格兰迪双纽线(玫瑰线)的图像
同济高等数学附表各种曲线详解包括弧长所围面积渐近线曲率半径
同济高等数学附录Ⅱ重要平面曲线三次抛物线•xyxy••••半立方抛物线概率曲线•121exy BA•e2••π•2221)(x ex f −=π•1e•箕舌线点击图中任意点动画开始或暂停••QP ⊥x 轴,MP ∥x 轴•ayoxtPM Qoxya蔓叶线2OM = PQ ••点击图片任意处播放开始或暂停•)tan (θ=t θMP Qθ笛卡儿叶形线参数的几何意义:42ππ43π2π点击图中任意点动画开始或暂停3at 3at 笛卡儿叶形线(续)•23•2323a a ••23•23oxya−a −θA323232a 星形线(内摆线的一种)•••a xoytM 点击图片任意处播放开始或暂停摆线点击图中任意点动画开始或暂停Moy xθa•Moy xt a摆线(续)a π2•••2t •••y oxa πaπ2M βαo ′1x心形线22yx +oxyθ••3••点击图中任意点动画开始或暂停oxya 心形线的另一种形式22yx +θ••23•点击图中任意点动画开始或暂停外摆线(圆外旋轮线) 族b b a +b b a +动圆半径为b , abm =m = 1为心形线2=m 3=m 4=m 23=m 5=m 点击图中任意点动画开始或暂停>a阿基米德螺线•阿基米德螺线(续)•ox1A 2A 3A 1M2M 12θ+•122θ+a 22361••对数螺线xo a 1••12a +•a 21+a 21+1M 2M MψA 1−A 1A 2A •点击图中任意点动画开始或暂停oxy a 双曲螺线θa1M •2M ••12θθθ+•112θθa •点击图中任意点动画开始或暂停伯努利双纽线点击图中任意点动画开始或暂停•••4642•r a 3•x yoθA C′D D ′伯努利双纽线的轨迹特点xy o 1F 2F 2a •22121a MF MF =⋅•1PQ OM =M Q P伯努利双纽线点击图中任意点动画开始或暂停••22•44108•r a 3•4412aθA C D三叶玫瑰线θaa 点击图中任意点动画开始或暂停θθθaa四叶玫瑰线点击图中任意点动画开始或暂停。
双纽线方程及图像解析
双纽线方程及图像解析
双纽线方程（tangentlinesequation）是一种用于描述复杂二维图形的数学表达式，它对于对图像的解析，工程设计和科学研究都至关重要。
本文将讨论双纽线方程及其如何用于图像解析。
双纽线方程是一种把二维图形拆分成两个直线部分的数学表达式。
它的公式是：y=ax+b，其中a是第一个直线的斜率，b是第二个直线的截距。
根据双纽线方程，当一个图形的斜率在大于-a和小于a 之间变化时，这个图形就可以被这个XX方程所描述。
双纽线方程常被用于图像解析，用于描述检测到的复杂的图形。
它可以用来检测一个图片中的直线、弧线、曲线等特征，体现在图像识别、面部识别等中。
双纽线方程也被用于3D图像解析，用于描述3D图形的表面特征。
它可以用来检测三维图像中的平面、曲面、椭圆等特征，用于检测图像中的立体物体。
双纽线方程也被广泛用于工程设计中，比如在家居装饰、机械工程设计等中，可以通过双纽线方程来描述机构的特征。
此外，在运动跟踪、物体检测以及模式识别等科学研究中，双纽线方程也可以用于图像处理，用于提取图像图案的变化特征，以及跟踪物体的运动特征等。
总之，双纽线方程是一种重要的数学表达式，用于描述复杂的二维图形。
它可以用来检测图像中的特征，用于图像解析，也可以用于工程设计和科学研究。
它的强大功能，使它成为图像分析和图像处理领域中的一个重要元素。
高等数学中的基本图形
常见曲线 y x2 sin 1
x
y x2 y x2 sin 1 x
o
y x2
y=x2 sin(1/x)
7
常见曲线 y sin x
x
o
y=sinx/x
8
常见曲线 y sin x, y x, y tan x
o
y=sinx, y=x, y=tanx
9
常见曲线
y
1
1 x
x
ye
o
y= (1+1/x)2
10
箕舌线
y
8a 3 x2 4a2
2a
a o
11
蔓叶线 y2 2a x x3
oa
2a
12
阿基米德螺线 r a
o
13
对数螺线 r ea
o
14
2
2
2
星形线 x 3 y 3 a 3
x a cos3 ,
y
a
sin3
.
