灵活建构平面图形 凸显向量几何本色
复习“平面图形”与“立体图形”,发展学生空间观念
复习“平面图形”与“立体图形”，发展学生空间观念作者：高芳来源：《小学教学参考·中旬》 2015年第5期江苏苏州工业园区莲花学校（２１５１２３）高芳［摘要］“平面图形”与“立体图形”的辨析是学生学习的难点，结合教学实例从“数学活动体验”“数学视角迁移”“动态感知升华”三个方面，探寻如何“由‘形’与‘体’发展学生的空间观念”，让学生掌握辨析‘形’与‘体’的基本技能，再生数学学习能力。
［关键词］平面图形立体图形空间观念［中图分类号］G623.5［文献标识码］A［文章编号］1007-9068（201５）１４-074“平面图形”与“立体图形”的辨析，一直是学生“图形与几何”领域学习时容易混淆的两个概念。
因为“点”、“直线”和“平面”都是看不见、摸不着的“想象图形”；其“似有非有、若有若无”的虚幻性令学生感到“难以琢磨”。
不仅如此，“平面图形”和“立体图形”的形成还需要在“点”和“直线”的基础上“点动成线、线动成面、面围成体”，从而给学生的学习增加了难度。
如何以建立“形”与“体”的深刻体征为切入点，发展学生的空间观念呢？下面结合教学实例从“数学活动体验”“数学视角迁移”“动态感知升华”三个方面，探寻如何“由‘形’与‘体’发展学生的空间观念”，让学生掌握辨析‘形’与‘体’的基本技能，再生数学学习能力。
一、数学活动体验，积累“形”与“体”的空间观念经验学生的思维正处于由直观形象思维向抽象逻辑思维的过渡阶段，对空间与图形的认识很大程度上来自丰富的现实原型，依赖于直觉观察。
学生的空间知识与现实生活联系非常紧密，因此教学中，教师应尽可能为学生创造和提供机会，引导学生参与观察、比较，也就是引导学生学会认真观察周围的事物，重视现实生活中有关空间与图形的问题，让他们从视觉上去感受空间观念，从而逐步获得清晰表象，从视觉上去感知空间观念，积累空间观念的经验。
例如“圆”是一种平面图形，尽管学生没有学过由曲线围成的封闭图形，但是在实际生活中，他们见过无数平面是圆的实物。
巧用特殊平面图形,快速处理向量问题
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巧用特殊平面图形，快速处理向量问题
作者：邰淑华
来源：《理科考试研究·高中》2013年第01期
平面向量是高中数学的重要内容.把平面向量（高中内容）与平面几何（初中内容）融合
命题（以选择题或填空题的形式出现），已形成新高考试题中的一道靓丽风景.由于平面向量
中涉及到向量的长、两个非零向量所成角、平行、垂直与平面图形中的边、两条直线所成的角、平行、垂直有关密切的关系，因此，如果用一些特殊的图形（如平行四边形、矩形、菱形、直角三角形、等边（或等腰）三角形等）来整合向量的有关条件，那么可以使向量问题变得简单化、直观化，达到快速解题的目的.解决这类问题的主要方法是利用（分离）或构造三
种几何模型.
