2018年高考数学自由复习步步高系列(江苏版)第四天 三角函数、三角形与平面向量 Word版含解析

2018年高考备考前十天自主复习 第四天 三角函数、三角形与平面向量1．α终边与θ终边相同(α的终边在θ终边所在的射线上)⇔α＝θ＋2k π(k ∈Z )，注意：相等的角的终边一定相同，终边相同的角不一定相等．任意角的三角函数的定义：设α是任意一个角，P (x ，y )是α的终边上的任意一点(异于原点)，它与原点的距离是r ＝x 2＋y 2>0，那么sin α＝y r ，cos α＝x r ，tan α＝y x(x ≠0)，三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点P 的位置无关． 2．同角三角函数的基本关系式及诱导公式 (1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1. (2)商数关系：tan α＝sin αcos α.(3)诱导公式记忆口诀：奇变偶不变、符号看象限3．正弦、余弦和正切函数的常用性质4．三角函数化简与求值的常用技巧解答三角变换类问题要灵活地正用、逆用，变形运用和、差、倍角公式和诱导公式，进行化简、求值．常用到切割化弦、降幂、拆角拼角等技巧．如： α＝(α＋β)－β，2α＝(α＋β)＋(α－β)， α＝12[(α＋β)＋(α－β)]．α＋π4＝(α＋β)－⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4，α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4－π4. 5．解三角形(1)正弦定理：a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R (R 为三角形外接圆的半径)．注意：①正弦定理的一些变式：(ⅰ)a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ；(ⅱ)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R ；(ⅲ)a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ；②已知三角形两边及一对角，求解三角形时，若运用正弦定理，则务必注意可能有两解，要结合具体情况进行取舍．在△ABC 中，A >B ⇔sinA >sinB .(2)余弦定理：a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc等，常选用余弦定理判定三角形的形状．6．求三角函数最值的常见类型、方法：(1)y ＝a sin x ＋b (或a cos x ＋b )型，利用三角函数的值域，须注意对字母a 的讨论． (2)y ＝a sin x ＋b sin x 型，借助辅助角公式化成y ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)的形式，再利用三角函数有界性解决．(3)y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c 型，配方后转化为二次函数求最值，应注意|sin x |≤1的约束． (4)y ＝a sin x ＋bc sin x ＋d型，反解出sin x ，化归为|sin x |≤1解决．(5)y ＝a sin x ＋bc sin x ＋d型，化归为A sin x ＋B cos x ＝C 型或用数形结合法(常用到直线斜率的几何意义)求解．(6)y ＝a (sin x ＋cos x )＋b sin x ·cos x ＋c 型，常令t ＝sin x ＋cos x ，换元后求解(|t |≤2)．7．向量的平行与平面向量的数量积(1)向量平行(共线)的充要条件：a ∥b (b ≠0)⇔a ＝λb ⇔(a·b )2＝(|a||b |)2⇔x 1y 2－y 1x 2＝0.(2)a·b ＝|a ||b |cos θ， 变形：|a |2＝a 2＝a·a ，cos θ＝a·b|a||b |， a 在b 上的投影(正射影的数量)＝a·b|b |.注意：〈a ，b 〉为锐角⇔a·b >0且a 、b 不同向； 〈a ，b 〉为钝角⇔a·b <0且a 、b 不反向． 8．向量中常用的结论：(1)OA →＝λOB →＋μOC →(λ，μ为实数)，若λ＋μ＝1，则三点A 、B 、C 共线； (2)在△ABC 中，若D 是BC 边的中点，则AD →＝12(AB →＋AC →)；(3)已知O ， N ，P 在△ABC 所在平面内．