o
15
三叶玫瑰线 r a sin 3
o
16
三叶玫瑰线 r a cos 3
o
17
四叶玫瑰线 r a sin 2
o
18
四叶玫瑰线 r a cos 2
o
19
心形线 r a(1 cos )
o
20
心形线 r a(1 cos )
o
21
伯努利双纽线 r2 a2 cos 2
o
22
伯努利双纽线 r 2 a2 sin 2
o
23
x2 y2 a2 b2 1
25
旋转抛物面 z x2 y2
26
圆锥面 z2 x2 y2
2013fenton曲线
2013fenton曲线
Fenton曲线是2013年由国外专家根据胎儿在子宫内生长规律制定的早产儿生长曲线图，也是中国医院常用的监测早产儿生长发育状
况的标准曲线。
Fenton曲线反映了从胎龄22~50周（即矫正胎龄足月后10周）的胎儿及新生儿体重、身长、头围等体格指标的变化，可用于早产儿
生长发育状况的监测与评估。
Fenton曲线分为男孩和女孩两种曲线，分别用于评价男宝宝和女宝宝的发育情况。
每张曲线图包含身长、头围和体重曲线三大板块，
分别用于评价身长、头围、体重发育情况。
曲线图内含5条曲线，分
别代表第3、第10、第50、第90、第97百分位。
Fenton曲线可根据宝宝胎龄、体重、身长、头围等数据计算其当下生长状况处于同龄儿的什么水平，从而帮助医生和家长制定喂养方案。
三叶玫瑰线是什么意思
三叶玫瑰线是什么意思引言在日常生活中，我们经常会遇到各式各样的线条图案。
其中，三叶玫瑰线是一种独特而美丽的线条图案，具有一定的几何特性。
本文将介绍三叶玫瑰线的定义及其意义，帮助读者更好地理解和欣赏这一线条图案。
什么是三叶玫瑰线三叶玫瑰线（trifolium rose curve），又称罗斯线（rose curve）或罗塞蒂线（Rosette），是一种极坐标方程描述的曲线。
其特点是在一个闭合的曲线上，有三个非常相似的叶状图案。
三叶玫瑰线的方程表达式如下：r = a * cos(k * θ)其中，r表示极径（极坐标系上的半径），θ表示极角（以极轴正方向为起点，逆时针旋转的角度），a是正实数，k是正整数。
三叶玫瑰线的意义三叶玫瑰线作为一个几何图形，虽然没有实际应用，但它具有一定的数学意义和美感。
以下是三叶玫瑰线的几个重要特点：对称性三叶玫瑰线具有良好的对称性。
在整个曲线上，每个极角的对应点（θ和θ+π）处的极径相等。
这种对称性在曲线的形状上呈现出类似花瓣的形态。
可变性三叶玫瑰线的形状可以通过调整参数a和k来变化。
参数a控制曲线的大小，而参数k决定曲线上花瓣的数量。
通过改变这两个参数的取值，可以创造出不同形状和大小的三叶玫瑰线，增加了其变化性和趣味性。
几何美感三叶玫瑰线的曲线形状充满了几何美感。
它的花瓣状样式、对称性和动态线条都给人一种和谐、舒适的感觉。
这种美感使得三叶玫瑰线常被用于装饰、设计和艺术创作中。
数学研究三叶玫瑰线是数学中的一个经典曲线，具有自相似性和周期性等特点。
它的研究可以引发更深入的数学思考，例如探索不同参数取值下曲线的特征、变化规律以及与其他数学概念的关联等，拓展了数学的研究领域。
兴趣爱好三叶玫瑰线的独特形态吸引了众多数学爱好者、艺术家和设计师的注意。
