人教版八年级下册数学 第16章《二次根式》讲义 第1讲 二次根式认识、性质(有答案)
人教版八年级下册数学第十六章二次根式二次根式的概念和性质教案
-设计分层次练习，从基础到提高，逐步突破难点。
-引导学生通过自主探索和合作交流，构建数学模型，提高数学建模能力。
-在教学中注重教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《二次根式》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要计算平方根的情况？”（例如：计算正方形边长）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索二次根式的奥秘。
-详细讲解二次根式的性质，结合图形和实际例子，使学生直观理解。
-以典型例题形式，展示二次根式的化简和运算过程，指出易错点，强调运算规则。
-设计具有挑战性的问题，让学生在实际情境中应用二次根式，识别难点，培养解决问题的能力。
-通过小组讨论和互动，激发学生的学习兴趣，促进数学表达和交流能力的提升。
4.教学策略：
在新课讲授环节，我采用了案例分析的教学方法，让学生通过解决实际问题来体会二次根式的应用。从实践活动的表现来看，学生们对此表现出较高的兴趣，但在小组讨论中，部分学生仍然显得不够积极主动。针对这一问题，我计划在接下来的课程中，多鼓励学生发表自己的观点，培养他们的团队协作能力和沟通能力。
此外，在学生小组讨论环节，我发现有些学生在解决问题时思路不够清晰，容易陷入思维定势。为了帮助学生打破思维局限，我将在以后的课堂中，适时给予他们提示和引导，培养他们的问题分析能力和创新意识。
。
三、教学难点与重点
1.教学重点：
-二次根式的定义及其性质的理解和掌握。
-二次根式的化简和运算方法的运用。
2.教学难点：
-对二次根式性质的深入理解，特别是乘法法则和除法法则的应用。
人教版八年级数学下册《二次根式的乘除》二次根式PPT精品课件
观察两者有什么关系？
4×9
36 6 ;
=_________
400 20 ;
16 × 25 =_________
900 30 .
25 × 36 = _________
知识讲解
观察三组式子的结果，我们得到下面三个等式：
(1)
4
(2)
16
(3)
25
9 = 4 9；
25= 16 25；
16a 4a 2 a 2 .
4
4
知识讲解
2. 若长为 24 ，宽为 8 ，求出它的面积.
解：它的面积为 24 × 8 = 24 × 8 =
82 × 3 = 8 3.
随堂训练
−6 = ⋅ −6
1.若
，则 （ A ）
A．x≥6
B．x≥0
C．0≤x≤6
D．x为一切实数
（ D ）
6 2
（2） 6 × 12 = _______;
2 6
（3） 3 × 2 2 = _____.
4. 比较下列两组数的大小（在横线上填“＞”“＜”或“=”）：
（1）
5 4
＞
4 5；
（2） 4 2
＜
2 7.
随堂训练
5.计算：（1）2 3 × 5 21；
18
（2）3 3 × (−
);
4
（3）3 2 × 2 10 × 5;
（3） 3 ×
1
=
3
1
3
3 × = .
1
.
3
知识讲解
归纳： 化简二次根式的步骤：
1.把被开方数分解因式(或因数) ；
2.把各因式(或因数)积的算术平方根化为每个因
新人教版八年级下册初二数学16.1二次根式.优秀PPT课件
第16章 二次根式
16.1 二次根式
回忆
⑴什么叫做一个数的平方根？如何表示？ 一般地，若一个数的平方等于a，则 这个数就叫做a的平方根。
a的平方根是 a
⑵什么是一个数的算术平方根？如何表示？ 正数的正的平方根叫做它的算术平方根。 0的算术平方根平方根是0 用
a
(a≥0)表示。
复习 1、如果 x 4，那么 x ±2 ；
2
2、如果 x 3，那么 x 3 ；
2
3、如果 x a(a 0) ，
2
那么 x a 。
x
导入
1.如图所示的值表示正方形的 面积，则正方形的边长是 b 3
b-3
2.要修建一个面积为6.28m2的圆形喷水池， 取3.14）； 它的半径为 2 m（
二次根式的性质及它们的应用:
（1）
a a,(a 0)
2
（2）
a a
2
a ( a >0 ) 0 ( a =0 ) -a ( a <0 )
(1)( 2 ) 2 2 (2)( 2 ) 2
2
(3) ( 2 ) -2
2
(4) (2) |-2|=2
2
(5) 2 |2|=2
a9
a 2a 2
2
2
⑷ ⑹
⑸ m 3
a 1 (a 3)
例题吧
例1 x为何值时，下列各式在实数范围内有意义。
1 x 5 x 5
(1)
(2) 1 x
2
(3) 1 x 3 x
解： (1) 由x-5 ≥ 0,得x ≥ 5 ∴当 x ≥ 5时， x 5有意义.
