人教A版高中数学选修4-2-1.3.1 线性变换的基本性质-课件(共20张PPT)

意平面向量，l 为任意实数，则
A（la）a= b
cd
l
x y
=
a c
b d
lx ly
=
laxlby lcxldy
;
l（Aa）l = ac
b d
x y
=l
axby cxdy
=
laxlby lcxldy
.
因此得 A（la） = l（Aa）.
问题2. a，b 是任意的两个平面向量，对于任一
二阶矩阵 A，A（ab）=AaAb 是否成立? 画图试试。
1. 坐标平面上一向量经过两次线性变换 所得的结果，与两次变换的先后顺序有什么 关系?
2. 二阶矩阵与向量的乘法有什么性质?
3. 在线性变换的作用下，点的像是什么? 直线的像是什么?
（一） 线性变换的基本性质
问题1. 请画图检验，设向量 a= 1 ，把向量 a 先 2
伸长 2 倍，再按逆时针方向旋转 90; 把向量 a 先按
换，它的像就是这条直线与 x 轴的交点。
y
l
A
O
x
性质2: 二阶矩阵对应的变换 （线性变换） 把平面上的直线变成直线 （或一点）。
对性质 2 的证明我们简述如下:
设 P1，P2 是直线上的两点，则存在实数 l，m，使 P1P2 = lOP1 mOP2,
设线性变换矩阵为 A， ① 直线 P1P2 在 A 的作用下的像为
解:
∵1 0
1 0
1 1
=
2 0
，
11 00
1 2
=
3 0
设 A 为关于 x 轴的反射变换矩阵，
OA = α, OB = β, 如图，
y
y
B
C
B
（旋转变 换也同样， 同学们可试 试。）
A
A
O
x
O
A x
C
B C
α β = OC,
Aα = OA, Aβ = OB,
A(α β) = OC.
Aα Aβ = OC.
A（ab）=AaAb
证明:
设 A= a c
b d
= ac（（xx11xx22））db（（yy11.yy22））
所以得 A（ab） = AaAb.
性质 1: 设 A 是一个二阶矩阵，a，b 是平面上
的任意两个向量，l 是一个任意实数，则 （1） A（la） =lAa;
（2） A（ab） =AaAb.
由性质 1 很容易推出下面的定理。
定理 1: 设 A 是一个二阶矩阵，a，b 是平面
上的任意两个向量，l1，l2 是任意两个实数，则 A（l1al2b） =l1Aal2Ab.
问题3. 平面上一点经过线性变换所得的像仍然是 一个点吗? 一条直线呢?
一个点经过任意的线性变换，所得的像都是一个 点。
一条直线经过线性变换后，所得的像是一条直线 或一个点。
如: 一条垂直于 x 轴的直线，关于 x 轴的投影变
逆时针方向旋转 90 再伸长 2 倍。 这两个过程的结果
相同吗? 两用代数运算试试。
y
y
2a a
O
x
a
O
x
先伸长，再旋转; 先旋转，再伸长。
两结果相同。
（一） 线性变换的基本性质
问题1. 请画图检验，设向量 a= 1 ，把向量 a 先 2
伸长 2 倍，再按逆时针方向旋转 90; 把向量 a 先按
逆时针方向旋转 90 再伸长 2 倍。 这两个过程的结果
相同吗? 两用代数运算试试。
90旋转变换公式为
x y
= =
x cos 90 x sin 90
ysin ycos
90, 90.
xy
= =
y, x.
设 A=R90
=
0 1
1 0
。
先伸长，再旋转:
A（2a）0= 1 10
2 4
=
4 。 2
证明:
设 A= a c
b d
为任意二阶矩阵，a=
x y
为任
x y
=
2 1 t
0 1
，
经矩阵 M 投影变换:
M
x y
=
1 0
0 0
2 1
t
1 0
0 0
0 1
=
2 0 t
0 0
=
2 0.
经 M 投影变换将 l 变成了一个点 （2，0）。
3. 已知平面上的三点 A（1，1），B（1，2），C（2，1）， 在矩阵 1 1 对应的线性变换的作用下，问
00 （1） 直线 AB 变成了什么图形? 画出图形。 （2） 直线 BC 变成了什么图形? 画出图形。 （3） △ABC 变成了什么图形? 画出图形。
x y
=
1 0
t
1 2
，
经矩阵 M 切变变换:
M
x y
=
1 1
0 1
1 0
t
1 1
0 1
1 2
=
1 1
t
1 1
，
切变变换将 l 变成了一条过点 M0（x0，y0） 且平行于向量 vvv12= OX =OM0 tv, tR,
l 的向量方程为:
为任意二阶矩阵，a=
x1 y1
，
b=
x2 y2
是两意平面向量，则
A（ab）a= b cd
x1 y1
x2 y2
=
a c
b d
x1x2 y1y2
= ac（（xx11xx22））db（（yy11;yy22））
AaAb= a c
b d
x1 y1
a c
b d
x2 y2
=
ax1by1 cx1dy1
ax2by2 cx2dy2
A P1P2 = A(lOP1 mOP2) = lAOP1 mAOP2,
当 AOP1 = AOP2 时，上式为
(l m)AOP1,
这是点 P1 经过 A 变换，再经过 （lm） 伸缩 的一个点。
当 AOP1 AOP2 时，①式结果是 以 AOP1, AOP2 的数乘向量之和确定的一条直线。
l 的向量方程为:
x y
=
x0 y0
t
v1 v2
，tR，即
其中 X（x，y） 是直线上的任意一点。
试利用直线的向量方程来求解下列问题:
的直
（1） 直线 l 经过点 A（1，0），B（0，2），考察矩阵
M= 1 0 对应的切变变换把直线 l 变成了什么? 11
解:
AB =
1 2
，
则直线 l 的向量方程为
1. 矩阵 1 2 对应的线性变换把直线 y=x2 变成 01
什么?
解: 由线性变换矩阵得
x y
= =
x y.
2
y,
用 x，y 表示 x，y 得
x y
= =
x y.
2
y,
代入直线的方程得
y=x2y2，
线性变换将直线 y=x2
即 x3y2=0. 变成了另一直线 x3y2=0.
线 2. 过点 M0（x0，y0） 且平行于向量 vvv12= OX =OM0 tv, tR,
x y
=
x0 y0
t
v1 v2
，tR，即
其中 X（x，y） 是直线上的任意一点。
试利用直线的向量方程来求解下列问题:
的直
（2） 直线 l 经过点 A（2，1） 且垂直于 x 轴，考察矩 阵 M= 1 0 对应的投影变换把直线 l 变成了什么?
00
解:
取垂直于
x
轴的一个向量为
0 1
，
则直线 l 的向量方程是