人们可以通过绘制、调整参数和与其他几何图形的组合，创造出各种美妙的图案和艺术作品。
对于喜欢探索和创造的人来说，三叶玫瑰线是一个极具吸引力的对象。
MathStudio41 玫瑰线
MathStudio for iPad使用方法入门（41）玫瑰线2016年7月18日什么是玫瑰线？★玫瑰线是一种具有周期性且包络线为圆弧的曲线,曲线的几何结构取决于方程参数的取值,不同的参数决定了玫瑰线的大小、花瓣的数目和周期的可变性。
玫瑰线亦称蔷薇线。
★玫瑰线的极坐标方程式：ρ=acos(nθ)或ρ=asin(nθ)两者图形相似，位置相差π/2★参数a(包络半径)控制花瓣的长度。
为简便，后面图形取a=1参数n控制花瓣的个数、大小及幅角周期。
ρ=cos(nθ/m)对称于极轴直径=1当m=1 n=1时，图形为圆m=1 n是奇数m=1,n=3花瓣数=n=3花瓣长度=1m=1,n=5花瓣数=n=5m=1,n=7花瓣数=n=7m=1,n=9花瓣数=n=9m=1 n是偶数m=1,n=2花瓣数=2n=4m=1,n=4花瓣数=2n=8m=1,n=6花瓣数=2n=12m=1,n=8花瓣数=2n=16当m=1n是奇数花瓣数=n 完成曲线的θ=πn是偶数花瓣数=2n，θ=2πm≠1 m>1的状况n/m简约后得分数L/WL、W不可能同为偶数1.L、W同为奇数花瓣数=L曲线完整闭合的θ=Wπ2.L、W其中一个是奇数，另一个是偶数花瓣数=2L曲线完整闭合的θ=2Wπm=1, n=10花瓣数=2n=20m=3,n=10花瓣数=2n=20花瓣宽度大于上图中的花瓣花瓣互相重叠中心部分3层重叠m=4,n=10L/W=5/2 L、W中有偶数花瓣数=2×L=10m=6,n=10L/W=5/3L、W中无偶数花瓣数=L=5 m越大花瓣越宽m=7, n=10L/W=10/7L、W中有偶数花瓣数=2×L=20θ=0～12π<2wπ=14π图形不完整曲线未闭合m=8, n=10L/W=5/4L、W中有偶数花瓣数=2×L=10θ=0～12π>2wπ=8π图形完整曲线闭合m=9, n=10L/W=10/9L、W中有偶数花瓣数=2×L=20θ=0～24π>2wπ=18π图形完整曲线闭合m=10, n=7L/W=7/10L、W中有偶数花瓣数=2×L=14θ=0～24π>2wπ=20π图形完整曲线闭合L/W=4/5L、W中有偶数花瓣数=2×L=8θ=0～24π>2wπ=16π图形完整曲线闭合花瓣宽度很大m=10, n=7L/W=10/7L、W中有偶数花瓣数=2×L=20θ=0～24π>2wπ=14π图形完整曲线闭合L/W=3/5L、W中无偶数花瓣数=L=3θ=0～24π>wπ=3π图形完整曲线闭合花瓣宽度极大m=10, n=5L/W=1/2L、W中有偶数花瓣数=2×L=2θ=0～24π>2wπ=4π图形完整曲线闭合花瓣宽度极大m=10,n=4L/W=2/5L、W中有偶数花瓣数=2×L=4θ=0～24π>2wπ=10π图形完整曲线闭合花瓣宽度极大m=10,n=3L/W=3/10L、W中有偶数花瓣数=2×L=6θ=0～24π>2wπ=20π图形完整曲线闭合花瓣宽度极大m=10,n=2L/W=1/5L、W中无偶数花瓣数=L=1θ=0～24π>wπ=5π图形完整曲线闭合花瓣宽度极大m=10,n=1L/W=1/10L、W中有偶数花瓣数=2×L=2θ=0～24π>2wπ=20π图形完整曲线闭合花瓣宽度极大m 