林初中华师大版初中数学竞赛辅导讲义及习题解答第5讲一元二次方程的整数整数解(附答案)
初中数学竞赛辅导讲义及习题解答 含答案 共30讲 改好278页
初中奥数辅导讲义培优计划（星空课堂）第一讲走进追问求根公式第二讲判别式——二次方程根的检测器第三讲充满活力的韦达定理第四讲明快简捷—构造方程的妙用第五讲一元二次方程的整数整数解第六讲转化—可化为一元二次方程的方程第七讲化归—解方程组的基本思想第八讲由常量数学到变量数学第九讲坐标平面上的直线第十讲抛物线第十一讲双曲线第十二讲方程与函数第十三讲怎样求最值第十四讲图表信息问题第十五讲统计的思想方法第十六讲锐角三角函数第十七讲解直角三角形第十八讲圆的基本性质第十九讲转化灵活的圆中角第二十讲直线与圆第二十一讲从三角形的内切圆谈起第二十二讲园幂定理第二十三讲圆与圆第二十四讲几何的定值与最值第二十五讲辅助圆第二十六讲开放性问题评说第二十七讲动态几何问题透视第二十八讲避免漏解的奥秘第二十九讲由正难则反切入第三十讲从创新构造入手第一讲 走进追问求根公式形如（）的方程叫一元二次方程，配方法、公式法、因式分解法是解一元二次方程的基本方法。
而公式法是解一元二次方程的最普遍、最具有一般性的方法。
求根公式内涵丰富：它包含了初中阶段已学过的全部代数运算；它回答了一元二次方程的诸如怎样求实根、实根的个数、何时有实根等基本问题；它展示了数学的简洁美。
降次转化是解方程的基本思想，有些条件中含有(或可转化为)一元二次方程相关的问题，直接求解可能给解题带来许多不便，往往不是去解这个二次方程，而是对方程进行适当的变形来代换，从而使问题易于解决。
解题时常用到变形降次、整体代入、构造零值多项式等技巧与方法。
【例题求解】【例1】满足的整数n 有 个。
思路点拨：从指数运算律、±1的特征人手，将问题转化为解方程。
【例2】设、是二次方程的两个根，那么的值等于（ ）A 、一4B 、8C 、6D 、0思路点拨：求出、的值再代入计算，则计算繁难，解题的关键是利用根的定义及变形，使多项式降次，如，。
【例3】 解关于的方程。
思路点拨：因不知晓原方程的类型，故需分及两种情况讨论。
一元二次方程的整数整数解(含答案)
竞赛辅导 一元二次方程的整数整数解在数学课外活动中，在各类数学竞赛中，一元二次方程的整数解问题一直是个热点，它将古老的整数理论与传统的一元二次方程知识相结合，涉及面广，解法灵活，综合性强，备受关注，解含参数的一元二次方程的整数解问题的基本策略有：从求根入手，求出根的有理表达式，利用整除求解；从判别式手，运用判别式求出参数或解的取值范围，或引入参数(设△=2k )，通过穷举，逼近求解；从韦达定理入手，从根与系数的关系式中消去参数，得到关于两根的不定方程，借助因数分解、因式分解求解；从变更主元入人，当方程中参数次数较低时，可考虑以参数为主元求解．注：一元二次方程的整数根问题，既涉及方程的解法、判别式、韦达定理等与方程相关的知识，又与整除、奇数、偶数、质数、合数等整数知识密切相关．【例题求解】【例1】若关于x 的方程054)15117()9)(6(2=+----x k x k k 的解都是整数，则符合条件的整数是的值有个．思路点拨用因式分解法可得到根的简单表达式，因方程的类型未指明，故须按一次方程、二次方程两种情形讨论，这样确定是的值才能全面而准确．注：系数含参数的方程问题，在没有指明是二次方程时，要注意有可能是一次方程，根据问题的题设条件，看是否要分类讨论．【例2】已知a 、b 为质数且是方程0132=+-c x x 的根，那么ba ab +的值是( ) A ．22127 B ．22125 C ．22123 D ．22121 思路点拨由韦达定理a 、b 的关系式，结合整数性质求出a 、b 、c 的值．【例3】试确定一切有理数r ，使得关于x 的方程01)2(2=-+++r x r rx 有根且只有整数根．思路点拨由于方程的类型未确定，所以应分类讨论．当0≠r 时，由根与系数关系得到关于r 的两个等式，消去r ，利用因式(数)分解先求出方程两整数根．【例4】当m 为整数时，关于x 的方程01)12()12(2=++--x m x m 是否有有理根?如果有，求出m 的值；如果没有，请说明理由．思路点拨整系数方程有有理根的条件是为完全平方数．设△=22224)12(544)12(4)12(n m m m m m =+-=+-=--+(n 为整数)解不定方程，讨论m 的存在性．注：一元二次方程02=++c bx ax (a ≠0)而言，方程的根为整数必为有理数，而△=ac b 42-为完全平方数是方程的根为有理数的充要条件．【例5】若关于x 的方程0)13()3(22=-+--a x a ax 至少有一个整数根，求非负整数a 的值． 思路点拨因根的表示式复杂，从韦达定理得出的a 的两个关系式中消去a 也较困难，又因a 的次数低于x 的次数，故可将原方程变形为关于a 的一次方程．学历训练1．已知关于x 的方程012)1(2=--+-a x x a 的根都是整数，那么符合条件的整数a 有．2．已知方程019992=+-m x x 有两个质数解，则m ＝．3．给出四个命题：①整系数方程02=++c bx ax (a ≠0)中，若△为一个完全平方数，则方程必有有理根；②整系数方程02=++c bx ax (a ≠0)中，若方程有有理数根，则△为完全平方数；③无理数系数方程02=++c bx ax (a ≠0)的根只能是无理数；④若a 、b 、c 均为奇数，则方程02=++c bx ax 没有有理数根，其中真命题是．4．已知关于x 的一元二次方程0)12(22=+-+a x a x (a 为整数)的两个实数根是1x 、2x ，则21x x -=．5．设rn 为整数，且4<m<40，方程08144)32(222=+-+--m m x m x 有两个整数根，求m 的值及方程的根6．已知方程015132)83(222=+-+--a a x a a ax (a ≠0)至少有一个整数根，求a 的值．7．求使关于x 的方程01)1(2=-+++k x k kx 的根都是整数的k 值．8．