高三复习经典专题13：题型最全的递推数列求通项公式2
最全的递推数列求通项公式方法
高考递推数列题型分类归纳解析各种数列问题在很多情形下，就是对数列通项公式的求解。
特别是在一些综合性比较强的数列问题中，数列通项公式的求解问题往往是解决数列难题的瓶颈。
本文总结出几种求解数列通项公式的方法，希望能对大家有帮助。
类型1)(1n f a a n n +=+解法：把原递推公式转化为)(1n f a a n n =-+，利用累加法(逐差相加法)求解。
例:已知数列满足，，求。
解：由条件知：分别令，代入上式得个等式累加之，即所以，变式:（2004，全国I ，个理22．本小题满分14分）已知数列，且a 2k =a 2k －1+(－1)K , a 2k+1=a 2k +3k , 其中k=1,2,3,…….（I ）求a 3, a 5；（II ）求{ a n }的通项公式.解：，，即，…………将以上k 个式子相加，得将代入，得，。
经检验也适合，类型2解法：把原递推公式转化为，利用累乘法(逐商相乘法)求解。
例:已知数列满足，，求。
解：由条件知，分别令，代入上式得个等式累乘之，即又，例:已知，，求。
解：。
变式:（2004，全国I,理15．）已知数列{a n }，满足a 1=1，(n ≥2)，则{a n }的通项解：由已知，得，用此式减去已知式，得当时，，即，又，，将以上n个式子相乘，得类型3（其中p，q均为常数，）。
解法（待定系数法）：把原递推公式转化为：，其中，再利用换元法转化为等比数列求解。
例:已知数列中，，，求.解：设递推公式可以转化为即.故递推公式为,令，则,且.所以是以为首项，2为公比的等比数列，则,所以.变式:（2006，,文,14）在数列中，若，则该数列的通项_______________（key:）变式:（2006..理22.本小题满分14分）已知数列满足（I）求数列的通项公式；（II）若数列{b n}滿足证明：数列{b n}是等差数列；（Ⅲ）证明：（I）解：是以为首项，2为公比的等比数列即（II）证法一：①②②－①，得即③－④，得即是等差数列证法二：同证法一，得令得设下面用数学归纳法证明（1）当时，等式成立（2）假设当时，那么这就是说，当时，等式也成立根据（1）和（2），可知对任何都成立是等差数列（III）证明：变式:递推式：。
高三数学递推数列的通项公式(新201907)
1 2
an1 1
，得 数列是以 a1 1 0
为首项，公比为
1 2
则
an
1
(a1
1)
1 2
n1
an 1 (a1来自1)
1 2
n1
二、递推关系为 an1 Aan f n , ( A 0) 型
a a 1、当A＝1时，有 n1
n
f (n)
a ，此时可用累加法求 n
例3、数列an 中，a1 1, an1 an n ，则数列的通项公为
。
解：an1 an n an1 an n
an an an1 an1 an2 (a3 a2 ) (a2 a1) a1
B A 1
0
时，数列
an
B A 1是以
A为
公比的等比数列。
例1（2006年重庆高考）在数列 an 中，若 a1 1, an1 2an 3 则该数列
的通项公式 an
。
解：由 an1 3 2(an 3) 得数列 an 3是以 a1 3 4 为首项，公比为2的等比数
数列专题：递推数列的通项公 式
一、递推关系为 an1 Aan B( A 1, A, B 0) 型
设an1
x
A(an
x)
an1
Aan
(A 1)x，令
A 1 x
B 。则
x
B A 1
故an1
B A 1
A
递推公式求数列通项公式
递推公式求数列通项公式求解数列的通项公式是数学中常见的问题。
在进行数列的通项公式推导时，有几种常见的方法可以使用，包括递归法、差分法、代数法、矩阵法等。
以下将针对这些方法进行详细阐述。
一、递归法递归法是数列求解中最常见的方法之一、利用递归关系式，可以将数列的第n项表示成前n-1项的表达式。
常见的递归方法有等差、等比数列等。
1.1等差数列的通项公式等差数列是指数列中每个相邻项之间的差值都相等的数列。
设数列的首项为 a1，公差为 d，则递推关系式为 an = a1 + (n-1)d，其中 n 表示项数。
首先求取数列的第一项和第二项的值，然后利用递推公式即可求得数列的通项公式。
1.2等比数列的通项公式等比数列是指数列中每个相邻项之间的比值都相等的数列。
设数列的首项为 a1，公比为 q，则递推关系式为 an = a1 * q^(n-1)。
首先求取数列的第一项和公比的值，然后利用递推公式即可求得数列的通项公式。
二、差分法差分法是通过找到数列的差分递推关系，进而进行推导。
通过一次差、二次差等操作，可以将数列的通项公式转化为关于n的多项式。
2.1一次差的差分法对于一个数列 {an}，定义一次差数列 {bn} = {an+1 - an}，即 b1 = a2 - a1，b2 = a3 - a2，以此类推。
如果一次差数列 {bn} 满足等差数列的递推关系，即 bn = c，则原数列的通项公式为 an = c*n +d。