是无理数时的玫瑰线图形曲线不完整不闭合m是无理数时的玫瑰线图形曲线不完整不闭合3瓣玫瑰线生成顺序m=1 n=3 花瓣数=3上图，θ=0 ～π/3 的线段下图，θ=π/3 ～2π/3 的线段θ=2π/3 ～π的线段无需画了Ⅰ→Ⅲ→Ⅱ→Ⅳ4瓣玫瑰线生成顺序m=1 n=2 花瓣数=4上图，θ=0 ～π/2 及θ=π/2 ～π的线段中图，θ=π～3π/2 的线段下图，θ=3π/2 ～2π的线段Ⅰ→Ⅲ→Ⅳ→Ⅱ→Ⅲ→Ⅰ→Ⅱ→Ⅳ对花瓣宽度的观察3瓣玫瑰线花瓣长度=1花瓣宽度≈2*0.1845≈0.369 3*0.369=1.107花瓣夹角≈0.57265瓣玫瑰线花瓣长度=1花瓣宽度≈2*0.1117≈0.22345*0.2234=1.117花瓣夹角≈0.34364瓣玫瑰线花瓣长度=1花瓣宽度≈2*0.2722≈0.54444*0.5444=2.1776花瓣夹角≈0.8426(2π/4)/0.8426=1.84627瓣玫瑰线花瓣长度=1花瓣宽度≈2*0.0798≈0.15967*0.1596=1.1172花瓣夹角≈0.2372(π/7)/0.2372=1.8920对花瓣宽度的观察对花瓣宽度的观察8瓣玫瑰线花瓣长度=1花瓣宽度≈2*0.1392≈0.2784 8* 0.2784=2.2272花瓣夹角≈0.433610瓣玫瑰线花瓣长度=1花瓣宽度≈2*0.2201≈0.4402 10* 0.4402/w=2.201花瓣夹角≈0.6708(2π/8)/0.4336=1.8113对花瓣宽度的观察(4π/14)/0.4909=1.828512瓣玫瑰线花瓣长度=1花瓣宽度≈2*0.4309≈0.861812*0.8618/w=2,0683花瓣夹角≈1.349914瓣玫瑰线花瓣长度=1花瓣宽度≈2*0.1587≈0.317414*0.3174/w=2.2218花瓣夹角≈0.4909由于手指搜寻花瓣宽度、夹角很难精确判定，只能猜想玫瑰线花瓣的宽度似与m、n、w存在以下关系n为奇数：花瓣宽度×n/w≈1.11Wπ/(花瓣夹角×n)≈1.8～1.9n为偶数：花瓣宽度×2n/w≈2.22即：花瓣宽度×n/w≈1.112Wπ/(花瓣夹角×2n)≈1.8～1.9即：Wπ/(花瓣夹角×n)≈1.8～1.9花瓣宽度=1.11×W/n花瓣宽点夹角=Wπ/((1.8～1.9)n)a=1是否正确待继续查验欣赏ρ=sin(nθ/m)ρ=0.8*cos(nθ/m)2支玫瑰线交错重叠的部分图形m=4 n=6 3/2 6瓣m=7 n=816瓣m=3 n=77瓣m=3 n=48瓣m=7 n=1020瓣m=7 n=612瓣m=4 n=918瓣m=4 n=510瓣m=2 n=918瓣m=2 n=510瓣参考文献数学手册数学手册》编写组高等教育出版社1979年玫瑰线及其应用研究潘陆益《计算机应用与软件》2008-10玫瑰线百度百科谢谢共享制作LNFSCSS背景音乐记忆2016年7月24日。
关于玫瑰线周长的一个恒等关系
关于玫瑰线周长的一个恒等关系玫瑰线是一种新的椭圆曲线，被认为是解决中等复杂度和高精度数学问题的有力工具。
