2019-2020学年山东省淄博市普通高中部分学校高二下学期期末数学试卷 (解析版)

2019-2020学年山东省淄博市普通高中部分学校高二第二学期期末数学试卷一、选择题（共8小题）.1．在复平面内，复数z＝对应的点位于（）A．第二象限B．第一象限C．第四象限D．第三象限2．若函数，则f'（0）＝（）A．B．C．D．3．某校高二期末考试学生的数学成绩ξ（满分150分）服从正态分布N（75，σ2），且P （60＜ξ＜90）＝0.8，则P（ξ≥90）＝（）A．0.4B．0.3C．0.2D．0.14．二项式展开式中的常数项为（）A．28B．﹣28C．56D．﹣565．已知离散型随机变量X的分布列为：X123P缺失数据则随机变量X的期望为（）A．B．C．D．6．参加完某项活动的6名成员合影留念，前排和后排各3人，不同排法的种数为（）A．360B．720C．2160D．43207．函数f（x）＝x2﹣sin|x|的图象大致是（）A．B．C．D．8．当调查敏感问题时，一般难以获得被调查者的合作，所得结果可能不真实，此时通常采用“瓦纳随机问答法”进行调查．为调查某大学学生谈恋爱的比例．提出问题如下：问题1：你现在谈恋爱吗？问题2：你学籍号尾数是偶数吗？设计了一副纸牌共100张，其中75张标有数字1，25张标有数字2．随机调查了该校1000名学生，每名学生任意抽取一张纸牌．若抽到标有数字1的纸牌回答问题1；若抽到标有数字2的纸牌回答问题2，回答“是”或“否”后放回．统计显示共有200名学生回答“是”，估计该大学学生现在谈恋爱的百分比是（）A．10%B．20%C．25%D．45%二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9．已知函数，则（）A．f（0）＝1B．函数f（x）的极小值点为0C．函数f（x）的单调递减区间是（0，+∞）D．∀x∈R，不等式f（x）≥e恒成立10．下列说法正确的是（）A．对于独立性检验，随机变量K2的观测值k值越小，判定“两变量有关系”犯错误的概率越小B．在回归分析中，相关指数R2越大，说明回归模型拟合的效果越好C．随机变量ξ～B（n，p），若E（x）＝30，D（x）＝20，则n＝45D．以拟合一组数据时，经z＝lny代换后的线性回归方程为，则c＝e4，k＝0.311．下列说法正确的是（）A．若|z|＝2，则B．若复数z1，z2满足|z1+z2|＝|z1﹣z2|，则z1z2＝0C．若复数z的平方是纯虚数，则复数z的实部和虛部相等D．“a≠1”是“复数z＝（a﹣1）+（a2﹣1）i（a∈R）是虚数”的必要不充分条件12．经济学中经常用弹性函数研究函数的相对变化率和相对改变量．一般的，如果函数f （x）存在导函数f'（x），称为函数f（x）的弹性函数，下列说法正确的是（）A．函数f（x）＝C（C为常数）的弹性函数是B．函数f（x）＝cos x的弹性函数是C．D．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．曲线y＝在点（0，1）处的切线方程为．14．用4种不同的颜色涂在四棱锥的各个面上，要求相邻两面不同色，有种涂法．15．若复数z满足|z﹣3﹣4i|＝1，则|z|的最小值为．16．已知（ax﹣1）2020＝a0+a1x+a2x2+…+a2020x2020（a＞0），得a0＝．若（a0+a2+…+a2020）2﹣（a1+a3+…+a2019）2＝1，则a＝．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．