系统建模与仿真排队论
MG1型排队系统分析与仿真
M/G/1型排队系统分析与仿真一、排队系统排队论(queuing theory), 或称随机服务系统理论, 是通过对服务对象到来及服务时间的统计研究，得出这些数量指标（等待时间、排队长度、忙期长短等）的统计规律，然后根据这些规律来改进服务系统的结构或重新组织被服务对象，使得服务系统既能满足服务对象的需要，又能使机构的费用最经济或某些指标最优。
它是数学运筹学的分支学科。
也是研究服务系统中排队现象随机规律的学科。
广泛应用于计算机网络, 生产, 运输, 库存等各项资源共享的随机服务系统。
排队论研究的内容有3个方面：统计推断，根据资料建立模型；系统的性态，即和排队有关的数量指标的概率规律性；系统的优化问题。
其目的是正确设计和有效运行各个服务系统，使之发挥最佳效益。
一般的排队过程为：顾客由顾客源出发，到达服务机构（服务台、服务员）前，按排队规则排队等待接受服务，服务机构按服务规则给顾客服务，顾客接受完服务后就离开。
排队过程的一般过程可用下图表示。
我们所说的排队系统就是指图中虚线所包括的部分。
排队系统又称服务系统。
服务系统由服务机构和服务对象（顾客）构成。
服务对象到来的时刻和对他服务的时间（即占用服务系统的时间）都是随机的。
描述一个排队系统一般需要分析其三个组成部分：输入过程、排队规则和服务机构。
输入过程输入过程考察的是顾客到达服务系统的规律。
它可以用一定时间内顾客到达数或前后两个顾客相继到达的间隔时间来描述，一般分为确定型和随机型两种。
例如，在生产线上加工的零件按规定的间隔时间依次到达加工地点，定期运行的班车、班机等都属于确定型输入。
随机型的输入是指在时间t内顾客到达数n（t）服从一定的随机分布。
如服从泊松分布,则在时间t内到达n个顾客的概率为或相继到达的顾客的间隔时间T 服从负指数分布，即式中λ为单位时间顾客期望到达数，称为平均到达率；1/λ为平均间隔时间。
在排队论中，讨论的输入过程主要是随机型的。
排队规则排队规则分为等待制、损失制和混合制三种。
系统建模与仿真-排队论
常见仿真软件介绍与比较
功能方面
各软件均有独特的功能优势 ，如MATLAB/Simulink在数
学计算和可视化方面表现突 出，Arena则擅长离散事件仿
真。
易用性方面
MATLAB/Simulink和Arena 均提供友好的图形界面和丰 富的教程资源，便于用户快
速上手。
开放性方面
OMNeT作为开源软件，具有 较高的开放性和定制性，但 可能需要一定的编程基础。
完善。
建议和展望
在未来的学习和研究中，我将继续关注排队论领域的最新动态和研究成果，不断拓宽自 己的知识面和视野。同时，我也希望能够在实践中不断运用所学知识解决实际问题，提
高自己的实践能力和创新能力。
THANKS
感谢观看
成本效益
相较于实际系统搭建，仿真技术通常成本更低、周期更 短。
常见仿真软件介绍与比较
MATLAB/Simulink
提供强大的数学计算和可视化工具，适用于复杂系统建模与仿真。
Arena
专注于离散事件仿真，适用于制造、物流等领域的优化问题。
常见仿真软件介绍与比较
• OMNeT开源的网络仿真框架，适用于通 信网络性能评估。
06
总结与展望
本次课程重点内容回顾
排队论基本概念
介绍了排队论的定义、应用领域以及基 本术语和符号。
排队系统性能指标
介绍了评价排队系统性能的主要指标， 如平均队长、平均等待时间、服务强
度等。
排队系统组成与分类
详细阐述了排队系统的输入过程、服 务机构以及排队规则，并对排队系统 进行了分类。
经典排队模型及其求解
定义系统状态和变量
明确系统的状态和关键变量 ，如队列长度、等待时间等 。
第4讲-排队系统仿真PPT课件
P Z1 / 2
X (n)
S 2(n) / n
Z1
/2
P X (n) Z1 / 2
S 2(n) n
X (n) Z1 / 2
S
2 (n) n
1
概率与数理统计知识
（2）抽样分布
2)样本方差抽样分布
总体为正态分布
概率与数理统计知识
（2）抽样分布
样本统计量
样本均值 x
样本比例 p
顾客到达
服务台2
