第十六章：二次根式
第十六章 二次根式
.
. 最简二次根式：① ； ② ； ③ . . . . ；
文字语言： . ； 文字语言： . . .
.
①分母形如的二次根式.
给分子、分母同时乘以 ；
②分母形如.
给分子、分母同时乘以 .
2的区别与联系：
例一：下列各式一定是二次根式的是（）
分析：判定一个代数式是否是二次根式，要看该式子是否同时具备两个要素：（1）含有二次根号；（2）被开方数是非负数.
对应训练：
1.下列各式中，一定是二次根式的是（）
A
专题二：二次根式有意义的条件
对于非负数x,如果有x2=a，那么x就是a的算术平方根，也是a在这里a是x的平方数，它的值是一个正数或零（因为任何数的平方都不可能是负数）.由此得出：只有当a≥0时，
.
（1a≥0a<0.
（2）从具体的情况总结，如下：
a≥0； a≥0,
n
+有意义的条件： b≥0,
…
n≥0；
a>0；
1
b
有意义的条件：a≥0且b≠0；
有意义的条件：a≥0且b>0.
例二：当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？
（1；（2（3
；（4；
（5（6
分析：对于含有二次根式和分式的式子，求其有意义的条件时：首先找出二次根式的被开方数，根据二次根式的被开方数为非负数列不等式，其次找分式的分母，根据分母不为0，列出所需的不等式，将这些不等式组成不等式组，不等式组的解集就是字母的取值范围.
解：（1）
1
310
3
x x
-≥≥
当，即.
（4）
3
230101
2
x x x x
+≥+>≥->-
当，且，即且.对应训练：
1.x的取值范围是（）
A、x>3
B、x≥3
C、 x>4 D 、x≥3且x≠4
2.x的取值范围是 .
3.
有意义，那么，直角坐标系中点P（m，n）的位置在（）
A、第一象限
B、第二象限
C、第三象限
D、第四象限
例三：若y=
++2009，则x+y=
分析：式子（a ≥0）， ，y=2009，则x+y=2014
对应训练：
1.
，则x －
y 的值为（ ） A ．－1 B ．1 C ．2 D ．3 2.若x 、y 都是实数，且4，求xy 的值
3.当a 1取值最小，并求出这个最小值.
专题四：二次根式的整数部分与小数部分
例四：已知a b 是1
2
a b +
+的值. 分析：因为23<<2，即a=2；其小数部分等于此数本身减去其整数部分，即
对应训练：
1.若3的整数部分是a ，小数部分是b ，则=-b a 3 。
2.若17的整数部分为x ，小数部分为y ，求21
x y
+的值.
专题五：二次根式的双重非负性
例五：若22(4)0a c -+-=则a b c -+ ．
分析：因为绝对值，二次根式，平方数都是非负数，且三个非负数的和为0，那么就只有一种情况：三者均为0.
对应训练：
1.若0)1(32=++-n m ，则m n +的值为 .
2.已知y x ,为实数，且()02312
=-+-y x ，则y x -的值为（ ） A ．3 B ．– 3 C ．1 D ．– 1
3.已知直角三角形两边x 、y 的长满足｜x 2
－4｜＋
652+-y y ＝0，则第三边长为＿＿＿＿＿.
4、若1a b -+2005
()_____a b -=.
专题六：二次根式的性质的运用（公式2(0)a a =≥的运用）
5-x x -5a 50
,50
x x -≥⎧⎨-≥⎩5x =2()x y =+
例六：化简：21a -+的结果为（ ） A 、4—2a B 、0 C 、2a —4 D 、4
分析：根据2(0)a a =≥的意义，可以发现，此式子成立的前提是被开方数大于等于0，即是只要出现这个式子，那意味着被开方数是非负数,此条件是隐含条件即解题的突破口.即30,3a a -≥≥，则
10a -≥，绝对值内为非负数则直接去掉绝对值符号，即211324a a a a -+=-+-=-.
