土木工程制图点的投影
通常不画出投影面的边界
2-2 三投影面体系中点的投影
一、三投影面体系的建立
二、三投影面体系中点的投影 三、点的直角坐标与三面投影的关系 四、三投影面体系中点的投影规律 五、特殊点的投影
一、三投影面体系的建立
Z
O
W
Y
水平投影面 ---- H 正面投影面 ---- V 侧面投影面 ---- W
H∩V ---- OX V ∩W ---- OZ H∩W ---- OY
A
b
b
a
两点中x值大的点 —— 在左 两点中y 值大的点 —— 在前 两点中z 值大的点 —— 在上
重影点的投影
a b A B d(c)
C
D
a(b)
c
d
[例题1] 已知点A的正面与侧面投影，求点A的水平投影。
a
第2 章
2-1
2-2
点 的投影
两投影面体系中点的投影
三投影面体系中点的投影
2-3
两点的相对位置
2-1 两投影面体系中点的投影
一、两投影面体系的建立
二 、两投影面体系中点的投影 三、点的两个投影能唯一确定该点的空间位置 四、两面投影图的画法
五、两面投影图的性质
一、两投影面体系的建立
V
X
O
水平投影面 —— H 正面投影面 —— V
投 影 轴 —— OX
二、两投影面体系中点的投影
a
Z
A
X
Y
a
点A的水平投影 —— a
点A的正面投影 —— a
三、点的两个投影能唯一确定该点的空间位置
四、两面投影图的画法
V
a
z
a H H X ax y x O
a
五、两面投影图的性质
1) aaOX
2) aax =Aa ,
aax =Aa
二、 三投影面体系中点的投影
V
a A O a X
Z a a
W
O
YW
a
H
a
YH
点A的水平投影 ——a 点A的正面投影 ——a 点A的侧面投影 ——a
三、点的直角坐标与三面投影的关系
V
Z a
y
az
x z a O a W
X
ax
A
ay
Y
1. aaz = aayh =Aa = xA 2. aax = aaz =Aa =yA 3. aax =aa yw = Aa=zA
四、三投影面体系中点的投影规律
aa X轴，aaz = aayh = Xห้องสมุดไป่ตู้ 2. aaZ轴， aax =aayw= ZA 3. aax = aaz =YA
1.
五、特殊点的投影
Bb
V
b a c c a
X a Cc c
b
O
b
H
Aa
2-3 两点的相对位置
a
a
b B
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土木工程制图第五章,投影变换-换面法
H
3、一般位置直线变成投影面垂直线
• 先将一般位置直线变成 投影面平行线； • 再将投影面平行线变成 X 投影面垂直线。 1 X 2 X • 注意：什么是二次变换？
b a'
2 2
土木工程制图
a' b'
a
b a'
1
b'
1
土木工程制图 4、一般位置平面变成投影面垂直面 • 在一般面上作一投影面平行线，例作一水 平线；
第5章 投影变换—换面法
土木工程制图
教学提示：画法几何中有关点、直线和平面的问 题，一般可以归纳为定位和度量问题。 当几何元素处于一般位置时，为了求 解方便，常采用换面法改变其中的某 些元素与投影面的相对位置，成为有 利于解题的特殊位置。 学习要求：通过本章学习，学生应掌握换面法的 一般概念及特点，能够使用换面法解 决有关点、直线和平面等几何元素之 间的定位和度量问题。
分析：在投影图中直接反映两平面夹角的特殊 情况，只要将这两个相邻平面用换面法变成同 时垂直于同一投影面，也就是将这两个平面的 交线变换成投影面垂直线，即可求得夹角θ。
土木工程制图
a' f'c' e'd' 1.在适当的位置作O1X1∥cd1，将CD变换为H、 V1新投影面体系中的V1面平行线。
X
V H
土木工程制图