服务完成后离开
服务台s
S个服务台，一个队列的排队系统
4.0 排队系统仿真基础知识
排队系统类型：
服务台1 服务完成后离开
顾客到达
服务台2 服务完成后离开
服务台s 服务完成后离开
S个服务台， S个队列的排队系统
4.0 排队系统仿真基础知识 排队系统类型：
顾客到达
服务台1
服务台s 离开
▪ 混合制排队系统：是等待制与损失制结合， 即允许排队，但不允许队列无限长。
4.0 排队系统仿真基础知识
➢ 排队规则 当顾客到达时，若所有服务台都被占有且 又允许排队，则该顾客将进入队列等待。服 务台对顾客进行服务所遵循的规则通常有： o 先来先服务（FCFS） o 后来先服务（LCFS） o 具有优先权的服务（PS）
(3)参数估计
1)总体均值的区间估计
正态总体、方差已知，或非正态总体、大样本
总体均值μ在1－α的置信水平下的置信区间
正态总体、方差已知
置信区间 x z 2
n
非正态总体、大样本
置信区间 x z 2
s n
正态总体、方差未知、小样本
总体均值μ在1－α的置信水平下的置信区间
第5章排队系统讲解
Y表示服务时间的分布； Z表示并列的服务设备的数目。 表示相继到达间隔时间和服务时间分布的典型符号有：
M——负指数分布（M是Markov的字头） D——确定性（Deterministic） Ek——k阶爱尔朗（Erlang）分布 GI——一般相互独立（General Independent）的随
第5章 排队系统的建模与仿真
本章重点和难点
排队论概念 排队论仿真
排队是我们日常生活中常见的现象。 如：顾客到商店买东西、病人到医院看病
提高质量——减少被服务对象等待时间 平衡
降低成本——保证设备利用率前提下减少设备的投 入。
5.1 排队论的基本概念
5.1.1排队系统的组成 一般的排队系统都有三个基本组成部分：
(1)到达模式 指动态实体(顾客)按怎样的规律到达 常假定顾客总体是无限的。
(2)服务机构 指同一时刻有多少服务设备可以接纳动态 实体，它们的服务需要多少时间。它也具有一定的分 布特性。通常，假定系统的容量(包括正在服务的人数 加上在等待线等待的人数)是无限的。
(3)排队规则 指对下一个实体服务的选择原则。通用的 排队规则包括先进先出(FIFO)，后进先出(LIFO)，随 机服务(SIRO)等。
记此概率为Vk (t)；
(2)无后效性 不相交区间内到达的顾客数是相互 独立的；
(3)普通性 令Ψ(t)为时间t内至少有两个顾客到达 的概率，则
(4)有限性 任意有限区间内到达有限个顾客的概 率之和为l，即
对于这种到达分布，在时间t内到达k个顾客的概率 Vk(t)遵从泊松分布，即
函数相为继负顾指客数到分达布间隔ti是相互独立相同分布的，其分布
排队论及其运用于服务系统建模
排队论及其运用于服务系统建模引言：在现代社会中，服务系统扮演着越来越重要的角色。
从餐厅点餐到银行处理业务，服务系统的设计和运作对于提高效率和顾客满意度至关重要。
而排队论作为研究服务系统的一门数学理论，可以帮助我们理解和优化服务系统的运行。
本文将深入探讨排队论的概念和其在服务系统建模中的应用。
第一部分：排队论概述排队论是一门专注于研究顾客到达、排队和离开系统的数学理论。
它以概率论和统计学为基础，通过建立数学模型来描述和分析排队过程。
排队论的核心是研究以下几个重要指标：到达率、服务率、排队长度、平均等待时间以及系统利用率。
第二部分：排队模型为了对服务系统进行建模，排队论提供了几种常用的排队模型。
其中最常见的是M/M/1模型，指的是顾客到达过程和服务过程均服从指数分布，并且只有一个服务员的情况。
M/M/1模型可以通过排队模型的参数（到达率λ和服务率μ）来计算出系统稳态下的指标，如平均等待时间、顾客在系统中的平均逗留时间等。
除了M/M/1模型，还有其他排队模型，如M/M/c模型（指定有c个服务员）、M/M/∞模型（无限个服务员）等。
每个排队模型都可以根据实际情况进行调整和适用。
第三部分：优化服务系统排队论不仅仅是对服务系统进行建模，还可以为我们提供优化服务系统的方法和策略。
