最新高三3月综合练习数学(文)试卷
2021-2022年高三下学期3月模拟检测数学(文)试题 含答案
2021年高三下学期3月模拟检测数学（文）试题 含答案注意事项：1. 答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。
2. 每题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，在改涂在其他答案标号。
3. 回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
4. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第I 卷（选择题 共60分）一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合A=，集合B 为函数y=的定义域，则=( )A.(1，2)B.[1,2]C.[1,2)D.(1,2]2.若复数z 满足，则在复平面内，z 对应的点的坐标是（ ）A.（2,4）B.（2，-4）C.（4，-2）D.（4,2）3.一枚质地均匀的正方体骰子，六个面上分别刻着一点到六点，甲乙两人各掷骰子一次，则甲掷骰子向上的点数大于乙掷骰子向上的点数的概率为（ ）A. B. C. D.4.实数x ，y 满足条件⎪⎩⎪⎨⎧->≤≤+-111x y y x ，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 55.将函数的图像上所有的点向左平移个单位长度，再把图像上个点的横坐标扩大到原来的2倍，则所得到的图像的解析式为（ ）A. B.C. D.6.某校通过随机询问100名性别不同的学生是否能做到“光盘”行动，得到如下联表：则下列结论正确的是（）A.在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“该校学生能否做到“光盘”与性别无关”B.有99%以上的把握认为“该校学生能否做到“光盘”与性别有关”C.在犯错误的概率不超过10%的前提下，认为“该校学生能否做到“光盘”与性别有关”D.有99%以上的把握认为“该校学生能否做到“光盘”与性别无关”7.已知向量，，则的值为（）A.1B.2C.D. 38.如图所示程序框图中，输出S=（）A.45B.-55C. -66D.669.某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的x的值是（）A.2B.C.D.310.下图可能是下列哪个函数的图像（）A. B. C. D.11.已知中心在坐标原点的椭圆与双曲线有公共焦点，且左右焦点分别为，这两条曲线在第一象限的交点为P，是以为底边的等腰三角形，若||=10，椭圆与双曲线的离心率分别为，则的取值范围是（）A. B. C. D.12.若a 是=在的一个零点，则 ，下列不等式恒成立的是（ ）A. B. C. D.第II 卷（非选择题 共90分）注意事项：第II 卷所有题目的答案考生需用黑色签字笔答在“数学”答题卡指定的位置。
高三数学下学期3月质量检测试题文含解析试题
卜人入州八九几市潮王学校2021届高三数学下学期3月质量检测试题文〔含解析〕一、选择题：此题一共12小题，每一小题5分，一共60分．在每一小题给出的四个选项里面，只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的．z ＝〔1+2i 〕〔1+ai 〕〔a ∈R 〕，假设z ∈R ，那么实数a ＝〔〕A.12B.12-C.2D.﹣2【答案】D 【解析】 【分析】化简z ＝〔1+2i 〕〔1+ai 〕=()()122a a i -++，再根据z ∈R 求解.【详解】因为z ＝〔1+2i 〕〔1+ai 〕=()()122a a i -++，又因为z ∈R ， 所以20a +=， 解得a ＝-2. 应选：D【点睛】此题主要考察复数的运算及概念，还考察了运算求解的才能，属于根底题.M ＝{x |﹣1＜x ＜2}，N ＝{x |x 〔x +3〕≤0}，那么M ∩N ＝〔〕A.[﹣3，2〕B.〔﹣3，2〕C.〔﹣1，0]D.〔﹣1，0〕【答案】C 【解析】 【分析】先化简N ＝{x |x 〔x +3〕≤0}={x |-3≤x ≤0}，再根据M ＝{x |﹣1＜x ＜2}，求两集合的交集. 【详解】因为N ＝{x |x 〔x +3〕≤0}={x |-3≤x ≤0}， 又因为M ＝{x |﹣1＜x ＜2}， 所以M ∩N ＝{x |﹣1＜x ≤0}. 应选：C【点睛】此题主要考察集合的根本运算，还考察了运算求解的才能，属于根底题. 3.同时抛掷两个质地均匀的骰子，向上的点数之和小于5的概率为〔〕A.19B.16C.118D.512【答案】B 【解析】 【分析】先列举算出抛掷两个质地均匀的骰子一共有根本领件的总数，再找出向上的点数之和小于5的事件的根本领件的个数，然后通过古典概型的概率公式求解.【详解】抛掷两个质地均匀的骰子，一共有6636⨯=种可能， 向上的点数之和小于5的有()()()()()()1112132122,3,1，，，，，，，，，有6种， 所以向上的点数之和小于5的概率为16. 应选：B【点睛】此题主要考察古典概型的概率求法，还考察了运算求解的才能，属于根底题. 4.执行如下列图的程序框图，输出的s 的值是〔〕 A.53B.85C.138D.2113【答案】C 【解析】 【分析】根据循环构造依次进展，直至不符合4i ≤，终止循环，输出s . 【详解】第一次循环，2,1s i ==，第二次循环，3,22si ==， 第三次循环，5,33s i ==，第四次循环，8,45s i ==，第四次循环，13,58s i ==，此时不满足4i ≤，输出138s =.应选：C【点睛】此题主要考察程序框图中的循环构造，还考察了逻辑推理的才能，属于根底题. 5.数列{a n }的前n 项之和S n ＝n 2+1，那么a 1+a 3＝〔〕A.6B.7C.8D.9【答案】B 【解析】 【分析】根据数列{a n }的前n 项之和S n ＝n 2+1，求出123,,a a a ，再求解.【详解】数列{a n }的前n 项之和S n ＝n 2+1， 所以112S a ==，所以21225,3S a a a =+=∴=， 所以3123310,5S a a a a =++=∴=，所以a 1+a 3＝7. 应选：B【点睛】此题主要考察数列的前n 项和与项的关系，还考察了运算求解的才能，属于根底题.C 1：x 2+y 2＝4与圆C 2：x 2+y 2﹣4x +4y ﹣12＝0的公一共弦的长为〔〕C. D.【答案】C 【解析】 【分析】两圆方程相减，得到公一共弦所在的直线方程，然后利用其中一个圆，结合弦长公式求解. 【详解】因为圆C 1：x 2+y 2＝4与圆C 2：x 2+y 2﹣4x +4y ﹣12＝0， 两式相减得20x y --=，即公一共弦所在的直线方程.圆C1：x 2+y 2＝4，圆心到公一共弦的间隔为d =，所以公一共弦长为：l ==.应选：C【点睛】此题主要考察直线与圆，圆与圆的位置关系，还考察了运算求解的才能，属于根底题. 7.tan 〔4πα+〕＝7，且32ππα＜＜，那么sinα＝〔〕A.35B.35-C.45D.45-【答案】B 【解析】 【分析】先利用两角和的正切转化tan 〔4πα+〕＝1tan 7,1tan αβ+=-求得3tan 4α=，再结合平方关系22sin cos 1αα+=求解.【详解】因为tan 〔4πα+〕＝1tan 7,1tan αα+=-所以3tan 4α=， 即sin 3cos 4αα=， 又因为22sin cos 1αα+=且32ππα＜＜，所以sinα＝35. 应选：B【点睛】此题主要考察两角和的正切及同角三角函数根本关系式化简求值，还考察了运算求解的才能，属于根底题.1e ，2e 是夹角为60°的两个单位向量，而a =212e e +，b =-31e +22e ，那么向量a 和b夹角为〔〕A.6πB.3π C.23π D.56π 【答案】C 【解析】 【分析】先根据1e ，2e 是夹角为60°的两个单位向量，且a=212e e +，b =-31e +22e ，求得a b ⋅，a，b ，再代入夹角公式cos ,a b a b a b⋅=求解.【详解】因为1e ，2e 是夹角为60°的两个单位向量，且a =212e e +，b =-31e +22e ，所以()()121272322a b e e e e ⋅⋅-+=-=+，所以()21227a e e =+=，()212327b e e =-+=所以1cos ,2a b a b a b⋅==-，， 又因为[],0,a b π∈所以向量a 和b 夹角为23π. 应选：C【点睛】此题主要考察平面向量的数量积运算，还考察了运算求解的才能，属于中档题.f 〔x 〕＝sin 2x +sin 2〔x 3π+〕，那么f 〔x 〕的最小值为〔〕A.12B.14D.2【答案】A 【解析】 【分析】先通过降幂公式和辅助角法将函数转化为()11cos 223f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，再求最值.【详解】函数f 〔x 〕＝sin 2x +sin 2〔x 3π+〕，=21cos21cos 2322x x π⎛⎫-+ ⎪-⎝⎭+， =1cos 2111cos 22223x x π⎛⎛⎫-=-+ ⎪ ⎝⎭⎝⎭， 因为[]cos 21,13x π⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭， 所以f 〔x 〕的最小值为12. 应选：A【点睛】此题主要考察倍角公式及两角和与差的三角函数的逆用，还考察了运算求解的才能，属于中档题.SG 1G 2G 3中，E 、F 分别是G 1G 2及G 2G 3的中点，D 是EF 的中点，如今沿SE 、SF 及EF 把这个正方形折成一个四面体，使G 1、G 2、G 3三点重合，重合后的点记为G ，那么，在四面体S ﹣EFG 中必有〔〕A.SG ⊥△EFG 所在平面B.SD ⊥△EFG 所在平面C.GF ⊥△SEF 所在平面D.GD ⊥△SEF 所在平面【答案】A 【解析】 【分析】在正方形SG 1G 2G 3中，有SG 1⊥G 1E ，在折叠后其垂直关系不变，所以有SG ⊥EG.同理有有SG ⊥FG ，再由线面垂直的断定定理证明. 【详解】在正方形SG 1G 2G 3中， 因为SG 1⊥G 1E ，所以在四面体中有SG ⊥EG. 又因为SG 3⊥G 3F ，所以在四面体中有SG ⊥FG ，且GE GF G =，所以SG ⊥△EFG 所在平面. 应选：A【点睛】此题主要考察折叠问题及线面垂直的断定定理，还考察了推理论证的才能，属于中档题.x 的不等式x 3﹣ax 2+1≥0在[﹣1，1]恒成立，那么实数a 的取值范围是〔〕A.a ≤0B.a ≤lC.a ≤2D.a 2≤【答案】A 【解析】 【分析】 当0x =时，不等式成立，当0x ≠时将不等式x 3﹣ax 2+1≥0在[)(]1,00,1x ∈-恒成立，转化为21a x x ≤+在[)(]1,00,1x ∈-恒成立，最后求解即可.【详解】当0x =时，不等式成立，a R ∈当0x ≠时关于x 的不等式x 3﹣ax 2+1≥0在[)(]1,00,1x ∈-恒成立，即21ax x ≤+在[)(]1,00,1x ∈-恒成立，令()21g x x x =+，()1332102g x x x'=-=⇒=，当[)1,0x ∈-时，()0g x '>，当(]0,1x ∈时，()0g x '<.所以()g x 在[)1,0-递增，在(]0,1递减当[)1,0x ∈-时，()()min 10g x g =-=当(]0,1x ∈时，()()min 12g x g == 所以()gx 的最小值为0.所以0a ≤ 应选：A【点睛】此题主要考察不等式恒成立问题及导数求最值，还考察了转化化归的思想和运算求解的才能，属于中档题.12.△ABC 的三边分别为a ，b ，c ，假设满足a 2+b 2+2c 2＝8，那么△ABC 面积的最大值为〔〕A.5B.5C.5D.3【答案】B 【解析】 【分析】根据a 2+b 2+2c 2＝8，得到22282a b c +=-，由余弦定理得到22cos 83ab C c =-，由正弦定理得到2sin 4ab C S =，两式平方相加得()()()22224834ab c S =-+，而222822a b c ab +=-≥，两式结合有()()()()222222248283165S cc c c≤---=-，再用根本不等式求解.【详解】因为a 2+b 2+2c 2＝8， 所以22282a b c +=-，由余弦定理得222283cos 22a b c c C ab ab+--==，即22cos 83ab Cc =-①由正弦定理得in 12s S ab C =， 即2sin 4ab CS =②由①，②平方相加得()()()()()222222222483482ab c S a b c =-+≤+=-，所以()()()()2222222222116556448283165525c c S c c c c ⎛⎫-+≤---=-≤=⎪⎝⎭，即245S ≤，所以S ≤，当且仅当22a b =且221655c c -=即222128,55a b c ===时，取等号. 