高考数学一轮复习 第八章 平面解析几何 . 直线与圆、圆与圆的位置关系练习 理-课件
第八章 平面解析几何 8.4 直线与圆、圆与圆的位置关系练习 理
[A组·基础达标练]
1．对任意的实数k，直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＝2的位置关系一定是( )
A．相离
B．相切
C．相交但直线不过圆心
D．相交且直线过圆心
答案 C
解析 直线y＝kx＋1恒过定点(0,1)，且定点(0,1)在圆x2＋y2＝2内，故直线y＝kx＋1一定与圆相交，又圆心(0,0)不满足方程y＝kx＋1，直线与圆相交但不过圆心．
2．[2016·合肥模拟]已知圆x2＋y2－2x＋my－4＝0上两点M、N关于直线2x＋y＝0对称，则圆的半径为( )
A．9 B．3
C．2 D．2
答案 B
解析 由题意知，圆心在直线2x＋y＝0上，
∴2－m＝0，解得m＝4；
∴圆的方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝9，圆的半径为3.
3．[2016·银川模拟]过圆x2＋y2＝1上一点作圆的切线与x轴、y轴的正半轴相交于A、B两点，则|AB|的最小值为( )
A. B.
C．2 D．3
答案 C
解析 设圆上的点为(x0，y0)，其中x0>0，y0>0，则切线方程为x0x ＋y0y＝1.分别令x＝0，y＝0得A，B，则|AB|＝＝≥＝2.当且仅当x0＝y0时，等号成立．
4．[2015·重庆高考]已知直线l：x＋ay－1＝0(a∈R)是圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的对称轴．过点A(－4，a)作圆C的一条切线，切点
为B，则|AB|＝( )
A．2 B．4
C．6 D．2
答案 C
解析 由题意得圆C的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4，所以圆C的圆心为(2,1)，半径为2.因为直线l为圆C的对称轴，所以圆心在直线l上，则2＋a－1＝0，解得a＝－1，所以|AB|2＝|AC|2－|BC|2＝(－4－2)2＋(－1－1)2－4＝36，所以|AB|＝6，故选C.
5．[2013·山东高考]过点(3,1)作圆(x－1)2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A、B，则直线AB的方程为( )
A．2x＋y－3＝0 B．2x－y－3＝0
C．4x－y－3＝0 D．4x＋y－3＝0
答案 A
解析 由图知切点A(1,1)，圆心坐标C(1,0)，
所以k CM＝＝.
易证CM⊥AB，
所以k AB＝－2.
直线AB的方程为y－1＝－2(x－1)，即2x＋y－3＝0.
6．[2015·唐山二模]已知圆C：x2＋y2＝1，点M(t,2)，若C上存在两点A，B满足＝，则t的取值范围是( )
A．[－2,2] B．[－3,3]
C．[－，] D．[－5,5]
答案 C
解析 如图，设A(x，y)，
∵＝，∴A为MB的中点，
∴B(2x－t,2y－2)．
又∵A，B均在圆C：x2＋y2＝1上，
∴
即
由题意得方程组有解，即等价于以为圆心，为半径的圆与圆C有交点，
∴1－≤ ≤1＋⇒－≤t≤，则实数t的取值范围是[－，]．
7．在圆x2＋y2－2x－6y＝0内，过点E(0,1)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为________．
答案 10
解析 圆的方程化为标准形式为(x－1)2＋(y－3)2＝10，由圆的性质可知最长弦AC＝2，最短弦BD恰以E(0,1)为中点，设点F为其圆心，坐标为(1,3) .
故EF＝，
∴BD＝2＝2，
∴S四边形ABCD＝AC·BD＝10.
8．点P(4，－2)与圆x2＋y2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程为________．
答案 (x－2)2＋(y＋1)2＝1
解析 设圆上任一点为Q(x0，y0)，PQ的中点为M(x，y)，则解得
又因为点Q在圆x2＋y2＝4上，
所以x＋y＝4，
即(2x－4)2＋(2y＋2)2＝4，
即(x－2)2＋(y＋1)2＝1.
9．[2015·肇庆模拟]如果实数x，y满足等式(x－2)2＋y2＝1，那么的最小值为________．
答案
解析 用数形结合法，设k＝，则y＝kx－(k＋3)表示经过点P(1，－3)，斜率为k的直线，所以求的最小值就等价于求同时经过点P(1，－3)和圆上的点的直线中斜率的最小值．结合图形可知，此时斜率存在．由圆心C(2,0)到直线y＝kx－(k＋3)的距离＝r＝1，解得k＝，即k的最小值为.
10．[2016·唐山一模]已知圆O：x2＋y2＝4，点A(，0)，以线段AB为直径的圆内切于圆O，记点B的轨迹为Γ.
(1)求曲线Γ的方程；
(2)直线AB交圆O于C，D两点，当B为CD的中点时，求直线AB的方程．
解 (1)设AB的中点为M，切点为N，连接OM，MN，则|OM|＋|MN|＝|ON|＝2，取A关于y轴的对称点A′，连接A′B，故|A′B|＋|AB|＝2(|OM|＋|MN|)＝4.
所以点B的轨迹是以A′，A为焦点，长轴长为4的椭圆．
其中，a＝2，c＝，b＝1，则
曲线Γ的方程为＋y2＝1.
(2)因为B为CD的中点，所以OB⊥CD，
则⊥.设B(x0，y0)，
则x0(x0－)＋y＝0.
又＋y＝1，解得x0＝，y0＝±.
