人教版高中数学选修2-23.2.3 立体几何中的向量方法二 (共20张PPT)

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高中数学立体几何中的向量方法名师课件人教版选修二

P
A B
D C
例1：在长方体 ABCD A1B1C1D1中， AB 6, AD 8,
AA1 6, M为B1C1上的一点,且B1M 2, 点N在线段A1D上，
A1N 5, 求AD与平面ANM所成的角的正弦值.
解：如图建立坐标系A-xyz,则
A(0, 0, 0), M (6,2,6)
就是二面角的平面角。
u

v
l

, 的夹角为， cos | u v|
| u || v |
v 两个平面的法向量 u 与的夹角（或其补角）
就是二面角的平面角。
应用（一）线线角
法1：直接成角（将其中一条直线平移到与另一条直线相交），再求角的大小。（一般构造三角形求角的大小）法2：利用两直线对应向量的数量积求角。
例4如图，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中， AB= 2，AA1 =1，求二面角A-BD-A1的大小。
D A
C B
D1 A1
C1 B1
线面平行 l ∥ a u a u 0 ；
面面平行 ∥ u ∥ v u kv.
注意：这里的线线平行包括线线重合，线面平行包括线在面内，面面平行包括面面重合.
四、垂直关系：
设直线 l, m 的方向向量分别为 a, b ，平面 ,
的法向量分别为 u, v ，则
线线垂直 l ⊥ m a ⊥ b a b 0 ；线面垂直 l ⊥ a ∥ u a ku ；面面垂直 ⊥ u ⊥ v u v 0.
若a (a1,b1,c1),u (a2,b2,c2),则
l a // u a ku a1 ka2,b1 kb2,c1 kc2.

高中数学 3.2立体几何中的向量方法(2)课件新人教版选修2-1

ppt精选
23
练一练·当堂检测、目标达成落实处
又 E，F 分别是 AD，PC 的中点，
∴E(0， 2，0)，F(1， 2，1)．
∴P→C＝(2,2 2，－2)，B→F＝(－1， 2，1)，E→F＝(1,0,1)．
本专题栏目
∴P→C·B→F＝－2＋4－2＝0，P→C·E→F＝2＋0－2＝0. ∴P→C⊥B→F，P→C⊥E→F.
开 E(2,2,1)，F(1,1,2)．
关
∴E→F＝(1,1,2)－(2,2,1)＝(－1，－1，1)．
A→B1＝(2,2,2)－(2,0,0)＝(0,2,2)， A→C＝(0,2,0)－(2,0,0)＝(－2,2,0)．
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12Leabharlann 研一研·问题探究、课堂更高效
而E→F·A→B1＝(－1，－1,1)·(0,2,2)
∴平面 BEF⊥平面 ABC.
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16
研一研·问题探究、课堂更高效
本小结向量法证明线、面位置关系的优越性体现在不必考
专题
虑图形的位置关系，恰当建系或用基向量表示后，只需经
栏目
过向量运算就可得到要证明的结果，思路方法很“公式
开关
化”．
ppt精选
17
研一研·问题探究、课堂更高效
跟踪训练 3 如图所示，在六面体 ABCD—
跟踪训练 1 在棱长为 a 的正方体 OABC—O1A1B1C1 中，E、 F 分别是 AB、BC 上的动点，且 AE＝BF，求证：A1F⊥C1E. 证明以 O 为坐标原点建立如图所示的
空间直角坐标系，
本专
则 A1(a,0，a)，C1(0，a，a)．
题栏
设 AE＝BF＝x，

人教A版高中数学选修2-1课件3.2立体几何中的向量方法(2)

例1 (1)设a‚b分别是直线 l1‚l2的方向向量,根据下列
条件判断 l1与 l2 的位置关系:
① a (2,3,1),b (6, 9,3) ② a (5,0, 2),b (0,4,0) ②③a (2,1, 4), b (6, 3, 3)
①平行或重合 ②垂直 ③斜交或异面（不垂）
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3.2 立体几何中的向量方法(2)
----向量法在平行、垂直关系中的应用
引入：
因为直线的方向向量与平面的法向量可以确定直线和平面的位置，所以我们可以利用直线的方向向量与平面的法向量表示空间直线、平面间的平行、垂直、夹角等位置关系.
平行关系
设直线 l , m 的方向向量分别为 a, b ，平面 ,
u
l m,l n,a b, a b 0. 同理a c 0.
b

a

u
n
m, n ,且m, n相交，

c
m

内任一直线的方向向量 p 可以表示为：
p xb yc, x, y R.
a p a (xb yc) xa b ya c 0,
的法向量分别为 u, v ，则
线线平行 l ∥ m a ∥ b a kb ；k R. 线面平行 l ∥ a u a u 0 ；
面面平行 ∥ u ∥ v u kv. k R.
注意：这里的线线平行包括线线重合，线面平行包括线在面内，面面平行包括面面重合.
面面平行 ∥ u ∥ v u kv. k R. 线线垂直 l ⊥ m a ⊥ b a b 0 ；线面垂直 l ⊥ a ∥ u a ku ；k R. 面面垂直 ⊥ u ⊥ v u v 0.