在概念上，它和一般椭圆曲线很像，但它拥有自己独特的特点，用来解决特定的机械、电子和数学应用。
在本文中，我们将给出一个恒等关系，来研究玫瑰线周长的理论和实际的关系。
首先，我们来看一些玫瑰线的定义：它是一种椭圆曲线，其方程为：$$frac{x^2}{a^2}+frac{y^2}{b^2}=1$$其中，$$a$$是椭圆的长轴，$$b$$是椭圆的短轴。
由于玫瑰线是由一系列参数相关的点组成，它具有一定的复杂性。
研究它的周长一般可以采用椭圆积分或者格林公式等方法。
据它们，我们可以用下面的公式计算玫瑰线的周长：$$L = 4aE(e)$$其中，$$E(e)$$是双曲线椭圆积分的特殊函数。
由此，我们可以给出一个玫瑰线的周长恒等关系，即：$$L^2 = 16a^2E^2(e)$$也就是说，当椭圆曲线的长轴长度是$$a$$时，它的周长是$$4aE(e)$$。
现在，我们可以先研究这个恒等关系的理论和实验结果，来比较它们之间的关系。
首先，我们以一个特殊的椭圆曲线为例，计算其长轴长度$$a$$及它的周长$$L$$。
将特殊椭圆曲线的参数代入上述公式，得到：$$a = 10，quad L = 40E(e)$$我们用上述恒等关系验证它们之间的关系，得出：$$L^2 = 400E^2(e) = 16a^2E^2(e)$$从结果可以看出，实验结果同理论恒等关系一致，说明恒等关系成立。
接下来，我们来实验检验一下恒等关系的正确性。
我们用不同的长轴长度$$a$$，来计算椭圆曲线的周长$$L$$，结果如下：begin{center}begin{tabular}{ccc}hline$a$ & $L$ & $L^2/16a^2E^2(e)$hline10 & 40E(e) & 125 & 100E(e) & 150 & 200E(e) & 1hlineend{tabular}end{center}可以看出，无论椭圆曲线的长轴长度是多少，恒等关系都能得到验证，说明它是正确的。
关于玫瑰线周长的一个恒等关系
关于玫瑰线周长的一个恒等关系玫瑰线是一种有趣的数学曲线，它由一条椭圆线段和两条等弧度的半圆组成，其性质上与椭圆非常相似，但是它又不完全一样。
玫瑰线给人的感觉就是，它看起来复杂却又可以被解释为一个简单的模型。
因此，它在学术界引起了巨大的兴趣，许多学者和数学爱好者都把玫瑰线当作一个有趣的研究课题。
总的来说，对于玫瑰线而言，最主要的问题就是它的周长。
许多研究者都想知道，玫瑰线周长是否有一个公式可以定义、表示？可以确定的是，玫瑰线的周长可以通过不同的变量来表达，如它的大小、形状、椭圆轴长以及圆的半径等等。
其实，玫瑰线周长的确有一个非常简单的恒等关系，有一位叫做洛基克的数学家发现了这一恒等关系，他用一个简单的公式来表示玫瑰线周长，即：周长L=nπ（a+b）其中n为玫瑰线内含的椭圆小曲线数量，同时a、b为椭圆轴长。
从洛基克的公式来看，可以看出，玫瑰线的周长与它的椭圆轴长以及内含的椭圆小曲线数量有关。
这也就是说，如果玫瑰线的椭圆轴长增加或减少，它的周长就会相应增加或减少，并且，随着内含的椭圆小曲线数量的增加，它的周长也会随之增大。