则k OB＝±，k AB＝∓，
则直线AB的方程为y＝±(x－)，
即x－y－＝0或x＋y－＝0.
[B组·能力提升练]
1．[2015·山东高考]一条光线从点(－2，－3)射出，经y轴反射后与圆(x＋3)2＋(y－2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为( ) A．－或－ B．－或－
C．－或－ D．－或－
答案 D
解析 圆(x＋3)2＋(y－2)2＝1的圆心为C(－3,2)，半径r＝1.如图，作出点A(－2，－3)关于y轴的对称点B(2，－3)．由题意可知，反射光线的反向延长线一定经过点B.设反射光线的斜率为k，则反射光线所在直线的方程为y－(－3)＝k(x－2)，即kx－y－2k－3＝0.由反射光线与圆相切可得＝1，即|5k＋5|＝，整理得12k2＋25k＋12＝0，即(3k＋4)(4k＋3)＝0，解得k＝－或k＝－.故选D.
2．[2014·福建高考]已知圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝1，平面区域Ω：若圆心C∈Ω，且圆C与x轴相切，则a2＋b2的最大值为( ) A．5 B．29
C．37 D．49
答案 C
解析 作出不等式组表示的平面区域Ω(如图阴影部分所示，含边界)，圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝1的圆心坐标为(a，b)，半径为1.由圆C
与x轴相切，得b＝1.解方程组得即直线x＋y－7＝0与直线y＝1的交点坐标为(6,1)，设此点为P.
又点C∈Ω，则当点C与P重合时，a取得最大值，
所以a2＋b2的最大值为62＋12＝37.
3．[2015·唐山期末]过点A(3,1)的直线l与圆C：x2＋y2－4y－1＝0相切于点B，则·＝________.
答案 5
解析 由x2＋(y－2)2＝5可知圆心为(0,2)，r＝，
∴|AC|＝＝，∴|AB|＝＝，∴∠ACB＝45°，∴·＝××cos45°＝5.
4．[2015·云南名校联考]已知圆O：x2＋y2＝1，直线x－2y＋5＝0上的动点P，过点P作圆O的一条切线，切点为A，则|PA|的最小值为
________．
答案 2
解析 过O作OP垂直于直线x－2y＋5＝0，过P作圆O的切线PA，连接OA，易知此时|PA|的值最小．由点到直线的距离公式，得|OP|＝＝.
又|OA|＝1，所以|PA|＝＝2.
5．[2016·绵阳诊断]已知圆心为C的圆，满足下列条件：圆心C位于x轴正半轴上，与直线3x－4y＋7＝0相切，且被y轴截得的弦长为2，圆C 的面积小于13.
(1)求圆C的标准方程；
(2)设过点M(0,3)的直线l与圆C交于不同的两点A，B，以OA，OB为邻边作平行四边形OADB.是否存在这样的直线l，使得直线OD与MC恰好平行？如果存在，求出l的方程；如果不存在，请说明理由．
解 (1)设圆C：(x－a)2＋y2＝R2(a>0)，由题意知
，解得a＝1或a＝，
又S＝πR2<13，∴a＝1，
∴圆C的标准方程为(x－1)2＋y2＝4.
(2)当斜率不存在时，直线l为x＝0，不满足题意．
当斜率存在时，设直线l：y＝kx＋3，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
又l与圆C相交于不同的两点，联立得，消去y得(1＋k2)x2＋(6k－2)x ＋6＝0，
∴Δ＝(6k－2)2－24(1＋k2)＝12k2－24k－20>0，
解得k<1－或k>1＋.
x1＋x2＝－，y1＋y2＝k(x1＋x2)＋6＝，
＝＋＝(x1＋x2，y1＋y2)，＝(1，－3)，
假设∥，则－3(x1＋x2)＝y1＋y2，
∴3×＝，
解得k＝∉∪，假设不成立，∴不存在这样的直线l.。
高考数学一轮总复习第八章平面解析几何8_4直线与圆圆与圆的位置关系文新人教A版
考点二|直线与圆相交、弦长问题 (方法突破)
方法 1 几何法求弦长
【例 2】 过点(1,1)的直线与圆(x－2)2＋(y－3)2＝9 相交于 A，B 两点，则|AB|的最
小值为( )
A.2 3
B.4
C.2 5
D.5
[解析] 由圆的几何性质可知，当点(1,1)为弦AB的中点时，|AB|的值最小，此时 |AB|＝2 r2－d2＝2 9－5＝4.
(2)如果圆C1与圆C2内含，则有 m＋12＋－2－m2<3－2，
(m＋1)2＋(－2－m)2<1，m2＋3m＋2<0， 解得－2<m<－1， 所以当－2<m<－1时，圆C1与圆C2内含． 名师点拨 利用两圆心|C1C2|与r1和r2的关系时，要注意正确构建不等式，两圆相 切分为内切与外切．相交时，不等关系是双向型|r1－r2|<|C1C2|<r1＋r2.
(2)圆(x－1)2＋y2＝1的圆心为(1,0)，半径为1，以|PC|＝ 1－12＋－2－02＝2为直径 的圆的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝1，将两圆的方程相减得AB所在直线的方程为2y ＋1＝0，即y＝－12. (3)圆C的圆心C(4,2)，∵PA⊥AC，PB⊥BC，∴P，A，B，C四点共圆，所求圆的
的问题． 要求相对较低，但内容很重要，有时
3．初步了解用代数方法处理几何问题 也会在解答题中出现.
