随机振动讲义全文

目录

第一章绪论 (2)

1.1 随机振动的基本概念和特征 (2)

1.2 随机振动研究的内容和意义 (3)

第二章随机振动的数学描述 (5)

2.1 随机过程的基本概念和特征 (5)

2.2 随机过程的数学描述 (6)

2.2.1 随机变量定义 (6)

2.2.2一维随机变量的概率分布函数与概率密度函数 (7)

2.2.3多维随机变量 (8)

2.2.4随机变量的数字特征 (10)

2.2.5随机变量的分布以及运算 (14)

2.3 随机过程的幅域描述 (14)

2.3.1 随机过程概率统计特征量 (14)

2.3.2 平稳随机过程 (16)

2.4 随机过程的时域描述 (17)

2.4.1 各态历经随机过程 (18)

2.4.2 平稳随机过程的自相关函数 (18)

2.4.3互相关函数 (19)

2.5随机过程的频域描述： (20)

2.5.1 典型函数的傅里叶变换 (20)

2.5.2功率谱密度函数 (22)

2.5.3 平稳随机过程的谱分类： (25)

2.5.4 随机过程的分布 (27)

2.6随机过程的运算 (28)

2.6.1微分运算 (28)

2.6.2积分运算 (28)

2.6.3随机振动位移、速度和加速度的相关函数和谱密度函数关系 (29)

第三章SDOF系统的随机响应 (32)

3.1 系统的脉冲响应函数和频率响应函数描述 (32)

3.2 单自由度系统随机响应分析 (33)

第四章多自由度系统的随机响应分析 (41)

4.1 多自由度系统的脉冲响应函数、频率响应函数 (41)

4.2单输入问题的MDOF系统的随机响应 (43)

4.3多输入问题的MDOF系统的随机响应 (45)

4.4 MDOF系统随机响应分析的模态方法 (52)

4.5 随机响应分析的虚拟激励方法 (55)

第五章连续系统的随机响应分析 (62)

参考文献 (68)

第一章 绪 论

1.1 随机振动的基本概念和特征

前面研究的振动问题都属于确定性振动(deterministic vibration)，所谓的确定性就是指振动是有一定规律的，或者可以用一个确定的函数来描述，或者可以用若干离散的值来描述，而且这个规律是可以重复的，可以预先估计的。例如，无阻尼自由振动问题：

0m x k x +=

(1-1) 0(0)x x = 0(0)x v = 在确定的初始条件作用下，系统的振动响应规律为：

()()s i n x t A t ωα=+ (1-2)

其中，ω=A 和α由初始条件确定。只要已知初始时刻的振动值0x ，0v ，就可以预知之后任意时刻的振动值。该系统在另外一次相同的初始激励下，系统振动规律理论上会得到完全的重复。再看一个有外激励力作用的系统的振动规律：

()mx kx f x += (1-3)

(0)0x = (0)

0x = 这个系统的振动规律为：

()()()t x t f h t d τττ-∞

=-?

(1-4)

其中，f 为任意的外激励，h 为系统的脉冲响应函数。这个杜哈梅积分如果可以精确积分，振动规律可以表示成一个确定的函数表达式，如果不能，需要利用数值积分，得到的振动规律是一组给定的离散时刻的确定的数值。同样，在下一次相同的外激励作用下，振动规律还可以得到完全的重复。

在自然界和工程实际中还存在另外一种截然不同的现象，其变化是高度不规则，无规律的，不可预估也不可重复，物理现象的这种变化规律称为随机的。例

如，海浪，地震，阵风（湍流），火箭的喷气噪声以及不平路面。在随机现象作用下，系统产生的振动规律也同样有随机的特征，振动过程是不确定的，这样振动称为随机振动。工程中有很多这样的实际例子：

在海浪作用下，海洋平台结构、水面舰船、出入水的导弹的振动

在湍流作用下，飞行器结构的振动

在阵风作用下，高耸建筑物、桥梁的振动

在地震作用下，所有地面建筑结构的振动

在发动机喷气噪声以及大气气动噪声的作用下，火箭、导弹等飞行器结构的振动

在不平路面的作用下，各种车辆的振动。

这些振动都是确定的工程结构在随机的外激励力或运动激励作用下产生的，都是随机振动。上述例子共同的特征是：

激励和响应都不能用时间的确定函数来描述；

对于某一特定时刻取值不确定；

对于单个试验记录，从当前时刻的值无法预估之后时刻的值；

两次相同条件的试验结果不可能重复，但多次的试验结果放在一起却可以发现现象的某些统计规律。

就是说振动运动是随机的，所以在任一给定时刻

t t 时x的精确值不可能精

确预计，我们最多只能求出在时刻

t，x取值于某一区间的可能性或概率，给出

在某一时刻的统计规律，而且统计规律也可能是随时间变化的。

1.2 随机振动研究的内容和意义

随机问题，主要分为两大类：

1）系统是确定性的，激励是随机的

前面所列举的例子都属于这一类。确定性的系统在随机的激励作用下，系统的响应也是随机的。在这类问题中，主要研究激励以及由其引起的随机振动响应的统计规律，研究这些规律与系统特性之间的关系。通常的随机振动研究主要属于这一类。

