第十六章：二次根式
第十六章 二次根式(含答案)
第十六章二次根式一、选择题1.计算(－)÷的结果是()A．－1B．－C．D． 12.若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是()A．x＞1B．x≥1C．x≠1D．x＞0且x≠13.下列各式中①，②，③，④，⑤，二次根式的个数为()A． 1B． 2C． 3D． 44.下列各组中，是同类二次根式的是()A．与B． 3与2C． 2x与D． 3x与2x25.若是二次根式，则a，b应满足的条件是()A．a，b均为非负数B．a，b同号C．a≥0，b＞0D．≥06.与2×的值最接近的正数是()A． 3B． 4C． 5D． 67.如果＝，那么x的取值范围是()A．1≤x≤2B． 1＜x≤2C．x≥2D．x＞28.下列二次根式中，与是同类二次根式的是()A．B．C．D．二、填空题9.设的整数部分为a，小数部分为b，则的值等于________．10.若为最简二次根式，则2m－n＝________.11.计算：6－(＋1)2＝________.12.要使代数式有意义，则x的取值范围是________．13.将化简最简二次根式为__________．14.当a＝＋，b＝－时，a－b＝__________.15.化简－的结果是________．16.计算－()2＋(π＋)0－＋|－2|＝________.三、解答题17.计算：÷2.18.将下列各式分母中的根号去掉或根号内的分母去掉．(1)；(2)；(3)；(4).19.把根号外面的因式移到根号里面：(1)－4；(2)(2－a)；(3)－x.20.若实数a、b、c在数轴上的对应点如图所示，试化简：－＋|b＋c|＋|a－c|.21.化简：－－＋(－2)0＋22.计算(1)(2＋)(2－)；(2)(－)－(＋)．23.下列二次根式中，哪些是同类二次根式？，，－，，，b，2，，2.24.计算：(1)；(2)；(3)－÷；(4)；(5)÷；(6)－6÷(a＞b)．答案解析1.【答案】D【解析】(－)÷＝(2－)÷＝÷＝1，故选D.2.【答案】A【解析】由题意得x－1＞0，解得x＞1.故选A.3.【答案】A【解析】①是二次根式，②只有x≥0时是二次根式，③只有x≥0时是二次根式，④不是二次根式，⑤，不是二次根式，故二次根式的个数共有1个．故选A.4.【答案】D【解析】将各组化为最简二次根式即可得出答案．5.【答案】D【解析】∵是二次根式，∴≥0，A.a、b可以都是负数，错误；B.a＝0可以，错误；C.a、b可以都是负数，错误；D.≥0，正确；故选D.6.【答案】C【解析】2×＝2＝，∵16＜24＜25，∴4＜＜5，∴与2×的值最接近的正数为5.故选C.7.【答案】D【解析】由题意可得，x－1≥0且x－2＞0，解得x＞2.故选D.8.【答案】A【解析】先将各项化成最简二次根式，在进行判断．9.【答案】7－12【解析】∵3＜＜4，∴a＝3，b＝－3，∴＝＝＝7－12.10.【答案】【解析】∵为最简二次根式，∴2m－1＝1，n－1＝1，解得m＝1，n＝2，则2m－n＝0.11.【答案】－4【解析】原式＝6×－(3＋2＋1)＝2－4－2＝－4.12.【答案】x≥－1且x≠0【解析】根据题意，得解得x≥－1且x≠0.13.【答案】【解析】＝＝.14.【答案】2【解析】原式＝(＋)－(－)＝＋－＋＝2.15.【答案】【解析】原式＝－＝.16.【答案】－3【解析】原式＝－3＋1－3＋2－＝－3.17.【答案】解原式＝÷2＝÷2＝.【解析】先化为最简二次根式，先算括号内的，再算除法．18.【答案】解(1)＝＝＝；(2)＝＝＝＝;(3)＝＝；(4)＝＝.【解析】本题主要利用二次根式的乘除法则进行化简．19.【答案】解(1)－4＝－＝－；(2)(2－a)＝－(a－2)＝－＝－；(3)－x＝＝【解析】(1)题根号外面是－4，要把负号留在根号外面；第(2)题因为被开方数＞0，所以a－2＞0，所以2－a＜0，第(3)题中被开方数－x≥0，根号外面的－x也是非负的．20.【答案】解根据题意，得a＜b＜0＜c，且|c|＜|b|＜|a|，∴a＋b＜0，b＋c＜0，a－c＜0，则原式＝|a|－|a＋b|＋|b＋c|＋|a－c|＝－a＋a＋b－b－c－a＋c＝－a.【解析】根据数轴上点的位置判断出绝对值里边式子的正负，利用绝对值的代数意义化简，合并即可得到结果．21.【答案】解－－＋(－2)0＋＝3－－(1＋)＋1＋|1－|.＝3－－1－＋1＋－1.＝－1.【解析】先化为最简二次根式，然后化简．22.【答案】解(1)原式＝(2)2－()2＝20－3＝17；(2)原式＝2－－－＝－.【解析】(1)利用平方差公式计算；(2)先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可．23.【答案】解＝＝3；＝＝；－＝－＝－；＝＝；＝＝；b＝b＝，2＝2＝18；＝＝；2＝2＝.所以，，2是同类二次根式；，，，3是同类二次根式；－，b是同类二次根式．【解析】要判断是否是同类二次根式，必须先化成最简二次根式，在观察被开方数是否相同．24.【答案】解(1)＝＝＝4；(2)＝＝2；(3)－÷＝－＝－＝－＝－3；(4)＝＝；(5)÷＝－÷5＝－＝－×＝－；(6)－6÷＝－6×＝－(a＞b)．【解析】本题主要运用二次根式的除法公式来进行计算，若被开方数是分数，则被开方数相除时，可先用除以一个数等于乘以这个数的倒数的方法进行计算，再进行约分．。
第16章二次根式复习与小结(课件)八年级数学下册(人教版)
知识梳理
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6.二次根式的除法法则:
两个二次根式相除， 根指数 不变，被开方数 相除.
需要满足什 么条件呢？
a
a
（a≥0，b＞0）
bb
二次根式的除法与乘法中b 的取值范围不同，为什么？
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7.二次根式除法法则的变形：
a a (a 0,b 0). bb 8.最简二次根式： （1）被开方数不含分母； （2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.
3.二次根式的运算，可以类比整式的运算进行，在进行运算时， 能用公式的尽量用公式.
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1.二次根式
中，字母a的取值范围是 （ D ）
A. a>
B. a＜
C. a≥
D. a≤
2.使
有意义的x的取值范围是 （ B ）
A.x≥3 B.x≥3且x≠4 C.x≤3 D.x<3
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步骤： “一化、二找、三合并”.
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11.二次根式的混合运算:
1.二次根式混合运算顺序与实数中的运算顺序一样，先乘方， 再乘除，最后算加减，有括号的先算括号里的（或者先去括号）.
2.对于二次根式混合运算，实数中的运算律（分配律、结合律、 交换律）运算法则及所有的乘法公式和分式的运算法则仍然适用.
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第16章二次根式复习与小结
知识梳理
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1.二次根式的概念：
一般地，我们把形如 a（a≥0)的式子叫做二次根式.
2.如何确定二次根式中字母的取值范围？ ①被开方数不小于零； ②分母中有字母时，要保证分母不为零.
