八年级上册几何证明的重要定理
青岛版八年级数学上册典例举析：几何证明
• 所以∠ADE＝∠DAE，故EA＝ED. • 因为EA是圆的切线，所以由切割线定理知， • EA2＝EC·EB. • 而EA＝ED，所以ED2＝EC·EB.
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热点三 四点共圆的判定
【例4】 如图，已知△ABC的两条角平分线 AD和CE相交于H，∠B＝60°，F在AC 上，且AE＝AF.证明：(1)B、D、H、E 四点共圆； (2)EC平分∠DEF. 证明 (1)在△ABC中，因为∠B＝60°， 所以∠BAC＋∠BCA＝120°. 因为AD、CE是角平分线， 所以∠HAC＋∠HCA＝60°， 故∠AHC＝120°.
• (1)证明：A，P，O，M四点共圆； • (2)求∠OAM＋∠APM的大小．
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(1)证明 连接OP、OM， ∵AP与⊙O相切于P，∴OP⊥AP， 又∵M是⊙O的弦BC的中点， ∴OM⊥BC， 于是∠OMA＋∠OPA＝180°， 由圆心O在∠PAC的内部，
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可知四边形 APOM 的对角互补， ∴A，P，O，M 四点共圆． (2)解 由(1)得 A，P，O，M 四点共圆，可知∠OAM ＝∠OPM，又∵OP⊥AP，由圆心在∠PAC 的内部， 可知∠OPM＋∠APM＝90°， ∴∠OAM＋∠APM＝90°.
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• (2)相似三角形的性质 • ①相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比
都等于相似比； • ②相似三角形周长的比等于相似比； • ③相似三角形面积的比等于相似比的平方． • (3)直角三角形的射影定理：直角三角形中，每一条直角边是这
条直角边在斜边上的射影与斜边的比例中项；斜边上的高是两直角 边在斜边上射影的比例中项． • 2．(1)圆周角定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角 的一半． • (2)圆心角定理：圆心角的度数等于它所对弧的度数．
八年级数学理科班讲义教学-几何证明
B CD AOB CE DA A CB ’ CA B C B ’ C 8、八年级数学理科班：直角三角形全等判定、性质姓名一、【直角三角形全等的特殊判定方法】知识要点：一条直角边和斜边对应相等的两个直角三角形全等。
简记为HL 。
1、【定理证明】已知：如图，在Rt △ABC 和Rt △A’B’C’中，∠C=∠C’=90°，AC=A’C’，AB=A’B’ 求证： Rt △ABC ≌Rt △A’B’C’2、【直角三角形全等判定方法梳理】如图，具有下列条件的Rt △ABC 和Rt △A’B’C’（其中∠C=∠C’=90°）是否全等？如果全等在（ ）里打“√”，并在“——”上填写判定三角形全等的理由，如果不全等，在（ ）里打“×”. （1）AC=A’C’，∠A=∠A’ （ ） _______ （2）AC=A’C’，BC=B’C’ （ ） _______ （3）AB=A’B’，BC=B’C’ （ ） _______ （4）∠A=∠A’，∠B=∠B’ （ ） ________3、【应用练习】 选择题1．下列说法正确的有（ ）① 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等② 两条边分别相等的两个直角三角形全等 ③ 两条直角边对应相等的两个直角三角形全等 ④ 斜边相等的两个等腰直角三角形全等A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．已知，如图，BD ⊥AC 于D,CE ⊥AB 于E,BD 与CE 相交于O ， 且BD=CE ，则图中全等的三角形共有（ ）A ．1对B ．2对C ．3对D ．4对3．如果两个三角形的两条边和其中一边上的高对应相等，那么这两个三角形的第三边 所对的角（ ）A ．相等B ．不相等C ．互余或相等D ．相等或互补4．如图，已知：∠A=∠D=90°,AB=CD,求证：AC=DBBC F E DABC FE D AB C F E D A5．如图，已知：AB=CD,AE ⊥BC,DF ⊥BC,BF=CE.求证：AB ∥CD6．如图，已知：AB=AE, ∠B=∠E=90°,AF 垂直平分CD,求证：BC=DE7．如图，已知：AD 平分∠BAC,DB ⊥AB,DF ⊥AC 于点F ，ED=CD,求证:AC=AE+2BE.8．已知：AC ⊥BC ，AD ⊥BD ，AD=BC ，CE ⊥AB ，DF ⊥AB ，垂足分别是E 、F ， 求证：CE=DF二、直角三角形的性质 1、【定理】①直角三角形的两个锐角互余（显然） ②直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 2、【定理证明】已知：在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD 是斜边AB 的中线.求证：AB CD 21例1．如图，△ABC中，BD⊥AC于D，CE⊥AB与E，连接DE，取BC的中点M，DE的中点N，问：MN与DE有什么样的位置关系，并说明理由。