一、构造平行四边形
平行四边形，其中，菱形、长方形、正方形等中的几何关系较明显，利用构造特殊平行四边形的方法求解这类问题，可以取到事半功倍的效果.。
小学二年级美术重要知识归纳面的构和色彩的表现力
小学二年级美术重要知识归纳面的构和色彩的表现力图画是小学二年级美术课程中非常重要的一环，通过图画可以培养孩子们的观察力、想象力和创造力。
在绘画过程中，面的构和色彩的表现力是两个重要的知识点。
本文将对小学二年级美术中的面的构和色彩的表现力进行归纳与总结。
一、面的构面的构是指通过几何图形的组合来构成人物、物体或场景等绘画对象。
在小学二年级的美术课程中，面的构主要以简单的几何形状为主，如线段、圆形、三角形等。
1. 线段构面线段构面是通过连接线段来描绘物体的边缘形状。
在二年级美术课上，教师可以引导学生使用直尺和铅笔，通过画直线和连接直线，来构成各种形状的物体。
例如，可以通过画两条垂直线段和两条水平线段，构成一个正方形形状的物体。
2. 圆形构面圆形构面是通过绘制圆形或部分圆形来描绘物体的形状。
学生可以使用圆规或者其他工具，画出各种大小的圆形。
例如，可以画一个大圆和一个小圆，然后将小圆放在大圆的中间，构成一个苹果的形状。
3. 其他几何形状构面除了线段构面和圆形构面，还可以通过绘制三角形、方形、长方形等几何形状来构成物体的形状。
这些几何形状可以在绘画中灵活运用，帮助孩子们更好地描绘出各种物体和场景。
二、色彩的表现力色彩是绘画中非常重要的一部分，可以给画面增添生动和美感。
在小学二年级的美术课程中，色彩的表现力主要包括色彩的选择和色彩的运用。
1. 色彩的选择在选择色彩时，学生可以根据画面所要表现的内容、情感和氛围来选择合适的色彩。
例如，当要描绘春天的场景时，可以选择明亮的颜色，如鲜绿色和鲜黄色。
而当要描绘夜晚的场景时，可以选择深色调的颜色，如深蓝色和暗紫色。
2. 色彩的运用色彩的运用包括色彩的搭配和色彩的层次感。
在小学二年级的美术课程中，学生可以尝试不同的色彩搭配，如冷暖色搭配、对比色搭配等，来增加画面的层次感和视觉效果。
同时，学生还可以运用淡化和加深的技巧，来表现远近景的效果。
通过面的构和色彩的表现力的学习和实践，小学二年级的学生可以培养自己的绘画能力和艺术感知能力。
培养学生几何观利用形拼贴进行创造性思维训练
培养学生几何观利用形拼贴进行创造性思维训练几何观是指学生对于几何概念、关系和性质的认知和理解。
在数学学科中，培养学生良好的几何观对于其整体数学素养的提升至关重要。
而形拼贴作为一种创造性思维训练方法，为学生提供了锻炼几何观的机会。
本文将探讨如何利用形拼贴进行创造性思维训练，以及如何通过这一方法培养学生的几何观。
一、形拼贴的定义和意义形拼贴是一种通过将不同的几何形状（如正方形、三角形、圆形等）拼贴在一起，创造出新的图案和结构的活动。
这一活动需要学生观察、分析和组合不同形状，并运用创造性思维进行设计和创作。
形拼贴既可以进行纸上的拼贴，也可以通过实物材料进行实践，如积木、纽扣等。
形拼贴作为一种创造性思维训练方法，有以下几个方面的意义：1. 提升学生的几何观：通过形拼贴活动，学生能够更加直观地感受和理解不同几何形状之间的关系和特性。
他们可以通过观察和组合形状，探索和发现几何概念，并将其应用于实际情境中。
2. 培养学生的创造性思维：形拼贴要求学生在拼贴的过程中进行设计和创作，培养他们的创造性思维能力。
学生需要思考如何将不同形状组合，使其成为一个有意义的整体，从而锻炼他们的空间想象力和逻辑推理能力。
