, a2}是“完美集”，则a1，a2至少有一个大于2．【答案】设x1，x2为方程x2−bx+5＝0的两根，∵x2−bx+5＝0的解集是一个“完美集”，∴x1+x2＝b，x1x2＝5且x1+x2＝x1x2，∴b＝5，∴logb=2．√5证明：假设0<a1≤2且0<a2≤2，由a1，a2是两个不同的正数，且{a1, a2}是“完美集”，)2，∴a1+a2>4或a1+a2<0，可知a1+a2=a1a2<(a1+a22∴由0<a1≤2且0<a2≤2，可得a1+a2≤4与a1+a2>4或a1+a2<0矛盾，因此假设不成立，原命题成立．【考点】反证法与放缩法【解析】（1）设x1，x2为方程x2−bx+5＝0的两根，然后根据条件得到x1+x2＝b，x1x2＝5且x1+x2＝x1x2，再求出b即可得到log√5b的值；（2）假设0<a1≤2且0<a2≤2，然后根据条件得到a1+a2>4或a1+a2<0，得到矛盾结论，从而证明原命题成立．【解答】设x1，x2为方程x2−bx+5＝0的两根，∵x2−bx+5＝0的解集是一个“完美集”，∴x1+x2＝b，x1x2＝5且x1+x2＝x1x2，∴b＝5，∴logb=2．√5证明：假设0<a1≤2且0<a2≤2，由a1，a2是两个不同的正数，且{a1, a2}是“完美集”，)2，∴a1+a2>4或a1+a2<0，可知a1+a2=a1a2<(a1+a22∴由0<a1≤2且0<a2≤2，可得a1+a2≤4与a1+a2>4或a1+a2<0矛盾，因此假设不成立，原命题成立．已知一元二次函数f(x)＝ax2+bx+c(a>0, c>0)的图象与x轴有两个不同的公共点，其中一个公共点的坐标为(c, 0)，且当0<x<c时，恒有f(x)>0．时，求出不等式f(x)<0的解；（1）当a＝1，c=12（2）求出不等式f(x)<0的解（用a，c表示）；（3）若以二次函数的图象与坐标轴的三个交点为顶点的三角形的面积为8，求a的取值范围；（4）若不等式m2−2km+1+b+ac≥0对所有k∈[−1, 1]恒成立，求实数m的取值范围．试卷第11页，总12页【答案】当a ＝1，c =12时，f(x)=x 2+bx +12，f(x)的图象与x 轴有两个不同交点，∵ f(12)=0，设另一个根为x 2，则12x 2=12，∴ x 2＝1，则 f(x)<0的解集为 (12,1)． f(x)的图象与x 轴有两个交点， ∵ f(c)＝0，设另一个根为x 2，则cx 2=c a∴ x 2=1a，又当0<x <c 时，恒有f(x)>0，则1a>c ， ∴ f(x)<0的解集为(c,1a )⋯由（2）的f(x)的图象与坐标轴的交点分别为(c,0),(1a ,0),(0,c) 这三交点为顶点的三角形的面积为S =12(1a −c)c =8， ∴ a =c16+c 2≤2√16c=18故a ∈(0,18]． ∵ f(c)＝0，∴ ac 2+bc +c ＝0，又∵ c >0，∴ ac +b +1＝0，要使m 2−2km ≥0，对所有k ∈[−1, 1]恒成立，则当m >0时，m ≥(2k)max ＝2 当m <0时，m ≤(2k)min ＝−2当m ＝0时，02≥2k ⋅0，对所有k ∈[−1, 1]恒成立从而实数m 的取值范围为 m ≤−2或m ＝0或m ≥2．【考点】二次函数的图象二次函数的性质【解析】（1）当a ＝1，c =12时，f(x)=x 2+bx +12，f(x)的图象与x 轴有两个不同交点，由此能求出 f(x)<0的解集．（2）f(x)的图象与x 轴有两个交点，由f(c)＝0，设另一个根为x 2，由此能求出f(x)<0的解集．（3）由（2）的f(x)的图象与坐标轴的交点分别为(c,0),(1a ,0),(0,c)，这三交点为顶点的三角形的面积为S =12(1a −c)c =8，由此能求出a 的取值范围．（4）由f(c)＝0，知ac 2+bc +c ＝0，由c >0，知ac +b +1＝0，由此能求出实数m 的取值范围．