不等关系
北师大版数学八年级下册2.1《不等关系》教案
北师大版数学八年级下册2.1《不等关系》教案一. 教材分析《不等关系》是北师大版数学八年级下册第2.1节的内容，主要介绍不等式的概念和基本性质。
这一节内容是学生学习不等式的重要基础，对于培养学生的逻辑思维和解决问题的能力具有重要意义。
二. 学情分析学生在学习这一节内容前，已经学习了有理数、方程等基础知识，对于数学符号和运算有一定的了解。
但他们对不等式的概念和性质可能还比较陌生，需要通过实例和练习来逐步理解和掌握。
三. 教学目标1.了解不等式的概念和基本性质。
2.学会用不等式表示实际问题中的不等关系。
3.培养学生的逻辑思维和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.不等式的概念和基本性质。
2.如何用不等式表示实际问题中的不等关系。
五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法和小组合作法，引导学生通过观察、思考、讨论和操作，自主探索不等式的概念和性质，提高学生的参与度和实践能力。
六. 教学准备1.PPT课件2.教学案例和练习题3.小组讨论材料七. 教学过程1.导入（5分钟）利用PPT课件，展示一些实际问题中的不等关系，如身高、体重、温度等，引导学生思考如何用数学符号表示这些不等关系。
2.呈现（10分钟）介绍不等式的概念和基本性质，通过示例和讲解，让学生理解不等式的含义和运用。
3.操练（10分钟）让学生分组讨论，选取一些实际问题，尝试用不等式表示不等关系，并互相交流分享。
4.巩固（10分钟）针对每组的问题，选取几个进行讲解和分析，引导学生正确理解和运用不等式。
5.拓展（10分钟）让学生尝试解决一些不等式相关的应用题，提高学生解决实际问题的能力。
6.小结（5分钟）对本节课的内容进行总结，强调不等式的概念和性质，提醒学生注意运用时的细节。
7.家庭作业（5分钟）布置一些有关不等式的练习题，让学生巩固所学知识，提高解题能力。
8.板书（课后整理）总结本节课的主要内容和知识点，方便学生复习和回顾。
教学过程每个环节所用的时间如上所示，供您参考。
不等关系与不等式 课件
用不等式(组)表示不等关系
[典例] 某家电生产企业计划在每周工时不超过40 h的情 况下，生产空调、彩电、冰箱共120台，且冰箱至少生产20 台．已知生产这些家电产品每台所需工时如下表：
家电名称 空调
彩电
冰箱
工时(h)
1 2
用不等式性质求解取值范围 [典例] 已知1＜a＜4,2＜b＜8，试求2a＋3b与a－b的取值 范围． [解] ∵1＜a＜4,2＜b＜8，∴2＜2a＜8,6＜3b＜24. ∴8＜2a＋3b＜32. ∵2＜b＜8，∴－8＜－b＜－2. 又∵1＜a＜4，∴1＋(－8)＜a＋(－b)＜4＋(－2)， 即－7＜a－b＜2. 故2a＋3b的取值范围是(8,32)，a－b的取值范围是(－7,2)．
数式的大小比较
[典例] (1)已知x<1，比较x3－1与2x2－2x的大小；
(2)已知a>0，试比较a与1a的大小． [解] (1)(x3－1)－(2x2－2x) ＝(x－1)(x2＋x＋1)－2x(x－1) ＝(x－1)(x2－x＋1)
＝(x－1)x－122＋34. ∵x<1，∴x－1<0.又x－122＋34>0， ∴(x－1)x－122＋34<0. ∴x3－1<2x2－2x.
(2)因为a－1a＝a2－a 1＝a－1aa＋1， 因为a>0，所以当a>1时，a－1aa＋1>0，有a>1a； 当a＝1时，a－1aa＋1＝0，有a＝1a； 当0<a<1时，a－1aa＋1<0，有a<1a. 综上，当a>1时，a>1a； 当a＝1时，a＝1a； 当0<a<1时，a<1a.
3-1《不等式与不等关系》课件(共29张PPT)
abab0 a b ab 0 abab0
作差比较法
这既是比较大小(或证明大小)的基本方法,又是推导不等式的性质Байду номын сангаас基础.
作差比较法其一般步骤是:
作差→变形→判断符号→确定大小.