应选：B【点睛】此题主要考察了正弦定理和余弦定理及根本不等式的应用，还考察了运算求解的才能，属于中档题. 二、填空题：此题一共4小题，每一小题5分，一共20分．f 〔x 〕＝xlnx +1在点〔e ，e +l 〕处的切线方程为___．【答案】2x ﹣y ﹣e +1＝0． 【解析】 【分析】根据函数f 〔x 〕＝xlnx +1，求导得()1ln f x x '=+，再分别求得()f e '，()f e ，用点斜式写出切线方程.【详解】因为函数f 〔x 〕＝xlnx +1， 所以()1ln f x x '=+， 所以()1ln 2f e e '=+=，()ln 11f e e e e =+=+，所以切线方程为：()()12y e x e -+=-，即210x y e --+=.故答案为：210x y e --+=【点睛】此题主要考察了导数的几何意义，还考察了运算求解的才能，属于根底题.f 〔x 〕cosx asinx+=在〔0，2π〕上单调递减，那么实数a 的取值范围为___． 【答案】a ≥﹣1． 【解析】 【分析】 将函数f 〔x 〕cosx a sinx+=在〔0，2π〕上单调递减，转化()21cos 0sin a x f x x --'=≤在〔0，2π〕上恒成立即1cos ax ≥-在〔0，2π〕上恒成立再求1cos x -最大值即可. 【详解】因为函数f 〔x 〕cosx asinx +=在〔0，2π〕上单调递减，所以()21cos 0sin a xf x x --'=≤在〔0，2π〕上恒成立， 即1cos a x ≥-在〔0，2π〕上恒成立，因为0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 所以()cos 0,1x ∈，所以1(,1]cos x-∈-∞-， 所以1a ≥-. 故答案为：1a ≥-【点睛】此题主要考察了导数与函数的单调性，还考察了转化化归的思想和运算求解的才能，属于中档题.15.M=+M 的最大值为___．【答案】1. 【解析】【分析】利用柯西不等式求解.【详解】由柯西不等式得：22221x y ⎡⎤⎡⎤≤++=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，=221xy +=取等号.故M 的最大值为1 故答案为：1【点睛】此题主要考察了柯西不等式的应用，还考察了运算求解的才能，属于中档题.16.根据气象部门预报，在间隔某个码头A 南偏东45°方向的600km 处的热带风暴中心B 正以30km /h 的速度向正北方向挪动，间隔风暴中心450km 以内的地区都将受到影响，从如今起经过___小时后该码头A 将受到热带风暴的影响〔准确到0.01〕．h.【解析】【分析】先建立坐标系，设风暴中心最初在B处，经th后到达C处．自B向x轴作垂线，垂足为D．假设在点C处受到热带风暴的影响，那么AC＝450，那么有=450，即=450；两边平方并化简、整理求解.【详解】建立如下列图直角坐标系：设风暴中心最初在B处，经th后到达C处．自B向x轴作垂线，垂足为D．假设在点C处受到热带风暴的影响，那么OC＝450，=450，=450；两边平方并化简、整理得t2﹣t+175＝0=或者5，∴t5所以9.14时后码头将受到热带风暴的影响．【点睛】此题主要考察了三角函数的实际应用，还考察了运算求解的才能，属于中档题.三、解答题：一共70分．解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须答题．第22、23题为选考题，考生根据要求答题．〔一〕必考题：一共60分．17.假设等比数列{a n}的前n项和为S n，满足a4﹣a1＝S3，a5﹣a1＝15．〔1〕求数列{a n}的首项a1和公比q；〔2〕假设a n＞n+100，求n的取值范围．【答案】〔1〕q＝2，a1＝1；〔2〕n≥7.【解析】【分析】〔1〕根据a4﹣a1＝S3，a5﹣a1＝15，利用“q，a1〞法求解.2n-＞n+100，通过估值法求解.〔2〕由〔1〕建立不等式1【详解】〔1〕∵a4﹣a1＝S3，a5﹣a1＝15．显然公比q≠1，∴()()()3131********a q a q q a q ⎧-⎪-=⎪-⎨⎪-=⎪⎩，解可得q ＝2，a 1＝1，〔2〕由〔1〕可得a n ＝12n -， ∵a n ＞n +100，即12n -＞n +100， 解可得，n ≥7．【点睛】此题主要考察了等比数列的通项公式及其应用，还考察了运算求解的才能，属于中档题. 18.如图，在棱长为a 的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，P ，Q ，L 分别为棱A 1D 1，C 1D 1，BC 的中点． 〔1〕求证：AC ⊥QL ； 〔2〕求四面体DPQL 的体积． 【答案】〔1〕见解析；〔2〕318a . 【解析】 【分析】〔1〕取CD 的中点H ，根据正方体的几何性质，有QH ⊥AC ，AC ⊥HL ，再利用线面垂直的断定定理证明. 〔2〕连接PB 1，B 1L ，四边形LDPB 1是平行四边形，根据等体积法，那么有11Q PDL Q PB L L QPB V V V ---==，然后通过1L QPB V -求解.【详解】〔1〕证明：如下列图：H 为CD 的中点，连接QH ，HL ，P ，Q ，L 分别为棱A 1D 1，C 1D 1，BC 的中点．所以QH ⊥AC ，AC ⊥HL ，QH ∩HL ＝H ， 所以AC ⊥平面QHL ， ∵QL ⊂平面QHL ， ∴AC ⊥QL ； 〔2〕解：如下列图：连接PB 1，B 1L ，四边形LDPB 1是平行四边形，那么11Q PDLQ PB L L QPB V V V ---==318a =． 【点睛】此题主要考察了正方体的几何特征和线面垂直的断定定理，以及三棱锥的体积，还考察了空间想象，推理论证，运算求解的才能，属于中档题.19.一个小商店从一家食品购进10袋白糖，每袋白糖的HY 重量是500g ，为了理解这些白糖的实际重量，称量出各袋白糖的实际重量〔单位：g〕如下：503，502，496，499，491，498，506，504，501，510〔1〕求这10袋白糖的平均重量x和HY差s；〔2〕从这10袋中任取2袋白糖，那么其中恰有一袋的重量不在〔x-s，x+s〕的概率是多少？〔附：≈5.08≈16.06≈5.09≈16.09〕【答案】〔1〕501，5.08；〔2〕16 45.【解析】【分析】〔1〕根据提供的数据，利用平均数和方差公式求解.〔2〕根据〔1〕的结合，算出重量在〔x-s，x+s〕内的袋数和不在内的袋数，然后得出从10袋中选2袋的方法数和恰有一袋的方法数，再利用古典概型的概率公式求解.【详解】〔1〕根据题意，10袋白糖的实际重量如下：503，502，496，499，491，498，506，504，501，510，那么其平均重量110x=〔503+502+496+499+491+498+506+504+501+510〕＝500110+〔3+2﹣4﹣1﹣9﹣2+6+4+1+10〕＝501，其方差S2110=[〔503﹣501〕2+〔502﹣501〕2+〔496﹣501〕2+〔499﹣501〕2+〔491﹣501〕2+〔498﹣501〕2+〔506﹣501〕2+〔504﹣501〕2+〔501﹣501〕2+〔510﹣501〕2]＝2；那么其HY差s=≈5.08；〔2〕根据题意，由〔1〕的结论，10袋白糖在〔x-s，x+s〕之间的有503，502，496，499，498，506，504，501，一共8袋，从10袋白糖中任取两袋，有C102＝45种取法，其中恰有一袋的重量不在〔x-s，x+s〕的情况有8×2＝16种，那么恰有一袋的重量不在〔x-s，x+s〕的概率P16 45 =．【点睛】此题主要考察了平均数，方差及古典概型的概率，还考察了运算求解的才能，属于中档题.20.抛物线Γ：y2＝2px〔p＞0〕的焦点为F，P是抛物线Γ上一点，且在第一象限，满足FP=〔2，〕〔1〕求抛物线Γ的方程；〔2〕经过点A〔3，﹣2〕的直线交抛物线Γ于M，N两点，经过定点B〔3，﹣6〕和M的直线与抛物线Γ交于另一点L，问直线NL是否恒过定点，假设过定点，求出该定点，否那么说明理由．【答案】〔1〕y2＝4x；；〔2〕直线NL恒过定点〔﹣3，0〕，理由见解析.【解析】 【分析】〔1〕根据抛物线的方程，求得焦点F 〔2p，0〕，利用FP =〔2，P 的坐标，再代入抛物线方程求解.〔2〕设M 〔x 0，y 0〕，N 〔x 1，y 1〕，L 〔x 2，y 2〕，表示出MN 的方程y 01014x y y y y +=+和ML 的方程y 02024x y y y y +=+，因为A 〔3，﹣2〕，B 〔3，﹣6〕在这两条直线上，分别代入两直线的方程可得y 1y 2＝12，然后表示直线NL 的方程为：y ﹣y 1124y y =+〔x 214y -〕，代入化简求解.【详解】〔1〕由抛物线的方程可得焦点F 〔2p，0〕，满足FP =〔2，的P 的坐标为〔22p +，，P 在抛物线上，所以〔22＝2p 〔22p+〕，即p 2+4p ﹣12＝0，p ＞0，解得p ＝2，所以抛物线的方程为：y 2＝4x ； 〔2〕设M 〔x 0，y 0〕，N 〔x 1，y 1〕，L 〔x 2，y 2〕，那么y 12＝4x 1，y 22＝4x 2，直线MN 的斜率k MN10102210101044y y y y y y x x y y --===--+，那么直线MN 的方程为：y ﹣y104y y =+〔x 204y -〕，即y 01014x y y y y +=+①，同理可得直线ML 的方程整理可得y 02024x y y y y +=+②，将A 〔3，﹣2〕，B 〔3，﹣6〕分别代入①，②的方程可得01010202122126y y y y y y y y +⎧-=⎪+⎪⎨+⎪-=⎪+⎩，消y 0可得y 1y 2＝12，易知直线k NL 124y y =+，那么直线NL 的方程为：y ﹣y 1124y y =+〔x 214y -〕，即y 124y y =+x 1212y y y y ++，故y 124y y =+x 1212y y ++，所以y 124y y =+〔x +3〕，因此直线NL 恒过定点〔﹣3，0〕．【点睛】此题主要考察了抛物线的方程及直线与抛物线的位置关系，直线过定点问题，还考察了转化化归的思想和运算求解的才能，属于中档题. 21.〔1〕研究函数f 〔x 〕sinxx=在〔0，π〕上的单调性； 〔2〕求函数g 〔x 〕＝x 2+πcos x 的最小值．【答案】〔1〕f 〔x 〕在〔0，π〕递减；〔2〕24π.【解析】 【分析】 〔1〕根据()sinx f x x =，求导得()2'xcosx sinxf x x -=，设m 〔x 〕＝x cos x ﹣sin x ，x ∈〔0，π〕，通过求导来判断其正负，从而得到f ′〔x 〕的正负，进而研究f 〔x 〕的单调性.〔2〕易知g 〔x 〕是偶函数，故只需求x ∈[0，+∞〕时g 〔x 〕的最小值，求导得g ′〔x 〕＝2x ﹣πsin x ，根据sinx 的特点，分x ∈〔0，2π〕和2x π⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，时两种情况讨论g 〔x 〕单调性，进而求其最小值. 【详解】〔1〕因为()sinx f x x =，所以()2'xcosx sinx f x x-=， 设m 〔x 〕＝x cos x ﹣sin x ，x ∈〔0，π〕，m ′〔x 〕＝﹣x sin x ＜0，所以m 〔x 〕在〔0，π〕递减，那么m 〔x 〕＜m 〔0〕＝0 故f ′〔x 〕＜0，所以f 〔x 〕在〔0，π〕递减；〔2〕观察知g 〔x 〕为偶函数，故只需求x ∈[0，+∞〕时g 〔x 〕的最小值， 由g ′〔x 〕＝2x ﹣πsin x ，当x ∈〔0，2π〕时，设n 〔x 〕＝2x ﹣πsin x ，那么n ′〔x 〕＝2﹣πcos x ，显然n ′〔x 〕递增， 而n ′〔0〕＝2﹣π＜0，'202n π⎛⎫=⎪⎝⎭＞，由零点存在定理，存在唯一的002x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，使得n ′〔x 0〕＝0 当x ∈〔0，x 0〕时，n ′〔x 〕＜0，n 〔x 〕递减， 当02x x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，n ′〔x 〕＞0，n 〔x 〕递增， 而n 〔0〕＝0，02n π⎛⎫=⎪⎝⎭，故02x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，n 〔x 〕＜0， 即02x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，g ′〔x 〕＜0，那么g 〔x 〕递减； 又当2x π⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭，时，2x ＞π＞πsin x ，g ′〔x 〕＞0，g 〔x 〕递增； 所以2()24ming x g ππ⎛⎫==⎪⎝⎭．