的思想.
[基础梳理] 1．直线与圆的位置关系与判断方法 (1)几何法：利用圆心到直线的距离d与半径r的大小关系． ① d<r ⇔直线与圆相交； ② d＝r ⇔直线与圆相切； ③ d>r ⇔直线与圆相离．
(2)代数法：联立方程，消去x(或y)得一元二次方程，计算Δ＝b2－4ac. ①Δ>0⇔直线与圆 相交 ； ②Δ＝0⇔直线与圆 相切 ； ③Δ<0⇔直线与圆 相离 ．
2020高考数学一轮复习第8章平面解析几何第4节直线与圆圆与圆的位置关系教师用书文新人教A版
【2019最新】精选高考数学一轮复习第8章平面解析几何第4节直线与圆圆与圆的位置关系教师用书文新人教A版———————————————————————————————— [考纲传真] 1.能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系.2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题.3.初步了解用代数方法处理几何问题的思想．1．判断直线与圆的位置关系常用的两种方法(1)几何法：利用圆心到直线的距离d和圆半径r的大小关系：d<r⇔相交；d＝r⇔相切；d>r⇔相离．(2)代数法：联立直线l与圆C的方程，消去y(或x)，得一元二次方程，计算判别式Δ＝b2－4ac，Δ>0⇔相交，Δ＝0⇔相切，Δ<0⇔相离．2．圆与圆的位置关系设圆O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r(r1>0)，圆O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r(r2>0).1．(1)“k＝1”是“直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交”的必要不充分条件．( )(2)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切．( )(3)如果两圆的圆心距小于两半径之和，则两圆相交．( )(4)若两圆相交，则两圆方程相减消去二次项后得到的二元一次方程是公共弦所在直线的方程．( )[解析] 依据直线与圆、圆与圆的位置关系，只有(4)正确．[答案] (1)×(2)×(3)×(4)√2．(教材改编)圆(x＋2)2＋y2＝4与圆(x－2)2＋(y－1)2＝9的位置关系为( )A．内切B．相交C．外切D．相离B [两圆圆心分别为(－2,0)，(2,1)，半径分别为2和3，圆心距d＝＝.∵3－2<d<3＋2，∴两圆相交．]3．(2017·合肥调研)直线3x＋4y＝b与圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0相切，则b 的值是( )A．－2或12 B．2或－12C．－2或－12 D．2或12D [由圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0，知圆心(1,1)，半径为1，所以＝1，解得b ＝2或12.]4．在平面直角坐标系xOy中，直线x＋2y－3＝0被圆(x－2)2＋(y＋1)2＝4截得的弦长为__________．255[圆心为(2，－1)，半径r＝2.5圆心到直线的距离d＝＝，所以弦长为2＝2＝.]5．(2016·全国卷Ⅰ)设直线y＝x＋2a与圆C：x2＋y2－2ay－2＝0相交于A，B 两点，若|AB|＝2，则圆C的面积为________．4π[圆C：x2＋y2－2ay－2＝0化为标准方程是C：x2＋(y－a)2＝a2＋2，所以圆心C(0，a)，半径r＝.|AB|＝2，点C到直线y＝x＋2a即x－y＋2a＝0的距离d＝，由勾股定理得2＋2＝a2＋2，解得a2＝2，所以r＝2，所以圆C的面积为π×22＝4π.](y－1)2＝5的位置关系是( )【导学号：31222298】A．相交B．相切C．相离D．不确定(2)若点P(1,2)在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点P处的切线方程为__________．(1)A (2)x＋2y－5＝0 [(1)法一：∵圆心(0,1)到直线l的距离d＝<1<.故直线l与圆相交．法二：直线l：mx－y＋1－m＝0过定点(1,1)，∵点(1,1)在圆C：x2＋(y－1)2＝5的内部，∴直线l与圆C相交．(2)∵以原点O为圆心的圆过点P(1,2)，∴圆的方程为x2＋y2＝5.∵kOP＝2，∴切线的斜率k＝－.由点斜式可得切线方程为y－2＝－(x－1)，即x＋2y－5＝0.][规律方法] 1.(1)利用圆心到直线的距离可判断直线与圆的位置关系，也可利用直线的方程与圆的方程联立后得到的一元二次方程的判别式来判断直线与圆的位置关系；(2)注意灵活运用圆的几何性质，联系圆的几何特征，数形结合，简化运算．如“切线与过切点的半径垂直”等．2．与弦长有关的问题常用几何法，即利用弦心距、半径和弦长的一半构成直角三角形进行求解．[变式训练1] (1)(2017·山西忻州模拟)过点(3,1)作圆(x－1)2＋y2＝r2的切线有且只有一条，则该切线的方程为( )A．2x＋y－5＝0 B．2x＋y－7＝0C．x－2y－5＝0 D．x－2y－7＝0(2)(2016·全国卷Ⅲ)已知直线l：x－y＋6＝0与圆x2＋y2＝12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，则|CD|＝__________.