3. 增进学生的美感和审美能力：形拼贴活动可以培养学生的美感和审美能力，使他们对于形状、颜色和结构的组合有更深入的理解和感受。
通过创作和欣赏作品，学生能够培养对美的敏感性，提高审美水平。
二、形拼贴在几何观培养中的运用1. 引导学生观察和分析几何形状：在形拼贴活动中，教师可以引导学生仔细观察和分析不同的几何形状。
比如，教师可以提供一些形状的示例，要求学生找出它们的共同点和不同点，并尝试用自己的话语描述它们的性质和特点。
通过这样的引导，学生可以对几何形状建立更加清晰和准确的认知。
2. 进行形状的拼贴和组合：在形拼贴活动中，学生可以使用提供的几何形状，或者自己设计和制作几何形状，进行拼贴和组合。
学生可以追求对称、平衡和美感，通过拼贴和组合形状，创造出新的图案和结构。
高中一年级数学平面几何的初步认识
高中一年级数学平面几何的初步认识数学是一门广泛应用于各个领域的学科，而其中的几何学更是与我们的生活息息相关。
作为高中一年级的学生，我们对数学平面几何的初步认识十分重要。
通过对几何学的学习，我们可以培养思维能力、发展空间想象力，同时也为将来的学习打下坚实的基础。
本文将带领大家认识数学平面几何的基本概念、性质以及解题方法。
一、点、线和面在数学平面几何中，最基本的概念就是点、线和面。
点代表着一个位置，用大写字母表示，如A、B、C。
线由无数个点组成，用小写字母表示，如a、b、c。
面则是由无数条线组成的，用希腊字母表示，如α、β、γ。
点、线和面是几何学中不可分割的基本元素，它们是我们进行几何推理和解题的基础。
二、线段、射线和直线在数学平面几何中，除了点、线和面外，还有线段、射线和直线等概念。
线段是由两个点确定的部分，用AB表示，其中A、B两点是线段的端点。
射线以一个端点为起点，无限延伸的线段，常用AB表示，其中A是射线的起点，B是射线上的一点。
直线是由无数个点组成的，它没有起点和终点，用小写的字母表示，如l、m、n。
线段、射线和直线的认识有助于我们理解几何形状及其性质。
三、角和三角形在数学平面几何中，角和三角形是常见的几何元素。
角是由两条射线的公共端点所形成的图形，常用∠ABC表示，其中∠A为角的顶点，A、B、C为角的两条射线。
角可分为锐角、直角、钝角等不同类型。
三角形是由三条线段所围成的图形，用△ABC表示，其中A、B、C为三角形的顶点，连线AB、BC、CA为三角形的边。
三角形可分为等腰三角形、等边三角形、直角三角形等。
角和三角形是在解决实际问题和进行证明时经常出现的几何形状。
四、平行和垂直在平面几何中，平行和垂直是两个重要的关系。
两条直线如果在同一平面内永不相交，则称这两条直线平行，常用符号“∥”表示。
如果两条直线相交，且相交的角为直角（90度），则称这两条直线垂直，常用符号“⊥”表示。
平行和垂直是解决平面几何问题中必须掌握的概念，对于判断线段、角度和图形之间的关系非常有帮助。
构建几何直观 促进问题解决
构建几何直观促进问题解决作者：周燕吴小静来源：《湖北教育·教育教学》2021年第05期习数学的矛盾之一是抽象和形象的矛盾，几何直观是解决这一矛盾的有效方法。
教师在教学中要主动开发教材，寻找数学对象的直观模型，使学生易于解决问题，增进对数学知识的深入理解。
一、构建几何直观，促进算理理解几何直观的本质是通过图形展开的想象能力。
计算教学中，运用几何直观能帮助学生理解算理、解决问题。
《分数乘法》的教学，人教版教材分两步安排：分数乘整数→分数乘分数。