通过对排队模型的分析，我们可以确定合适的服务员数量、调整服务速度或者重新分配资源来提高服务系统的效率。
一种常用的优化方法是引入优先级调度。
通过设定不同类型顾客的优先级，可以确保特定顾客获得更快的服务，提高服务的公平性和满意度。
此外，排队论可以帮助我们评估和优化服务系统的容量。
通过模拟排队模型，可以预测系统的瓶颈和峰值时段，从而优化资源分配和服务安排。
第四部分：实际案例为了更好地理解排队论的应用，我们可以通过一个实际案例来说明。
假设一家特定规模的餐厅，我们需要优化其服务系统以提高顾客满意度和经营效益。
首先，通过调查和数据收集，我们可以确定顾客的平均到达率和服务的平均速度。
（强烈推荐）单服务台排队系统建模与仿真研究报告
（强烈推荐）单服务台排队系统建模与仿真研究报告(此⽂档为word格式，下载后您可任意编辑修改！)物流系统建模与仿真单服务台排队系统仿真研究报告——选重庆⼤学A区门⼝中国银⾏分⾏某⼀服务窗⼝为单服务台排队系统研究对象⼀、系统基本背景社会的进步越来越快，⼈们的⽣活节奏也随之越来越快。
在科技的发展，新技术的普及下, 我国的银⾏业以计算机和信息技术、互联⽹技术为前提, 通过⼤量资⾦和科技的投⼊, 不断地开发出新产品和新业务。
另外有⽹上银⾏、⽀付宝等新业务的出现, ⼤⼤提⾼了⼯作效率。
然⽽现代的⾦融服务并不是都可以靠刷卡来解决, 许多技术还不完善, 这些新技术也并不适合所有顾客群,去银⾏办理业务的顾客仍然经常性地出现排队现象。
顾客等待时间过长, 造成顾客满意度下降, ⽭盾较为突出, 因此本报告试利⽤单服务台排队论的⽅法, 定性定量地对具有排队等候现象的银⾏服务系统进⾏统计调查与分析研究,希望能帮助改进银⾏⼯作效率, 优化系统的运营。
本报告研究对象为中国银⾏重庆⼤学处分⾏某⼀服务窗⼝，数据取⾃银⾏内唯⼀⾮现⾦业务柜台。
研究对象的选取虽然不是最典型的，但是综合考虑了研究地域范围和⼩组成员作业时间有限，另有其他⽅案由于各种原因⽆法进⾏，故选择离学校较近的有代表性的中国银⾏中的服务窗⼝作为最终⽅案。
中国银⾏简介：中国银⾏是中国历史最为悠久的银⾏之⼀，在⼤家对银⾏的概念中有着⼀定地位。
中国银⾏主营传统商业银⾏业务，包括公司⾦融业务、个⼈⾦融业务和⾦融市场业务。
公司业务以信贷产品为基础，致⼒于为客户提供个性化、创新的⾦融服务和融资、财务解决⽅案。
个⼈⾦融业务主要针对个⼈客户的⾦融需求，提供包括储蓄存款、消费信贷和银⾏卡在内的服务。
作为中国⾦融⾏业的百年品牌，中国银⾏在稳健经营的同时，积极进取，不断创新，创造了国内银⾏业的许多第⼀，在国际结算、外汇资⾦和贸易融资等领域得到业界和客户的⼴泛认可和赞誉。
⼆、系统描述该银⾏⼯作时间为上午8：30⾄下午16：30（周⼀⾄周⽇），另周末不办理对公业务，属于每天8⼩时⼯作制。
排队模型与模拟 ppt课件
pn
与初始状态无关而且满足 pn 1
n0
那么称这个排队模型是稳定的。
概率分布pn : n 0,1,2,称为队长的稳定解。
对于长时间连续不断运行的排队模型，稳定解 比瞬时解有更重要的意义。
PPT课件
20
令
，称为服务强度。
1 即 ，表明服务员有足够的能力完全 接待到来的全体顾客。可以证明排队模型是稳定的。 但这决不是说，每位顾客就不用等待了，因为在 系统运行中随机因素在起作用。
M——到达的过程为泊松过程或负指数分布
D——定长输入
EK——K阶爱尔朗分布 G——一般相互独立的随机分布
②——服务时间分布
③——服务台(员)个数
④——顾客源总数
⑤——系统内顾客的容量
PPT课件
29
四、排队系统的常见分布
1．泊松分布（Poisson distribution）
(1) 平稳性 在时间 t t 内，到达 n 个顾客的概率只与 t 和 n 的大小有关。
有确定的时间间隔，也有随机的时间间隔
PPT课件
12
2．排队规则：指服务台从队列中选取顾客 进行服务的顺序。
(1)损失制 ，这是指如果顾客到达排队系统时, 所有服务台都被先到的顾客占用, 那么他们就自动离开系统。
PPT课件
13
(2)等待制，指当顾客来到系统时，若服务 台没有空闲，则顾客排队等候服务。
， 顾客源无限，容量N，单列，混合制．