2）系统是随机的，激励或确定，或随机

自然界和工程中也有这样的问题，例如，雨天，输电线的振动问题，这里，输电线的质量是随机变化的，也就是系统的特性是随机的。这类问题，同样也是研究随机现象的统计规律以及它们之间的相互关系。

当然，随机振动也有其它的分类，

按系统自由度可分为：单自由度随机振动；多自由度随机振动；无限多自由度随机振动。

按振动微分方程的特点可分为：线性随机振动；非线性随机振动。

按随机振动频带宽窄可分为：宽带随机振动，窄带随机振动。

按振动的特性随时间变化情况可分为：平稳随机振动；非平稳随机振动。

我们主要研究线性单、多自由度、连续体系统在单个和多个平稳随机激励作用下的响应分析。

实际工程中，随机振动现象是十分普遍的，严格地说，一切实际系统的振动都是随机的，只不过有些振动随机的成分很小，可以忽略，当作确定性系统来研究。但是对于象湍流引起的飞机、火箭的振动、海浪导致出入水的导弹的振动，以及前面介绍的其它例子，都必须考虑振动的随机性，用随机振动的研究方法进行研究，才能得出更符合实际情况的结论。

第二章 随机振动的数学描述

由于确定性的结构系统在随机变化的激励力作用下，系统的振动响应也是随

机变化的，所以随机振动主要研究激励以及由其引起的随机振动响应的统计规律，以及这些规律与系统特性之间的关系。对这些规律我们可以利用概率论的知识对他们进行定量或定性的研究，所以，首先我们要对随机激励或者随机响应进行赋值，也就是用一个变量来表示，也就是要对随机振动的各个量进行数学描述。

2.1 随机过程的基本概念和特征

随机过程是对在空间和时间上高度不规则，事先无法预估，其变化也无法重

复，其统计规律随时间演化的物理现象的一种数学描述。工程中存在着很多这种物理现象，如在第一章所举的例子，这些物理现象无法用确定性的理论来描述，但可以用随机过程来描述。随机振动的数学抽象即为随机过程。

随机过程的每一次测量所得结果可看作一次实现，或叫样本函数。所有可能的样本函数的集合构成一个随机过程。因此，随机过程是由时间上无限长、样本的无限多个的样本函数构成的，可以写为：

(){}(),,1,2,...j X t x t t T j =∈= (2-1)

图2-1: 随机过程示意图

随机过程的每次实现是一个确定的非随机函数，但各个实现各不相同，因此

为了得到随机过程的统计特性也必须做大量的独立测量。例如在同一条件的海域内，布置n 个同一类型的波高仪，可同时测得n 个记录，得到n 个实现，

()()()12,,...,n x t x t x t 。在某一固定时刻1t 可得各样本瞬时波面高度

()()()11211,,...,n x t x t x t ，它们构成了通常的随机变量()1x t ，在另一时刻2t 又构成

另一个随机变量()2x t 。因此随机过程也可以是样本空间上的随机变量()x t 的集合。下文就将()X t 表示为随机过程。随机过程是随机变量进一步发展得到的，是随机变量随时间的变化，是随机变量的推广。

可以看出随机过程是对随机现象的完全描述，严格的随机过程应包含随机现象的无穷多个独立测量样本，而且每个样本应该在时间上是无限长。实际分析中，我们只能用样本长度有限，样本数目有限的样本集合来代替随机过程。所得结果仅是随机现象统计特征的一个估计，一个近似。

2.2 随机过程的数学描述

随机过程的概念一方面定义为无穷多个样本函数的集合，另一方面可以看作

无穷多个随机变量的集合

(),1,2,...i X t i =∞ (2-2)

其中()i X t 是由随机过程X 在i t 时刻所有可能的取值()j i x t 构成的随机变量，j 是样本函数的编号，1,2,...j =∞。正因为它可以认为是由无穷多个随机变量构成的，所以我们首先从随机变量的概率描述角度，来对随机过程进行描述。