针对不同的素材，教材构造了不同的直观图，即圆形直观图—实物图—长方形直观图，目的都是从分数乘法的意义切入，让学生理解算理，掌握计算方法。
为了突破这一教学难点，教师根据学生的思维特点，引导他们参与折纸、涂色等操作活动，借助直观使其联系分数的意义，看到算式中每一部分在图上是如何表示的，说清楚“谁是谁的几分之几”，理解分数乘分数结果中的分母和分子分别是怎样来的。
学生通过直观图示和抽象推理，在推导过程中更好地理解了算理，提高了观察、操作、分析和推理等能力。
在“做一做”的练习中，教师引导学生再次经历说理的过程，这样做既巩固了分数乘法的算理，又为解决一些复杂的实际问题提供了分析方法。
事实上，整数、小数、分数的四则运算的算理理解过程都离不开几何直观方法的运用。
二、构建几何直观，理清数量关系理解题意是解决问题的首要步骤，也是解决问题的关键步骤。
面对一个复杂的问题，若能借助直观图形进行分析思考，可以使复杂的数量关系变得简明、内隐的数量关系变得形象，从而帮助学生理清数量关系，探索解决思路，轻松解决问题。
人教版一年级上册解决问题例6（如下图），教师是这样引入的：“大熊猫是我国的国宝，老师带领大家去动物园看大熊猫。
你们看，小朋友正井然有序地排着队看大熊猫呢，我们要向他们学习，在去动物园时也要排队。
”然后，教师引导学生观察题目，找到相关的数学信息，以及所求问题“小丽和小宇之间有几人”。
小班数学教案平面形拼搭
小班数学教案平面形拼搭一、引言在小班数学教学中，教师需要设计合适的教案来帮助孩子们学习。
平面形拼搭是一种非常适合小班数学教学的活动，它可以帮助孩子们培养空间思维能力和创造力。
本文将介绍平面形拼搭教案的设计和实施，帮助教师更好地进行小班数学教学。
二、教案背景小班数学教学是培养孩子们数学思维和逻辑思维的重要阶段，而平面形拼搭正是一种能够培养孩子们这些能力的活动。
平面形拼搭是指利用平面形状的图形，将它们进行组合、搭建，形成各种有趣的结构。
通过这种活动，孩子们可以学习到不同的几何形状、掌握几何关系，培养空间思维和创造力。
三、教学目标1. 认识常见的平面形状：正方形、长方形、三角形、圆形等。
2. 掌握平面形状之间的几何关系，如边长、内角度数等。
3. 培养学生的空间思维和创造力，锻炼他们的手眼协调能力和动手能力。
四、教学准备1. 教师准备多种平面形状的图形，包括正方形、长方形、三角形、圆形等。
2. 准备一些纸板和胶水等工具，用于拼搭。
3. 准备一些示例作品，用于激发学生的兴趣和想象力。
五、教学步骤1. 引入活动- 教师出示一些常见的平面形状，让学生观察并讨论它们的特点。
- 引导学生思考，这些形状可以如何进行拼搭，组成不同的结构。
2. 演示示范- 教师展示一些平面形拼搭的示例作品，让学生观察并猜测它们是如何拼搭出来的。
- 引导学生观察图形之间的几何关系，如边长、角度等。
3. 学生实践- 将学生分成小组，每组发放纸板、图形和胶水等材料。
- 让学生根据自己的想法和创意，进行平面形拼搭的实践活动。
- 鼓励学生在实践过程中思考，发现和解决问题，培养他们的创造力和解决问题的能力。
4. 分享和评价- 让每个小组展示他们的作品，分享自己的创意和心得体会。
- 教师和其他同学可以提出问题或评价，促进学生之间的交流和互动。
5. 总结和延伸- 教师对学生们的作品进行总结，引导他们发现规律和结论。
- 可以引导学生思考，平面形拼搭活动能够帮助他们在其他领域中运用吗？例如，建筑、工程等方面。
华东师大版七年级数学上册4.4 平面图形教案