3）求平面的实形： 将平面变成投影面平行面。 4）求平面的倾角、点到平面的距离、两平行面距离、直线 与平面交点和两平面交线等： 将一般面变成投影面垂直面。
二、换面法基本方法
土木工程制图
1、基本原则： 1）新投影面必须设立在使空间元素处 在有利于解题的位置； 2）新投影面必须垂直于原有投影体系 中的一个投影面。 2、基本概念：
土木工程制图讲义点线面投影篇1
二，点在两投影面体系中的投影
V
1 两投影面体系(two view system)的建立
X
ⅡⅠ Ⅲ
O
◆正面投影面(vertical projection plane) Ⅳ H
（简称正面或V面）
◆水平投影面(horizontal projection
plane) （简称水平面或H面）
两投影面体系
◆投影轴(projection axis)
b
YH
OZ轴相交于bz，延长后量
取b" bz=15，得点b"。
特殊位置点的投影
（1）在投影面上的点
1A. 点点在的一空个间坐向标后为移零动y，=0 2其. 点投的影该有面何投变影化与其？本身
重合 A a 3. 另两个a、a在投影轴上
V a当当●≡VVAAA面面点点上上移移YY动动==00到到
Z
a
如何根据点的二面投影求第三面投影
三．两点间的相对位置 四．重影点及可见性
作业
T3-1,2,3,4
a
●
●
X
Y
O
a●
A a ●
Y a Z
●
X
a
●
≡
ax
°b' O
H
°b≡ B
X a●
O
（2）在投影轴上的点
1. 点的两坐标为零 y=0 ；z=0
a ●
●a
2. 两个投影与轴重合 A a a
3. 另一个投影 a 在原点上
a点向下移动到OX 轴上，反映点的空间
位置有何变化？
Z=0；Y=0；A点 在投影轴上。
Z
V
a'
az
b'
土建工程制图点直线平面的投影市公开课一等奖省赛课微课金奖PPT课件
见上图（b)
第8页
点投影
土木工程制图 习题集
6.已知点B在点A正下方H面上，点C在点A正左方15mm，求B、 C投影，并判别重影点可见性。
Z
a'
a″
X
YW
O
a YH
已知
第9页
点投影
c'
a'
土木工程制图 习题集
Z c″(a″)
X
b'
b″
YW
O
c a(b) YH
作图
第10页
点投影
土木工程制图 习题集
a' X
a
b' e'
c'(d′)
c
d
b
e
已知
f' O
f
a' X
a
h'
g' c'(d′)
g c
f' O
f
d
h
b
e
姓名
成绩
6
作图
第36页
直线投影——应用题
土木工程制图 习题集
1.判别交叉直线重影点可见性。
6.判别交叉直线重影点的可见性。 d'
a'
c'
X
a
d
c
8.求直线AB与CD的距离。
b'
c'
b' O
X
Xa
k' b'
a Oc k
b' YW O
b
b
YH
k点
10.在直线AB上求一点C，使点C与H、V面等距。 b' Z
作图
第27页
第8页
点投影
土木工程制图 习题集
6.已知点B在点A正下方H面上，点C在点A正左方15mm，求B、 C投影，并判别重影点可见性。
Z
a'
a″
X
YW
O
a YH
已知
第9页
点投影
c'
a'
土木工程制图 习题集
Z c″(a″)
X
b'
b″
YW
O
c a(b) YH
作图
第10页
点投影
土木工程制图 习题集
a' X
a
b' e'
c'(d′)
c
d
b
e
已知
f' O
f
a' X
a
h'
g' c'(d′)
g c
f' O
f
d
h
b
e
姓名
成绩
6
作图
第36页
直线投影——应用题
土木工程制图 习题集
1.判别交叉直线重影点可见性。
6.判别交叉直线重影点的可见性。 d'
a'
c'
X
a
d
c
8.求直线AB与CD的距离。
b'
c'
b' O
X
Xa
k' b'
a Oc k
b' YW O
b
b
YH
k点
10.在直线AB上求一点C，使点C与H、V面等距。 b' Z