【点睛】此题主要考察了导数与函数的单调性及最值，还考察了转化化归的思想和运算求解的才能，属于难题.〔二〕选考题：一共10分，请考生在第22、23题中任选一题答题，假设多做，那么按所做的第一题计分． [选修4-4：坐标系与参数方程]xOy 中，曲线C 1的参数方程为54x cos y sin αα=⎧⎨=⎩〔α为参数〕，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2：ρ2﹣4ρcosθ+3＝0．〔1〕求曲线C 1的一般方程和曲线C 2的直角坐标方程； 〔2〕假设点P 在曲线C 1上，点Q 曲线C 2上，求|PQ |的最小值．【答案】〔1〕2212516x y +=，〔x ﹣2〕2+y 2＝1；〔2〕2.【解析】 【分析】〔1〕由C 1的参数方程为5(4x cos y sin ααα=⎧⎨=⎩为参数〕，消去参数即可转换为直角坐标方程，根据曲线C 2：ρ2﹣4ρcosθ+3＝0．利用cos ,sin x y ρθρθ==转换为直角坐标方程.〔2〕设点P 〔5cosθ，4sinθ〕，根据点Q 在圆上，先求点P 到圆心的间隔，然后减去半径即为最小值.【详解】〔1〕曲线C 1的参数方程为5(4x cos y sin ααα=⎧⎨=⎩为参数〕，两式平方相加整理得2212516x y +=．将cos ,sin x y ρθρθ==代入ρ2﹣4ρcosθ+3＝0．得x 2+y 2﹣4x +3＝0， 整理得〔x ﹣2〕2+y 2＝1．〔2〕设点P 〔5cosθ，4sinθ〕在曲线C 1上，圆心O 〔2，0〕， 所以：PO ===，当cosθ＝1时，|PO |min ＝3， 所以|PQ |的最小值3﹣1＝2．【点睛】此题主要考察了参数方程，普通方程，极坐标方程间的互化及点与圆的位置关系，还考察了转化化归的思想和运算求解的才能，属于中档题. [选修4-5：不等式选讲]f 〔x 〕＝|2x ﹣a |+|x ﹣a +1|．〔1〕当a ＝4时，求解不等式f 〔x 〕≥8；〔2〕关于x 的不等式f 〔x 〕22a ≥在R 上恒成立，求参数a 的取值范围．【答案】〔1〕[5，+∞〕∪〔∞，13-]；〔2〕[﹣2，1]. 【解析】 【分析】〔1〕根据a ＝4时，有f 〔x 〕＝|2x ﹣4|+|x ﹣3|，然后利用绝对值的几何意义，去绝对值求解. 〔2〕根据绝对值的零点有a ﹣1和12a ，分a ﹣112a =，a ﹣112a ＞和a ﹣112a ＜时三种情况分类讨论求解.【详解】〔1〕当a ＝4时，f 〔x 〕＝|2x ﹣4|+|x ﹣3|， 〔i 〕当x ≥3时，原不等式可化为3x ﹣7≥8，解可得x ≥5， 此时不等式的解集[5，+∞〕；〔ii〕当2＜x＜3时，原不等式可化为2x﹣4+3﹣x≥8，解可得x≥9此时不等式的解集∅；〔iii〕当x≤2时，原不等式可化为﹣3x+7≥8，解可得x13≤-，此时不等式的解集〔∞，13 -]，综上可得，不等式的解集[5，+∞〕∪〔∞，13 -]，〔2〕〔i〕当a﹣112a=即a＝2时，f〔x〕＝3|x﹣1|22a≥=2显然不恒成立，〔ii〕当a﹣112a＞即a＞2时，()1321211123211x a x af x x a x ax a x a⎧-+-≤⎪⎪⎪=--⎨⎪-+≥-⎪⎪⎩，，＜＜，，结合函数的单调性可知，当x12a=时，函数获得最小值f〔12a〕112a=-，假设f〔x〕22a≥在R上恒成立，那么211122a a-≥，此时a不存在，〔iii〕当a﹣112a＜即a＜2时，f〔x〕3211111213212x a x ax a x ax a x a⎧⎪-+-≤-⎪⎪=-+-⎨⎪⎪-+≥⎪⎩，，＜＜，假设f〔x〕22a≥在R上恒成立，那么121122a a-≥，解得﹣2≤a≤1，此时a的范围[﹣2，1]，综上可得，a的范围围[﹣2，1]．【点睛】此题主要考察了绝对值不等式的解法及含有绝对值的不等式恒成立问题，还考察了分类讨论的思想和运算求解的才能，属于中档题.。
福建省厦门市2021届高三3月质量检查文科数学试题
厦门市2021届三月高三质量检测数学 (文科 )试题本试卷分第|一卷 (选择题 )和第二卷 (非选择题 )两局部.总分值为150分,考试时间120分钟. 参考公式：锥体体积公式 13V Sh =,其中S 为底面面积 ,h 为高.第|一卷 (选择题:共60分 )一、选择题：本大题共12小题 ,每题5分 ,共60分.在每题给出的四个选项中 ,只有一项为哪一项符合题目要求的.1．全集U R = ,集合{}2|1A x x =≥ ,那么U C A 等于A. (,1)-∞- B ．(1,1)-C. []1,1-D ．(1,)+∞2．如图 ,在边长为2的正方形内随机取一个点 ,那么此点在正方形的内切圆内部的概率为A ．4πB ．44π-C ．14π- D ．4ππ-3．假设x R ∈ ,那么 "0x =〞是 "220x x -=〞的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 4．以下命题正确的选项是A ．0.20.2log 3log 2>B ．320.20.2>C ．0.20.223>D ．30.20.2log 3>5．设n m ,是两条不同的直线 ,,αβ是两个不同的平面 ,给出以下条件 ,能得到m β⊥的是 A ．,m αβα⊥⊂ B ．,m ααβ⊥⊥ C ．,m n n β⊥⊂ D ．//,m n n β⊥ 6．将函数()sin 2f x x =的图象向右平移6π个单位 ,得到函数()y g x =的图象 ,那么它的一个对称中|心是A ．(,0)2π-B. (,0)6π-C. (,0)6πD. (,0)3π7．定义!12n n =⨯⨯⨯．右图是求10!的程序框图 ,那么在判断框内应填的条件是A ．10i < B.10i ≤ C.11i ≤ D.10i >8．F 是抛物线24y x =的焦点,准线与x 轴的交点为M ,点N 在抛物(第2题图 )线上,且12NF MN =,那么FMN ∠等于 A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．75︒9．函数221,1,()log (1),1x x f x x x ⎧-≤=⎨->⎩的零点个数为A ．1B ．2C ．3D ．410．式子(,,)a b c σ满足(,,)(,,)(,,)a b c b c a c a b σσσ== ,那么称(,,)a b c σ为轮换对称式．给出如下三个式子：①(,,)a b c abc σ=；②222(,,)a b c a b c σ=-+；③2(,,)cos cos()cos A B C C A B C σ=⋅--(,,A B C 是ABC ∆的内角 )．其中 ,为轮换对称式的个数是A ．0B ．1C ．2D ．311．如图,在边长为2的菱形ABCD 中 ,60ABC ∠= ,对角线相交于点O ,P 是线段BD 的一个三等分点 ,那么 AP AC ⋅等于 A. 1 B ．2 C. 3 D ． 412．对于函数()x f ,假设存在区间[]n m , ,使[]n m x ,∈时 ,()[],(*)f x km kn k N ∈∈ ,那么称区间[]n m ,为函数()x f 的 "k 倍区间〞．函数()x x x f sin 3+= ,那么()x f 的 "5倍区间〞的个数是A ．0B ．1C ．2D ．3第二卷(非选择题:共90分)二、填空题：本大题共4小题 ,每题4分 ,共16分.把答案填在答题卡的相应位置. 13．设i 为虚数单位 ,那么复数212ii+- = ． 14．焦点在x 轴上 ,渐近线方程为3y x =±的双曲线的离心率为 ．15．△ABC 的三个内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,假设△ABC 的面积为33,3,43a B π==,那么b = ． 16．给出以下命题： ①23x y +=的最||小值是2；②11,0a b ab a b><>若则成立的充要条件是； ③假设不等式240x ax +-<对任意(1,1)x ∈-恒成立 ,那么a 的取值范围为(3,3)-． 真命题的序号是 ．(写出所有正确命题的序号)三、解答题：本大题共６小题 ,共74分 ,解容许写出文字说明 ,证明过程或演算步骤 ,在答题卷上相应题目的答题区域内作答． 17． (本小题总分值12分 )为了了解甲、乙两名同学的数学学习情况,对他们的7次数学测试成绩 (总分值100分 )进行统计 ,作出如下的茎叶图 ,其中,x y 处的数字模糊不清．甲同学成绩的中位数是83 ,乙同学成绩的平均分是86分.(Ⅰ )求x 和y 的值；(Ⅱ )现从成绩在［90 ,100］之间的试卷中随机抽取两份进行分析 ,求恰抽到一份甲同学试卷的概率．18． (本小题总分值12分 )函数()sin())33f x x x ππ=-+-． (Ⅰ )求()f x 在[0,2]π上的单调递增区间；(Ⅱ )设函数()(1sin )()g x x f x =+ ,求()g x 的值域.甲 乙6 378 7 x 1 8 3 3 y 2 39 0 1 6(第17题图 )19． (本小题总分值12分 )如图 ,在三棱锥P ABC -中 ,PA ⊥底面ABC ,,D E 分别是线段,BC PD 的中点.(Ⅰ )假设2AP AB AC === , 23BC = ,求三棱锥P ABC -的体积； (Ⅱ )假设点F 在线段AB 上 ,且14AF AB = ,证明：直线EF ∥平面PAC ．20． (本小题总分值12分 )设直线:54l y x =+是曲线:C 321()23f x x x x m =-++的一条切线 ,2()223g x ax x =+-． (Ⅰ )求切点坐标及m 的值；(Ⅱ )当m Z ∈时 ,存在[0,)x ∈+∞()()f x g x ≤使成立 ,求实数a 的取值范围．21． (本小题总分值12分 )某校高一学生1000人 ,每周一次同时在两个可容纳600人的会议室 ,开设 "音乐欣赏〞与 "美术鉴赏〞的校本课程．要求每个学生都参加 ,要求第|一次听 "音乐欣赏〞课的人数为m ()400600m << ,其余的人听 "美术鉴赏〞课；从第二次起 ,学生可从两个课中自由选择．据往届经验 ,但凡这一次选择 "音乐欣赏〞的学生 ,下一次会有20﹪改选 "美术鉴赏〞 ,而选 "美术鉴赏〞的学生 ,下次会有30﹪改选 "音乐欣赏〞 ,用n n b a ,分别表示在第n 次选 "音乐欣赏〞课的人数和选 "美术鉴赏〞课的人数．(Ⅰ)假设500=m ,分别求出第二次,第三次选 "音乐欣赏〞课的人数23,a a ； (Ⅱ) (ⅰ )证明数列{}600-n a 是等比数列 ,并用n 表示n a ；(ⅱ )假设要求前十次参加 "音乐欣赏〞课的学生的总人次不超过5800 ,求m 的取值范围．22． (本小题总分值1４分 )圆22:34O x y += ,椭圆22:1259x y C +=． (Ⅰ )假设点P 在圆O 上 ,线段OP 的垂直平分线经过椭圆的右焦点 ,求点P 的横坐标；(Ⅱ )现有如下真命题："过圆222253x y +=+上任意一点(.)Q m n 作椭圆2222153x y +=的两条切线 ,那么这两条切线互相垂直〞；"过圆222247x y +=+上任意一点(.)Q m n 作椭圆2222147x y +=的两条切线 ,那么这两条切线互相垂直〞．据此,写出一般结论 ,并加以证明．厦门市2021届高三质量检查数学 (文科 )参考答案一、选择题：本大题共12小题 ,每题5分 ,共60分.1 -6：BAADDC 7 -12： BCCCBD12.提示：先证明函数()x x x f sin 3+=在R 上是增函数 ,再确定方程x x x 5sin 3=+有三个不等根 ,得()f x 有三个 "5倍区间〞．二、填空题：本大题共6小题 ,每题4分 ,共24分.在答题卡上的相应题目的答题区域内作答.13．i 14. 2 15.16. ②三、解答题：本大题共6小题 ,共74分．17. 此题主要考查茎叶图 ,样本的数字特征 ,古典概型 ,考查数据处理能力和运算求解能力 ,考查或然与必然的数学思想．总分值12分. 