其中 d 为首项的值。
2.2二次差的差分法对于一个数列 {an}，定义二次差数列 {cn} = {bn+1 - bn}，即 c1 = b2 - b1，c2 = b3 - b2，以此类推。
如果二次差数列 {cn} 满足等差数列的递推关系，即 cn = c，则原数列的通项公式为 bn = c*n^2 +d*n + e。
其中 d 为二次差数列首项的值，e 为数列首项的值。
三、代数法代数法以解线性方程组的形式求解数列的通项公式。
由数列的递推公式求通项公式课件
2
⇒ +1 = +
3
3
3
设 =
，则
3
+1 =
即
+1
+1
，有
3+1
+1 = +
+1 − =
2 − 1 =
2 +1
3
2 +1
3
（可用累加法求出通项公式）
3 − 2 =
2 2
3
2 3
3
……,
− −1=
⇒ − 1 =
+1 + = ( + ) ⟹
+1 +
+
= ，
所以{ + }是等比数列，公比为，首项为1 +
（2）是用作差法直接构造： 由已知得 +1 = + , = −1 + ， 两式相减有
+1 − = ( − −1 )
所以+1 − 是公比为的等比数列
由数列的递推公式求通项公式
递推公式：
如果数列{an}的第n项与它前一项或几项的关系可以用一个式子来表示，
那么这个公式叫做这个数列的递推公式。
例如：等差数列递推公式：+1 = + 或 −1 + +1 = 2
+1
等比数列递推公式：
=
已知数列的递推公式，求取其通项公式是数列中一类常见的题型，这类题型如果单纯的看某一个具
例3. 在数列{ }中，1 = 1，当 ≥ 2时，有 = 3−1 + 2，求{ }的通项公式。
解法1：设 + = 3(−1 + )，即有 = 3−1 + 2
利用递推关系式求数列的通项公式(有答案绝对好精品)
利用递推关系式求数列的通项公式数列是高考中的重点内容之一，每年的高考题都会考察到，小题一般较易，大题一般较难。
而作为给出数列的一种形式——通项公式，在求数列问题中尤其重要。
本文给出了求数列通项公式的常用方法。
◆一、直接法根据数列的特征，使用作差法等直接写出通项公式。
例1. 根据下列数列的前几项，说出数列的通项公式：1、1,3,7,15,31,………2、2,6,12,20,30,………3、21212,1,,,,3253………4、1,-1,1,-1………5、1、0、1、0……… ◆二、公式法①利用等差数列或等比数列的定义求通项②若已知数列的前n 项和n S 与n a 的关系，求数列{}n a 的通项n a 可用公式⎩⎨⎧≥⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=-2111n S S n S a n nn 求解.(注意：求完后一定要考虑合并通项)例2．①已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足21n S n n =+-，求数列{}n a 的通项公式.②已知等比数列{}n a 的首项11=a ，公比10<<q ，设数列{}n b 的通项为21+++=n n n a a b ，求数列{}n b 的通项公式。
◆三、归纳猜想法如果给出了数列的前几项或能求出数列的前几项，我们可以根据前几项的规律，归纳猜想出数列的通项公式，然后再用数学归纳法证明之。
也可以猜想出规律，然后正面证明。
例3.（2002年北京春季高考）已知点的序列*),0,(N n x A n n ∈，其中01=x ，)0(2>=a a x ，3A 是线段21A A 的中点，4A 是线段32A A 的中点，…，n A 是线段12--n n A A 的中点，…（1） 写出n x 与21,--n n x x 之间的关系式（3≥n ）。
（2） 设n n n x x a -=+1，计算321,,a a a ，由此推测{}n a 的通项公式，并加以证明。
常见递推数列通项公式的求法ppt课件
1S 2
1 23
2 24
n2 2n
n 1 2 n＋1
②
由①－②得
1S 2
1 22
1 23
1 2n
n 1 2n＋1
1 2
n 1 2 n 1
S 1 n1 2n
an 2n
1
an 2n
2
n 1 2n
an 2n1 n 1
变式训练：答案an 6 4n1 (n 1) 2n
数列 满足 an
an1 3 4 5 6
n 1
an a1
1 2 n(n 1)
a1
1 an
2 n(n 1)
累乘
例 2：已知数列an 中，a1
1且满足 an1 an
n ，求数 n2
列an 的通项公式。
其他解法探究：
a n 1 an
n n2
(n 2)an1
nan
(n 1)(n 2)an1 n(n 1)an
则可构造n(n 1)an 是常数数列
故an n2 n 2(n 1,2,3,)
方法归纳：累加
可求和
变式训练：
1.已知数列an中， a1 2 满足 an1 an 2n n ,求数列an 的通 项公式. 2.已知数列an 中， a1 2 满足 an1 an n 2n n ,求数列an 的 通项公式.