某商场为提高服务质量，随机调查了50名男顾客和50名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价，通过汇总数据得到下面等高条形图：（1）根据所给等高条形图数据，完成下面的2×2列联表：满意不满意男顾客女顾客（2）根据（1）中列联表，判断是否有99%的把握认为顾客对该商场服务的评价与性别有关？附：，n＝a+b+c+d．P（K2≥k）0.0500.0100.001 k 3.841 6.63510.82818．据某县水资源管理部门估计，该县10%的乡村饮用水井中含有杂质A．为了弄清该估计值是否正确，需要进一步验证．由于对所有的水井进行检测花费太大，所以决定从全部饮用水井中随机抽取5口水井检测．（1）假设估计值是正确的，求抽取5口水井中至少有1口水井含有杂质A的概率；（2）在概率中，我们把发生概率非常小（一般以小于0.05为标准）的事件称为小概率事件，意思是说，在随机试验中，如果某事件发生的概率非常小，那么它在一次试验中几乎是不可能发生的．假设在随机抽取的5口水井中有3口水井含有杂质A，试判断“该县10%的乡村饮用水井中含有杂质A”的估计是否正确，并说明理由．参考数据：93＝729，94＝6561，95＝59049．19．已知函数．（1）若a＝0，证明：当x∈（3，+∞）时，f（x）＞3x﹣8；（2）若过点M（﹣1，1）可作曲线y＝f（x）的3条切线，求a的取值范围．20．线上学习是有效的教学辅助形式，向阳中学高二某班共有10名学困生（独立学习有困难），为及时给学困生释惑答疑，每天上午和下午各安排1次在线答疑．因多种原因，每次只能满足6名学生同时登录参加在线答疑，且在上午和下午各有6名学生相互独立的登录参加在线答疑．（1）记“10名学困生每天每人至少参加一次在线答疑”为事件A，求P（A）；（2）用ξ表示该班每天上午和下午都参加在线答疑的学困生人数，求ξ的分布列及ξ的期望值Eξ．21．随着人民生活水平的日益提高，某小区拥有私家车的数量与日俱增，物业公司统计了近六年小区私家车的数量，数据如下：年份201420152016201720182019编号x123456数量y（辆）4196116190218275（1）若该小区私家车的数量y与年份编号x的关系可用线性回归模型来拟合，请求出y 关于x的线性回归方程，并用相关指数R2分析其拟合效果（R2精确到0.01）；（2）由于该小区没有配套停车位，车辆无序停放易造成交通拥堵，因此物业公司预在小区内划定一定数量的停车位，若要求在2022年小区停车位数量仍可满足需要，则至少需要规划多少个停车位．参考数据：，，，．附：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，，相关指数，残差．22．已知函数．（1）若时，求函数f（x）的单调区间；（2）若x＞1时，不等式f（x）＜0恒成立，求实数a的最大值．参考答案一、单项选择题（共8小题）.1．在复平面内，复数z＝对应的点位于（）A．第二象限B．第一象限C．第四象限D．第三象限【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，求得z的坐标得答案．解：∵z＝＝，∴复数z＝对应的点的坐标为（﹣1，﹣2），位于第三象限．故选：D．2．若函数，则f'（0）＝（）A．B．C．D．【分析】根据题意，求出函数的导数，令x＝0，计算即可．解：由，得f′（x）＝﹣×，则f′（0）＝﹣，故选：B．3．某校高二期末考试学生的数学成绩ξ（满分150分）服从正态分布N（75，σ2），且P （60＜ξ＜90）＝0.8，则P（ξ≥90）＝（）A．0.4B．0.3C．0.2D．0.1【分析】由已知求得正态分布曲线的对称轴，再由已知P（60＜ξ＜90）＝0.8，结合正态分布曲线的对称性得答案．解：∵数学成绩ξ服从正态分布N（75，σ2），则正态分布曲线的对称轴方程为x＝75，又P（60＜ξ＜90）＝0.8，∴P（ξ≥90）＝＝．