八年级上册数学几何证明定理
七年级常用几何证明的定理1、对顶角相等∵∵1与∵2互为对顶角∵∵1＝∵22、垂直的定义∵∵AOB＝90°∵AB∵CD∵AB∵CD∵∵AOB＝90°3、平行公理平行于同一直线的两直线平行。
∵AB∥EF，CD∥EF∴AB∥CD4、同位角相等，两直线平行∵∠1＝∠2∴AB∥CD5、内错角相等，两直线平行∵∠1＝∠2∴AB∥CD6、同旁内角互补，两直线平行∵∠1+∠2＝180O∴AB∥CD7、垂直于同一直线的两直线平行∵a⊥c，b⊥c∴a∥b8、两直线平行，同位角相等∵AB∥CD∴∠1＝∠29、两直线平行，内错角相等∵AB∥CD∴∠1＝∠210、两直线平行，同旁内角互补∵AB∥CD∴∠1+∠2＝180°11、余角的性质：同角或等角的余角相等∵∠3与∠4互为对顶角∴∠3＝∠4∵∠1＋∠3＝90°∠2＋∠4＝90°∴∠1＝∠212、补角的性质：同角或等角的补角相等∵∠AOB＋∠BOD＝180°∠AOC＋∠COD＝180°且∠BOD＝∠AOC∴∠AOB＝∠COD八年级常用几何证明的定理1、三角形的角平分线∵BD是△ABC的角平分线∴∠ABD＝∠CBD=∠ABC2、三角形的中线∵BD是△ABC 的中线∴AD＝BD＝AB3、三角形的高线：∵AD是△ABC的高∴∠ADB＝∠ADC＝90°4、三角形三边的关系：三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。
如图：|AB－AC|<BC<AB＋AC12125、三角形内角和定理（证明：用内角转化为平角）在△ABC中：∠A＋∠B＋∠C＝180°6、直角三角形的两锐角互余∵△ABC中，∠C＝90°∴∠A＋∠B＝90°7、有两个角互余的三角形是直角三角形∵∠A＋∠B＝90°∴△ABC是直角三角形8、三角形的一个外交等于和它不相邻的两内角之和∵∠ACD是△ABC的外角∴∠ACD＝∠A＋∠B9、多边形的内角和=180°×（n-2）n边形每增加一条边，内角和的度数就增加180°10、多边形的外角和等于360°11、全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等∵△ABC≌△DEF∴AB=DE,BC=EF,AC=DF∠A=∠E，∠B=∠F，∠C=∠G（字母要对应）12、全等三角形的判定定理：13、角平分线的性质（角相等推出垂线段相等）角的平分线上的点到角的两边的距离相等（用AAS证明）∵OC是∠AOC的平分线且PD⊥AO，PE⊥BO∴PD＝PE14、角平分线的判定（垂线段相等推出角相等）角的内部到角的两边的距离相等的点在角平分线上（用HL证明）∵ PD ⊥AO ，PE ⊥BO ，PD ＝PE ∴点P 在∠A0B 的平分线OC 上15、垂直平分线的性质线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等（用SAS 证明） ∵L ⊥AB ，CA=CB ∴PA ＝PB16、垂直平分线的判定与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上（用HL 证明） ∵PA ＝PB∴点P 在AB 的垂直平分线L 上17、对称坐标点（x ,y ）关于x 轴对称的点的坐标为（x ，-y ） 点（x,y ）关于y 轴对称的点的坐标为（-x ，y ） 关于x 轴称，x 的坐标不变， 关于y 轴称，y 的坐标不变。
北师大版八年级上册几何知识点归纳总结
八年级上册第一章 勾股定理1、勾股定理：直角三角形两直角边a ，b 的平方和等于斜边c 的平方，即222c b a =+.我国古代把直角三角形中较短直角边称为勾，较长直角边称为股， 斜边称为弦，因此把此定理称为勾股定理.几何语言：在Rt△ABC 中，△C =90°，由勾股定理得: 222c b a =+(常见书写：222222a c b b c a b a c -=-=+=或或)注意：勾股定理只适合于直角三角形；用勾股定理时要分清直角边和斜边.辨识应用：在Rt△ABC 中，△A =90°，由勾股定理得:222a b c =+2、勾股定理证明：勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法，用拼图的方法验证勾股定理的思路是： ①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变， ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理. 常见方法如下：内弦图模型：△4EFGH S S S ∆+=正方形正方形ABCD ，即：2214()2ab b a c ⨯+-=，∴化简得：222c b a =+．外弦图模型：△大正方形小正方形△S S S =+4，即：()22214b a c ab +=+⨯，△化简得：222c b a =+．总统模型：∵1()()2S a b a b =+⋅+梯形，2112S 222ADE ABE S S ab c ∆∆=+=⋅+梯形，△化简得：222c b a =+．