【解答】当a ＝1，c =12时，f(x)=x 2+bx +12，试卷第12页，总12页f(x)的图象与x 轴有两个不同交点，∵ f(12)=0，设另一个根为x 2，则12x 2=12，∴ x 2＝1，则 f(x)<0的解集为 (12,1)． f(x)的图象与x 轴有两个交点， ∵ f(c)＝0，设另一个根为x 2，则cx 2=c a∴ x 2=1a，又当0<x <c 时，恒有f(x)>0，则1a >c ， ∴ f(x)<0的解集为(c,1a )⋯由（2）的f(x)的图象与坐标轴的交点分别为(c,0),(1a,0),(0,c)这三交点为顶点的三角形的面积为S =12(1a −c)c =8， ∴ a =c 16+c≤2√16c=18故a ∈(0,18]．∵ f(c)＝0，∴ ac 2+bc +c ＝0，又∵ c >0，∴ ac +b +1＝0，要使m 2−2km ≥0，对所有k ∈[−1, 1]恒成立，则当m >0时，m ≥(2k)max ＝2 当m <0时，m ≤(2k)min ＝−2当m ＝0时，02≥2k ⋅0，对所有k ∈[−1, 1]恒成立从而实数m 的取值范围为 m ≤−2或m ＝0或m ≥2．。

上海市鲁迅中学2021 2021学年高一上学期期中数学考试试卷含答案

上海市鲁迅中学2021 2021学年高一上学期期中数学考试试卷含答案----b0e63280-6ea6-11ec-ab6d-7cb59b590d7d上海市鲁迅中学2021-2021学年高一上学期期中数学考试试卷含答案**==（本文转载自互联网，如有侵权行为，请立即联系我们删除）=**上海鲁迅中学2022-2022学年高一期中考试数学试题（时间90分钟满分100分）一、填空（每个问题3分，共30分）1如果[回答]8[分析][分析]根据n元集合有个子集，结合集合【详解】解：若共有子集，即m为集合共有n=3个元素，可以替换为答案的子集。

集合中总共有3个元素，因此满足条件的集合数为_______故答案为：8．【终点】这个问题的知识点是子集和真子集。

如果[answer][analysis][analysis]，掌握具有2个子集和2真子集的n元集是解决问题的关键根据集合的交集的定义即可求出.【详细解释】解决方案：答案是：._______nn-1【点睛】本题主要考查了集合的运算,属基础题.3.已知集合【答案】0【解析】【分析】从a={1，m}，B={1，M2}，和a=B，M2=m可以知道。

因此，可以得到实数m的值。

M=1不满足集合中元素的相互各向异性，并四舍五入，和，则的值为_________________【详细解释】解释：根据问题的含义，解得或者.如果它不满足集合中元素的相关性，则将其舍入。

因此，答案是：0【点睛】本题考查集合相等的概念及集合元素的互异性，是基础题．4.函数【答案】【解析】【分析】为了使功能有意义，你需要满足问题中的[详细解释]，因此答案是：.，得这样，就可以通过求解不等式和，这个函数的域就是定义域_____【点睛】考查函数三要素之一定义域的概念及求法，是基础题.5.已知函数【答案】-23【解析】【分析】【详细解释】可以从已知函数的解析公式中得到解释：所以答案是：-23【终点】这个问题检查已知函数的解析公式，以找到函数的值，这属于基本问题。

2020-2021学年上海中学高一(上)期中数学试卷

2020-2021学年上海中学高一（上）期中数学试卷一、单选题（本大题共4小题，共16.0分） 1. 若a 2x =√2−1，则a 3x +a −3x a x +a −x等于( )A. 2√2−1B. 2−2√2C. 2√2+1D. √2+12. 用反证法证明“已知x ，y ∈R ，x 2+y 2=0，求证：x =y =0.”时，应假设( )A. x ≠y ≠0B. x =y ≠0C. x ≠0且y ≠0D. x ≠0或 y ≠03. 已知a ，b ，c ∈R ，则下列命题中真命题的个数是( )①若ac 2>bc 2，则a >b ； ②若a ≠b ，则ba +ab >2； ③若a >b >1，则b−1a−1>ba ； ④若a >b >c >0，则1a <1b <1c ．A. 1B. 2C. 3D. 44. 已知非空集合A ，B 满足以下两个条件．(ⅰ)A ∪B ={1,2，3，4，5，6}，A ∩B =⌀；(ⅰ)A 的元素个数不是A 中的元素，B 的元素个数不是B 中的元素，则有序集合对(A,B)的个数为( )A. 10B. 12C. 14D. 16二、单空题（本大题共12小题，共36.0分） 5. 不等式x−2x−3<0的解集为______．6. 已知集合A ={x||x|<1}，B ={−2,−1,0，1，2}，则A ∩B =______．