计算机数值方法教学课件-第二章 常微分方程数值解法

y 2 y 1 h (y 2 2 y x 2 2 ) 1 .0
9 0 .1 1 (1 .1 88 2 2 0 .2 ) 7 1 .17 1 .1827
6
y3y2h(y22yx22)1.2599
y3y2h(y32yx33)1.2547
27
（三）梯形公式
f y(x)f(x,y)
ddxy f(x, y) y(x0) y0
x n1
yn1yn (xn1xn)f(xn,y(xn)) hf(xn,y(xn))
即：
y(x0) y0 yn1 yn hf(xn, yn)
15
欧拉公式的的几何描述
y(x0)y0 yn1ynh(fxn,yn)
y f (x, y)
y
(
x0
)
y0
n0,1,2,...
y
y=y(x)
x0, y0 x1, y1
其中：
hxn1 xn
可以得到：
yyn(x10)yny0 hf(xn, yn)
12
求导的两点公式解释
y(xn
)
y(xn1) y(xn) h
y(xn) f (xn, yn)
可以得到：
y(x0) y0 yn1 yn hf(xn, yn)
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积分公式解释
yf(x,y) axb (1 .1 )
y n * 1 y ( x n ) h 2 fx n ,y n fx n 1 ,y n 1 y ( x n ) h 2 y ( x n ) y ( x n 1 )
y (x n 1 ) y (x n ) y (x n )h y 2 (x !n )h 2 L
v v tend
end
假设牵引力不恒定呢？
m dv F t,v
dt
2
解析方法与数值方法
虽然求解微分方程有许多解析方法，但解析方法只 能够求解一些特殊类型的方程。 还有一类近似方法称为数值方法，它可以给出解在 一些离散点上的近似值。利用计算机解微分方程主 要使用数值方法。
3
主要研究对象：初值问题
x x0 x1 x2 x3 x4
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例题1：（取步长h=0.1）用Euler方法求满足条
件
dy
2
y
t2et
,1
t
2
dt t
的y(t) 数值解。
y(1.0) 0.0
解：
yn1ynh(t2nyntn 2etn)
y1y00.1(t2 0 y0t0 2et0)0.271828
y2y10 .1 (t2 1y1t1 2et1)0 .6 8 4 7 5 5 5 7 8
ddxy f(x, y) y(x0) y0
(axb)
x
y(x)y0x0 f(x,y(x))dx
y
y=y(x)
x0=a x1 x2 x3 xk-1 xk
x
xn-1 xn=b
求数值解：求y(x)在离散数据点xk处的近似值yk 。
4
有解条件：
定理1：设 f (x,y) 是定义在区域
G={(x,y)|a≤x≤b, y∈R}上的连续函数，若存在
(axb)
x
xn
x n1
yx n 1yx nx x n n 1f x ,yx d x
yn 1ynh 2 f x n,ynf x n 1,yn 1
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梯形公式局部截断误差
y (x n 1 ) y (x n ) y (x n ) h y 2 (x ! n )h 2 y 3 ( ! x n )h 3 L
正的常数 L 使：
(Lipschitz)条件
|f(x ,y 1 ) f(x ,y 2 )| L |y 1 y 2 |
使 得 对 任 意 的 x [ a , b ] 及 y 1 ,y 2 都 成 立 ， 则称 f (x,y) 对y 满足李普希兹条件，此时初 值问题在[a,b]上存在唯一的连续可微的解。
其公式为：
x
xn
x n1
yn1ynhf(xn1,yn1), y(x0)y0,
n0,1,2,L
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yn1ynhf(xn1,yn1), y(x0)y0,
n0,1,2,L
（2）局部截断误差 y (x n 1 ) y (x n ) y (x n )h y ( 2 x n )h 2 O (h 3 )
5
有解条件的判断：
在 f (x,y) 对y可微的情况下，若偏导数有界：
f(x,y) L, (x,y)G y
则Lipschitz条件成立：
|f(x,y1)f(x,y2)|f( xy ,y*)(y1y2)L|y1y2|
6
适定性条件：
适定性：指初值问题中，初始值y0及微分方 程的右端函数f (x,y) 有微小变化时，只能引起 解的微小变化。 定理2：如果f(x,y)在G={(x,y)|a≤x≤b, y∈R}上 满足Lipschitz条件，则初值问题是适定的。
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计算公式为：
yn1 yn1
yn yn
hf(xn,yn) hf(xn1,yn1),n0,1,2,....