八年级数学下册第十六章二次根式知识点梳理(带答案)
八年级数学下册第十六章二次根式知识点梳理单选题1、√2×√8=（）A．4√2B．4C．√10D．2√2答案：B分析：直接利用二次根式的乘法运算法则计算得出答案．解：√2×√8=√16=4．故选B．小提示：此题主要考查了二次根式的乘法运算，正确掌握运算法则是解题关键．2、如果最简二次根式√3x−5与√x+3是同类二次根式，那么x的值是（）A．1B．2C．3D．4答案：D分析：根据最简二次根式的定义：二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式．进行求解即可．∵最简二次根式√3x−5与√x+3是同类二次根式，∴3x−5=x+3，∴x=4，故选：D．小提示：本题考查同类二次根式，熟练掌握同类二次根式的定义是解题的关键．3、二次根式√2x+4中的x的取值范围是（）A．x＜﹣2B．x≤﹣2C．x＞﹣2D．x≥﹣2答案：D分析：根据“二次根式有意义满足的条件是被开方数是非负数”，可得答案．由题意，得2x+4≥0，解得x ≥-2，故选：D ．小提示：本题考查了二次根式有意义的条件，利用被开方数是非负数得出不等式是解题关键．4、已知a ＝√5−2，b ＝2+√5，则a ，b 的关系是（ ）A ．相等B ．互为相反数C ．互为倒数D ．互为有理化因式答案：A分析：求出a 与b 的值即可求出答案．解：∵a ＝√5−2=√5+2(√5+2)(√5−2)＝√5+2，b ＝2+√5， ∴a ＝b ，故选：A ．小提示：本题考查了分母有理化，解题的关键是求出a 与b 的值，本题属于基础题型．5、已知：a=2−√3，b=2+√3，则a 与b 的关系是（ ）A ．相等B ．互为相反数C ．互为倒数D ．平方相等答案：C 因为a ×b =2−√32+√3=1,故选C.6、计算√8+√18的值等于（ ） A ．√26B ．4√2C ．5√2D ．2√2+2√3答案：C 分析：根据二次根式的运算法则即可求出答案．解：原式=2√2+3√2=5√2故选C ．小提示：本题考查二次根式的运算，解题的关键是熟练运用二次根式的运算法则.7、已知max {√x,x 2,x}表示取三个数中最大的那个数，例如：当x ＝9时，max {√x,x 2,x}=max{√9,92,9}＝81．当max {√x,x 2,x}=12时，则x 的值为（ ） A ．−14B ．116C ．14D ．12答案：C分析：利用max {√x,x 2,x}的定义分情况讨论即可求解．解：当max {√x,x 2,x}=12时，x≥0①√x ＝12，解得：x ＝14，此时√x ＞x ＞x 2，符合题意； ②x 2＝12，解得：x ＝√22；此时√x ＞x ＞x 2，不合题意； ③x ＝12，√x ＞x ＞x 2，不合题意； 故只有x ＝14时，max {√x,x 2,x}=12． 故选：C ．小提示：此题主要考查了新定义，正确理解题意分类讨论是解题关键．8、下列各式中，无意义的是（ ）A ．√(−3)2B ．√(−3)33C ．√−32D ．√−(−3)答案：C分析：根据二次根式的被开方数是非负数判断即可．解：A ．原式=√9=3，故该选项不符合题意；B ．原式=−3，故该选项不符合题意；C ．原式=√−9，−9是负数，二次根式无意义，故该选项符合题意；D ．原式=√3，故该选项不符合题意；故选：C ．小提示：本题考查了二次根式有意义的条件，立方根，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．9、观察下列等式：第1个等式：a 1=1+√2=√2−1， 第2个等式：a 2=√2+√3=√3−√2，第3个等式：a3=√3+2=2−√3，第4个等式：a4=2+√5=√5−2，按照上述规律，计算：a1+a2+a3+⋯+a n=（）A．√n+1−1B．√n+1−√n C．√n+1D．√n−1答案：A分析：首先根据题意，可得a1=1+√2=√2−1，a2=√2+√3=√3−√2，a3=√3+2=2−√3，a4=2+√5=√5−2⋯⋯a n=√n+1+√n=√n+1−√n，再相加即可得解．解：第1个等式：a1=1+√2=√2−1，第2个等式：a2=√2+√3=√3−√2，第3个等式：a3=√3+2=2−√3，第4个等式：a4=2+√5=√5−2，……第n个等式：a n=√n+1+√n=√n+1−√n，∴a1+a2+a3+⋯⋯+a n=√2−1+√3−√2+2−√3+⋯+√n+1−√n=√n+1−1，故A正确．故选：A．小提示：本题主要考查了数字的变化规律以及分母有理化，首先要理解题意，找到规律，并进行推导得到答案．10、如图，数轴上的点可近似表示(4√6−√30)÷√6的值是( )A．点A B．点B C．点C D．点D答案：A分析：先化简原式得4−√5，再对√5进行估算，确定√5在哪两个相邻的整数之间，继而确定4−√5在哪两个相邻的整数之间即可．原式=4−√5，由于2＜√5＜3，∴1＜4−√5＜2．故选：A．小提示：本题考查实数与数轴、估算无理数的大小，解题的关键是掌握估算无理数大小的方法．填空题11、若a+6√3=(m+n√3)2，当a，m，n均为正整数时，则√a的值为__________．答案：2√7或2√3##2√3或2√7分析：先利用完全平方公式将(m+n√3)2展开，再根据等式左右两边对应项相等得到关于m、n的方程组，进而可求解．解：∵a+6√3=(m+n√3)2=m2+3n2+2√3mn，∴a=m2+3n2，2mn=6，∵a、m、n均为正整数，∴m=1，n=3，或m=3，n=1，当m=1，n=3时，a=12+3×32=28，则√a=√28=2√7；当m=3，n=1时，a=32+3×12=12，则√a=√12=2√3．所以答案是：2√7或2√3．小提示：本题主要考查了完全平方公式在二次根式混合运算中的运用，熟记完全平方公式，以及分类讨论思想的运用，是解答的关键．12、将√45化为最简二次根式，其结果是 __．2答案：3√102分析：将分母有理化后进行化简即可．解：√452=√45×22×2=√3×3×5×22×2=3√102，所以答案是：3√102．小提示：本题考查二次根式的化简，熟练掌握二次根式的化简方法解决本题的关键．13、已知√x+5有意义，如果关于x的方程√x+5+a=3没有实数根，那么a的取值范围是__．答案：a>3．分析：把方程变形为√x+5=3−a，根据方程没有实数根可得3−a<0，解不等式即可．解：由√x+5+a=3得√x+5=3−a，∵√x+5有意义，且√x+5⩾0，∴方程√x+5=3−a没有实数根，即3−a<0，∴a>3，所以答案是：a>3．小提示：本题考查了二次根式的性质，解题关键是利用二次根式的非负性确定a的取值范围．14、如图，约定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数．示例：即4+3=7，则（1）用含x的式子表示m＝___；（2）当y＝2时，n的值为_____．答案：32x 11 4分析：（1）根据题意，可以用含x的式子表示出m；（2）根据图形，可以用x的代数式表示出y，列出关于x的分式方程，从而可以求得x的值，进而得到n的值．解：（1）由图可得m=1x +12x=32x，所以答案是：32x；（2）∵y=m+n=(1x +12x)+(12x+3)=2x+3，y=2，∴2x+3=2，解得，x=−2，∴n=12x +3=114，所以答案是：114．小提示：本题考查了分式的加减、解分式方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的代数式及分式方程及求出方程的解．15、√27+√3的结果是_________．答案：4√3分析：直接化简二次根式进而合并得出答案．原式=3√3+√3=4√3．所以答案是：4√3.小提示：此题主要考查了二次根式的加减，正确化简二次根式是解题关键．解答题16、在一个边长为（√3+√5）cm的正方形内部挖去一个边长为（√5−√3）cm的正方形（如图所示），求剩余阴影部分图形的面积．答案：4√15( cm2)．分析：用大正方形的面积减去小正方形的面积即可求出剩余部分的面积．解：剩余部分的面积为：（√3+√5）2-（√5-√3）2，=(√3+√5+√5−√3)(√3+√5−√5+√3)，=2√5×2√3，=4√15( cm2)．小提示：此题考查了二次根式的应用，熟练掌握二次根式的运算法则和平方差公式是解本题的关键．17、计算：(1)(4√12−2√20)−(√48+√5)(2)(√48−√27)÷√3+√6×2√3答案：(1)4√3−5√5(2)1+6√2分析：(1)直接化简二次根式，进而利用二次根式的加减运算法则计算得出答案；(2)直接化简二次根式，再利用二次根式的乘除运算法则计算得出答案．(1)(4√12−2√20)−(√48+√5)=(8√3−4√5)−(4√3+√5)=8√3−4√5−4√3−√5=4√3−5√5(2)(√48−√27)÷√3+√6×2√3=(4√3−3√3)÷√3+6√2=√3÷√3+6√2=1+6√2小提示：此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键．18、已知a满足|2021−a|+√a−2022=a．(1)√a−2022有意义，a的取值范围是______；则在这个条件下将|2021−a|去掉绝对值符号可得|2021−a|=______．(2)根据（1）的分析，求a−20212的值．答案：(1)a≥2022；a−2021(2)a−20212=2022分析：（1）先根据二次根式有意义的条件求出a的范围，再根据绝对值的性质化简；（2）去掉绝对值符号，然后根据二次根式的性质求解即可．（1）解：∵√a−2022有意义，∴a−2022≥0，∴a≥2022，∴2021−a<0，∴|2021−a|=a−2021；所以答案是：a≥2022；a−2021；（2）∵|2021−a|+√a−2022=a，∴a−2021+√a−2022=a，∴√a−2022=2021，∴a−2022=20212，∴a−20212=2022．小提示：本题考查了绝对值的意义，二次根式有意义的条件，二次根式的性质与化简，能求出a≥2022是解此题的关键．。