因式分解、配方、 通分等手段
比较两个数(式)的大小的方法:
例2．比较x2－x与x－2的大小.
am a
am a
作差
变形 定符号 确定大小
问题探究（三）不等式的性质的应用
性质１:对称性
a<b
b>a
性质２:传递性
a b，b c a c
性质３:可加性
a b ac bc
性质４:同正可乘性
a b，c 0 ac bc a b，c 0 ac bc
性质５:加法法则 (同向不等式可相加)
故选A．
变式 5、给出下列结论： ①若 ac>bc，则 a>b； ②若 a<b，则 ac2<bc2； ③若1a<1b<0，则 a>b； ④若 a>b，c>d，则 a－c>b－d； ⑤若 a>b，c>d，则 ac>bd. 其中正确结论的序号是________．
[答案] ③
问题探究（四）利用不等式的性质求取值范围
例 6、已知－6<a<8,2<b<3，分别求 2a＋b，a－b，ab的取值范围．
分析:欲求 a－b 的取值范围，应先求－b 的取值范围，欲求 ab的取值范围，应先求1b的取值范围．
解析:∵－6<a<8，∴－12<2a<16， 又∵2<b<3，∴－10<2a＋b<19. ∵2<b<3，∴－3<－b<－2，∴－9<a－b<6. ∵2<b<3，∴13<1b<12， ∵－6<a<8，∴－2<ab<4.
不等关系
§3.1 不等关系教学目标一、知识与技能：通过具体情景，感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，了解不等式（组）的实际背景；掌握作差比较法判断两实数或代数式大小二、过程与方法：经历由实际问题建立数学模型的过程，体会其基本方法；通过解决具体问题，体会数学在生活中的重要作用，培养严谨的思维习惯三、情感态度与价值观：体会实际与建摸，关系比较的方法与思路教学重点，难点(1)通过具体情景，建立不等式模型；(2) 掌握作差比较法判断两实数或代数式大小．教学流程一．问题情境在日常生活、生产实际和科学研究中经常要进行大小、多少、高低、轻重、长短和远近的比较，反映在数量关系上就是相等与不等两种情况。
等的情况常常成为等式与方程，不等的情况呢？引入主题：不等关系。
二．学生活动1、看书：P67~P682、思考1：如何刻画不等关系？（可以用不等式(组)来刻画不等关系．表示不等关系的式子叫做不等式,常用(<>≤≥≠，，，，)表示不等关系.）3、如何建立不等关系？建立不等式模型：通过具体情景，对问题中包含的数量关系进行认真、细致的分析，找出其中的不等关系，并由此建立不等式．练习1、某钢铁厂要把长度为4000mm的钢管截成500mm和600mm两种．按照生产的要求，600mm钢管的数量不能超过500mm钢管的3倍．怎样写出满足上述所有不等关系的不等式呢？解：假设截得的500mm钢管x根，截得的600mm钢管y根．根据题意，应有如下的不等关系：5006004000, 3,,.x yx yx Ny N+≤⎧⎪≥⎪⎨∈⎪⎪∈⎩说明：关键是找出题目中的限制条件，利用限制条件列出不等关系练习2、某校学生以面粉和大米为主食．已知面食每100克含蛋白质6个单位，含淀粉4个单位；米饭每100克含蛋白质3个单位，含淀粉7个单位．某快餐公司给学生配餐，现要求每盒至少含8个单位的蛋白质和10个单位的淀粉．设每盒快餐需面食x百克、米饭y百克，试写出,x y满足的条件．解：,x y 满足的条件为63847100x y x y x y +≥⎧⎪+≥⎪⎨≥⎪⎪≥⎩．三．建构数学找出数值后，常常需要判断两个数的大小关系，如何判断呢？根据a-b>0⇔a>b,故常用作差比较法来比较两实数大小的方法；具体步骤是：作差——变形——判断四．数学运用例1、a m b m ++与a b（其中0b a >>，0m >）． 分析：此题属于两代数式比较大小，实际上是比较它们的值的大小，可以作差，然后展开，合并同类项之后，判断差值正负，并根据实数运算的符号法则来得出两个代数式的大小． 解：()()()()()a m ab a m a b m m b a b m b b b m b b m ++-+--==+++， ∵0b a >>，0m >，∴()0()m b a b b m ->+，所以a m a b m b +>+． 作差——变形——判断中，第一种常用的变形就是分解因式，根据各因式的符号判断整个符号。
2.1.1不等关系与重要不等式课件(人教版)
当且仅当 = = 时，等号成立
4 课堂训练
4
课堂训练
C
C
4
课堂训练
≥ 0
+ >
16 ≤ ≤ 18
2 + 2 > 3
5 预习自测
5
预习自测
√
√
×
√
5
预习自测
C
<
= 2 + 5 + 6 − 2 + 5 + 4
=2
∵2＞0，
∴ +2 +3 ＞ +1 +4 .