对应训练：
1.计算：（1）2(______
-=；
（2）2______=；（3）2______-=.
2.化简：22________a -+=.
专题七：二次根式的性质的运用（公式⎩
⎨⎧<-≥==)0a (a )
0a (a a a 2的应用）
例七：已知2x <, ）
A 、2x -
B 、2x +
C 、2x --
D 、2x -
分析： 然后根据2x <，⎩⎨
⎧<-≥==)
0a (a )
0a (a a a 2
（2x -）=2x -. 对应训练：
1.( )
A ．-3
B ．3或-3
C ．3
D ．9
2.已知a<02a │可化简为（ ）
A ．－a
B ．a
C ．－3a
D ．3a
3.若23a <<等于（ ）
A. 52a -
B. 12a -
C. 25a -
D. 21a -
4.若a －3＜04a -的结果是（ ） (A) －1 (B) 1 (C) 2a －7 (D) 7－2a
5.2
得（ ）
（A ） 2 （B ）44x -+ （C ）－2 （D ）44x -
6.当a ＜l 且a ≠0＝ ．
7.如果表示a ，b 两个实数的点在数轴上的位置如图所示，那么化简│a －b │的结果等于（ ）
A ．－2b
B ．2b
C ．－2a
D ．2a
8.实数a 在数轴上的位置如图所示：化简：1______a -=．
o
b a
专题八：最简二次根式和同类二次根式
例八(1)
：在根式1，最简二次根式是（）
A．1) 2) B．3) 4) C．1) 3) D．1) 4)
分析：掌握最简二次根式的三个条件.
对应训练：
中的最简二次根式是 .
2.下列根式中，不是最简二次根式的是（）
A
．B．C．D．
3.下列根式不是最简二次根式的是( )
4.把下列各式化为最简二次根式：
(1)
例八(2):( )
分析：（1）观察是否是二次根式；（2）是否化为最简；（3）被开方数是否相同.
对应训练：
1.下列各组根式中，是可以合并的根式是（）
3.能够合并为一个二次根式, 则a=__________.
专题九：二次根式计算——分母有理化
（1）分母有理化：把分母中的根号化去，叫做分母有理化.
（2）有理化因式：
两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式.有理化因式确定方法如下：
a
=
别互为有理化因式。
②两项二次根式：利用平方差公式来确定。如a+与a，，
（3）分母有理化的方法与步骤：
①先将分子、分母化成最简二次根式；②将分子、分母都乘以分母的有理化因式，使分母中不含根式；
③最后结果必须化成最简二次根式或有理式.
例九（1）：把下列各式分母有理化
（1（2（3（4）
分析：（1）先化简在分母有理化；（2）先分母有理化在化简.
解：（1
12
33
=====；
48484812
4848
=====.
73
1
22
1.将下列各式分母有理化：
（1
（2（3） （4）
例九（2）：把下列各式分母有理化：
（1 （2（3
对应训练:
1.已知x =
y =，求下列各式的值：（1）x y x y +-（2）223x xy y -+
2.把下列各式分母有理化：
（1)a b
≠ （2（3
小结：一般常见的互为有理化因式有如下几类： ①
与
； ②
与
；
③与； ④与
．
专题十：二次根式比较大小
（1）根式变形法：当0,0a b >>时，①如果a b >>a b <<（2）平方法：当0,0a b >>时，①如果2
2
a b >，则a b >；②如果2
2
a b <，则a b <. （3）分母有理化法:通过分母有理化，利用分子的大小来比较. （4）分子有理化法:通过分子有理化，利用分母的大小来比较. （5）倒数法
（6）媒介传递法:适当选择介于两个数之间的媒介值，利用传递性进行比较. （7）作差比较法:
在对两数比较大小时，经常运用如下性质：①0a b a b ->⇔>；②0a b a b -<⇔< （8）求商比较法
它运用如下性质：当a>0，b>0时，则：①1a a b b >⇔>； ②1a
a b b
<⇔<.