2.2.1 随机变量定义

对所研究的随机现象赋值便得到了一个随机变量，例如，哈尔滨地区每年冬

天的最低气温。在同一海域内布置n 个同一类型的波高仪，在某一时刻所测得的n 个波高值，就构成一个描述波高可能取值的随机变量。在相同随机激励的多次作用下，结构系统在某一固定时刻振动响应可能的取值，都属于随机变量。

许多随机现象的试验结果表现为数量，用来表示随机试验各种结果的变量叫做随机变量。随机试验的一种结果也就是随机变量的一个可能取值，这些所有可能的取值的集合就是一个随机变量，用集合符号表示就是：

{},

1,2,3,...j X x j n == (2-3)

式中j x 为随机变量X 的一种可能取值。n 取有限值就是离散随机变量，n 取无穷

大就是连续随机变量。

研究一个随机变量，不但要知道它在每次试验时的取值，更重要的是要知道它取这个数值的概率。综上所述随机变量的基本特征，用数学的语言来描述给出的定义为：定义于某样本空间Ω上的实变量(),X n n ∈Ω，如果对于每一个实数

x ，()X n x ≤的概率Prob {()}X n x ≤都存在，那么就称()X n 为随机变量。通常主要考虑随机变量()X n 的值取在整个实数轴(),-∞+∞上的问题。以下为行文方便()X n 简写为X 。

2.2.2一维随机变量的概率分布函数与概率密度函数

对一个随机变量作完整的概率描述就是给出它的概率分布，也就是给出X 取值小于每一个(,)x ∈-∞∞的概率，就是给出函数：

()Pr {,(,)}()F x ob X x x P X x =<∈-∞∞=< (2-4)

F(x)称为X 的概率分布函数。概率分布函数的性质：

1） ()1F +∞= (2-5) 由定义可知实变量X 取值小于+∞的概率是100%，或说X <+∞是肯定的

2） F

∞（-）=0 (2-6) X 取值小于-∞的概率是0，或说X <-∞是不可能的 3） ()F x 是单调增函数

由定义可知，若2121,()()x x F x F x >>则 4) ()0,F x ≥恒非负

5) 对任意元素12x x <，有X 取值在区间()12x ,x 内的概率为：

2112()()Pr ()F x F x ob x x x -=<< (2-7)

6） Pr ob

>x F x （X ）=1-() (2-8) Pr Pr ()()ob X >x ob x X F F x F x <<∞=∞（）=+()-=1-()

注意：对连续型随机变量，取值为一个特定值的概率为零，Pr ob =（X x）=0。

当F(x)连续可导时，可以得到其导数函数

0()()()

()lim dx dF x F x dx F x p x dx dx

→+-=

= (2-8) 其意义可解释为随机变量X 取值在x 附近的单位区间的概率大小，因为：

22()1

()()()()...()()()2

dF x F x dx F x dx F x dx p x dx o dx p x dx dx ''+-=++=+≈

()()Pr ()F x dx F x ob x X x dx +-=<<+

因此，p (x )大表示F (x )在该点的变化较大，也就是在这个区间概率分布密度也大，所以也称p (x )为概率分布密度函数，简称概率密度函数。概率密度函数表示X 取值在x 点附近的单位区间内的概率大小。 概率密度函数的性质：

1）()()x

p u du F x -∞=? (2-9)

2）()()()()1p u du F F F ∞

-∞=+∞--∞=+∞=? (2-10)

3）

2

2

1

1

2

1

()()()()x x x x p u du dF u F x F x ==-?? (2-11)

4） ()0p x ≥ (2-12) 单调增函数的导函数恒非负。

5） ()()0p p +∞=-∞= (2-13)

0x ∞-∞取+，附近的概率是

2.2.3多维随机变量

有些问题需要考虑两个或两个以上的随机现象同时发生的概率，例如打靶，就需要考虑在x y ，两个方向同时射中区间a x a y b -≤≤≤≤，-b 的概率，这就是二维联合概率问题，还有更多维，仅以二维为例。

对于二维的随机变量[,]Z X Y =，它的联合概率分布函数定义为：

(,)Pr (,)(,)F x y ob X x Y y P X x Y y =<<=<< (2-14)

即(,)F x y 为随机变量X 取小于x 同时Y 小于y 的概率，性质：

1）

(,)0,,F x y x y R ≥∈ (2-15) 2）(,)(,)(,)0F y F x F -∞=-∞=-∞-∞= (2-16)