作差
变形
0是相等与不等的分界
限，它也为比较实数的大
定号
定论
小提供了标杆.
2
实数大小的比较
再
已知，均为正数，且 ≠ ，比较3 + 3与2 + 2的大小
【解】运用作差法：
【问题4】 ：如何证明重要不等式？
2
2
2
证明： (a b ) - 2ab (a b)
当a b时, (a b) 0
2
当a b时, ( a b )2 0
(a 2 b 2 ) 2ab 0,
当 且 仅 当 a b时 ， 等 号 成 立 。
3
一个重要不等式
B
D
（3）S与S’会出现相等的情况吗，什么时候相
当a=b时
等？ 当a=b时，S=S'，即 + =
A
C
E(FGH)
B
综上， + ≥
重要不等式
以“大单元教学”促进核心素养的发展——以“不等关系”的教学设计为例
２０２３年９月上半月㊀争鸣探索㊀㊀㊀㊀以 大单元教学 促进核心素养的发展以 不等关系 的教学设计为例◉江苏省太仓高级中学㊀王文彬㊀㊀摘要:大单元教学是将数学知识整体化㊁综合化㊁系统化的过程,它对发展学生的数学核心素养具有重要意义．文章以 不等关系 教学内容的剖析为起点,分别从情境导入㊁概念生成㊁概念应用与回顾总结四个方面展开教学,并针对性地提出了一些教学思考．关键词:大单元;不等关系;核心素养㊀㊀单元教学是指以教材为依据,将教学内容从系统性㊁整体性与综合性等方面进行优化组合,形成新的单元架构的教学方式．倡导基于学科核心素养发展的单元教学,不仅能推动学生思维的发展,还能带动学生的学习热情,增强学生的创新能力[１]．事实证明,单元教学对于教学设计与核心素养的衔接有着得天独厚的优势．１ 不等关系 教学内容剖析不等式 是高中阶段的重要章节,其中 不等关系 作为章节的起始课,被不少师生直接忽略掉．究其主要原因在于原来学生在初中阶段就接触过不等关系的相关内容,导致大家在心理上轻视它．事实上,不等关系是后续一元二次不等式以及二元一次不等式(组)所表示的平面区域㊁线性规划问题㊁不等式证明等的基础．它就像一座大厦的根基,只有夯牢基础,才能建起高楼大厦．２教学设计２．１情境导入调查发现,不少教师在本节课的教学中,大多是先为学生提供一组不等关系的例子,引导学生从这组例子中自主抽象出不等关系,构建不等式．这种设计虽说联系了生活实际,且以不等关系为核心而展开,但细细琢磨,总觉得少了点什么．从概念教学的常用方式来看,教师应想方设法模拟概念产生的背景,实现知识的 再创造 ,让学生切身体验概念的形成与发展过程．不论是从纯数学还是从生活背景出发,等量与不等量关系均是同时存在的一种常见现象．教学中教师可创设一个能让学生切身体验的仿真背景,通过异同㊁分类等的观察,形成等量关系的研究方法与内容对不等量关系知识与方法上的正迁移．为此,笔者在本节课伊始提供了大量与 等量与不等量关系 相关的实例,并结合实例提出如下几个问题供学生思考:①通过对实例的分析,发现它们在数量上存在哪些关系?②说一说表示数量关系的词语．③请再举几个具有不等关系的实例．设计意图:生活实例的引入,引导学生感知生活处处皆数学的理念,并充分感知不等关系的形成与生活的关系,揭示本节课教学的必要性与重要性．同时,几个问题的提出,意在引导学生初步感知如何用数学语言准确描述生活现象,这对数据分析能力的培养具有重要意义．该教学设计还蕴含了一个重要的教学难点,即怎样将现实生活中存在的不等关系用数学中关于 量 的不等形式来刻画．一旦明确了这个刻画过程,则成功促进了学生用数学语言表达世界的能力( 三会 能力之一)的发展．２．２概念生成问题１㊀请例举一些不等关系的真实案例．问题２㊀怎样表示其中的不等关系?问题３㊀请尝试用数学符号语言来表述其中的不等关系．这三个问题成功激起了学生的探索欲．学生自发进入合作学习模式,通过交流,自主获得 用不等式来表达不等关系 的思想．问题４㊀说说什么是不等式你所知道的不等符号有哪些?学生通过对不等符号 ＜,＞,ɤ,ȡ,ʂ 的回忆,提出用这些符号连结的式子为不等式．