(完整版)第十六章二次根式知识点总结大全
二次根式【知识回顾】1.二次根式：式子a （a ≥0）叫做二次根式。
2.最简二次根式：必须同时满足下列条件： ⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式； ⑵被开方数中不含分母； ⑶分母中不含根式。
3.同类二次根式：二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。
4.二次根式的性质：（1）（a ）2=a （a ≥0）； （2）==a a 25.二次根式的运算：（1）因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术平方根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先分解因式，变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面．（2）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式．（3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式．（a≥0，b≥0）；=（b≥0，a>0）． （4）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算．a （a ＞0）a -（a ＜0）0 （a =0）；【典型例题】1、概念与性质例1、下列各式1）-，其中是二次根式的是_________（填序号）．例2、求下列二次根式中字母的取值范围（1）xx--+315；（2）22)-(x例3、在根式1) ，最简二次根式是（）A．1) 2) B．3) 4) C．1) 3) D．1) 4)例4、已知：的值。
求代数式22,211881-+-+++-+-=xyyxxyyxxxy例5、已知数a，b，若=b－a，则( )A. a>bB. a<bC. a≥bD. a≤b2、二次根式的化简与计算例1. 将根号外的a 移到根号内，得 ( )A. ；B. －；C. －；D.例2. 把（a －b ）－1a －b 化成最简二次根式例3、计算：例4、先化简，再求值：11()b a b b a a b ++++，其中a=512，b=512．例5、如图，实数a 、b 在数轴上的位置，化简 ：222()a b a b ---4、比较数值 （1）、根式变形法当0,0a b >>时，①如果a b >>a b <<例1、 比较与（2）、平方法当0,0a b >>时，①如果22a b >，则a b >；②如果22a b <，则a b <。
第十六章 二次根式(人教版)(解析版)
第十六章 二次根式能力提升卷一、单选题1．a 是任意实数，下列各式中：；一定是二次根式的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】C【解析】根据二次根式的定义逐个判断即可．∵必须满足0a ≥∴只有②③④可以确定被开方数非负一定是二次根式的个数是3个故选C【点睛】本题考查了二次根式的定义，能熟记二次根式的定义是解此题的关键．2．把代数式(1a -( ).A B C ．D ．【答案】C【解析】由负数没有平方根求出a 的范围，判断出1-a 为负数，变形即可得到结果．∵101a --且10a -≠， ∴10a -<，∴1a >.∴(1a -==. 故选C.【点睛】此题考查了二次根式的性质与化简，判断出1-a 小于0是解本题的关键．3．对于所有实数a ，b ，下列等式总能成立的是（ ）A ．2a b =+B 22a b =+C a b =+D a b =+ 【答案】B【解析】解：A 、错误，∵2=+a bB 、正确，因为a 2+b 2≥0a 2+b 2；CD 、错误，=|a +b |，其结果a+b 的符号不能确定．故选B ．4．我们把形如b （a ，b 型无理数，如32是（ ）A 型无理数B 型无理数C 型无理数D 型无理数【答案】B【解析】先根据完全平方公式和二次根式的性质进行计算，再得出选项即可．解：2型无理数，故选：B ．【点睛】此题考查完全平方公式和二次根式的性质，能正确根据公式和性质展开是解题的关键．59≤，则x 取值范围为（ ）A ．26x ≤≤B ．37x ≤≤C ．36x ≤≤D ．17x ≤≤ 【答案】A【解析】9≤， 即：23579x x x x -+-+-+-≤， 当2x <时，则23579x x x x -+-+-+-≤，得2x ≥，矛盾；当23x ≤<时，则23579x x x x -+-+-+-≤，得2x ≥，符合；当35x ≤<时，则23579x x x x -+-+-+-≤，得79≤，符合；当57x ≤≤时，则23579x x x x -+-+-+-≤，得6x ≤，符合；当7x >时，则23579x x x x -+-+-+-≤，得 6.5x ≤，矛盾；综上，x 取值范围为：26x ≤≤，故选：A ．【点睛】本题考查二次根式的性质和应用，一元一次不等式的解法，解题的关键是分区间讨论，熟练运用二次根式的运算法则．6．已知实数a ，b 满足：2|1||1|,a b a -+=则a b =（ ） A ．14 B ．12 C ．1D ．2 【答案】C【解析】根据已知等式得：()()2220a b --≥，可得2a ≥20b =，从而得到a 和b 的值，即可得到结果.解：由题意可得：()()2220a b --≥，∴20a -≥，即2a ≥，∴2|1||1|a b -+=211a b -++ =a ，20b =， ∴()()2220a b --=，20b =，∴a-2=0，b=0，∴a=2，∴a b =1.故选C.【点睛】本题考查了二次根式的非负性，化简绝对值，解题的关键是根据二次根式的非负性得到20b =.7．已知x+y ＝﹣5，xy ＝4，则 ） A ．4B ．﹣4C ．2D ．﹣2【答案】B【解析】 先把二次根式进行化简，然后把xy ＝4，代入计算，即可求出答案．解：∵x+y ＝﹣5＜0，xy ＝4＞0，∴x ＜0，y ＜0，∴原式＝+＝x y --＝﹣∵xy ＝4，∴原式＝﹣＝﹣2×2＝﹣4；故选：B ．【点睛】本题考查了二次根式的性质，二次根式的加减运算，解题的关键是熟练掌握运算法则进行计算．8．若a =，2b =+a b 的值为（ ） A ．12B ．14CD 【答案】B【解析】将a 乘以可化简为关于b 的式子, 从而得到a 和b 的关系, 继而能得出a b 的值解：44b a ==== 14a b ∴= 故选：B .【点睛】本题考查二次根式的乘除法，有一定难度，关键是在分母有理化时要观察b 的形式．9．已知a =， b = ） A ．6B ．5C ．4D ．3 【答案】C【解析】根据a 和b 的值算出a+b ，ab a+b 和ab 代入求值即可.解：∵a =，b =，∴=，=4故选C.【点睛】 本题考查了完全平方公式的应用，二次根式的化简和运算，解题的关键是将原式化成.10．若实数a ，b 满足+=3，﹣=3k ，则k 的取值范围是（ ） A ．﹣3≤k ≤2B ．﹣3≤k ≤3C ．﹣1≤k ≤1D ．k ≥﹣1 【答案】C【解析】 依据二次根式有意义的条件即可求得k 的范围． 解：若实数a ，b 满足+=3，又有≥0，≥0， 故有0≤≤3 ①，0≤≤3，则 ﹣3≤-≤0 ②+②可得﹣3≤﹣≤3，又有﹣=3k ， 即﹣3≤3k ≤3，化简可得﹣1≤k ≤1．故选C ．点睛：本题主要考查了二次根式的意义和性质．解题的关键在于二次根式具有双非负性，即≥0（a ≥0），利用其非负性即可得到0≤≤3，0≤≤3，并对0≤≤3变形得到﹣3≤-≤0，进而即可转化为关于k 的不等式组，求出k 的取值范围.11()()a x a a y a x a a y --=--a 、x 、y 是两两不同的实数，则22223x xy y x xy y +--+的值是( ) A ．3B ．13C ．2D ．53【答案】B【解析】根据根号下的数要是非负数，得到a （x-a ）≥0，a （y-a ）≥0，x-a≥0，a-y≥0，推出a≥0，a≤0，得到a=0，代入即可求出y=-x ，把y=-x 代入原式即可求出答案．