类型二：形如 an1 f (n)
an1 2an n 2n1 2n1 2n1
an1 an n 2n1 2n 2n1
累加
a2 22
a1 2
1 ，a3 22 23
a2 22
2 23
,,
an 2n
an1 2n1
n 2n
1
,
高三数学递推数列的通项公式(PPT)2-2
例5、（2007年天津高考）在数列 an 中，a1 2,an1 an n1 (2 )2n, n N *
其中 0，求数列 an 的通项公式。
解：由
an1
an
n1
(2 )2n
an1 n1
an n1
例6、（2006年全国高考卷）设数列 an 的前
n
项和
Sn
4 3
an
1 2n1 3
2 3
求首项 a1 与通项 an
解：当
n
1
时，a1
S1
4 3
a11 3222 3
所以a1 2
当 n 2 时 an
Sn
Sn1
4 3
an
1 2n1 3
4 3
an1
n1 n1
(2 )2n n1
又
a1
an1 n1
2 0
an n
2
n1
2
n
1
an1 n1
2
n1
an n
2
n
(n 1) (n 2) (n 3) 2 11 n(n 1) 1
2
3、当A 1时，
时
(1)若A=
,则由 an1
Aan
B n
an1
an
专题;由递推关系求数列的通项公式(答案)_202008
可得
a1
1 2
由 an1 sn1 sn =1
n 1
an1 1 nan
可得
an1 an
n n2
an
a1
a2 a1
a3 a2
an an1
=
1 2
1 2 3 n2
345
n
n 1 n 1
=
1
n n 1
当
n=1
时也成立。故有
an
=
n
1 n
1
2-3 设数列{ an }是首项为 1 的正项数列，且 (n 1)an12 nan 2 an1an 0 （n=1,2,3…），则它的通项
.
专题练习 由递推关系求数列的通项公式
求递推数列通项公式是数列知识的一个重难点，四大考点之一。高考也往往通过考查递推数列来考查学生对 知识的探索能力，求递推数列的通项公式一般是将递推公式变形，推得原数列是一种特殊的数列或原数列的项 的某种组合是一种特殊数列，把一些较难处理的数列问题化为熟悉的等差或等比数列。
可构造等比数列（以下略）
3 已知数列 an 的前 n 项和 Sn 满足 Sn 2an (1)n , n 1 ．求数列 an 的通项公式。
解：由 a1 S1 2a1 1 a1 1 当 n 2 时，有 an S nSn1 2(an an1 ) 2 (1)n , an 2an1 2 (1)n1, an1 2an2 2 (1)n2 , ……， a2 2a1 2.
an1 an +f n 的递推数列的方法（其中数列 f n 的前 n 项和可求）。
评注 此类问题关键累加可消中间项，而 f (n）可求和则易得 an
.
.
1-1 在数列{an}中, a1 2, an1 an 2n 1, 求an.