7. 已知a >0，化简：√a 53⋅(1a)52⋅a 56=______．8. 某年级有60人，有30人参加合唱团，有45人参加运动队，其中参加合唱团而未参加运动队的有10人，则参加运动队而未参加合唱团的人数是______． 9. 若关于x 的不等式x 2−ax −a ≤3的解集非空，则实数a 的取值范围是______． 10. 已知“x 2−(2a +2)x +a(a +2)≤0”是“|2x +3|<1”必要非充分条件，则实数a 的取值范围是______．11. 已知正实数a ，b 满足b −ab =1，则1a +2b 的最小值是______．12. 已知集合A ={x|x 2<|x −1|+a}，B ={x|−3<x <3}，若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是______．13.设实数x，y满足3≤xy2≤8，4≤x2y ≤9，则x3y4的最大值是______．14.已知集合A={1,2，5，7，11，13，15，16，19}，设x i，x j∈A，若方程x i−x j=k(k>0)至少有三组不同的解，则实数k的所有可能取值是______．15.已知实数x，y满足y≠2x且x≠−2y，若16(2x−y)2+9(x+2y)2=1，则x2+y2的最小值是______．16.若集合A={x|x2−(a+2)x+2−a<0,x∈N}中有且仅有一个元素，则实数a的取值范围是______．三、解答题（本大题共5小题，共48.0分）17.已知全集U={2,4，a2−a+1}，集合A={a+4,a2}，A−={7}，求实数a的值．18.解下列不等式：(1)|x−1|>(√2−x)2；(2)2x2−3x−53x2−13x+4≥1．19.为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似的表示为：y=12x2−200x+80000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元．(1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？(2)该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？20.已知关于x的方程ax2+x+1=0(a∈R)．(1)若方程在区间[−1,1]上有实根，求实数a的取值范围；(2)若方程有两个实根x1，x2，且x1x2∈[110,10]，求实数a的最大值．21.设n为正整数，集合A={α|α=(t1,t2,…t n)，t k∈{0,1}，k=1，2，…，n}，对于集合A中的任意元素α=(x1,x2,…,x n)和β=(y1,y2,…y n)，记M(α,β)=12[(x1+ y1−|x1−y1|)+(x2+y2−|x2−y2|)+⋯+(x n+y n−|x n−y n|)]．(Ⅰ)当n=3时，若α=(1,1，0)，β=(0,1，1)，求M(α,α)和M(α,β)的值；(Ⅱ)当n=4时，设B是A的子集，且满足：对于B中的任意元素α，β，当α，β相同时，M(α,β)是奇数；当α，β不同时，M(α,β)是偶数．求集合B中元素个数的最大值；(Ⅲ)给定不小于2的n，设B是A的子集，且满足：对于B中的任意两个不同的元素α，β，M(α,β)=0，写出一个集合B，使其元素个数最多，并说明理由．答案和解析1.【答案】A【解析】解：a3x+a−3xa x+a−x =(a x+a−x)(a2x−1+a−2x)a x+a−x=a2x+ 1a2x−1 =√2−1√2−11=2√2−1故选：A．将a3x+a−3x按照立方差公式展开，与分母约分，即可求出结果．本题考查立方和公式、指数幂的运算法则，考查运算能力．2.【答案】D【解析】解：用反证法证明“已知x，y∈R，x2+y2=0，求证：x=y=0.”时，应先假设x≠0或y≠0．故选：D．熟记反证法的步骤，直接填空即可．反面有多种情况，需一一否定．此题主要考查了反证法的第一步，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．反证法的步骤是：(1)假设结论不成立；(2)从假设出发推出矛盾；(3)假设不成立，则结论成立．