例十：比较的大小。 分析：选择适当的方法
1.
的大小. 2.
.
3.
. 4.
3
3的大小.
专题十一：二次根式的计算（加、减、乘、除及混合运算）例十一：
1.化简
0,0
x y
≥≥)
1.1.计算（1）（2）（3）（4）
（5）（6）（7）（8）
2.化简：
)0
,0
(≥
>b
a
)0
,0
(>
≥y
x)0
,0
(>
≥y
x
2.1.计算：
（4
3.计算（1）；（2）
⎛
-
⎝
；
（3 （4）+
（5）
（6a b +-
（73a （8）⎝
4.计算：
（1(÷（2） 2
2 (212 +4
1
8
－348 )
（3（16（4）376-
（5） （6）2(3(4+-
（7）10115)5) （8）1(102(0)3m m >
5．已知：
，求的值．
第十六章：二次根式
第十六章 二次根式 . . 最简二次根式：① ； ② ； ③ . . . . ； 文字语言： . ； 文字语言： . . . . ①分母形如的二次根式. 给分子、分母同时乘以 ； ②分母形如. 给分子、分母同时乘以 . 2的区别与联系：
例一：下列各式一定是二次根式的是（） 分析：判定一个代数式是否是二次根式，要看该式子是否同时具备两个要素：（1）含有二次根号；（2）被开方数是非负数. 对应训练： 1.下列各式中，一定是二次根式的是（） A 专题二：二次根式有意义的条件 对于非负数x,如果有x2=a，那么x就是a的算术平方根，也是a在这里a是x的平方数，它的值是一个正数或零（因为任何数的平方都不可能是负数）.由此得出：只有当a≥0时， . （1a≥0a<0. （2）从具体的情况总结，如下： a≥0； a≥0, n +有意义的条件： b≥0, … n≥0； a>0； 1 b 有意义的条件：a≥0且b≠0； 有意义的条件：a≥0且b>0. 例二：当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？ （1；（2（3 ；（4； （5（6 分析：对于含有二次根式和分式的式子，求其有意义的条件时：首先找出二次根式的被开方数，根据二次根式的被开方数为非负数列不等式，其次找分式的分母，根据分母不为0，列出所需的不等式，将这些不等式组成不等式组，不等式组的解集就是字母的取值范围. 解：（1） 1 310 3 x x -≥≥ 当，即. （4） 3 230101 2 x x x x +≥+>≥->- 当，且，即且.对应训练： 1.x的取值范围是（） A、x>3 B、x≥3 C、 x>4 D 、x≥3且x≠4 2.x的取值范围是 . 3. 有意义，那么，直角坐标系中点P（m，n）的位置在（） A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限
(完整版)第十六章二次根式知识点总结大全
二次根式 【知识回顾】 1.二次根式：式子a （a ≥0）叫做二次根式。 2.最简二次根式：必须同时满足下列条件： ⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式； ⑵被开方数中不含分母； ⑶分母中不含根式。 3.同类二次根式： 二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。 4.二次根式的性质： （1）（a ）2 =a （a ≥0）； （2）==a a 2 5.二次根式的运算： （1）因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术平方根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先分解因式，变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面． （2）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式． （3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式． （a≥0，b≥0）； = （b≥0，a>0）． （4）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算． a （a ＞0） a -（a ＜0） 0 （a =0）；