华东师大版七年级数学上册4.4 平面图形教案4.4平面图形课题 4.4平面图形授课人教学目标知识技能1.通过平面图形的学习，巩固有关图形知识，进一步建立空间观念.2.掌握多边形的相关内容.3.能理解多边形可由三角形组合而成.数学思考1.在探索和实践的过程中，培养学生观察图形、分析图形和初步的几何语言表达能力.2.发展学生动手实践，自主探索的思考及想象、欣赏能力.问题解决能从具体的图案中找出熟悉的平面图形，了解多边形分割为三角形的规律.情感态度培养学生观察事物的习惯，培养学生勇于探索和积极参与的精神.教学重点多边形的识别及分类，并了解多边形分割为三角形的规律.教学难点对图形基本构成进行有条理的分析，并能用自己的语言表达出来.授课类型新授课课时教具多媒体教学活动教学步骤师生活动设计意图活动一：创设情境导入新课【课堂引入】(多媒体展示)虽然我们所处的世界是一个立体的世界，是一个三维的世界，但通过前面的学习，我们也知道，立体图形是由平面图形所组成的，我们也知道，有时我们观察物体都是从其表面开始的.生活物体硬币镜框塔的横截面三角旗扇子表面图形圆长方形六边形三角形扇形以各种实际生活中的精美平面图形为背景，吸引学生的注意力，引发他们的学习热情.活动二：实践探究交流新知【探究1】多边形的定义：由线段围成的封闭图形1.下面的几个图形是多边形吗？图4－4－5让学生自己探索，发现理解多边形定义时应注意的问题，有助于学生理解多边形的定义.多边形与三角形有密切的联系，任何一个多边形都可以按照一定的方法分割成若干个三角形，分割的方法不止一种，教学时让学生总结方法和结论，培养学生的发散思维能力、转化及分类讨论的数学思想.活动三：开放训练体现应用【应用举例】例1(1)判断下列图形哪些是多边形？图4－4－9(2)下列图形中，()不是四边形.图4－4－10针对本课时的重点所学进行及时巩固.活动三：开放训练体现应用【拓展提升】例2八边形至少可以分割成多少个三角形？过八边形边上一点连结各个顶点，能分成几个三角形？过八边形内一点与各个顶点相连，可分割成多少个三角形？请画出图形．想一想：一个n边形可以分割成多少个三角形？图4－4－12拓展提升是多边形分割成三角形的综合应用，利于提高学生思考的广度和深度，能够给予学生必要的知识补充.【达标测评】1.下列图形中，不是多边形的有()通过设置达标测评，进一步巩固所学新知，同时检测学习效果，做到“堂堂清”.图4－4－12A.3个B．4个C．5个D．6个2.下列图形中，多边形有()A.6个B．4个C．3个D．2个3.用不同的方法把图形全部分割成三角形，至少可以分割成10个三角形的多边形是()A.八边形B．十边形C.十二边形D．十四边形4.给下面的多边形写出一个合适的名称：图4－4－13活动四：课堂总结反思1.课堂总结：(1)本节课主要学习了哪些知识？学习了哪些数学思想和方法？(2)本节课还有哪些疑惑？说一说.2.布置作业：教材P136练习．指导学生养成系统整理知识的好习惯，加强教学反思，进一步提高教学效果.【知识网络】平面图形⎩⎪⎨⎪⎧常见的平面图形⎩⎪⎨⎪⎧三角形长方形圆多边形⎩⎪⎨⎪⎧定义分类分割提纲挈领，重点突出.活动四：课堂总【教学反思】①[授课流程反思]本节课以学生观察、猜想为主，要求学生多观察，大胆猜想．建立在有实物图形的基础上了解平面图形的相关内容.反思，更进一步提升.结反思②[讲授效果反思]在课堂上主要采取积极引导、主动参与、合作交流的方法来组织教学，让学生真正成为教学的主体，体会成功的喜悦，感知数学的奇妙.③[师生互动反思]整个教学流程较为顺利，学生充分发挥自主性，回答问题积极，问题难度适中，层次有序，学生学习效果显著.④[习题反思]好题题号____________________________ _____________错题题号____________________________ _____________。