若|OA →|＝|OB →|＝|OC →|，则O 为△ABC 的外心；若NA →＋NB →＋NC →＝0，则N 为△ABC 的重心；若PA →·PB →＝PB →·PC →＝PC →·PA →，则P 为△ABC 的垂心． 热点一：三角函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及性质 【典例】将函数的图像向左平移个单位长度后得到的图像.若在上单调递减，则的取值范围为__________．【答案】【解析】因为，向左平移个单位得函数，当时，函数为减函数，所以，求得，又，所以当时，，故填.点睛：此类函数单调性问题比较困难，一般要先根据所给的单调区间计算的取值范围，让其成为正弦函数的单调区间的子集即可，利用这一原理，即可得出的取值范围. 【考点定位】三角函数的性质.【题型概述】该类题主要包括三角函数的图象和变换以及已知图象确定解析式两种题型，已知图象求解析式这类型题的解决方法一般为利用待定系数法，由图中的最高点、最低点或特殊点求A ；由函数的周期确定ω；确定φ常根据“五点法”中的五个点求解，其中一般把第一个零点作为突破口，可以从图象的升降找准第一个零点的位置；函数的图象变换这类型题，务必分清是先相位变换，还是先周期变换．变换只是相对于其中的自变量x 而言的，如果x 的系数不是1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向．【跟踪练习1】【2017南京三模】在同一直角坐标系中，函数y ＝sin(x ＋π3) （x ∈[0，2π]）的图象和直线y ＝12的交点的个数是 ▲ ．【答案】 2【解析】π1π5π13ππ11πsin(),[0,2π],,3236626x x x x +=∈⇒+=⇒= ，两个交点. 【跟踪练习2】【江苏省南通市2018届高三上学期第一次调研】在平面直角坐标系xOy 中，将函数sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图像向右平移ϕ 02πϕ⎛⎫<<⎪⎝⎭个单位长度.若平移后得到的图像经过坐标原点，则ϕ的值为_________. 【答案】6π点睛：三角函数的图象变换，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也常出现在题目中，所以也必须熟练掌握.无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母x 而言. 函数()()sin y A x x R ωϕ=+∈是奇函数()πk k Z ϕ⇔=∈；函数()()sin y A x x R ωϕ=+∈是偶函数()ππ+2k k Z ϕ⇔=∈；函数()()c o s y Ax x R ωϕ=+∈是奇函数()ππ+2k k Zϕ⇔=∈；函数()()cos y A x x R ωϕ=+∈是偶函数()πk k Z ϕ⇔=∈. 考点：三角函数图像与性质 热点二：平面向量的数量积【典例】【江苏省南通、徐州、扬州等六市2018届高三第二次调研（二模）】在平面四边形ABCD 中，已知1423AB BC CD DA ====，，，，则AC BD ⋅ 的值为____．【答案】10【解析】取AC 中点O ，连接BO ， DO .【跟踪练习1】【2017苏锡常镇三模】在△ABC 中，AB AC ⊥，1AB t=，AC t =，P 是△ABC所在平面内一点，若4||||AB ACAP AB AC =+，则△PB C 面积的最小值为 ▲ ． 【答案】32【解析】以A 为坐标原点，AC 所在直线为x 轴建立直角坐标系，则21(1,4),(,0),(0,),:1,0xP C t B BC ty x t y t t t+=+-=，211113|41||1|2222PBCS t t ∆==+-≥= 热点三：三角函数与三角形问题的结合【典例】【江苏省姜堰、溧阳、前黄中学2018届高三4月联考】在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知222a c b -=，且sin cos 3cos sin A C A C =. （1）求b 的值；（2）若4B π=， S 为ABC ∆的面积，求cos S A C +的取值范围.【答案】(1) 4b = (2) (【解析】试题分析：（1）利用正余弦定理， sin cos 3cos sin A C A C =可转化为2222b ac -=，又222a c b -=，从而得到b 的值；（2）由正弦定理1sin sin 2S bc A A C ==，故32c 82c o s 24S A s C A π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭限制角A 的范围，求出cos S A C +的取值范围.