3）

(,)1F +∞+∞= (2-17) 4）(,)Pr (,)()Pr ()F x ob X x Y F x ob X x +∞=<<+∞==< (2-18) 5）(,)Pr (,)()Pr ()F y ob X Y y F y ob X y +∞=<+∞<==< (2-19) 6）(,)F x y 单独对,x y 是单调增函数

7) 2

1

211221(,)(,)P r (,)()()()x x F x F x o b x X x Y F x F x p x d x +∞-+∞=<<<+∞=-=? (2-20)

当(,)F x y 有二阶偏导数时，有

2(,)

(,)F x y p x y x y

?=

?? (2-21) 这个二阶偏导函数定义了二维联合概率密度函数。由定义及(,)F x y 的性质可知，

(,)(,)y

x

F x y p d d

ξηξη-∞-∞

=??

(2-22) 二维联合概率密度函数性质：

1）(,)0p x y ≥ (2-23)

2）(,)1p x y dxdy +∞+∞

-∞-∞

=?

? (2-24)

3）(,)(,)((,))()()x x

x

F x p d d p d d F x p d ξηξηξηηξξξ+∞

+∞

-∞-∞

-∞-∞

-∞

+∞====?????

所以有

(,)()p x y dy p x +∞

-∞

=? (2-25)

同理，由于

(,)(,)((,))()()y

y

y

F y p d d p d d F y p d ξηξηξηξηηη+∞+∞

-∞-∞

-∞-∞

-∞

+∞=

===?????

有

(,

)()p x y d x p y +∞

-∞

=? (2-26)

这就给出了二维联合概率密度函数与一维的关系。

对于二维随机变量，还定义有条件概率密度函数为：

(,)(,)

(:),(:)()()

p x y p x y p x y p y x p y p x =

=

， 其中(:)p x y 表示在y 条件下，x 发生的概率，且有 (,)(:)()

(:)p x y p x y p y p y x p

x =?=? (2-27) 若X ，Y 统计独立，则

(:)(),(:)(p x y p x p y x p

y == (2-28) 且有

(,)

()()p x y p x p y =? (2-29) 2.2.4随机变量的数字特征

随机变量的统计特征可以用概率分布函数，或概率密度函数作完整描述，但要确定这些函数一般不大容易，通常也不是总有这个必要，实际问题是只需主要的统计特征即可，这些主要的数字特征称为随机变量的矩。

原点矩：实随机变量X 的n 阶矩定义为n X 的集合平均，也称n 阶原点矩，即有

[]()n n

E X x

p x dx ∞

-∞

=

? (2-30)

其中最常用的是一阶原点矩和二阶原点矩。 一阶原点矩定义为

[]()E X x p x d x

∞

-∞

=

?

(2-31) 也就是随机变量的均值，也称数学期望，常记为x μ。（对离散随机变量有1[]()n

x i i i E x x p x μ===∑，如果随机试验得到一系列独立的观测值i x （1,2,3...i n =）

，那么其样本均值为：1

1n

i i x x n ==∑）

一阶原点矩性质：

1.()E a a = a 是常数 (2-31)

2.[][]E aX aE X = (2-32)

3.[][]E a X a E X +=+ (2-33)

[]()()()()[]E a X a x p x dx a p x dx xp x dx a E X +∞

+∞

+∞

-∞

-∞

-∞

+=

+=+=+???

4. [][][]E X Y E X E Y +=+，或者[][]i i i

i

E X E X =∑∑ (2-33)

证明：

[]()(,)(,)(,)(,)(,)()()[][]

E X Y x y p x y dxdy xp x y dxdy yp x y dxdy

x p x y dy dx y p x y dx dy

xp x dx yp y dy

E X E Y +∞+∞

+∞

+∞

+∞

+∞

-∞-∞

-∞

-∞

-∞

-∞

+∞

+∞

+∞+∞

-∞-∞

-∞

-∞

+∞

+∞-∞

-∞

+=+=+=?+?=+=+?

?

??

?

?

??

?

?

?

?

5. 若二者相互统计独立

[][][]E X Y E

X E Y =或者[][]i i i

i

E X E X ∏=∏ (2-34) 证明：

[](,)(,)()()[][]

E XY xyp x y dx dy xyp x y dy dx

xp x dx yp y dy E X E Y +∞

+∞

+∞

+∞

-∞-∞

-∞

-∞

+∞

+∞-∞

-∞

=?=?=???=?

?

?

?

?

?

二阶原点矩定义为：

2

2[]()E X x p x dx +∞

-∞

=??