由于根号下的数要是非负数， ∴a （x-a ）≥0，a （y-a ）≥0，x-a≥0，a-y≥0，a （x-a ）≥0和x-a≥0可以得到a≥0，a （y-a ）≥0和a-y≥0可以得到a≤0，所以a 只能等于0，代入等式得 x y -=0，所以有x=-y ，即：y=-x ，由于x ，y ，a 是两两不同的实数，∴x ＞0，y ＜0．将x=-y 代入原式得：原式=()()()()2222313x x x x x x x x +---=--+-． 故选B ．【点睛】本题主要考查对二次根式的化简，算术平方根的非负性，分式的加减、乘除等知识点的理解和掌握，根据算术平方根的非负性求出a 、x 、y 的值和代入求分式的值是解此题的关键．12．设1199++S 的最大整数[S]等于() A ．98B ．99C ．100D ．101 【答案】B【解析】1111n n =+-+，代入数值，求出=99+1-1100，由此能求出不大于S 的最大整数为99．=()211n n n n ++=+ =111+1n n -+，∴ =1111111+11122399100-++-+++- =199+1100- =100-1100， ∴不大于S 的最大整数为99．故选B.【点睛】1111n n =+-+是解答本题的基础．二、填空题13．已知4y x =+，当x 分别取1，2，3，⋯，99时，所对应的y 值的总和是___．【答案】105【解析】先化简二次根式求出y 的表达式，再将x 的取值依次代入，然后求和即可得．解：434y x x x =+=--+，①当3x 时，|3|3x x -=-，此时43472y x x x x =+=--+=-，1x =，725y x =-=，2x =，723y x =-=，3x =，721y x =-=，②当3x >时，33x x -=-，此时4341y x x x =+=--+=，∴当x 分别取1，2，3，⋯，99时，4y x =+，5311(993)105=+++⨯-=． 故答案为：105．【点睛】本题考查了二次根式的化简求值、绝对值运算等知识点，掌握二次根式的化简方法是解题关键．14．已知a 、b 为有理数，m 、n 分别表示521amn bn +=，则3a b +=_________．【答案】4【解析】只需先对5a，其小数部分用5a 表示，再分别代入21amn bn +=进行计算；∵2＜3，∴2＜5-3，∴ m=2，n=52=3，把m=2，n=3代入21amn bn +=∴((22331a b -+-=， 化简得：())616261a b a b ++= ，∴ 6161a b +=且260a b +=，解得： 1.5a =，0.5b =-∴33 1.50.54a b +=⨯-=，故答案为：4．【点睛】本题考查了无理数大小的估算和二次根式的混合运算，能够正确估算出一个较复杂的无理数的大小是解决此类问题的关键；15．当0x >= _________________．【答案】94【解析】先根据二次根式的定义和除法的性质可得0y >，再根据二次根式的性质化简，然后计算二次根式的除法即可得．由二次根式的定义得：2500x y y x⎧≥⎪⎨≥⎪⎩， 0x ，0y ∴≥， 又除法运算的除数不能为0，0 y∴≠，0 y ∴>，35xy=3xy=，=，49=，故答案为：94【点睛】本题考查了二次根式的定义与除法运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题关键．16从小到大排列_______________________．【答案】765<<【解析】先求出三个数的平方，再比较大小即可．215=⎝⎭，216=⎝⎭，217=⎝⎭，∵111567>>，<<，<<．【点睛】本题考查了比较二次根式的大小，熟知正数比较大小的法则是解答此题的关键．平方法是比较二次根式的大小常用的方法．17．下列二次根式，不能与18合并的是_____．（填序号） ①8；②-50；③252；④23；⑤12． 【答案】④⑤． 【解析】各式化简得到结果，利用同类二次根式定义判断即可．解：1832=， ①822=； ②5052-=-； ③255222=； ④21633=； ⑤1223=，，所以不能与18合并的是④⑤． 故答案为：④⑤．【点睛】此题考查了同类二次根式，以及二次根式的性质与化简，熟练掌握同类二次根式定义是解本题的关键．18．已知a ，b ，c 222()()()a b c b c a b c a +-+--++-． 【答案】a b c ++ 【解析】根据三角形的三边关系定理、二次根式的性质计算即可．由三角形的三边关系定理得：,,a b c a c b b c a +>+>+>0,0,0a b c b a c b c a ∴+->--<+->222()()()a b c b c a b c a +-+--++-a b c a c b b c a =+-++-++-故答案为：a b c ++． 【点睛】本题考查了三角形的三边关系定理、二次根式的运算，掌握理解三角形的三边关系定理是解题关键． 19．阅读下列材料，我们知道)334=的分子分母同时乘以3+”，分母就变成了4)83834==，从而可以达到对根式化简的目的，根据上述阅读材料解决问题：若m =则代数式m 5＋2m 4﹣2017m 3＋2016的值是_____．【答案】2016 【解析】首先对m 这个式子进行分母有理化，然后观察要求值的代数式进行拆分代入运算即可.∵m =20171=)2017120181-1,∴∴2212018m m ++=， ∴2220170m m +-=，∴原式=()32220172016m m m+-+=2016. 故答案为：2016. 【点睛】本题考查了二次根式的分母有理化，代数式的求值，观察代数式的特点拆分代入是解题的关键. 20732x y -=-，则2x ﹣18y 2＝_____．【答案】22 【解析】直接利用二次根式的性质将已知化简，再将原式变形求出答案．解：∴11x -﹣|7﹣x |+2(9)x -＝3y ﹣2， 11x -﹣x +7+x ﹣9＝3y ﹣2，整理得：11x -＝3y ，∴x ﹣11＝9y 2，则2x ﹣18y 2＝2x ﹣2（x ﹣11）＝22． 故答案为：22． 【点睛】本题考查二次根式有意义的应用，以及二次根式的性质应用，属于提高题．21．对于任何实数a ，可用[a]表示不超过a 的最大整数，如[4]=4，[3]=1．现对72进行如下操作：72[72]=8[8]=22，类似地，只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是________． 【答案】255 【解析】解：∵3，15，255，所以只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是255．故答案为255．点睛：本题考查了估算无理数的大小的应用，主要考查学生的阅读能力和逆推思维能力．22．实数a 、b 22a -4a 436-12a a 10-b 4-b-2++=+，则22a b +的最大值为_________． 【答案】52． 【解析】22a -4a 436-12a a 10-b 4-b-2++=+，可得|a-2|+|a-6|+|b+4|+|b-2|=10，然后根据|a-2|+|a-6|≥4，|b+4|+|b-2|≥6，判断出a ，b 的取值范围，即可求出22a b +的最大值．解：22a -4a 436-12a a 10-b 4-b-2++=+， ()()22261042a a b b --=-+--，∴261042a a b b -+-=-+--， ∴264210a a b b -+-+++-=，∵264a a -+-≥，426b b ++-≥， ∴ 264a a -+-=，42=6b b ++-， ∴2≤a≤6，-4≤b≤2，∴22a b +的最大值为()226452+-=， 故答案为52． 【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，绝对值的意义，算术平方根的性质．解题的关键是要明确化简二次根式的步骤：①把被开方数分解因式；②利用算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来；③化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2． 三、解答题232-+1 【解析】先根据二次根式的乘除法法则计算乘除法，同时分别化简各加数中的二次根式，最后计算加减法2-+=1)2(3-+⨯=12+1. 【点睛】此题考查二次根式的混合运算，二次根式的化简，正确掌握二次根式的化简法则是解题的关键.24.+【解析】 【解析】设a =b =c =2220a b c +-=，2ab =，再把原式变形后代入求值即可.设a =b =c =2220a b c +-=，2ab =．