故选：D．4．二项式展开式中的常数项为（）A．28B．﹣28C．56D．﹣56【分析】写出二项式展开式的通项公式，令的指数为0，计算即可求得结果．解：二项式展开式的通项公式为T r+1＝x8﹣r＝（﹣1）r，令8﹣＝0，解得r＝6，∴二项式展开式中的常数项为＝28．故选：A．5．已知离散型随机变量X的分布列为：X123P缺失数据则随机变量X的期望为（）A．B．C．D．【分析】利用分布列的性质求出缺失数据，然后求解期望即可．解：由分布列的概率的和为1，可得：缺失数据：1﹣﹣＝．所以随机变量X的期望为：＝．故选：C．6．参加完某项活动的6名成员合影留念，前排和后排各3人，不同排法的种数为（）A．360B．720C．2160D．4320【分析】根据题意，分2步进行分析：①在6人中任选3人，安排在第一排，②将剩下的3人全排列，安排在第二排，由分步计数原理计算可得答案．解：根据题意，分2步进行分析：①在6人中任选3人，安排在第一排，有C63A33＝120种排法；②将剩下的3人全排列，安排在第二排，有A33＝6种排法；则有120×6＝720种不同的排法；故选：B．7．函数f（x）＝x2﹣sin|x|的图象大致是（）A．B．C．D．【分析】根据题意，分析可得f（x）为偶函数，可以排除B，结合解析式求出f（0）、f （）的值，排除A、D，即可得答案．解：根据题意，函数f（x）＝x2﹣sin|x|，有f（﹣x）＝x2﹣sin|x|＝f（x），函数f（x）为偶函数，排除B，又由f（0）＝0﹣0＝0，排除A，f（）＝（）2﹣sin＝＜0，函数在x轴下方有图象，排除D；故选：C．8．当调查敏感问题时，一般难以获得被调查者的合作，所得结果可能不真实，此时通常采用“瓦纳随机问答法”进行调查．为调查某大学学生谈恋爱的比例．提出问题如下：问题1：你现在谈恋爱吗？问题2：你学籍号尾数是偶数吗？设计了一副纸牌共100张，其中75张标有数字1，25张标有数字2．随机调查了该校1000名学生，每名学生任意抽取一张纸牌．若抽到标有数字1的纸牌回答问题1；若抽到标有数字2的纸牌回答问题2，回答“是”或“否”后放回．统计显示共有200名学生回答“是”，估计该大学学生现在谈恋爱的百分比是（）A．10%B．20%C．25%D．45%【分析】由题意回答问题2的学生有250人，其中有125人回答是，由此得到回答问题的学生有750人，其中200﹣125＝75人回答是，从而能估计该大学学生现在谈恋爱的百分比．解：由题意回答问题2的学生有：1000×＝250人，∴回答问题2的学生有250×＝125人回答是，回答问题的学生有750人，其中200﹣125＝75人回答是，∴该大学学生现在谈恋爱的百分比是：＝10%．故选：A．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9．已知函数，则（）A．f（0）＝1B．函数f（x）的极小值点为0C．函数f（x）的单调递减区间是（0，+∞）D．∀x∈R，不等式f（x）≥e恒成立【分析】在已知函数解析式中，取x＝0求得f（0）判断A；把f（0）代入函数解析式，利用导数求函数的单调性并求极值、最值判断BCD．解：在中，取x＝0，可得f（0）＝e0＝1．故A正确；则f（x）＝，f′（x）＝e x+x﹣1，f″（x）＝e x+1＞0．∴f′（x）在（﹣∞，+∞）上为增函数，∵f′（0）＝e0﹣1＝0，∴当x∈（﹣∞，0）时，f′（x）＜0，当x∈（0，+∞）时，f′（x）＞0，则f（x）在（﹣∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增，∴f（x）的极小值为f（0）＝e0＝1，故B正确；C，D错误．