设计意图:四个问题循序渐进地启发了学生的思维,让学生亲历用数学的眼光观察世界到描述世界的整个过程．从学生的角度而言,这是将问题迁至数学本身的过程,学生从中体验到建立数学模型的重要方法．２．３理解与应用概念问题５㊀若某景点的门票为５０元/人,经统计,该景点每天的游客数量大约在２万人左右．调查发现,若门票价格每降低１元,每天就能增加１０００名游客,为了确保安全与游览品质,每天游览总人数不得超过３１９Copyright©博看网. All Rights Reserved.争鸣探索２０２３年９月上半月㊀㊀㊀万人．如果门票降低x 元(x ɪN ∗)且确保了景点的安全,那么x 的取值范围是什么?(学生自主解决问题,并反思研究过程．)问题６㊀若某景点的门票为５０元/人,经统计,该景点每天的游客数量大约在２万人左右．调查发现,若门票价格每降低１元,每天就能增加１０００名游客,如果门票降低x 元(x ɪN ∗)且要确保售卖一天的门票金额大于１２０万元,那么x 的取值范围是什么?问题７㊀游客到该景点的餐厅吃饭,发现快餐的原材料由甲㊁乙㊁丙三种食材组成,每种食材的维生素含量见表１．表１单位:k g维生素A维生素B 甲３００７００乙５００１００丙３００３００㊀㊀若想将这三种食材混合为１００k g 的食品,且使得混合而成的食品中至少要含有４００００单位维生素B 与３５０００单位的维生素A ,若从甲㊁乙两种食材中分别取x k g ,y k g ,写出x ,y 所满足的数量关系．设计意图:引导学生应用原有的研究经验与新建构的数学知识解决实际问题,可让学生再次感知不等式在研究实际问题中的重要性．学生经过以上几个问题的探究,体验从现实问题中建构数学模型的过程与方法,为数学核心素养的发展奠定基础．问题５~７让学生体验到本节课的重要知识点:一元一次不等式㊁一元二次不等式(组)．这三个问题不仅仅承载着不等式建模,还从大单元的角度揭示了单元研究主题．当然,一元一次不等式(组)作为学生已有的知识结构,教师通过问题５引发学生对研究方法的回顾与思考,为本节课的教学奠定了基础．学生在此过程中,不仅体验到大单元教学的整体性,还从研究方法的回顾与研究中感知到数形结合㊁函数㊁分类讨论等重要的数学思想方法．随着 研究什么 怎样研究 等问题的突破,学生自主将整个 不等式 单元的研究方法与内容串联在一起．图１问题８㊀如图１,此为２００２年国际数学家大会的会徽简图,该图是根据我国赵爽弦图设计而来．通过对这张图的观察,说说你能从中得到的等式与不等式．问题９㊀通过以上分析,说说对于实际问题,该怎样建立不等式模型?学生经过讨论,认为从实际问题中抽象出不等式模型遵循如下规律:确定能够进行大小比较的量 分析其大小关系 用不等式表示．设计意图:赵爽弦图内涵丰富,是数学文化的典范,凝聚着数形统一的美,且有更多言之不尽的味道．结合这个实例来研究不等式,不仅为学生提供了一次建立不等式模型的机会,也为后续教学奠定了基础,让学生充分感知数学文化的博大精深．２．４总结回顾问题１０㊀说一说你在本节课的收获与感悟．师生互动,将课堂明暗线进行整合．所谓的明线是指相关知识,暗线是指数学思想方法．师生共同从 不等式模型 的建立流程㊁不等式的研究内容与研究方法三个方面进行总结㊁整理．３教学思考３．１开展实践研究,提升 三会 能力章建跃提出:当下数学学科实现育人价值的关键在于踏踏实实开展数学教育实践研究,通过对核心素养为导向的案例分析,抽象出具体模型,实现从思维的抽象到具体的变化过程,体现出事物的具体性与整体性特征[２]．本节课,教师尽可能结合概念产生的生活背景,让学生感知研究不等关系的必要性．教师以一个个问题驱动学生的思维,让他们在身临其境中体验知识的形成与发展,感知其应用价值,学会应用数学的眼光㊁思维与语言来观察㊁思考与描述这个现实世界． 三会能力的发展为核心素养的形成奠定了基础．３．２关注建模过程,发展核心素养数学建模不仅完善了对新知的认识,还从一定意义上体现出数学思想方法的重要性[３]．