当n 为正整数时，关于x 的方程0763*******=-+-+-n n x nx x 的两根均为质数，试解此方程．9．设关于x 的二次方程4)462()86(2222=+--++-k x k k x k k 的两根都是整数，试求满足条件的所有实数k 的值．10．试求所有这样的正整数a ，使得方程0)3(4)12(22=-+-+a x a ax 至少有一个整数解．11．已知p 为质数，使二次方程015222=--+-p p px x 的两根都是整数，求出p 的所有可能值．12．已知方程02=++c bx x 及02=++b cx x 分别各有两个整数根1x 、2x 及1x '、2x '，且1x 2x >0，1x '2x ' >0． (1)求证：1x <0,2x <0，1x '<0,2x '< 0；(2)求证：11+≤≤-b c b ；(3)求b 、c 所有可能的值．13．如果直角三角形的两条直角边都是整数，且是方程0122=+--m x mx 的根(m 为整数)，这样的直角三角形是否存在?若存在，求出满足条件的所有三角形的三边长；若不存在，请说明理由．参考答案。
初中数学竞赛辅导讲义及习题解答 第5讲 1元2次方程的整数整数解
第五讲 一元二次方程的整数整数解在数学课外活动中,在各类数学竞赛中,一元二次方程的整数解问题一直是个热点,它将古老的整数理论与传统的一元二次方程知识相结合,涉及面广,解法灵活,综合性强,备受关注,解含参数的一元二次方程的整数解问题的基本策略有：从求根入手,求出根的有理表达式,利用整除求解；从判别式手,运用判别式求出参数或解的取值范围,或引入参数(设△=2k ),通过穷举,逼近求解；从韦达定理入手,从根与系数的关系式中消去参数,得到关于两根的不定方程,借助因数分解、因式分解求解；从变更主元入人,当方程中参数次数较低时,可考虑以参数为主元求解．注：一元二次方程的整数根问题,既涉及方程的解法、判别式、韦达定理等与方程相关的知识,又与整除、奇数、偶数、质数、合数等整数知识密切相关．【例题求解】【例1】若关于x 的方程054)15117()9)(6(2=+----x k x k k 的解都是整数,则符合条件的整数是的值有 个．思路点拨 用因式分解法可得到根的简单表达式,因方程的类型未指明,故须按一次方程、二次方程两种情形讨论,这样确定是的值才能全面而准确．注：系数含参数的方程问题,在没有指明是二次方程时,要注意有可能是一次方程,根据问题的题设条件,看是否要分类讨论．【例2】 已知a 、b 为质数且是方程0132=+-c x x 的根,那么ba ab +的值是( ) A ．22127 B ．22125 C ．22123 D ．22121 思路点拨 由韦达定理a 、b 的关系式,结合整数性质求出a 、b 、c 的值．【例3】 试确定一切有理数r ,使得关于x 的方程01)2(2=-+++r x r rx 有根且只有整数根．思路点拨 由于方程的类型未确定,所以应分类讨论．当0≠r 时,由根与系数关系得到关于r 的两个等式,消去r,利用因式(数)分解先求出方程两整数根．【例4】 当m 为整数时,关于x 的方程01)12()12(2=++--x m x m 是否有有理根?如果有,求出m 的值；如果没有,请说明理由．思路点拨 整系数方程有有理根的条件是为完全平方数．设△=22224)12(544)12(4)12(n m m m m m =+-=+-=--+(n 为整数)解不定方程,讨论m 的存在性．注：一元二次方程02=++c bx ax (a ≠0)而言,方程的根为整数必为有理数,而△=ac b 42-为完全平方数是方程的根为有理数的充要条件．【例5】 若关于x 的方程0)13()3(22=-+--a x a ax 至少有一个整数根,求非负整数a 的值． 思路点拨 因根的表示式复杂,从韦达定理得出的a 的两个关系式中消去a 也较困难,又因a 的次数低于x 的次数,故可将原方程变形为关于a 的一次方程．学历训练1．已知关于x 的方程012)1(2=--+-a x x a 的根都是整数,那么符合条件的整数a 有 ．2．已知方程019992=+-m x x 有两个质数解,则m ＝ ．3．给出四个命题：①整系数方程02=++c bx ax (a ≠0)中,若△为一个完全平方数,则方程必有有理根；②整系数方程02=++c bx ax (a ≠0)中,若方程有有理数根,则△为完全平方数；③无理数系数方程02=++c bx ax (a ≠0)的根只能是无理数；④若a 、b 、c 均为奇数,则方程02=++c bx ax 没有有理数根,其中真命题是 ．4．已知关于x 的一元二次方程0)12(22=+-+a x a x (a 为整数)的两个实数根是1x 、2x ,则21x x -= ．5．设rn 为整数,且4<m<40,方程08144)32(222=+-+--m m x m x 有两个整数根,求m 的值及方程的根．(山西省竞赛题)6．已知方程015132)83(222=+-+--a a x a a ax (a ≠0)至少有一个整数根,求a 的值．7．求使关于x 的方程01)1(2=-+++k x k kx 的根都是整数的k 值．8．当n 为正整数时,关于x 的方程0763*******=-+-+-n n x nx x 的两根均为质数,试解此方程．9．设关于x 的二次方程4)462()86(2222=+--++-k x k k x k k 的两根都是整数,试求满足条件的所有实数k 的值．10．试求所有这样的正整数a ,使得方程0)3(4)12(22=-+-+a x a ax 至少有一个整数解．11．已知p 为质数,使二次方程015222=--+-p p px x 的两根都是整数,求出p 的所有可能值．12．已知方程02=++c bx x 及02=++b cx x 分别各有两个整数根1x 、2x 及1x '、2x ',且1x 2x >0,1x '2x ' >0． (1)求证：1x <0,2x <0,1x '<0,2x '< 0； (2)求证：11+≤≤-b c b ；(3)求b 、c 所有可能的值．13．如果直角三角形的两条直角边都是整数,且是方程0122=+--m x mx 的根(m 为整数),这样的直角三角形是否存在?若存在,求出满足条件的所有三角形的三边长；若不存在,请说明理由．参考答案。