(2-35)

也称为随机变量的均方值，常记为2

x ψ，通常表示随机变量的能量水平。

上面讨论的都是随机变量相对于坐标原点的矩，也称为原点矩，还有一种常见的矩，是相对于均值的，称为中心矩。n 阶中心矩定义为： [()]()()n

n x x E X x p x dx μμ+∞-∞

-=-? (2-36)

一阶中心矩为： []()()()()x x x x

x E X x p x d x x p x d x

p x d x μμμμμ+∞

+∞

+∞

-∞

-∞

-∞

-=-=-=-=?

?

? (2-37) 二阶中心矩为：

2

2[([])]()()[]x E X E X x p x dx D x μ+∞

-∞

-=-=? (2-38)

也称为X 的方差，常记为2x σ，其平方根x σ称为标准差。

对离散随机变量有 22

21

[][()]()()n

x

x i

x i i D X E X x p x σ

μμ===-=-∑

(2-39)

样本方差（Sample variance ）

221

1[]()n

x

i x i D X x n σμ===-∑ (2-40)

方差表明随机变量偏离均值的程度。方差性质：

1. []0,D a a =是常数 (2-41)

2. 2[][]D aX a D X = (2-42) 2

2

2

2[][([])][()][]

x D a X E a X

E a X a E X a D X μ=-=-= 3. [][]D a X D X += (2-43) 22[][([])][([])][]D a X E a X E a X E X E X D X +=+-+=-=

4. 22[][][]D aX bY a D X b D Y +=+，若,X Y 统计独立 (2-44) 证明：

22222222222[][([])][([][])]

[(([])([]))]

[([])][([])]2[([][][][]][][]2([][][])][][]y x x y D aX bY E aX bY E aX bY E aX bY aE X bE Y E a X E X b Y E Y a E X E X b E Y E Y abE XY XE Y YE X E X E Y a D X b D Y ab E XY E X E Y a D X b D Y μμμμ+=+-+=+--=-+-=-+-+--+=++--+=++222()[][]

x y x y x y x y ab a D X b D Y μμμμμμμμ--+=+

均值，均方值（均方根值），方差2

x σ（标准差）是随机变量最重要的三个数字特

征量，它们之间有如下关系：

22222222

[()][2][]2[]x x x x x x x x

E x E X X E X E X σμμμμμψμ=-=-+=-+=- (2-45) 联合矩：多个随机变量的矩的关系是联合矩，以两个随机变量,X Y 为例，其（,n m ）阶的联合原点矩定义为： [](,)n m n m

E X Y x y p x y d x d y +∞+∞-∞

-∞

=?

?

(2-46) 1n m ==时有

[](,)E XY xyp x y dxdy +∞

+∞

-∞

-∞

=?

?

，也称为相关矩 (2-47)

当,[][][]X Y E XY E X E Y =统计独立时有，。 同理有（,n m ）阶的联合中心矩定义为：

[()()]()()(,)n m n m x y x y E X Y x y p x y dxdy μμμμ+∞

+∞

-∞

-∞

--=--?

?

(2-48)

1n m ==时有

[()()]()()(,)()(,)[][][]

x y x y y x x y E X Y x y p x y dxdy

xy x y p x y dxdy E XY E X E Y μμμμμμμμ+∞+∞

-∞-∞

+∞+∞

-∞

-∞

--=--=--+=-?

???

(2-49)

也称为随机变量,X Y 的协方差（Covariance ）,两个随机变量之间的协方差表征了它们之间的相关性，通常用[,]xy C Cov X Y =表示，即 [,][()()]

[][x y x

y C C o v X Y

E X

Y E X Y E X

Y μμ==--=- (2-50) 当两个随机变量相互统计独立则有

[][][],xy E XY E X Y C == (2-51)

当xy C 不等于0时，说明X ，Y 之间具有相关性，但是相关程度的大小，通常用xy

C 的无量纲化的系数来表征 1xy

xy x y

C ρσσ=

≤ (2-52)

称为相关系数。其绝对值小于一，为了证明这一点，利用如下著名的Schwarz 不等式

12

2

2

[]([][])E XY E X E Y ≤ (2-53) 特别地，当1Y =时，有1

2

2[]([])E X E X ≤

1122222

2

[()()][()()]1([()][()])