解： (Ⅰ )甲同学成绩的中位数是83 ,∴3x =, ……………………………………………… 3分 乙同学的平均分是86分 , ∴1(78838380909196)867y +++++++=, ∴1y =. …………………………………………………… 6分(Ⅱ )甲同学成绩在［90 ,100］之间的试卷有二份 ,分别记为1a ,2a ,乙同学成绩在［90 ,100］之间的试卷有三份 ,分别记为1b ,2b ,3b , "从这五份试卷中随机抽取两份试卷〞的所有可能结果为：()12,a a ,()11,a b ,()12,a b ,()13,a b ,()()2122,,,a b a b ,()23,a b ,()12,b b ,()13,b b ,()23,b b ,共有10种情况 , …………………………………………… 9分记 "从成绩在［90 ,100］之间的试卷中随机抽取两份 ,恰抽到一份甲同学试卷〞为事件M ,()11,a b ,()12,a b ,()13,a b ,()()2122,,,a b a b ,()23,a b ,共有6种情况……11分 那么63()105P M == , 答：从成绩在［90 ,100］之间的试卷中随机抽取两份进行分析 ,恰抽到一份甲同学试卷的概率为35. ……………………………………………………………………12分 18. 此题主要考查三角函数的恒等变换 ,三角函数的根本性质 ,考查运算求解的能力 ,化归与转化的思想．总分值12分.解: (Ⅰ )()2sin()2sin 33f x x x ππ=+-= ,………………………………………2分 sin 2,2]()22y x k k k Z ππππ=∈函数的单调递增区间是[-+ , ………………4分 3()[0,2][0,],[,2]22f x ππππ∴在上的单调递增区间为； ………………………6分(Ⅱ )由 (Ⅰ )可得 ,2()2(1sin )sin 2sin 2sin g x x x x x =+=+ , ………7分 设sin t x = ,当x R ∈时 ,[1,1]t ∈- ,那么2211()222()22h t t t t =+=+-, ……………………………………………………9分 由二次函数的单调性可知 ,min 1()2h t =- ,又(1)0,(1)4,h h -==max ()4h t ∴=, ………………………………………………11分那么函数()g x 的值域为1[,4]2-． ………………………………………………………12分 19. 此题主要考查直线与平面的位置关系、棱锥体积计算 ,考查空间想象能力、推理论证能力及运算求解能力 ,考查化归与转化思想、数形结合思想．总分值12分. 解： (Ⅰ )在ABC ∆中 ,2AB AC == ,23BC =点D 是线段BC 的中点 ∴AD ⊥BC ∴1AD =∴ABC S ∆123132=⨯⨯= , …………………3分PA ⊥底面ABC ,∴112332333P ABC ABC V S PA -∆=⋅⋅=⨯⨯=．……6分 (Ⅱ )法一:取CD 的中点H,连接FH,EH,∵E 为线段PD 的中点,∴△PDC 中,E H ∥PC,∵EH ⊄平面PAC ,PC ⊂平面PAC ,∴EH ∥平面PAC , ……………………8分∵14AF AB =,∴△ABC 中,F H ∥AC, ∵FH ⊄平面PAC ,AC ⊂平面PAC ,∴FH ∥平面PAC , ……………………………10分FH EH =H ,∴ 平面EHF ∥平面PAC ,………11分ＥF ⊂平面EHF ,∴EF ∥平面PAC . ………12分法二:分别取AD ,AB 的中点M ,N ,连结EM ,MF ,DN , 点E 、M 是分别是线段PD 、AD 的中点 ,∴EM ∥PA , EM ⊄平面PAC ,PA ⊂平面PAC ,∴EM ∥平面PAC ,…………………………………8分12AN AB =,14AF AB = ,∴点F 是线段AN 的中点, 在ADN ∆中 ,AF =FN ,AM =MD ,∴ MF ∥DN,在ABC ∆中 ,AN =NB ,CD =DB ,∴ DN ∥AC ,∴MF ∥AC ,MF ⊄平面PAC ,AC ⊂平面PAC , ∴ MF ∥平面PAC , …………10分 EM MF =M ,∴平面EMF ∥平面PAC , …………………………11分EF ⊂平面EMF ,∴EF ∥平面PAC . ………………………………12分20.此题主要考查函数的单调性,最||值,切线,含参数的不等式成立问题 ,考查运算求解的能力,考查函数与方程、数形结合、化归与转化等数学思想方法．总分值12分. (Ⅰ )解：设直线l 与曲线C 相切于点00(,)P x y ,()22f x x x '=-+２,∴0022x x -+２5=, 解得01x =-或03x =,…………………………………2分 当01x =-时 ,01y =- ,(1,1)P --在曲线C 上 ,∴73m =, 当03x =时 ,019y = ,(3,19)P 在曲线C 上 ,∴13m =,切点(1,1)P -- ,73m =, ……………………………………………4分 切点(3,19)P , 13m =． ……………………………………………6分 (Ⅱ)解法一：∵m Z ∈ ,∴13m = ,设321()()()(1)363h x f x g x x a x =-=-++ , 假设存在[0,)x ∈+∞()()f x g x ≤使成立 ,那么只要min ()0h x ≤ , ……………8分[]2()2(1)2(1)h x x a x x x a '=-+=-+ ,(ⅰ)假设10a +≥即1a ≥- ,令()0h x '> ,得2(1)x 0x a >+<或 ,[0,)x ∈+∞ ,∴()h x 在(2(1),)a ++∞上是增函数 ,令()0h x '≤ ,解得02(1)x a ≤≤+ ,∴()h x 在[0,2(1)]a +上是减函数 ,∴min ()(2(1))h x h a =+ ,(2(1))0h a +≤令,解得2a ≥ ,…………………………………………………………………10分 (ⅱ)假设10a +<即1a <- ,令()0h x '> ,解得2(1)x 0x a <+>或 ,[0,)x ∈+∞ , ∴()h x 在(0,)+∞上是增函数 ,∴min ()(0),h x h = (0)0h ≤令 ,不等式无解 ,∴a 不存在 , …………11分综合 (ⅰ ) (ⅱ )得 ,实数a 的取值范围为[2,)+∞．………………………12分 解法二：由()()f x g x ≤得2321363ax x x ≥-+, (ⅰ)当0x ≠时 ,213613a x x ≥+- ,设2136()13h x x x=+- 假设存在[0,)x ∈+∞()()f x g x ≤使成立 ,那么只要min ()h x a ≤ , ……8分33331726()33x h x x x -'=-= ,令()0h x '≥ 解得6x ≥∴()h x 在[6)+∞上是增函数 , 令()0h x '< ,解得06x ∴<< ∴()h x 在(0,6)上是减函数 ,∴min ()(6)2h x h == ,∴2a ≥ , ……………………………10分(ⅱ )当0x =时 ,不等式2321363ax x x ≥-+ 不成立 , ∴a 不存在 , ……………………………………………………………11分 综合 (ⅰ ) (ⅱ )得 ,实数a 的取值范围为[2,)+∞． ………………12分21. 此题主要考查数列的概念 ,等比数列的定义 ,数列求和 ,考查运算求解的能力 ,应用意识 ,考查特殊与一般的思想 ,分类与整合的思想． 总分值12分. 解：(Ⅰ)由1000=+n n b a ,又5001=a ,5001=∴b , ……………………1分 ∴5503.08.0112=+=b a a ,…………………………………………………2分∴2450b = ,∴5751354403.08.0223=+=+=b a a ．……………………………………4分 (Ⅱ) (ⅰ )由题意得n n n b a a 3.08.01+=+ ,()3005.010003.08.01+=-+=∴+n n n n a a a a ,……………………5分 ()600216001-=-∴+n n a a , - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -6分()400,600m ∈ ,∴16000a -≠ ,∴数列{}600-n a 是等比数列 , - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - -7分∴()121600600-⎪⎭⎫⎝⎛⨯-=-n n m a ,得()121600600-⎪⎭⎫⎝⎛⨯-+=n n m a - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - -8分(ⅱ )前十次听 "音乐欣赏〞课的学生总人次即为数列{}n a 的前10项和10S ,()()10911102360006001600060022512S m m ⎛⎫=+-⨯+++=+-⨯ ⎪⎝⎭ ,…10分 由 ,580010≤S ,得()()512010236002058051201023600600⨯-≤⇒≤⨯-+m m , 1023512020600⨯≥-∴m ,1.100600-≤∴m ,…………………11分*N m ∈ ,∴m 的取值范围是400499m <≤,且*N m ∈．……12分22. 此题考查直线 ,圆 ,椭圆等根底知识 ,考查运算求解能力 ,类比、探究归纳能力 ,考查数形结合思想 ,化归与转化思想．总分值14分． 解法一： (Ⅰ )设点00(,)P x y ,那么220034x y += , (1 ) ……………………1分设线段OP 的垂直平分线与OP 相交于点M ,那么M 00(,)22x y ,……2分椭圆22:1259x y C +=的右焦点(4,0)F , ………………3分 MF OP ⊥,∴1OP MFk k ⋅=- ,∴ 000002142y y x x -⋅=-- , ∴2200080y x x +-= , (2 )…………………………4分由 (1 ) , (2 ) ,解得0174x = ,∴点P 的横坐标为174．…5分 (Ⅱ )一般结论为："过圆2222x y a b +=+上任意一点(,)Q m n 作椭圆22221x y a b+=的两条切线 ,那么这两条切线互相垂直．〞………………………………6分证明如下：(ⅰ )当过点Q 与椭圆22221x y a b+=相切的一条切线的斜率不存在时 ,此时切线方程为x a =± ,点Q 在圆2222x y a b +=+上 ,∴(,)Q a b ±± ,∴直线y b =±恰好为过点Q 与椭圆22221x y a b+=相切的另一条切线 ,∴两切线互相垂直．…………………………………………7分 (ⅱ )当过点(,)Q m n 与椭圆22221x y a b+=相切的切线的斜率存在时 ,可设切线方程为()y n k x m -=- ,由22221,(),x y a b y n k x m ⎧+=⎪⎨⎪-=-⎩得 []222222()0b x a k x m n a b +-+-= , 整理得()222222222()2()0b a k x a k n km x a n km a b ++-+--= ,…9分 直线与椭圆相切 ,∴42222222224()4()[()]0a k n km b a k a n km a b ∆=--+--= ,整理得()()2222220m a k mnk n b --+-= ,………………………11分∴221222n b k k m a-=- , ……………………………………………… 12分 点(,)Q m n 在圆2222x y a b +=+上 ,∴2222m n a b +=+ ,……13分∴2222m a b n -=- ,∴121k k =- ,∴两切线互相垂直 ,综上所述 ,命题成立．…………………………………………………14分解法二：(Ⅰ )设点00(,)P x y ,那么220034x y += , (1 )……………………………1分椭圆22:1259x y C +=的右焦点(4,0)F ,………………………………2分 点F 在线段OP 的垂直平分线上 , ∴PF OF = ,∴22200(4)(0)4x y -+-= , ∴2200080x x y -+= , (2 )……4分由 (1 ) , (2 ) ,解得0174x = , ∴点P 的横坐标为174．……………5分 (Ⅱ )同解法一．。
湖北省武汉市2020届高三下学期文数3月质量检测试卷