(华师大版)九年级数学上册课件：22.1 一元二次方程
知1－练
1 下列关于x的方程一定是一元二次方程的是( )
A．ax2＋bx＋c＝0 C．x2＋ 1 ＝2
x
B．x2＋1－x2＝0 D．x2－x－2＝0
2 若方程(m－1)x|m|+1－2x＝3是关于x一元二次方程，
则( )
A．m＝1
B． m＝－1
C． m＝±1
D．m≠±1
（来自《典中点》）
元二次方程的条件．①中有两个未知数；②不是整
式方程；④未知数的最高次数是3；⑤整理后二次
项系 数为零．
（来自《点拨》）
总结
知1－讲
判断一个方程是否是一元二次方程，有两个关键点： (1) 整理前是整式方程且只含一个未知数； (2) 整理后未知数的最高次数是2；本例⑤2x2－3x＝
2(x2－2)中易出现不整理就下结论，误认为是一 元二次方程的错误．
知识点 3 一元二次方程的解（根）
知3－讲
1. 定义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做 一元二次方程的根(解)．
2. 要点精析： (1) 判断方程的根的必要条件是：使方程左右两边相等． (2) 根据方程的根的定义可以判断解出的方程的根是否正确． (3) 一元二次方程的根不止一个，只要符合条件的都是方程的 根．
绿苑小区在规划设计时， 准备在两幢楼房之间，设置一 块面积为900平方米的矩形绿 地，并且长比宽多10米，那么 绿地的长和宽各为多少？
（来自教材）
分析： 我们已经知道可以运)＝900，
整理得
x2＋10x－900＝0.
(1)
（来自教材）
问 题（二）
学校图书馆去年年底有图书5万册，预计到明年年底
增加到7.2万册．求这两年的年平均增长率．
华师版九年级数学 22.1 一元二次方程(学习、上课课件)
感悟新知
知3－练
3-1. [中考·青海]已 知关于x的方程x2＋mx＋3＝0的一个根
为x＝1，则实数m的值为( B )
A. 4
B. －4
C. 3
D. －3
3-2. [中 考·资阳]若a是一元二次方程x2＋2x－3＝0的一个
根， 则 2a2＋4a的值是____6二次方程 定义 一般形式 解(根) 方程模型
解题秘方：紧扣一元二次方程的“三要素”进行 识别 .
感悟新知
解：①含有两个未知数；②不是整式方程； ③符合一元二次方程的“三要素”； ④整理后未知数的最高次数不是2 .
知1－练
判断一个方程是否是一元二次方程，要从原方程及整 理后的方程两方面进行判断 .
感悟新知
知1－练
1-1. [期末·开封]若关于x的方程(k－1)x2＋2x－3＝0是一元 二次方程，则 k的值可以是____0___．(写出一个即可) (答案不唯一)
感悟新知
知3－讲
2. 检验一元二次方程根的步骤 步骤 1：将已知数值分别代入一元二次方程的左右
两边求值. 步骤 2：若方程左右两边的值相等，则这个数是一
元二次方程的解(根)；否则，这个数不是一元二次方程 的解(根).
感悟新知
知3－讲
特别提醒 如果一个数是一元二次方程的解(根)，那么这个
数一定能使方程左右两边的值相等 .
第22章 一元二次方程
22.1 一元二次方程
学习目标
1 课时讲解 一元二次方程的定义
一元二次方程的一般形式 一元二次方程的解(根)
2 课时流程
逐点 导讲练
课堂 小结
作业 提升
感悟新知
知识点 1 一元二次方程的定义
知1－讲
22.1 一元二次方程九年级数学上册同步教学辅导讲义(华师大版)
22.1一元二次方程根底知识1.一元二次方程的定义：只含有一个未知数且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程。
可以说，一元二次方程的定义包含三个条件：①整式方程；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是2。
三个条件缺一不可。
2．一元二次方程一般形式：一元二次方程一般形式是：02=++c bx ax 〔c b a a 、、,0≠是常数〕。
其中2ax叫做二次项，bx 叫做一次项，c 叫做常数项，b a 、分别是二次项、一次项的系数；各项及系数要注意包括符号。
【提醒】任何一个一元二次方程不可缺少二次项，即0≠a ；但可以缺一次项和常数项，即c b ,均可以为0。
3.一元二次方程的解的意义：使一元二次方程左右两边相等的值叫做一元二次方程的解。
一元二次方程的解也叫一元二次方程的根。
【注意】①一元二次方程可以无解，但是有解就一定有两个解；②可用代入法检验一个数是否是一元二次方程的解，以及求待定常数。
例题例．x ＝1是一元二次方程ax 2＋bx －40＝0的一个根，且a ≠b ，求2222a b a b--的值.【答案】20 【分析】先根据一元二次方程的解得到a+b=40，然后把原式进行化简得到=12〔a+b 〕，再利用整体代入的方法计算； 【详解】把x=1代入方程得a+b-40=0，即a+b=40，所以原式=()()()10222a b a b a b a b +-=+=-（） .练习1．以下方程中，是关于x 的一元二次方程的是〔〕． A ．2240x x +-= B ．2834x x +=- C ．32x x -=D ．572x x =- 2．方程(25)410x x x -=-化为一元二次方程的一般形式是〔 〕 A ．2x 2﹣9x +10＝0 B ．2x 2﹣x +10＝0 C ．2x 2+14x ﹣10＝0D ．2x 2+3x ﹣10＝03．方程2310x x --=的二次项系数和一次项系数分别为〔〕 A ．1和3B ．1和3-C ．0和1-D ．3-和1-4．关于x 的一元二次方程()22395m x m x x -+=+化为一般形式后不含一次项，那么m的值为〔〕 A ．0B ．±3C ．3D ．－35．关于x 的一元二次方程x 2＋5x ﹣m ＝0的一个根是2，那么m 的值为〔〕 A ．7B ．9C ．14D ．166．