工科高数上试题库精选

补 充 习 题一、极限与与连续1．设k 是正整数，若2003lim (1)k kn n n n →∞+-存在且不为零，则k =（ ）（A ）2002 (B)2003 （C ）2004 （D ）20052．若当1-→x 时，423+--x x a x 与 1+x 是同阶无穷小，则常数=a3．设 ])([lim 0xx x f x ⋅→ 存在，且 2)(lim 0=+→x f x ，则 =-→)(lim 0x f x （ ）(A) １ (B) ０ (C) ２ (D) －２ 4．曲线 32122-+-=x x x y 的所有水平、铅直渐近线的方程为 ； 5．已知函数10()(),0x x f x a x x a x≤=⎨+⎪>⎪-⎩在0x =处连续，则常数a =6. 点0x =是函数1111arctan 0()102xx e x x f x e x π⎧+⎪≠⎪=⎨-⎪⎪=⎩ 的（ ）（A ）可去间断点 （B ）跳跃间断点 （C ）无穷间断点 （D ）连续点 7．设)1ln(tan )(x xx x f ++=，则间断点0=x 是第 类 间断点8．已知方程 0sin 32=--x x 仅有一个实根，则该实根所在的区间为 （必须使写出的区间的长度d ≤21）．9．计算 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡++----→xx x x x x 2121)1(121lim10．证明方程 0110024=++-x x x 至少有两个大于零的实根.11．设)(lim x f x ∞→存在，且)(lim 31sin 121)(2x f x x x x f x ∞→++-=，则=∞→)(lim x f x 12．设xex x x kxx )1ln(lim11lim 0+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-→∞→，则k ＝ ；13．设 0)11(lim 2=-+++∞→b ax x x x ，则b a ,的值为（ ） (A) －１，－１ (B) －１，１ (C) １，－１ (D) １，１14．函数 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>--≤≤--<=+1,1111,01,)(11x x x x x e x f x 的间断点（ ）（A ）仅为1=x （B ）仅为1-=x (C)为1±=x (D) 不存在15．设212111()lim ()n n n n x f x n N x x x+++→∞+=∈-+ ，试讨论()f x 在(,)-∞+∞内的连续性，若有间断点，则进行分类（须注明理由）．16．设⎪⎩⎪⎨⎧>-≤=1,11,2cos)(x x x xx f π 讨论1)(±=x x f 在的连续性.17．设有方程 10nx n x +-=，其中 n 为正整数，（1）证明此方程存在唯一正实根；（2）如果把该正实根记为 n x ，求 n n x ∞→lim（注：求n n x ∞→lim 时必须有计算过程）二、导数与微分1．设 ()(1)(2)(2000)f x x x x x =--⋅⋅⋅-，则 =')0(f2．设()sin (sin 1)(sin 2)(sin )f x x x x x n =++⋅⋅⋅+，则 =')0(f 3．函数xxy sin = 则2d x y π==4．设xex f cos )(-=，则=-+→hx f h x f h )()(lim5．已知函数)(x f y = 满足 1)32()2(lim=--→x f f xx ，则2d x y=＝6．设⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=0,00,1)(1x x e xx f x，求)(x f ' 7．设⎪⎩⎪⎨⎧=≠-=0,00,sin )(2x x x x x x f ，求)(x f '8．设⎩⎨⎧>≤+=1,1,)(2x x x b ax x f ，当=a ，=b 时,)(x f 在),(∞+-∞连续且可导； 9．设⎩⎨⎧>++≤=0,)1ln(0,sin )(x b x x ax x f ，当=a ，=b 时，)(x f 在),(∞+-∞可导；10．设)(x f 具有二阶连续导数，且0)0(=f ，证明⎪⎩⎪⎨⎧='≠=0),0(0,)()(x f x x x f x g 可导，且导函数连续11．设函数 ⎩⎨⎧=≠=,0,0,0,1sin )(x x x x x f 则)(x f 在点0=x 处（ ） （A ）极限不存在 （B ）极限存在但不连续 (C ) 连续但不可导 ( D) 可导且导数为012．设曲线 b ax x y ++=2 与 123-=xy y 在交点)1,1(-处有公切线，求常数b a ,和公切线方程。

13．设)(u f 二阶可导，)1(x f y =，则=22dx y d （ ） （A ）)1(x f '' (B))1(14x f x '' (C) )1(1)1(223x f x x f x ''-' (D) )1(1)1(243x f xx f x ''+' 14．设 3333+=+xy y x ，求点（２，１）处的 y y ''',． 15．设函数)(x y y =由方程e xy e y=+所确定，求)0(y ''16．设 ⎩⎨⎧-+=+=1sin 23y t t e t t x y， 则==022d d t x y17．设b a bax y ,(1+=为常数），则)(n y ＝ 18．设1242-=x x y ，求n 阶导数 )(n y19．设2ln(672)y x x =-+，求()n y (1)n >20．设2()23x f x x x =--，则n 阶导数()()n f x = 21．设 x x f arctan )(= （1）验证：1)()1(2='+x f x （2）证明：0)() 1 ( )()1(2)()1()()1()2(2=+++++++x f n n x f x n x f x n n n ;（3）求)0()(n f三、导数应用1．计算极限（1）)31ln(11lim 2220x x x x +--+→ （2）1ln 0lim(cot )x x x +→ （3）xx x x 3011sin sin tan lim +-+→ （4） )ln(sinlim x x x x +→1120 （5）)1sin cos (lim 0x x x x -→ （6）xxx x x c b a 103⎪⎪⎭⎫⎝⎛++→lim （）（c b a ,,全大于零） 2．