(1)B (2)4 [(1)依题意知，点(3,1)在圆(x－1)2＋y2＝r2上，且为切点．∴圆心(1,0)与切点(3,1)连线的斜率为.因此切线的斜率k＝－2.故圆的切线方程为y－1＝－2(x－3)，即2x＋y－7＝0.(2)由圆x2＋y2＝12知圆心O(0,0)，半径r＝2.∴圆心(0,0)到直线x－y＋6＝0的距离d＝＝3，|AB|＝2＝2.过C作CE⊥BD于E.如图所示，则|CE|＝|AB|＝2.∵直线l的方程为x－y＋6＝0，∴kAB＝，则∠BPD＝30°，从而∠BDP＝60°.∴|CD|＝＝＝＝4.]x＋y＝0所得线段的长度是2，则圆M与圆N：(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置关系是( ) A．内切B．相交C．外切D．相离B [法一：由得两交点为(0,0)，(－a，a)．∵圆M截直线所得线段长度为2，∴＝2.又a>0，∴a＝2.∴圆M的方程为x2＋y2－4y＝0，即x2＋(y－2)2＝4，圆心M(0,2)，半径r1＝2.又圆N：(x－1)2＋(y－1)2＝1，圆心N(1,1)，半径r2＝1，∴|MN|＝＝.∵r1－r2＝1，r1＋r2＝3,1<|MN|<3，∴两圆相交．法二：∵x2＋y2－2ay＝0(a>0)⇔x2＋(y－a)2＝a2(a>0)，∴M(0，a)，r1＝a.∵圆M截直线x＋y＝0所得线段的长度为2，∴圆心M到直线x＋y＝0的距离d ＝＝，解得a＝2.以下同法一．][规律方法] 1.圆与圆的位置关系取决于圆心距与两个半径的和与差的大小关系．2．若两圆相交，则两圆的公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x2，y2项得到．3．若两圆相交，则两圆的连心线垂直平分公共弦．[变式训练2] 若⊙O：x2＋y2＝5与⊙O1：(x－m)2＋y2＝20(m∈R)相交于A，B 两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度是__________．4 [由题意⊙O1与⊙O在A处的切线互相垂直，则两切线分别过另一圆的圆心，∴O1A⊥OA.又∵|OA|＝，|O1A|＝2，∴|OO1|＝5.又A，B关于OO1对称，∴AB为Rt△OAO1斜边上高的2倍．又∵·OA·O1A＝OO1·AC，得AC＝2.∴AB＝4.]M为圆心的圆M：x2＋y2－12x－14y＋60＝0及其上一点A(2,4)．(1)设圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线x＝6上，求圆N的标准方程；(2)设平行于OA的直线l与圆M相交于B，C两点，且BC＝OA，求直线l的方程．图841[解] 圆M的标准方程为(x－6)2＋(y－7)2＝25，所以圆心M(6,7)，半径为5.1分(1)由圆心N在直线x＝6上，可设N(6，y0)．因为圆N与x轴相切，与圆M外切，所以0<y0<7，圆N的半径为y0，从而7－y0＝5＋y0，解得y0＝1.4分因此，圆N的标准方程为(x－6)2＋(y－1)2＝1.5分(2)因为直线l∥OA，所以直线l的斜率为＝2.设直线l的方程为y＝2x＋m，即2x－y＋m＝0，则圆心M到直线l的距离d＝＝.8分因为BC＝OA＝＝2，而MC2＝d2＋2，所以25＝＋5，解得m＝5或m＝－15.故直线l的方程为2x－y＋5＝0或2x－y－15＝0.12分[规律方法] 1.(1)设出圆N的圆心N(6，y0)，由条件圆M与圆N外切，求得圆心与半径，从而确定圆的标准方程．(2)依据平行直线，设出直线l的方程，根据点到直线的距离公式及勾股定理求解．2．求弦长常用的方法：①弦长公式；②半弦长、半径、弦心距构成直角三角形，利用勾股定理求解(几何法)．[变式训练3] 在直角坐标系xOy中，以坐标原点O为圆心的圆与直线：x－y＝4相切．(1)求圆O的方程；(2)若圆O上有两点M，N关于直线x＋2y＝0对称，且|MN|＝2，求直线MN的方程．[解] (1)依题意，圆O的半径r等于原点O到直线x－y＝4的距离，则r＝＝2.所以圆O的方程为x2＋y2＝4.5分(2)由题意，可设直线MN的方程为2x－y＋m＝0.则圆心O到直线MN的距离d＝.7分由垂径分弦定理，得＋()2＝22，即m＝±.10分所以直线MN的方程为2x－y＋＝0或2x－y－＝0.12分[思想与方法]1．直线与圆的位置关系体现了圆的几何性质和代数方程的结合，解题时要抓住圆的几何性质，重视数形结合思想方法的应用．2．计算直线被圆截得的弦长的常用方法：(1)几何方法：运用弦心距(即圆心到直线的距离)、弦长的一半及半径构成直角三角形计算．(2)代数方法：弦长公式|AB|＝|xA－xB|＝.[易错与防范]1．求圆的弦长问题，注意应用圆的性质解题，即用圆心与弦中点连线与弦垂直的性质，可以用勾股定理或斜率之积为“－1”列方程来简化运算．2．过圆上一点作圆的切线有且只有一条；过圆外一点作圆的切线有且只有两条，若仅求得一条，除了考虑运算过程是否正确外，还要考虑斜率不存在的情况，以防漏解．课时分层训练(四十八)直线与圆、圆与圆的位置关系A组基础达标(建议用时：30分钟)一、选择题1．已知点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系是( )A．