假设a 是关于x 的方程3x 2﹣x ﹣1=0的一个根，那么2021﹣6a 2＋2a 的值是〔〕 A ．2023B ．2022C ．2021D ．20217．假设关于x 的方程130m x +-=是一元二次方程，那么m =_____．8．假设〔a ﹣2〕x 2﹣6x+1＝0是关于x 的一元二次方程，那么a 的取值范围为___． 9．假设m 是方程210x x +-=一个根，那么代数式2222021m m ++的值为________． 10．一元二次方程23670x x --=的二次项系数是_________，常数项是________． 11．a 是方程2310x x --=的一个实数根，那么232021a a -+的值为______． 12．为解决群众看病贵的问题，某区有关部门决定降低药价，对某种原价为280元的药品进行连续两次降价，降价后的价格为240元，设平均每次降价的百分率为x ，由题意可列方程__________．13．关于x 的一元二次方程〔a+1〕x 2+2x+1﹣a 2＝0有一个根为﹣1，求a 的值． 14．x ＝﹣1是一元二次方程20x ax b ++=的一个根，求2222a b ab +--的值． 15．将方程y 2﹣y (﹣4y +1)=1化为一般形式〔要求二次项系数为正数〕，写出二次项的系数，一次项和常数项．参考答案1．A 【分析】此题根据一元二次方程的定义解答．一元二次方程必须满足四个条件：(1)未知数的最高次数是2；(2)二次项系数不为0；(3)是整式方程；(4)含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案． 【详解】解：A 、本方程符合一元二次方程的定义；故本选项正确． B 、本方程的未知数的最高次数是1；故本选项错误； C 、本方程的未知数的最高次数是3；故本选项错误； D 、本方程不是整式方程，是分式方程；故本选项错误；此题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2． 2．A 【分析】根据一元二次方程一般式的概念即可求出答案． 【详解】解：(25)410x x x -=-，225410x x x ∴-=-， 229100x x ∴-+=，应选：A ． 【点睛】此题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的概念，此题属于根底题型． 3．B 【分析】根据一元二次方程的一般形式确定出二次项系数与一次项系数即可． 【详解】解：方程2310x x --=的二次项系数和一次项系数分别为1和3-． 应选：B ． 【点睛】此题考查了一元二次方程的一般形式，且一般形式为ax 2+bx +c =0〔a ，b ，c 为常数且a ≠0〕． 4．D 【分析】把原方程化为一般形式，根据一元二次方程的定义、一次项的概念列式计算即可． 【详解】解：∵()22395m x m x x -+=+， ∴()()223950m x m x -+--=，由题意得：m －3≠0且m 2－9＝0， 解得：m ＝－3，此题主要考查一元二次方程的定义，把一元二次方程化为一般形式，是解题的关键．5．C【分析】根据题意把x=2代入一元二次方程进行求解即可．【详解】解：由题意可把x=2代入一元二次方程x2＋5x﹣m＝0得：m+-=，4100m；解得：14应选C．【点睛】此题主要考查一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程的解是解题的关键．6．D【分析】先把a代入方程得到3a2-a=1，然前方程两边都乘以-2得-6a2+2a=-2，从而求出答案．【详解】解：由题意得：3a2-a-1=0，∴3a2-a=1，∴-6a2+2a=-2，∴2021﹣6a2＋2a =2021-2=2021．应选：D．【点睛】此题考查的是逆用一元二次方程解的定义得出-6a2+2a的值，因此在解题时要重视解题思路的逆向分析．7．1【分析】此题根据一元二次方程的定义求解，一元二次方程必须满足两个条件：〔1〕未知数的最高次数是2；〔2〕二次项系数不为0，据此解答即可．【详解】m，解：由题意得：+1=2m=，那么1故答案为：1． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的概念，只有一个未知数且未知数的最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是20ax bx c ++=(且0a ≠)，特别要注意0a ≠的条件，这是做题中容易无视的知识点． 8．2a ≠ 【分析】根据一元二次方程的定义，得到关于a 的不等式，解之即可． 【详解】 解：根据题意得：20a -≠，解得：2a ≠， 故答案是：2a ≠． 【点睛】此题考查了一元二次方程的定义，正确掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 9．2023 【分析】先根据一元二次方程的根的定义可得21m m +=，再作为整体代入即可得． 【详解】解：由题意得：210m m +-=，即21m m +=， 当21m m +=时，代入原式可得： 原式212021=⨯+2023=，故答案为：2023． 【点睛】此题考查了一元二次方程的根、代数式求值，掌握理解一元二次方程的根的定义是解题关键． 10．3-7 【分析】根据一元二次方程的一般形式找出二次项系数和常数项即可． 【详解】解：一元二次方程23670x x --=的二次项系数为3；常数项为-7， 故答案为：3；-7． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，且形式为20(,,ax bx c a b c ++=为常数且0a ≠)．11．2022 【分析】根据一元二次方程的解的定义，将a 的值代入方程，即可求得2(3)a a -的值，从而求得232021a a -+的值．【详解】解：a 是方程2310x x --=的一个实数根，∴将a 的值代入2310x x --=中得，2310a a --=，即231a a -=，232021*********a a ∴-+=+=，故答案为：2022． 