湖北省武汉市2020届高三下学期文数3月质量检测试卷一、单选题 (共12题；共24分)1．（2分）已知复数z＝（1+2i）（1+ai）（a∈R），若z∈R，则实数a＝（）A．12B．−12C．2D．﹣22．（2分）已知集合M＝{x|﹣1＜x＜2}，N＝{x|x（x+3）≤0}，则M∩N＝（）A．[﹣3，2）B．（﹣3，2）C．（﹣1，0]D．（﹣1，0）3．（2分）同时抛掷两个质地均匀的骰子，向上的点数之和小于5的概率为（）A．19B．16C．118D．5124．（2分）执行如图所示的程序框图，输出的s的值为（）A．53B．85C．138D．21135．（2分）已知数列{a n}的前n项之和S n＝n2+1，则a1+a3＝（）A．6B．7C．8D．9 6．（2分）圆C1：x2+y2＝4与圆C2：x2+y2﹣4x+4y﹣12＝0的公共弦的长为（）A．√2B．√3C．2√2D．3√27．（2分）已知tan（α+π4）＝7，且π<α<3π2，则sinα＝（）A．35B．−35C．45D．−458．（2分）若e1⃗⃗⃗⃗ ，e2⃗⃗⃗⃗ 是夹角为60°的两个单位向量，而a⃗=2 e1⃗⃗⃗⃗ +e2⃗⃗⃗⃗ ，b⃗=−3 e1⃗⃗⃗⃗ +2 e2⃗⃗⃗⃗ ，则向量a⃗和b⃗夹角为（）A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π69．（2分）已知函数f （x ）＝sin 2x +sin 2（x +π3 ），则f （x ）的最小值为（ ）A ．12B ．14C ．√34D ．√2210．（2分）在正方形SG 1G 2G 3中，E 、F 分别是G 1G 2及G 2G 3的中点，D 是EF 的中点，现在沿SE 、SF 及EF 把这个正方形折成一个四面体，使G 1、G 2、G 3三点重合，重合后的点记为G ，那么，在四面体S ﹣EFG 中必有（ ）A ．SG ⊥△EFG 所在平面B ．SD ⊥△EFG 所在平面C ．GF ⊥△SEF 所在平面D ．GD ⊥△SEF 所在平面11．（2分）如果关于x 的不等式x 3﹣ax 2+1≥0在[﹣1，1]恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．a ≤0B ．a ≤lC ．a ≤2D ．a ≤3√23212．（2分）已知△ABC 的三边分别为a ，b ，c ，若满足a 2+b 2+2c 2＝8，则△ABC 面积的最大值为（ ）A ．√55B ．2√55C ．3√55D ．√53二、填空题 (共4题；共4分)13．（1分）函数f （x ）＝xlnx +1在点（e ，e +l ）处的切线方程为 ． 14．（1分）若函数f （x ） =cosx+asinx在（0， π2 ）上单调递减，则实数a 的取值范围为 ． 15．（1分）已知 M =x√1−y 2+y√1−x 2 ，则M 的最大值为 ．16．（1分）根据气象部门预报，在距离某个码头A 南偏东45°方向的600km 处的热带风暴中心B 正以30km /h 的速度向正北方向移动，距离风暴中心450km 以内的地区都将受到影响，从现在起经过 小时后该码头A 将受到热带风暴的影响（精确到0.01）．三、解答题 (共7题；共65分)17．（10分）若等比数列{a n }的前n 项和为S n ，满足a 4﹣a 1＝S 3，a 5﹣a 1＝15．（1）（5分）求数列{a n }的首项a 1和公比q ； （2）（5分）若a n ＞n +100，求n 的取值范围．18．（10分）如图，在棱长为a 的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，P ，Q ，L 分别为棱A 1D 1，C 1D 1，BC的中点．（1）（5分）求证：AC ⊥QL ； （2）（5分）求四面体DPQL 的体积．19．（10分）一个小商店从一家食品有限公司购进10袋白糖，每袋白糖的标准重量是500g ，为了了解这些白糖的实际重量，称量出各袋白糖的实际重量（单位：g ）如下：503，502，496，499，491，498，506，504，501，510（1）（5分）求这10袋白糖的平均重量 x̅ 和标准差s ； （2）（5分）从这10袋中任取2袋白糖，那么其中恰有一袋的重量不在（ x̅−s ， x ̅+s ）的概率是多少？（附： √25.8≈ 5.08， √258≈ 16.06， √25.9≈ 5.09， √259≈ 16.09）20．（10分）已知抛物线Γ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点为F ，P 是抛物线Γ上一点，且在第一象限，满足 FP⃗⃗⃗⃗⃗ = （2，2 √3 ） （1）（5分）求抛物线Γ的方程；（2）（5分）已知经过点A （3，﹣2）的直线交抛物线Γ于M ，N 两点，经过定点B （3，﹣6）和M 的直线与抛物线Γ交于另一点L ，问直线NL 是否恒过定点，如果过定点，求出该定点，否则说明理由．21．（5分）（1）（5分）研究函数f （x ） =sinxx在（0，π）上的单调性。
银川市数学高三文数3月综合素质检测试卷(I)卷
银川市数学高三文数 3 月综合素质检测试卷（I）卷姓名:________班级:________成绩:________一、 单选题 (共 12 题；共 24 分)1. （2 分） (2018 高二下·陆川月考) 设集合，则（）A. B.C.D. 2. （2 分） 已知复数 A. B.，则的最大值为（ ）C. D.3 3. （2 分） (2016 高二上·宣化期中) 下列命题中正确的是（ ） ①“若 x2+y2≠0，则 x，y 不全为零”的否命题； ②“正多边形都相似”的逆命题； ③“若 m＞0，则 x2+x﹣m=0 有实根”的逆否命题；④“若 x﹣ 是有理数，则 x 是无理数”的逆否命题．A . ①②③④ B . ①③④第 1 页 共 13 页C . ②③④ D . ①④ 4. （2 分） (2017·运城模拟) 已知 F2、F1 是双曲线 ﹣ =1（a＞0，b＞0）的上、下焦点，点 F2 关 于渐近线的对称点恰好落在以 F1 为圆心，|OF1|为半径的圆上，则双曲线的离心率为（ ） A.3 B. C.2 D. 5. （2 分） (2016 高二下·唐山期中) P 是曲线 x2﹣y﹣lnx=0 上的任意一点，则点 P 到直线 y=x﹣3 的最小距 离为（ ） A.1 B. C. D.2 6. （2 分） (2019 高一上·吉林月考) 一个几何体的三视图如图所示，则几何体的体积是（ ）A.第 2 页 共 13 页B.C. D.1 7. （2 分） 已知样本数据 3，2，1，a 的平均数为 2，则样本的标准差是（ ）A.B. C.D.8. （2 分） 已知偶函数 对 的值为（ ）满足， 且当时，，则A . 2011B.2C.1D.09. （2 分） 已知函数 f（x）=cos（ωx+θ）（ω＞0，0＜θ＜π）的最小正周期为 π，且 f（﹣x）+f（x） =0，若 tanα=2，则 f（α）等于（ ）A.B.C.D.第 3 页 共 13 页10. （2 分） (2016 高二上·湖北期中) 设 l 为直线，α，β 为不同的平面，下列命题正确的是（ ） A . 若 l∥α，l∥β，则 α∥β B . 若 l∥α，α∥β，则 l∥β C . 若 l⊥α，l∥β，则 α⊥β D . 若 l⊥α，l⊥β，则 α⊥β11. （2 分） 函数 A. B. C.的值域是（ ）D.12.（2 分） (2019 高三上·中山月考) 若函数 A. B. C. D . 无法确定 和 的大小二、 填空题 (共 4 题；共 4 分)13. （1 分） (2019 高三上·沈河月考) 与的两个零点是 ， ，则（ ） 垂直的单位向量是________.14. （1 分） 设变量 x，y 满足约束条件， 则目标函数 z=的最大值为________15. （1 分） 椭圆 于________.上一点 到它的一个焦点的距离等于 ，那么点 到另一个焦点的距离等第 4 页 共 13 页16. （1 分） 如图为长方体积木块堆成的几何体的三视图，此几何体共由________ 块木块堆成．三、 解答题 (共 7 题；共 60 分)17. （10 分） (2016 高一上·杭州期中) 求下列各题：（1） 计算：；（2） 计算 lg20+log10025；（3） 求函数的定义域．18. （10 分） (2018 高一下·榆林期中) 如图，三棱柱正三角形，， 为 中点．，底面，且为（1） 求三棱锥的体积；（2） 求证：平面平面；（3） 求证：直线平面19. （10 分） (2017 高一下·南昌期末) 某公司有一批专业技术人员，对他们进行年龄状况和接受教育程度 （学历）的调查，其结果（人数分布）如表：第 5 页 共 13 页学历 35 岁以下 35～50 岁 50 岁以上本科803020研究生x20y（Ⅰ）用分层抽样的方法在 35～50 岁年龄段的专业技术人员中抽取一个容量为 10 的样本，将该样本看成一个 总体，从中任取 3 人，求至少有 1 人的学历为研究生的概率；（Ⅱ）在这个公司的专业技术人员中按年龄状况用分层抽样的方法抽取 N 个人，其中 35 岁以下 48 人，50 岁以 上 10 人，再从这 N 个人中随机抽取出 1 人，此人的年龄为 50 岁以上的概率为 ，求 x、y 的值．20. （10 分） (2018·山东模拟) 已知点，点、短轴端点， 为坐标原点，若，分别是椭圆 .的长轴端（1） 求椭圆 的标准方程；（2） 如果斜率为 的直线 交椭圆 于不同的两点(都不同于点，设线段的垂线 的斜率为 ，试探求 与 之间的数量关系.)，线段 的中点为21. （10 分） (2016 高二下·黑龙江开学考) 已知函数 f（x）=alnx+x2（a 为实常数）．（1） 当 a=﹣4 时，求函数 f（x）在[1，e]上的最大值及相应的 x 值；（2） 当 x∈[1，e]时，讨论方程 f（x）=0 根的个数．（3） 若 a＞0，且对任意的 x1，x2∈[1，e]，都有，求实数 a 的取值范围．22. （5 分） (2018·保定模拟) 在平面直角坐标系中，曲线），在以 为极点， 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线相交于两点，且.的参数方程为 与（ 为参数，（1） 求 的值；（2） 直线 与曲线 相交于，证明：（ 为圆心）为定值.23. （5 分） (2019 高一上·汤原月考) 已知函数第 6 页 共 13 页的定义域为 A.（Ⅰ)求集合 ; (Ⅱ)若函数,且,求函数的最大最小值和对应的 值；第 7 页 共 13 页一、 单选题 (共 12 题；共 24 分)1-1、 2-1、 3-1、 4-1、 5-1、 6-1、 7-1、 8-1、 9-1、 10-1、 11-1、 12-1、二、 填空题 (共 4 题；共 4 分)13-1、 14-1、 15-1、参考答案第 8 页 共 13 页16-1、三、 解答题 (共 7 题；共 60 分)17-1、 17-2、 17-3、18-1、 18-2、18-3、第 9 页 共 13 页19-1、 20-1、第 10 页 共 13 页20-2、21-1、21-2、21-3、22-1、22-2、23-1、。
高三3月模拟考试数学(文)试题 Word版含答案
高考模拟考试 理科数学第Ⅰ卷一、选择题（本大题共1/0个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、设集合121{|2,},{|}2A x x n n NB x x +==∈=≤ ，则A B =A ．{}2B ．{}2,4C ．{}2,3,4D ．{}1,2,3,4 2、已知复数z 满足(1)i z i -=，则复数z 在复平面内的对应点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3、已知命题p ：对于任意x R ∈，总有22x x >；:q “1ab >”是“1,1a b >>”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是A ．p q ∧B ．p q ⌝∧C ．()p q ∧⌝D ．()p q ⌝∧⌝ 4、已知函数()log (01)a f x x a =<<，则函数(1)y f x =+的图象大致为5、如图正方形中的曲线C 是以1为直径的半圆，从区间[]12800128000,1,,,,,x x x y y y 上取1600个随机数，已知800个点1122800800(,),(,),,(,)x y x y x y ，落在阴影部分的个数为m ，则m 的估计值为 A ．157 B ．314 C ．486 D ．6286、运行右边的程序框图，如果输出的数是13，那么输入的正整数n 的值是 A ．5 B ．6 C ．7 D ．87、下列结论中错误的是 A ．若02πα<<，则sin tan αα<B ．若α是第二象限角，则2α为第一或第三象限角 C ．若角α的终边过点(3,4)(0)P k k k ≠，则4sin 5α=D ．若扇形的周长为6，半径为2，则其中心角的大小为1弧度 8、某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 A ．16π B ．8π C ．163πD ．83π9、已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线被圆222()4x c y a -+=截得的弦长为2b （其中c 为双曲线的半焦距），则该双曲线的离心率为 A ．