（2）由正弦定理sin sin b c B C =得114sin 4sin sin sin 22sin4S bc A A C A C π==⋅⋅=()324S AcosC A C A π⎛⎫∴+=-=-⎪⎝⎭， 在ABC ∆中，由3040{202A A C A Cπππ<<<<<<> 得3,82A ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ 320,44A ππ⎛⎫∴-∈ ⎪⎝⎭，3cos 242A π⎛⎫⎛⎫∴-∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(S AcosC ∴+∈.【考点定位】正余弦定理的应用.【题型概述】该类题型将三角函数的图象和性质与正弦定理融合到一起，其解法往往是，既然是三角形问题，就会用到三角形内角和定理和正、余弦定理以及相关三角形理论，及时边角转换，可以帮助发现问题解决思路；同时它也是一种三角变换，只不过角的范围缩小了，因此常见的三角变换方法和原则都是适用的. 【跟踪练习1】已知的内角的对边分別为，，角最大，则的取值范围为__________．【答案】【解析】分析：先化简已知得到,再代入,利用基本不等式求取值范围.∴=当且仅当即时等号成立.∴ 的取值范围为，故填点睛：处理取值范围的问题常用函数的方法，一般先求出函数的解析式，再求函数的定义域，最后决定用什么方法求函数的值域. 本题就是先求出=，再求A 的范围，再利用基本不等式求函数的最小值.【跟踪练习2】ABC ∆中，角C B A 、、所对的边分别为c b a 、、，下列命题正确的是________.①若ABC ∆最小内角为α，则21cos ≥α；②若A B B A sin sin >，则A B >；③存在某钝角ABC ∆，有0tan tan tan >++C B A ； ④若02=++AB c CA b BC a ，则ABC ∆的最小角小于6π； ⑤若()10≤<<t tb a ，则tB A <. 【答案】①④⑤对④，由22()aBC bCA cAB aBC bCA c AC CB ++=+++ (2)()a c BC b c CA =-+- 0= ，即(2)()a c BC c b CA -=- ，而,BC CA不共线，则20,0a c b c -=-=，解得2,2c a b a ==，则a 是最小的边，故A 是最小的角，根据余弦定理222222447cos 222282b c a a a a A bc a a +-+-===>⋅⋅，知6A π<，故④正确； 对⑤，由(01)a tb t<<≤得a tb b <<，所以A B <，由②知，sin sin B AB A<，即sin sin A A B B <，又根据正弦定理知sin sin A t B <，即sin sin At B<，所以A t B <，即A tB <.故①④⑤正确.考点：1、解三角形正弦定理、余弦定理；2、向量. 热点四：三角变换、向量、三角形问题的综合【典例】【江苏省南通、徐州、扬州等六市2018届高三第二次调研（二模）】在平面直角坐标系xOy 中，设向量()cos sin a αα= ，， ()sin cos b ββ=- ，， 122c ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，． （1）若a b c +=，求()sin αβ-的值；（2）设5π6α=， 0πβ<<，且()//a b c + ，求β的值．【答案】(1) 12-；(2) π2β=.【解析】试题分析：（1）由向量()cos ,sin a αα= ， ()sin ,cos b ββ=- ， 12c ⎛=- ⎝⎭得1a b c ===，再根据a b c +=，即可得()sin αβ-的值；（2）由5π6α=，得12a ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，再根据a // ()b c + ，可得π1sin 32β⎛⎫-= ⎪⎝⎭，从而可求得β的值．【跟踪练习1】已知中，角所对的边分别是,且.(1)求角的大小；(2)设向量，边长，当取最大值时，求边的长.【答案】(1)(2).【解析】分析：（1）由题意，根据正弦定理可得，再由余弦定理可得，由此可求角的大小；（2）因为由此可求当取最大值时，求边的长.详解：（1）由题意，所以（2）因为 所以当时，取最大值，此时，由正弦定理得，点睛：本题考查正弦定理，余弦定理的应用，考查向量数量积的运算，以及二次函数的最值，属于中档题．【跟踪练习2】设向量)(),sin ,cos ,sinx ,0,.2a x x b x x π⎡⎤==∈⎢⎥⎣⎦ （I ）若a b = ，求x 的值；（II ）设函数()f x a b =⋅ ，求()x f 的最大值．考点：1、三角恒等变形；2、三角函数求最值．。