【典型例题】1、概念与性质 例1、下列各式 1 ）- ， 其中是二次根式的是_________（填序号）．例2、求下列二次根式中字母的取值范围 （1） x x - - + 3 1 5 ；（2） 2 2) - (x 例3、在根式 1) ， 最简二次根式是（）A．1) 2) B．3) 4) C．1) 3) D．1) 4) 例4、已知： 的值。 求代数式2 2 , 2 1 1 8 8 1- + - + + + - + - = x y y x x y y x x x y 例5、已知数a，b ，若=b－a，则( ) A. a>b B. a人教版初中数学八年级下册第十六章：二次根式(全章教案)
第十六章二次根式 教材简析 本章的内容主要包括：二次根式的概念和性质、二次根式的乘除、二次根式的加减．在中考中，本章重在考查二次根式的概念和性质以及运用二次根式的运算法则进行化简、求值． 教学指导 【本章重点】 二次根式的性质和运算． 【本章难点】 灵活运用二次根式的性质及运算法则进行相关的化简与实数的简单运算． 【本章思想方法】 1．掌握类比思想．如：类比算术平方根的概念理解二次根式的性质，类比整式的运算法则理解二次根式的运算法则． 2．掌握分类讨论思想．如：在进行二次根式的化简时，当被开方数中有字母且没有给出字母的取值范围时，应考虑对字母的取值进行分类讨论． 3．体会整体思想．如：在求含有二次根式的代数式的值时，有时从整体角度考虑，将已知条件和待求值的式子进行变形后整体代入求值． 课时计划 16.1二次根式2课时 16.2二次根式的乘除2课时 16.3二次根式的加减2课时
16.1二次根式 第1课时二次根式的概念 教学目标 一、基本目标 【知识与技能】 理解并掌握二次根式的概念，掌握二次根式中被开方数的取值范围和二次根式的取值范围． 【过程与方法】 经历观察、比较、总结二次根式概念和被开方数取值范围的过程，发展学生的归纳概括能力． 【情感态度与价值观】 经历观察、比较和应用等数学活动，感受数学活动充满了探索性和创造性，体验发现的快乐，并提高应用意识． 二、重难点目标 【教学重点】 二次根式的概念，二次根式有意义的条件． 【教学难点】 求二次根式中字母的取值范围． 教学过程 环节1自学提纲，生成问题 【5 min阅读】 阅读教材P2～P3的内容，完成下面练习． 【3 min反馈】 1．一个正数有两个平方根；0的平方根为0；在实数范围内，负数没有平方根．因此，在实数范围内开平方时，被开方数只能是正数或0. 2．一般地，我们把形如a(a≥0)的式子叫做二次根式，“”称为二次根号． 3．下列式子中，不是二次根式的是(B) A．45B．－3 C．a2＋3D．2 3 环节2合作探究，解决问题活动1小组讨论(师生互学)
第16章二次根式知识点梳理
第16章 二次根式 知识点梳理 一、二次根式的相关概念 1.平方根：如果一个数和平方等于a ，那么这个数就叫a 的平方根，其中正的平方根a 叫做a 的算术平方根。 2．二次根式： 形如a ()0a ≥的式子叫做＿＿＿＿＿； 3.同类二次根式： 二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式称为＿＿＿． 4.最简二次根式： 满足两个条件：①被开方数的因数是＿＿＿，因式是＿＿＿；②被开方数中不含能开得尽方的＿＿＿或＿＿＿＿． 特别提示：二次根式a 有意义的条件是＿＿＿＿． 二、二次根式的性质 1.（1）三个非负性： ①0(0)a ； ≥ ②2 (0)a a =；≥0≥ a a =≥0(为任意实数）． 2.四个性质： ①2 (0)a a =；≥0≥ a =＝a （a ≥0）或-a(a ＜0) ③0,0)a b =≥≥； 0,0)a b =＞≥．
三、二次根式的运算： （1）二次根式的加减运算与整式的加减运算类似，只需对同类二次根式进行合并； （2）二次根式的乘除法： 0,)b a =≥≥0,0)a b =＞≥ 特别提示：二次根式运算的结果应化为最简二次根式． 四、思想方法： （一）数形结合的思想：“数”可以准确刻画量的特征，“形”能直观反映状态特点，数学上常用数形结合的方法来描述物体某些特征． （二）分类讨论思想：分类的思想是初中数学的重要思想，当被研究的问题包含多种情况时，不能一概而论，必须按可能出现的每种情况分别讨论，得出各种情况下相应结论，然后根据情况合并，作出严密的结论，这种处理问题的思维方法称为分类的思想． （三）特殊到一般的思想：各种特殊情形往往包含着一般性的规律，我们常常通过研究特殊情形时问题的答案或解法，然后猜想．归纳出一般性的规律，并把这个规律运用到一般情形