构筑“立体”结构（几何直观）
构筑“立体”结构----小学数学中培养“几何直观”的策略谈瑞安市玉海中心小学娄朝兰【内容摘要】正“图形与几何”的教学主要意在帮助学生建立空间观念，注重培养学生的几何直观与推理能力。
几何直观主要是指利用图形描述和分析数学问题，可以把复杂的数学问题变得简明、形象。
几何直观不仅在“图形与几何”的学习中发挥着不可替代的作用，而且贯穿在整个数学学习过程中。
因此，在小学数学教学中，教师要重视并运用好“几何直观”，帮助学生构筑“立体”的认知结构。
【关键词】几何直观数形结合动手操作化静为动策略一、背景的描述在《小学数学课程标准（2011版）》中，提出了10个核心概念：数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力、模型思想、应用意识和创新意识。
把几何直观作为小学生数学学习的10大核心概念之一，体现了数学的基本思想。
为什么做这样的修改呢？数学是研究数量关系与空间形式的科学。
空间形式最主要的表现就是图形。
在数学研究、学习、教学中，不仅需要关注研究图形的方法、研究图形的结果，还需要感悟图形给我们带来的好处，几何直观就是在“数学――几何――图形”这样的一个关系链中让我们体会到它带来的最大好处。
图形可以帮助我们发现、描述研究的问题，可以帮助我们寻求解决问题的思路，可以帮助我们理解和记忆得到的结果。
几何直观在研究、学习数学中的价值由此可见一斑。
几何直观与“逻辑”“推理”也是不可分的。
几何直观常常是靠逻辑支撑的。
它不仅是看到了什么？而是通过看到的图形思考到了什么？想象到了什么？这是数学非常重要而有价值的思维方式。
几何直观会把看到的与以前学到的结合起来，通过思考、想象、猜想出一些可能的结论和论证思路，这也就是合情推理，它为严格证明结论奠定了基础。
几何直观在研究、学习数学中是非常重要的，它可以看做是最基本的能力。
二、概念的界定那么什么是几何直观呢？几何直观主要是指利用图形描述和分析问题。
借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。
华师大版数学七年级上册《4.4 平面图形》教学设计
华师大版数学七年级上册《4.4 平面图形》教学设计一. 教材分析《4.4 平面图形》是华师大版数学七年级上册的一个重要内容。
本节内容主要让学生初步认识平面图形，了解平面图形的性质，学会用坐标表示平面图形的位置，以及掌握用几何语言描述平面图形的方法。
教材通过丰富的实例和活动，引导学生观察、思考、探究，从而培养学生的空间观念和几何思维能力。
二. 学情分析七年级的学生已经具备了一定的几何知识，对一些基本的平面图形有了一定的了解。
但学生在小学阶段对图形的认识更多的是直观的，缺乏理性的分析。
因此，在教学过程中，教师需要关注学生的认知基础，通过引导学生观察、操作、思考，帮助学生建立平面图形的概念，培养学生用几何语言描述图形的能力。
三. 教学目标1.知识与技能：使学生掌握平面图形的性质，学会用坐标表示平面图形的位置，会用几何语言描述平面图形。