([()][()])

x y x y xy

xy x y

x y x y E X Y E X Y C E X E Y E X E Y μμμμρσσμμμμ----=

=

≤

≤----

当xy C =0，即,X Y 统计独立时有0xy ρ=，所以

01,11x y x y

ρρ≤≤-≤≤, (2-54) 当1xy ρ=时，称为随机变量X,Y 完全相关。

2.2.5随机变量的分布以及运算

随机变量的特定概率密度函数对应着特定的取值分布，常见的分布有均匀分布，高斯分布（正态分布）等。 均匀分布的概率密度函数为

1

,()0,a x b p x b a

?<

=-???其它

(2-55)

高斯分布的概率密度函数为 2

()21

()2x x

x x

p x e

μσπσ--

=

(2-56)

随机变量的初等函数仍然是随机变量，后者的分布由前者确定，且若已知X 的()p x ，()Y g X =，则有 []()()()E Y y p y d y p x g x d x

+∞

+∞-∞

-∞

==??

?

(2-57)

2.3 随机过程的幅域描述

2.3.1 随机过程概率统计特征量

上述对随机变量的成熟的概率描述手段，可以直接用于描述随机过程，只不过为了表示随机过程是一个动态的，随时间变化的过程，需要加一个时间变量，如

(,)i p x t 表示随机过程在i t 时刻的随机变量()i X t 的概率密度函数，一维概率分布函数定义为：

(,)Pr [(),,](,)x

F x t ob X t x x R t T p x t dx -∞

=<∈∈=? (2-58)

对应的数字统计特征为：

()[()](,)x t E X t xp x t dx μ+∞

-∞

==? (2-59)

2

2

2()[()](,)x

t E X t x p x t dx ψ+∞

-∞

==? (2-60)

2222()[(()())]()()x x x x t E X t t t t σμψμ=-=- (2-61)

表明随机过程在每一时间截口的分布中心，能量水平和偏离分布中心的程度。这些一维的概率分布只能描述各个独立时刻单个随机变量的概率特性，无法揭示随机过程不同时刻之间的相互关系，为此必须使用二维以上的概率分布描述。随机

过程的二维概率分布函数定义为：

1

2

11221122112212(,,,)Pr [(),()](,,,)x x F x t x t ob X t x X t x p x t x t dx dx -∞-∞

=<<=?

?

(2-62)

其性质也和前述二维概率分布函数和二维概率密度函数性质类似。回忆前述描述不同随机变量之间相关程度的数学特征量是协方差，对随机过程不同时刻之间的相关性也可以用该量来描述，同样定义：

121122[(),()][(()())(()())]x x Cov X t X t E X t t X t t μμ=-- (2-63)

为随机变量的自协方差，通常用12(,)x C t t 表示。

121211221212(,)[(),()][(()())(()())]

[(()()]()()

x x x x x C t t Cov X t X t E X t t X t t E X t X t t t μμμμ==--=- (2-64)

上式右侧第一项是12(),()X t X t 的相关矩，一阶联合原点矩也称随机过程()X t 的自相关函数，通常记为：

1212

1

211

22(,)[()()](,,,)x R t t E X t X t x x p x t x t d x d x +∞+∞-∞

-∞

==??

(2-65) 上述(2-64)公式表明若随机过程的均值()0x t μ=，那么有

1212(,)(,)x x C t t R t t = (2-66)

12(,)x R t t 也就表示了随机过程不同时刻的随机变量之间相关程度。由于多数随机过程，例如，海浪符合这个条件，所以，将二者统称为相关函数。用x R 代替x C 。很显然有

2

(,)[()()]()x x R t t E X t X t t ψ== (2-67) 22(,)[(()())]()x x x C t t E X t t t μσ=-= (2-68)

以上考虑的是单一随机过程的概率描述。对不同的随机过程(),()X t Y t 可分别派生出两族随机变量(),()(,1,2,3...)i k X t Y t i k =。因而，有是需要考虑它们之间的联合概率分布或联合矩。此时联合概率密度函数可以写为1122(,,,)p x t y t 。他们之间的二阶联合原点矩和中心矩分别为

12121122(,)[()()](,,,)xy R t t E X t Y t xyp x t y t dxdy +∞

+∞

-∞

-∞

==?

?