(完整版)新人教版第16章二次根式全章教案
4 第十六章 二次根式 第 1 课时 16．1 二次根式(1) 教学内容 二次根式的概念及其运用 教学目标 1、知识与技能：理解二次根式的概念，并利用 a （a≥0）的意义解答具体题目． 2、过程与方法：提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题．经历观察、 比较，总结二次根式概念和被开方数取值的过程，发展学生的归纳概括能力。 3、情感态度与价值观：经历观察、比较和应用等数学活动，感受数学活动充满了探 索性和创造性，体验发现的快乐，并提高应用的意识。 教学重难点 1．重点：形如 a （a≥0）的式子叫做二次根式的概念； 2．难点：利用“ a （a≥0）”解决具体问题 教学准备： 彩色粉笔、小黑板 教学过程 一、复习引入 （1）已知 x 2 = a ，那么 a 是 x 的______; x 是 a 的______, 记为____, a 一定是_____数。 （2）4 的算术平方根为 2，用式子表示为 =__________； 正数 a 的算术平方根为_______， 0 的算术平方根为_______； 式子 a ≥ 0(a ≥ 0) 的意义是 。 思考：教材 P2 思考 二、探索新知 很明显 3, s , 65, h ，都是一些正数的算术平方根．像这样一些正数的算术平方根的 5 式子，我们就把它称二次根式．因此，一般地，我们把形如 a （a≥0）的式子叫做二次根 式，“ ”称为二次根号．
“ 思考:(1)-1 有算术平方根吗？ (2)0 的算术平方根是多少？(3)当 a<0， a 有意义吗？ 三、例题讲解 例 1．下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式： 2 、 3 3 、 1 、 x （x>0）、 0 、 4 2 、 - 2 、 1 、 x + y （x≥0，y•≥0）． x x + y 分析：二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号“ ”；第二，被开方数是正数或 0． 解：二次根式有： 2 、 x （x>0）、 0 、、 - 2 、、 x + y （x≥0，y•≥0）． 不是二次根式的有： 3 3 、 1 、 4 2 、 1 ． x x + y 例2 （教材 P2 例 1）当 x 是怎样的实数时， x - 2 在实数范围内有意义？ 解：由 x - 2 ≥0，得：x≥2。当 x≥2 时， x - 2 在实数范围内有意义． 四、巩固练习：教材 P3 练习 1、2． 补充练习：1、当 x 是多少时， 2 x + 3 + 1 在实数范围内有意义？ x + 1 2x+3≥0 ① 解：依题意，得 x+1≠0 ② 由①得：x≥ - 3 , 由②得：x≠-1 2 当 x≥ - 3 且 x≠-1 时， 2 x + 3 + 1 在实数范围内有意义． 2 x + 1 2、(1)已知 y= 2 - x + x - 2 +5，求 x 的值．(答案:2) y (2)若 a + 1 + b - 1 =0，求 a+b 的值．(答案:0) 五、归纳小结 本节课要掌握：1．形如 a （a≥0）的式子叫做二次根式， 使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被开方数是非负数． 六、布置作业：教材 P5 习题 16.1 第 1、7 题 七、板书设计 16．1 二次根式(1) 定义 例题 练习 小结 八、课后反思： ”称为二次根号． 2．要
第16章二次根式知识点