故选：AB．10．下列说法正确的是（）A．对于独立性检验，随机变量K2的观测值k值越小，判定“两变量有关系”犯错误的概率越小B．在回归分析中，相关指数R2越大，说明回归模型拟合的效果越好C．随机变量ξ～B（n，p），若E（x）＝30，D（x）＝20，则n＝45D．以拟合一组数据时，经z＝lny代换后的线性回归方程为，则c＝e4，k＝0.3【分析】直接利用独立性检测的关系式及回归直线方程的应用和均值和方差关系式的应用求出结果．解：对于选项A：对于独立性检验，随机变量K2的观测值k值越小，判定“两变量有关系”犯错误的概率越大，故错误．对于选项B：在回归分析中，相关指数R2越大，说明回归模型拟合的效果越好，当R2＝±1时，说明回归直线为理想直线．正确．对于选项C：随机变量ξ～B（n，p），若E（x）＝30，D（x）＝20，所以，解得，故p＝，解得n＝90，故错误．对于选项D：，两边取对数，可得＝ln（ce kx）＝lnc+kx．令z＝，可得z＝lnc+kx，由于经z＝lny代换后的线性回归方程为，所以lnc＝4，k＝0.3，故c＝e4，k＝0.3．故正确．故选：BD．11．下列说法正确的是（）A．若|z|＝2，则B．若复数z1，z2满足|z1+z2|＝|z1﹣z2|，则z1z2＝0C．若复数z的平方是纯虚数，则复数z的实部和虛部相等D．“a≠1”是“复数z＝（a﹣1）+（a2﹣1）i（a∈R）是虚数”的必要不充分条件【分析】由|z|求得判断A；设出z1，z2，证明在满足|z1+z2|＝|z1﹣z2|时，不一定有z1z2＝0判断B；举例说明C错误；由充分必要条件的判定说明D正确．解：A．若|z|＝2，则，故A正确；B．设z1＝a1+b1i（a1，b1∈R），z2＝a2+b2i（a2，b2∈R）．由|z1+z2|＝|z1﹣z2|，得|z1+z2|2＝（a1+a2）2+（b1+b2）2＝|z1﹣z2|2＝（a1﹣a2）2+（b1﹣b2）2，则a1a2+b1b2＝0，而z1•z2＝（a1+b1i）（a2+b2i）＝a1a2﹣b1b2＝2a1a2不一定等于0，故B 错误；C．z＝1﹣i，z2＝（1﹣i）2＝﹣2i为纯虚数，其实部与虚部不等，故C错误；D．复数z＝（a﹣1）+（a2﹣1）i（a∈R）是虚数则a2﹣1≠0，即a≠±1，故“a≠1”是“复数z＝（a﹣1）+（a2﹣1）i（a∈R）是虚数”的必要不充分条件，故D 正确．故选：AD．12．经济学中经常用弹性函数研究函数的相对变化率和相对改变量．一般的，如果函数f （x）存在导函数f'（x），称为函数f（x）的弹性函数，下列说法正确的是（）A．函数f（x）＝C（C为常数）的弹性函数是B．函数f（x）＝cos x的弹性函数是C．D．【分析】结合基本初等函数的求导法则、导数的乘除运算法则以及弹性函数的定义式，逐一判断每个选项即可．解：对A，＝C'•＝0，即A正确；对B，＝（cos x）'•＝﹣sin x•＝﹣x tan x，即B正确；对C，＝[f1（x）+f2（x）]'•＝f1'（x）•+f2'（x）•，而+＝f1'（x）•+f2'（x）•，即C错误；对D，＝•＝•＝•x＝f1'（x）•﹣f2'（x）•＝﹣，即D正确．故选：ABD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．曲线y＝在点（0，1）处的切线方程为x﹣2y+2＝0．【分析】求函数y的导数，然后求出切线的斜率，再求出切线方程．解：y＝的导数为y′＝，可得曲线在点（0，1）处的切线斜率为，则曲线在点（0，1）处的切线方程为y﹣1＝（x﹣0），即x﹣2y+2＝0．故答案为：x﹣2y+2＝0．14．用4种不同的颜色涂在四棱锥的各个面上，要求相邻两面不同色，有72种涂法．