相切B．相交C．相离D．不确定B [由题意知点在圆外，则a2＋b2>1，圆心到直线的距离d＝<1，故直线与圆相交．]2．(2017·山西太原模拟)若圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－6x－8y＋m＝0外切，则m＝( )A．21 B．19C．9 D．－11C [圆C1的圆心为C1(0,0)，半径r1＝1，因为圆C2的方程可化为(x－3)2＋(y－4)2＝25－m，所以圆C2的圆心为C2(3,4)，半径r2＝(m<25)．从而|C1C2|＝＝5.两圆外切得|C1C2|＝r1＋r2，即1＋＝5，解得m＝9.]3．已知圆x2＋y2＋2x－2y＋a＝0截直线x＋y＋2＝0所得弦的长度为4，则实数a的值是( )A．－2 B．－4C．－6 D．－8B [由x2＋y2＋2x－2y＋a＝0，得(x＋1)2＋(y－1)2＝2－a，所以圆心坐标为(－1,1)，半径r＝，圆心到直线x＋y＋2＝0的距离为＝，所以22＋()2＝2－a，解得a＝－4.]4．(2017·浙江金丽衢十二校模拟)过点P(4,2)作圆x2＋y2＝4的两条切线，切点分别为A，B，O为坐标原点，则△OAB外接圆的方程是( )【导学号：31222299】A．(x－2)2＋(y－1)2＝5B．(x－4)2＋(y－2)2＝20C．(x＋2)2＋(y＋1)2＝5D．(x＋4)2＋(y＋2)2＝20A [由题意知，O，A，B，P四点共圆，所以所求圆的圆心为线段OP的中点(2,1)．又圆的半径r＝|OP|＝，所以所求圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5.]5．(2017·河北衡水中学三模)已知圆C：(x－1)2＋y2＝25，则过点P(2，－1)的圆C的所有弦中，以最长弦和最短弦为对角线的四边形的面积是( )【导学号：31222300】A．10 B．921C．10 D．911C [易知最长弦为圆的直径10.又最短弦所在直线与最长弦垂直，且|PC|＝，∴最短弦的长为2＝2＝2.故所求四边形的面积S＝×10×2＝10]．二、填空题6．已知圆C1：x2＋y2－6x－7＝0与圆C2：x2＋y2－6y－27＝0相交于A，B两点，则线段AB的中垂线方程为________________. 【导学号：31222301】x＋y－3＝0 [∵圆C1的圆心C1(3,0)，圆C2的圆心C2(0,3)，∴直线C1C2的方程为x＋y－3＝0，AB的中垂线即直线C1C2，故其方程为x＋y－3＝0.]7．若直线3x－4y＋5＝0与圆x2＋y2＝r2(r>0)相交于A，B两点，且∠AOB＝120°(O为坐标原点)，则r＝__________.2 [如图，过点O作OD⊥AB于点D，则|OD|＝＝1.∵∠AOB＝120°，OA＝OB，∴∠OBD＝30°，∴|OB|＝2|OD|＝2，即r＝2.]8．(2017·安徽十校联考)已知圆C：(x＋2)2＋y2＝4，直线l：kx－y－2k＝0(k∈R)，若直线l与圆C恒有公共点，则实数k的最小值是__________．－[圆心C(－2,0)，半径r＝2.又圆C与直线l恒有公共点．所以圆心C(－2,0)到直线l的距离d≤r.因此≤2，解得－≤k≤.所以实数k的最小值为－.]三、解答题9．已知点A(1，a)，圆x2＋y2＝4.(1)若过点A的圆的切线只有一条，求a的值及切线方程；(2)若过点A且在两坐标轴上截距相等的直线被圆截得的弦长为2，求a的值．[解] (1)由于过点A的圆的切线只有一条，则点A在圆上，故12＋a2＝4，∴a＝±.2分当a＝时，A(1，)，易知所求切线方程为x＋y－4＝0；当a＝－时，A(1，－)，易知所求切线方程为x－y－4＝0.5分(2)设过点A的直线方程为x＋y＝b，则1＋a＝b，即a＝b－1，8分又圆心(0,0)到直线x＋y＝b的距离d＝，∴2＋2＝4，则b＝±.因此a＝b－1＝±－1.12分10．(2017·唐山模拟)已知定点M(0,2)，N(－2,0)，直线l：kx－y－2k＋2＝0(k 为常数)．(1)若点M，N到直线l的距离相等，求实数k的值；(2)对于l上任意一点P，∠MPN恒为锐角，求实数k的取值范围．[解] (1)∵点M，N到直线l的距离相等，∴l∥MN或l过MN的中点．∵M(0,2)，N(－2,0)，∴直线MN的斜率kMN＝1，MN的中点坐标为C(－1,1).3分又∵直线l：kx－y－2k＋2＝0过定点D(2,2)，∴当l∥MN时，k＝kMN＝1；当l过MN的中点时，k＝kCD＝.综上可知，k的值为1或.6分(2)∵对于l上任意一点P，∠MPN恒为锐角，∴l与以MN为直径的圆相离，即圆心(－1,1)到直线l的距离大于半径，10分∴d＝>，解得k<－或k>1.12分B组能力提升(建议用时：15分钟)1．已知直线l：kx＋y－2＝0(k∈R)是圆C：x2＋y2－6x＋2y＋9＝0的对称轴，过点A(0，k)作圆C的一条切线，切点为B，则线段AB的长为( ) A．2 B．2 2C．3 D．2 3D [由圆C：x2＋y2－6x＋2y＋9＝0得(x－3)2＋(y＋1)2＝1，则C(3，－1)．依题意，圆C的圆心(3，－1)在直线kx＋y－2＝0上，所以3k－1－2＝0，解得k＝1，则点A(0,1)，所以|AC|＝，故|AB|＝＝＝2.]2．