大学物理 第四讲 动能定理 功能原理

4. 动能定理 功能原理
• • • • • • 4.1 动能定理 4.2 保守力和非保守力 势能 4.3 功能原理和机械能守恒 4.4 三种宇宙速度 4.5 能量守恒定律 4.6 质心 质心运动定理
研究力在空间的积累效应。
注意: 1. 提高对 “功、动能、动能定理、势能 、 功能原理、机械能守恒定律”的理解。 2. 搞清规律的内容、来源、 对象、成立条件。
3. 搞清它们与参考系的关系。 例如： 功的计算是否依赖参考系？ 如何理解重力势能属于“物体与地球”系统？ 某一惯性系中机械能守恒，是否在 其它惯性系也守恒？
4.1 动能定理
4.1.1 功和功率
功: 力和它所作用的质元（质点）的位移的点积。 对微小过程，可当成恒力、直线运动
Aab d A F d r
i i i
A外 + A内 = Ek2 - Ek1
所有外力对质点系做的功和内力对质点系做的功 之和等于质点系总动能的增量。 ---质点系的动能定理
注意：1. 内力是成对出现的，但内力功之和不一定为零。 2. 内力不能改变系统的总动量，但能改变系统的总 动能。 B
三、一对力的功
z
1
B2
设一对力分别作用在两 个物体上
蚂蚁在作功
附1. 一质量为2kg的物体，在变力 F 6ti 的作用下作直线运动，如果物体从静止开始运动， 求前两秒此力所作的功。
4.1.2 动能定理
一. 质点的动能定理 设合力为 F ，由牛II， 2 2 A12 F d r Ft d r
1 1
2 2
2
m
1 dv m at d r m vdt 1 1 dt v2 1 1 2 2 m vd v mv 2 mv1 E K 2 E K 1 2 2 v1
3. 势能零点的选择可以任意。 势能零点的选择不同,势能的值不同, 但不影响两势能之差，即不影响一对保守力的功。
A12保 Δ Ep
保守力
积分
势能
( 零点)
EP1
保守力
微分
( 1)
f保 d r
势能
如何由势能求保守力?
二、由势能求保守力
对于一个元过程，保守力的功有
f 保 d l d Ep
一对保守力的功等于系统势能的减量。 (或势能增量的负值) 若选定势能零点为 EP 2 =0 ( 零点) f保 .d r 则 EP1

(1)
对万有引力势能:通常选两质点相距 无限远时的势能为零, 则
Ep 万
GmM GmM dr 2 r r r

重力势能：实质上是地球表面附近物体的 万有引力势能的一个简化。 （选地球表面为势能零点）
N
v1
一对正压力的功恒为零！
一对滑动摩擦力之功恒小于零！
ff
vv
讨论 一个物体在地面上滑行， 受摩擦 f 作用，经过距离 s 停了下来。
在地面系看：摩擦力 f 作负功，A = -f s 物体动能减少，动能转化为热能，温度升高。 在物体参考系看：摩擦力 f 不作功，A=0.
（矛盾？） f 到底作不作功？ 若 f 不作功，热能从何而来?
1 2
1



x2 kxi d xi k xd x x1

(1)
(2)
注意
1 1 2 2 kx1 kx2 2 2
(<0)
功的数值依赖于参考系的选择。
例如，上题中，在桌面参照系 f 作负功; 在小球参照系弹性力对小球 f 并不作功！
保守力的另一定义（重要性质）：一质点相对 于另一质点沿闭合路径运动一周时，它们之间 2 的保守力做的功必然是零。 L1 若 f 是保守力，必有 f dr f dr 0 L2 m L M 1 2 1 f dr f dr f dr
初位形（A）: m1----A1，m2----A2 末位形（B）: m1----B1，m2----B2
(B)
说明:
AAB 对
(A)

(B)
f 2 d r21
(或
(A)

f1 d r12 )
１.一对力的功等于其中一个质点受的力沿着它相对 于另一质点移动的路径所作的功。 ２.由于一对力的功只与“相对路径”有关，所以与 参考系的选取无关。
4.2 保守力与非保守力 势能
一对万有引力的功： 以 M为参考系的原点, 计算起来就非常方便， 只要算一个力的功 即可。 2 r2 GMm ˆ f r 2 r M
r1
r
1
ˆdr dr r
f m
dr
ˆ r
A12对 f d r
1
2