拓展归纳：以直角三角形三边向外作正方形、等边三角形、半圆、等腰直角三角形所得图形面积满足：321S S S =+cb aHG F EDCB A abcc baED C B Abacbac cabcab3、勾股定理的逆定理如果三角形的三边长：a 、b 、c ，则有关系a 2+b 2＝c 2，那么这个三角形是直角三角形.几何语言：在△ABC 中，若计算得222c b a =+， △△ABC 是直角三角形，△C =90°要点诠释：勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时应注意：（1）首先确定最大边，不妨设最长边长为：c ；（2）验证c 2与a 2+b 2是否具有相等关系，若c 2＝a 2+b 2，则△ABC 是以∠C 为直角的直角三角形（若c 2>a 2+b 2，则△ABC 是以∠C 为钝角的钝角三角形；若c 2<a 2+b 2，则△ABC 为锐角三角形）.（定理中a ，b ，c 及222a b c +=只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a ，b ，c 满足222a c b +=，那么以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形，但是b 为斜边）.4、勾股数①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等 ③用含字母的代数式表示n 组勾股数：221,2,1n n n -+（2,n ≥n 为正整数）；2221,22,221n n n n n ++++（n 为正整数）2222,2,m n mn m n -+（,m n >m ，n 为正整数）5、勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理； 联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，都与直角三角形有关.6、勾股定理与勾股定理逆定理的应用（1）圆柱中的最短问题（立体图形转平面图形）①、瘦高型：在Rt△ABC 中，22BC AC AB += ②、矮胖型：最短=AD +BD注：计算此类问题，当无法判断时候，可以两种都计算比较，最后写出最短路径.（2）长方体中的最值问题①若a＜c＜b，那么表面A到B的最小距离为：()22b=+cd+a②内部A到B的最小距离为：2c22+d+=ab（3）折叠中的方程问题例：在矩形ABCD中AB=8cm，BC=10cm，将△AD E沿AE折叠使得点D落在边BC上的点F上，求CE的长分析：设CE=x cm，其他线段用x表示，在Rt△CEF中，不难用勾股定理得到一个关于x的方程，从而求出未知数.第七章 平行线的证明一、命题、定理、证明 1、命题的概念判断一件事情的语句，叫做命题. 理解：命题的定义包括两层含义：（1）命题必须是个完整的句子； （2）这个句子必须对某件事情做出判断. 每个命题都是由条件和结论构成，命题通常写出“如果……那么……”的形式，其中如果引出条件，那么引出结论.2、命题的分类（按正确、错误与否分） 真命题（正确的命题） 命题假命题（错误的命题）所谓正确的命题就是：如果题设成立，那么结论一定成立的命题. 所谓错误的命题就是：如果题设成立，不能证明结论总是成立的命题.举反例：在说明一个命题是假命题，举一个满足条件不满足结论的例子，就叫作举反例.3、公理人们在长期实践中总结出来的得到人们公认的真命题，叫做公理. 北师大版选取九条基本事实作为证明的出发点和依据作： （1）两点确定一条直线； （2）两点之间线段最短；（3）同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； （4）同位角相等，两直线平行；（5）过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行； （6）两边及其夹角分别相等的两个三角形全等； （7）两角及其夹边分别相等的两个三角形全等； （8）三边分别相等的两个三角形全等；（9）两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.除开上述公理以为：数与式的运算律和运算法则、等式的有关性质，以及反映大小关系的有关性质都可以作为证明的依据.例如：4、定理用推理的方法判断为正确的命题叫做定理. 5、证明判断一个命题的正确性的推理过程叫做证明. 6、证明的一般步骤（1）根据题意，画出图形.（2）根据题设、结论、结合图形，写出已知、求证.（3）经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程.()等式性质c b c a b a +=+∴= ()等量代换c a c b b a =∴==,已学定理：（1）同角（等角）的补角相等. 几何语言：（2）同角（等角）的余角相等.几何语言：（3）三角形的任意两边之和大于第三边. 几何语言：（4）对顶角相等. 几何语言：2、平行线的性质与判定（1）两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么两直线平行.同位角相等，两直线平行.几何语言：△△1=△4，△a △b.（2）两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么两直线平行.简称：内错角相等，两直线平行.