第十六章 二次根式 1、二次根式的概念： 一般地，形如 a （a ≥0）的式子叫做二次根式，“ ”称为二次根号，a 是被开方数。 2、二次根式成立的条件：被开方数是非负数，即a ≥0 3、二次根式的性质： （1）二次根式具有双非负性，即 a ≥0且a ≥0 （2）一个非负数的算术平方根的平方等于它本身，即（ a ）2=a （a ≥0） 此性质正用可进行二次根式的平方运算，逆用可以将一个非负数变形为平方形式，进而利于在实数范围内分解因式 （3）一个数的平方的算术平方根等于它的绝对值，即 a (a ＞0) = 0(a=0) = |a| -a(a ＜0) 4、代数式定义：用基本的运算符号（加、减、乘、除、乘方和开方）把数或表示数的字母连接起来的式子叫做代数式。 5、二次根式的乘法法则：二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变。（系数和系数相乘做积的系数） 符号语言：0,0)a b =≥≥ 也可以简单记成：非负数的算术平方根的积等于积的算术平方根。 6、法则推广：0,0,0,,0)a b c n ⋅⋅⋅=≥≥≥⋅⋅⋅≥ 7、积的算术平方根的性质：积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积。 符号语言：0,0)a b =≥≥
8、公式的推广：0,0,0,0) a b c d =≥≥≥≥ 9、二次根式的除法法则： 两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变。（系数和系数相除做商的系数） 符号语言：0,0) =≥> a b 10、商的算术平方根性质：商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根。 符号语言：0,0) =≥> a b 11、最简二次根式： 进行二次根式的计算，结果要化为整式或最简二次根式。 即运算结果要满足： ①被开方数不含分母；（被开方数不含小数；） ②被开方数不含能开得尽方的因数或因式； ③分母中不含二次根式。 12、化简二次根式一般方法：（重难点） 。 ①如果被开方数是分数（小数）或分式，运用商的算术平方根性质将其化成 ②如果被开方数含能开得尽方的因数或因式，先把被开方数分解因式，运用积的算术平方根性质把能开得尽方的因数或因式开出来。 ③如果分母中含有根号，则运用分式的基本性质去掉分母中的根号。 我们要通过做题练习来加强对这个知识点的理解和运用。 13、二次根数合并的条件： 将二次根式化为最简二次根式后，若被开方数相同，则两个二次根式可以合并。 概括为：①要先化简②被开方数相同 14、同类二次根式定义： 几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式。
16章二次根式知识点及例题
第十六章 二次根式 知识点一、二次根式 1.定义：一般地，我们把形如(0)a a ≥ 的式子叫做二次根式， 称为二次根号，二次根号下的a 叫做被开方数． 注意：(1)二次根号的定义是从形式上界定的，即必须含有二次根号 “ ”． (2)二次根式的被开方数可以是一个数字，也可以是一个代数式，但必须满足被开方数大于等于0． (3)根指数是2，这里的2可以省略不写． (4)形如(0)b a a ≥的式子也是二次根式，它表示b 与a 的乘积． 例题： 1.下列各式中，一定是二次根式的是 ． (1)327 (2)9- (3)23a (4)21x + (5)221a a ++ (6)1212x x ⎛ ⎫-< ⎪⎝ ⎭ (7)2816a a -+- 2.下列各式中，一定是二次根式的是（ ） A .7- B .12+x （x 为任意实数） C .m （m 为任意实数） D .33 练习： 1.下列各式中，一定是二次根式的是 ． (1)33 (2)4 (3)21x - (4)(0,0)x y x y +≥≥ (5)238a + (6)2612x x --- 2.下列各式中，一定是二次根式的是（ ） A .9- B .21x -（x 为任意实数） C .2m （m 为任意实数） D .35 知识点二、二次根式有意义的条件 1.从总体上描述：在二次根式a 中，当0a ≥时，a 有意义，当0a <时，a 无意义． 2.从具体的情况总结，如下： (1)单个二次根式如A 有意义的条件：0A ≥； (2)多个二次根式相加A +B N +⋅⋅⋅+有意义的条件：0 00 A B N ≥⎧⎪≥⎪ ⎨⋅⋅⋅⎪⎪≥⎩； (3)二次根式作为分式的分母如 B A 有意义的条件：0A >； (4)二次根式作为分式的分子如 B A 有意义的条件：00A B ≥⎧⎨≠⎩ ．