2.过程与方法：通过观察、操作、思考、交流等活动，培养学生的空间观念和几何思维能力。
3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生合作交流、积极探究的精神。
四. 教学重难点1.重点：平面图形的性质，坐标表示平面图形的位置，用几何语言描述平面图形。
2.难点：对平面图形的理解和用几何语言描述平面图形。
五. 教学方法采用问题驱动法、情境教学法、合作交流法等多种教学方法，引导学生观察、操作、思考，激发学生的学习兴趣，培养学生的问题解决能力和几何思维能力。
六. 教学准备1.教师准备：熟悉教材内容，了解学生的认知基础，设计好教学活动。
2.学生准备：预习教材内容，了解基本平面图形。
3.教学资源：多媒体教学设备、平面图形的相关图片或实物、坐标系图等。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过展示一些生活中的平面图形，如教室的黑板、电视屏幕、书本封面等，引导学生关注平面图形，激发学生的学习兴趣。
同时，让学生尝试用几何语言描述这些图形。
2.呈现（10分钟）呈现教材中关于平面图形的定义和性质，引导学生初步认识平面图形。
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解 法 探 究
学 谋
灵活建构 平面 图形 凸显 向量几何本 色
⑧ 浙 江 省 湖 州 二 中 刘 薇 沈 恒
向量在近年高考 中的地位越来越重要 ，其工具性作
用 已渗透到数学 的各 个分支． 由于 向量知识 易于 出难题 ， 因此 近年各 省高考选填题 中对 向量知识 的考查变得更加
实现数学创造． ■ 所 以 ｇ ， （ 。 ） ＞ ０ ， 故 ｇ （ 。 ） 在 Ｒ 上 是 单 调 递 增 ， 又 ｇ ｆ ÷ ） ＿ ｏ ， 当 。 ＜ 善数学学 习 ，
高 中 版 十。 ？ 耋 ｊ Ｉ ： ・ ？ — — ｌ Ｉ — 一
教 参
解 法 探 究
２ ０ １ ３年 ６月
巧， 将 向量 问题 利用 建构 “ 圆” 的方 式体 现得 淋 漓尽 致．
数 学基本思想 方法 中的数 形结合思想 、 化归转 化思想 深
蕴 其 中．
灵 活多变 ， 对 学生能力要求较高 ， 往往题型新颖或考查能
力要 求的试 题就成为学生的主要失分点．
＝
例１ （ ２ ０ １ １ 年全国 卷理１ ２ ） 设向ｆ ｉ ｔ ａ ， ｂ ， ｃ 满足 Ｉ ａ Ｉ ＝ ｌ ｂ Ｉ
易 得Ｉ Ｉ ＝ Ｉ 口 一 ｂ ｌ ＝ ｘ ／ ３， ； （ ￣ Ａ Ａ Ｂ Ｃ Ｏ ？ ，
记ｇ （ 。 ） ： （ ａ － １ ） ＂ ｋ ／ — ａ ２ － ６ ａ — ＋ １ ０＋ （ 口 一 ３ ） Ｎ ／ ａ — ２ － ２ ａ — ＋ １ ０， 求
导 得ｇ ， （ 。 ） ：＂ ｋ ／ — ａ Ｚ － ２ ａ — ＋ １ ０＋ 骊
故选Ａ ．
说明 ： 本题 仍 旧从 向量夹角的角度出发 ， 利用对角互
补四点共圆， 极为方便的解决了ｌ Ｃ ｌ 的最大值．
例２ （ ２ ０ １ ２ 年湖州 、 绍兴联考一模 ） 已知 向量ｎ ， ６ 满足
３ 所示 ，三角 形及 其 一边 上 的 高， 将本 问题利 用图形化转 化 ，
（ １ ）向量在具 体问题 中的运用主要体现于在 向量加 减法 、 数量 积 、 数乘 等基础上与其他知识 的融合 ； （ ２ ） 对 向量条件建构图形不够熟练 ， 不能从 图形化 的 角度 建构图形 、 解决 问题．
