第七讲 约束优化的对偶理论
对偶理论DualityTheory
y2 y2
y3 y3
2 3 5
y1 4 y2 y3 1
y1 0, y2 0, y3无 约 束
练习： 1.min Z 2 x1 2 x2 4 x3
2 x1 3 x2 5 x3 2
3
x1 x1
x2 7 x3 4x2 6x3
对偶理论
(Duality Theory)
对偶问题的提出 线性规划的对偶理论 对偶问题的经济解释----影子价格
对偶单纯形法 灵敏度分析
一、问 题 的 提 出
对偶性是线性规划问题的最重要的内容之一。每 一个线性规划（ LP ）必然有与之相伴而生的另一个 线性规划问题，即任何一个求 maxZ 的LP都有一个求 minZ 的LP。其中的一个问题叫“原问题”，记为 “P”，另一个称为“对偶问题”，记为“D”。
≤
≥
变量数量 约束条件个数
约束条件个数 变量数量
例三、
23
x1
x2
原问题
12 y1 2 2 ≤ 12
8
y2
1
2
≤
8
16 y3 4 0 ≤ 16 12 y4 0 4 ≤ 12
对偶问题 2 3
二、线性规划的对偶理论
（一）、对偶问题的形式 1、对称型对偶问题：已知 P，写出 D。
矩 阵 形 式 ：P maxZ CX
A11 X1 A12 X 2 b1
A21
X
1
A22 X 2
b2
A31
X
1
A32 X 2
b3
X1
运筹学对偶理论
动态规划的对偶性
动态规划的对偶性是指对于给定的动态规划问 题，可以构造一个与之对应的对偶问题，这两 个问题的最优解是相互对应的。
在动态规划中，原问题通常关注的是多阶段决 策的最优解，而对偶问题则关注的是如何将原 问题的最优解转化为一系列子问题的最优解。
对偶理论在动态规划中也有着广泛的应用，例 如在计算机科学、人工智能、控制系统等领域。
运筹学对偶理论
• 对偶理论概述 • 对偶理论的基本概念 • 对偶理论在运筹学中的应用 • 对偶理论的局限性与挑战 • 对偶理论案例分析
01
对偶理论概述
对偶问题的定义
对偶问题
在运筹学中，对偶问题是指原问题的 目标函数和约束条件保持不变，但变 量的约束方向被颠倒的问题。
线性规划中的对偶问题
在线性规划中，原问题为最大化问题 ，其对偶问题则为一个等价的线性规 划问题，目标函数变为最小化问题。
对偶理论面临的挑战
算法优化
01
对偶理论在求解大规模优化问题时，算法效率和稳定性面临挑
战。
多目标优化问题
02
对偶理论在处理多目标优化问题时，难以权衡和协调不同目标
之间的矛盾。
动态环境适应性
03
对偶理论在应对动态环境和不确定性因素时，需要进一步改进
和优化。
对偶理论的未来发展方向
拓展应用领域
进一步探索对偶理论在其他领域的应用，如金融、 医疗、交通等。
详细描述
在金融风险管理问题中，动态规划对偶理论可以用于确定 最优的风险管理策略，以最小化风险并最大化收益。通过 构建动态规划模型，可以找到最优的风险管理方案，提高 金融机构的风险管理能力。
总结词
动态规划对偶理论在电力系统优化问题中具有重要应用。
《对偶原理》PPT课件
Y *(b AX * ) 0 (1)
(Y
*
A
C)X*
0
(2)
其中 A (P1, P2 ,
a1
Pn
)
a2
am
式（1）和（2）可以写成下面的等价形式
yi*(bi ai X *) 0 (i 1,2,m);
(Y
* Pj
cj
) x*j
0
( j 1,2,n);
22
互补松弛关系
YAX Yb
(3)
用 X 右乘不等式（2）两边得
max Z CX
(P)
s.t.