常见递推数列通项的求法 (很齐全)
常见递推数列通项的求法类型一：1()n n a a f n +=+思路1（递推法）：123(1)(2)(1)(3)(2)(1)n n n n a a f n a f n f n a f n f n f n ---=+-=+-+-=+-+-+-= (1)11()n i a f n -==+∑。
思路2（叠加法）：1(1)n n a a f n --=-，依次类推有：12(2)n n a a f n ---=-、23(3)n n a a f n ---=-、…、21(1)a a f -=，将各式叠加并整理得111()n n i a a f n -=-=∑，即111()n n i a a f n -==+∑。
例1 已知11a =，1n n a a n -=+，求n a 。
解：方法1（递推法）：123(1)(2)(1)n n n n a a n a n n a n n n ---=+=+-+=+-+-+= ……1[23a =+++…1(1)(2)(1)]2ni n n n n n n =++-+-+==∑。
方法2（叠/累加法）：1n n a a n --=，依次类推有：121n n a a n ---=-、232n n a a n ---=-、…、212a a -=，将各式叠加并整理得12nn i a a n =-=∑，121(1)2n nn i i n n a a n n ==+=+==∑∑。
例2、在数列{n a }中，31=a ,)1(11++=+n n a a n n ，求通项公式n a .解：原递推式可化为：1111+-+=+n n a a n n 则,211112-+=a a 312123-+=a a413134-+=a a ，……，nn a a n n 1111--+=-逐项相加得：n a a n 111-+=.故na n 14-=. 例3．在数列{}n a 中，01=a 且121-+=+n a a n n ，求通项n a .解：依题意得，01=a ，()32112,,3,112312-=--=-=-=--n n a a a a a a n n ，把以上各式相加，得()()()21232113231-=-+-=-+++=n n n n a n【评注】由递推关系得，若()n g 是一常数，即第一种类型，直接可得是一等差数列；若n n a a -+1非常数，而是关于n 的一个解析式，可以肯定数列n a 不是等差数列，将递推式中的n 分别用2,3,4,,2,1 --n n 代入得1-n 个等式相加，目的是为了能使左边相互抵消得n a ，而右边往往可以转化为一个或几个特殊数列的和。
史上最全的数列通项公式的求法13种
最全的数列通项公式的求法数列是高考取的要点内容之一，每年的高考题都会观察到，小题一般较易，大题一般较难。
而作为给出数列的一种形式——通项公式，在求数列问题中特别重要。
本文给出了求数列通项公式的常用方法。
一、直接法依据数列的特点，使用作差法等直接写出通项公式。
二、公式法①利用等差数列或等比数列的定义求通项② 若 已 知 数 列 的 前 n项 和 S n 与 a n 的 关 系 ， 求 数 列 a n的 通 项 a n 可 用 公 式a n S 1 n 1S nSn 1n 求解 .2(注意：求完后必定要考虑归并通项)( 1) n , n 1 ．求数列 a n 的通项公式 .例 2．①已知数列 a n 的前 n 项和 S n 知足 S n 2a n②已知数列 a n 的前 n 项和 S n 知足 S nn2n 1，求数列 a n 的通项公式 .③ 已知等比数列 a n 的首项 a 1 1，公比 0 q 1，设数列 b n 的通项为 b na n 1 a n2，求数列b n 的通项公式。
③ 分析：由题意， b n 1 a n 2 a n 3 ，又 a n 是等比数列，公比为 q∴bn 1an 2an 3q ，故数列 b n 是等比数列， b 1 a 2 a 3a 1q a 1q 2 q(q 1) ，b na n 1 a n 2∴ b nq(q 1) q n 1 q n (q 1)三、概括猜想法假如给出了数列的前几项或能求出数列的前几项，我们能够依据前几项的规律，概括猜想出数列的通项公式，而后再用数学概括法证明之。
也能够猜想出规律，而后正面证明。
四、累加（乘）法关于形如 a n 1an f ( n) 型或形如 a n 1 f (n)a n 型的数列，我们能够依据递推公式，写出n取 1 到 n 时的全部的递推关系式，而后将它们分别相加（或相乘）即可获得通项公式。
例 4.若在数列 a n 中， a 1 3 ， a n 1 a n n ，求通项 a n 。
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高考递推数列题型分类归纳解析各种数列问题在很多情形下，就是对数列通项公式的求解。
特别是在一些综合性比较强的数列问题中，数列通项公式的求解问题往往是解决数列难题的瓶颈。
我现在总结出几种求解数列通项公式的方法，希望能对大家有帮助。
类型1 )(1n f a a n n +=+解法：把原递推公式转化为)(1n f a a n n =-+，利用累加法(逐差相加法)求解。