第16章二次根式
二次根式 知识梳理： 一、基本概念 1. 定义：式子a （a ≥0）叫做二次根式。 有意义：整个根式里头大等于0 2. 最简二次根式：（1）被开方数中不含开方开的尽的因数或因式； （2）被开方数中不含分母，小数 （3）分母中不含根式。 3. 同类二次根式：化成最简二次根式后，被开方数相同。 4. 非负数：绝对值，平方，算术平方根 5. 性质： （1）2 )(0)a a a =≥ （22(0) (0) a a a a a a ≥?==?-0）． （2）加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式． （3）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，乘法对加法的分配律以及多项式的乘法 公式，都适用于二次根式的运算．
第十六章 二次根式 知识点一、基本概念 （1）有意义----无意义问题：≠? ?≥? 分母0二次根式根号里头整个0 例题： 1．当x ____________时，x -2在实数范围内有意义。 2. 使式子 4x -无意义的条件是 ；二次根式 3 1-x 有意义的条件是 3. 下列一定是二次根式的是（ ） A .2--x B . x C .22+x D .22-x 4．若y x xx =-+-+36633 ，则10x ＋2y 的平方根为________ 练习： 1. 下列式子中一定是二次根式的是（ ） A ．-a B .2 a C .2 -a D .3 a 2. 如果代数式2012-x 是二次根式，则x 的取值范围是 3. 如果 有意义，则x 的取值范围是__________. 5. 若13-m 有意义，则m 能取的最小整数值是（ ） A ．m =0 B ．m =1 C ．m =2 D ．m =3 6. 使 1+a 有意义的a 的值范围是 。 7. 11x x --2 ()x y =+，则x －y 的值为_____________。 8. 已知y 2x -2x -，求 x y 的值
人教版初中八年级数学下册第十六章《二次根式》知识点(含答案解析)
一、选择题 1．下列说法：①带根号的数是无理数；②2(7)-与337-是互为相反数；③实数与数轴上的点是一一对应的关系；④两个无理数的和一定是无理数；⑤已知a ＝2＋3，b ＝2－3，则a 、b 是互为倒数．其中错误的个数有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 2．从“+，﹣，×，÷”中选择一种运算符号，填入算式“（3+1）□x”的“□”中，使其运算结果为有理数，则实数x 不可能是（ ） A ．3+1 B ．53﹣1 C ．3﹣2 D ．1﹣3 3．已知x ，y 为实数，y x 323x 2= -+-+，则y x 的值等于（ ） A ．6 B ．5 C ．9 D ．8 4．下列式子中是二次根式的是（ ） A ．a B ．x 1+ C ．2x 2x 1++ D ．2- 5．下列计算正确的是（ ） A ．42=± B ．22423x x x += C ．()326328a b a b -=- D ．()235 x x x -=÷ 6．下列算式中，正确的是( ) A ．3223-= B ．4913+= C ．822-= D ．824÷= 7．下列各式中，错误的是（ ） A ．2(3)3-= B ．233-=- C ．2(3)3= D ．2(3)3-=- 8．下列二次根式中，能与2合并的是（ ） A ．23 B ．48 C ．20 D ．18 9．下列各式计算正确的是（ ） A ．235+= B ．2236=（） C ．824+= D ．236⨯= 10．如图为实数a ，b 在数轴上的位置，则222()()()b a a b +---=( ) A ．-a B ．b C ．0 D ．a-b 11．下列二次根式能与22 ） A 12 B 24 C 18 D 6 12．下列计算正确的是（ ） A ．336a a a += B ．2331=
人教版八年级下册数学知识点归纳：第十六章二次根式