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．3.【答案】B【解析】解：对于①若ac2>bc2，则a>b，故①为真命题；②若a≠b，ab>0时，则ba +ab>2，故②为假命题；③若a>b>1，则b−1a−1−ba=a(b−1)−b(a−1)a(a−1)=b−aa(a−1)<0，故③为假命题；④若a>b>c>0，则1a <1b<1c，故④为真命题．故选：B．直接利用不等式的基本性质的应用，作差法的应用，基本不等式的应用判定①②③④的结论．本题考查的知识要点：不等式的基本性质的应用，作差法的应用，基本不等式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．4.【答案】A【解析】解：若集合A 中只有1个元素，则集合B 中只有5个元素，则1∉A ，5∉B ，即5∈A ，1∈B ，此时有C 40=1，若集合A 中只有2个元素，则集合B 中只有4个元素，则2∉A ，4∉B ，即4∈A ，2∈B ，此时有C 41=4，若集合A 中只有3个元素，则集合B 中只有3个元素，则3∉A ，3∉B ，不满足题意，若集合A 中只有4个元素，则集合B 中只有2个元素，则4∉A ，2∉B ，即2∈A ，4∈B ，此时有C 43=4，若集合A 中只有5个元素，则集合B 中只有1个元素，则5∉A ，1∉B ，即1∈A ，5∈B ，此时有C 44=1，故有序集合对(A,B)的个数是1+4+4+1=10，故选：A ．分别讨论集合A ，B 元素个数，即可得到结论．本题主要考查排列组合的应用，根据元素关系分别进行讨论是解决本题的关键．5.【答案】{x|2<x <3}【解析】解：∵x−2x−3<0， ∴{x −2>0x −3<0或{x −2<0x −3>0，解得：2<x <3，故不等式的解集是：{x|2<x <3}，故答案为：{x|2<x <3}．根据分式不等式的解法求出不等式的解集即可．本题考查了分式不等式问题，考查分类讨论思想，是一道基础题．【解析】解：∵A={x|−1<x<1}，B={−2,−1,0，1，2}，∴A∩B={0}．故答案为：{0}．可求出集合A，然后进行交集的运算即可．本题考查了描述法、列举法的定义，绝对值不等式的解法，交集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题．7.【答案】1【解析】解：原式=a53⋅a−52⋅a56=a53−52+56=a0=1，故答案为：1．利用有理数指数幂的运算性质求解．本题主要考查了有理数指数幂的运算，是基础题．8.【答案】25【解析】解：因为某年级有60人，有30人参加合唱团，有45人参加运动队，其中参加合唱团而未参加运动队的有10人，根据条件得到对应的图象以及数据，故参加运动队而未参加合唱团的人数是25，故答案为：25．根据条件画出对应的Venn图，进而求出结论．本题主要考查了Venn图表达集合的关系及运算，属于基础题．【解析】解：不等式x 2−ax −a ≤3可化为x 2−ax −a −3≤0，由题意知，△=(−a)2−4×1×(−a −3)≥0，即a 2+4a +12≥0，所以(a +2)2+8≥0，解得x ∈R ．所以实数a 的取值范围是R ．故答案为：R ．不等式化为x 2−ax −a −3≤0，利用△≥0求出实数a 的取值范围．本题考查了利用判别式判断一元二次不等式有解的应用问题，是基础题．10.【答案】[−3,−2]【解析】解：∵p 是q 的必要不充分条件，∴q ⇒p ，且p ⇏q ．记q ：A ={x||2x +3|<1}={x|−2<x <−1}，p ：B ={x|x 2−(2a +2)x +a(a +2)≤0}={x|a ≤x ≤a +2}，则A 是B 的真子集．从而{a ≤−2a +2≥−1且两个等号不同时成立，解得−3≤a ≤−2．故实数a 的取值范围是[−3,−2]求出p ，q 的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义转化为集合子集关系进行求解即可．本题主要考查充分条件和必要条件的应用，求出命题的等价条件，转化为集合关系是解决本题的关键．11.