第十六章 二次根式 单元解读 课件(共14张PPT)2024-2025学年人教版八年级数学下册
教材分析
本章主要讨论如何对数和字母开平方而得到的特殊式子——二次根式的加、 减、乘、除运算.通过本章学习，学生将建立起比较完善的代数式及其运算的知 识结构，并为勾股定理、一元二次方程、二次函数等内容的学习作好准备.
本章教学建议
02 加强归纳法，使学生经历从特殊到一般的认识过程
前已指出，教材对本章内容的处理，一以贯之地用“从具体数字的算术平方根的运算 中观察规律，归纳得出二次根式的性质、运算法则”的方式展开.因此，教学时一定要根据 教材的这一编写意图，让学生通过观察、思考、讨论等，经历从特殊到一般的过程，归纳 得出有关结论.例如，对于二次根式的乘法法则和除法法则，都应该先让学生利用二次根式 的概念和性质进行一些具体数字的计算，并观察所得结果，发现二次根式相乘(除)与积(商) 的算术平方根之间的关系；然后让学生自己举例，利用发现的规律进行验证性计算；最后 归纳出二次根式的乘法、除法法则.
单元解读
第十六章 二次根式
R·八年级下册
课标分析
“数与式”是代数的基本语言，初中阶段关注用字母表述代数式，以及代数 式的运算，字母可以像数一样进行运算和推理，通过字母运算和推理得到的结论 具有一般性.
数与代数领域的学习，有助于学生形成抽象能力、推理能力和模型观念，发 展几何直观和运算能力.
课标要求
加强符号意识、运算能 力的培养
教材分析
设计思路 概念
性质
运算
介绍二次根式的性质，包括一 通过观察、操作、归纳、
个非负数的平方的算术平方根 类比等方法，给出二次
根式的概念
的性质、积的算术平方根和商
【最新】人教版八年级数学下册第十六章《二次根式的概念和性质》公开课课件.ppt
时的高度 h(单位：m)满足关系 h＝5t2.如果用含有 h 的式子表示 t，则 t＝
________．
【答案】(1) 17 (2) 65 (3) 65 (4) 3
h a (5) 5
活动 2：二次根式的非负性 (多媒体展示) (1)式子 a表示的实际意义是什么？被开方数 a 满足什么条件时，式子 a才有意义？ (2)当 a＞0 时， a________0；当 a＝0 时， a________0；二次根式是 一个________． 【答案】(1)a 的算术平方根，被开方数 a 必须是非负数 (2)＞ ＝ 非 负数 老师结合学生的回答，强调二次根式的非负性． 当 a＞0 时， a表示 a 的算术平方根，因此 a＞0； 当 a＝0 时， a表示 0 的算术平方根，因此 a＝0. 也就是说，当 a≥0 时， a≥0.