人教A版高中数学选修2-1课件：3.2立体几何中的向量方法(2)(共21张)

（化为向量问题或向量的坐标问题）
（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位
置关系以及它们之间距离和夹角等问题；
（进行向量运算）
（3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义.
（回到图形）
变式 : 在正方体ABCD - A1 B1C1 D1中, 求证 : 平面A1 BD / / 平面CB1 D1
∴ MN ∥ DA1 ,∴ MN ∥ 平面A1BD
1 1 法3: ∵ MN C1 N C1 M 2 D1 A1 2 D1 D A B 1 1 ( DB BA) ( D1 A1 A1 D ) 2 2 1 1 1 1 1 1 1 DB DA1 ( BA DA) DB DA1 BD DA1 0 BD 2 2 2 2 2 2 2
D! N A! B!
C! M C
D A B
例1如图,在正方形ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是 C1C、B1C1的中点,求证:MN∥平面A1BD
法1:建立如图所示的空间直角坐标系.
设正方体的棱长为1,则可求得 M(0,1,1/2),N(1/2,1,1),D(0,0,0), A1(1,0,1),B(1,1,0).于是 MN ( ,0, ) 设平面A1BD的法向量是n ( x, y, z )
A A!
z D! N B! C! M C y B
1 2
1 2
D
则得 n DA1 0且n DB 0,
取x=1,得y=-1,z=-1,∴ n (1, 1, 1)
x 0 x z x y 0
1 1 又 MN n ( , 0, ) (1, 1, 1) 0,∴ MN ⊥ n 2 2 ∴ MN ∥ 平面A1 BD

人教A版高中数学选修2-1课件高二《3.2立体几何中的向量方法(2)》.pptx

② 直线与平面的法向量平行. 3. 面面垂直： ① 一个平面经过另一个平面的垂线；
② 两平面的法向量平行. 4. 两异面直线的公垂线：
与两异面直线都垂直且相交的直线.
例题分析
例 1. 如图，在四棱锥E ABCD中，AB 平面BCE，CD 平面BCE，AB BC CE 2CD 2，BCE 120. 求证：平面ADE 平面ABE.
知识归纳
1. 线线垂直： ① 三垂线定理及逆定理； ② 利用a b a b 0. 2. 线面垂直： ① 直线垂直于平面内的两相交直线；
② 直线与平面的法向量平行. 3. 面面垂直： ① 一个平面经过另一个平面的垂线；
② 两平面的法向量平行.
知识归纳
1. 线线垂直： ① 三垂线定理及逆定理； ② 利用a b a b 0. 2. 线面垂直： ① 直线垂直于平面内的两相交直线；
C
E
P
FB
GABiblioteka 例题讲解思考题：已知平行六面体ABCD A1B1C1D1的底面
ABCD为菱形，且C1CB C1CD BCD.
（1）求证：CC1 BD；
（2）当 CD CC1
的值为多少时，能使 A1C
平面C1BD？请给出证明.
课后作业
《学案》P87 面双基训练.
空白演示
在此输入您的封面副标题
主讲：陈震
知识归纳
1. 线线垂直： ① 三垂线定理及逆定理； ② 利用a b a b 0.
知识归纳
1. 线线垂直： ① 三垂线定理及逆定理； ② 利用a b a b 0. 2. 线面垂直： ① 直线垂直于平面内的两相交直线；
② 直线与平面的法向量平行.
A
E
D
C
B
例题分析