【分析】先给底面涂色，有4种涂法，设4个侧面为A、B、C、D，然后给A、B面；给C面，分C与A相同色、C与A不同色，利用乘法原理可得结论．解：先给底面涂色，有4种涂法，设4个侧面为A、B、C、D，然后给A面涂色，有3种；给B面涂色，有2种；给C面，若C与A相同色，则D面可以涂2种；若C与A不同色，则D面可以涂1种，所以共有4×3×2×（2+1）＝72．故答案为：72．15．若复数z满足|z﹣3﹣4i|＝1，则|z|的最小值为4．【分析】根据条件可知，满足|z﹣3﹣4i|＝1的复数z在复平面内对应的点在以C（3，4）为圆心，以1为半径的圆上，然后求出|z|的最小值．解：满足|z﹣3﹣4i|＝1的复数z在复平面内对应的点在以C（3，4）为圆心，以1为半径的圆上，如图，则|z|的最小值为．故答案为：4．16．已知（ax﹣1）2020＝a0+a1x+a2x2+…+a2020x2020（a＞0），得a0＝1．若（a0+a2+…+a2020）2﹣（a1+a3+…+a2019）2＝1，则a＝．【分析】令x＝0，可得a0的值；分别令x＝﹣1以及x＝1，即可求解a的值．解：已知（ax﹣1）2020＝a0+a1x+a2x2+…+a2020x2020（a＞0），令x＝0，可得a0＝1．令x＝1得，（a﹣1）2020＝a0+a1+a2+…+a2020，令x＝﹣1得，（﹣a﹣1）2020＝a0﹣a1+a2﹣a3+…+a2020，而（a0+a2+…+a2020）2﹣（a1+a3+…+a2019）2＝（a0+a1+a2+…+a2020）（a0﹣a1+a2﹣a3+…+a2020）＝（a﹣1）2020（﹣a﹣1）2020＝[（a﹣1）（﹣a﹣1）]2020＝（a2﹣1）2020＝1，解得a＝（负值和0舍）．故答案为：1，．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．某商场为提高服务质量，随机调查了50名男顾客和50名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价，通过汇总数据得到下面等高条形图：（1）根据所给等高条形图数据，完成下面的2×2列联表：满意不满意男顾客女顾客（2）根据（1）中列联表，判断是否有99%的把握认为顾客对该商场服务的评价与性别有关？附：，n＝a+b+c+d．P（K2≥k）0.0500.0100.001 k 3.841 6.63510.828【分析】（1）根据题意填写列联表即可；（2）由列联表计算观测值，对照临界值得出结论．解：（1）根据所给等高条形图数据，完成2×2列联表如下；满意不满意男顾客4010女顾客3020（2）根据（1）中列联表，计算K2＝＝≈4.762＜6.635，所以没有99%的把握认为顾客对该商场服务的评价与性别有关．18．据某县水资源管理部门估计，该县10%的乡村饮用水井中含有杂质A．为了弄清该估计值是否正确，需要进一步验证．由于对所有的水井进行检测花费太大，所以决定从全部饮用水井中随机抽取5口水井检测．（1）假设估计值是正确的，求抽取5口水井中至少有1口水井含有杂质A的概率；（2）在概率中，我们把发生概率非常小（一般以小于0.05为标准）的事件称为小概率事件，意思是说，在随机试验中，如果某事件发生的概率非常小，那么它在一次试验中几乎是不可能发生的．假设在随机抽取的5口水井中有3口水井含有杂质A，试判断“该县10%的乡村饮用水井中含有杂质A”的估计是否正确，并说明理由．参考数据：93＝729，94＝6561，95＝59049．【分析】（1）利用独立重复试验与对立事件的概率求解；（2）利用二项分布求得在随机抽取的5口水井中有3口水井含有杂质A的概率，与0.05比较大小得结论．