2Rh2 师：那么怎么去化简它呢？这要用到二次根式的运算和化简．如何进行二 次根式的运算？如何进行二次根式的化简？这将是本章所学的主要内容．
二、新课教授
活动 1：知识迁移，归纳概念
ห้องสมุดไป่ตู้
(多媒体演示)用含根号的式子填空． (1)17 的算术平方根是________； (2)如图，要做一个两条直角边长分别为 7 cm 和 4 cm 的三角形，斜边长应
三、例题讲解 【例】当 x 是怎样的实数时， x－2在实数范围内有意义？ 解：由 x－2≥0，得 x≥2. 所以当 x≥2 时， x－2在实数范围内有意义．
四、巩固练习 1．已知 a－2＋ b＋12＝0，求－a2b 的值． 【答案】 a－2≥0， b＋12≥0，又∵它们的和为 0，∴a－2＝0 且 b＋12＝ 0，解得 a＝2，b＝－21. ∴－a2b＝－22×(－12)＝2. 2．若 x，y 使 x－1＋ 1－x－y＝3 有意义，求 2x＋y 的值． 【答案】－1
人教版初二数学8年级下册 第16章(二次根式)二次根式的概念 课件(22张)
2．式子a＋1a－2有意义，则实数a的取值范围是( C ) A．a≥－1 B．a≠2 C．a≥－1且a≠2 D．a＞2
3．如果 2－－6x是二次根式，那么 x 的取值范围是( C ) A．x≠2 的所有实数 B．x＜2 的所有实数 C．x＞2 的所有实数 D．x≥2 的所有实数
(1) 2x3－1；
2 (2)1－
； x
解：(1)x＞12
解：(2)x≥0且x≠1
(3) 1－|x|；
解：(3)－1≤x≤1
(4) －（x－1）2.
解：(4)x＝1
6．有一个长、宽之比为5∶2的矩形过道，其面积为10 m2. (1)求这个矩形过道的长和宽； (2)用40块大小相同的正方形地板砖刚好把这个过道铺满，求这种 地板砖的边长．
∴ 当x≥2时， x - 2 在实数范围内有意义．
例2 a 取何值时，下列根式有意义？
（1）
a+1；（2）
1 1-2a
；（3）（a-1）2．
解：（1）由a+1≥0，得 a≥-1；
（2）由1-2a＞0，得a
<
1 2
；
（3）由（a-1）2≥0，得a为任何实数．
二次根式性质练习 1．使x－3有意义的x的取值范围是( C )
以， a具有“双重非负性”：即 a__≥_0___， a____≥_0_．
一、选择题
1．在下列式子中，一定是二次根式的个数有( B )
a， x2＋3， 77， －62， （－9）2，3 2m2. A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．5 个
2．使代数式
1＋ x＋3
4－3x有意义的整数 x 有( B
解：∵3a－6≥0，2－a≥0，∴a＝2，b＝4.当边长为4，2，2时， 不符合实际情况，舍去；当边长为4，4，2时，符合实际情况， 4×2＋2＝10.即此三角形的周长为10
人教版八年级数学下册第十六章《二次根式的概念》公开课课件
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1.二次根式的概念
知识回顾
1、16的平方根是什么?16的算术平方根是什么？ 2、0的平方根是什么？0的算术平方根是什么？ 3、－7有没有平方根？有没有算术平方根？ 正数和0都有算术平方根；负数没有算术平方根。
7 表示什么？ 表示7的算术平方根
a 表示什么？a需要满足什么条件？为什么？
•不习惯读书进修的人，常会自满于现状，觉得再没有什么事情需要学习，于是他们不进则退。经验丰富的人读书用两只眼睛，一只眼睛看到纸面上的话，另 一眼睛看到纸的背面。2022年3月28日星期一2022/3/282022/3/282022/3/28 •书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。2022年3月2022/3/282022/3/282022/3/283/28/2022 •正确的略读可使人用很少的时间接触大量的文献，并挑选出有意义的部分。2022/3/282022/3/28March 28, 2022 •书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。
a 2+ 0 . 1 、 - a ( a ＜ 0 ﹚ 是 不 是 二 次 根 式 ？
例 1： 要 使 x-1 有 意 义 ， 字 母 x 的 取 值 必 须 满 足 什么条件？
想一想： 已 知 ： y= x-2 + 2-x +3， 求 xy的 值 。
例 2 x是怎样的实数时，式子 x 3 在实
数范围内有意义？
谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
非负数的算术平方根仍然是非负数。 性质 1： a ≥0 (a≥0) （双重非负性）
例 4：已知 a+2 +|3b-9|+(4-c)2=0, 求 2a-b+c 的值。
人教版初二数学8年级下册 第16章(二次根式)二次根式 课件(共35张PPT)
?