几何语言：△△3=△4，△a △b.（3）两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么两直线平行.简称：同旁内角互补，两直线平行.几何语言：△△4+△2=180°，△a △b.推论：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.几何语言：△a △b ，c △b,311803118021∠=∠∴︒=∠+∠︒=∠+∠， 31421804318021∠=∠∴∠=∠︒=∠+∠︒=∠+∠，， 3190319021∠=∠∴︒=∠+∠︒=∠+∠， 314290439021∠=∠∴∠=∠︒=∠+∠︒=∠+∠，， .,,c b a c b a ABC ＞是边长，那么中，在△+2121∠=∠∴∠∠是对顶角与△a△c.4、平行线的性质（1）两直线平行，同位角相等.几何语言：△a△b，△△1=△4.（2）两直线平行，内错角相等.几何语言：△a△b，△△3=△4.（3）两直线平行，同旁内角互补.几何语言：△a△b，△△4+△2=180°.4、三角形的内角和定理及推论（1）三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°.几何语言：△在△ABC中，△△A+△B+△C=180°.证明方法：构造辅助线（过一顶点作对边平行线），通过平行把角搬运到一平角.（2）推论（由一个基本事实或定理直接推到出的定理）：△三角形的一个外角等于和它不相邻的来两个内角的和。
北师大版-数学-八年级上册-《勾股定理》教学分析与建议
北师大版八年级数学（上）第一章勾股定理教学分析与建议一、主要内容勾股定理在数学的发展历史上起过重要的作用，在现实世界中也有着广泛的应用。
它的发现、证明和应用都蕴涵着丰富的数学的、文化的内涵。
它是几何学中的重要的定理之一。
教材为学生设计了自主探索勾股定理内容以及验证它的素材和空间，教学中要使学生经历观察、归纳、猜想和验证的数学发现过程教材的设计过程中，希望学生能够利用方格纸探索勾股定理内容，并且能利用拼图验证勾股定理，再次就是通过测量获得勾股定理的逆定理教材提供了较为丰富的历史的或现实的例子，以展示勾股定理及其逆定理的应用，体现其文化价值。
当然限于学生的已有知识，问题解决中所涉及的数据均为完全平方数，本章更多的关注学生对勾股定理及其逆定理的理解和应用，不追求复杂计算。
二、评价建议1，关注对探索勾股定理等活动的评价。
一方面要关注学生是否积极参与，是否能与同伴进行有效合作交流；另一方面也要关注学生在活动中能否进行积极的思考，能否探索出解决问题的方法，是否能够进行积极的思考，在活动中学生所表现出的归纳，概括能力，学生是否能够有条理地表达活动过程和所获得的结论等。
2，关注考查对勾股定理及其逆定理的理解和应用。
注意评价时，不应以复杂运算为主，我们应更另关注学生对有关结论的正确使用。
三、教学目标l．经历探索勾股定理及一个三角形是直角三角形的条件的过程，发展合情推理能力，体会数形结合的思想；2．掌握勾股定理，了解利用拼图验证勾股定理的方法，并能运用勾股定理解决一些实际问题；3．掌握判断一个三角形是直角三角形的条件，并能运用它解决一些实际问题；4．通过实例了解勾股定理的历史和应用，体会勾股定理的文化价值。
四、教材特点勾股定理是反映自然界基本规律的一条重要结论，它有着悠久的历史，在数学发展中起过重要的作用，在现实世界中也有着广泛的应用。
勾股定理的发现、验证和应用蕴涵着丰富的文化价值。
勾股定理从边的角度进一步刻画了直角三角形的特征，通过对勾股定理的学习，学生将在原有的基础上对直角三角形有进一步的认识和理解。
八年级数学上册几何定理的表达 与证明
八上数学定理的几何表达一、三角形的三边关系三角形三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边。
推论：三角形的两边之差小于第三边。
几何表达式：在△ABC中，AB+AC＞BC;AB-AC＜BC;二、三角形的高线从三角形的一个顶点向它的对边画垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高线。
几何表达式：（1）∵AH是ΔABC的高∴∠AHC=90°（垂直定义）(2) ∵∠AHC=90°∴AH是ΔABC的高（判定垂直）三、三角形的中线在三角形中，连结一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线.几何表达式：(1) ∵AD是三角形的中线∴BD = CD（性质）(2) ∵BD = CD∴AD是三角形的中线（判定）四、三角形的角平分线三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线.几何表达式：（1）∵AD平分∠BAC∴∠BAD=∠CAD（角平分线的定义）(2) ∵∠BAD=∠CAD∴AD是∠BAC的平分线（角平分线判定）五、三角形的内角和与外角和（1）三角形的内角和180°；（2）直角三角形的两个锐角互余；（3）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；（4）三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。