作图
第27页
土木工程制图第3章点直线平面的投影
3.2 直线的投影
图3-29 判断两侧平线是否平行
3.2 直线的投影
2.两条直线相交
(1)若两条直线的三组同面投影都相交，且交点的投影符合点
(2)如果两条直线均为一般位置直线，只要有任意两组同面投 影相交，且交点符合点的投影规律，则这两条直线在空间相交。
(3)两条直线中有一条直线平行于某一投影面，则需画出两条 直线在该投影面上的投影来判断其是否相交，或者通过定比性来 判断。
作图步骤如图3-36(b) (1)从图3-36(a)可知AB为水平线，所以过点c向ab作垂线，得垂 足d，过d向上作联系线，交a′b′于点d′，连接c′d′ (2)cd为距离的水平投影，c′d′为距离的正面投影，可利用直角三 角形法求距离的实长，过点d在ab上截取dD0等于C、D两点的Z轴 坐标差，连接cD0，则cD0即为点C到水平线AB的距离。
(1)侧面投影反映实 长，与Y轴夹角为α， 与Z轴夹角为β。
(2)正面投影平行于 Z轴。
(3)水平投影平行于 Y轴。
3.2 直线的投影
3.2.3 一般位置直线的实长与倾角
(1)在α所存在的直角三角形中，α所相邻的一条直角边为 H面投影长，所对应的直角边为Z坐标差ΔZ，如图3-23(a)所示。
(2)在β所存在的直角三角形中，β所相邻的一条直角边为 V面投影长，所对应的直角边为Y坐标差ΔY，如图3-23(b)所示。
作图步骤如图3-37(b) (1)在水平投影图上过d点(也可是cd上的其他点)作ab的垂直线(也 可过ab上的任意一点作cd的垂直线)，交ab于e点。连接d、e两点 得公垂线DE的水平投影de。由e点垂直向上作投影联系线，交a′b′ 于点e′，连接点d′、e′得公垂线DE的正面投影d′e′ (2)已知公垂线DE的两面投影，即可利用直角三角形法求出公垂线 DE的实长。
建筑土木工程制图知识要点
第一章（投影和视图）§ 1—2 正投影的基本性质1. 积聚性2. 真实性3. 类似性4. 平行性单面投影：点不定位，体不定形。
三视图间的投影规律主、俯视图长对正主、左视图高平齐俯、左视图宽相等第三章（线面关系）一、直线与平面平行几何条件：1. 若直线平行于平面上任意直线，则线、面平行。
2. 若线、面平行，则过平面内任一点必能在平面内作一直线平行于已知直线。
二、两平面互相平行几何条件：两平面内各有一对相交直线分别对应平行。
三、直线与平面相交交点的性质：1. 是直线与平面的公有点;2. 是可见与不可见的分界点。
从几何元素有积聚性的投影入手,先利用公有性得到交点的一个投影,再根据从属关系求出交点的另一个投影。
当直线垂直于特殊位置平面时，平面的积聚性投影垂直于直线的同面投影。
四、平面与平面相交1. 交线是两平面的公有线。
（凡两平面的公有点都在交线上）2. 交线的投影是直线，可由其上两个（公有）点的投影确定。
3. 求一平面内的一直线与另一平面的交点来确定公有点（转化为线、面交点问题）。
实际交线应在两平面投影的公共范围之内。
两特殊位置平面互相垂直时，它们具有积聚性的同面投影互相垂直。
当两特殊位置平面相互平行时，它们具有积聚性的同面投影互相平行。
第四章（换面法）一、新投影面的选择原则1. 新投影面必须对空间物体处于最有利的解题位置。
（平行于新的投影面、垂直于新的投影面）2. 新投影面必须垂直于某一保留的原投影面，以构成一个相互垂直的两投影面的新体系。
二、新旧投影之间的关系一般规律：1）点的新投影和保留旧投影的连线垂直于新轴。
2）点的新投影到新轴的距离等于点的旧投影到旧轴的距离。
三、作图规律：由点的不变投影向新投影轴作垂线，并在垂线上量取一段距离，使这段距离等于被代替的投影到原投影轴的距离。
四、换面法的六个基本问题1. 把一般位置直线变换成投影面平行线2. 将投影面的平行线变换为投影面的垂直线功用:一次换面后可用于求点与直线,两直线间的距离等。
