上海市普陀区2016届高三12月教学质量调研数学理试题

2015-2016学年第一学期普陀区高三质量教研卷
理科数学 2015.12.23
考生注意：
1.答卷前，考生务必在答题纸上将姓名，考试号填写清楚，并在规定的区域填写条形码
2.本试卷共有23道题，满分150分，答题时间120分钟
3.本试卷令附答题纸，每道题的解答必须写在答题纸的相应位置，本卷上任何解答都不作评分依据. 一、填空题（本大题56分）本大题共有14小题，要求直接将结果填写在答题纸对应的空格中，每小空格填对得4分，填错或不正确的位置一律得零分）
1.若全集U R =，集合{|(2)0}M x x x =-≤，{1,2,3,4}N =，则U N M = ð_______.
2.若函数()1f x x =-，()1g x x x =-+，则()()f x g x +=________.
3.在7
(21)x -的二项展开式中，第四项的系数为__________. 4.在4
4
x π
π
-
≤≤
，则函数tan y x =的值域为__________.
5.在数列{}n a 中，11a =，*121()n n a a n N +=+∈， 则数列11n a ⎧⎫
⎨⎬+⎩
⎭的各项和为______. 6.若函数3
()(0)f x x x =
≥的反函数是1()f x -，则不等式1()()f x f x ->的解集为_______.
7.设O 为坐标原点，若直线1
:02
l y -
=与曲线2:10x y τ--=相交于A B 、点，则扇形AOB 的面积为_________.
8.若正六棱柱的底面边长为10，侧面积为180，则这个棱柱的体积为_________.
9.若在北纬45 的纬度圈上有A B 、两地，经度差为90
，则A B 、两地的球面距离与地球半径的比值为________.
10.方程22log (45)2log (22)x x -=+-的解x =________.
11.设P 是双曲线22
142
x y -=上的动点，若P 到两条渐近线的距离分别为12,d d ，则12d d ⋅=_________.
12.如图，已知正方体111ABCD A B C D - ，若在其12条棱中随机地取3条，
则这三条棱两两是异面直线的概率是___________（结果用最简分数表示） 13．若F 是抛物线2
4y x =的焦点，点(1,2,3,...,10)i P i =在抛物线上，且
12100...0PF P F P F +++= ，则12100||||...||PF P F P F +++= ________.
14.若函数2
()|sin |(,)3sin f x x t x t R x
=+
+∈+ 最大值记为()g t ，则函数()g t 的最小值为__________.
A
B
C
D
1A 1
B 1
C 1D
二、选择题（本大题20分，共4小题，每小题5分） 15.下列命题中的假命题是（ ）
A. 若0a b <<，则11a b >
B. 若1
1a >，则01a <<
C. 若0a b >>，则44a b >
D. 若1a <，则
1
1a
< 16.若集合{}
,R ,lg 230,R 3x A x y x B x x x x ⎧⎫⎪⎪
==∈=-<∈⎨⎬-⎪⎪⎩⎭
，则“x A ∈”是“x B ∈”成立的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
17.如图，在四面体ABCD ，AB CD =，,M N 分别是,BC AD 的中点，若AB 与CD 所成的角的大小为60︒，则MN 和CD 所成的角的大小为（ ）
A. 30
B. 60︒
C. 30 或60︒
D. 15 或60︒
18、若函数()()lg 1,1
sin ,1
2x x f x a x x π⎧->⎪
=⎨⎛⎫
≤⎪ ⎪⎝⎭⎩
，关于x 的方程 ()()()210f x a f x a -++=，给出下列结论：
①存在这样的实数a ，使得方程由3个不同的实根；②不存在这样的实数a ，使得方程由4个不同的实
根；③存在这样的实数a ，使得方程由5个不同的实数根；④不存在这样的实数a ，使得方程由6个不同的实数根.
其中正确的个数是（ ）
.A 1个 .B 2个 .C 3个 .D 4个
三、解答题:（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸规定的方框内写出必要的步骤.
19.（本题满分12分）本题共2个小题，第1小题满分6分，第二小题满分6分
如图，椭圆22
1259x y +=的左、右两个焦点分别为12,F F ，A 为椭圆的右顶点，点P 在椭圆上且
127cos 8
PF F ∠=. （1）计算1PF 的值； （2）求1PF A ∆的面积.
20.（本题满分14分）本题共2个小题，第1小题满分6分，第二小题满分8分
某种“笼其”由内，外两层组成，无下底面，内层和外层分别是一个圆锥和圆柱，其中圆柱与圆锥的底面周长相等，圆柱有上底面，制作时需要将圆锥的顶端剪去，剪去部分和接头忽略不计，已知圆柱的底
M
N
A
B
C
D
O x
A
y P
1
F
面周长为24cm π，高为30cm ，圆锥的母线长为20cm . （1）求这种“笼其”的体积（结果精确到0.13cm ）；
（2）现要使用一种纱网材料制作50个“笼其”，该材料的造价为每平方米8元，共需多少元？
21.（本题满分14分）本题共2个小题，第1小题满分6分，第二小题满分8分 已知函数()22sin sin 21f x x x =+-. （1）求函数()f x 的单调递增区间；
（2）设20cos cos sin 266x f ππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，其中00x π<<，求0tan x 的值.
22.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分 已知*n N ∈，数列{}n a 的前n 项和为n S ，且21n n a S -=. （1）求证：数列{}n a 是等比数列，并求出通项公式；
（2）对于任意{}12,,,i j n a a a a a ∈ 、（其中1i n ≤≤，1j n ≤≤，i j 、均为正整数），若i a 和j a 的所有乘积i j a a ⋅的和记为n T ，试求lim
4n
n
x T →∞的值； （3）设()
1
2113log ,1n n n n n n b a c b b +++==-⋅，若数列{}n c 的前n 项和为n C ，是否存在这样的实数t ，使得
对于所有的n 都有2n C tn ≥成立，若存在，求出t 的取值范围；若不存在，请说明理由.
23.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分
已知集合M 是满足下列性质的函数()f x 的全体，存在实数()0a k k ≠、，对于定义域内的任意x 均有
()()f a x kf a x +=-成立，称数对(),a k 为函数()f x 的“伴随数对”
（1）判断()2f x x =是否属于集合M ，并说明理由；
（2）若函数()sin f x x M =∈，求满足条件的函数()f x 的所有“伴随数对”； （3）若()()1,1,2,1-都是函数()f x 的“伴随数对”，当12x ≤<时，()cos 2
f x x π
⎛⎫=
⎪⎝⎭
； 当2x =时，()0f x =.求当20142016x ≤≤时，函数()y f x =的解析式和零点.
参考答案。