（1）在△ABC中，∠ A+ ∠ B+ ∠ C=180°（2）在Rt△ABC中，∵∠B=90°∴∠A+∠C=90°（3）∠ACD=∠A+∠B（4）∠ACD>∠A∠ACD>∠B六、全等三角形的性质全等三角形的对应边相等，对应角相等。
∵△ABC≌△DEF∴AB=DE, AC=DF, BC=EF∴∠A=∠D, ∠B=∠E, ∠C=∠F.七、全等三角形的判定1. 三边对应相等的两个三角形全等. 边边边（SSS）2. 两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等. 边角边（SAS）3. 两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等. 角边角（ASA）4. 两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等. 角角边（AAS）5. 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等. 斜边、直角边（HL）（1）在△ABC和△DEF中∴△ABC≌△DEF（SSS）（2）在△ABC和△DEF中AB＝DEAC＝DFBC＝EFAB＝DE∴△ABC≌△DEF（SAS）（3）在△ABC和△DEF中∴△ABC≌△DEF（ASA）（4）在△ABC和△DEF中∴△ABC≌△DEF（AAS）（5）在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中∴Rt△ABC≌Rt△A′B′C′（HL）或在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中∴Rt△ABC≌Rt△A′B′C′（HL）∠A＝∠D∠B＝∠EAB＝DE∠A＝∠DBC＝EF∠B＝∠EAC＝A′C′AB＝A′B′BC＝B′C′AB＝A′B′八、角平分线的性质角平分线上的点到角的两边的距离相等。
八年级上册几何证明知识点
八年级上册几何证明知识点几何证明是几何学中的重要内容之一，是数学学习的必修课。
而在八年级上册几何学习中，有些重要的证明知识点需要我们特别注意和掌握。
下面，我们就来一一梳理这些知识点。
1. 直角三角形的性质证明
直角三角形是我们几何学习中最基础的一个知识点，学生们要掌握直角三角形的性质、勾股定理等重要概念，同时也要能熟练地进行证明。
常见的直角三角形证明有“勾股定理证明”、“三角形内角和证明”等。
2. 等腰三角形的性质证明
等腰三角形也是我们几何学习中的一个重点知识点，其性质是指两边相等、两角相等。
在证明过程中，常用的方法有等角、割角、共线等方法，最终要得到等腰三角形的性质。
3. 同位角证明
同位角是指两个角位于平行线同侧且对应相等的角，其证明方法有构造直线也平行于给定平行线、重心定理、余角定理等。
4. 交错角证明
交错角是指两条相交的直线以及这两条直线所夹的四个角中的一对相对角，其证明方法有构造外接圆、平行四边形的证明方法等。
5. 分类讨论证明
分类讨论是几何证明中的常用方法，在具体应用中需要分析情况来进行证明。
例如，在证明二等分线的性质时，我们需要根据三角形种不同的情况进行分析，从而得出最终的结论。
以上就是八年级上册几何证明的一些重要知识点，需要同学们特别注意和掌握。
在学习过程中，需要多加练习和思考，逐渐提高自己的证明能力和水平。
圆幂定理浙教版八年级上册
圆幂定理浙教版八年级上册圆幂定理是几何学中一个重要的定理，出现在我国初中数学教材的八年级上册。
它涉及到圆、线段、角度等几何元素，为我们解决实际问题提供了有力的工具。
下面，我们将详细介绍圆幂定理的相关内容。
一、圆幂定理的定义及意义圆幂定理是指：在同一个圆中，相交弦（非直径）的长度乘以其所对的圆心角的正弦值，等于两弦端点与圆心构成的直角三角形的面积的两倍。
用数学公式表示为：AC × sinA = 2 × △ABC的面积。
这个定理在实际应用中具有很大的价值，可以帮助我们快速计算几何图形的面积、周长等参数。
二、圆幂定理的应用1.求解弦心距：已知弦长和弦所对的圆心角，可以利用圆幂定理求解弦心距。
2.求解三角形面积：已知三角形的一条边和对应的角度，可以利用圆幂定理求解三角形面积。
3.求解圆的半径：在已知弦长和弦所对的圆心角的情况下，可以利用圆幂定理求解圆的半径。
4.求解扇形面积：已知扇形的半径和圆心角，可以利用圆幂定理求解扇形面积。
三、圆幂定理的证明证明圆幂定理的方法有很多，这里我们以向量法为例进行证明。
设圆心为O，弦AB的两端点分别为A、B，圆心角为AOB，弦心距为OC。
根据向量加法、减法及数乘运算，我们可以得到以下关系：1.OA × OB = OC × OA + OC × OB2.OC × OA = △AOC的面积× 23.OC × OB = △BOC的面积× 2将上述三个式子相加，可以得到：OA × OB +OC × OA + OC × OB = 2 × (△AOC的面积+ △BOC的面积)根据向量数量积的性质，我们知道：OA × OB = △AOB的面积× R（R为圆的半径）将上式代入前面的等式，可以得到：△AOB的面积× R + OC × OA + OC × OB = 2 × (△AOC的面积+△BOC的面积)整理后，我们可以得到圆幂定理的公式：AC × sinA = 2 × △ABC的面积四、总结与拓展圆幂定理是几何学中的一个基本定理，掌握它有助于我们更好地解决实际问题。