土木工程制图习题答案
b' e'
d' e'
c' a'
a'
c'
a
a c
e
b
b
e
d
c
d d' d
3-1 判 断 下 列 直 线 与 平 面 是 否 平 行 。 （ 1）
（ 2）
（ 3）
平行
3-2 求 下 列 直 线 与 片 面 的 交 点 K， 并 判 断 其 可 见 性 。
（ 1）
（ 2）
PV
k'
不平行
k'
k
PH
k
（ 3）
c'
c"
b' a'
a"
b"
c(a) β
T.L
b
e'
e"
c"(d"）
a'
a"
b
f" f'
c
d
e
f
a
5
分 别 求 出 直 线 AB、 CD和 EF的 实 长 及 其 倾 角 α 和 β 。
β
Δy Δy
β
Δz
Δz
α
α
班级
姓名
学号
β Δy
Δz α
已 知 直 线 AB=50,求 其 正 面 投 影 a'b'和 倾 角 γ 。 γ
于哪类直线。
s'
s"
S A _一_ _般__位__置_
S A _ _ _正__平___
S A _ _ _侧__平___
b'
a' a"
d' e'
c' a'
a'
c'
a
a c
e
b
b
e
d
c
d d' d
3-1 判 断 下 列 直 线 与 平 面 是 否 平 行 。 （ 1）
（ 2）
（ 3）
平行
3-2 求 下 列 直 线 与 片 面 的 交 点 K， 并 判 断 其 可 见 性 。
（ 1）
（ 2）
PV
k'
不平行
k'
k
PH
k
（ 3）
c'
c"
b' a'
a"
b"
c(a) β
T.L
b
e'
e"
c"(d"）
a'
a"
b
f" f'
c
d
e
f
a
5
分 别 求 出 直 线 AB、 CD和 EF的 实 长 及 其 倾 角 α 和 β 。
β
Δy Δy
β
Δz
Δz
α
α
班级
姓名
学号
β Δy
Δz α
已 知 直 线 AB=50,求 其 正 面 投 影 a'b'和 倾 角 γ 。 γ
于哪类直线。
s'
s"
S A _一_ _般__位__置_
S A _ _ _正__平___
S A _ _ _侧__平___
b'
a' a"
土木工程制图第5章投影变换换面法
5.2
图5-9 一般位置直线变换成垂直线
5.2
4.将一般位置平面变换成垂直面
如图5-10所示，△ABC为一个一般位置平面，如果要将其 变换为正垂面，
(1)在△ABC上作水平线AD，其投影为a′d′和ad (2)作X1轴⊥ad (3)作△ABC在V1面的投影a1′b1′c1′，a1′b1′c1′ 积聚为一条直线，它与X1轴的夹角即反映△ABC对H面的 倾角α
5.2
图5-6 一般位置直线变换成平行线(求α角)
5.2
2.
如图5-8所示，AB为 一条正平线，要变换成垂 直线。根据垂直线的投影 特性，反映实长的投影必 定为不变投影，只要变换 水平投影，即作新投影面 H1垂直于直线AB，作图时 作X1⊥a′b′，则直线AB 在H1面上的投影积聚为一 a1(b1)
(2)过a点作新投影轴X1的垂线，得交点aX1 (3)在垂线aaX1上截取a1′aX1= a′aX，即得A点在V1面 上的新投影a1′。
5.2
图5-3 点的一次变换(变换V面)
5.2
(1)不论在新的或原来的(被代替的)投影面体 系中，点的两面投影的连线垂直于相应的投影轴。
(2)点的新投影到新投影轴的距离等于原来的 投影到原来投影轴的距离。
5.2
图5-16 求侧平线与倾斜面的交点
5.2
【例5-3】
求两条交叉直线AB、CD间的距离，如图5-17(a)
【解】分析：两条交叉直线间的距离即为它们之间公垂线的
长度。如图5-17(a)所示，若将两条交叉直线中的一条(
AB )
MK
并在该投影面上的投影反映实长，而且与另一条直线在新投
影面上的投影互相垂直。
5.2
图5-18 求两平面间的夹角
