算法分析第六章 基本算法的设计的策略 分治法-PPT课件
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分治专题讲座ppt课件
B
1
指针 l=2, h=8, k=2
B
12
指针 l=2, h=9, k=3
B
123456
指针 l=5, h=9, k=7
B
1234567 8
指针 l=5, h=11, k=9
B
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
指针 l=8, h=11, k=11
B
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
MaxMin需要的比较次数, 存在下列递推关系：
c(n)
2c(n
2 / 2)
3
n2 n2
5n / 2 3
思考题
请分析c(n)递推关系式中为什么是加3而不是加2 ?
2.4 分类
一、问题
给定一个含n个元素的集合a[n], 按一定次序(本课程假定均 为非降次序)将其分类(排序)。
二、插入分类
基本思想
s1
S
n
pk nk
sk
三、分治法的抽象控制策略
设： 原问题输入为a[n]，简记为(1，n)； 子问题输入为a[p]~a[q]，1≤p≤q≤n，简记为(p，q)。
已知： SOLUTION; int divide (int, int); int small (int, int); SOLUTION conquer (int, int); SOLUTION combine (SOLUTION, SOLUTION);
指针 l=8, h=15, k=15
已分类子集的归并算法
Merge (low, mid, high) { ElemType b[n]; l=low; h=mid+1; k=l;
while ((l<=mid) && (h<=high)) /* 部分合并 */ { if (a[l]<=a[h]) b[k++]=a[l++];
《分治策略》课件
分治策略的原理
总结词
分治策略的原理是将问题分解为若干个较小的子问题，解决 这些子问题，然后将子问题的解决方案组合起来，形成对整 个问题的解决方案。
详细描述
分治策略的核心是将问题分解为若干个子问题，这些子问题 应该尽可能地简单、独立，并且能够被有效地解决。解决这 些子问题后，将它们的解决方案组合起来，形成对整个问题 的解决方案。
项目管理
在项目管理中，分治策略有助于将一个复杂的项目分解为多个子项目，分别进行管理和推 进，提高项目的管理效率。
决策分析
在决策分析中，分治策略有助于将一个复杂的问题分解为多个子问题，分别进行评估和决 策，提高决策的科学性和准确性。
问题解决
在日常生活中，分治策略有助于将一个复杂的问题分解为多个小问题，逐一解决，最终找 到问题的解决方案。例如，在解决家庭纠纷、组织活动等场景中都可以运用分治策略。
THANKS。
高解决问题的速度。
简化问题
将复杂问题分解为更小、更易 于处理的部分，有助于理解和
解决每个子问题。
资源优化
分治策略可以更有效地分配资 源，例如计算资源和人力资源 ，从而提高资源利用效率。
提高准确性
通过分别解决子问题，可以减 少全局解决方案中的错误和误
差。
分治策略的缺点
数据传输成本
合并子问题的复杂性
在解决分治问题时，子问题之间可能需要 进行大量数据传输和通信，这可能导致额 外的计算和通信开销。
问题的目的。
组合数学
在组合数学中，分治策略常用于 解决一些与排列、组合、概率等 相关的问题。通过将问题分解为 多个子问题，简化问题的难度，
从而找到解决方案。
几何学
在几何学中，分治策略常用于解 决一些与面积、体积、最值等相 关的问题。通过将大问题分解为 小问题，逐一解决，最终找到问
《算法分治法》课件
分治算法的原理还体现在将一个复杂的问题分解为若干个相 互关联、相互依赖的小问题，这些小问题之间存在着一定的 规律和联系，通过解决这些小问题，可以找出原问题的解决 方案。
分治算法的步骤
分治算法的步骤还包括对问题进行归纳和分类，确定 问题的规模和复杂度，选择合适的分治策略和算法实 现方式等。