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八年级上册几何证明的重要定理
1、互为余角和互为补角的有关概念与性质如果两个角的和为90°（或直角），那么这两个角互为余角；如果两个角的和为180°（或平角），那么这两个角互为补角；
2、平行线公理及其推论平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。
推论：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。
（传递性）
3、平行的性质①两直线平行，同位角相等；②两直线平行，内错角相等；
③两直线平行，同旁内角互补。
4、平行的判定①同位角相等，两直线平行；②内错角相等，两直线平行；
③同旁内角互补，两直线平行。
补充平行线的判定方法：（1）平行于同一条直线的两直线平行。
（2）在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行。
（3）平行线的定义：不相交的两条直线叫做平行线。
5、临补角互补，对顶角相等。
6、垂线的性质：性质1：平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
性质2：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短。
简称：垂线段最短。
7、同一平面内，两条直线的位置关系：相交或平行。
8、三边关系：三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边.（可以判断三边是否能够成三角形）
9、三角形的内角和：三角形的内角和为180°
10、三角形外角的性质：性质1：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.（用于角度计算中）性质2：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.（用于证明两个角度比较大小）
11、多边形内角和公式：n边形的内角和等于(2)n ·180°
12、多边形的外角和：多边形的外角和为360°.
13、多边形对角线的条数：①从n边形的一个顶点出发可以引(3)n 条对角线，把多边形分成(2)n 个三角形.②n
边形共有(3) 2nn 条对角线.
14、正多边形每个内角度数：用(2)n ·180°除以n,每个外角度数：360°除以n。
15、全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等.
16、全等三角形的判定定理：⑴边边边（SSS）：三边对应相等的两个三角形全等⑵边角边（SAS）：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等. ⑶角边角（ASA）：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等. ⑷角角边（AAS）：两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等. ⑸斜边、直角边（HL）：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.
17、角平分线：⑴画法：（课本48页，必须要掌握）
⑵性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等.
⑶性质定理的逆定理：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.
18、轴对称的性质：
①不管是轴对称图形还是两个图形关于某条直线对称，对称轴都是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.
②对称的图形都全等.
19、线段垂直平分线的性质：
①线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.
②与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.
20、等腰三角形的性质：①等腰三角形两腰相等.
②等腰三角形两底角相等（等边对等角）.、
③等腰三角形的顶角角平分线、底边上的中线，底边上的高相互重合. ④等腰三角形是轴对称图形，对称轴是三线合一（1条）.
21、等边三角形的性质：①等边三角形三边都相等.
②等边三角形三个内角都相等，都等于60°③等边三角形每条边上都存在三线合一.
④等边三角形是轴对称图形，对称轴是三线合一（3条）.
22、等腰三角形的判定：
①有两条边相等的三角形是等腰三角形.
②如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边）.
23、等边三角形的判定：
①三条边都相等的三角形是等边三角形. ②三个角都相等的三角形是等边三角形.
③有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
24、直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。