解：（1）假设估计值是正确的，即随机抽一口水井，含有杂质A的概率p＝0.1．抽取5口水井中至少有1口水井含有杂质A的概率P＝1﹣（1﹣0.1）5＝0.40951；（2）在随机抽取的5口水井中有3口水井含有杂质A的概率为＝0.0081＜0.05．说明在随机抽取的5口水井中有3口水井含有杂质A是小概率事件，它在一次试验中几乎是不可能发生的，说明“该县10%的乡村饮用水井中含有杂质A”的估计是错误的．19．已知函数．（1）若a＝0，证明：当x∈（3，+∞）时，f（x）＞3x﹣8；（2）若过点M（﹣1，1）可作曲线y＝f（x）的3条切线，求a的取值范围．【分析】（1）若a＝0，则f（x）＝x3﹣x2+1，令g（x）＝f（x）﹣（3x﹣8），求导，利用单调性求得g（x）＞0，即可得证；（2）设切点为N（x，x3﹣x2+ax+1），由k MN＝f’（x），可得关于x的方程x3﹣2x+a ＝0，由过点M（﹣1，1）可作曲线y＝f（x）的3条切线，可得方程有三个解，令h（x）＝x3﹣2x+a，根据函数的单调性求出a的范围即可．【解答】（1）证明：若a＝0，则f（x）＝x3﹣x2+1，令g（x）＝f（x）﹣（3x﹣8）＝x3﹣x2﹣3x+9，则g′（x）＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣3）（x+1），当x∈（3，+∞）时，g′（x）＞0，函数g（x）为增函数，所以g（x）＞g（3）＝0，即f（x）＞3x﹣8，得证．（2）解：设切点为N（x，x3﹣x2+ax+1），又M（﹣1，1），则k MN＝f′（x）＝x2﹣2x+a＝，整理得x3﹣2x+a＝0，由题意可知此方程有三个解，令h（x）＝x3﹣2x+a，∴h'（x）＝2x2﹣2＝2（x+1）（x﹣1），由h'（x）＞0，解得x＞1或x＜﹣1，由h'（x）＜0解得﹣1＜x＜1，即函数h（x）在（﹣∞，﹣1），（1，+∞）上单调递增，在（﹣1，1）上单调递减．要使得h（x）＝0有3个根，则h（﹣1）＞0，且h（1）＜0，解得﹣＜a＜，即a的取值范围为（﹣，）．20．线上学习是有效的教学辅助形式，向阳中学高二某班共有10名学困生（独立学习有困难），为及时给学困生释惑答疑，每天上午和下午各安排1次在线答疑．因多种原因，每次只能满足6名学生同时登录参加在线答疑，且在上午和下午各有6名学生相互独立的登录参加在线答疑．（1）记“10名学困生每天每人至少参加一次在线答疑”为事件A，求P（A）；（2）用ξ表示该班每天上午和下午都参加在线答疑的学困生人数，求ξ的分布列及ξ的期望值Eξ．【分析】（1）上午与下午参加的学生只有5种情形有2人，3人，4人，5人，6人，有2人上下午均参加时，剩下的学生有4人选上午，4人选下午，共有种可能，有3人上下午均参加时，剩下的学生有3人选上午，3人选下午，共有种可能，在4人上下午均参加时，剩下的学生有2人选午，2人选下午，共有种可能，有5人上下午均参加时，剩下的学生有1人选上午，1人选下午，共有种可能，有6人上下午均参加时，剩下的学生有0人选上午，0人选下午，共有种可能，求出样本空间总数为n＝++++＝44100，事件A的基本事件数为：有2人上下午均参加时，剩下的学生有4人选上午，4人选下午，共有m＝＝3150，由此能求出P（A）．（2）ξ的可能取值为2，3，4，5，6，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和Eξ．解：（1）问题中要做的一件事：10位学生参加在线答疑，样本空间有三种情况：上午与下午均参加，上午参加下午不参加，上午不参加下午参加．