土木工程制图讲义点线面投影篇7
c a
ad
b 根据直线与平面垂直的
投影规律，过点S作水
s
平 线 SC ， 使 其 水 平 投 影scab；再过点S作正
平 线 SD ， 使 其 正 面 投
s
影s d a b ，则相 交 两 直 线 SCSD 所 确
定的平面即为所求。
c
b
3.平面与平面垂直
几何条件：
若一直线垂直于某平面，则包含 这条直线的一切平面都垂直于该平面。
m
k 2a
直则平K面G，即则为该所直求线。 必定与另一平面垂
实长
直。
△kg
4— 已知三直线AB、CD、EF，求作一
直线MN与CD、EF相交且与AB平行。
e' b'
分析：所求的直线MN
2' m' p'
d'
分ABB析，平于：EM与行所NAA求一BB的平，定直行属M线N的于一M与平N定A面平B属P行 平， 行的M平N面与P交，叉M两MN直与线交C叉D两、
综合作图举例
3、 投影作图——根据解题思路及解题步 骤，找出相应的各种基本作图原理和 作图方法进行投影作图；
4 、题解讨论——必要时，还应对题解进 行讨论，证明答案确能满足题目要求 的几何条件或解答的存在性，是唯一 解还是多解等。
二 举例
1 — 已知矩形ABCD的一边两投影和
其邻边一投影，完成矩形投影图。
的 平M行作线直与线CADB的（平或行EF线） 相 交与于C点D （N ，或即EF为）所相求交的 直线于M点N。N ， 即 为 所 求 的
直线MN。
5—已知直角三角形ABC的直角边AB，其斜 边BC属于直线BM，求作此直角三角形。
2' d' m' c'
第十一章 标高投影画法几何及土木工程制图
何问题，所以像填挖边坡的交线、坡脚等问题也常用标高投影来求 解。
第十一章 标高投影
4
§11-1 点和直线的标高投影
标高投影的基准面是水平面，但在必要时增加铅垂面作为 辅助投影面，就能把单面投影转化为多面正投影。为了作图的 需要，标高投影图上应画出比例尺或指明绘图比例。
标高投影法不限于在土建工程中使用，在机械工程中像飞 机、船舶、汽车等产品的外壳，也常用类似的方法表示，但基 准面不一定是水平面。
27
§11-3 曲面的标高投影
二、同坡曲面的标高投影
同坡曲面可以看作是锥轴始终垂直于水平面而锥顶沿着空间曲线L运动 的直圆锥的包络曲面。同坡曲面是直纹面，它与圆锥面的切线为同坡曲面上 的坡度线，其坡度等于锥顶半角的余切。用水平面截割同坡曲面及圆锥面， 所得的交线相切，即同坡曲面上的等高线与圆锥面上的同高程的等高线相 切。
第十一章 标高投影
8
§11-1 点和直线的标高投影
例11-1 已知直线AB 的标高投影a9b5 和直线上点C 到点 A 的水平距离L=4m，试求直线AB 的坡度i、平距l 和点C 的高程。
解： 使用图中的比例尺量得点a9和点b5之间的距离为10 m,
于是可求得直线的坡度为：
i = H/L =(9-5)/10 = 2/5
面间的交线。（点 击鼠标看作图）
第十一章 标高投影
21
§11-2 平面的标高投影
最后，以点a6 为圆心，以LAB=6:1/3=18 m 为半径作圆弧， 与坡面上高程为0 的等高线交于b0，a6b0 即为所求的坡面上的一 条坡度i=1:3 的倾斜直线。
边坡面上常画出示坡线，示坡线是一组长短相间、垂直于 等高线的细实线，从高程值大的一侧画向小的一侧。
第十一章 标高投影
4
§11-1 点和直线的标高投影
标高投影的基准面是水平面，但在必要时增加铅垂面作为 辅助投影面，就能把单面投影转化为多面正投影。为了作图的 需要，标高投影图上应画出比例尺或指明绘图比例。
标高投影法不限于在土建工程中使用，在机械工程中像飞 机、船舶、汽车等产品的外壳，也常用类似的方法表示，但基 准面不一定是水平面。
27
§11-3 曲面的标高投影
二、同坡曲面的标高投影