本节课应用了函数思想㊁类比思想与数形结合思想,初步达成为发展数学核心素养而教的目的,从真正意义上实现了促进 四基与四能 发展的目标,将数学核心素养的发展落到了实处．３．３力求大单元思想,打破知识的界限上文从不等式大单元的视角出发,由宏观的角度凸显出数学 大主题 的思想,以师生积极的互动与问题的驱动,成功突破知识与知识㊁方法与方法之间的障碍,彰显出数学学科知识的系统性㊁整体性㊁连续性,以及数学思想方法的一致性特征．总之,大单元教学设计是从全局的角度来处理局部内容的教学方法,学生在此过程中通过独立思考㊁合作交流㊁反思等环节,形成 三会 能力,从真正意义上落实数学核心素养．参考文献:[１]姚新国．基于大单元教学设计理念下的教学思考[J ]．中学数学月刊,２０２０(５):７Ｇ１０．[２]章建跃．核心素养导向的高中数学教材变革(续４) «普通高中教科书 数学(人教A 版)»的研究与编写[J ]．中学数学教学参考,２０１９(２８):７Ｇ１１．[３]章飞,顾继玲．单元教学的核心思想与基本路径[J ]．数学通报,２０１９(１０):２３Ｇ２８．Z ２９Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。
高中数学新人教A版必修5课件：第三章不等式3.1不等关系与不等式4
2．已知
a>b>0，求证：
a b>
b a.
证明：因为 a>b>0，所以 a> b >0.①又因为 a>b>0，两边同
乘正数a1b，得1b>1a>0.②
①②两式相乘，得
a b>
b a.
利用不等式性质求代数式的取值范围
已知－1<x<4，2<y<3. (1)求 x－y 的取值范围； (2)求 3x＋2y 的取值范围． 【解】 (1)因为－1<x<4，2<y<3，所以－3<－y<－2，所以 －4<x－y<2. (2)由－1<x<4，2<y<3，得－3<3x<12，4<2y<6，所以 1<3x ＋2y<18.
A．ad＞bc
B．ac＞bd
C．a－c＞b－d
D．a＋c＞b＋d
解析：选 D.令 a＝2，b＝－2，c＝3，d＝－6，可排除 A，B，
C.由不等式的性质 5 知，D 一定成立．
若 x<1，M＝x2＋x，N＝4x－2，则 M 与 N 的大小关系为 ________．
解析：M－N＝x2＋x－4x＋2＝x2－3x＋2＝(x－1)(x－2)， 又因为 x<1，所以 x－1<0，x－2<0，所以(x－1)(x－2)>0，所 以 M>N. 答案：M>N
1．雷电的温度大约是 28 000 ℃，比太阳表面温度的 4.5 倍 还要高．设太阳表面温度为 t ℃，那么 t 应满足的关系式是 ________． 解析：由题意得，太阳表面温度的 4.5 倍小于雷电的温度， 即 4.5t<28 000. 答案：4.5t<28 000
不等关系与不等式 课件
不等式性质的应用
[探究问题] 1．小明同学做题时进行如下变形： ∵2<b<3， ∴13<1b<12， 又∵－6<a<8， ∴－2<ab<4. 你认为正确吗？为什么？
提示：不正确．因为不等式两边同乘以一个正数，不等号的方向不变， 但同乘以一个负数，不等号方向改变，在本题中只知道－6<a<8.不明确 a 值 的正负．故不能将31<b1<21与－6<a<8 两边分别相乘，只有两边都是正数的同向 不等式才能分别相乘．
2．由－6<a<8，－4<b<2，两边分别相减得－2<a－b<6，你认为正确吗？ 提示：不正确．因为同向不等式具有可加性与可乘性．但不能相减或相 除，解题时要充分利用条件，运用不等式的性质进行等价变形，而不可随意 “创造”性质．
3．你知道下面的推理、变形错在哪儿吗？ ∵－2<a－b<4， ∴－4<b－a<－2. 又∵－2<a＋b<2， ∴0<a<3，－3<b<0， ∴－3<a＋b<3. 这怎么与－2<a＋b<2 矛盾了呢？
0<x≤18，
x15－2x≥110.