AX X 0
b
YAX CX
(4)
由（3）和（4）式可知
CX YAX Yb 证毕.
minW Yb YA C
(D) s.t.Y 0 5
由弱对偶性，有下面推论：
CX Yb
推论1：若 X0 和Y0 分别是问题(P)和(D)的可行解，则 （1） CX0是问题(D)的目标函数的一个下界； （2） Y0 b是问题(P)的目标函数的一个上界。
证明：对于问题（P）的任意一个可行解X ，必有 CX≤Y*b
但 CX*=Y*b ， 故对原问题（P）的所有可行解X，有
CX≤CX* 所以，X*为原问题（P）的最优解。 同理可证Y*是对偶问题（D）的最优解。
12
例
min W 20 y1 20 y2
max Z x1 2x2 3x3 4x4
16
皮肌炎图片——皮肌炎的症状表现
皮肌炎是一种引起皮肤、肌肉、 心、肺、肾等多脏器严重损害的， 全身性疾病，而且不少患者同时 伴有恶性肿瘤。它的1症状表现如 下：
1、早期皮肌炎患者，还往往 伴有全身不适症状，如-全身肌肉 酸痛，软弱无力，上楼梯时感觉 两腿费力；举手梳理头发时，举 高手臂很吃力；抬头转头缓慢而 费力。
《约束优化问题》课件
最优解。
03
CHAPTER
常见约束优化问题
线性规划问题
总结词
线性规划问题是最常见的约束优化问题之一，它通过线性不等式或等式约束来 限制决策变量的取值范围，使得目标函数达到最优解。
详细描述
线性规划问题通常用于资源分配、生产计划、运输和分配等问题，其目标函数 和约束条件都是线性函数。求解线性规划问题的方法包括单纯形法、对偶理论 和分解算法等。
约束优化问题的可解释性与鲁棒性研究
总结词
为了更好地应用约束优化问题，需要研究其可解释性 和鲁棒性，以提高模型的可靠性和稳定性。
详细描述
在许多领域中，模型的解释性和鲁棒性是非常重要的 。为了更好地应用约束优化问题，需要研究其可解释 性和鲁棒性，例如通过建立模型的可解释性框架、设 计鲁棒性强的算法等，以提高模型的可靠性和稳定性 。
拉格朗日乘数法
总结词
一种求解约束优化问题的数学方法
详细描述
通过引入拉格朗日乘数，将约束优化问题转化为无约束优化问题，然后利用无约束优化 方法求解。在每一步迭代中，根据当前点的拉格朗日函数值更新拉格朗日乘数和迭代点
，直到满足收敛条件。
拉格朗日乘数法
要点一
适用范围
适用于具有线性约束的优化问题。
要点二
执行。
时间限制
生产计划需要在规定的时间内完 成，因此时间限制也是一个重要 的约束条件。通过约束优化问题 ，可以找到在满足时间限制下的
最优生产计划。
质量限制
在生产过程中，质量是一个重要 的考量因素。通过约束优化问题 ，可以在保证质量的前提下，实
现生产计划的最优配置。
物流配送优化
时间限制
对偶理论PPT课件
x3
0
0
0
1
1/3
x2＋(1/2)x4 ＝6
x2
0
0
1
0
1/2
3x12－0对16(1/3/应/32)3x对4＋偶(1/3问)x5 题＝2的一x个1 基本0.运解筹学y》1Ⅰ＝1 史慧0萍,y2＝0 5/2,y03＝0 -1/3
右边
x5
1
36
-1/3 2
0
6
1/3
2
最终表 20
对偶变量的经济意义和影子价格
第二章 对偶理论
2.1对偶问题 2.2灵敏度分析 2.3对偶单纯形法
.运筹学》Ⅰ 史慧萍
1
2.1对偶理论
一、对偶问题的提出 二、原问题和对偶问题的变换规则 三、对偶问题的性质
2016/3/23
.运筹学》Ⅰ 史慧萍
2
一、对偶问题的提出
解：Ⅱ设的x数1为量每。周线生性产规产划品模Ⅰ型的为数量；x2为每周生产产品
3)无界性 若原问题(对偶问题)为无界解，则其对偶问题(原问 题)无可行解(逆命题不成立)。