单击此处添加正文，文字是您思想的提一一二三四五 六七八九一二三四五六七八九一二三四五六七八九文 ，单击此处添加正文，文字是您思想的提炼，为了最 终呈现发布的良好效果单击此4*25}
分治算法的核心思想是将一个复杂的问题分解为若干个规模较小、相互独立、与 原问题形式相同的子问题，递归地解这些子问题，然后再将子问题的解合并，以 求得原问题的解。
分治算法的原理
分治算法的原理是利用问题的相似性，将大问题分解为小问 题，将复杂问题转化为简单问题，从而降低问题的难度，提 高解决问题的效率。
探索分治算法与其他算法（如贪心算法、动态规划等）的结合
，实现更高效的算法设计。
分治算法的理论基础研究
02
深入探讨分治算法的理论基础，为算法设计和优化提供理论支
持。
分治算法在实际问题中的应用研究
03
针对实际问题，研究分治算法的应用场景和解决方案，推动算
法的实际应用。
THANKS
感谢观看
对于可以并行处理的子问题，可以使 用多线程或分布式计算等技术进行并 行处理，进一步提高算法效率。
动态规划
动态规划是一种常用的优化技术，通 过将子问题存储在表格中并逐步更新 ，可以避免重复计算，提高算法效率 。
分治算法在实际项目中的应用案例
归并排序
归并排序是一种典型的分治算法，通过递归地将数组分解为若干个子数组，然后合并子数 组得到有序数组。在实际应用中，归并排序广泛应用于各种排序场景。
分治算法的步骤
分治算法的步骤还包括对问题进行归纳和分类，确定 问题的规模和复杂度，选择合适的分治策略和算法实 现方式等。
单击此处添加正文，文字是您思想的提一一二三四五 六七八九一二三四五六七八九一二三四五六七八九文 ，单击此处添加正文，文字是您思想的提炼，为了最 终呈现发布的良好效果单击此4*25}
分治算法的核心思想是将一个复杂的问题分解为若干个规模较小、相互独立、与 原问题形式相同的子问题，递归地解这些子问题，然后再将子问题的解合并，以 求得原问题的解。
分治算法的原理
分治算法的原理是利用问题的相似性，将大问题分解为小问 题，将复杂问题转化为简单问题，从而降低问题的难度，提 高解决问题的效率。
探索分治算法与其他算法（如贪心算法、动态规划等）的结合
，实现更高效的算法设计。
分治算法的理论基础研究
02
深入探讨分治算法的理论基础，为算法设计和优化提供理论支
持。
分治算法在实际问题中的应用研究
03
针对实际问题，研究分治算法的应用场景和解决方案，推动算
法的实际应用。
THANKS
感谢观看
对于可以并行处理的子问题，可以使 用多线程或分布式计算等技术进行并 行处理，进一步提高算法效率。
动态规划
动态规划是一种常用的优化技术，通 过将子问题存储在表格中并逐步更新 ，可以避免重复计算，提高算法效率 。
分治算法在实际项目中的应用案例
归并排序
归并排序是一种典型的分治算法，通过递归地将数组分解为若干个子数组，然后合并子数 组得到有序数组。在实际应用中，归并排序广泛应用于各种排序场景。
算法设计与分析讲义分治法
递归排序子数组
分别对左右两个子数组递归进行快速排序。
合并已排序的子数组
将两个已排序的子数组合并成一个有序数组。
快速排序的时间复杂度
1 2
最好情况
O(nlogn)，即当数据已经有序时的时间复杂度 。
平均情况
O(nlogn)，根据概率计算得到的平均时间复杂 度。
3
最坏情况
O(n^2)，即当数据已经逆序时的时间复杂度。
合并的结果应该是原问题的 解
完善细节
01
对合并的结果进行检验和调整
02
对算法进行优化，提高运行效 率
03
处理特殊情况或异常情况
03
分治法的优化策略
动态规划优化
总结词
通过将问题拆分为子问题，并存储子问题 的解，以避免重复计算，提高算法效率。
VS
详细描述
动态规划是一种常见的优化技术，其基本 思想是将问题拆分为一系列子问题，并将 子问题的解存储起来，以便在需要时可以 重复使用。通过这种方式，可以避免重复 计算相同的子问题，从而提高算法效率。 此外，动态规划通常用于优化递归问题， 如背包问题、最长公共子序列等。
但是，如果每个子问题的规模很大， 则空间复杂度也可能很大。