(2017·济南质检)过点P(1，)作圆x2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则·＝__________.3[如图所示，可知OA⊥AP，OB⊥BP，OP＝＝ 2.2又OA＝OB＝1，可以求得AP＝BP＝，∠APB＝60°.故·＝××cos 60°＝.]3．已知圆C的方程为x2＋(y－4)2＝4，点O是坐标原点，直线l：y＝kx与圆C 交于M，N两点．(1)求k的取值范围；(2)直线l能否将圆C分割成弧长的比为的两段弧？若能，求出直线l的方程；若不能，请说明理由．【导学号：3122302】[解] (1)将y＝kx代入圆C的方程x2＋(y－4)2＝4.得(1＋k2)x2－8kx＋12＝0.2分∵直线l与圆C交于M，N两点，∴Δ＝(－8k)2－4×12(1＋k2)>0，得k2>3，(*)∴k的取值范围是(－∞，－)∪(，＋∞).5分(2)假设直线l将圆C分割成弧长的比为的两段弧，则劣弧所对的圆心角∠MCN＝90°，由圆C：x2＋(y－4)2＝4知圆心C(0,4)，半径r＝2.8分在Rt△MCN中，可求弦心距d＝r·sin 45°＝，故圆心C(0,4)到直线kx－y＝0的距离＝，∴1＋k2＝8，k＝±，经验证k＝±满足不等式(*)，10分故l的方程为y＝±x.因此，存在满足条件的直线l，其方程为y＝±x.12分。
(全国通用)近年高考数学一轮复习 第8章 平面解析几何 第4节 直线与圆、圆与圆的位置关系课时分层训
（全国通用）2018高考数学一轮复习第8章平面解析几何第4节直线与圆、圆与圆的位置关系课时分层训练文新人教A版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（（全国通用）2018高考数学一轮复习第8章平面解析几何第4节直线与圆、圆与圆的位置关系课时分层训练文新人教A 版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为（全国通用）2018高考数学一轮复习第8章平面解析几何第4节直线与圆、圆与圆的位置关系课时分层训练文新人教A版的全部内容。
课时分层训练（四十八）直线与圆、圆与圆的位置关系A组基础达标（建议用时：30分钟)一、选择题1．已知点M(a，b）在圆O：x2＋y2＝1外，则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系是（) A．相切B．相交C．相离D．不确定B[由题意知点在圆外，则a2＋b2〉1，圆心到直线的距离d＝错误!<1，故直线与圆相交．］2．(2017·山西太原模拟）若圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－6x－8y＋m＝0外切,则m ＝( ）A．21 B．19C．9 D．－11C［圆C1的圆心为C1（0,0）,半径r1＝1,因为圆C2的方程可化为（x－3)2＋（y－4)2＝25－m，所以圆C2的圆心为C2（3,4），半径r2＝25－m(m〈25）．从而｜C1C2|＝错误!＝5。
两圆外切得｜C1C2｜＝r1＋r2，即1＋错误!＝5，解得m＝9。
］3．已知圆x2＋y2＋2x－2y＋a＝0截直线x＋y＋2＝0所得弦的长度为4，则实数a的值是( )A．－2 B．－4C．－6 D．－8B［由x2＋y2＋2x－2y＋a＝0,得（x＋1）2＋（y－1）2＝2－a，所以圆心坐标为(－1,1),半径r＝错误!,圆心到直线x＋y＋2＝0的距离为错误!＝错误!，所以22＋（2)2＝2－a，解得a＝－4。
直线与圆、圆与圆的位置关系课件-2025届高三数学一轮复习
≤ + ，解得−
≤≤
.
−−
+
=
+
≤ ，即
考点二 直线与圆位置关系的应用
角度1 圆的切线问题（链接高考）
例2 (2023·新课标Ⅰ卷)过点 , − 与圆 + − − = 相切的两条直
（2）过圆 + = 外一点 , 作圆的两条切线，则两切点所在
直线方程为 + = .
2.圆与圆的位置关系的常用结论
（1）两圆相交时，其公共弦所在的直线方程由两圆方程相减得到.
（2）两个圆系方程
①过直线 + + = 与圆 + + + + = 交点的圆系方
（其中不含圆 ，所以注意检验 是否满足题意，以防丢解）.
1.若经过点 −, − 的直线与圆 + = 相切，则该直线在轴上的截
距为(
A.
)
√
C.−
B.5
解析：选C.因为 −
+ −
D.−
= ，所以点在圆上，
所以切线方程为− − = ,令 = 得 =
+ − − = 相交.
方法三：圆的方程可化为 −
+ = ,
所以圆的圆心为 , ，半径为3.
圆心到直线 − + − = 的距离为
+−
+
=
+
≤ < ,所以直线与圆相交.故选C.
高考数学一轮总复习第八章平面解析几何84直线与圆圆与圆的位置关系课件苏教版
高考数学一轮总复习第八章平面解析几何8.4直线与圆圆与圆的位置关系课 件苏教版
2021/4/17
高考数学一轮总复习第八章平面解析几何84直线与圆圆与 圆的位置关系课件苏教版
第八章
平面解析几何
第四节 直线与圆、圆与圆的位置关系
最新考纲
考情分析
1.能根据给定直线、圆的方
程判断直线与圆的位置关 1.本节是高考中的重点考查内容，主要
(2)两圆圆心分别为(－2,0)，(2,1)，半径分别为 2 和 3，圆心 距 d＝ 42＋12＝ 17.∵3－2<d<3＋2，∴两圆相交．
(3)由题意可得，圆的圆心为(a,0)，半径为 2， ∴ |1a2－＋0＋－11|2≤ 2，即|a＋1|≤2，解得－3≤a≤1.