2a0 ， b20
a 2， b 2
原式 a2 b 12 2 2 212 21 3
已知 1 有意义,那A(a, a
在 二 象限.
∵由题意知a＜0 ∴点A(－,＋)
a )
?
已知y 2 x x 2 5,
则
y x
5
___2_
2-X≥0
X-2≥0
x ≤2 x≥2
练习:用心算一算:
1 25 5 2 72 7
33
2
2
18
4
1
2
2
5 x2 2xy y2 (x﹤y)
已知a.b为实数，且满足 a 2b 1 1 2b 1 求a 的值.
若a.b为实数,且 2 a b 2 0
求 a2 b2 2b 1的值
解:
2 a 0， b 2 0
的正方形的边长为___S__。
2.一长方形围栏，长是宽的2倍，
面积为130，则它的宽为 ___6_5__
h 3.h=5t2,则t=_____5__
3S
h 65 5
你认为所得的各式有哪些共同点？
表示一些正数的算术平方根
我们知道，一个正数有两个平方根；0的平 方根是0；在实数范围内，负数没有平方根。因 此，在实数范围内开平方时，被开放数只能是 正数或0.
22 __2_,
| 2 | _2__;
52 _5__,
02 __0_,
| 5 | _5__; | 0 | __0_ .
a2 a
请比较左右两边的式子,议一议: a2与 | a | 有什么关系?
a 当 a 0 时, a2 ____ ; 当 a 0 时, a2 __a__.
一般地,二次根式有下面的性质:
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第1讲 二次根式认识、性质第一部分 知识梳理知识点一： 二次根式的概念形如（）的式子叫做二次根式。
必须注意：因为负数没有平方根，所以是为二次根式的前提条件知识点二：二次根式（）的非负性（）表示a 的算术平方根， 即0（）。
非负性：算术平方根，和绝对值、偶次方。
非负性质的解题应用： （1）、如若，则a=0,b=0； （2）、若，则a=0,b=0； （3）、若，则a=0,b=0。
知识点三：二次根式的性质第二部分 考点精讲精练考点1、二次根式概念 例1、下列各式：122211,2)5,3)2,4,5)(),1,7)2153x a a a --+---+其中是二次根式的是_________（填序号）． 例2、下列各式哪些是二次根式？哪些不是？为什么？（121 （219-（321x +（439 （56a - （6221x x ---例3)()()230,2,12,20,3,1,2xx y y x x x x y +=--++中，二次根式有（ ）A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个 例4、下列各式中，属于二次根式的有（ ）例5、若21x +的平方根是5±41_____x +=． 举一反三：1、下列各式中，一定是二次根式的是（ ）A aB 10-C 1a +D 21a+2a 2a b 1x +21x +3中是二次根式的个数有______个 3、下列各式一定是二次根式的是（ ）A 7-B 32mC 21a +D ab4、下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：2 33 1x、 x （x>0）、0 42 2 1x y +、x y +（x≥0，y ≥0） ．5a 2a b 1+x 、2+1x 、3______个。
考点2、根式取值范围及应用例13x -有意义，则x 的取值范围是例231x x --有意义的x 的取值范围 例3、当_____x 时，式子534xx --有意义． 例4、在下列各式中，m 的取值范围不是全体实数的是（ ） A ．1)2(2+-m B ．1)2(2-m C ．2)12(--m D ．2)12(-m例5、若y=5-x +x -5+2021，则x+y=例6、实数a ，b ，c 2a │a －2()b c +=______． 举一反三： 1、使代数式43--x x 有意义的x 的取值范围是（ ） A 、x>3 B 、x≥3 C 、 x>4 D 、x≥3且x≠42221x x -+-x 的取值范围是3、如果代数式mnm 1+-有意义，那么，直角坐标系中点P （m ，n ）的位置在（ ）A 、第一象限B 、第二象限C 、第三象限D 、第四象限 4、式子x x x 222+-+-有意义，x 为________ 5、yx是二次根式，则x 、y 应满足的条件是（ ） A ．0≥x 且0≥y B ．0>yxC ．0≥x 且0>yD ．0≥yx 611x x --2()x y =+，则x －y 的值为（ ）A ．－1B ．1C ．2D ．37、若x 、y 都是实数，且y=4x 233x 2+-+-，求xy 的值8、当a 211a +取值最小，并求出这个最小值。