原式()()()()()22222ab a b c ab a b c ab a b c a b c a b c a b c ++++===+-+-+++- ()22222ab a b c a b c a b ab c++==++++-= 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，将原式变为分式，再进行变形求解是解决此题的关键.25．若b a +10． （1）求ab 及a +b 的值； （2）若a 、b 满足x 20b aa b--=，试求x 的值．【答案】（1）10；（2）±． 【解析】（1）已知已经给出了关于b 的关系式，只需按照要求进行计算即可．（2）先对20b ax a b--=进行化简，然后利用（1）的结论，即可完成解答解：（1）∵b a +10， ∴ab =10，b =-a +10， 则a +b =10；（2）∵a 、b 满足x 20b aa b--=， ∴x 2=22b a ab+，∴x 2=2()2a b ab ab+-=1002010-=8，∴x =±． 【点睛】本题第一问比较简单，第二问略难，第二问的解答关键在于将x 20b aa b--=化简成为含有ab 和a+b26．已知：2a+b+5＝..【答案】5【解析】用完全平方公式将原方程配方，由平方的非负性求出a、b的值，化简要求的式子，将a、b的值代入化简后的式子计算出结果即可.原方程可化为2a+b+5﹣﹣=0，即（2a﹣2﹣）+（b﹣1﹣）=0，2）2+2）2=0，﹣2=02=0，解得a=3，b=5，=，b将a、b的值代入得：原式.本题主要考查完全平方公式、平方的非负性.27．已知数轴上A、B、C三个互不重合的点，若A点对应的数为a，B点对应的数为b，C点对应的数为c．(1)若a是最大的负整数，B点在A点的左边，且距离A点2个单位长度，把B点向右移动3+3个单位长度可与C点重合，请在数轴上标出A，B，C点所对应的数．(2)在(1)的条件下，化简2a﹣2a b+﹣|a﹣b|+|c﹣a|．()【答案】(1)a=﹣1，b=﹣3，c=3;(2)﹣4+3．【解析】【解析】（1）根据题意得出方程﹣1﹣b＝2，c﹣（33+）＝﹣3，求出数，在数轴上标出即可；（2）根据2a和绝对值的意义化简后，再代入数值即可．（1）∵a是最大的负整数，∴a＝﹣1．∵B点在A点的左边，且距离A点2个单位长度，∴﹣1﹣b＝2，∴b＝﹣3．∵把B点向右移动33=．+个单位长度可与C点重合，∴c﹣（33+）＝﹣3，∴c3A，B，C点在数轴上所对应的数如图：（222（）|a﹣b|+|c﹣a|+a a b＝﹣a+（a+b）﹣（a﹣b）+（c﹣a）＝﹣a+a+b﹣a+b+c﹣a＝﹣2a+2b+c当a=﹣1，b=﹣3，c3时，原式＝﹣2×（﹣1）+2×（﹣3）343【点睛】本题考查了数轴上的点与实数的关系，二次根式的化简，能够把数轴上的点与实数结合起来﹣﹣数形结合是解题的关键．282482--=时运用了下面的方法：由x x()()2224816x x =-=---=，又由2=8=，5=，5=两边平方可解得x ＝－1，经检验x ＝－1是原方程的解. 请你参考小明的方法，解下列方程：16;=4x =.【答案】()1x = ()2x 3= 【解析】（1的有理化因式的值是多少；和求出的它的有理化因式的值，求16的解是多少即可；（2的解是多少即可．（1=22-=（x 2+42）-（x 2+10）=3216=，16=2，9=∵)2＝x 2+42=92=81，∴经检验∴16=的解是（2）=22-=（4x 2+6x-5）-（4x 2-2x-5）=8x4x =4x=2，21,?x =+∵2＝(2x+1)2， ∴4x 2+6x-5=4x 2+4x+1， ∴2x=6， 解得x=3，经检验x=3是原方程的解，∴4x =的解是：x=3．故答案为 (2) 3 【点睛】此题主要考查了二次根式在解方程中的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是在解决实际问题的过程中能熟练应用有关二次根式的概念、性质和运算的方法．29．已知m ，n 满足m 4n=3+.【答案】12015【解析】 【解析】由43m n +=得出）2﹣2﹣3＝0，，代入计算即可．解：∵4m n +＝3，∴2）2﹣2）﹣3＝0，即（m+2n）2﹣2（m+2n）﹣3＝0，则（m+2n+1）（m+2n﹣3）＝0，∴m+2n＝﹣1（舍）或m+2n＝3，∴原式＝3-23+2012＝12015．【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握完全平方公式的运用及二次根式性质．30．已知实数a，b满足：b2=1+﹣，且|b|+b＞0（1）求a，b的值；（2）利用公式，求++…+【答案】（1）a的值为2，b的值为1；（2）2018.【解析】【解析】（1）根据二次根式有意义的条件得到（2）根据公式将原式化成多个式子相减，起到互相抵消的效果，做到化繁为简．（1）由题意得：,∵b2=1+∴b=±1∵|b|+b＞0∴b=1∴a的值为2，b的值为1．（2）,【点睛】 本题主要考查二次根式有意义的条件，学会应用公式推导一般并能实际运用. 31．阅读下列两则材料，回答问题： 材料一：我们将(a b)+与(a b)-称为一对“对偶式”，因为22(a b)(a b)(a )(b)a b +-=-=-,所以构造“对偶式”相乘可以有效地将(a b)+和(a b)-中的“”去掉．例如：已知25x 15x 2--=－,求25x 15x +-－的值．解： (25x 15x)(25x 15x)25x (15x)10--⨯+---=－－＝（－） 25x 15x 2－--=25x 15x 5∴+-=－材料二：如图，点A （x 1，y 1），点B （x 2，y 2），以AB 为斜边作Rt △ABC ，则C （x 2，y 1），于是12x x AC =-，12y y BC =-，所以221212(x x )(y -y )AB =-+，反之，可将代数式221212(x x )(y -y )-+的值看作点（x 1，y 1）到点（x 2，y 2）的距离.例如：[]22222222x 2x y 2y 2(x 2x 1)(y 2y 1)(x 1)(y 1)(x 1)y (1)-+++=-++++=-++=-+--的值看作点（x，y）到点（1，－1）的距离．（12=，其中x≤4.利用材料一：①_________=②解关于x2=，其中x≤4．（2）利用材料二，,并求出此时y与x之间的函数关系式，写出x的值范围.【答案】（1）① 8；②x=－5 ；（2）1014y x,(2x1) 33=---≤≤【解析】（1）①根据材料中给出的信息,利用“对偶式”的性质得20x(4x)16⨯=---=,2=即可求解,②在上一问的基础上设,（2）将所给代数式利用完全平方公式进行化简整理,再转换成两点之间的距离公式进行求解即可.解：（1）①∵20x(4x)16⨯=---=20x2-=8=②20x2-=8=令，则m n2m n8-=⎧⎨+=⎩解得：m5n3=⎧⎨=⎩=5解得：x=－5 （2）根据材料知：===x ，y ）到点（1，－8）的距离与点（x ，y ）到点（－2，2）的距离之和.,即点（x ，y ）与点（1，－8），（－2，2）在同一条直线上，并且点（x ，y ）位于点（1，－8），（－2，2）的中间，且－2≤x≤1设过（x ，y ），（1，－8），（－2，2）的直线解析式为：y=kx+b 则 k b 82k b 2+=-⎧⎨-+=⎩解得：10k 314b 3⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∴1014y x ,(2x 1)33=---≤≤ 【点睛】本题考查了两点之间的距离公式,根式的实际应用,难度较大,要求学生认真审题,明确对偶式的实际含义,理解两点之间的距离公式的含义是解题关键.。
16 二次根式 核心要点分类整合与满分技巧 课件-人教版数学八年级下册
解题秘方：由题意得到大正方形的边长和小正方形的边长， 再求阴影部分的面积.
解：由题意可得，大正方形的边长为 8＝2 2，小正方形 的边长为 2 ， ∴图中阴影部分的面积为 2×(2 2－ 2)＝2. 答案：B
类型 1 利用二次根式的非负性求值
题型1 利用二次根式的非负性求字母的值 1. 已知 x＋3＋ x＋y－6＝0，求x，y的值.
A．－2
B．0 C．－2a D．2b
解题秘方：根据数轴得出字母a，b的取值范围，从而得出 式子取值的正负，为进一步化简打下基础． 解：由数轴可知－2＜a＜－1，1＜b＜2，∴a＋1＜0，b－1 ＞0，a－b＜0. ∴原式＝|a＋1|＋|b－1|－|a－b|＝－(a＋1)＋(b－1)＋(a－ b)＝－a－1＋b－1＋a－b＝－2.
3－2
3＝
3.
专题 4 最简二次根式
链接中考 >>最简二次根式(或整式)是二次根式运算的 最后结果，识别最简二次根式是最常见的考查形式,关键就 是扣住最简二次根式的两个条件.在中考中一般以选择题的 形式出现.
例 5 [中考·西宁]下列二次根式中，最简二次根式是( )
A．
1 5
B． 0.5 C． 5
知3－练
专题 6 数形结合思想
专题解读 >>数形结合思想就是根据数学问题的题设 和结论之间的内在联系，既分析其数量关系，又揭示其几 何意义，使数量关系和几何图形巧妙地结合起来，并充分 地利用这种结合，使问题得到解决.