THANKS
谢谢您的观看
02
分治法的基本步骤
分解问题
将原问题划分成若干个子问题 每个子问题都包含原问题的一部分 子问题的规模尽可能小，以便更容易解决
解决子问题
对每个子问题进行递归求解 子问题的解可以构成原问题的解的一部分 对每个子问题进行归纳，得出原问题的解
合并子问题的解
将子问题的解合并成一个整 体
合并的过程中需要处理数据 结构或数据类型的一致性
算法设计与分析讲义分治 法
分别对左右两个子数组递归进行快速排序。
合并已排序的子数组
将两个已排序的子数组合并成一个有序数组。
快速排序的时间复杂度
1 2
最好情况
O(nlogn)，即当数据已经有序时的时间复杂度 。
平均情况
O(nlogn)，根据概率计算得到的平均时间复杂 度。
3
最坏情况
O(n^2)，即当数据已经逆序时的时间复杂度。
合并的结果应该是原问题的 解
完善细节
01
对合并的结果进行检验和调整
02
对算法进行优化，提高运行效 率
03
处理特殊情况或异常情况
03
分治法的优化策略
动态规划优化
总结词
通过将问题拆分为子问题，并存储子问题 的解，以避免重复计算，提高算法效率。
VS
详细描述
动态规划是一种常见的优化技术，其基本 思想是将问题拆分为一系列子问题，并将 子问题的解存储起来，以便在需要时可以 重复使用。通过这种方式，可以避免重复 计算相同的子问题，从而提高算法效率。 此外，动态规划通常用于优化递归问题， 如背包问题、最长公共子序列等。
但是，如果每个子问题的规模很大， 则空间复杂度也可能很大。
THANKS
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02
分治法的基本步骤
分解问题
将原问题划分成若干个子问题 每个子问题都包含原问题的一部分 子问题的规模尽可能小，以便更容易解决
解决子问题
对每个子问题进行递归求解 子问题的解可以构成原问题的解的一部分 对每个子问题进行归纳，得出原问题的解
合并子问题的解
将子问题的解合并成一个整 体
合并的过程中需要处理数据 结构或数据类型的一致性
算法设计与分析讲义分治 法
算法分析第六章 基本算法的设计的策略 搜索的策略-PPT课件
R7：无可行解
分支界限法对解纯整数和混合整数问题都是使用的。
仅要求是整数时： x1 4 x2 2.1 max z34.0922
例 5.4.2 背包问题 (1)
n=6，M=18，
权重
6 ， 10 ， 3 ，8 ， 5 ， 4
利润（profit） 20 ， 31 ， 9 ，21 ， 13 ， 10
注意 Pi W ：20/6 ，31/10 ，9/3 ，21/8 ，13/5 ，10/4
下界：x e (1 ,0 ,1 ,1 ,0 ,0 )
w e60380017 pe2009210050
上界：x u(1,0,1,1,15,0)
wu
60385
1018 5
1
pu
20092113 5
52.6
25
最优最先剪枝（Best-First Search with Pruning）
0, 0, 51, 57
for i+h queen;
do {
make next selection;
if(safe) {
setqueen; if(i<(n-1)) { //n皇后
try(i+1);
if (!successful) remove queen; //回溯
}
}
} while (!successful && more - positions);
例 5.4.1 求解整数规划 （3）
由于341.39>340,故需对R3继续分解：
R6： x2 1
R7：x2 2
R6
R7
z 307 .76
无可行解
x1 5 .444 x 2 1 .000
算法设计与分析变治法ppt课件
38
4 堆结点的删除
• 只考虑删除根中的键 • 把待删除结点与堆中最后一个键K对调。 • 执行删除操作并把堆的大小减一。 • 对删除后的堆进行调整直到满足堆的约束条件。 • 删除的效率分析： • 取决于交换和规模减一后，树的堆化所需的键值
36
2自底向上构造法