[规律方法] 1．此类问题的难点是如何正确地找出题中的显性不等关系和隐性不等 关系． 2．当问题中同时满足几个不等关系，则应用不等式组来表示它们之间 的不等关系，另外若问题有几个变量，选用几个字母分别表示这些变量 即可．
3．用不等式(组)表示不等关系的步骤： (1)审清题意，明确表示不等关系的关键词语：至多、至少、不多于、 不少于等． (2)适当的设未知数表示变量． (3)用不等号表示关键词语，并连接变量得不等式．
不等关系观评课报告
不等关系观评课报告前言随着社会的不断发展和人们思想观念的逐渐更新，人们对于教育的态度也在发生着改变。
在以往的教学模式中，讲师通常会将学生视为相同的整体进行管理，忽略了每个学生的个体差异。
而不等关系理论的提出，为我们提供了一个更为全面的视角去理解教学中的差异，倡导在教育中注重个体的差异性和个性化需求。
不等关系理论的概念不等关系理论，是指在教学过程中学生之间以及学生和教师之间存在差异，即每个学生的学习能力、兴趣爱好、认知水平、家庭背景等方面存在差别。
在学习过程中，如果能够正确处理不同个体之间的关系，教师就能够发现并更好地发挥每个学生的优势，满足他们的需求，让每个学生都能发挥他们的最大潜力。
不等关系理论在教育中的应用根据不等关系理论，在教育中应用个性化教学法，为学生提供根据不同学生需求的教育方案。
在实际教学过程中，教师应该通过一系列方法去掌握每个学生的学习情况，了解每个学生的个体差异，以改善传统教学中以团体为单位的一贯做法。
同时，在课堂上，教师应该利用不等关系理论，将学生分为不同的层次，根据不同层次制定不同计划，以促进教学的成效。
例如，在学习语文时，教师应该先了解每个学生的语文基础知识水平，根据不同的水平制定有针对性的教学计划。
不等关系视野下的教育思考在以往的教学模式中，教育者往往会将学生视为一个群体，对所有学生进行相同的统一管理，而忽略了每个学生的个性差异。
这种教学模式的不谙，导致许多学生的个性差异无法得到发掘，限制了学生的发展。
正是在这种背景下，不等关系理论的提出，为我们提供了一种更加全面的视角。
在这种视野下，我们将能够更好地发掘每个学生的个性差异，根据每个学生的学习能力和个性需求做出不同的教育方案，提高教学的效果。
不等关系视野的限制虽然不等关系理论提出的是一种非常优秀的教学模式，但这种视野下的教学模式又不能完全包容所有的学生。
在实际教学中，我们也遇到过一些个体性差异非常大的学生，他们可能因为生理或心理等原因，难以满足不等关系视野的教学需求。
高中数学必修五不等关系与不等式教案
第三章不等式必修5 3.1 不等关系与不等式一、教学目标1.通过具体问题情境, 让学生感受到现实生活中存在着大量的不等关系；2.通过了解一些不等式（组）产生的实际背景的前提下, 学习不等式的相关内容；3.理解比较两个实数（代数式）大小的数学思维过程.二、教学重点:用不等式（组）表示实际问题中的不等关系, 并用不等式（组）研究含有不等关系的问题.理解不等式（组）对于刻画不等关系的意义和价值.三、教学难点:使用不等式（组）正确表示出不等关系.四、教学过程:（一）导入课题现实世界和生活中, 既有相等关系, 又存在着大量的不等关系我们知道, 两点之间线段最短, 三角形两边之和大于第三边, 两边之差小于第三边, 等等.人们还经常用长与短, 高与矮, 轻与重, 大与小, 不超过或不少于等来描述某种客观事物在数量上存在的不等关系.在数学中, 我们用不等式来表示这样的不等关系.提问：1.“数量”与“数量”之间存在哪几种关系？ (大于、等于、小于)..2.现实生活中, 人们是如何描述“不等关系”的呢？（用不等式描述）引入知识点:1.不等式的定义: 用不等号<、>、≤、≥、≠表示不等关系的式子叫不等式.2.不等式a b的含义.不等式应读作“大于或者等于”, 其含义是指“或者> , 或者= ”, 等价于“不小于, 即若> 或= 之中有一个正确, 则正确.3.实数比较大小的依据与方法.（1）如果是正数, 则；如果等于零, 则；如果是负数, 则.反之也成立, 就是（>0 > ；=0 = ；<0 < ）. （2）比较两个实数与的大小, 需归结为判断它们的差的符号, 至于差的值是什么, 无关紧要.（二）基础练习1.用不等式表示下面的不等关系:（1）a与b的和是非负数；（2）某公路立交桥对通过车辆的高度h“限高4m”；解: （1）；（2）.2.