6 B ．3 C ．2 D ．6210、已知函数()y f x =满足()()2244,2(2)20,44,2x x x f x f x g x x x x ⎧-+>⎪++-==⎨-+-<⎪⎩，若曲线()y f x =与()y g x =交于111222(,),(,),,(,)n n n A x y A x y A x y ，则1()ni i i x y =+∑等于A ．4nB ．2nC ．nD ．0第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上.. 11、已知向量,a b ，其中2,1a b ==，且()a b a +⊥，则2a b -=12、已知正数,a b 满足4a b ab +=，则a b +的最小值是为13、设变量,x y 满足约束条件030260y x y x y ≥⎧⎪+-≤⎨⎪-+≥⎩，若目标函数2z x y =-的最小值为14、已知抛物线2:4C y x =焦点为F ，直线MN 过焦点F 且与抛物线C 交于M 、N 两点，D 为线段MF 上一点，且2MD FN =，则MF =15、对于函数()y f x =，若其定义域内存两个不同实数12,x x ，使得()1(1,2)i i x f x i ==成立，则称函数()f x 具有性质，若函数()x e f x a=具有性质P ，则实数a 的取值范围为三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 16、（本小题满分12分）在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知A 为锐角，且sin cos sin cos b A C c A B +2a =. （1）求角A 的大小；（2）设函数()1tan sin cos cos 2(0)2f x A wx wx wx w =->，其图象上相邻的两条对称轴间的距为2π，将函数()y f x =的图象向左平移4π个单位，得到函数()y g x =的图象，求函数()g x 在区间[,]244ππ-上的值域.17、（本小题满分12分）空气质量指数（AirQualityIndex 简称AQI ）是定量描述空气质量状况的指数，空气质量的分级与AQI 大小关系如下表所示：空气质量等级 优良轻度污染中度污染重度污染严重污染某环保人士从2016年11月甲地的AQI 记录数据中，随机抽取了7天的AQI 数据，用茎叶图记录如下：（1）若甲地每年同期的空气质量状况变换不打，请根据统计数据估计2017年11月甲地空气质量为良的天数（结果精确到天）；（2）从甲地的这7个数据中任意抽取2个，求AQI 均超过100的概率.18、（本小题满分12分）在如图所示的空间几何体中，EC ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是菱形，//CE BF 且2,,,CE BF G H P =分别为,,AF DE AE 的中点. 求证：（1）//GH 平面BCEF ； （2）//FP 平面ACE ；19、（本小题满分12分）已知数列{}n a 是等差数列，其前n 项和为n S ，数列{}n b 是公比大于0的等比数列， 且11323322,1,27b a a b S b =-=+=-+= . （1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）令1(1)n n n na cb --=，求数列{}nc 的前n 项和n T .20、（本小题满分13分） 设函数()21,()ln x e f x ax a g x x e x=-+=+. （1）记()()()x xe exh x g x f x xe -=-+，讨论()y h x =的单调性；（2）证明：对于任意1(,),(1,)2a x ∈-∞∃∈+∞，使()()f x g x <成立.21、（本小题满分14分）已知椭圆C 与双曲线221y x -=有共同焦点，且离心率3（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设A 为椭圆C 的下顶点，,M N 为椭圆上异于A 的两点，且直线AM 与AN 的斜率之积为1；①求证：环MN 恒过定点，并求出该定点的坐标； ②若O 为坐标原点，求OM ON ⋅的取值范围..。
高三数学3月份模拟质量检测试题 文 试题
卜人入州八九几市潮王学校外国语2021届高三数学3月份模拟质量检测试题文本套试卷一共4页，23题〔含选考题〕。
全卷总分值是150分。
考试用时120分钟。
本卷须知：1．2．选择题的答题：每一小题在选出答案以后，需要用2B铅笔把答题卡上对应题目之答案标号涂黑。
写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的答题：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．选考题的答题：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置需要用2B铅笔涂黑。
答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
5．在在考试完毕之后以后，请将本套试卷和答题卡一并上交。
一、选择题：此题一共12小题，每一小题5分，一共60分。
在每一小题给出的四个选项里面，只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的。
1．设集合，那么=A．B．C．D．2．复数满足〔其中为虚数单位〕，那么A．B．C．D．3．函数的定义域为，那么是为奇函数的〔〕条件A．充分不必要B．必要不充分C．充分必要D．既不充分也不必要4．某景区在开放时间是内，每个整点时会有一趟观光车从景区入口发车，某人上午到达景区入口，准备乘坐观光车，那么他等待时间是不多于10分钟的概率为A．B．C．D．5．如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，该几何体的体积为A．B．C．D．6．要得到函数的图象，只需将函数的图象A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位7．等差数列的前项和为假设，那么A．66 B．99C．110D．1988．在中，，A．B．C．D．9．如图程序中，输入，那么输出的结果为A．B．C．D．无法确定10．抛物线焦点与双曲线一个焦点重合，过点的直线交于点、，点处的切线与、轴分别交于、，假设的面积为4，那么的长为A．B．C．D．11．函数存在唯一的零点，且，那么实数的范围为A． B．C．D．12．对于实数，以下说法：①假设，那么；②假设，那么；③假设，那么；④假设且，那么.正确的个数为A．B．C．D．二、填空题：此题一共4小题，每一小题5分，一共20分。
高三数学3月综合练习(一模)试题 文(含解析) 试题
心尺引州丑巴孔市中潭学校门头沟区2021届高三数学3月综合练习〔一模〕试题文〔含解析〕一、选择题〔本大题共8小题，共40.0分〕1.集合，那么等于〔〕A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先解不等式得集合A,再根据交集定义得结果.【详解】因为，所以，选B.【点睛】此题考查一元二次不等式以及交集的定义，考查根本求解能力，属根底题.2.复数z满足，那么是A. B. C. 2 D.【答案】A【解析】【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解．【详解】解：，．应选：A．【点睛】此题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是根底题．3.一个体积为正三棱柱的三视图如下列图，那么这个三棱柱的左视图的面积为A. B. 8 C. D. 12【答案】A【解析】试题分析：依题意可得三棱柱的底面是边长为4正三角形.又由体积为.所以可得三棱柱的高为3.所以侧面积为.应选A.考点：1.三视图的知识.2.棱柱的体积公式.3.空间想象力.4.如下列图的程序框图，如果输入三个实数，，，要求输出这三个数中最大的数，那么在空白的判断框中，应该填入下面四个选项中的〔〕A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据流程图所示的顺序，逐框分析程序中各变量、各语句的作用，由于该题的目的是选择最大数，因此根据第一个选择框作用是比较与的大小，故第二个选择框的作用应该是比较与的大小，而且条件成立时，保存最大值的变量.【详解】解：由流程图可知：第一个选择框作用是比较与的大小，故第二个选择框的作用应该是比较与的大小，条件成立时，保存最大值的变量应选：A.【点睛】此题主要考察了程序框图和算法，是一种常见的题型，属于根底题.5.向量满足，且其夹角为，那么“〞是“〞的〔〕A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】根据向量模长与向量数量积的关系，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【详解】由得，得，即，得，即，那么，即成立，反之当时，，那么，即成立，即“〞是“〞的充要条件，应选：C．【点睛】此题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合成立数量积与向量模长公式的关系是解决此题的关键．判断充要条件的方法是：①假设p⇒qq⇒ppq的充分不必要条件；②假设p⇒qq⇒ppq的必要不充分条件；③假设p⇒qq⇒ppq的充要条件；④假设p⇒qq⇒ppqpqpq的关系．6.如图，在以下四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，那么在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不垂直的是A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由中位线定理和异面直线所成角，以及线面垂直的判定定理，即可得到正确结论．【详解】解：对于A，AB为体对角线，MN，MQ，NQ分别为棱的中点，由中位线定理可得它们平行于所对应的面对角线，连接另一条面对角线，由线面垂直的判定可得AB垂直于MN，MQ，NQ，可得AB垂直于平面MNQ；对于B，AB为上底面的对角线，显然AB垂直于MN，与AB相对的下底面的面对角线平行，且与直线NQ垂直，可得AB垂直于平面MNQ；对于C，AB为前面的面对角线，显然AB垂直于MN，QN在下底面且与棱平行，此棱垂直于AB所在的面，即有AB垂直于QN，可得AB垂直于平面MNQ；对于D，AB为上底面的对角线，MN平行于前面的一条对角线，此对角线与AB所成角为，那么AB不垂直于平面MNQ．应选：D．【点睛】此题考查空间线面垂直的判定定理，考查空间线线的位置关系，以及空间想象能力和推理能力，属于根底题．7.中，，那么的面积为〔〕A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先求C，再根据余弦定理求b，最后根据三角形面积公式求结果.【详解】因为,所以,因此,从而的面积为，选C.【点睛】此题考查余弦定理以及三角形面积公式，考查根本分析求解能力，属根底题.8.函数，函数，〔其中为自然对数的底数，〕假设函数有两个零点，那么实数取值范围为〔〕A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先别离变量，转化为求对应函数单调性及其值域，即可确定结果.【详解】由得，令，那么,所以当时，,当时，,因此当时，函数有两个零点，选C.【点睛】此题考查利用导数研究函数零点，考查综合分析求解能力，属中档题.二、填空题〔本大题共6小题，共30.0分〕9.假设x，y满足条件，那么的最大值为______．【答案】2【解析】【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．【详解】解：由x，y满足条件作出可行域如图，由，得，由图可知，当直线过可行域内点A时直线在y轴上的截距最大，z最大．联立，解得．目标函数的最大值为．故答案为：2．【点睛】此题考查简单线性规划求解目标函数的最值问题．其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求〞，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及推理与计算能力，属于根底题．10.双曲线的渐近线方程是______．【答案】【解析】【分析】将双曲线化成HY方程，得到a、b值，即可得到所求渐近线方程．【详解】解：双曲线的HY方程为：，，可得，又双曲线的渐近线方程是双曲线的渐近线方程是故答案为：【点睛】此题考查双曲线渐近线方程的求法，属于根底题．