【答案】3+2√2【解析】解：∵正实数a ，b 满足b −ab =1， ∴b =11−a >0， ∴0<a <1，则1a +2b =1a +21−a =a+1−a a+2(a+1−a)1−a=3+1−a a+2a 1−a≥3+2√2，当且仅当1−a a=2a1−a即a =√2−1，b =1+√22时取等号，故答案为：3+2√2．由已知可得b =11−a ，代入后结合乘1法，利用基本不等式可求．本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质，属于基础题．12.【答案】(−∞,7]【解析】解：设f(x)=x 2−(x −1)−a ，x ≥1，则f(x)≥f(1)=1−a ； g(x)=x 2−(1−x)−a ，x <1，则g(x)≥g(−12)=−54−a ； ①当A =⌀时，−54−a ≥0，即a ≤−54；满足条件A ⊆B ； ②当A ≠⌀时，{f(1)<0f(3)≥0或{g(−12)<0g(−3)≥0； ∴{1−a <07−a ≥0或{−54−a <05−a ≥0； ∴−54<a ≤7；综上所述：a 的取值范围是：(−∞,7]．故答案为：(−∞,7]．设f(x)=x 2−(x −1)−a ，x ≥1；g(x)=x 2−(1−x)−a ，x <1，要使A ⊆B ，即f(x)<0与g(x)<0的解集的并集是集合B 的子集即可．本题考查了含参数的不等式解法问题以及集合之间关系的理解，运用转化思想，属于中档题．13.【答案】27【解析】解：因为实数x ，y 满足3≤xy 2≤8，4≤x 2y≤9，则有：(x 2y )2∈[16,81]，1xy 2∈[18,13]，再根据x 3y 4=(x 2y )2⋅1xy 2∈[2,27]，即当且仅当x =3，y =1取得等号，即有x 3y 4的最大值是27．故答案为：27．首先分析题目由实数x ，y 满足条件3≤xy 2≤8，4≤x 2y≤9.求x 3y4的最大值的问题．根据不等式的等价转换思想可得到：(x 2y )2∈[16,81]，1xy 2∈[18,13]，代入x 3y 4求解最大值即可得到答案．此题主要考查不等式的基本性质和等价转化思想，等价转换思想在考试中应用不是很广泛，但是对于特殊题目能使解答更简便，也需要注意，属于中档题．14.【答案】2，3，4，6，8，14【解析】解：用(x i ,x j )表示符合题意的解．当k =2时，有(7,5)，(13,11)，(15,13)；当k =3时，有(5,2)，(16,13)，(19,16)；当k =4时，有(5,1)，(11,7)，(15,11)，(19,15)；当k =6时，有(7,1)，(11,5)，(13,7)，(19,13)；当k =8时，有(13,5)，(15,7)，(19,11)；当k =14时，有(15,1)，(16,2)，(19,5)．故符合题意的k 值为2，3，4，6，8，14．故答案为：2，3，4，6，8，14．采用列举法，将所有符合题意的k 值求出来即可．本题考查列举法在集合问题中的应用，属于基础题．15.【答案】495【解析】解：根据题意，x =25(2x −y)+15(x +2y)，y =25(x +2y)−15(2x −y)，则x 2+y 2=[25(2x −y)+15(x +2y)]2+[25(x +2y)−15(2x −y)]2=15(2x −y)2+15(x +2y)2，又由16(2x−y)2+9(x+2y)2=1，则x 2+y 2=15[(2x −y)2+(x +2y)2]×(16(2x−y)2+9(x+2y)2)=15×[25+16(x+2y)2(2x−y)2+9(2x−y)2(x+2y)2]≥15×(25+2√16×9)=495，当且仅当16(x+2y)2(2x−y)2=9(2x−y)2(x+2y)2时等号成立，即x 2+y 2的最小值为495；故答案为：495．根据题意，分析可得x2+y2=15(2x−y)2+15(x+2y)2，进而可得x2+y2=15[(2x−y)2+(x+2y)2]×(16(2x−y)2+9(x+2y)2)，结合基本不等式的性质分析可得答案．本题考查基本不等式的性质以及应用，注意x2+y2的变形，属于中档题．16.