有一个两位数大于50而小于60, 其个位数字比十位数字大2.试用不等式表示上述关系（用和分别表示这个两位数的十位数字和个位数字）.解: 由题意知43481158451111a a ⇒<<⇒<<. 3.比较（a +3）（a -5）与（a +2）（a -4）的大小.解: （ +3）（ -5）-（ +2）（ -4）=（ 7<0,∴（a +3）（a -5）<（a +2）（a -4）.（三）提升训练1.比较 与 的大小, 其中 R.解：()2222223333333333322244x x x x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-=-+=-+-+=-+≥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦ 0>，233x x ∴+>.方法总结: 两个实数比较大小, 通常用作差法来进行, 其一般步骤是:第一步: 作差；第二步: 变形，常采用配方、因式分解等恒等变形手段，将差化积；第三步: 定号.最后得出结论..2.小明带了20元钱去超市买笔记本和钢笔.已知笔记本每本2元, 钢笔每枝5元.设他所能买的笔记本和钢笔的数量分别为 , , 则 , 应满足关系式3.一个盒中红、白、黑三种球分别有 个、 个、 个, 黑球个数至少是白球个数的一半, 至多是红球的 , 白球与黑球的个数之和至少为55, 使用不等式将题中的不等关系表示出来（ N*）. 解：,3255.x y z y z ⎧≥≥⎪⎨⎪+≥⎩（四）课后巩固练习题：1,2.. 习题3..A 组：1,2.。
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[思路探索] 根据维生素A和B分别至少为56 000单位和63 00
0单位列出不等式(组)． 解 依题意得c＝11x＋9y＋4z，
又x＋y＋z＝100 ∴c＝400＋7x＋5y
600x＋700y＋400z≥56 由 800x＋400y＋500z≥63
000 000
及z＝100－x－y
3．1 不等关系
【课标要求】 了解现实世界和日常生活中的一些不等关系．
【核心扫描】
1．了解现实世界和日常生活中的一些不等关系．(重点) 2．从实际情境中抽象出不等式．(难点)
自学导引 1．关于实数a、b大小的比较： a－b＞0⇔ a>b a－b＝0⇔ a＝b a－b＜0⇔ a<b 试一试：不等关系与不等式有何区别？ 提示 不等关系强调的是量与量之间的关系，而不等式则
2x＋3y≥160 得 3x－y≥130
2x＋3y≥160 3x－y≥130 ∴x，y所满足的不等关系为 x≥0 y≥0
题型二 比较两数(式)的大小
【例2】 (1)已知x＜1，比较x3－1与2x2－2x的大小．
(2)已知a＞0，b＞0，比较aabb与abba的大小． [思路探索]
范围． (待定系数法)：
设 f(－2)＝4a－2b＝m(a－b)＋n(a＋b)
m＋n＝4， 所以 －m＋n＝－2 m＝3， 解得 n＝1.
所以 f(－2)＝3(a－b)＋(a＋b)． 又因为 1≤a－b≤2， 所以 3≤3(a－b)≤6 因为 2≤a＋b≤4. 所以 5≤3(a－b)＋(a＋b)≤10. 即 5≤f(－2)≤10.
bc；
想一想：若a＞b＞0，当n＜0时，an＞bn成立吗？
提示 不成立，如当a＝3，b＝2，若n＝－1， 1 1 －1 则3 ＝ ＜2 ＝ . 3 2
－1
名师点睛
1．a≤b或a≥b的含义
不等式a≤b读作“a小于或者等于 b”，其含义是指“或者a ＜b或者a＝b”等价于“a不大于b”即若“a＜b或a＝b”之中有
一个正确，则a≤b正确，a≥b读作“a 大于或等于 b”，其含义是
指“或者a＞b，或者a＝b”等价于“a不小于b”即若“a＞b或a ＝b”之中有一个正确，即a≥b正确． 2．比较两个数(式)大小的方法 (1)作差法：作差→变形→定号． (2)作商法：作商→变形→与1比较大小．
3．理解不等式的性质
(1)不等式的性质是不等式的基础知识，是不等式变形的依
a (3)当a＜b时，0＜ ＜1，a－b＜0， b a a－b ∴( ) ＞1，∴aabb＞abba. b 综上可知，当a＞0，b＞0时，aabb≥abba.