同坡曲面可以看作是锥轴始终垂直于水平面而锥顶沿着空间曲线L运动 的直圆锥的包络曲面。同坡曲面是直纹面，它与圆锥面的切线为同坡曲面上 的坡度线，其坡度等于锥顶半角的余切。用水平面截割同坡曲面及圆锥面， 所得的交线相切，即同坡曲面上的等高线与圆锥面上的同高程的等高线相 切。
第十一章 标高投影
8
§11-1 点和直线的标高投影
例11-1 已知直线AB 的标高投影a9b5 和直线上点C 到点 A 的水平距离L=4m，试求直线AB 的坡度i、平距l 和点C 的高程。
解： 使用图中的比例尺量得点a9和点b5之间的距离为10 m,
于是可求得直线的坡度为：
i = H/L =(9-5)/10 = 2/5
面间的交线。（点 击鼠标看作图）
第十一章 标高投影
21
§11-2 平面的标高投影
最后，以点a6 为圆心，以LAB=6:1/3=18 m 为半径作圆弧， 与坡面上高程为0 的等高线交于b0，a6b0 即为所求的坡面上的一 条坡度i=1:3 的倾斜直线。
边坡面上常画出示坡线，示坡线是一组长短相间、垂直于 等高线的细实线，从高程值大的一侧画向小的一侧。
土木工程制图第三章点直线和平面的投影
则其各同面投影必相互平行；各同名投影的长度之比相等； 各同名投影的指向相同。
a c
b
dH
AB∥CD，则ab∥cd、a′b′∥c′d′、a"b"∥c"d" AB∶CD=ab∶cd=a′b′∶c′d′=a"b"∶c"d"
土木工程制图
判断方法： 若两直线的三组同面投影都平行：则两直线在空间平行。 若两一般位置直线：任意两组同面投影平行，则可判断两直线在空间平行。 若两直线同时平行于某一投影面：则需通过两直线在该投影面上的投影来判断；或者通过定比性和指向来判断。
； 3）按投影关系求得b″。
2.重影点
a ●
空间两点在某一投影面上的投影重合为一点时，则称此两点
c●
为该投影面的重影点。
土木工程制图
a ● ● c
被挡住的投影加( )
a●c( ) A、C为哪个投影面的重影点呢？
A、C为H面的重影点
重影点
土木工程制图
H面重影点
V面重影点
W面重影点
土木工程制图
例5：已知形体的立体图及投影图，试在投影图 上标记形体上的重影点的投影，如下图所示。
土木工程制图
b′
k′ a′ X b k
a
b′
k′ a′ OX b k
a
b′
k′ a′ OX b k k1 a1 a
Z b″ k″
O
YH
a″ YW
三、两直线的相对位置关系
空间两直线的相对位置
分为
平行 相交 交叉 垂直
土木工程制图
厂房形体
1.平行两直线
土木工程制图
投影特性：
b a
A
V d
a c
b
dH
AB∥CD，则ab∥cd、a′b′∥c′d′、a"b"∥c"d" AB∶CD=ab∶cd=a′b′∶c′d′=a"b"∶c"d"
土木工程制图
判断方法： 若两直线的三组同面投影都平行：则两直线在空间平行。 若两一般位置直线：任意两组同面投影平行，则可判断两直线在空间平行。 若两直线同时平行于某一投影面：则需通过两直线在该投影面上的投影来判断；或者通过定比性和指向来判断。
； 3）按投影关系求得b″。
2.重影点
a ●
空间两点在某一投影面上的投影重合为一点时，则称此两点
c●
为该投影面的重影点。
土木工程制图
a ● ● c
被挡住的投影加( )
a●c( ) A、C为哪个投影面的重影点呢？
A、C为H面的重影点
重影点
土木工程制图
H面重影点
V面重影点
W面重影点
土木工程制图
例5：已知形体的立体图及投影图，试在投影图 上标记形体上的重影点的投影，如下图所示。
土木工程制图
b′
k′ a′ X b k
a
b′
k′ a′ OX b k
a
b′
k′ a′ OX b k k1 a1 a
Z b″ k″
O
YH
a″ YW
三、两直线的相对位置关系
空间两直线的相对位置
分为
平行 相交 交叉 垂直
土木工程制图
厂房形体
1.平行两直线
土木工程制图
投影特性：
b a
A
V d