• 最坏情况 • 每个位于树的第i层的键都会移动到叶子层h中 • 移动到下一层需要进行几次比较？ • 两次。位于第i层的键移到叶子层h需要几次比较？ • 需要2(h-i)次键值比较。 • 因此有下式：
h 1
h 1
C w( o n ) r st 2 (h i)2 (h i)2 i 2 (n lo 2 (n g 1 ))
6.3 2-3树 6.4 堆和堆排序 6.5 霍纳法则和二进制幂 （3）问题化简——另一问题
6.6
2
6.1 预排序
• 列表是有序的话，许多关于列表的问题更容易求解。
• 因此很多问题需要先排序，则该问题的时间效率依赖 于排序算法的效率。
• 回忆前面所学的排序算法：
• 插入排序最差Θ(n2)
•
平均 Θ(n2)
25
• 考虑一种既能够保留经典二叉查找树的好特性 • 又能够避免它退化到最差情况的数据结构 • 两种方法： • 实例化简：不平衡二叉查找树变为平衡的形式 • 改变表现：允许一棵查找树的单个节点中不止包
含一个元素。
26
6.3.1 AVL树
• 看书p163,p166回忆及思考下面问题 • 1 AVL树的概念 • 2 AVL树查找效率与什么相关？ • 3 最差情况
• • 无论在最差还是平均，查找，插入和删除时间效率都是对数类型
33
6.4 堆和堆排序 • 6.4.1 堆的概念
4 堆结点的删除
• 只考虑删除根中的键 • 把待删除结点与堆中最后一个键K对调。 • 执行删除操作并把堆的大小减一。 • 对删除后的堆进行调整直到满足堆的约束条件。 • 删除的效率分析： • 取决于交换和规模减一后，树的堆化所需的键值
36
2自底向上构造法
• 最坏情况 • 每个位于树的第i层的键都会移动到叶子层h中 • 移动到下一层需要进行几次比较？ • 两次。位于第i层的键移到叶子层h需要几次比较？ • 需要2(h-i)次键值比较。 • 因此有下式：
h 1
h 1
C w( o n ) r st 2 (h i)2 (h i)2 i 2 (n lo 2 (n g 1 ))
6.3 2-3树 6.4 堆和堆排序 6.5 霍纳法则和二进制幂 （3）问题化简——另一问题
6.6
2
6.1 预排序
• 列表是有序的话，许多关于列表的问题更容易求解。
• 因此很多问题需要先排序，则该问题的时间效率依赖 于排序算法的效率。
• 回忆前面所学的排序算法：
• 插入排序最差Θ(n2)
•
平均 Θ(n2)
25
• 考虑一种既能够保留经典二叉查找树的好特性 • 又能够避免它退化到最差情况的数据结构 • 两种方法： • 实例化简：不平衡二叉查找树变为平衡的形式 • 改变表现：允许一棵查找树的单个节点中不止包
含一个元素。
26
6.3.1 AVL树
• 看书p163,p166回忆及思考下面问题 • 1 AVL树的概念 • 2 AVL树查找效率与什么相关？ • 3 最差情况
• • 无论在最差还是平均，查找，插入和删除时间效率都是对数类型
33
6.4 堆和堆排序 • 6.4.1 堆的概念
算法设计与分析讲义分治法
算法设计与分析讲义分治法
xx年xx月xx日
目录
• 分治法概述 • 分治法的基本思想 • 分治法的应用实例 • 分治法的优化 • 分治法的局限性和注意事项 • 分治法的扩展与展望
01
分治法概述
定义与特点
01
02
03
04
05
分治法是一种典型的递 归问题求解方法，其基 本思想是将一个规模较 大的问题分解为两个或 多个规模较小的子问题 ，递归地解决这些子问 题，最终合并得到原问 题的解。
分治法在1962年被D.H.R.Harrington推广应用， 用于解决编辑距离问题；
分治法的发展不断完善，目前已经成为算法设计 和分析的基本方法之一。
02
分治法的基本思想
分治策略
将问题划分为若干个子问题 递归地解决子问题 合并子问题的解以得到原问题的解
分治法的关键步骤
分
将原问题划分为若干个子问题
谢谢您的观看
分治法能够将复杂的问题分解为简单的子问题，降低 问题的复杂度；
分治法有助于解决一些难以直接解决的问题，提高解 决问题的灵活性。
分治法的历史与发展
分治法最早可以追溯到1945年F.J.Collins提出的 方法，用于解决多音词查找问题；