4) 可行解是最优解的性质（最优性） 设X是原问题的可行解， Y是对偶问题的可行解。当CTX＝bTY时，则X、Y皆为最优 解。
2016/3/23
.运筹学》Ⅰ 史慧萍
12
5)强对偶性 （对偶定理） 原规划有最优解，则对偶规划 也有最优解，且它们的最优解的最优值相同。 可以证明，(P)和(D)的解一般说来共有下述三种情况：
x1
0
1
0
对偶问题是寻找最优价格使总成本最低从数学模型的形式上看它们也是关联的其一般形式是原问题p对偶问题dmax2016323原问题与对偶问题的标准形式比较2016323原问题与对偶问题的标准形式的比较原关系min2016323二线性规划的原问题和对偶问题的变换规则原问题或对偶问题对偶问题或原问题目标函数max无约束约束条件右端项目标函数变量的系数目标函数变量的系数约束条件右端项
优化问题中的对偶理论
优化问题中的对偶理论在数学中，优化问题是一种求解最优解的问题，而对偶理论则是用来解决优化问题中的复杂性的一种方法。
对偶理论的核心思想是将原问题转化为它的对偶问题，并在对偶问题中求解最优解。
本文将介绍优化问题中的对偶理论及其应用。
1. 对偶问题的定义对偶问题是指将一个优化问题转化为另一个优化问题的过程。
具体来说，对于一个原始问题（称为Primal Problem），我们可以通过构造一个对应的对偶问题（称为Dual Problem），来找到原始问题的最优解。
这个对应关系是双向的，即可以从原始问题得到对偶问题，也可以从对偶问题得到原始问题。
对于一个具体的优化问题，我们可以定义它的原始问题和对偶问题。
原始问题通常形式如下：Minimize f(x)subject to g_i(x) ≤ 0, i = 1, 2, ..., mh_j(x) = 0, j = 1, 2, ..., n其中，f(x)是目标函数，g_i(x)是不等式约束，h_j(x)是等式约束。
而对偶问题的形式如下：Maximize g(λ, μ)subject to λ_i ≥ 0, i = 1, 2, ..., m其中，g(λ, μ)是对偶函数，λ_i和μ_j分别是对应原始问题中不等式约束和等式约束的Lagrange乘子。
2. 对偶问题的求解对于一个原始问题，我们可以通过下列步骤求解它的对偶问题：1）构造对偶函数：对偶函数是原始问题的Lagrange对偶，它定义为：g(λ, μ) = inf{ f(x) + ∑ λ_i g_i(x) + ∑ μ_j h_j(x) }其中，inf{}表示检查所有可行解的最小值。
2）求对偶问题：将对偶函数最大化，得到对偶问题的最优解。
3）寻找最优解：将对偶问题的最优解带回到原始问题中，可以获得原始问题的最优解。
这个过程可能看起来很抽象和复杂，但对偶理论的优点在于它可以将复杂的原始问题转化为相对简单的对偶问题，从而更容易求解。
约束优化理论介绍
建立对偶理论的基本思路
◎ 希望解决的问题 ⊙ 定义新问题，以 为变量？且解是 !
⊙ 新问题的解可给原问题提供一个下界！
◎ Lagrange对偶(计算)与Fenche对偶(理论)！
◎ 建立对偶理论的基本思路 ⊙ 将约束极小化问题 ⊙ 定义对偶问题是
“min-max”问题 “max-min”问题
二人零和博弈(zero-sum game)
二阶条件
等式约束问题--二阶条件
设 x* 是问题的局部极小点，且满足 KKT 条件 二阶必要条件：对任一序列可行方向p，有 约束规范(CQ)： 二阶必要条件：如果x*是极小点，且CQ成立，则 二阶充分条件：如果事实
成立，则x*必是严格局部极小点.