人教版八年级下册数学知识点归纳 第十六章 二次根式 1．二次根式：一般地，式子)0a (,a ≥叫做二次根式. 注意：（1）若0a ≥这个条件不成立，则 a 不是二次根式； （2）a 是一个重要的非负数，即；a ≥0. 2.最简二次根式：必须同时满足下列条件： ⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式； ⑵被开方数中不含分母； ⑶分母中不含根式。 3．重要公式：（1）)0a (a )a (2≥=,（2）⎩⎨⎧<-≥==) 0a (a )0a (a a a 2 ；注意使用)0a ()a (a 2≥=. (3)积的算术平方根：)0b ,0a (b a ab ≥≥⋅=，积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积；注意：本章中的公式，对字母的取值范围一般都有要求. 4．二次根式的乘法法则： )0b ,0a (ab b a ≥≥=⋅. 5．二次根式比较大小的方法： （1）利用近似值比大小； （2）把二次根式的系数移入二次根号内，然后比大小； （3）分别平方，然后比大小. 6．商的算术平方根： )0b ,0a (b a b a >≥=，商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根. 7．二次根式的除法法则： （1）)0b ,0a (b a b a >≥= ；
（2）)0b ,0a (b a b a >≥÷=÷； （3）分母有理化：化去分母中的根号叫做分母有理化；具体方法是：分式的分子与分母同乘分母的有理化因式，使分母变为整式. 8．常用分母有理化因式： a a 与， b a b a +-与， b n a m b n a m -+与，它们也叫互为 有理化因式. 9．最简二次根式： （1）满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式，① 被开方数的因数是整数，因式是整式，② 被开 方数中不含能开的尽的因数或因式； （2）最简二次根式中，被开方数不能含有小数、分数，字母因式次数低于2，且不含分母； （3）化简二次根式时，往往需要把被开方数先分解因数或分解因式； （4）二次根式计算的最后结果必须化为最简二次根式. 10．二次根式化简题的几种类型：（1）明显条件题；（2）隐含条件题；（3）讨论条件题. 11．同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式. 12．二次根式的混合运算： （1）二次根式的混合运算包括加、减、乘、除、乘方、开方六种代数运算，以前学过的，在有理数范围内的一切公式和运算律在二次根式的混合运算中都适用； （2）二次根式的运算一般要先把二次根式进行适当化简，例如：化为同类二次根式才能合并；除法运算有时转化为分母有理化或约分更为简便；使用乘法公式等.
(完整版)第十六章二次根式知识点总结大全
【知识回顾】 1. 二次根式：式子..a ( a >0)叫做二次根式。 2. 最简二次根式： 必须同时满足下列条件: ⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式； ⑵被开方数中不含分母； ⑶分母中不含根式。 3. 同类二次根式： 二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。 4. 二次根式的性质： a ( a > 0) 0 (a =0)； a ( a v 0) 5. 二次根式的运算： (1) 因式的外移和内移： 如果被开方数中有的因式能够开得尽方， 那么，就可以用它的算术 平方根代替而移到根号外面； 如果被开方数是代数和的形式， 那么先分解因式，变形为积的形式, 再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面. (2) 二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式. (3) 二次根式的乘除法：二次根式相乘(除)，将被开方数相乘(除)，所得的积(商)仍 作积(商)的被开方数并将运算结果化为最简二次根式. Vab^/a •b (a >0, b >0)； (4) 有理数的加法交换律、 结合律， 的乘法公式，都适用于二次根式的运算. 二次根式 { B 茸(b >0, a>0 ) a ■- a 乘法交换律及结合律，乘法对加法的分配律以及多项式