而上午与下午参加的学生只有5种情形：有2人，3人，4人，5人，6人，有2人上下午均参加时，剩下的学生有4人选上午，4人选下午，共有种可能，有3人上下午均参加时，剩下的学生有3人选上午，3人选下午，共有种可能，在4人上下午均参加时，剩下的学生有2人选午，2人选下午，共有种可能，有5人上下午均参加时，剩下的学生有1人选上午，1人选下午，共有种可能，有6人上下午均参加时，剩下的学生有0人选上午，0人选下午，共有种可能，∴样本空间总数为n＝++++＝44100，事件A的基本事件数为：有2人上下午均参加时，剩下的学生有4人选上午，4人选下午，共有m＝＝3150，∴P（A）＝＝．（2）用ξ表示该班每天上午和下午都参加在线答疑的学困生人数，ξ的可能取值为2，3，4，5，6，P（ξ＝2）＝＝，P（ξ＝3）＝＝，P（ξ＝4）＝＝，P（ξ＝5）＝＝，P（ξ＝6）＝＝，∴ξ的分布列为：ξ23456Pξ的期望值Eξ＝＝3.6．21．随着人民生活水平的日益提高，某小区拥有私家车的数量与日俱增，物业公司统计了近六年小区私家车的数量，数据如下：年份201420152016201720182019编号x123456数量y（辆）4196116190218275（1）若该小区私家车的数量y与年份编号x的关系可用线性回归模型来拟合，请求出y 关于x的线性回归方程，并用相关指数R2分析其拟合效果（R2精确到0.01）；（2）由于该小区没有配套停车位，车辆无序停放易造成交通拥堵，因此物业公司预在小区内划定一定数量的停车位，若要求在2022年小区停车位数量仍可满足需要，则至少需要规划多少个停车位．参考数据：，，，．附：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，，相关指数，残差．【分析】（1）由已知数据求得与的值，则线性回归方程可求，再求出残差平方和，代入相关指数公式求得R2，根据与1的接近程度分析拟合效果；（2）在（1）中求得的线性回归方程中，取x＝9求得y值即可．解：（1），×936＝156．＝＝46，．∴y关于x的线性回归方程为．x＝1时，＝41，x＝2时，＝87，x＝3时，＝133，x＝4时，＝179，x＝5时，＝225，x＝6时，＝271．＝556．≈0.97，相关指数R2近似为0.97，接近1，说明拟合效果较好；（2）在（1）中求得的线性回归方程中，取x＝9，可得．故若要求在2022年小区停车位数量仍可满足需要，则至少需要规划409个停车位．22．已知函数．（1）若时，求函数f（x）的单调区间；（2）若x＞1时，不等式f（x）＜0恒成立，求实数a的最大值．【分析】（1）将代入函数解析中，求导，即可求得单调区间；（2）若x＞1时，不等式f（x）＜0恒成立，即为若x＞1时，不等式f（x）＜f（1）恒成立，转化为求f（x）在（1，+∞）单调递减时a的取值范围，即可求得a的最大值．解：（1）若，则f（x）＝lnx﹣＝lnx﹣+，求导得f′（x）＝﹣﹣＝﹣≤0，∴函数f（x）在定义域（0，+∞）上单调递减，即函数f（x）的单调递减区间为（0，+∞）．（2）因为f（1）＝0，∴若x＞1时，不等式f（x）＜0恒成立，即为若x＞1时，不等式f（x）＜f（1）恒成立，只需满足f（x）在（1，+∞）单调递减，即f′（x）≤0，即f′（x）＝﹣＝≤0，令g（x）＝x a+（a﹣1）x﹣a，则g（x）≤0＝g（1）（x＞1）恒成立，即g'（x）＝ax a﹣1+a﹣1≤0恒成立，若0＜a＜1，g'（x）＝ax a﹣1+a﹣1在（1，+∞）单调递减，只需满足g'（x）＜g'（1）＝2a﹣1≤0，解得0＜a≤；若a＝1，g（x）＝x﹣1＞0，不合题意；若a＞1，g'（x）＝ax a﹣1+a﹣1在（1，+∞）单调递增，g'（x）＞2a﹣1＞1，不满足g'（x）≤0恒成立，综上，可得若x＞1时，不等式f（x）＜0恒成立，则0＜a≤，所以实数a的最大值为．。