考点3、根式的非负性及应用例1、若a a 21)12(2-=-，则a 的取值范围（ ） A 、21≤a B 、21>a C 、21≥a D 、a 为任意实数 例2、若xx xx --=--3232成立，则x 满足__________例3、（1）、若()22340a b c -+--=，则=+-c b a （2）、已知()039322=+-+-x x y x ，则11++y x =___________ 例4、已知：420x x y -++=, 求x －y 的值.例5、（1）1a +1b -，求a 2021+b 2021的值． （2）2440x y y y --+=，求xy 的值。
举一反三：1、若0)1(32=++-n m ，则m n +的值为2、已知y x ,为实数，且()02312=-+-y x ，则y x -的值为（ ）A 、3B 、– 3C 、1D 、– 13、若1a b -+与24a b ++互为相反数，则()a b b a --=4、已知：的值。
求代数式22,211881-+-+++-+-=xyy x x y y x x x y考点4、二次根式的性质（1）例1、已知数a ，b ，若2()a b -=b －a ，则（ ）A 、a>bB 、a<bC 、a≥bD 、a≤b 例2、将根号外的a 移到根号内，得（ ）A 、B 、－C 、－D 、例3、先化简再求值：当a=9时，求212a a -+ 甲的解答为：原式2(1)a -=a+（1－a ）=1；乙的解答为：原式2(1)a -=a+（a －1）=2a －1=17． 两种解答中，______的解答是错误的，错误的原因是_________ 例4、若－3≤x≤2时，试化简│x －2(3)x +21025x x -+ 例5、实数a ，b ，c 2a │a －2()b c +=______． 举一反三： 1、把（a －111a --a －1）移入根号内得 2、已知a<0，化简二次根式b a 3- = 3、把mm 1-根号外的因式移到根号内，得 4、若a a a =-+-20182013，求a －20212的值．（提示：先由a －2021≥0，判断2021－a•的值是正数还是负数，去掉绝对值）5、已知a,b,c 为三角形的三边，则222)()()(a c b a c b c b a -++--+-+= 考点5、二次根式的性质（2）例1、（1）23369__________=⨯= （2）. 计算：=⋅b a 10253______（3）．当0a ≤，b ＜03__________ab = 例2、等式)6(6-=-•x x x x 成立的条件是（ ）A 、x≥0B 、x≥6C 、0≤x≤6D 、x 为一切实数例3、 （1）211311÷ y xxy 3212÷33 （2）326- 61132135÷⋅ 例4、 1x +2（x≥0） 221a a ++2 例5、甲、乙两人对题目“化简并求值：21122-++a aa ，其中51=a ”有不同的解答： 甲的解答：549211)1(1211222=-=-+=-+=-++a a a a a a a a a a a， 乙的解答：5111)1(1211222==-+=-+=-++a a a a a a a a aa 。
谁的解答是错误的？为什么？ 举一反三：1、若x 3+3x 2 =－x x+3 ，则x 的取值范围是2、 )25(122)341(-÷⋅- 3、22649b a25169xy 11416 6484、abb a ab b 3)23(235÷-⋅5、观察下列各式：……，请你将猜想到的规律用含自然数(1)n n ≥的代数式表示出来是 ．6、已知－1<a<02211()4()4a a a a+--+＝7、已知3,12,.a ba b ab b a+=-=求的值 8、若a ，b 为实数，且b 355315a a --22b a b aa b a b+++-的值. 第三部分 课堂小测1、判断下列根式是否二次根式：（1）3- （2）3- （3）3)3(- （4）38 （5）a - （6）32-- （7）12--a （8）122++a a 2、x 是怎样的实数时，下列各式有意义。