(2-69)

1211221212(,)[(()())(()())](,)()()xy x y xy x y C t t E X t t Y t t R t t t t μμμμ=--=- (2-70)

xy R ，xy C 分别是称为互相关函数和互协方差函数，表示他们是来自于不同的随机过程，对应的来自于同一随机过程都冠以“自”。 均方差，方差，自相关，协方差，统称为二阶矩。 若2[()],E X t <∞则均方差存在，由Schwarz 不等式：

1

22

2

1212[()()]([()][()])E X t X t E X t E X t ≤

可以推知自相关函数必定存在。即可认为随机过程的二阶矩函数存在，()X t 表示二阶矩过程。

与相关系数对应规范化的互协方差函数为： 121212(,)

(,)()()

xy xy x y C t t t t t t ρσσ=

(2-71)

2.3.2 平稳随机过程

在实际中经常遇到这样一类随机过程，他们随时间变化是在一平均值周围连续地随机波动，其统计特征都基本上不随时间变化，称该过程为平稳随机过程（Stationary random process ）。

平稳随机过程一般定义:若一个随机过程的概率特征量在时间参数做任意平移时保持不变，则称此过程是平稳的。

严格平稳随机过程定义:若随机过程的n 维联合概率密度函数对任意实数τ都有

11221122(,,,,,)(,,,,,)n n n n p x t x t x t p x t x t x t τττ=+++ (2-71)

则称此过程是n 阶平稳的，且低于n 的各阶也都是平稳的，如

111,1(,)()p x t p x t τ=+ 11221,122(,;,)(;,)p x t x t p x t x t ττ=++

这个定义是严格平稳的条件。严格平稳的条件工程上很难满足。因此引入了广义平稳（弱平稳或者宽平稳）的概念：若一个随机过程均值和自相关函数或者协方差不随时间变化，即满足

1. ()x i x t const μμ== (2-72)

2. 1122(,)(,)...()x x x C t t C t t C const τττ+=+=== (2-73) 两个条件，即均值不随时间变化，协方差也不与计时起点或时间原点有关，只与时差τ有关。这样的随机过程称为广义平稳随机过程。工程中的平稳的含义通常

是指广义平稳。平稳随机过程的协方差

2[(),()][(()())(()

())]

[()(()][()]()()[

()]

[(

)(()]2()()()(

)[()(()]()(

)

()x x x x x x x x x x x x

Cov X t X t E X t t

X t t E X t X t E X t t t E X t E X t X t t t t t E X t X t t t R τμτμττμτμττμμτμμττμμττμ+=-+-+=+-+-+=+-+++=+-+=-

协方差的一个重要性质是:在随机过程上增加一个确定性函数并不改变协方差函数。例如：()X t 的均值为()x t μ和协方差12(,)x C t t ，()t η是一个确定函数，则

()()()Y t X t t η=+的协方差不变。

1212(,)ov[(),()]y C t t C Y t Y t =

()[()][()()][()]()()()y x t E Y t E X t t E X t t t t μηημη==+=+=+

1212112211112222112212(,)ov[(),()][(()())(()())][(()()()())(()()()())][(()())(()())](,)

y y y x x x x x x C t t C Y t Y t E Y t t Y t t E X t t t t X t t t t E X t t X t t C t t μμημηηημμμ==--=+--+--=--=

显然：当()()x t t ημ=-时有，()()()x Y t X t t η=-，且()Y t 的均值为零，

12(,)y C t t 12(,)x C t t =。

所以对协方差的要求就和对自相关函数的要求一样。此外，对平稳随机过程而言，有时为了简化运算而假设平稳随机过程均值为零，工程中有许多过程为零。

注意：由上述平稳随机过程定义可知，满足这个定义的随机过程的样本函数无限长，而且在整个(0,)+∞上统计特性对时间参数原点的选取有一定的均匀性，即与参数t 的初始时刻选取无关，而实际的随机过程通常很难满足这个条件，因此在实际工程问题处理中，只要一个随机过程在一个较长的区间上呈现上述均匀性，就可以近似看作平稳随机过程。例如，火车在启动和停止阶段，就不满足均匀性的假设，但在中间较长一段时间内是基本匀速行驶的，因此可看作广义平稳过程。

2.4 随机过程的时域描述

随机振动的时域描述主要指时差域描述，用随机过程不同时刻之间的相关情况来描述随机振动。这里主要指平稳随机过程，而且通常还假设均值为零。

2.4.1 各态历经随机过程

平稳随机过程的均值和方差不依赖于时间，均值可由任意时刻的多个样本的集合平均求得，协方差也仅取决于作相关的时差τ，但仍需对随机过程进行大量观测，取得足够多的样本函数，尽管样本函数可能不需要很长，但工作量仍然是很大的。因此就猜想能否用仅用一个足够长的样本来代替大量样本构成的总体，用该样本的时间平均特性代替样本空间的集合平均特性呢？为此引入样本函数时间平均概念。

设平稳随机过程X (t )任一样本函数为X i (t )，下文为书写简便用()X t 代替任一无限长样本函数，其时间均值定义为：

1

()lim

()T

x T X t x t dt T

μ→∞==??