二阶条件(续)
问题：讨论参数 取何值时， x*=0是局部极小点
.
是空集当且仅当存在
使得
Farkas引理.
给定 中的向量
.
集合
是空集当且仅当存在 使得
考虑可行序列
一阶必要条件
f 在x’的下降方向集 ，则
其中 称
且
，
是长度固定的向量.
的聚点 p 是序列可行方向，全体记为
引理 设 x* 是约束问题的局部极小点，则在 x* 处没有 可行 的 下降 方向，即
引理：
线性化可行方向集，记为LFD
一阶条件(续)
一阶条件(续)
Lagrange乘子法
当约束规范成立时，必要条件
引入Lagrange函数： 一阶必要条件即
凸规划(convex programming)
凸规划(convex programming)： 凸集K上极小化凸函数
定理. 凸规划的任一KKT点是全局极小点. 注1. 凸规划的所有局部解也是全局解。 注2. 线性规划是凸规划；二次规划中目标函数的海森矩阵
约束DC优化的双束法及对偶问题
目标函数的特殊凸分解结构,对两个凸 DC 分量进
行近似,然后将 DC 分每个 DC 分量都有一个包含次梯度信
息的束集合[ 5 ] 。 在当前迭代点 xk,双束法保留的束
信息为
B
k i
=
{
(
yi
,f(
yi
)
,孜
k s,i
)
i沂I
k s
}
,s
=
1
,2
其中
I
k s
是
fs
L>0,使得 f(x) -f(y) 臆L x-y ,坌x,y沂X
称定 义 在 Rn 上 的 DC 函 数 f 在 Rn 上 局 部 Lipschitz 连 续, 即 在 任 意 的 有 界 集 上 Lipschitz 连续[6] 。
定义 3[5] 摇 局部 Lipschitz 连续函数 f( x) :Rn 寅 R 在 x沂Rn 处的广义次微分定义为
摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇
摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇
第6 期
杨摇 芳,等:约束 DC 优化的双束法及对偶问题
19
在 x沂Rn 处的次微分定义为 鄣cf(x)= {孜沂Rn:f(y) -f(x)逸孜T(y-x),坌y沂Rn}
定义 2[4] 摇 函数 f( x) :Rn寅R 称为 Rn 上的局部 Lipschitz 函数,若对任意的有界集 X奂Rn,存在常数
DC 规划( Difference of Convex Programming) 问 的双束法推广到带有凸约束的 DC 优化问题。
题是非凸优化的一个重要子类,许多非凸优化问题
文章其余部分按如下方式构成:第 1 节介绍了
都可以转化为 DC 规划问题。 定义在 Rn 上的函数 f 本文使用的相关概念;第 2 节把双束法推广到带有
最优化理论与方法-对偶原理ppt课件
别为y1, y2, y3 ，买方总支出为w。
max z 7x1 12x2 s.t. 9x1 4x2 360
4x1 5x2 200 3x1 10x2 300 x1 , x2 0
min w 360 y1 200 y2 300 y3 s.t. 9 y1 4 y2 3y3 7 4 y1 5 y2 10 y3 12 y1, y2, y3 0
【例】原问题与对偶问题
资源 甲 乙 数量
煤 9 4 360 电 4 5 200 油 3 10 300 单价 7 12
问题一：试拟订使总收入最大的生 问题二：试拟定能够保证卖方收入且
产方案。
使买方支出最小的定价方案。
解：设拟生产甲、乙产品各x1,x2 单位， 解：设煤、电、油三种资源的定价分
总收入为z。
量，c (c1,..., cn )是n 维行向量，x (x1,..., xn )T是由原问题的
变量组成的n 维列向量，w (w1,..., wm ) 是由对偶问题的变 量组成的 m维行向量。
对偶问题的表述 – 非对称形式