【答案】(12,2 3 ]【解析】解：∵x2−(a+2)x+2−a<0，x∈N，∴x2−2x+2<a(x+1)令f(x)=x2−2x+2；g(x)=a(x+1)∴A={x|f(x)<g(x),x∈Z}∴y=f(x)是一个二次函数，图象是确定的一条抛物线；而y=g(x)一次函数，图象是过一定点(−1,0)的动直线．又∵x∈Z，a>0.数形结合，可得：12<a≤23．故答案为：(12,2 3 ].因为集合A中的条件是含参数的一元二次不等式，首先想到的是十字相乘法，但此题行不通；应该把此不等式等价转化为f(x)<g(x)的形式，然后数形结合来解答，需要注意的是尽可能让其中一个函数不含参数．此题主要考查集合A的几何意义的灵活运用，利用数形结合的数学思想来解决参数取值范围问题．17.【答案】解：∵U={2,4，a2−a+1}，A={a+4,a2}，A−={7}，∴a2−a+1=7，解得a=−2或3，①a=−2时，A={2,4}，满足题意；②a=3时，A={7,9}，不满足题意，舍去，∴a =−2．【解析】根据题意可得出a 2−a +1=7，然后解出a 的值，并检验是否满足题意即可．本题考查了全集的定义，补集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题．18.【答案】解：(1)∵|x −1|>(√2−x)2，∴|x −1|>2−x 且x ≤2，即{x −1>0x −1>2−x x ≤2或{x −1≤01−x >2−x x ≤2，解得32<x ≤2或x ∈⌀，故不等式的解集为{x|32<x ≤2}．(2)原不等式化为2x 2−3x−53x 2−13x+4−1≥0，整理得(x−9)(x−1)(3x−1)(x−4)≤0，即{(3x −1)(x −1)(x −4)(x −9)≤03x −1≠0且x −4≠0，如图所以原不等式的解集为{x|13<x ≤1或4<x ≤9}．【解析】本题考查了分式不等式的化简以及等价转化，绝对值不等式的解法，以及穿根法求高次不等式的解集，考查化简、变形能力．(1)不等式等价于|x −1|>2−x 且x ≤2，即{x −1>0x −1>2−x x ≤2或{x −1≤01−x >2−x x ≤2，分别求出这两个不等式组的解集，再取并集，即得所求．(2)先化简分式不等式，再等价转化为对应不等式组，由穿根法求出高次不等式的解集．19.【答案】解：(1)由题意可知，二氧化碳的每吨平均处理成本为：y x =12x +80000x −200 ≥2√12x ⋅80000x−200=200，当且仅当12x =80000x ，即x =400时，才能使每吨的平均处理成本最低，最低成本为200元．(2)设该单位每月获利为S ，则S =100x −y (10分)=100x −(12x 2−200x +80000)=−12x 2+300x −80000=−12(x −300)2−35000 因为400≤x ≤600，所以当x =400时，S 有最大值−40000．故该单位不获利，需要国家每月至少补贴40000元，才能不亏损．【解析】(1)由题意月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似的表示为：y =12x 2−200x +80000，两边同时除以x ，然后利用不等式的性质进行放缩，从而求出最值；(2)设该单位每月获利为S ，则S =100x −y ，把y 值代入进行化简，然后运用配方法进行求解．此题是一道实际应用题，考查了函数的最值和不等式的基本性质，及运用配方法求函数的最值．20.【答案】解：(1)当a =0时，x =−1，符合题意；当a ≠0时，令f(x)=ax 2+x +1，要使方程ax 2+x +1=0在区间[−1,1]上有实根，设函数f(x)=ax 2+x +1，则f(−1)⋅f(1)≤0或{△≥0−1≤−12a ≤1f(−1)≥0f(1)≥0，解得：−2≤a <0或12≤a ≤14，综上所求：实数a 的取值范围为：[−2,0]∪[12,14]．(2)由题意可知a ≠0，所以由韦达定理可得：{x 1+x 2=−1a x 1⋅x 2=1a ， ∴(x 1+x 2)2x 1⋅x 2=x 1x 2⋅x 2x 1+2=(−1a )21a =1a ，设t =x 1x 2，则t ∈[110,10]，∴1a =t +1t +2，由对勾函数的单调性可得：2≤t +1t ≤10110，∴1a =x1x2+x2x1+2∈[4,12110]，∴a∈[10121,14 ]，又∵△=1−4a≥0，∴a≤14，∴实数a的取值范围为：[10121,14 ]，∴实数a的最大值为14．