(4)由题意知圆的方程为 x2＋(y＋1)2＝4，所以圆心坐标为(0，
方法技巧 1判断直线与圆的位置关系的常见方法 ①几何法：利用 d 与 r 的关系. ②代数法：联立方程之后利用 Δ 判断. ③点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可 判断直线与圆相交. 上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于 动直线问题.
2处理直线与圆的弦长问题时多用几何法，即弦长的一半、 弦心距、半径构成直角三角形.
则圆心 C 到切线的距离 d＝|k－2＋k2＋1－1 3k|＝r＝2， 解得 k＝34. ∴切线方程为 y－1＝34(x－3)，即 3x－4y－5＝0. 综上可得，过点 M 的圆 C 的切线方程为 x－3＝0 或 3x－4y －5＝0. ∴|MC|＝ 3－12＋1－22＝ 5， ∴过点 M 的圆 C 的切线长为 |MC|2－r2＝ 5－4＝1. ∴当 x＝3 时，切线长为 1.
4．(方向 3)若直线 y＝x＋b 与曲线 x＝ 1－y2恰有一个公共
高考数学一轮复习 第八章 平面解析几何 8.4 直线与圆
解法二：由题意知，圆心(0,1)到直线 l 的距离 d＝m|2m＋| 1<1< 5，故直线 l 与圆相交．
解法三：直线 l：mx－y＋1－m＝0 过定点(1,1)，因为点(1,1)在圆 x2＋(y－1)2＝5 的内部，所以直线 l
与圆相交．
3．[教材改编]直线 l：3x－y－6＝0 与 x2＋y2－2x－4y＝0，相交于 A，B 两点，则|AB|＝___1_0____.
__相__交__．___
3．必记结论
当直线与圆相交时，由弦心距(圆心到直线的距离)，弦长的一半及半径构成一个直角三角形．
小题快做 1.思考辨析 (1)“k＝1”是“直线 x－y＋k＝0 与圆 x2＋y2＝1 相交”的必要不充分条件．( × ) (2)过圆 O：x2＋y2＝r2 上一点 P(x0，y0)的圆的切线方程是 x0x＋y0y＝r2.( √ ) (3)如果直线与圆组成的方程组有解，则直线与圆相交或相切．( √ )
第八章 平面解析几何
第4讲 直线与圆、圆与圆的位置关系
考纲展示
三年高考总结
1.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与 从近三年高考情况来看，本讲一直是高考的热点，
圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程 直线与圆的位置关系、弦长、圆与圆的位置关系等
判断圆与圆的位置关系． 考查比较频繁，一般为选择题、填空题，以中等难
所以直线与圆相交． (2)若直线与圆不相交，则直线与圆相离或相切，故有|a＋2|≥1 解得 a≥ 5－2 或 a≤－ 5－2，故选
5 D.
典例2
命题角度 2 求弦长问题 [2014·江苏高考]在平面直角坐标系 xOy 中，直线 x＋2y－3＝0，被圆(x－2)2＋(y＋1)2＝4 截
2 55 得的弦长为___5_____．
2019版高考数学一轮复习第8章平面解析几何8.4直线与圆圆与圆的位置关系课件理
直线与圆的位置关系
1
相离
直线与圆不相交，距离大于圆的半径。
2
相交
直线与圆有两个交点，距离小于圆的半径。
3
内含
直线完全在圆内，没有交点。
4
内切
直线与圆相切，只有一个交点。
5
外含
直线完全包含圆，没有交点。
直线的方程
斜率截距式
直线的斜截式方程是y=kx+b，其中k是斜率，b是y轴 截距。
一般式方程
直线的一般式方程是Ax+By+C=0，其中A、B、C是实 数且A²+B²≠0。
直线与圆的位置关系总结
1 两点定直线
可以通过两点求直线斜率，再用斜率截距式或一般式方程表达出直线方程。
2 圆的方程
圆的标准方程和一般方程都是判定直线与圆的位置关系时重要的工具。
3 判定方法
直接计算求根和配方法是判断直线和圆位置关系的基本方法。
解析几何导读
概述
解析几何研究的是几何图形的坐标表示和性质，是 高中数学的重要组成部分。
高考数学一轮复习第8章： 平面解析几何8.4直线与 圆
解析几何是数学中非常重要的分支之一。本次分享重点介绍高考数学一轮复 习第8章中的平面解析几何8.4直线与圆，是考生备战高考的必修知识点。
圆与圆的位置关系
同心圆
同心圆是指在同一平面内，中心重合而半径不同的 两个圆。同心圆有一个重要性质，即一个圆的任何 直径都是另一个圆的对称轴。
应用
解析几何是许多数学领域的重要工具，比如线性代 数、微积分等，也在物理、计算机图形学等领域得 到广泛应用。
总结
知识点总结
掌握圆的位置关系和方程、直线的位置关系和方程， 对于解析几何的考察非常重要。
高考数学一轮复习 第八章 平面解析几何 84 直线与圆、圆与圆的位置关系课件 理
B．[－ 3， 3]
C．－
33，
33
D．－
33，
33
解析 数形结合可知，直线 l 的斜率存在，设直线 l 的方程为 y＝
k(x－3)，则圆心(1,0)到直线 y＝k(x－3)的距离应小于等于半径 1，即
|2k| 1＋k2
≤1，解得－ 33≤k≤ 33。故选 D。 答案 D