规律方法 比较两数(式)常用的方法有作差法和作商法 (1) 作差法的关键是变形，变形中常用方法有：①因式分 解； ②配方；③通分． (2) 作商法常用于比较两数 ( 式)需同号，一般情况下，比较
据，每一步变形，都应有根有据，记准适用条件是关键，不准 强化或弱化它们成立的条件，盲目套用．
(2) 性质 4 中①当 c ＞ 0 时，得同向不等式．②当 c ＜ 0 时，得
异向不等式．③当c＝0时，ac＝bc. (3)性质5是同向不等式相加得同向不等式，并无相减式． (4) 性质 6 是均为正数的同向不等式相乘，得同向不等式， 并无相除式．
(2)∵a＞0，b＞0，∴aabb＞0，abba＞0，
a－b aabb a a a－b ∴ b a＝ a－b＝( ) . ab b b
a 讨论：(1)当a＞b时， ＞1，a－b＞0， b a a－b ∴( ) ＞1， b ∴aabb＞abba. a (2)当a＝b时， ＝1，a－b＝0， b a a－b ∴( ) ＝1， b ∴aabb＝abba
(5)性质7、8成立的条件：“n是大于1的整数，a＞b＞0”对 于a、b均为正数这个条件不能忽略，即a＞b⇒a ＞b ，
n n
n
a＞ n
n
b
是不一定成立的，当n取不小于3的正奇数时，可放宽条件，命题 仍成立，即有a＞b⇒a ＞b (n＝2k＋1，k∈N )，a＞b⇒ a ＞ b(n ＝2k＋1，k∈N*)
两个正数间的大小关系多用作商法．
题型三
利用不等式的性质求取值范围
【例 3】 已知 12<a<60,15<b<36. a 求：a－b，b的取值范围． 审题指导 求含字母的数(式)的取值范围时，一要注意题设
中的条件，二要正确使用不等式的性质，尤其是两个同方向的
不等式可加不可减可乘不可除． 【解题流程】
是用来表示不等关系的式子，不等关系是通过不等式来体现的
2．常用的不等式的基本性质： (1)a＞b⇔b＜ a； (2)a＞b，b＞c⇒a ＞ c； (3)a＞b⇔a＋c＞ b＋c；
(4)a＞b，c＞0⇔ac ＞ bc；a＞b，c＜0⇔ac ＜ (5)a＞b，c＞d⇒a＋c ＞ b＋d；
(6)a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac ＞ bd； (7)a＞b＞0，n∈N，n≥2⇒an ＞ bn； n ＞ n (8)a＞b＞0，n∈N，n≥2⇒ a b
解 (1)x3－1－(2x2－2x)＝x3－2x2＋2x－1 ＝(x3－x2)－(x2－2x＋1) ＝x2(x－1)－(x－1)2＝(x－1)(x2－x＋1) 12 3 ＝(x－1)[(x－ ) ＋ ] 2 4 ∵x＜1，∴x－1＜0 12 3 又∵(x－ ) ＋ ＞0 2 4 12 3 ∴(x－1)[(x－ ) ＋ ]＜0 2 4 ∴x3－1＜2x2－2x.
n n *
n
题型一 用不等式(组)表示不等关系
【例1】 已知甲、乙、丙三种食物的维生素A、B含量及成 本如下表： 甲 乙 丙 维生素A(单位/kg) 600 700 400 维生素B(单位/kg) 800 400 500 11 9 4 成本(元/kg) 若用甲、乙、丙三种食物各x kg、y kg、z kg配成100 kg的 混合食物，并使混合食物内至少含有56 000单位维生素A和63 00 0单位维生素B. 试用x、y表示混合食物成本c元，并写出x、y所满足的不等 关系．
【题后反思】 利用性质求范围问题的基本要求
(1)利用不等式性质时，要特别注意性质成立的条件，如同
向不等式相加，不等号方向不变，两边都是正数的同向不等式 才能相乘等．
(2)要充分利用所给条件进行适当变形来求范围，注意变形
的等价性．
例4、设f(x)＝ax2＋bx且1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，求f(－2)的取值