【点睛】此题主要考查一元二次方程的根即方程的解的定义．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值． 12．2280(1)240x -= 【分析】设平均每次的降价率为x ，那么经过两次降价后的价格是280〔1-x 〕2，根据关键语句“连续两次降价后为240元，〞可得方程2280(1)240x -=． 【详解】解：设平均每次的降价率为x ，那么经过两次降价后的价格是280〔1-x 〕2，根据题意得： 故答案为：2280(1)240x -=． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程平均变化率的问题．假设设变化前的量为a ，变化后的量为b ，平均变化率为x ，那么经过两次变化后的数量关系为a 〔1±x 〕2=b ． 13．a ＝0或a ＝1 【分析】将x ＝﹣1代入原方程可求出a 的值． 【详解】解：将x ＝﹣1代入原方程，得〔a+1〕﹣2+1﹣a 2＝0， 整理得：a 2﹣a ＝0， 即：a 〔a ﹣1〕＝0 解得：a ＝0或a ＝1． 【点睛】此题考查了一元二次方程的解，将x=-1代入原方程求出a 值是解题的关键． 14．﹣1． 【分析】将x ＝﹣1代入20x ax b ++=可得1a b -=，再将所求代数式化简即可得． 【详解】解：∵x ＝﹣1是一元二次方程20x ax b ++=的一个根，1a b ∴-=．222222)2(21a b ab a b ∴+-=-=-=--(1)-．【点睛】此题考查了一元二次方程根的特征、用完全平方差公式化简求值；关键在于知道方程的根是满足方程的条件．15．二次项的系数为5，一次项和常数项分别是﹣y 、﹣1． 【分析】先把方程整理，根据整理的方程写出二次项系数、一次项和常数项． 【详解】解：去括号，得y 2+4y 2﹣y =1， 整理，得5y 2﹣y ﹣1=0．所以二次项的系数为5，一次项和常数项分别是﹣y 、﹣1． 【点睛】此题考查了一元二次方程的一般形式和二次项系数、一次项及常数项的定义．解决此题的关键是根据要求把方程化为一元二次方程的一般形式．。
初中数学竞赛辅导讲义及习题解答第5讲一元二次方程的整数整数解
第五讲一元二次方程的整数整数解在数学课外活动中，在各种数学比赛中，一元二次方程的整数解问题向来是个热门，它将古老的整数理论与传统的一元二次方程知知趣联合，波及面广，解法灵巧，综合性强，备受关注，解含参数的一元二次方程的整数解问题的基本策略有：从求根下手，求出根的有理表达式，利用整除求解；从鉴别式手，运用鉴别式求出参数或解的取值范围，或引入参数 (设△ = k 2 )，经过穷举，迫近求解；从韦达定理下手，从根与系数的关系式中消去参数，获得对于两根的不定方程，借助因数分解、因式分解求解；从更改主元入人，当方程中参数次数较低时，可考虑以参数为主元求解．注：一元二次方程的整数根问题，既波及方程的解法、鉴别式、韦达定理等与方程有关的知识，又与整除、奇数、偶数、质数、合数等整数知识亲密有关．【例题求解】【例 1】若对于x的方程 (6k )(9)x2 (11715 )x540的解都是整数，则切合条件的整k k数是的值有个．思路点拨用因式分解法可获得根的简单表达式，因方程的种类未指明，故须按一次方程、二次方程两种情况议论，这样确立是的值才能全面而正确．注：系数含参数的方程问题，在没有指明是二次方程时，要注意有可能是一次方程，依据问题的题设条件，看能否要分类议论．【例 2】已知 a 、 b 为质数且是方程x 2 13x c0 的根，那么b a的值是 ()a bA ．127125123121 B．22C．D．222222思路点拨由韦达定理 a 、b的关系式，联合整数性质求出 a 、b、 c 的值．【例 3】试确立全部有理数r ，使得对于x 的方程rx2(r 2) x r 10 有根且只有整数根．思路点拨因为方程的种类未确立，因此应分类议论．当r 0 时，由根与系数关系获得关于 r 的两个等式，消去r，利用因式 (数 )分解先求出方程两整数根．【例 4】当m为整数时，对于x的方程(21)x 2(2m1)x10能否有有理根 ?假如有，m求出 m 的值；假如没有，请说明原因．思路点拨整系数方程有有理根的条件是为完整平方数．设△ = ( 2m 1)24(2m 1) 4m24m 5 (2m 1)2 4 n 2 ( n为整数 )解不定方程，议论m 的存在性．注：一元二次方程 ax2bx c0 (a≠ 0)而言，方程的根为整数必为有理数，而△= b 24ac 为完整平方数是方程的根为有理数的充要条件．【例 5】若对于x的方程 ax22(a 3)x (a 13)0 起码有一个整数根，求非负整数 a 的值．思路点拨因根的表示式复杂，从韦达定理得出的 a 的两个关系式中消去 a 也较困难，又因a 的次数低于 x 的次数，故可将原方程变形为对于 a 的一次方程．学历训练1．已知对于x的方程 (a1)x22x a10 的根都是整数，那么切合条件的整数 a 有．2．已知方程 x21999x m0 有两个质数解，则m＝．3．给出四个命题：①整系数方程ax2bx c0 (a≠ 0)中，若△为一个完整平方数，则方程必有有理根；②整系数方程 ax2bx c0(a≠ 0)中，若方程有有理数根，则△为完整平方数；③无理数系数方程ax2bx c0 (a≠ 0)的根只好是无理数；④若 a 、b、 c 均为奇数，则方程 ax2bx c 0没有有理数根，此中真命题是．4．已知对于x 的一元二次方程x2(2a1)x a 20( a为整数 )的两个实数根是x1、 x2，则 x1x2=．5．设 rn 为整数，且 4<m<40 ，方程 x22(2m3) x4m214m8 0 有两个整数根，求 m 的值及方程的根． (山西省比赛题 )6．已知方程 ax2(3a 28a)x2a 213a 150 (a≠0) 起码有一个整数根，求 a 的值．7．求使对于x的方程 kx2(k1) x k10 的根都是整数的k 值．8．