2018北京市各城区二模数学(文科)分类汇编之数列含答案解析

2018北京市各城区二模数学（文科）分类汇编之数列含答案
【西城二模】
15．（本小题满分13分）
在等差数列{}n a 和等比数列{}n b 中，111a b ==，22a b =，432a b +=． （Ⅰ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；
（Ⅱ）求数列{}n n a b +的前n 项和n S ．
解：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ．
依题意，得21,2(13).d q d q +=⎧⎨++=⎩
………………2分 解得2,3,d q =⎧⎨=⎩或1,0.d q =-⎧⎨=⎩
（舍去）………………4分 所以21n a n =-，13n n b -=．………………6分
（Ⅱ）因为1213n n n a b n -+=-+，………………7分
所以21[135(21)](1333)n n S n -=++++-+++++………………9分
[1(21)]13213n n n +--=+-………………11分
2
312n n -=+．………………13分
【海淀二模】（15）（本小题13分）已知等差数列{}n a 满足1223n n a a n +-=+ （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）若数列{}n n a b +是首项为1，公比为2的等比数列，求数列{}n b 的前n 项和.
15．（本小题13分）
解：（Ⅰ）方法1：
因为数列{}n a 是等差数列，
所以212n n n a a a +++=. 因为3221+=-+n a a n n ，
所以223n a n +=+. 所以，当3n ≥时，2(2)321n a n n =-+=-.
所以21(1,2,3,).n a n n =-= ………………6分 方法2：
设等差数列{}n a 的公差为d ，
因为3221+=-+n a a n n ，
所以213225
27.
a a a a -=⎧⎨-=⎩
所以11+25
37.a d a d =⎧⎨+=⎩
所以11
2.a d =⎧⎨=⎩ 所以1(1)21(1,2,3,)n a a n d n n =+-=-= ………………
6分 （Ⅱ）因为数列{}n n a b +是首项为1，公比为2的等比数列， 所以1
2n n n a b -+= 因为21n a n =-，
所以1
2(21)n n b n -=--. 设数列{}n b 的前n 项和为n S ，
则1(1242)[135(21)]n n S n -=++++-++++-
12(121)
122n n n
-+-=--
221n n =--
所以数列{}n b 的前n 项和为221.n n --.
………………13分 【东城二模】
（15）（本小题13分）
已知{}n a 是公差为2等差数列，数列{}n b 满足11b =，
212b =，且1(1)n n n a b n b ++=．
（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）求{}n b 的前n 项和n S ．
（15）（共13分）
解：（Ⅰ）因为1(1)n n n a b nb ++=， 所以121(1)1a b b +=⨯． 因为11b =，212
b =， 所以11a =． 因为等差数列{}n a 的公差为2，
所以21n a n =-，*n ∈N ． ……………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知21n a n =-．
因为1(1)n n n a b nb ++=， 所以11(21)12
n n b n b n +==-+． 所以数列{}n b 是首项为1，公比为
12的等比数列． 所以数列{}n b 的前n 项和
n S 11()122[1()]1212
n
n -==--，*n ∈N ． ……………13分 【朝阳二模】
16.已知数列{}n a 的前n 项和2n S pn qn =+（p ，q ∈R ，*n ∈N ）且13a =，424S =.
（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）设2n a n b =，求数列{}n b 的前n 项和n T .
【解析】
解:（Ⅰ）∵数列{}n a 的前n 项和为2n
S pn qn =+ ∴当1n =时,11a S p q ==+
当2n ≥时,21
(1)(1)n S p n q n -=-+- ∴221()[(1)(1)]2n n n a S S pn qn p n q n pn q p -=-=---+-=+-
检验1a p q =+符合2n a pn q p =+-
∴数列{}n a 的通项公式为2n
a pn q p =+- ∵12(1)(2)2,()n n a a p n q p pn q p p p +-=++--+-=∈R ∴{}n a 是等差数列,设公差为d
∵1
43,24a S == ∴414342
S a d ⨯=+解得2d = ∴数列{}n a 的通项公式为*3(1)221()n
a n n n =+-⨯=+∈N （Ⅱ）由（Ⅰ）可知21n
a n =+ ∴2122n a n n
b +==
设数列{}n b 的前n 项和为n T ,
则12124242424n n n T -=⨯+⨯+
+⨯+⨯ 1212(4444)n n -=++
++
4(14)214
n -=⨯- 8(41)3n -= 所以数列{}n b 的前n 项和为8(41).3
n n T -=
【丰台二模】
（16）（本小题共13分）
已知数列{}n a 的前n 项和2
=3n S n ，等比数列{}n b 满足11=3a b ，242b b a =． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）求数列21{}n b -的前n 项和n T ．
（16）（本小题共13分）
解：（Ⅰ）因为 2
3n S n =，
所以 113a S ==． …………………1分 当2n ≥时，1n n n a S S -=- 2233(1)n n =--
63n =-． …………………3分
因为当 1n =时，16133a ⨯-==， …………………4分 所以数列{}n a 的通项公式是 63n a n =-． …………………5分 （Ⅱ）设数列{}n b 的公比为q ．
因为 113a b =，所以 11b =． …………………6分 因为 242b b a ⋅=， 所以 239b =． …………………8分 因为 2310b b q =>，所以 33b =，且2
3q =． …………………10分 因为{}n b 是等比数列，
所以21{}n b -是首项为11b =，公比为23q =的等比数列． …………………11分 所以 212(1())131(31)1132
n n n n b q T q --===---． 即 1(31)2n n T =
-． …………………13分 【昌平二模】
16. （本小题13分）
已知数列{}n a 满足1211,2
a a ==，数列{}n
b 是公差为2的等差数列，且11n n n n b a a na +++=. （I ）求数列{}n b 的通项公式；
（II ）求数列{}n a 前n 项的和n S .
16.（共13分）
解：（Ⅰ）因为 11n n n n b a a na +++=，
所以 1221b a a a += . 又因为1212a a =1，= ,
所以11b =.
所以数列{}n b 的通项公式是2-1n b n =. --------------------7分 （Ⅱ） 由（Ⅰ）知2-1n b n =，且11n n n n b a a na +++=.
所以11(21)n n n
n a a na ++-+=， 得到 112n n a a += .
所以数列{}n a 是以1为首项，12
为公比的等比数列. 那么数列{}n a 前n 项和111()222112
n
n n S --==--. --------------------13分 【顺义二模】
15. （本小题满分13分）
已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,且151, 3.a a =-=. （Ⅰ）求{}n a 的通项公式;
（Ⅱ）若数列{}n b 满足2n a n b =,求数列{}n b 的前n 项和.
【房山二模】
（15）（本小题13分）
已知等差数列{}n a 满足1210a a +=，432a a -=． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设等比数列{}n b 满足23b a =，37b a =．问：5b 与数列{}n a 的第几项相等？
解：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ．
因为432a a -=，所以2d =． 又因为1210a a +=，所以1210a d +=，故14a =． 所以42(1)22n a n n =+-=+ (1,2,)n =． …………6分 （Ⅱ）设等比数列{}n b 的公比为q ．
因为238b a ==，3716b a ==，
所以2q =，14b =．
所以5154264b -=⨯=．
由6422n =+得31n =．
所以5b 与数列{}n a 的第31项相等． …………13分。