对称形式
原问题： min cx
s.t. Ax b x0
非对称形式
min cx s.t. Ax b
则单纯形乘子w
c B1 B
是对偶问题(4.1.2)的一个最优解。
根据这个推论，能够从原问题的最优单纯形表中直接获得对偶问 题的一个最优解。
对偶问题的基本性质
互补松弛性质（见教材）
对于对偶规划，当知道一个问题的最优解 时，根据互补松弛定理求出另一个问题的 最优解。
对偶可行的基本解
考虑线性规划问题 min cx
原问题与对偶问题间的相互转换关系
原问题（或对偶问题）
对偶问题（或原问题）
对偶理论知识点总结
对偶理论知识点总结一、一般理解对偶理论是运筹学和数学中的一个重要理论，主要研究优化问题的对偶性质和利用对偶问题来解决原始问题的方法。
优化问题是现实世界中的一种普遍问题，它的目标是在一定的约束条件下找到最优解。
而对偶理论则是研究优化问题的一个重要角度，它告诉我们，对于每一个原始问题都存在一个对偶问题，通过对偶问题我们可以获得原始问题的一些重要信息，比如最优解的下界。
二、对偶问题的定义在深入了解对偶理论之前，我们首先需要了解什么是对偶问题。
对于一个原始优化问题：\[ \begin{cases} inf \ c^T x \\ Ax=b \\ x\geq0 \end{cases}\]它的对偶问题可以定义为：\[ \begin{cases} sup \ b^T y \\ A^Ty+c=y \\ y\geq0 \end{cases}\]其中，\(c,x\)是原始问题的目标函数和解向量，\(A,b\)是原始问题的约束条件，对偶问题的目标函数和解向量分别为\(b,y\)。
原始问题和对偶问题之间存在着一种对偶关系，通过对偶问题我们可以获得原始问题的一些重要信息。
三、对偶性质对偶理论的一个重要性质就是对偶性质，它告诉我们原始问题和对偶问题之间存在着一种非常紧密的联系。
具体来讲，对偶性质包括弱对偶性和强对偶性两个方面。
1. 弱对偶性：对于任意一个优化问题，其对偶问题的目标函数值不会超过原始问题的目标函数值，即对于原始问题的任意可行解x和对偶问题的任意可行解y，有\[c^Tx\geqb^Ty\]2. 强对偶性：若原始问题和对偶问题均存在最优解，则它们的目标函数值相等，即\[inf \c^Tx=sup \ b^Ty\]这两个对偶性质告诉我们，对偶问题的解可以为原始问题的最优解提供一个下界，并且在某些情况下，对偶问题的解可以等于原始问题的最优解。
四、对偶问题的应用对偶理论不仅仅是一种理论概念，更是一种实际问题求解的工具。
在实际问题中，我们经常可以通过对偶问题来求解原始问题，或者通过对偶问题的解来获得原始问题的解。
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北京交通大学经管学院物流管理系
提纲
一、概述 二、对偶的重要性 三、对偶问题 四、对偶问题的构建步骤 五、对偶构建的例子 六、原问题与对偶问题的几何解释
• • • • • • •
七、对偶问题的凹最大值问题 八、弱对偶问题 九、优化准则的鞍点 十、凸问题的强对偶性 十一、对偶性策略 十二、离散问题中的拉格朗日对偶性 十三、锥对偶性
(ci AiT u)
5.3 对数障碍问题的对偶性
5.5 带有不同约束形式问题的注释
6. 原问题与对偶问题的几何解释
7. 对偶问题的凹最大问题
鞍点这词来自于不定二次型x2-y2的二维图形, 像 马鞍: x-轴方向往上曲, 在y-轴方向往下曲.
11.2 把一个大问题对偶化成几个小问题
1. 概述
2. 对偶的重要性
3. 对偶问题
3.2 对偶问题的定义
复杂约束放到目标中
4. 对偶问题的构建步骤
5. 优化问题的对偶构建例子
• 5.1 线性问题的对偶性
5.2 二元整数问题的对偶性
L(u)* inf L(u, x) பைடு நூலகம் uT b
x{0,1}
i:ci AiT u