因此 ， 如何灵活建构图形 ， 巧妙解决 向量 问题是解决
分 析 ：向量ａ ， 易 满 足 夹 角 １ ２ ０ 。 ，且ａ — ｃ 与ｂ — Ｃ 夹角是 ６ ０ 。 ，
１， ａ． ｂ— １
，
笔者通过教学研究发现 ， 学生对使用 向量作 为工具 ，
（ 口 ＿ ｃ ， ｂ － ｃ ） ＝ ６ ０ 。 ， 则 的最大值等于（
Ｂ ． 了
Ｄ ． １
） ．
解决 问题的意识 、 能力不强 ， 主要体现在 向量 问题 的两个
方面：
Ａ． ２
Ｃ ． 、 ／
答案 已经跃然 纸上 ，其本 质是 点 到直线距离 概念 内涵 的几 何
１ ａ ｌ ＝ １ ｂ ・ ｌ ｂ ＝ ２ ， 且（ 口 － １ ｃ ） ・ （ ｂ － ２ ｃ ） － Ｏ ， 求Ｉ 易 － １ ｃ ｌ 的最小值
ｘ １ ３ ＝ 一 ６ ８ ＜ ０ ，所 以２ 一 ６ 叶ｌ ３ ＞ ０ 恒 成立．
同角度来 审视 ， 以不 同知识 内容为切人点 ， 探求 出不 同的
解 决方 案． 经 常这样 做 ， 能 开拓 思路 ， 沟通 知识 ， 掌 握规 律， 权衡解法优劣 ， 提高解题效率 ， 积 累解题活动经验 ， 完
（ ａ － １ ） ・ （ ａ 一 ３ ）
Ｖ＇ ａ 。 。 。 。 。 。 ２ 。 － 。 。 。 。 。 。 ２ 。 。 。 。 。 。 ａ 。 。 。 ＋ 。 。 。 。 。 。 。 １ 。 。 。 — ０ —
÷时， ｇ （ 口 ） ＜ ０ 口 ） ＜ ０ （ ｎ ） 为 减函 数； 当 ÷时， ｇ （ ａ ） ＞ ０ ，
，（ ｏ ） ＞ ０ ， ｆ （ 。 ） 为增函数 ， 从 而 可 知 函 （ ａ ） 有 最 小 值
２ 了， 此 时ａ ＝ ５
，
＋
％／ ａ Ｚ － ６ ａ ＋１ ０
＋
所 以 Ｐ （ 丢 ， １ ） ， Ⅳ （ ， １ ） ， 以 下 同 思 考
２ ａ ２ －１ ００ ＋２ ３
由正弦定理得： ２ Ｒ ＝ ｉ
Ｓｌ ｎ 一 Ａ 乙
＝
Ｓｌ ｎ ０Ｕ
＿ ２ ，
受到 向量试题 的独特魅 力． 几何背 景 隐蔽 ， 难 度也较 高 ，
平面 向量题 中第一 次引入参数 ， 激 活了更 多 的思想方 法． 仅仅一个参数ｔ ， 给 向量问题带来 了动感．
解析： 将问题 图形 化 ， 如 图
２ ｎ ｚ ＿６ ｎ ＋１ ３
１ ， 所以 过三点Ａ ， Ｐ ， Ｎ 的圆的圆 心坐标是ｆ ３ ， 一 ÷｝ ．
多维度 、 多层次 的探究与思考 ， 是指对 同一题 目从 不
、
、
丽
因为△ １ ＝ （ 一 １ ０ ） 一 ４ ｘ ２ ｘ ２ ３ ＝ 一 ８ ４ ＜ ０ ，所 以２ ａ ２ — １ ０ ａ ＋ ２ ３ ＞ ０
图１
Ａ ０ ０＝ １ ２ ０ 。 ， Ａ Ｃ Ｂ ＝ ６ ０ 。 ， 可
知 ４ｃ 的轨迹是优 弧 上一动 点 ，显 然当点Ｃ 为优 弧
、
建构 “ 圆”
中点时， Ｉ ｔ ｌ ＝ ｌ ｌ 取到最大值， 即为０ ， Ａ ， ， ｃ 四点所在
圆直径．
有 些 向量 试题 短小 精悍 ， 非 常 简洁 ， 且试 题新 意不 断， 亮点频出 ， 平 实 中显 精 巧雅 致 ， 解 法 上 既宽 又 活且
以四点共 圆来建 构图形．
解析 ： 如图１ ， 设 ｂ ， ＝ ｃ ， 则 ， ＝
Ｏ
选填 题的关键． 下面通过几个 问题谈谈笔者 的想 法 ， 来提 高学 生的建构意识 ， 强化学生理性建构 图形 的意识 ， 提高
学生解 决问题的能力．
一
－ ｃ ’ － ＂ ￣ ｌ － ￣ ，