11.等比数列中，，那么数列的通项公式______．【答案】【解析】【分析】设等比数列的公比为q，用首项和公比q表示出条件，计算即可求解．【详解】解：设等比数列的公比为q，，，，，解得．数列的通项公式．故答案为：．【点睛】此题考查等比数列的通项公式与求和公式，考查推理能力与计算能力，属于根底题．12.过抛物线焦点且斜率为1的直线与此抛物线相交于两点，那么_______.【答案】8【解析】∵ 直线过抛物线的焦点，且斜率为1∴直线的方程为设，，抛物线的焦点为∴根据抛物线的定义可得：联立方程组，化简得∴∴故答案为8点睛：此题考查过抛物线焦点的弦的问题：在求过抛物线焦点的弦的长度或焦半径时，利用抛物线的定义〔将抛物线的点到焦点的距离转化为到准线的距离〕，可起到事半功倍的效果，如：过抛物线的焦点的直线交抛物线于，两点，那么，,.13.假设函数满足对定义域上任意都有不等式，成立,那么称此函数为“函数〞，请你写出一个“函数〞的解析式_______.【答案】开放性试题【解析】【分析】根据定义可得函数为凸函数，故可找对数函数.【详解】因为满足不等式的函数为凸函数，所以皆满足.【点睛】此题考查函数凹凸性，考查分析判断能力，属中档题.14.一半径为的水轮,水轮圆心距离水面2,水轮每分钟转动(按逆时针方向)3圈,当水轮上点从水中浮现时开始计时,即从图中点开始计算时间.(1)当秒时点离水面的高度_________；(2)将点距离水面的高度(单位: )表示为时间 (单位:)的函数，那么此函数表达式为_______________ .【答案】 (1). (2).【解析】【分析】1利用直角三角形的边角关系，即可求出5秒后点P离开水面的距离； 2由题意求值，结合的情况可求出的值，即得函数解析式．【详解】解： 1秒时，水轮转过角度为，在中，，；在中，，，此时点离开水面的高度为；2由题意可知，，设角是以Ox为始边，为终边的角，由条件得，其中；将，代入，得，；所求函数的解析式为．故答案为： 1， 2．【点睛】此题考查函数的图象与应用问题，理解函数解析式中参数的物理意义，是解题的关键．三、解答题〔本大题共6小题，共80.0分〕15.函数〔1〕求的周期及单调增区间；〔2〕假设时，求的最大值与最小值.【答案】〔1〕，；〔2〕见解析【解析】【分析】〔1〕先根据二倍角公式以及辅助角公式化简，再根据正弦函数性质求周期与增区间，〔2〕根据正弦函数性质求最值.【详解】〔1〕，所以的周期单调增区间：〔2〕【点睛】此题考查正弦函数性质、二倍角公式以及辅助角公式，考查分析求解能力，属中档题.16.在等差数列中，为其前和，假设.〔1〕求数列的通项公式及前项和；〔2〕假设数列中，求数列的前和.【答案】〔1〕；〔2〕【解析】【分析】〔1〕根据等差数列求和公式与通项公式列方程组，解得公差与首项，再代入得结果，〔2〕根据裂项相消法求和，即得结果.【详解】〔1〕由题意可知，又得：〔2〕，【点睛】此题考查等差数列求和公式与通项公式以及裂项相消法求和，考查分析求解能力，属中档题. 17.在某区“创文明城区〞〔简称“创城〞〕活动中，教委对本区四所高中按各校人数分层抽样，随机抽查了100人，将调查情况进行整理后制成下表：抽查人数50 15 10 25“创城〞活动中参与的人数40 10 9 15 〔注：参与率是指：一所“创城〞活动中参与的人数与被抽查人数的比值〕假设每名高生是否参与〞创城〞活动是相互HY的.〔1〕假设该区共2000名高生，估计参与“创城〞活动的人数；〔2〕在随机抽查的100名高生中，随机抽取1名学生，求恰好该生没有参与“创城〞活动的概率；〔3〕在上表中从两校没有参与“创城〞活动的同学中随机抽取2人，求恰好两校各有1人没有参与“创城〞活动的概率是多少？【答案】〔1〕800；〔2〕；〔3〕【解析】【分析】〔1〕根据总数、频数与频率关系求结果，〔2〕根据总数、频数与频率关系求概率，〔3〕利用枚举法确定总事件数以及所求事件包含事件数，最后根据古典概型概率公式求解.【详解】〔1〕高中生的总人数为人参与“创城〞活动的人数为人〔2〕设恰好该生没有参与“创城〞活动这一事件为，那么〔3〕校这5人分别记为，校这1人记为，任取2人共15种情况，如下：设事件为抽取2人中两校各有1人参与〞创城〞活动，那么【点睛】此题考查总数、频数与频率关系以及古典概型概率，考查分析求解能力，属根底题.18.在四棱锥中，底面是边长为6的菱形，且，，是棱上的一动点，为的中点.〔1〕求此三棱锥的体积；〔2〕求证：平面〔3〕假设，侧面内是否存在过点的一条直线，使得直线上任一点都有平面，假设存在，给出证明，假设不存在，请明理由.【答案】〔1〕；〔2〕见解析；〔3〕见解析【解析】【分析】〔1〕先确定高，再根据锥体体积公式求解，〔2〕先根据线线垂直得线面垂直，再根据线面垂直得面面垂直，〔3〕假设存在那么得是的中点，再利用面面平行证结果.【详解】〔1〕由题意可知，，〔2〕由题意可知，，那么，又底面是菱形，所以，为内两相交直线，所以，，为平面一直线，从而平面〔3〕设是的中点，连结，那么所以直线上任一点都满足平面.【点睛】此题考查线面垂直、面面垂直以及面面平行的性质与判断，考查根本分析论证与求解能力，属中档题.19.如图，椭圆，分别为其左、右焦点，过的直线与此椭圆相交于两点，且的周长为8，椭圆的离心率为．〔Ⅰ〕求椭圆的方程；〔Ⅱ〕在平面直角坐标系中，点与点，过的动直线〔不与轴平行〕与椭圆相交于两点，点是点关于轴的对称点．求证：〔i〕三点共线．〔ii〕．【答案】〔Ⅰ〕；〔Ⅱ〕详见解析.【解析】【分析】Ⅰ由三角形的周长可得，根据离心率可得，即可求出，那么椭圆方程可求；Ⅱ当直线l的斜率不存在时，A、B分别为椭圆短轴两端点，满足Q，A，三点共线当直线l的斜率存在时，设直线方程为，联立直线方程与椭圆方程，化为关于x的一元二次方程，然后利用向量证明．由可知Q，A，三点共线，即，问题得以证明.【详解】解：Ⅰ的周长为8，，即，，，，故椭圆C的方程为Ⅱ证明：当直线l的斜率不存在时，A、B分别为椭圆短轴两端点，满足Q，A，三点共线．当直线l的斜率存在时，设直线方程为，联立，得．设，，那么，，，，，．与共线，那么Q，A，三点共线．由可知Q，A，三点共线，【点睛】此题考查椭圆的HY方程与几何性质、直线方程、直线与椭圆的位置关系等根底知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合、化归与转化、特殊与一般、分类与整合等数学思想，注意解题方法的积累，属于中档题．20.在点处的切线与直线平行．〔Ⅰ〕求实数的值；〔Ⅱ〕设．〔i〕假设函数在上恒成立，求的最大值；〔ii〕当时，判断函数有几个零点，并给出证明．【答案】〔Ⅰ〕1；〔Ⅱ〕1；详见解析.【解析】【分析】Ⅰ求函数的导数，计算时的导数即可求出a的值；Ⅱ求的导数，讨论当和时的单调性，由单调性判断最值即可得到b的最大值；化简知0是的一个零点，利用构造函数法讨论和时，函数是否有零点，从而确定函数的零点情况．【详解】解：Ⅰ函数，那么，由题意知时，，即a的值为1；Ⅱ，所以，当时，假设，那么，，单调递增，所以；当时，假设，令，解得舍去，，所以在内单调递减，，所以不恒成立，所以b的最大值为1；，显然有一个零点为0，设，那么；当时，无零点，所以只有一个零点0；当时，，所以在R上单调递增，又，，由零点存在性定理可知，在上有唯一一个零点，所以有2个零点；综上所述，时，只有一个零点，时，有2个零点．【点睛】此题考查利用导数研究函数的单调性问题，也考查利用导数研究函数在某一点处的切线问题，以及判断函数零点的应用问题，是中档题．。
2021年高三3月联合考试试题(数学文)word版
2021年高三3月联合考试试题（数学文）word 版第Ⅰ卷(选择题 共50分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1、“x 2－5x ＋4<0” 是“|x ―2|<1”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2、复数z = 2+i 1―i (i 是虚数单位)在复平面上所对应的点位于A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3、已知直线ax ―by ―3=0与曲线y= 13x 3+x 2在点P （1，43 ）处的切线互相垂直，则ab的值为 A.23 B.―23 C.13 D.―134、执行如图所示的程序框图，若P=100，则输出的SA .4851 B.4950 C.5050 D.51515、在区间[―3,3]上，随机地取两个数x,y ，则x ―y>2A .29 B.49 C.59 D. 796、已知O 是△ABC 的外心，AB=2, AC=1 则→A O ·→CB =A .12 B. 1 C. 32D. 2 7、已知函数 (x)=sinx+cosx 的定义域为[a,b]，值域为[ ―1, 2 ]，则b ―a 的取值范围是 A . [π4,5π4] B. [π4,3π2] C. [3π4,5π4] D. [3π4 , 3π2 ]8、已知抛物线y 2=4x ，过焦点F 作直线ι交抛物线于A 、B 两点，交抛物线的准线于C 点，O 为坐标原点，|AF|= 32 ,则 S △OAC S △OBC =A .45 B.34 C.23 D.129、已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数，且当x ∈(0,+∞)时，都有不等式f(x)+xf ′(x)>0成立，若a=40.2f(40.2)，b=(log 43)f(log 43),c=(log 4116)f(log 4116) ,则a,b,c 的大小关系是 A.a>b>c B. c>b>a C. c>a>b D. a>c>b10、定义域为[a,b]的函数y=f(x)的图象的两个端点为A,B ，M(x,y)是y=f(x)图象上任意一点，其中x=λa+(1-λ)b,x ∈[a,b]，已知向量→ON=λ→OA+(1-λ)→OB ，若不等式|→MN|≤k 恒成立，则称函数y=f(x)在[a,b]上“k 阶线性近似”。
北京市高三数学3月联考综合练习(二)试题 文 新人教A版
1高三数学（文科）学校： 班级： 姓名： 成绩：一、本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符 合题目要求的一项。
1.设集合{}1>=x x P ，{}02>-=x x x Q ，则下列结论中正确的是 A.Q P =B.R =⋃Q PC.Q P ⊆D.P Q ⊆2.若复数z 满足()i i i +=-2z （i 为虚数单位），则z 等于 A.i --1B.i -1C.i 31+-D.i 21-3.“1=m ”是“直线0=-y x 和直线0=+my x 互相垂直”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4.若一个直六棱柱的三视图如图所示，则这个直六棱 柱的体积为 A.4B.29C.5D.2115.在ABC ∆中，内角C B A ,,所对边的长分别为c b a ,,，若C c B b A a sin sin sin <+，则ABC ∆的形状是A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.不确定6.若定义域为R 的函数()x f 不是奇函数，则下列命题中一定为真命题的是 A.()()x f x f x -≠-∈∀,R B.()()x f x f x =-∈∀,RC.()()000,x f x f x =-∈∃RD.()()000,x f x f x -≠-∈∃R7.已知不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≤1,0,1x y x y 表示的平面区域为Ω，不等式组⎩⎨⎧≥+-≤0,1y x y 表示的平面区域为M .若在区域Ω内随机取一点P ，则点P 在区域M 内的概率为2 A.21B.31C.41D.32 8.如图，矩形nn n n D C B A 的一边nn B A 在x 轴上，另外两个顶点nn D C ,在函数())0(1>+=x x x x f 的图象上.若点n B 的坐标为()),2(0,+∈≥N n n n ，记矩形n n n n D C B A 的周长为na ，则=+++1032a a aA.208B.212C.216D.220二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