人教A版高中数学选修2-1《3.2立体几何中的向量方法(二)》课件

知识点二向量法判断线面垂直
思考
若直线 l 的方向向量为 μ1＝2，43，1，平面 α 的法向量为 μ2＝ 3，2，32，则直线 l 与平面 α 的位置关系是怎样的？如何用向量法判断直线与平面的位置关系？答案
梳理
设直线l的方向向量a＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量μ＝(a2，b2，c2)，则 l⊥α⇔a∥μ⇔ a＝kμ(k∈R) .
思考
若直线l1的方向向量为μ1＝(1，3，2)，直线l2的方向向量为μ2＝ (1，－1，1)，那么两直线是否垂直？用向量法判断两条直线垂直的一般方法是什么？答案
梳理
设直线l的方向向量为a＝(a1，a2，a3)，直线m的方向向量为b＝(b1，b2，b3)，则l⊥m⇔ a·b＝0 ⇔ a1b1＋a2b2＋a3b3＝0 .
跟踪训练3 在四面体ABCD中，AB⊥平面BCD，BC＝CD，∠BCD＝ 90°，∠ADB＝30°，E、F分别是AC、AD的中点，求证：平面BEF⊥ 平面ABC. 证明
当堂训练
1.下列命题中，正确命题的个数为答案解析
①若n1，n2分别是平面α，β的法向量，则n1∥n2⇔α∥β； ②若n1，n2分别是平面α，β的法向量，则α⊥β ⇔ n1·n2＝0； ③若n是平面α的法向量，a与平面α平行，则n·a＝0；
C.a＝(0，1，－1)，b＝(0，－1，1)
D.a＝(1，0，0)，b＝(－1，0，0)
因为a＝(0，1，0)，b＝(1，0，1)，所以a·b＝0×1＋1×0＋0×1＝0，所以a⊥b，故选B.
12345
3.若直线l的方向向量为a＝(1，0，2)，平面α的法向量为μ＝(－2，0，－4)，则
A.l∥α
规律与方法
几何法

高中数学人教版选修2-1教学课件：3.2.2立体几何中的向量方法(二)

思考题.如图,PA⊥平面 ABC,
AC⊥BC,PA=AC=1,BC= 2 , 求二面角 A-PB-C 的余弦值.
y
x
1详细答案
思考题
练习: 1. 已知 AB (2, 2,1), AC (4,5, 3), 求平面 ABC 的单位法向量. 解:设平面 ABC 的一个法向量为 n ( x, y, z ) 则 n AB ， n AC . y 2 x ( x, y, z ) (2, 2,1) 0 2 x 2 y z 0 ∴ ① ∴ 即 z 2x ( x, y, z ) (4,5, 3) 0 4 x 5 y 3z 0
立体几何中的向量方法(二)
立体几何中的向量方法(二)
立体几何要解决的主要问题是空间图形的形状、大小及其位置关系.其中点到直线、点到平面之间的距离问题以及直线与直线、直线与平面、平面与平面之间的夹角问题是立体几何研究的重要问题. 上一节 , 我们认识了直线的方向向量及平面的法向量的概念 , 发现可以利用这两个向量的运算(特别是数量积) 解决点、直线、平面之间的平行、垂直、夹角等问题.
( x , y , z ) ( 2,0,0) 0 ∴ 令 y 1, n (0, 1, 1) y z 1,1) 0 ( x, y, z) (0,
刚才的思考具有一般性 , 当解空间图形问题几何法难进行时,可以尝试运用空间向量(或坐标)来处理(三步曲):
1 ∵ x y z 1 ②∴由①②得 x 3 1 2 2 1 2 2 ，））. ∴平面 ABC 的单位法向量为 ( ，或 ( ，， 3 3 3 3 3 3
2 2 2
思考题.如图,PA⊥平面 ABC,AC⊥BC,PA=AC=1,

人教A版高中数学选修2-1课件3.2立体几何中的向量方法2(33张PPT).pptx

面面平行 ∥ u ∥ v u kv.
注意：1.这里的线线平行包括线线重合，线面平行包括线在面内，面面平行包括面面重合。
设直线 l, m 的方向向量分别为 a, b ，
平面, 的法向量分别为 u, v ，则线线垂直 l ⊥ m a ⊥ b a b 0 ；
线面垂直 l ⊥ a ∥ u a ku ；面面垂直 ⊥ u ⊥ v u v 0.
D1
C1
A1
B1
D
C
A
B
图1
练习.(P107.2)如图，60°的二面角的棱上
有A、B两点，直线AC、BD分别在这个二面角的
两个半平面内,且都垂直AB, 已知AB＝4,AC＝6，
BD＝8，求CD的长.
解1
68
C
A
B D
补充知识点1：点到面的距离问题：
如图 A, 空间一点 P 到平面的距离为 d,已知平面的
r uuur r
一个法向量为 n ,且 AP 与 n 不共线,
P r
分析:过 P 作 PO⊥ 于 O,连结 OA.
n
则
d=|
uuur PO
|=
|
uuur PA
|
cos
APO.
A O
∵
uuur PO
⊥
,
r n
,
∴
uuur PO
∥
r n
.
∴cos∠APO=|cos
uuur PA,
r n
|.
∴d=|
uuur PA
所以PB 平面EFD X
D
C Y
B
例2：如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱 PD⊥底面ABCD，PD=DC,E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F. (2)求证：PB⊥平面EFD