2021/12/11
第十九页，共四十三页。
Байду номын сангаас
解析：数形结合可知，直线 l 的斜率存在，设为 k，当 k＝1 时，直线 l 的方程为 x－y－3＝0，圆心(1,0)到直线 l 的距离为 |112－＋0－－31|2＝ 2>1，
直线与圆相离，故排除 A，B；当 k＝ 33时，直线 l 的方程为 x－ 3y－3＝ 0，圆心(1,0)到直线 l 的距离为|1－12＋3×－0－332|＝1，直线与圆相切，排除 C。 故选 D。
答案 x＝3 或 4x＋3y－15＝0
2021/12/11
第十六页，共四十三页。
7．若直线过点 P－3，－32且被圆 x2＋y2＝25 截得的弦长是 8，则该直 线的方程为______________。
解析 当直线的斜率不存在时，该直线的方程为 x＝－3，代入圆的方
程得 y＝±4，故该直线被圆截得的弦长为 8，满足题意。当直线的斜率存在
答案 B
2021/12/11
第二十五页，共四十三页。
有关弦长问题通常有两种方法：(1)几何法；(2)代数法。对于几何法通 常要构造直角三角形，但要注意斜率不存在这种特殊情况。
2021/12/11
第二十六页，共四十三页。
方向 2：有关最值问题 【例 3】 (2019·南宁、柳州联考)过点( 2，0)作直线 l 与曲线 y＝ 1－x2 相交于 A，B 两点，O 为坐标原点，当△AOB 的面积取最大值时，直线 l 的 斜率等于________。
高考数学一轮复习规划8.4直线与圆、圆与圆的位置关系课件
围为
()
A. (－1，1]∪{－ 2}
B. {－ 2， 2}
C. [－1，1)∪{ 2}
D. (1， 2]
考试要求
必备知识
自主评价
核心考点
解：y＝ 1－x2表示半圆，如图所示，
第八章 平面解析几何
因为直线 y＝x＋m 与曲线 y＝ 1－x2有且只有一个公共点， ①d＝ 12＋（|m|－1）2＝1，解得 m＝ 2，m＝－ 2(舍去)； ②代入(－1，0)可得 0＝－1＋m，m＝1，代入(1，0)可得 0＝1＋m，m＝－1. 综上，结合图象可得－1≤m<1 或 m＝ 2. 故选 C.
考试要求
必备知识
自主评价
核心考点
第八章 平面解析几何
②若点 M(x0，y0)在圆外，过点 M 引圆的两条切线，切点为 M1，M2，则切点弦(两切 点的连线段)所在直线的方程分别为 x0x＋y0y＝r2； (x－a)(x0－a)＋(y－b)(y0－b)＝r2； x0x＋y0y＋D·x0＋2 x＋E·y0＋2 y＋F＝0. (2)圆 x2＋y2＝r2 的斜率为 k 的两条切线方程分别为 y＝kx±r 1＋k2. (3)过圆 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 外一点 M(x0，y0)引圆的切线，T 为切点，切线长公式
5 (2)可知点 A(4，－1)在圆上，故其为切点. 因为 kAC＝－1－2＋41＝13，所以过切点 A(4，－1)的切线斜率为－3， 所以切线方程为 y＋1＝－3(x－4)，即 3x＋y－11＝0. 【点拨】 求过定点的圆的切线方程时，首先要判断定点在圆上还是在圆外，若在圆 上，则该点为切点，切线仅有一条；若在圆外，切线应该有两条.
()
(3)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交.
圆的方程、直线与圆及圆与圆的位置关系+课件-2025届高三数学一轮基础专项复习
联立直线与圆的方程，消元后得到关于 （或 ）的一元二次方程，利用 判断.
点与圆的位置关系法
若直线过定点且该定点在圆内，则可判断直线与圆相交.
注意 在直线与圆的位置关系的判断方法中,若直线和圆的方程已知或圆心到直线的距离易表达,则用几何法;若直线或圆的方程中含有参数,且圆心到直线的距离不易表达,则用代数法.
5.[人A选必一P86例4变式,2022全国乙卷（理）]过四点，，， 中的三点的一个圆的方程为_ ____________________________________________________________________________________________.
或或或
【解析】 若圆过,,三点,设过这三点的圆的一般方程为 ,分别将三点的坐标代入,可得解得易得 ,所以过这三点的圆的方程为,即 .若圆过,,三点,通解 设过这三点的圆的一般方程为 ,分别将三点的坐标代入,可得解得易得 ,所以过这三点的圆的方程为,即 .
第八章平面解析几何
2025年高考数学专项复习
第三节 圆的方程、直线与圆及圆与圆的位置关系
目录
圆的方程
壹
直线与圆的位置关系
贰
圆与圆的位置关系
叁
与圆有关的最值问题
肆
圆的方程
壹
教材知识萃取
1.圆的定义与方程
教材知识萃取
规律总结（1）若没有给出 ，则圆的半径为 .（2）在圆的一般方程中：当 时，方程 表示一个点 ;当 时，方程 没有意义，不表示任何图形.（3）以 ， 为直径端点的圆的方程为 .
注意 在求过一定点的圆的切线方程时，应先判断定点与圆的位置关系，若点在圆上，则该点为切点，切线只有一条；若点在圆外（此时一定要注意斜率不存在的情况），则切线有两条；若点在圆内，则切线不存在．