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一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1.已知集合，则等于（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先解不等式得集合A,再根据交集定义得结果.【详解】因为，所以，选B.【点睛】本题考查一元二次不等式以及交集的定义，考查基本求解能力，属基础题.2.复数z满足，那么是A. B. C. 2 D. 【答案】A【解析】【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解．【详解】解：，．故选：A．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．3.一个体积为正三棱柱的三视图如图所示，则这个三棱柱的左视图的面积为A. B. 8 C. D. 12【答案】A【解析】试题分析：依题意可得三棱柱的底面是边长为4正三角形.又由体积为.所以可得三棱柱的高为3.所以侧面积为.故选A.考点：1.三视图的知识.2.棱柱的体积公式.3.空间想象力.4.如图所示的程序框图，如果输入三个实数，，，要求输出这三个数中最大的数，那么在空白的判断框中，应该填入下面四个选项中的（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据流程图所示的顺序，逐框分析程序中各变量、各语句的作用，由于该题的目的是选择最大数，因此根据第一个选择框作用是比较与的大小，故第二个选择框的作用应该是比较与的大小，而且条件成立时，保存最大值的变量.【详解】解：由流程图可知：第一个选择框作用是比较与的大小，故第二个选择框的作用应该是比较与的大小，条件成立时，保存最大值的变量故选：A.【点睛】本题主要考察了程序框图和算法，是一种常见的题型，属于基础题.5.向量满足，且其夹角为，则“”是“”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】根据向量模长与向量数量积的关系，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【详解】由得，得，即，得，即，则，即成立，反之当时，，则，即成立，即“”是“”的充要条件，故选：C．【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合成立数量积与向量模长公式的关系是解决本题的关键．判断充要条件的方法是：①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．6.如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不垂直的是A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由中位线定理和异面直线所成角，以及线面垂直的判定定理，即可得到正确结论．【详解】解：对于A，AB为体对角线，MN，MQ，NQ分别为棱的中点，由中位线定理可得它们平行于所对应的面对角线，连接另一条面对角线，由线面垂直的判定可得AB垂直于MN，MQ，NQ，可得AB垂直于平面MNQ；对于B，AB为上底面的对角线，显然AB垂直于MN，与AB相对的下底面的面对角线平行，且与直线NQ垂直，可得AB垂直于平面MNQ；对于C，AB为前面的面对角线，显然AB垂直于MN，QN在下底面且与棱平行，此棱垂直于AB所在的面，即有AB垂直于QN，可得AB垂直于平面MNQ；对于D，AB为上底面的对角线，MN平行于前面的一条对角线，此对角线与AB所成角为，则AB不垂直于平面MNQ．故选：D．【点睛】本题考查空间线面垂直的判定定理，考查空间线线的位置关系，以及空间想象能力和推理能力，属于基础题．7.已知中，，则的面积为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先求C，再根据余弦定理求b，最后根据三角形面积公式求结果.【详解】因为,所以,因此,从而的面积为，选C.【点睛】本题考查余弦定理以及三角形面积公式，考查基本分析求解能力，属基础题.8.函数，函数，（其中为自然对数的底数，）若函数有两个零点，则实数取值范围为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先分离变量，转化为求对应函数单调性及其值域，即可确定结果.【详解】由得，令，则,所以当时，,当时，,因此当时，函数有两个零点，选C.【点睛】本题考查利用导数研究函数零点，考查综合分析求解能力，属中档题.二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）9.若x，y满足条件，则的最大值为______．【答案】2【解析】【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．【详解】解：由x，y满足条件作出可行域如图，由，得，由图可知，当直线过可行域内点A时直线在y轴上的截距最大，z最大．联立，解得．目标函数的最大值为．故答案为：2．【点睛】本题考查简单线性规划求解目标函数的最值问题．其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及推理与计算能力，属于基础题．10.双曲线的渐近线方程是______．【答案】【解析】【分析】将双曲线化成标准方程，得到a、b值，即可得到所求渐近线方程．【详解】解：双曲线的标准方程为：，，可得，又双曲线的渐近线方程是双曲线的渐近线方程是故答案为：【点睛】本题考查双曲线渐近线方程的求法，属于基础题．11.等比数列中，，则数列的通项公式______．【答案】【解析】【分析】设等比数列的公比为q，用首项和公比q表示出已知条件，计算即可求解．【详解】解：设等比数列的公比为q，，，，，解得．数列的通项公式．故答案为：．【点睛】本题考查等比数列的通项公式与求和公式，考查推理能力与计算能力，属于基础题．12.过抛物线焦点且斜率为1的直线与此抛物线相交于两点，则_______.【答案】8【解析】∵直线过抛物线的焦点，且斜率为1∴直线的方程为设，，抛物线的焦点为∴根据抛物线的定义可得：联立方程组，化简得∴∴故答案为8点睛：本题考查过抛物线焦点的弦的问题：在求过抛物线焦点的弦的长度或焦半径时，利用抛物线的定义（将抛物线的点到焦点的距离转化为到准线的距离），可起到事半功倍的效果，如：过抛物线的焦点的直线交抛物线于，两点，则，,.13.若函数满足对定义域上任意都有不等式，成立,则称此函数为“函数”，请你写出一个“函数”的解析式_______.【答案】开放性试题【解析】【分析】根据定义可得函数为凸函数，故可找对数函数.【详解】因为满足不等式的函数为凸函数，所以皆满足.【点睛】本题考查函数凹凸性，考查分析判断能力，属中档题.14.一半径为的水轮,水轮圆心距离水面2,已知水轮每分钟转动(按逆时针方向)3圈,当水轮上点从水中浮现时开始计时,即从图中点开始计算时间.(1)当秒时点离水面的高度_________；(2)将点距离水面的高度(单位: )表示为时间 (单位:)的函数，则此函数表达式为_______________ .【答案】(1). (2).【解析】【分析】1利用直角三角形的边角关系，即可求出5秒后点P离开水面的距离；2由题意求值，结合的情况可求出的值，即得函数解析式．【详解】解： 1秒时，水轮转过角度为，在中，，；在中，，，此时点离开水面的高度为；2由题意可知，，设角是以Ox为始边，为终边的角，由条件得，其中；将，代入，得，；所求函数的解析式为．故答案为：1， 2．【点睛】本题考查函数的图象与应用问题，理解函数解析式中参数的物理意义，是解题的关键．三、解答题（本大题共6小题，共80.0分）15.已知函数（1）求的周期及单调增区间；（2）若时，求的最大值与最小值.【答案】（1），；（2）见解析【解析】【分析】（1）先根据二倍角公式以及辅助角公式化简，再根据正弦函数性质求周期与增区间，（2）根据正弦函数性质求最值.【详解】（1），所以的周期单调增区间：（2）【点睛】本题考查正弦函数性质、二倍角公式以及辅助角公式，考查分析求解能力，属中档题.16.在等差数列中，为其前和，若.（1）求数列的通项公式及前项和；（2）若数列中，求数列的前和.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根据等差数列求和公式与通项公式列方程组，解得公差与首项，再代入得结果，（2）根据裂项相消法求和，即得结果.【详解】（1）由题意可知，又得：（2），【点睛】本题考查等差数列求和公式与通项公式以及裂项相消法求和，考查分析求解能力，属中档题.17.在某区“创文明城区”（简称“创城”）活动中，教委对本区四所高中学校按各校人数分层抽样，随机抽查了100人，将调查情况进行整理后制成下表：（注：参与率是指：一所学校“创城”活动中参与的人数与被抽查人数的比值）假设每名高中学生是否参与”创城”活动是相互独立的.（1）若该区共2000名高中学生，估计学校参与“创城”活动的人数；（2）在随机抽查的100名高中学生中，随机抽取1名学生，求恰好该生没有参与“创城”活动的概率；（3）在上表中从两校没有参与“创城”活动的同学中随机抽取2人，求恰好两校各有1人没有参与“创城”活动的概率是多少？【答案】（1）800；（2）；（3）【解析】【分析】（1）根据总数、频数与频率关系求结果，（2）根据总数、频数与频率关系求概率，（3）利用枚举法确定总事件数以及所求事件包含事件数，最后根据古典概型概率公式求解.【详解】（1）学校高中生的总人数为人学校参与“创城”活动的人数为人（2）设恰好该生没有参与“创城”活动这一事件为，则（3）校这5人分别记为，校这1人记为，任取2人共15种情况，如下：设事件为抽取2人中两校各有1人参与”创城”活动，则【点睛】本题考查总数、频数与频率关系以及古典概型概率，考查分析求解能力，属基础题.18.在四棱锥中，底面是边长为6的菱形，且，，是棱上的一动点，为的中点.（1）求此三棱锥的体积；（2）求证：平面（3）若，侧面内是否存在过点的一条直线，使得直线上任一点都有平面，若存在，给出证明，若不存在，请明理由.【答案】（1）；（2）见解析；（3）见解析【解析】【分析】（1）先确定高，再根据锥体体积公式求解，（2）先根据线线垂直得线面垂直，再根据线面垂直得面面垂直，（3）假设存在则得是的中点，再利用面面平行证结果.【详解】（1）由题意可知，，（2）由题意可知，，则，又底面是菱形，所以，为内两相交直线，所以，，为平面一直线，从而平面（3）设是的中点，连结，则所以直线上任一点都满足平面.【点睛】本题考查线面垂直、面面垂直以及面面平行的性质与判断，考查基本分析论证与求解能力，属中档题.19.如图，已知椭圆，分别为其左、右焦点，过的直线与此椭圆相交于两点，且的周长为8，椭圆的离心率为．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）在平面直角坐标系中，已知点与点，过的动直线（不与轴平行）与椭圆相交于两点，点是点关于轴的对称点．求证：（i）三点共线．（ii）．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）详见解析.【解析】【分析】Ⅰ由三角形的周长可得，根据离心率可得，即可求出，则椭圆方程可求；Ⅱ当直线l的斜率不存在时，A、B分别为椭圆短轴两端点，满足Q，A，三点共线当直线l的斜率存在时，设直线方程为，联立直线方程与椭圆方程，化为关于x的一元二次方程，然后利用向量证明．由可知Q，A，三点共线，即，问题得以证明.【详解】解：Ⅰ的周长为8，，即，，，，故椭圆C的方程为Ⅱ证明：当直线l的斜率不存在时，A、B分别为椭圆短轴两端点，满足Q，A，三点共线．当直线l的斜率存在时，设直线方程为，联立，得．设，，则，，，，，．与共线，则Q，A，三点共线．由可知Q，A，三点共线，【点睛】本题考查椭圆的标准方程与几何性质、直线方程、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合、化归与转化、特殊与一般、分类与整合等数学思想，注意解题方法的积累，属于中档题．20.已知在点处的切线与直线平行．（Ⅰ）求实数的值；（Ⅱ）设．（i）若函数在上恒成立，求的最大值；（ii）当时，判断函数有几个零点，并给出证明．【答案】（Ⅰ）1；（Ⅱ）1；详见解析.【解析】【分析】Ⅰ求函数的导数，计算时的导数即可求出a的值；Ⅱ求的导数，讨论当和时的单调性，由单调性判断最值即可得到b的最大值；化简知0是的一个零点，利用构造函数法讨论和时，函数是否有零点，从而确定函数的零点情况．【详解】解：Ⅰ函数，则，由题意知时，，即a的值为1；Ⅱ，所以，当时，若，则，，单调递增，所以；当时，若，令，解得舍去，，所以在内单调递减，，所以不恒成立，所以b的最大值为1；，显然有一个零点为0，设，则；当时，无零点，所以只有一个零点0；当时，，所以在R上单调递增，又，，由零点存在性定理可知，在上有唯一一个零点，所以有2个零点；综上所述，时，只有一个零点，时，有2个零点．【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性问题，也考查利用导数研究函数在某一点处的切线问题，以及判断函数零点的应用问题，是中档题．。