例 7 [中考·淄博]如图16－2，长方形内有两个相邻的正方 形，其面积分别为2和8，则图中阴影部分的面积为 () A． 2 B．2 C．2 2 D．6
第十六章 二次根式
章末核心要点分类整合
第十六章二次根式小结与复习
二次根式小结与复习基础盘点1.二次根式的定义：一般地，我们把形如a （a ___0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根式.定义诠释：（1）二次根式的定义是以形式界定的，如4是二次根式；（2）形如a b （a ≥0）的式子也叫做二次根式；（3）二次根式a 中的被开方数a ，可以是数，也可以是单项式、多项式、分式，但必须满足a ≥0.2.二次根式的基本性质（1）a _____0（a ___0）；（2）()2a ＝_____（a ___0）； （3）a a =2＝()()⎩⎨⎧0_____0_____a a ；（4=____________（a ___0，b ___0）；（5=_____________（a ___0，b ___0）. 3.最简二次根式必须满足的条件为：（1）被开方数中不含_______；（2）被开方数中所有因式的幂的指数都______.4.二次根式的乘、除法则：（1（a ___0，b ___0）；（2=____________（a ___0，b ___0）. 复习提示：（1）进行乘法运算时，若结果是一个完全平方数，则应利用==a a 2()()⎩⎨⎧<-≥00a a a a 进行化简，即将根号内能够开的尽方的数移到根号外； （2）进行除法运算时，若除得的商的被开方数中含有完全平方数因数，应运用积的算术平方根的性质将其进行化简.5.同类二次根式：几个二次根式化成_________后，如果_______相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式.6.二次根式的加减法则：二次根式加减时，可以先将二次根式化成_______，然后把___ ______进行合并.复习提示：（1）二次根式的加减分为两个步骤：第一步是_____，第二步是____，在合并时，只需将根号外的因式进行加减，被开方数和根指数不变；（2）不是同类二次根式的不能合并，如：53+≠8；（3）在求含二次根式的代数式的值时，常用整体思想来计算.7.二次根式的混合运算（1）二次根式的混合运算顺序与实数中的运算顺序一致，也是先____，再____，最后 ____，有括号的先_____内的.复习提示：（1）在运算过程中，有理数（式）中的运算律，在二次根式中仍然适用，有理数（式）中的乘法公式在二次根式中仍然适用；（2）二次根式的运算结果可能是有理式，也可能是二次根式，若是二次根式，一定要化成最简二次根式.8.二次根式的实际应用利用二次根式的运算解决实际问题，主要从实际问题中列出算式，然后根据运算的性质进行计算，注意最后的结果有时需要取近似值.考点呈现考点1 二次根式有意义的条件例1 若式子43-x 在实数范围内有意义，则x 的取值范围是（ ）A.x ≥34B.x ＞34C.x ≥43D.x ＞43 解析：要使43-x 在实数范围内有意义，必须满足条件43-x ≥0，所以x ≥34，故应选A.方法总结：判断含有字母的二次根式是否有意义，就是看根号内的被开方数是不是非负数，如果是，就有意义，否则就没有意义，当二次根式含有分母时，分母不能为0.考点2 二次根式的性质例2 下列各式中，正确的是（ ） A.()332-=- B.332-=- C.()332±=± D.332±= 解析：本题利用二次根式的性质=2a ()()⎩⎨⎧<-≥00a a a a进行解答，运用排除法不难知道只有选项B 正确，故应选B.方法总结：()a a =2成立的条件是a ≥0，而在化简()2a 时，先要判断a 的正负情况. 考点3 二次根式的非负性例3 已知32552--+-=x x y ，则xy 2的值为（ ）A.—15B.15C.215-D.215 解析：由52-x ≥0，且x 25-≥0，解得25=x ，所以3-=y ，因此xy 2＝2×25×（—3）＝—15，故应选A.方法总结：二次根式a （a ≥0）具有双重非负性，即a ≥0、a ≥0.考点4 最简二次根式例4 下列二次根式中，最简二次根式是（ ） A.51 B.5.0 C.5 D.50 解析：因为5551=，22215.0==，2550=，所以A 、B 、D 均不是最简二次根式.方法总结：在进行二次根式化简时，一些同学不知道化到什么程度为止，切记，一定要化到最简二次根式为止.考点5 二次根式的运算例5 计算1824-×31＝____. 解析：本题是二次根式的混合运算，必须按法则进行，要注意最后结果的化简问题，即原式＝1824-×31＝2362-×33＝662-＝6. 方法总结：二次根式的加减运算，一定要先化简才能得知算式中哪些二次根式可以合并，除法运算先化为乘法再运算，混合运算时要正确使用运算法则.考点6 二次根式的化简求值例6 若120142013-=m ，则34520132m m m --的值是_____. 解析：先化简m 的值，得m ＝()()()()2014120141201420131201412014120142013=-+=+-+＋1. 再变形所求代数式34520132m m m --＝()()[]20141201322323--=--m m m m m ＝()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+∙+20141120141201423＝0. 方法总结：解决此类问题应注意代数式的变形和整体思想的运用.误区点拨一、考虑问题不全面例1 代数式21-x 中，x 的取值范围是______. 错解：根据题意，得2-x ≥0，解得x ≥2，故填x ≥2.剖析：整体观察式子的特点，存在分母，应满足分母不为0的条件；又存在二次根式，应满足被开方数为非负数. 错解只注意被开方数的非负性，而忽略了分式中分母不为0的条件.正解：根据题意，得2-x ＞0，解得x ＞2，故填x ＞2.二、理解性质出错例2 求()23-的值. 错解：()23-＝—3. 剖析：()23-表示()23-的算术平方根，应为正数. 错解由于对二次根式的性质理解不透而犯错.正解：()23-＝9＝3.三、忽略运算顺序例3 计算3312⨯÷. 错解：原式＝212=÷. 剖析：由于乘除是同一级运算，应按照从左到右的顺序进行.正解：原式＝23332=⨯⨯.四、对最简二次根式判断不准例4 下列各式中，是最简二次根式的是（ ）A.23B.36C.2.1D.49错解：选C.剖析：最简二次根式的被开方数中既不含开的尽方的因式或因数，也不含分母，满足条件的只有B. 错解只看表面形式，不求甚解，C 中被开方数是小数形式，化为分数后，可继续化简.正解：选B.跟踪训练1.根式3-x 中x 的取值范围是（ ）A.x ≥3B.x ≤3C.x ＜3D.x ＞32.下列各式是最简二次根式的是（ ） A.20 B.1.2 C.72 D.51 3.下列各式中，与3是同类二次根式的是（ ） A.18 B.24 C.12 D.94.化简122154+⨯的结果是（ ） A.25 B.36 C.3 D.355.下列运算正确的是（ ） A.25＝±5 B.12734=- C.9218=÷ D.62324=∙ 6.已知：132-=-b a ，3=ab ，则()()11-+b a 的值为（ ） A.3- B.33 C.223- D.13-7.已知三角形三边的长分别为18cm 、12cm 、18cm ，则它的周长为_____cm.8.当m ＜0时，化简mm 2＝____. 9.计算：()2850÷-的结果是_____.10.实数在数轴上的位置如下图所示，化简()221-+-a a ＝_____.11.已知011=-++b a ，则20132013b a +＝____. 12.如果最简二次根式a m a --7与m 2是同类二次根式，则a ＝____，m ＝____. 13.先化简，再求值：()()()633--+-a a a a ，其中215+=a . 14.先化简，再求值：221a a a +-+，其中1007=a . 下图是小亮和小芳的解答过（1）_____的解法是错误的；（2）错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质：___________.（3）先化简，再求值：9622+-+a a a ，其中2007-=a .跟踪训练参考答案：1.A2.C3.C4.D5.D6.A7.3226+ 8.—1 9.3 10.32-a 11.0 12.1，313.解：（1）原式＝366322-=+--a a a a ，当215+=a 时，原式＝6×（215+）—3＝56.14.解：（1）小亮；（2）a a -=2（a ＜0）；（3）原式＝()()a a a a -+=-+32322＝a -6＝6—（—2007）＝2013.。
第十六章 二次根式(培优卷)(解析版)