当n为正整数时，对于x 的方程2x28nx10x n235n760的两根均为质数，试解此方程．9．设对于x的二次方程 ( k26k 8) x2(2k 26k4)x k2 4 的两根都是整数，试求知足条件的全部实数 k 的值．10．试求全部这样的正整数 a ，使得方程ax22( 2a 1) x 4(a 3)0 起码有一个整数解．11．已知p 为质数，使二次方程x2 2 px p 2 5 p10 的两根都是整数，求出p 的全部可能值．0 及x2cx b0 分别各有两个整数根x1、 x2及x1、x2，且12 ．已知方程x2bxcx1 x2>0， x1 x2>0．(1)求证： x1 <0, x2 <0 ， x1 <0, x2 < 0；(2)求证： b 1 c b 1 ；(3)求 b 、c全部可能的值．13．假如直角三角形的两条直角边都是整数，且是方程mx22x m 1 0 的根 ( m为整数 )，这样的直角三角形能否存在?若存在，求出知足条件的全部三角形的三边长；若不存在，请说明原因．参照答案。
华师大版七年级下册《一元二次方程的解法》教案微课
华师大版七年级下册《一元二次方程的解法》教案微课《华师大版七年级下册《一元二次方程的解法》教案微课》这是优秀的教学设计文章，希望可以对您的学习工作中带来帮助！教学目标1. 初步掌握用直接开平方法解一元二次方程，会用直接开平方法解形如的方程;2. 初步掌握用配方法解一元二次方程，会用配方法解数字系数的一元二次方程;3. 掌握一元二次方程的求根公式的推导，能够运用求根公式解一元二次方程;4. 会用因式分解法解某些一元二次方程。
5. 通过对一元二次方程解法的教学，使学生进一步理解“降次”的数学方法，进一步获得对事物可以转化的认识。
教学重点和难点重点：一元二次方程的四种解法。
难点：选择恰当的方法解一元二次方程。
教学建议：一、教材分析：1.知识结构：2.重点、难点分析(1)熟练掌握开平方法解一元二次方程用开平方法解一元二次方程，一种是直接开平方法，另一种是配方法。
如果一元二次方程的一边是未知数的平方或含有未知数的一次式的平方，另一边是一个非负数，或完全平方式，如方程，和方程就可以直接开平方法求解，在开平方时注意取正、负两个平方根。
配方法解一元二次方程，就是利用完全平方公式，把一般形式的一元二次方程，转化为的形式来求解。
配方时要注意把二次项系数化为1和方程两边都加上一次项系数一半的平方这两个关键步骤。
(2)熟记求根公式()和公式中字母的意义在使用求根公式时要注意以下三点：1)把方程化为一般形式，并做到、、之间没有公因数，且二次项系数为正整数，这样代入公式计算较为简便。
2)把一元二次方程的各项系数、、代入公式时，注意它们的符号。
3)当时，才能求出方程的两根。
(3)抓住方程特点，选用因式分解法解一元二次方程如果一个一元二次方程的一边是零，另一边易于分解成两个一次因式时，就可以用因式分解法求解。
这时只要使每个一次因式等于零，分别解两个一元一次方程，得到两个根就是一元二次方程的解。
我们共学习了四种解一元二次方程的方法：直接开平方法;配方法;公式法和因式分解法。
第05讲 一元二次方程的解法(学生版)-九年级数学上册同步讲义(华师大版)[001]
第5讲 一元二次方程的解法 1.了解一元二次方程及有关概念；2.掌握通过配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程；3.掌握依据实际问题建立一元二次方程的数学模型的方法．知识点01 一元二次方程的解法1．基本思想一元二次方程−−−→降次一元一次方程 2．基本解法直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法．【知识拓展】解一元二次方程时，根据方程特点，灵活选择解题方法，先考虑能否用直接开平方法和因式分解 法，再考虑用公式法．（1）若a+b+c=0,则一元二次方程必有一根x=1；反之也成立，即若x=1是一元二次方程的一个根，则a+b+c=0.（2）若a-b+c=0,则一元二次方程必有一根x=-1；反之也成立，即若x=-1是一元二次方程的一个根，则a-b+c=0.（3）若一元二次方程有一个根x=0，则c=0；反之也成立，若c=0，则一元二次方程必有一根为0. 配方法的应用1．用于比较大小：在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比较出大小.目标导航知识精讲2．用于求待定字母的值：配方法在求值中的应用，将原等式右边变为0，左边配成完全平方式后，再运用非负数的性质求出待定字母的取值．3．用于求最值：“配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值．4．用于证明：“配方法”在代数证明中有着广泛的应用，我们学习二次函数后还会知道“配方法”在二次函数中也有着广泛的应用．要点诠释：“配方法”在初中数学中占有非常重要的地位，是恒等变形的重要手段，是研究相等关系，讨论不等关系的常用技巧，是挖掘题目当中隐含条件的有力工具，同学们一定要把它学好．【即学即练1】用适当的方法解一元二次方程(1)0.5x2-=0； (2) (x+a)2=；(3) 2x2-4x-1=0； (4) (1-)x2=(1+)x．解方程：x 2+4x ﹣1=0．知识点02 一元二次方程根的判别式及根与系数的关系1.一元二次方程根的判别式一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 中，ac b 42-叫做一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根的判别式，通常用“∆”来表示，即ac b 42-=∆（1）当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根；（2）当△=0时，一元二次方程有2个相等的实数根；（3）当△<0时，一元二次方程没有实数根.2.一元二次方程的根与系数的关系如果一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个实数根是21x x ，， 那么a b x x -=+21，ac x x =21. 