分治法在1971年被D.E.Knuth在《计算机程序设 计艺术》中系统阐述，并被广泛应用于各种算法 中；
治
递归地解决子问题
合
将子问题的解合并以得到原问题的解
分治法的应用场景
归并排序算法
01
将数组分为两半，递归地对每半进行排序，最后合并两个有序
数组的解
快速排序算法
02
将数组划分为两个子数组，递归地寻找子数组的枢轴元素，并
重新排数组
xx年xx月xx日
目录
• 分治法概述 • 分治法的基本思想 • 分治法的应用实例 • 分治法的优化 • 分治法的局限性和注意事项 • 分治法的扩展与展望
01
分治法概述
定义与特点
01
02
03
04
05
分治法是一种典型的递 归问题求解方法，其基 本思想是将一个规模较 大的问题分解为两个或 多个规模较小的子问题 ，递归地解决这些子问 题，最终合并得到原问 题的解。
分治法在1962年被D.H.R.Harrington推广应用， 用于解决编辑距离问题；
分治法的发展不断完善，目前已经成为算法设计 和分析的基本方法之一。
02
分治法的基本思想
分治策略
将问题划分为若干个子问题 递归地解决子问题 合并子问题的解以得到原问题的解
分治法的关键步骤
分
将原问题划分为若干个子问题
谢谢您的观看
分治法能够将复杂的问题分解为简单的子问题，降低 问题的复杂度；
分治法有助于解决一些难以直接解决的问题，提高解 决问题的灵活性。
分治法的历史与发展
分治法最早可以追溯到1945年F.J.Collins提出的 方法，用于解决多音词查找问题；
分治法在1971年被D.E.Knuth在《计算机程序设 计艺术》中系统阐述，并被广泛应用于各种算法 中；
治
递归地解决子问题
合
将子问题的解合并以得到原问题的解
分治法的应用场景
归并排序算法
01
将数组分为两半，递归地对每半进行排序，最后合并两个有序
数组的解
快速排序算法
02
将数组划分为两个子数组，递归地寻找子数组的枢轴元素，并
重新排数组
分治算法详解ppt课件
8
二分搜索技术
给定已按升序排好序的n个元素a[0:n-1]，现要在这n个元素中找 出一特定元素x。
据此容易设计出二分搜索算法：
template<class Type>
int BinarySearch(Type a[], const Type& 算x, in法t l,复int杂r) 度分析：
{ while (r >= l){
{ if (left<right) {//至少有2个元素 int i=(left+right)/2; //取中点 mergeSort(a, left, i); mergeSort(a, i+1, right); merge(a, b, left, i, right); //合并到数组b copy(a, b, left, right); //复制回数组a }
10
合并排序
基本思想：将待排序元素分成大小大致相同的2个子集合，分 别要对求2的个排子好集序合的进集复行合杂排。度序分，析最T (终n)将 排2好T (序n /O的2()1子) O集(n合) 合nn 并 11成为所 void MergeSort(Type a[], int lTef(t,nin)=t rOigh(nt)logn) 渐进意义下的最优算法
17
棋盘覆盖
void chessBoard(int tr, int tc, int dr, int dc, int size)
{
board[tr + s - 1][tc + s] = t;
if (size == 1) return;
// 覆盖其余方格
int t = tile++, // L型骨牌号
15
二分搜索技术
给定已按升序排好序的n个元素a[0:n-1]，现要在这n个元素中找 出一特定元素x。
据此容易设计出二分搜索算法：
template<class Type>
int BinarySearch(Type a[], const Type& 算x, in法t l,复int杂r) 度分析：
{ while (r >= l){