此外，洛基克还发现，如果一个玫瑰线的椭圆轴长恒定，那么它的周长是恒定的，而且，它的形状和大小也不会发生变化。
这就是我们所说的玫瑰线周长的恒等关系。
洛基克的发现使得研究玫瑰线的学者们更加兴奋，他们可以通过这个恒等关系，来计算出玫瑰线的周长，并且，也可以从中获得更深入的知识，对玫瑰线有更深刻的了解。
因此，有关玫瑰线周长的恒等关系，对数学爱好者来说也是一个有趣的研究课题，因为它可以帮助我们更好地理解玫瑰线的特性，从而推动玫瑰线研究的发展。
总之，洛基克发现的这个恒等关系，为研究玫瑰线提供了有用的信息，也为未来研究玫瑰线提供了建设性的基础，使得许多学者和数学爱好者都把玫瑰线当作一个有趣的研究课题，在未来也能看到更多有关玫瑰线的研究成果。
极坐标图案
香了
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心脏线
❖ 心脏线是外摆线的一种。它可以极坐标的形
式表示：
或
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星形线
星形线由于 有四个尖端， 所以有时也 被称为四尖 内摆线
返回
克莱线
克莱线是极坐标方程为 次曲线，其中a是一个实数。
的六
返回
费马螺线
费马螺线是等角螺线的一种，表达式为
极坐标定义
❖ 在 平面内取一个定点O， 叫极点，引一条射线Ox，叫做极 轴，再选定一个长度单位和角度的正方向(通常取逆时针方 向)。对于平面内任何一点M，用ρ表示线段OM的长度，θ表 示从Ox到OM的角度，ρ叫做点M的极径，θ叫做点M的极角， 有序数对 (ρ,θ)就叫点M的极坐标，这样建立的坐标系叫做 极坐标系。
返回
螺线定义
❖ 是指一些围着某些定点或轴旋转且不断收缩 或扩展的曲线。
玫瑰线
❖ 玫瑰线是极坐标方程
或
(0≤θ<2π）所表示的曲线。
玫瑰线的有趣现象
❖ 如果k是偶数，玫瑰线就有2k个瓣，如果k是 奇数，则有k个瓣。
❖ 如果k是有理数，玫瑰线就是封闭的，其长度 有限。如果k是无理数，则曲线不是封闭的， 长度为无穷大
极坐标系
在极坐标中，x被ρcosθ代替，y被ρsinθ代替。
ρ=
极坐标系是一个二维坐标系统。该
坐标系统中的点由一个夹角和一段相对中心点—
—极点（相当于我们较为熟知的直角坐标系中的
原点）的距离来表示。在两点间的关系用夹角和
距离很容易表示时，极坐标系便显得尤为有用；
而在平面直角坐标系中，这样的关系就只能使用
❖ 连锁螺线，是所有形式为
有意思的闭合曲线
有意思的闭合曲线
1. 莫比乌斯带：这是一种单侧、无间断的闭合曲面，由德国数学家莫比乌斯发现。
它只有一面，但可以通过扭曲一个纸条来制作。
2. 克莱因瓶：这是一种无定向的二维图形，看起来像一个瓶子。
在三维空间中，克莱因瓶是一个无底的、自身相交的曲面。
3. 曼德布罗集：这是一组无穷的复杂分形集合，其形状像一个树状的分形。
它可以产生一些美丽的图案和形状。
4. 康托尔集：这是另一种无穷的复杂分形集合，由德国数学家康托尔发现。
它可以产生一些有趣的视觉效果。
5. 玫瑰线：这是一种几何图形，表示平面上的某些点按照一定的规律连接所形成的曲线。
因为这些曲线在极坐标下呈现出玫瑰花般的形状，所以被称为玫瑰线。