注意它的使用条件为a ≠0， Δ≥0.考点诠释：1.一元二次方程的根的判别式正反都成立．利用其可以解决以下问题：(1)不解方程判定方程根的情况；(2)根据参系数的性质确定根的范围；(3)解与根有关的证明题．2. 一元二次方程根与系数的应用很多：(1)已知方程的一根，不解方程求另一根及参数系数；(2)已知方程，求含有两根对称式的代数式的值及有关未知数系数；(3)已知方程两根，求作以方程两根或其代数式为根的一元二次方程．若关于x 的一元二次方程x 2﹣4x+5﹣a=0有实数根，则a 的取值范围是（ ）A ．a ≥1B ． a ＞1C ． a ≤1D ．a ＜1【即学即练3】已知x 1、x 2是关于x 的方程2220x x t -++=的两个不相等的实数根，考法01 直接开方法1.求下列x 的值（1）x 2﹣25=0（2）（x +5）2=16．2. 用直接开平方法求下列各方程的根：(1)x 2=361； (2)2y 2-72=0； (3)5a 2-1=0； (4)-8m 2+36=0．考法02 配完全平方法能力拓展1. 用配方法解方程.(1)x 2-4x-2=0； (2)x 2+6x+8=0.2.若代数式221078M a b a =+-+，2251N a b a =+++，则M N -的值（ ）Ａ．一定是负数 Ｂ．一定是正数 Ｃ．一定不是负数 Ｄ．一定不是正数3．用配方法证明：二次三项式﹣8x 2+12x ﹣5的值一定小于0．4.求代数式 x 2+8x+17的最小值5．已知223730216b a a b -+-+=，求4a b -的值．考点03 判别式与根与系数的关系已知关于x 的一元二次方程222(1)x m x m =--的两实数根为1x ，2x ．（1）求m 的取值范围；（2）设12y x x =+，当y 取得最小值时，求相应m 的值，并求出最小值．题组A 基础过关练1. 关于x 的一元二次方程（a －1）x 2＋x ＋|a|－1＝0的一个根是0，则实数a 的值为（ ）A.－1B.0C.1D.－1或1 2．已知a 是方程x 2+x ﹣1=0的一个根，则22211a a a---的值为（ ） A.152-+ B.152-± C.﹣1 D.1 3．（德州）若一元二次方程x 2+2x+a=0的有实数解，则a 的取值范围是（ ） A ．a ＜1 B ． a≤4C ． a≤1D ． a≥1 4．已知关于x 的方程2(2)230m x mx m -+++=有实根，则m 的取值范围是（ ）A ．2m ≠B ．6m ≤且2m ≠C ．6m <D ．6m ≤5．如果是α、β是方程2234x x +=的两个根，则22αβ+的值为（ ） A ．1 B ．17 C ．6.25 D ．0.256．（台州）有x 支球队参加篮球比赛，共比赛了45场，每两队之间都比赛一场，则下列方程中符合题意的是（ ）A ．x （x ﹣1）=45B ．x （x +1）=45C ．x （x ﹣1）=45D ．x （x +1）=45 7. 方程x 2+ax+1=0和x 2-x-a=0有一个公共根，则a 的值是( )分层提分A ．0B ．1C ．2D ．38. 若关于x 的一元二次方程的两个实数根分别是，且满足．则k 的值为（ ）A.－1或B.－1C.D.不存在 题组B 能力提升练9．关于x 的方程2()0a x m b ++=的解是x 1=－2，x 2=1（a ，m ，b 均为常数，a ≠0），则方程2(2)0a x m b +++=的解是 . 10．已知关于x 的方程x 2+2(a+1)x+(3a 2+4ab+4b 2+2)＝0有实根，则a 、b 的值分别为 ．11．已知α、β是一元二次方程2430x x --=的两实数根，则(α-3)(β-3)＝________．12．当m=_________时，关于x 的方程是一元二次方程；当m=_________时，此方程是一元一次方程.13．把一元二次方程3x 2-2x-3=0化成3(x+m)2=n 的形式是____________；若多项式x 2-ax+2a-3是一个完全平方式，则a=_________.14．（绥化）若关于x 的一元二次方程ax 2+2x ﹣1=0无解，则a 的取值范围是 .15．已知，那么代数式的值为________. 16．当x=_________时，既是最简二次根式，被开方数又相同.题组C 培优拔尖练17. （南充）已知关于x 的一元二次方程x 2﹣6x +（2m +1）=0有实数根．（1）求m 的取值范围；（2）如果方程的两个实数根为x 1，x 2，且2x 1x 2+x 1+x 2≥20，求m 的取值范围．18．设(a ，b)是一次函数y ＝(k-2)x+m 与反比例函数n y x =的图象的交点，且a 、b 是关于x 的一元二次方程22(3)(3)0kx k x k +-+-=的两个不相等的实数根，其中k 为非负整数，m 、n 为常数．（1）求k的值；（2）求一次函数与反比例函数的解析式．。
2014-2015学年华师大版九年级数学下册课后练习：一元二次方程的整数根+课后练习二及详解
学科：数学专题：一元二次方程整数根问题主讲教师：黄炜北京四中数学教师重难点易错点解析题一：题面：已知1是关于x 的一元二次方程(m ﹣1)x 2+x+1=0的一个根，则m 的值是（）A ． 1 B ．﹣1 C ．0 D ．无法确定金题精讲题一：题面：关于x 的一元二次方程25(5)0x mx m 的两个正实数根分别为x 1，x 2，且2x 1+x 2=7，则m 的值是（）A. 2B. 6C. 2或6D. 7满分冲刺题一：题面：已知023242a ax x 无实根，且a 是实数，化简2241291236a a a a ．题二：题面：求证：关于x 的方程013)32(2m x m x 有两个不相等的实数根．课后练习详解重难点易错点解析题一：答案：B详解：根据题意得：(m ﹣1)+1+1=0，解得：m =﹣1．故选B ．金题精讲题一：答案：B详解：∵方程25(5)0x mx m 有两个正实数根，∴2112055(5)0x x m m x x m ．又∵２x 1+x 2=7，∴x 1=7－m ．将x 1=7－m 代入方程25(5)0x mx m ，得2(7)(7)5(5)0m m m m ，解得m =2或m =6．∵5m，∴m =6．故选B ．满分冲刺题一：答案：a +3详解：方程023242a ax x无实根，∴224(2)44(32)0b ac a a ，即,01282a a 解得,62a 当62a 时，.3632)6()32(361291242222a a a a a a a a a 题二：答案：原方程有两个不相等的实数根详解：22224(23)4(31)4129124413b ac m m m m m m ，∵240m ，∴2244130b ac m ，∴原方程有两个不相等的实数根．。