立体几何中的向量方法PPT课件

第17页/共67页
(2)假设在棱 AA1 上存在一点 P(0,0，z0)，使得 DP∥平面 B1AE.此时D→P＝(0，－1，z0)．又设平面 B1AE 的法向量 n＝(x，y，z)． ∵n⊥平面 B1AE，∴n⊥A→B1，n⊥A→E，得aa2xx＋＋zy＝＝00，.
第18页/共67页
取 x＝1，得平面 B1AE 的一个法向量 n＝1，－a2，－a. 要使 DP∥平面 B1AE，只要 n⊥D→P，有a2－az0＝0，解得 z0＝12. 又 DP⊄平面 B1AE，∴存在点 P，满足 DP∥平面 B1AE，此时 AP＝12.
第15页/共67页
• [审题视点] (1)证明两直线的方向向量数量积为零；(2)设存在点P(0,0，z0)，构建 z0的方程，若能求出z0的值，说明点P存在；(3)先求出两平面的法向量，利用二面角的平面角的度数即可得到关于a的方程，从而可求出a的值．
第16页/共67页
[解] (1)以 A 为原点，A→B，A→D，A→A1的方向分别为 x 轴， y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系(如右图)．
第32页/共67页
求两异面直线所成的角，用向量法就是求两直线上的两方向向量的夹角，但需注意二者范围的区别．同样地，利用向量法求二面角的大小，就是求两个半平面的法向量的夹角(或夹角的补角)．在空间直角坐标系中，常采用待定系数法求平面的法向量．
第33பைடு நூலகம்/共67页
[变式探究] [2013·济宁模拟]已知三棱锥 P－ABC 中， PA⊥平面 ABC，AB⊥AC，PA＝AC＝12AB，N 为 AB 上一点， AB＝4AN，M，S 分别为 PB，BC 的中点．
第25页/共67页
• 例2 [2012·重庆高考]如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝4，AC＝BC＝3， D为AB的中点．

人教B版高中数学选修2-1课件3.2《立体几何中的向量方法(二)》(新人教B)

|

( A1 A

AE ) (CB
a2 sin2

BF
)
a2 cos a2 cos cos( ) a2 cos cos( ) a2 cos2

a2 sin2
cos

1 cos
∴可以确定这个四棱柱相邻两个夹角的余弦值。
练习：
（1）如图4，60°的二面角
的棱上有A、B两点，直线AC、BD
分别在这个二面角的两个半平面
内，且都垂直AB，已知AB＝4，AC
＝6，BD＝8，求CD的长。 C
A B
D

图4
（2）三棱柱ABC-A1B1C1中，底面是边长为2的正三角形，∠A1AB＝45°，∠A1AC＝ 60°，求二面角B-A A1-C的平面角的余弦值。
A1 C1
所以 cos a2 b2 c2 d 2 .
2ab
回到图形问题库底与水坝所成二面角的余弦值为
a2 b2 c2 d 2 .
2ab
例2：如图3，甲站在水库底面上的点A处，乙站在水坝斜面上的点B处。从A，B到直线（库l底与水坝的交线）的距离AC和BD分别为 a 和 b ,CD的长为 c, AB的长为 d。求库底与水坝所成二面角的余弦值。
（回到图形问题）
例1：如图1：一个结晶体的形状为四棱柱，其中，
以顶点A为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹
角都是60°，那么以这个顶点为端点的晶体的对角
线的长与棱长有什么关系？
解：如图1，设AB AA1 AD 1，BAD
BAA1 DAA1 60
化为向量问题
D1 C1
依据向量的加法法则， A1

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2
),
则
cos
a b a b
l
l
a

m
b
a

m
例2 Rt ABC中，BCA 90 , 现将 ABC沿着
0
平面ABC的法向量平移到A B C 位置，已知 1 1 1
取A B 、A C 的中点D1、F ， BC CA CC1， 1 1 1 1 1
求BD1与AF 所成的角的余弦值. 1
CD 解：如图， AC a ，BD b ，化为向量问题根据向量的加法法则 AB AC c ，AB d .