2．系统的状态概率和主要运行指标：
1
P0
1
1
N
1
1 N
1 1
n
P0
物流建模与仿真 期末复习PPT第三章-排队论模型与储存模型及应用
▪ 系统分析： ➢ 到来的顾客按照自己的目的（存取款或提取工资）
选择银行窗口：提取工资的顾客只能选择1、2号窗 口，存取款的顾客1－5窗口。在能提供服务的窗口 中，如果有空闲窗口，则可直接进入空闲窗口接受 服务，否则选择最短的队列，依照次序接受服务， 服务结束后离开本系统。
3.4 应用库存模型进行库存规模决策
▪ （1）需求情况分析-①需求统计
每日需求量 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
频率/天 1 2 2 3 4 5 3 3 2 2 1
统计量： 观察个数N：样本规模； 平均日需求量Q：总需求量/观 察个数；
Excel统计公式： 求和公式：SUM(B3:B13) 平均值公式：AVERAGE(A3:A13)
▪ 排队系统的常用模型 ▪ 1.单服务台模型---仿真实例
▪ 有一工厂仓库，工人按需到仓库仓管员领取物资， 工人到来的间隔时间服从负指数分布，间隔时间期 望为５分钟，仓管员的领货时间服从三角分布，平 均时间为4分钟，最快2分，最慢5分钟，领取急需 物资的工人具有优先领取的权利，但不能中断正在 领取工人的服务，急需物资工人占总工人数的30％ 。仿真运行半个工作日（4小时），从排队长的角 度分析这个领料排队系统。
3.4 应用库存模型进行库存规模决策
▪ 1. 需求的不确定性分析 ➢ 需求变动的来源：每个用户需求会受到环境、
物资供应、运输等各种因素的影响，所以在一 定时间内表现一种随机性。 ➢ 影响：导致需要保证一定的库存，以应对需求 的变动。 ➢ 效益背反( Trade off )：库存水平越高，其服务 可靠性越高，而库存费用也就越大。
3.2 基于排队系统的建模与仿真
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83.33% 0.1667 4.1667 5.0000 0.8333 1.0000
0.2 0.15
0.1 0.05
0 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 NUMBER IN SYSTEM
他在热力学统计平衡理论的启发下，成功地建立了电话统 计平衡模型，并由此得到一组递推状态方程，从而导出著 名的埃尔朗电话损失率公式。
4
20世纪30年代中期，当费勒(W.Feller)引进了生灭过程时， 排队论才被数学界承认为一门重要的学科。
20世纪50年代初，堪道尔(D.G.Kendall)对排队论作了系统 的研究，他用嵌入马尔柯夫(A.A.Markov)链方法研究排队 论，使排队论得到了进一步的发展。是他首先（1951年） 用3个字母组成的符号A/B/C表示排队系统。其中A表示顾 客到达时间分布，B表示服务时间的分布，C表示服务机构 中的服务台的个数。
排队系统
目前在一些办事大厅如银行、 电信、医院等公共服务场所，客 户办理业务排长队的现象比较普 遍，长时间的站立、拥挤，不仅 使客户感到疲惫不堪，而且排队 秩序也很难保持，既影响了办事 效率也容易使客户产生不满情绪。 排队管理系统是为改善办事大厅 传统管理所存在的一些混乱、无 序等弊端而开发的。
1
排队论(Queuing Theory)
基本组成
输入 来源
顾客
排队系统
队列
服务机构
服务完离开
排队系统的三个基本组成部分. •输入过程 (顾客按照怎样的规律到达); •排队规则 (顾客按照一定规则排队等待服务); •服务机构 (服务机构的设置,服务台的数量,服务的方式,服务时间分 布等) ♂
6
基本排队模型 － 输入过程
顾客来源
有限/无限
et fort0
fT(t)
0
for t0
分布函数
P(Tt)1et
均值 方差
fT(t)
E(T ) 1
Var(T) 1 2
1
t
E(T )
16
指数分布性质1
fT(t) 是一个严格下降函数
P ( 0 T t) P ( t T t t)