【解析】(1)分a=0与a≠0讨论，当a=0时显然符合题意，当a≠0时，结合二次函数f(x)=ax2+x+1的图象，利用一元二次方程根的分布列出不等式组，即可解出a的取值范围，(2)利用判别式、韦达定理构造出a的不等式，用x1x2表示出a，然后利用对勾函数的单调性求出函数的值域即可．本题主要考查了二次函数的性质，考查了一元二次方程根的分布，考查了韦达定理的应用，是中档题．21.【答案】解：(Ⅰ)由题意，当n=3时，若α=(1,1，0)，β=(0,1，1)，则M(α,α)=1+1+0=2，M(α,β)=0+1+0=1．(Ⅱ)考虑数对(x k,y k)只有四种情况：(0,0)、(0,1)、(1,0)、(1,1)，相应的x k+y k−|x k−y k|2分别为0、0、0、1，所以B中的每个元素应有奇数个1，所以B中的元素只可能为(上下对应的两个元素称之为互补元素)：(1,0，0，0 )、(0,1，0，0)、(0,0，1，0)、(0,0，0，1)，(0,1，1，1)、(1,0，1，1)、(1,1，0，1)、(1,1，1，0)，对于任意两个只有1个1的元素α，β都满足M(α,β)是偶数，所以四元集合B={(1,0，0，0)、(0,1，0，0)、(0,0，1，0)、(0,0，0，1)}满足题意，假设B中元素个数大于等于4，就至少有一对互补元素，除了这对互补元素之外还有至少1个含有3个1的元素α，则互补元素中含有1个1的元素β与之满足M(α,β)=1不合题意，故B中元素个数的最大值为4．(Ⅲ)B={(0,0，0，…0)，(1,0，0…，0)，(0,1，0，…0)，(0,0，1…0)…，(0,0，0，…，1)}，此时B中有n+1个元素，下证其为最大．对于任意两个不同的元素α，β，满足M(α,β)=0，则α，β中相同位置上的数字不能同时为1，假设存在B有多于n+1个元素，由于α=(0,0，0，…，0)与任意元素β都有M(α,β)=0，所以除(0,0，0，…，0)外至少有n+1个元素含有1，根据元素的互异性，至少存在一对α，β满足x i=y i=1，此时M(α,β)≥1不满足题意，故B中最多有n+1个元素．【解析】本题考查集合的新定义问题，集合之间的关系，综合性较强，难度较大．(Ⅰ)由定义直接列出即可；(Ⅱ)确定B中元素都含有1，即可列出符合条件的元素；(Ⅲ)根据题意，进行求解即可．。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

9．9
【解析】
略
10．
【解析】
试题分析：，则；，则；，则；，则；，则；其中，由此可得时，可以找到实数，使，但当时，上述区间没有公共部分，故的最大值为 .
考点：取整函数.
11．A
【分析】
概念：不含任何元素的集合及的性质.
【详解】
是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，集合与集合间是包含关系，集合与元素间是属于符号.
【点睛】
本道题考查了分式不等式计算方法，属于较容易的题．
7．
【分析】
不等式的解集为{x|-1＜x＜2}，可得-1，2是一元二次方程的两个实数根，且a＜0，利用根与系数的关系可得a，b，即可得出．
【详解】
解：∵不等式的解集为{x|-1＜x＜2}，∴-1，2是一元二次方程的两个实数根，且a＜0，解得解得a=-1，b=1．则不等式化为，解得 . 不等式的解集为 .
17．命题：集合满足不等式对一切恒成立，命题集合
（1）用区间表示集合A；
（2）若命题是命题的充分条件，求的取值范围.
参考答案
1．8
【分析】
根据n元集合有个子集，结合集合共有n=3个元素，代入可得答案．
【详解】
解：若，即M为集合的子集，由集合共有3个元素,故集合共有个子集.
上海市鲁迅中学【最新】高一上学期期中考试数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、填空题
1．若，则满足条件的集合的个数为_______
2．若 _______
3．已知集合，，且，则的值为_________________
三、解答题
14．已知，求证： .