{ if (left<right) {//至少有2个元素 int i=(left+right)/2; //取中点 mergeSort(a, left, i); mergeSort(a, i+1, right); merge(a, b, left, i, right); //合并到数组b copy(a, b, left, right); //复制回数组a }
10
合并排序
基本思想：将待排序元素分成大小大致相同的2个子集合，分 别要对求2的个排子好集序合的进集复行合杂排。度序分，析最T (终n)将 排2好T (序n /O的2()1子) O集(n合) 合nn 并 11成为所 void MergeSort(Type a[], int lTef(t,nin)=t rOigh(nt)logn) 渐进意义下的最优算法
17
棋盘覆盖
void chessBoard(int tr, int tc, int dr, int dc, int size)
{
board[tr + s - 1][tc + s] = t;
if (size == 1) return;
// 覆盖其余方格
int t = tile++, // L型骨牌号
15
算法设计与分析-分治法详解64页PPT
37、我们唯一不会改正的缺点是软弱。——拉罗什福科
xiexie! 38、我这个人走得很慢，但是我从不后退。——亚伯拉罕·林肯
39、勿问成功的秘诀为何，且尽全力做你应该做的事吧。——美华纳
40、学而不思则罔，思而不学则殆。——孔子
算法设计与分析-分治法详解
•
26、我们像鹰一样，生来就是自由的 ，但是 为了生 存，我 们不得 不为自 己编织 一个笼 子，然 后把自 己关在 里面。 ——博 莱索
•
27、法律如果不讲道理，即使延续时 间再长 ，也还 是没有 制约力 的。— —爱·科 克
•
28、好法律是由坏风俗创造出来的。 ——马 克罗维 乌斯
•
29、在一切能够接受法律支配的人类 的状态 中，哪 里没有 法律， 那里就 没有自 由。— —洛克
•
30、风俗可以造就法律，也可以废 法律。 ——塞·约翰逊
谢谢！
36、自己的鞋子，自己知道紧在哪里。——西班牙
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N 1 n 0
N 1 2
N 1 2
则
kn E k O X [ k ] x [ n ] W X [ k ] W X [ k ] N N
从而，可以将对 N 个量的傅氏变换变成为对两个规模更小的 序列（在小为一半）的变换。这样，将变换的量大大减小。
N 实际计算时，注意到对另外一半 k 时： 2
N
nN
N 1 ( k ) n N N E k O 2 X [ k ] x [ n ] W X [ k ] W X [ k ] N N 2 n 0
应用：大数乘法 利用FFT计算积A=1634，B=9827
a a a ( 4 , 3 , 6 , 1 , 0 , 0 , 0 , 0 ) 0 1 7
N 1 2 kn N n 0
N 1 2 2 nk N n 0
于是：分别考虑对其奇数项和偶数项作傅氏变换：
E 2 nk nk X [ k ] x [ 2 n ] W x [ 2 n ] W N N / 2 n 0 n 0 N 1 2 N 1 2
O 2 nk kn X [ k ] x [ 2 n 1 ] W x [ 2 n 1 ] W N N / 2 n 0 n 0
进行反变换：
c ( 27 . 88 , 28 . 86 , 79 . 99 , 79 . 32 , 77 . 12 , 62 . 13 , 9 . 01 , 0 . 32 )
舍入成整数 ：
c ( 28 , 29 , 80 , 79 , 77 , 62 , 9 , 0 )
数表示成 ：
B ( 26 , 2 . 03 15 . 81 i , 1 7 i , 11 . 97 0 . 19 i , 4 , 11 . 97 0 . 19 i , 1 7 i , 2 . 03 15 . 8 i )
对A与B进行逐一做积 c i a i b i