(2-74)

时间平均意义下的自相关函数定义为：

1()()()lim

()()T

x T R X t X t x t x t dt T τττ→∞=+=+? (2-75)

时间平均意义下的均方值 当0τ=时有，

2

2

1(0)()()lim

()T x x T R X t X t x t dt T ψ→∞===? (2-76)

时间平均意义下的方差定义为

222

1(())lim

(())T x x x

T X t x t dt T σμμ→∞=-=-? (2-77) 各态历经随机过程：对一个平稳随机过程，若有

[()]()x E X t X t μ== (2-78)

则称该平稳随机过程关于均值遍历。若有

()()[()()]()x X t X t E X t X t

R

τττ+=+= (2-79) 则称过程关于相关函数具有遍历性。具有一定遍历性的随机过程称为遍历过程，或称各态历经随机过程。也可以写成如下形式：

()[()]i j X t E X t =（均值遍历） (2-80) ()()[()(

)]i i j j X t X t E X t X t ττ+

=+（相关函数遍历） (2-81) 其中，i 为样本函数编号，j 为时间采样点编号。

平稳随机过程遍历的基本含义就是样本函数的总体统计特征等于单个样本在较长时间段内的时间统计特征。

2.4.2 平稳随机过程的自相关函数

根据前述的集合平均意义以及时间平均意义上的自相关函数定义，可以得到

其性质如下：

1.2

1(0)lim

()()0T x x T R x t x t dt T ψ→∞=?=≥? (2-82) 2. ()(0)x x R R τ≤ (2-83)

证明： 由于

2

1lim [()()]0T

T x t x t dt T

τ→∞±+≥?

所以

22

01lim

[()2()()()]2(0)2()0T x x T x t x t x t x t dt R R T τττ→∞±+++=±≥?

由此有

()(0)x x R R τ≤

说明随机变量与自身的相关性最好。

3.()()x x R R ττ=- (2-84)

证明：0

1

()lim

()()T

x T R x t x t dt T

ττ→∞=+?

1()l i m ()(

)T

x T R x t x t d t

T ττ→∞-=-? 令，,,t t t t dt dt ττ'''-==+= 所以有

1()lim

()()()T x x T R x t x t dt R T τ

τ

τττ--→∞'''-=+=?

由平稳性定义也可以直接得到()x R τ是偶函数这个性质。

4. lim ()0x R ττ→∞

= (2-85)

通常实际的物理系统总是有一点耗散的，随着时差的增大，一般来说随机过程的相关性有所减弱，而且当τ到∞时有，()x R τ趋向于0。

2.4.3互相关函数

在随机振动分析中，通常要用到来自两个不同随机过程的相关，例如随机激励力与随机振动响应的相关情况，还有两个以上不同的随机激励力作用在同一结构上等情况。对各态历经的随机过程(),(),X t Y t 互相关函数定义为：

1()l i m ()()T

xy x R x t y

t dt T ττ→∞=+? (2-86)

性质：

1.()xy R τ()xy R τ≠-，一般不对称 (2-87)

2. ()xy R τ()yx R τ=- (2-88) 证明：0

1()lim

()()T

xy T R x t y t dt T ττ→∞=+?

令,,t t dt dt t t ττ'''+===-

1()lim ()()()T xy yx T R y t x t dt R T τ

τ

τττ+→∞'''=-=-?

例2-1： 1()x t 与2()x t 为两个平稳随机过程，求1122()()()y t a x t a x t =+自相关函数 解：

11221122221112221212122122

1

1122212122122112()()()(()())(()())()()()()()()()()()()()()[()()()()()y x R y t y t a x t a x t a x t a x t a x t x t a x t x t a a x t x t a a x t x t a

x t x t a x t x t a a x t x t x t x t a R a R τττττττττττττ=+=++++=+++++++=+++++++=+2121221()(()())

x x x x x a a R R τττ++

对均值为零的平稳随机过程，若,x y 相互独立则有()0xy C τ=，即()0xy R τ=

2.5随机过程的频域描述：

2.5.1 典型函数的傅里叶变换

()x t 的连续傅里叶定义为：

2()()()j t j ft X x t e dt x t e dt ωπω+∞

+∞

---∞

-∞

=?=??

? (2-89)

1()()2j t x t X e d ωωωπ

+∞

-∞

=

??

(2-90)

线性性质：

()()()()ax t by t aX bY ωω+?+ (2-91)

对称性质：

()()

()()

x t X x t X ωω?-?- (2-92)

平移性质：