当1→x 时，123--+x x x 是 123+--x x x 的（ ）（A ）同阶无穷小 (B) 高阶无穷小 (C) 低阶无穷小 (D) 等价无穷小 3．指出x 的取值范围，使函数 212arcsinarctan 2)(xxx x f ++= 的值恒为π，并证明你的结论. 4．（1） 设()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，证明：在(,)a b 内至少存在一点ξ，使 222()()2()()f f f a b f ξξξξξξ'+=+．（2）设)(x f 在可导，且)()(b f a f =，证明：存在一点),(b a <<ξξ，使=)(a f )(ξf +ξ)(ξf '（3）设函数)(),(x g x f 都在],[b a 上连续,在),(b a 内可导,且0≠)(x g ，,)()(0==b f a f 试作辅助函数用罗尔定理证明：至少存在一点),(b a ∈ξ,使).()()()(ξξξξg f g f '='5．（1）已知0132210=+++++n a a a a n ，证明方程 02210=++++n n x a x a x a a 在)1,0(内至少有一个实根（2）证明方程 2ln(3)20x x +-= 有且仅有一个实根．6．证明不等式：)0(6sin 3≥-≥x x x x ． 7．设)(x f 可导，且e x f x ='∞→)(lim ，)]1()([lim lim --=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+∞→∞→x f x f c x c x x xx ，求常数c .8．设)(x f 在],0[a 上二阶可导，且 0)0(=f ，0)(<''x f ，证明：xx f )(在],0(a 上单调减少 9．下列命题中，正确的是（ ）（A ） 若0)(0='x f ，则)(x f y =在0x x =处取得极值 （B ） 若)(x f y =可导，则0)(0='x f（C ） 设0)(0=''x f ，则点))(,(00x f x 是曲线)(x f y =的拐点（D ） 若)(x f y =在0x x =处取得极值，则0)(0='x f 或)(0x f '不存在10．)(0x f 是可导函数)(x f 的极大值的充分条件为：对满足0x x ≠ 的任意x ，都有（ ） （A ）0)(>'x f (B)0)()(0>'-x f x x (C)0)()(0<'-x f x x (D)0)(<'x f 11．周长为８的等腰三角形 OAB 绕底边OB 旋转一周得一旋转体，问腰长和底边长各为 多长时，旋转体的体积最大？（必须使用定积分计算） 12．函数），在（∞++-=02ln )(exx x f 内零点的个数为 13．求常数p 的最小值，使对一切0>x ，恒有 p ≥xe x x )(2-14．α 为正常数，使得不等式 αx x ≤ln 对任意正数x 成立，求α的最小值． 15．利用导数讨论函数xx y 22+=的性态，并作其图形 16．利用导数讨论2x xe y -=的性态，并作图．17．已知曲线⎩⎨⎧==ta y ta x sin cos （0>a ），则弧微分=ds四、不定积分1．求积分（1）⎰+-dx e e xx 31 （2）dx e e xx 3)1(⎰+ （3） ⎰+dx x xx 21cos cos sin （4）dx x x ⎰+cos 2sin 3； （5）dx ee x x ⎰+)1ln( （6）1sin d sin (1cos )xx x x ++⎰ （7）⎰dx x cos（8）2ln cos d cos xx x ⎰（9）⎰dx x x arctan （10）⎰++dx xxx cos 1sin（11）⎰-dx x x )1(ln 2．2．设221)(xx f ='（)0>x ，则)(x f ＝ 3．⎰=+=)(,)2(x f C x dx x f 则五、定积分与反常积分1．求102202cos limxdtt x x x ⎰-→ 求)1(lim24222x x t x ex dte x --→--⎰2．设)(x f 是连续函数，)0(,)()(,2)0(2sin F dt t f x F f x x'==⎰求3．设)(x f 为连续函数，且⎰+=x x x dt t f 02)1()(，则=)2(f ；4．若)(x f 连续，且2)1(=f ，则=-⎰→xx dt t f x x 11)(1lim（ ）(A)2 (B)0 (C)4 (D)2- 5．计算 （1）dx x x32102)1(-⎰ （2）320x ⎰（3）dx xx a a a ⎰-21222 （4）0x ⎰ （5）⎰20},1max{dx x6. 若()d tan tan f x x x C x=+⎰，则40()d f x x π⎰=_______________7．设)(x f 为连续函数，且dx x f x f x f f f ⎰+'==12)(1)()(arctan ,0)0(,1)1(则＝8．=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++⎰-dx x x x x x 22102423sin 12sin ππ ； 9．⎪⎭⎫⎝⎛++++++∞→n n n n n 12111lim ＝ ；10．设)(x f 是x 到离x 最近的整数的距离, 则 ⎰=1000)(dx x f11．已知()f x 是偶函数，且11()d 2f x x -=⎰，则2(1)d xf x x -=⎰12．证明：对任意自然数,m n ，都有 11(1)(1)m nm nx x dx x x dx -=-⎰⎰；计算19(1)x x dx -⎰13．设],23,21[},1,m in{)(∈=x x x x f 求 (1)⎰2321)(dx x f(2) 对)(x f 和区间]23,21[，拉格朗日中值定理结论中的ξ值；如果不满足，要具体论述．14．设1,0(),0x x f x x x +≤⎧=⎨≥⎩，1()()d ([1,1]);x F x f t t x -=∈-⎰ （1）求)(x F 的表达式，（2）讨论)(x F 在0=x 处的连续性和可导性。