fT(t)
t
t
t
17
指数分布性质2
无后效性
P ( T t t/T t) P ( T t)
12
统计平稳条件下的记号
L 平均队长
L 平均等待队长 q
W 平均等待时间 q
W 平均逗留时间
13
L, W, Lq, Wq
LW
Little’s formula
Lq Wq
♂
W
Wq
1
14
到达间隔时间与服务时间的分 布
泊松分布 负指数分布 爱尔朗分布 统计数据的分布判断
指数分布
随机变量 T 密度函数
, )
W 1 (1 )
Pn (1 )
20
M/M/1 举例
M/M/s queuing computations
Arrival rate
5
Service rate
6
Number of servers
1
Utilization P(0), probability that the system is empty Lq, expected queue length L, expected number in system Wq, expected time in queue W, expected total time in system
顾客数量
有限
无限
经常性的顾客来源.
顾客到达间隔时间: 到下一个顾客到达的时间.
服从某一概率分布. (指数分布)
顾客的行为假定为:
在未服务之前不会离开;
当看到队列很长的时候离开；
♂
从一个队列移到另一个队列。
7
基本排队模型－队列/排队规则
队列
队列容量
有限/无限
排队规则
先来先服务（FCFS）；后来先服务； 随机服务；有 优先权的服务；
1/ : 平均服务时间
Poisson分布
P(X(t)n)(t)net
n!
E(X(t))t
在t时间内已经服务n个顾客的概率
平均服务率=
19
M/M/1/ / 或 M/M/1 模型
一个基本地排列模型. 一个服务台, 到达率 和服务率 都服从指数分布。
等待队长
Lq
2 1
,
L 1
等待时间
Wq
(1
研究系统随机聚散现象和随机服务系统工 作过程的数学理论和方法，又称随机服务 系统理论，为运筹学的一个分支
有形和无形的排队或拥挤现象，如旅客购 票排队，市内电话占线等现象
日排队论起源于20世纪初的电话通话。
1909—1920年丹麦数学家、电气工程师爱尔朗 （A.K.Erlang）用概率论方法研究电话通话问题，从而开 创了这门应用数学学科，并为这门学科建立许多基本原则。
M/M/1/ / /FCFS M/M/1 /
M: 指数分布 (Markovian) D: 定长分布 (常数时间) Ek: k级Erlang 分布 G: 普通的概率分布 (任意概率分布)
10
基本排队模型－记号
系统状态 = N(t) =
队列长度 = Pn(t) = s=
排队系统顾客的数量。 在时间 t 排队系统中顾客的数量。 等待服务的顾客的数量。 在时间t,排队系统中恰好有n个顾客的概率。 服务台的数目。
♂
8
基本排队模型－服务规则
服务机构
服务设施， 服务渠道与服务台 服务台数量 服务时间分布:
指数, 常数, k级Erlang
♂
9
基本排队模型－记号方案
Arrival
Queue
Server
顾客到达时间间隔分布/服务时间分布/服务台数目/排队系统 允许的最大顾客容量/顾客总体数量/排队规则 (Kendall 记号)
P(Ttt/Tt)
P(TttanTdt) P(Tt)
P(Ttt) P(Tt)
ee(t(t)t)
eete tt
et
P(Tt)
不管多长时间( t)已经过去， 逗留时间的概率分布与下一个事件的相同.
18
指数分布性质3
指数分布
et
fT(t)
0
E(T ) 1
f ort 0 for t0
服务时间的概率 = t
11
基本排队模型－统计平稳条件下 的记号
n = 系统有n个顾客时的平均到达率（单位时间平均到达的顾客 人数即是平均到达率）
n = 系统有n个顾客时的平均到达率 =对任何n都是常数的平均到达率.
m =对任何n都是常数的平均到达率.
1/ =
期望到达间隔时间
1/ =
期望服务时间
=服务强度， 或称使用因子, /(s )