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第五讲 一元二次方程的整数整数解
在数学课外活动中，在各类数学竞赛中，一元二次方程的整数解问题一直是个热点，它将古老的整数理论与传统的一元二次方程知识相结合，涉及面广，解法灵活，综合性强，备受关注，解含参数的一元二次方程的整数解问题的基本策略有：
从求根入手，求出根的有理表达式，利用整除求解；
从判别式手，运用判别式求出参数或解的取值范围，或引入参数(设△=2k )，通过穷举，逼近求解；
从韦达定理入手，从根与系数的关系式中消去参数，得到关于两根的不定方程，借助因数分解、因式分解求解；
从变更主元入人，当方程中参数次数较低时，可考虑以参数为主元求解．
注：一元二次方程的整数根问题，既涉及方程的解法、判别式、韦达定理等与方程相关的知识，又与整除、奇数、偶数、质数、合数等整数知识密切相关．
【例题求解】
【例1】若关于x 的方程054)15117()9)(6(2=+----x k x k k 的解都是整数，则符合条件的整数是的值有 个．
思路点拨 用因式分解法可得到根的简单表达式，因方程的类型未指明，故须按一次方程、二次方程两种情形讨论，这样确定是的值才能全面而准确．
注：系数含参数的方程问题，在没有指明是二次方程时，要注意有可能是一次方程，根据问题的题设条件，看是否要分类讨论．
【例2】 已知a 、b 为质数且是方程0132=+-c x x 的根，那么
b
a a
b +的值是( ) A ．22127 B ．22125 C ．22123 D ．22121 思路点拨 由韦达定理a 、b 的关系式，结合整数性质求出a 、b 、
c 的值．
【例3】 试确定一切有理数r ，使得关于x 的方程01)2(2=-+++r x r rx 有根且只有整数根．
思路点拨 由于方程的类型未确定，所以应分类讨论．当0≠r 时，由根与系数关系得到关于r 的两个等式，消去r ，利用因式(数)分解先求出方程两整数根．
【例4】 当m 为整数时，关于x 的方程01)12()12(2=++--x m x m 是否有有理根?如果有，求出m 的值；如果没有，请说明理由．
思路点拨 整系数方程有有理根的条件是为完全平方数．
设△=22224)12(544)12(4)12(n m m m m m =+-=+-=--+(n 为整数)解不定方程，讨论m 的存在性．
注：一元二次方程02=++c bx ax (a ≠0)而言，方程的根为整数必为有理数，而△=ac b 42-为完全平方数是方程的根为有理数的充要条件．
【例5】 若关于x 的方程0)13()3(22=-+--a x a ax 至少有一个整数根，求非负整数a 的值． 思路点拨 因根的表示式复杂，从韦达定理得出的a 的两个关系式中消去a 也较困难，又因a 的次数低于x 的次数，故可将原方程变形为关于a 的一次方程．
学历训练
1．已知关于x 的方程012)1(2=--+-a x x a 的根都是整数，那么符合条件的整数a 有 ．
2．已知方程019992=+-m x x 有两个质数解，则m ＝ ．
3．给出四个命题：①整系数方程02=++c bx ax (a ≠0)中，若△为一个完全平方数，则方程必有有理根；②整系数方程02=++c bx ax (a ≠0)中，若方程有有理数根，则△为完全平方数；③无理数系数方程02=++c bx ax (a ≠0)的根只能是无理数；④若a 、b 、c 均为奇数，则方程02=++c bx ax 没有有理数根，其中真命题是 ．
4．已知关于x 的一元二次方程0)12(22=+-+a x a x (a 为整数)的两个实数根是1x 、2x ，则21x x -= ．
5．设rn 为整数，且4<m<40，方程08144)32(222=+-+--m m x m x 有两个整数根，求m 的值及方程的根．(山西省竞赛题)
6．已知方程015132)83(222=+-+--a a x a a ax (a ≠0)至少有一个整数根，求a 的值．
7．求使关于x 的方程01)1(2=-+++k x k kx 的根都是整数的k 值．
8．当n 为正整数时，关于x 的方程0763*******=-+-+-n n x nx x 的两根均为质数，试解此方程．
9．设关于x 的二次方程4)462()86(2222=+--++-k x k k x k k 的两根都是整数，试求满足条件的所有实数k 的值．
10．试求所有这样的正整数a ，使得方程0)3(4)12(22=-+-+a x a ax 至少有一个整数解．
11．已知p 为质数，使二次方程015222=--+-p p px x 的两根都是整数，求出p 的所有可
能值．
12．已知方程02=++c bx x 及02=++b cx x 分别各有两个整数根1x 、2x 及1
x '、2x '，且1x 2x >0，1
x '2x ' >0． (1)求证：1x <0,2x <0，1
x '<0,2x '< 0； (2)求证：11+≤≤-b c b ；
(3)求b 、c 所有可能的值．
13．如果直角三角形的两条直角边都是整数，且是方程0122=+--m x mx 的根(m 为整数)，这样的直角三角形是否存在?若存在，求出满足条件的所有三角形的三边长；若不存在，请说明理由．
参考答案。