15．解关于的不等式：．
16．某商品每件成本价80元，售价100元，每天售出100件．若售价降低成成，售出商品数量就增加成，要求售价不能低于成本价．
（1）设该商店一天的营业额为，试求与之间的函数关系式，并写出定义域；
（2）若再要求该商品一天营业额至少10260元，求的取值范围．
【点睛】
考查函数三要素之一定义域的概念及求法，是基础题.
5．-23
【解析】
【分析】
从已知函数解析式可令即可得到答案.
【详解】
解：当时， .
故答案是：-23.
【点睛】
本题考查已知函数解析式求函数值，属于基础题.
6．
【分析】
结合不等式的性质，移项，计算x的范围，即可．
【详解】
结合不等式，可知，对不等式移项，得到，所以x的范围为
对于C：定义域为x≥1，不是同一个函数；
对于D：当时，；当时，，定义域值域都相同.
故选:D.
【点睛】
本题考查了判断两个函数是否为同一函数的问题，是基础题目．
13．D
【分析】
根据不等式的性质可以知道D正确.
【详解】
对于选项A若a=1,b=-3则A错误；对于选项B 才对，若则错；对于选项C中若a=1,b=-2则错.
10．设，表示不超过的最大整数，若存在实数，使得，，…，同时成立，则正整数的最大值是．
二、单选题
11．下列写法正确的是（）
A． B．0 C． D．
12．下列函数中，与函数为同一函数的是（）
A． B． C． D．
13．下列四个命题为真命题的是（）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若 ,则
故答案为 .
【点睛】
本题考查了一元二次不等式的解法、一元二次方程的根与系数的关系，考查了计算能力，属于中档题．
8．
【分析】
由题意可得B的范围为[-2,4]，而表示，解不等式可得的范围.
【详解】
解：，又
，可得 ,即 .
故答案为 .
【点睛】
本题考查实数的取值范围的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意并集的性质和分类讨论的合理运用．
故选:D.
【点睛】
本题主要考查不等式的性质，记熟公式的适用条件是关键.
14．见解析
【分析】
将多项式第二项分项后，结合并利用完全平方公式化简，根据两个非负数之和大于等于0，即证.
【详解】
解：由题意
∴ 成立.
【点睛】
本题考查配方法的应用、非负数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用非负数的性质和配方法解答.
故答案为:A.
【点睛】
集合与集合间是包含关系，集合与元素间是属于符号,解决此问题的关键是掌握空集的性质.
12．D
【解析】
【分析】
根据两个函数的定义域相同，对应关系也相同，判断它们是同一函数即可．
【详解】不是同一个函数；
对于B：值域为，不是同一个函数；
15．当时，即或时，；当时，即时，；当时，时，即时， .
【分析】
转化不等式为；讨论a2与a的大小，解不等式即可.
【详解】
解：原式可化为，则所对应的方程的两个根为，
当时，即或时，；
当时，即时，；
当时，时，即时， .
【点睛】
本题考查了含有参数的一元二次不等式的解法与应用问题，也考查了分类讨论的数学思想，是综合性题目．
4．函数的定义域是_____
5．已知函数，则 _________________
6．不等式的解集为____________
7．已知不等式ax2＋bx＋2>0的解集为{x|－1<x<2}，则不等式2x2＋bx＋a<0的解为______
8．集合 ,若 ,则的取值范围为________．
9．已知且则的最小值为___________
【详解】
解：，且，，解得或者 . 不满足集合中元素的互异性，舍去．符合题意．
故答案是：0．
【点睛】
本题考查集合相等的概念及集合元素的互异性，是基础题．
4．
【分析】
要使该函数有意义，则需满足，这样解该不等式即可得出该函数得定义域.
【详解】
由题可得，得且，该函数定义域为 .
故答案是： .
故答案为：8．
【点睛】
本题考查的知识点是子集与真子集，熟练掌握n元集合有2n个子集，有2n-1个真子集，是解答的关键．
2．
【解析】
【分析】
根据集合的交集的定义即可求出.
【详解】
解：
故答案是： .
【点睛】
本题主要考查了集合的运算,属基础题.
3．0
【解析】
【分析】
由A={1，﹣m}，B={1，m2}，且A=B，知m2=﹣m，由此能求出实数m的值，m=﹣1不满足集合中元素的互异性，舍去．