例1. 已知数列{}n a 满足211=a ，nn a a n n ++=+211，求n a 。
变式: 已知数列1}{1=a a n 中，且a 2k =a 2k －1+(－1)K , a 2k+1=a 2k +3k , 其中k=1,2,3,…….（I ）求a 3, a 5；（II ）求{ a n }的通项公式. 类型2 n n a n f a )(1=+ 解法：把原递推公式转化为)(1n f a a n n =+，利用累乘法(逐商相乘法)求解。
例1:已知数列{}n a 满足321=a ，n n a n n a 11+=+，求n a 。
例2:已知31=a ，n n a n n a 23131+-=+ )1(≥n ，求n a 。
变式:（2004，全国I,理15．）已知数列{a n }，满足a 1=1，1321)1(32--+⋅⋅⋅+++=n n a n a a a a(n ≥2)，则{a n }的通项1___n a ⎧=⎨⎩12n n =≥类型3 q pa a n n +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1((≠-p pq ）。
解法（待定系数法）：把原递推公式转化为：)(1t a p t a n n -=-+，其中pq t -=1，再利用换元法转化为等比数列求解。
例:已知数列{}n a 中，11=a ，321+=+n n a a ，求n a . 变式:（2006，重庆,文,14）在数列{}n a 中，若111,23(1)n n a a a n +==+≥，则该数列的通项n a =_______________ 变式:（2006. 福建.理22.本小题满分14分）已知数列{}n a 满足*111,21().n n a a a n N +==+∈（I ）求数列{}n a 的通项公式；（II ）若数列{b n }滿足12111*444(1)(),n n b b b bn a n N ---=+∈ 证明：数列{b n }是等差数列；（Ⅲ）证明：*122311...().232n n a a a n n n N a a a +-<+++<∈类型4 n n n q pa a +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1)(1((≠--q p pq ）。
（或1nn n a pa rq +=+,其中p ，q, r 均为常数） 。
解法：一般地，要先在原递推公式两边同除以1+n q ，得：qqa qp qa nn n n 111+∙=++引入辅助数列{}n b （其中nn nqa b =），得：qb qp b n n 11+=+再待定系数法解决。
例:已知数列{}n a 中，651=a ,11)21(31+++=n n n a a ，求n a 。
变式:（2006，全国I,理22,本小题满分12分） 设数列{}n a 的前n 项的和14122333n n n S a +=-⨯+，1,2,3,n =（Ⅰ）求首项1a 与通项n a ；（Ⅱ）设2nn nT S =，1,2,3,n = ，证明：132ni i T =<∑类型5 递推公式为n n n qa pa a +=++12（其中p ，q 均为常数）。
解法一(待定系数法)：先把原递推公式转化为)(112n n n n sa a t sa a -=-+++ 其中s ，t 满足⎩⎨⎧-==+qst p t s解法二(特征根法)：对于由递推公式n n n qa pa a +=++12，βα==21,a a 给出的数列{}n a ，方程02=--q px x ，叫做数列{}n a 的特征方程。
若21,x x 是特征方程的两个根，当21x x ≠时，数列{}n a 的通项为1211--+=n n n Bx Ax a ，其中A ，B 由βα==21,a a 决定（即把2121,,,x x a a 和2,1=n ，代入1211--+=n n n Bx Ax a ，得到关于A 、B 的方程组）；当21x x =时，数列{}n a 的通项为11)(-+=n n x Bn A a ，其中A ，B 由βα==21,a a 决定（即把2121,,,x x a a 和2,1=n ，代入11)(-+=n n x Bn A a ，得到关于A 、B 的方程组）。
解法一（待定系数——迭加法）:数列{}n a ：),0(025312N n n a a a n n n ∈≥=+-++， b a a a ==21,，求数列{}n a 的通项公式。
例:已知数列{}n a 中，11=a ,22=a ,n n n a a a 313212+=++，求n a 。
变式:1.已知数列{}n a 满足*12211,3,32().n n n a a a a a n N ++===-∈（I ）证明：数列{}1n n a a +-是等比数列；（II ）求数列{}n a 的通项公式； （III ）若数列{}n b 满足12111*44...4(1)(),n n b bb b n a n N ---=+∈证明{}n b 是等差数列2.已知数列{}n a 中，11=a ,22=a ,n n n a a a 313212+=++，求n a3.已知数列{}n a 中，n S 是其前n 项和，并且1142(1,2,),1n n S a n a +=+== ， ⑴设数列),2,1(21 =-=+n a a b n n n ，求证：数列{}n b 是等比数列；⑵设数列),2,1(,2==n a c nn n ，求证：数列{}n c 是等差数列；⑶求数列{}n a 的通项公式及前n 项和。