（123x -（2137x +（32441x x --- （4222x x -+3、若2)(11y x x x +=-+-，则y x -=________4、若代数式||112x x -+ 有意义，则x 的取值范围是什么？5、139 9271681⨯ 81100⨯6、 821⨯ )521(154-⨯- 222853- 7、162436a a ⨯ a a 82⋅229x y8、如图，实数a 、b 在数轴上的位置，化简 222()a b a b -9223541294-202522a a a a a -++-（≤≤）. 第四部分 提高训练1、先化简再求值：当a=9时，求a 212a a -+的值，甲乙两人的解答如下：甲的解答为：原式2(1)a -=a+（1-a ）=1；乙的解答为：原式2(1)a -=a+（a-1）=2a-1=17．两种解答中，_______的解答是错误的，错误的原因是__________．2、计算ba b a ba b a b a +-+-+-2（利用公式）分析：本例初看似乎很复杂，其实只要你掌握好了公式，问题就简单了，因为a 与b 成立，且分式也成立，故有a ＞0，b ＞0，()0≠-b a 而同时公式：()b a -2=a2-2ab +b2，a 2-2b =()b a +()b a -，可以帮助我们将b ab a +-2和b a -变形，所以我们应掌握好公式可以使一些问题从复杂到简单。
解：原式=()ba ba --2+()()ba ba ba +-+=()b a -+()b a -=2a -2b3、计算：32163223-+--+（适当配方）分析：本题主要应该从已知式子入手发现特点，∵分母含有1+32-其分子必有含1+32-的因式，于是可以发现3+22=()221+，且()21363+=+，通过因式分解，分子所含的1+32-的因式就出来了。
解：原式=()()32163223-++-+=()()=-++-+3212132121+24、计算()()76655627++++（拆项变形法）分析：本例通过分析要想到，把分子化成与分母含有相同因式的分式。
通过约分化简，如转化成：ba ab b a 11+=+再化简，便可知其答案。
解：原式==()()()()()()()()76657676656576657665+++++++=+++++5、计算63232231++-+（借用整数“1”处理）分析：本例运用很多方面的知识如： 1=()()()b a --+.2323和×()22b a b a -=+，然后再运用乘法分配率，使分子与分母有相同因式，再约分化简。
解：原式=()()()()()632236232363232232323++-+-+=++-+-+第五部分 课后作业1、当x ______时，1-x 是二次根式.2、=-2)6.1(______ ； =2)23(________ ； 2) (9=ab .3、把7写成一个数的平方得_______.4、在实数范围内因式分解=-22x _____.5、若x +3不是二次根式，则x 取值范围是_______6、当x ______时，x -2无意义.7、当x______时，x--23有意义；在2||--x x 中x 的取值范围是________8、当a ＜1且a≠0时，化简aa a a -+-2212＝9、若31-+a 在实数范围内有意义， 则a 满足的条件是（ ） A 、2=a B 、2≥aC 、4-≤aD 、2≥a 或4-≤a10、已知x,y 都是实数,且满足5.011+-+-=x x y , 化简11--y y .11、在实数范围内因式分解：=-2252b a _________ 12、若x x 213-++有意义，则x 的取值范围是_______ 13、在实数范围内因式分解：=+-2222y y _______14、 44176⨯ 23483415⨯ 2324162xy xy ⋅（x ≥0，y ≥0） 15、 123312836416、已知实数，a ，b ，c 在数轴上的位置如图所示， 化简222||()().a a c c a b -+- 18、已知2228442142x x y x x x y x x++=--+，求的值。