B C D
CD DB

进行向量运算
d
2
A 图3
AB
2
( AC CD DB )
2
AB
a a
2 2
2
CD
2 2 2 2
2
BD
2
2 ( AC CD AC DB CD DB )
c c
b 2 AC DB b 2 CA DB 2 CA DB a
2
于是，得
b c
2
2
d
2
就是库底与水坝所成的二面角。设向量 CA 与 DB 的夹角为，
因此
2 ab cos a
2
b c d .
2
2
2
所以
cos
2 2
c
b 2 ( ab bc ac ) cos

cos
d
2
a
2
b c
2
2
2 ( ab bc ac )
空间“夹角”问题
1.异面直线所成角
设直线 l, m 的方向向量分别为a , b
若两直线 l , m
所成的角为 ( 0 ≤ ≤
空间“角度”问题
ZPZ
一、复习引入
用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”。
（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向
量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；（化为向量问题）（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；（进行向量运算）（3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。（回到图形）
cos cos AB , CD AB CD AB CD
B
C
L
D

A
例1：如图3，甲站在水库底面上的点A处，乙站在水坝斜面上的点B 处。从A，B到直线 l （库底与水坝的交线）的距离AC和BD分别为 a 和 b ,CD的长为 c , AB的长为 d 。求库底与水坝所成二面角的余弦值。
2 2 2
2
2
1 2
= 68
17
∴ CD
2
17
答: CD 的长为 2
.
注 :利用本题中的向量关系我们还可以倒过来求二面角的大小.
二面角的平面角
①方向向量法将二面角转化为二面角的两个面的方向向量（在二面角的面内且垂直于二面角的棱）的夹角。如图（2），设二面角 l 的大小为其中AB l , AB , CD l , CD
cos cos AB , CD AB CD AB CD
F1
B1
A1
C
D1
B y
A x
AF1 BD1
5 4 1 4 1 3 2 30 10 .
cos AF , BD1 1
| AF1 || BD1 |
30 10
所以 BD1与 AF1 所成角的余弦值为
2、二面角
①方向向量法将二面角转化为二面角的两个面的方向向量（在二面角的面内且垂直于二面角的棱）的夹角。如图（2），设二面角 l 的大小为其中AB l , AB 其他条件不变，可以计算出AB的长吗？
分析：由
2

AB
( AC CD DB ) AB
a
2
2 2
2
CD
2
2
BD
2 ( AC CD AC DB CD DB )
c b 2 ab cos
2
∴ 可算出 AB 的长。
（2）如果已知一个四棱柱的各棱长和一条
a
2
b c d 2 ab
2
2
2
.
回到图形问题
库底与水坝所成二面角的余弦值为
a
2
b c 2 ab
2
2
d
2
.
例1：如图3，甲站在水库底面上的点A处，乙站在水坝斜面上的点B 处。从A，B到直线 l （库底与水坝的交线）的距离AC和BD分别为 a 和 b ,CD的长为 c , AB的长为 d 。求库底与水坝所成二面角的余弦值。思考：（1）本题中如果夹角可以测出，而AB未知，
C
解:
CA 6
,
AB 4
, ,
2
B D
BD 8

A
且C A
AB,BD AB
CA, BD
120
∵C D
∴CD
2
CA AB BD
C A A B B D 2C A A B 2 A B B D 2C A B D
6 4 8 0 0 268
D1
A1 B1 D A B C
C1
对角线的长，并且以同一顶点为端点的各棱间的
夹角都相等，那么可以确定各棱之间夹角的余弦值吗？分析：如图，设以顶点 A 为端点的对角线
长为 d ，三条棱长分别为
则 d
2
各棱间夹角为 a， b， c，
2
。
A1C
a
2
2
( AB AC CC 1 )
向量的有关知识：
两向量数量积的定义：a· b=|a|· |b|· cos 〈a,b〉
两向量夹角公式：cos 〈a,b〉 =
a b a b
直线的方向向量：与直线平行的非零向量平面的法向量：与平面垂直的向量
(课本第107页练习2)如图，60°的二面角的棱上有A、B两点，直线AC、BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直AB，已知 AB＝4，AC＝6，BD＝8，求CD的长.
F1
C1
C
B1
D1
A1
B A
解：以点C为坐标原点建立空间直角坐标系 C xyz 如图所示，设 CC1 1 则： z C1
A(1, 0, 0), B(0,1, 0),
1 1 1 F1 ( , 0, a ), D1 ( , ,1) 2 2 2 1 所以： AF1 ( , 0,1), 2
BD1 ( 1 2 , 1 2 ,1)