第十六章二次根式（培优卷）一、单选题1．（2021·山东河东·七年级期末）2021=0的值为（）A．0B．2021C．-1D．1【答案】D【分析】根据二次根式与绝对值的非负性，求出a，b的值，再代入求值，即可．2021=0≥0，2021b+≥0，=0，2021b+=0，∴a=2020，b=-20211=，故选D．【点睛】本题主要考查二次根式求值，掌握二次根式与绝对值的非负性，是解题的关键．2．（2021·福建南安·九年级期中）若x=y=222x xy y++的值为（）．A．2B．2021C．－D．8【答案】B【分析】先计算出x y+的值，再利用完全平方公式对222x xy y++进行分解，整体代入求值即可得出结论．【详解】解：∵x=，y=，∴x y+=．∴2222()22021x xy y x y=++==+．故选：B．【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，利用完全平方公式计算是解决问题的关键．3．（2021·=.=关于解答过程，下列说法正确的是（）.A．两人都对B．甲错乙对C．甲对乙错D．两人都错【答案】B¹¹，故不能直接进行分母的有理化，故甲错误；乙分子因式分解，再与分母约分，故乙的做法是正确的．故选B．¹.4．（2021·河北八年级期中）墨迹覆盖了等式“=中的运算符号，则覆盖的是（）A．+B．﹣C．×D．÷【答案】B===，=18=，23=，故选：B．【点睛】本题考查了二次根式的化简及加减乘除运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解决本题的关键．5．（2021·湖北）已知按照一定规律排成的一列实数：﹣12，…则按此规律可推得这一列数中的第2021个数应是（）A BCD．2021【答案】A【分析】根据题目中的数字，可以发现数字的变化特点，从而可以得到这一列数中的第2021个数．【详解】解：∵一列实数：﹣12，…，∴每三个数为一组，每组出现的特点一样，依次是这个数的负的算术平方根、算术平方根、立方根，∵2021÷3＝673…2，∴这一列数中的第2021A．【点睛】此题主要考查实数的规律探索，解题的关键是根据已知的式子发现规律求解．6．（2021·山东青州·八年级期末）如图是一个无理数生成器的工作流程图，根据该流程图，下列说法：①当输出值y x为5或25；②当输入值为64时，输出值y③对于任意的正无理数y，都存在正整数x，使得输入x后能够输出y；④存在这样的正整数x，输入x之后，该生成器能够一直运行，但始终不能输出y值．其中错误的有（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个．【答案】B【分析】根据运算规则以及无理数的定义即可求解．【详解】解：①当输出值y x =5或x =25或625等，故①说法错误；②输入值x 为648y =③对于任意的正无理数y ，都存在正整数x ，使得输入x 后能够输出y ，如输入π2，故③说法错误；④当x =1时，始终输不出y 值．因为1的算术平方根是1，一定是有理数，故④原说法正确．其中错误的是①②③，共3个．故选：B ．【点睛】此题主要考查了无理数的定义、算术平方根以及二次根式的性质与化简，注意：初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．7．（2021·山东河东·八年级期末）我们把形如b （a ，b型无理数，如12属于无理数的类型为（）．A 型BC 型D 【答案】B【分析】将代数式化简即可判断．【详解】2222=-62=-8=-B【点睛】本题考查了最简二次根式，熟练将代数式化简是解题的关键．8．（2021·浙江滨江·八年级期中）对式子m ，正确的结果是（）AB．C．D【答案】C【分析】直接利用二次根式的性质化简求出答案．【详解】解：由题意可得：30m -³，∴0m £∴=故选：C 【点睛】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确掌握二次根式的性质是解题关键．9．（2021·全国·九年级专题练习）=x 、y 、z 为有理数．则xyz ＝（ ）A ．34B ．56C ．712D ．1318【答案】A【分析】将已知式子两侧平方后，根据x 、y 、z 的对称性，列出对应等式，进而求出x 、y 、z 的值即可求解．=∴3x y z +=+++x+y+z=3==，,x+y+z=31=23yz=43xz=2xy ìïïïï\íïïïïî()29xyz ,0,0,016x y z \=³³³，∴xyz ＝34，故选择：A ．【点睛】本题考查二次根式的加减法，x 、y 、z 对称性，掌握二次根式加减法法则，利用两边平方比较无理数构造方程是解题关键．10．（2021·广西钦州·七年级期末）如图是一张正方形的纸片，下列说法：①若正方形纸片的面积是1，则正方形的长为1；②若一圆形纸片的面积与这张正方形纸片的面积都是2π，设圆形纸片的周长为C 圆，正方形纸片的周长为C 正，则C 圆＜C 正；③若正方形纸片的面积是16，沿这张正方形纸片边的方向可以裁出一张面积为12的长方形纸片，使它的长和宽之比为3：2，其中正确的是（ ）A ．①②B．①③C ．②③D ．①②③【答案】A【分析】利用算术平方根的概念判断①，由圆面积公式，和正方形面积可求周长，比较两数大小可以采用比商法，从而判断②，采用方程思想求出长方形的长与宽，从而判断③．【详解】解：∵正方形纸片的面积是1，则AB 2=1，∴正方形的长AB∵一圆形纸片的面积与这张正方形纸片的面积都是2π，∴圆的半径r =，∴圆的周长C 圆为，正方形的周长C 正为C C 圆正1，∴C 圆＜C 正，故②正确；设长方形长为3a ，宽为2a ，由题意可得：3a •2a =12，解得：a （负值已舍去），∴长方形的长为16，又∵＞4，∴若正方形纸片的面积是16，沿这张正方形纸片边的方向不可以裁出一张面积为12的长方形纸片，使它的长和宽之比为3：2，故③错误；故选：A ．【点睛】本题考查算术平方根的应用，实数的大小比较，掌握算术平方根的概念和二次根式的除法运算法=（a ≥0，b ＞0）是解题关键．二、填空题11．（2021·山东青州·八年级期末）已知2x =，则代数式24x ++的值等于 ___．【答案】5【分析】根据完全平方公式把原式变形，吧ax 的值代入计算即可．【详解】解：24x ++=231x +++=(21x +当2x =时，原式=(221+=4+1=5，故答案为：5．【点睛】本题考查的是二次根式的化简求值，灵活运用完全平方公式是解题的关键．12．（2021·江西·景德镇一中七年级期中）_______【答案】=故答案为：【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握运算法则是解题的关键．13．（2021·山东商河·八年级期中）计算：）20142）2015＝______．2【分析】由平方差公式、以及积的乘方性质进行化简，即可求出答案．【详解】解：201420152)2)，201420142)2)2)=+，20142)]2)=-，2014(1)2)=-，2=2-．【点睛】本题考查了整式乘法的运算法则，解题的关键是掌握平方差公式、以及积的乘方性质进行化简．14．（2021·河北·平泉市教育局教研室八年级期末）==a b =______．【答案】92a =，3b =，代入计算即可．=3=∴2a =，3b = ∴23=9a b =故答案为：9【点睛】本题考查二次根式的加减，根据知识点解题是重点．15．（2021·浙江金华市·八年级期末）对于实数a 、b 作新定义：@a b ab =，b a b a =※，在此定义下，计算：--2-=※________．【答案】1-【分析】先将新定义的运算化为一般运算，再计算二次根式的混合运算即可．【详解】解：2※=2--=2--2--=43--=1-故答案为：1-【点睛】本题考查新定义的实数运算，二次根式的混合运算．能根据题意将新定义运算化为一般运算是解题关键．16．（2021·安徽八年级期中）在数学课上，老师将一长方形纸片的长增加，宽增加，就成为了一个面积为2192cm 的正方形，则原长方形纸片的面积为________2cm ．【答案】18【分析】由题意可求得正方形的边长，从而可求得原长方形的长和宽，故可求得原长方形的面积．【详解】∵正方形纸片的面积为2192cm=，∴原长方形的长为=（cm ），宽为=cm ），∴原长方形纸片的面积为18=（2cm ）．【点睛】本题考查了求一个数的算术平方根，二次根式的运算，关键是由正方形的面积求得正方形的边长．17．（2020·全国·八年级课时练习）已知x 、y 满足：1＜x ＜y ＜100，且+．．【分析】把已知的等式变形分解后，得到xy 的值．【详解】∵+，=0）=0，∵1＜x ＜y ＜100【点睛】本题主要考查因式分解和二次根式的加减法，分解因式是解本题的关键．18．（2021·浙江杭州市·八年级模拟）比较下列四个算式结果的木小：（在横线上选填“>”、“<”或“=”）（1）①________；②__________；③_________．（2）通过观察归纳，写出反映这一规律的一般结论．【答案】（1）＞，＞，=；（2）．两个数的平方的和大于等于这两个数乘积的2倍．【分析】（1）分别计算各部分，再比较大小；（2）根据题意找到规律，并用式子表示．