类型6 递推公式为n S 与n a 的关系式。
(或()n n S f a =) 解法：这种类型一般利用⎩⎨⎧≥⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=-)2()1(11n S S n S a n n n 与)()(11---=-=n n n n n a f a f S S a 消去n S )2(≥n 或与)(1--=n n n S S f S )2(≥n 消去na 进行求解。
例：已知数列{}n a 前n 项和2214---=n n n a S .（1）求1+n a 与n a 的关系；（2）求通项公式n a .（2）应用类型4（nn n q pa a +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1)(1((≠--q p pq ））的方法，上式两边同乘以12+n 得：22211+=++n nn n a a由1214121111=⇒--==-a a S a .于是数列{}n na 2是以2为首项，2为公差的等差数列，所以n n a n n2)1(222=-+=12-=⇒n n n a变式:（2006，陕西,理,20本小题满分12分)已知正项数列{a n }，其前n 项和S n 满足10S n =a n 2+5a n +6且a 1,a 3,a 15成等比数列，求数列{a n }的通项a n变式: (2005,江西,文,22．本小题满分14分） 已知数列{a n }的前n 项和S n 满足S n －S n －2=3,23,1),3()21(211-==≥--S S n n 且求数列{a n }的通项公式.类型7 b an pa a n n ++=+1)001(≠≠，a 、p解法：这种类型一般利用待定系数法构造等比数列，即令)()1(1y xn a p y n x a n n ++=++++，与已知递推式比较，解出y x ,,从而转化为{}y xn a n++是公比为p 的等比数列。
例:设数列{}n a ：)2(,123,411≥-+==-n n a a a n n ，求n a . 变式:（2006，山东,文,22,本小题满分14分） 已知数列｛n a ｝中，11122n n a n a a +=-、点（、）在直线y=x 上，其中n=1,2,3…(Ⅰ)令{}是等比数列；求证数列n n n n b a a b ,31--=- (Ⅱ)求数列{}的通项；n a(Ⅲ)设分别为数列、n n T S {}、n a {}n b 的前n 项和,是否存在实数λ，使得数列n n S T n λ+⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列？若存在试求出λ 不存在,则说明理由.类型8 rn n pa a =+1)0,0(>>n a p解法：这种类型一般是等式两边取对数后转化为q pa a n n +=+1，再利用待定系数法求解。
例：已知数列｛n a ｝中，2111,1n n a aa a ⋅==+)0(>a ，求数列{}.的通项公式n a变式:（2005，江西,理,21．本小题满分12分） 已知数列:,}{且满足的各项都是正数n a .),4(21,110N n a a a a n n n ∈-==+（1）证明;,21N n a a n n ∈<<+ （2）求数列}{n a 的通项公式a n . 变式:（2006,山东,理,22,本小题满分14分）已知a 1=2，点(a n ,a n+1)在函数f (x )=x 2+2x 的图象上，其中=1，2，3，… （1） 证明数列｛lg(1+a n )｝是等比数列；（2） 设T n =(1+a 1) (1+a 2) …(1+a n )，求T n 及数列｛a n ｝的通项； 记b n =211++n na a ，求｛b n ｝数列的前项和S n ，并证明S n +132-n T =1类型9 )()()(1n h a n g a n f a n n n +=+解法：这种类型一般是等式两边取倒数后换元转化为q pa a n n +=+1。
例：已知数列｛a n ｝满足：1,13111=+⋅=--a a a a n n n ，求数列｛a n ｝的通项公式。
变式:（2006，江西,理,22,本大题满分14分） 1.已知数列｛a n ｝满足：a 1＝32，且a n ＝n 1n 13na n 2n N 2a n 1*≥∈－－（，）＋－ （1） 求数列｛a n ｝的通项公式；（2） 证明：对于一切正整数n ，不等式a 1∙a 2∙……a n <2∙n ！2、若数列的递推公式为11113,2()n na n a a +==-∈ ，则求这个数列的通项公式。