C ( 364 , 128 . 76 103 . 64 i , 16 12 i , 30 . 28 38 . 32 i , 24 , 30 . 28 38 . 32 i , 16 12 i , 12 . 76 10 . 6 i )
2．FFT
卷积： 多项式的积：
k A(x) ai x 及 B(x) bi x ，并且C ， ( x ) A ( x ) B ( x ) c x k
m
i
n
i
m n k 0
i0
i0
则 ck a j bk j
j 0
k
x [ i ]}, i 0 , , N 1 DFT定义：序列 { 的离散傅氏变换为
n m 2
其中 c j ak bj k
k 0
j
此即卷积运算；
序列运算可用蝶形表示：
对于以下的8个的N 1
从算法分析角度：
N 1 n 0
( 2 n 1 ) k X [ k ] x [ n ] W x [ 2 n ] W x [ 2 n 1 ] W N
2 jnk N X k x n e
n 0 N 1
jnk 2 N 1 该变换的逆变换为： x N n X k e
k 0
N 1
令 WN e
j
2 N
，则上式可写为 ：
X [k ]
x [ n ]W
n0
N 1
kn N
(w+x)(y+z)=wy+(wz+xy)+xz
r( w x )( yz ) pwy qx z
2 2 4 2 ( 10 w x )( 10 yz ) 10 p 10 ( rp q ) q
从而，仅需3次乘法即可完成 该算法即STARSSEN矩阵乘法的来源
b b b ( 7 , 2 , 8 , 9 , 0 , 0 , 0 , 0 ) 0 1 7 2 i 1 1 W exp( ) i 8 8 2 2
0 . 71 0 . 71 i 即 W 8
A A A A A A A A
0 1 2 3 4 5 6 7
14 5 . 42 2 . 58 6 2 . 58 5 . 42 3 . 16 i 8 . 54 i 2 2i 8 . 84 i 3 . 16 i 2 2i
N 1 N 1 N 1 ( k ) n N kn kn n 2 2 X [ k ] x [ n ] W x [ n ] W W x [ n ] W ( 1 ) N N N N 2 n 0 n 0 n 0 2 nk ( 2 n 1 ) k x [ 2 n ] W x [ 2 n 1 ] W N N n 0 n 0 N 1 2 N 1 2
VI、基本算法设计策略
基本策略
分治法 贪婪法 动态规划法 分支界限法 搜索策略
§6.1分治法
快速排序算法的设计与分析 快速变换:FFT及快速数论变换 例：整数相乘 N位整数相乘需要 O( N 2 ) 次乘法 4837*5261= 4837=48*100+37=100*w+x 5261=52*100+61=100*y+z 4837*5261=(100*w+x)*(100*y+z)=1000wy+100(wz+xy)+xz
1 x[ n ] N
N 1 k 0
X [ k ]W N nk
其它的一个重要性质：时域卷积对应于频域积。
多项式的积 两个多项式的积：
A(x) a j x
j 0 n 1 j
B(x) bj x j
j 0
m1
j C ( x ) A ( x ) B ( x ) c x j j 0
N 1 2
N 1 2
则
kn E k O X [ k ] x [ n ] W X [ k ] W X [ k ] N N
从而，可以将对 N 个量的傅氏变换变成为对两个规模更小的 序列（在小为一半）的变换。这样，将变换的量大大减小。
N 实际计算时，注意到对另外一半 k 时： 2
N
nN
N 1 ( k ) n N N E k O 2 X [ k ] x [ n ] W X [ k ] W X [ k ] N N 2 n 0
应用：大数乘法 利用FFT计算积A=1634，B=9827
a a a ( 4 , 3 , 6 , 1 , 0 , 0 , 0 , 0 ) 0 1 7
N 1 2 kn N n 0
N 1 2 2 nk N n 0
于是：分别考虑对其奇数项和偶数项作傅氏变换：
E 2 nk nk X [ k ] x [ 2 n ] W x [ 2 n ] W N N / 2 n 0 n 0 N 1 2 N 1 2