y(x0)y0
y
n
由显式得到，称为预估值；
1
yn+1由隐式得到，称为校正值。
这种求解方法统称为预估－校正方法。其求解过 程为：
y 0 y 1 y 1 y 2 y 2 y n y n
定理：若初值问题的一个单步法的局部截断误差为：
R n1O (hp1),p1,且增量函数 (xn,y(xn),h)
关于y满足Lipschitz条件，则整体整截体断截误断差误差：比局 e n 1y(x n 1)-y n 1 O (h p) 部截断误差低1阶
32
证明：R n 1 y (x n 1 ) y n * 1 O (h P 1 )
1
K2)
K1 f (xn, yn)
K
2
f (xn h, yn hK1)
31
（四）欧拉方法的收敛性分析
定义：由初值问题的单步法产生的近似解 y n ，如果对于
任一固定的 xn x0nh 均有
lim
h0
yn
y( xn )
，则称
该方法是收敛的。
n
局部截断误差：
R n 1 y ( x n 1 ) - y n * 1 y ( x n 1 ) - y ( x n ) h ( x n , y ( x n ) , h )
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数值解列表为
yn1ynh(t2nyntn 2etn)
n
tn
yn
y(tn)
0 1.0
0.0
0.0
1 1.1 0.27183 0.34592
2 1.2 0.68476 0.86664
3 1.3 1.27698 1.60722
4 1.4 3.09355 3.62036
10 3.0 15.39824 18.683
欧拉方法)h2L y(xn)hf(xn,y(xn))O(h2)
yn * 1y(xn)hf(xn,y(xn))
R n 1y (x n 1)-y n * 1 O (h 2) 具有1阶精度。
21
（二）向后欧拉法
（1）方法
f y(x)f(x,y)
y(xn1)y(xn1)h y(xn)
②、求导的两点公式解释
③、积分公式解释
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泰勒公式解释
y ( x n 1 ) y ( x n ) y ( x n ) h y ( 2 x ! n ) h 2 y ( p P ) ( ! x n ) h p y ( ( p p 1 ) 1 ( ) ) h p ! 1
y (x n ) h f(x n ,y (x n )) O (h 2 )
y2x, y
y(0) 1
(0 x1)
x0=0, y0=1, 取h=0.1
向后Euler法的公式为
yn1 ynh(yn12yxnn11)
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yn1 yn hf(xn, yn) y0 y(x0)
yn1 ynhf(xn1,yn1) y(x0)y0,
方法比较及推广：
Euler方法 显式公式 向后Euler方法 隐式公式 解一个非线性方程 难求解 显式和隐式相结合 隐式的显化
y n 1 y n h 2 fx n ,y n fx n 1 ,y n h fx n ,y n
30
y n 1 y n h 2 fx n ,y n fx n 1 ,y n h fx n ,y n
为了表示方便，可以改写为：
y n 1
yn
h 2
(K
7
数值方法的基本思想
在解的存在区间 [a, b]上取n + 1个节点
a x 0 x 1 x 2 x n b
这里把 h ixi 1xi,i= 0 ,1 ,...,n称为由xi到xi+1的步长 一般取成等间距的： h b a
n
求解方法：步进法（分为单步法和多步法）
8
本章规定：
在 x n 处初值问题的理论解用 y ( x n ) 表示，数值解 法的近似解用 y n 表示。 记 fn f(xn,yn) ，它和 f (xn, y(xn)) 是不同的，后 者等于 y ( x n ) 。
称该误差为数值方法在xn+1点处的局部截断误差。
R n 1 H ( x n 1 ,y ( x n 1 ) ) h p 1 O ( h p 2 )
局部截断误差的第一个非零项为局部截断误差主项。
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欧拉方法的误差估计
定义：如果求解公式的局部截断误差为R (h)=O(hp+1)，则
称该求解公式具有p阶精度，称该方法为p阶方法。
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欧拉方法的误差估计
为了简化分析，着重分析xn点单步计算产生的误差， 即把xn点之前的计算当作无误差：