2
1
GMm ˆdr r 2 r
则
f保 x
Ep
x y z Ep Ep Ep ˆ ˆ ˆ） f保 （ x y z x y z
, f保 y
Ep
, f保 z
Ep
记作
grad E p E p
例 . 由弹性势能求弹性力。 1 2 E p弹 kx 已知 2
m V ( v 0 v ) （＞0） M
由动能定理： A外 + A内 = Ek2 - Ek1 现在外力的功为零； 内力的功 就是一对阻力的功， 我们以砂箱为参照系来计算这一对阻力的功：
设子弹受的平均阻力为 f r （即看作常数） ,
而子弹相对砂箱的位移即为l ，
1 1 1 2 2 2 所以， f r l MV mv mv0 2 2 2

1 L1
2 L 2 Βιβλιοθήκη 1 L1
2
f dr
1 L2

2
f dr 0
常见的保守力: 万有引力 弹力
f kx（或位置的单值函数）
f mg（或恒力）
ˆ ( 或有心力） f f (r )r
重力
常见的非保守力（耗散力）： 摩擦力
ˆ ˆ ˆ y z （梯度算符） 算符 x x y z
则
d 1 2 fx kx kx dx2
一对力的功,可认为一个质点静止,例如，重力做功
3.
AAB对 f 2 d r21 , d r21 0 (相对位置不变)，
A
B
例、一对静摩擦力的功是多大？
或 d r21 f2 时，A对 0
一对静摩擦力的功恒为零！
无论大物体怎么运动，这一对力 的功总是零，没有相对运动。
v
例、小物体下滑大物体后退，一对正压力的 功是多大？ N 不垂直于 v1 , AN 0 N 1 v2 2 N 不垂直于 v2，AN 0 v12
R
则
式中
对弹性势能:通常选弹簧自然长度时的 势能为零, 则 1 2
Ep 弹
2
kx
说明：
1. 势能属于有相互作用的系统。 因为它是与一对保守力的功联系在一起的。 重力势能为 mgh，好象只与一个物体的质 量有关，其实这是以地球为参考系的缘故。 2. 势能的差值不依赖于参考系的选择。 因为一对保守力的功不依赖于参考系的选择。
GmM Ep 万 dr 2 r r GmM GmM R r
R地
r R
h
Ep 万
GmM GmM GmM dr 2 r R r r GmM (r R) 令 r Rh 若 h<<R， Rr GmMh Ep 万 mgh 2 R
GM g 2 9.8 m/s 2 R
例1. 重力的功 地面附近质量为 m 的物体从 a 到 b，求重力的功。
y
dr
b
Ap mg d r (mgj ).(d xi d yj )
mg d y mg ( ya yb )
ya
b
b
a o
mg
x
a y b
a
例2. 一人从10m深的井中提水，起始 时桶和水共重10kg，由于水桶漏水， 每升高1m要漏去0.2kg的水。求将水 桶匀速地从井中提到井口，人所作的 功。
yb
zb
A (Fi ) dr
a i i
b
（瞬时）功率: 若在 t t + dt 内，力 F 的元功为 dA，
则 t 时刻的功率
F dr A
b a i i
i
d A F d r P F v dt dt
由动力机械驱动时，马达的输出功率是一定的，速度 小、力大，速度大、力小。 ---------“牛马关系”
这个问题从一对摩擦力之功来分析就无矛盾:
v
f f
A
s s
B
地面系： A对 f s fs
物体系： A '对 f s f s
fs f s
A对 A '对
两者相等,而且都是负值。(动能转化为热能！)
例3. 在光滑水平面上停放一个砂箱，长度为 l， 质量为M。一质量为 m的子弹以水平初速 v0 穿透砂箱，射出时速度减为 v，方向仍为水平。 试求砂箱对子弹的平均阻力。
“合力对质点作的功等于质点动能的增量”
说明:
１．一个过程量=始末两个状态量之差。 ２．动能定理只适用于惯性系。
二 . 质点系的动能定理：
对第 i个质点：合外力的功 ── 合内力的功 ──
A外i A内i
A外i A内 i EK 2i EK1i
对质点系：
简记为
A
i