O 2 nk kn X [ k ] x [ 2 n 1 ] W x [ 2 n 1 ] W N N / 2 n 0 n 0
进行反变换：
c ( 27 . 88 , 28 . 86 , 79 . 99 , 79 . 32 , 77 . 12 , 62 . 13 , 9 . 01 , 0 . 32 )
舍入成整数 ：
c ( 28 , 29 , 80 , 79 , 77 , 62 , 9 , 0 )
数表示成 ：
B ( 26 , 2 . 03 15 . 81 i , 1 7 i , 11 . 97 0 . 19 i , 4 , 11 . 97 0 . 19 i , 1 7 i , 2 . 03 15 . 8 i )
对A与B进行逐一做积 c i a i b i
C ( 364 , 128 . 76 103 . 64 i , 16 12 i , 30 . 28 38 . 32 i , 24 , 30 . 28 38 . 32 i , 16 12 i , 12 . 76 10 . 6 i )
2．FFT
卷积： 多项式的积：
k A(x) ai x 及 B(x) bi x ，并且C ， ( x ) A ( x ) B ( x ) c x k
m
i
n
i
m n k 0
i0
i0
则 ck a j bk j
j 0
k
x [ i ]}, i 0 , , N 1 DFT定义：序列 { 的离散傅氏变换为
n m 2
其中 c j ak bj k
k 0
j
此即卷积运算；
序列运算可用蝶形表示：
对于以下的8个的N 1
从算法分析角度：
N 1 n 0
( 2 n 1 ) k X [ k ] x [ n ] W x [ 2 n ] W x [ 2 n 1 ] W N
2 jnk N X k x n e
n 0 N 1
jnk 2 N 1 该变换的逆变换为： x N n X k e
k 0
N 1
令 WN e
j
2 N
，则上式可写为 ：
X [k ]
x [ n ]W
n0
N 1
kn N
(w+x)(y+z)=wy+(wz+xy)+xz
r( w x )( yz ) pwy qx z
2 2 4 2 ( 10 w x )( 10 yz ) 10 p 10 ( rp q ) q
从而，仅需3次乘法即可完成 该算法即STARSSEN矩阵乘法的来源
b b b ( 7 , 2 , 8 , 9 , 0 , 0 , 0 , 0 ) 0 1 7 2 i 1 1 W exp( ) i 8 8 2 2
0 . 71 0 . 71 i 即 W 8
A A A A A A A A
0 1 2 3 4 5 6 7
14 5 . 42 2 . 58 6 2 . 58 5 . 42 3 . 16 i 8 . 54 i 2 2i 8 . 84 i 3 . 16 i 2 2i
N 1 N 1 N 1 ( k ) n N kn kn n 2 2 X [ k ] x [ n ] W x [ n ] W W x [ n ] W ( 1 ) N N N N 2 n 0 n 0 n 0 2 nk ( 2 n 1 ) k x [ 2 n ] W x [ 2 n 1 ] W N N n 0 n 0 N 1 2 N 1 2
VI、基本算法设计策略
基本策略
分治法 贪婪法 动态规划法 分支界限法 搜索策略
§6.1分治法
快速排序算法的设计与分析 快速变换:FFT及快速数论变换 例：整数相乘 N位整数相乘需要 O( N 2 ) 次乘法 4837*5261= 4837=48*100+37=100*w+x 5261=52*100+61=100*y+z 4837*5261=(100*w+x)*(100*y+z)=1000wy+100(wz+xy)+xz
1 x[ n ] N
N 1 k 0
X [ k ]W N nk
其它的一个重要性质：时域卷积对应于频域积。
多项式的积 两个多项式的积：
A(x) a j x
j 0 n 1 j
B(x) bj x j
j 0
m1
j C ( x ) A ( x ) B ( x ) c x j j 0