【详解】解：（1），，∴＞，，，∴＞，，22(+2(22+2´22+2222a b ab +³225(32=+=+2(=-22(+2(´22181230==++=2´==22+2´´2221+=212=∴=，故答案为：＞，＞，=；（2）由题意可得：设两个实数a、b，则．通过观察上述关系式发现，等式的左边都是两个数的平方和的形式，右边是前面两数不平方乘积的2倍，通过几个例子发现两个数的平方的和大于等于这两个数乘积的2倍．【点睛】本题考查了二次根式的大小比较和混合运算，找到题中的规律，进行总结和描述是解题的关键．三、解答题19．（2021·山东·枣庄市台儿庄区教育局教研室八年级期中）（1（2）（3（41)【答案】（1）1；（2）2-；（3）4（4）3．【分析】（1）直接利用二次根式的性质以及立方根的性质分别化简，再利用有理数的加减运算法则计算得出答案；（2）直接利用二次根式的乘法运算法则以及结合绝对值的性质化简，先算乘法，再化简二次根式，去绝对值，最后利用二次根式的加减运算法则计算得出答案；（3）直接利用二次根式的乘除运算法则化简，先算乘除，再利用二次根式的加减运算法则计算得出答案；（4）直接利用二次根式的乘法运算法则化简，先算乘除，再利用有理数的加减运算法则计算得出答案．【详解】解：（13212=-312122=--+=1；（2）62-2=--=2 --；（3=4=4=；（41)+131=+-21231=+-+-3=．【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算以及实数运算，正确化简二次根式是解题关键．20．（2021·洛阳市第五中学八年级期中）2）2）＝1a（a≥0）、＋1）﹣1）＝b﹣1（b≥0）……两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有1﹣1，22+2222a b ab+³次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．请完成下列问题：（1（2）计算：3的大小，并说明理由．2）2＋；（3，理由见解析【分析】（1）根据题意可知，题目中思想为利用平方差公式进行二次根式的化简，根据化简方法，进行化简即可；（2）将二次根式的分母进行有理数因式，去除分母中的根号进行计算即可；（3）将代数式化为有理化因式的形式，进行大小的比较．【详解】（1（222＋；（3，，．【点睛】此题主要考查了二次根式的化简求值，熟练利用有理化因式是解题关键．21．（2021·湖北沙区·三模）小颖利用平方差公式，自己探究出一种解某一类根式方程的方法．下面是她解5的过程．m，与原方程相乘得：×5m，x﹣2﹣（x﹣7）＝5m，解之得m＝1，1，与原方程相加得：+5＋1，6，解之得，x＝11，经检验，x＝11是原方程的根．1．【答案】x＝7【分析】根据借鉴题中的方法，即可计算求解．m，与原方程相乘得：）×）＝m ，x ﹣3﹣（x ﹣6）＝m ，解之得m ＝3，＝3，与原方程相加得：）+）＝3＋1，4，解之得，x ＝7，经检验，x ＝7是原方程的根．22．（2021·江西）===2=．试求：（1（2n 为正整数）的值．（3）计算：)1L ．【答案】（1（2（3）2020【分析】（1）用平方差公式计算即可；（2（3）根据分母的特点各项分子分母乘以各分母的有理化因式，分母用公式计算化去分母，分子合并同类项二次根式，最后利用平方差公式即可得出答案．【详解】解：解：（1==；（2===（3）原式)11=++L)11=-20211=-2020=．【点睛】本题考查二次根式化简求值问题，关键找到各分母的有理化因式，用平方差公式化去分母．23．（2021·四川大邑·八年级期中）阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方．如，善于思考的小明进行了以下探索，若设a +b2(1=a ，b ，m ，n 均为整数），则有a ＝m 2+2n 2，b ＝2mn ，这样小明就找到一种把类似a +（1）若a +，当a ，b ，m ，n 均为整数时，用含m ，n 的式子分别表示a ，b，得：a ＝ ，b ＝ ．（2）若a，当a ，m ，n 均为正整数时，求a 的值．（3．【答案】（1）m 2+7n 2，2mn ；（2）a ＝28或12；（3【分析】（1）仿照例题计算即可得；（2）仿照例题计算即可得；（3）先计算＝7﹣＝， 再计算即可．【详解】解：（1）∵a +，∴a +＝m 2+2n 2（a，b ，m ，n 均为整数），∴a ＝m 2+7n 2，b ＝2mn ，故答案为：m 2+7n 2，2mn ；（2）∵a ，∴a m 2+2n 2（a ，b ，m ，n 均为整数），∴a ＝m 2+3n2，2mn ＝6，∴mn ＝3，①m ＝1，n ＝3，a ＝28，②m ＝3，n＝1，a ＝12，综上所述：a ＝28或12；（3）∵＝4﹣＝7﹣ ＝+3＝，2，∴．【点睛】此题考查二次根式的计算，完全平方公式的计算法则，正确理解被开方数的变化方式及完全平方公式的计算法则是解题的关键．24．（2020·江苏省初二月考）甲是第七届国际数学教育大会的会徽，会徽的主体图案是由图乙中的一连串直角三角形演化而成的，其中OA 1＝A 1A 2＝A 2A 3＝…＝A 7A 8＝1．细心观察图形，认真分析下列各式，然后解答问题：222(22m m n =+=++2(m =+2(m =+2==2(222(m =+2(m =+2(222==)2＋1＝2，S 1)2＋1＝3，S 2；）２＋1＝4，S 3；…．（1）请用含有n (n 是正整数)的等式表示上述变化规律，并计算出OA 10的长；（2）求出的值．【答案】（1）含有n (n 是正整数)的等式表示上述变化规律为：，OA 10；（2）【分析】（1）根据勾股定理分别求出OA 22、OA 32，OA 42及OA 2、OA 3、OA 4得到OA n 2及OA n 对应的S 值，再计算得到OA 10；（2）由（1）知S 1、S 2、S 3、、S 10，将结果代入代数式计算即可.【解析】（1）∵OA 1，OA 1＝A 1A 2＝A 2A 3＝…＝A 7A 8＝1，∴OA 22==1+1=2，∴OA 2，，∵OA 32=)2＋1＝3，∴， ∵OA 42==２＋1＝4，∴OA 4=2，，，∴，， ∴OA 102==10，∴OA 10，∴含有n (n 是正整数)的等式表示上述变化规律为：，OA 10；（2）由（1）知：，， ，，， ∴==.【点睛】此题考查图形类规律的探究，勾股定理计算线段长度，能依据图形得到线段的计算方法，并总结规律运用解题是关键.25．（2021·北京·八年级单元测试），3，…按下面的方式进行排列：222123210S S S S +++¼+21n +=554n S =L 22112OA A A +111211122S OA A A =××==22223OA A A +3OA =222311122S OA A A =××==22334OA A A +334311122OA A A S =××==L 2221121n n n n OA A A OA n --+===＋111122n n n n S OA A A +=××==21+21n +=n S =1S =2S =3S =L 10S =222123210S S S S +++¼+2222+++¼+554，，那么（1所在的位置应记为；（2）在的位置上的数是，所在的位置应记为；（3）这组数中最大的有理数所在的位置应记为．【答案】（1）；（2）（5，4）；（3）（6，2）【分析】观察这组数字的规律为被开方数为从3开始的3的自然倍数，将30个数按题干方式排列后，依据题意表示即可：（1）（2）每个被开方数都是3的倍数，因此第四行第一列的数字为5个数，找出规律，位置即可确定；（3）由于最大得有理数为，依据每行有5个数，找出规律，位置即可确定．【详解】解：（1，故答案为：；（2）由题意得，每个被开方数都是3的倍数，因此第四行第一列的数字为∴（4，1）位置上的数是，每行有5个数，∴5，4），故答案为：（5，4）；（3，它所在的位置记为第6行第2列，∴这组数中最大的有理数所在的位置应记为：（6，2），故答案为：（6，2）．【点睛】题目主要考查二次根式的应用，坐标位置的确定，理解题意，确定被开方数存在的规律是解题的关键．3,M(1,5)(2,3)(4,1)()2,5=9=()2,5()2,572324¸=9=。
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第十六章 二次根式.. 最简二次根式：① ； ② ； ③ . . . . ；文字语言： . ； 文字语言： . . ..①分母形如的二次根式.给分子、分母同时乘以 ；②分母形如.给分子、分母同时乘以 .2的区别与联系：例一：下列各式一定是二次根式的是（）分析：判定一个代数式是否是二次根式，要看该式子是否同时具备两个要素：（1）含有二次根号；（2）被开方数是非负数.对应训练：1.下列各式中，一定是二次根式的是（）A专题二：二次根式有意义的条件对于非负数x,如果有x2=a，那么x就是a的算术平方根，也是a在这里a是x的平方数，它的值是一个正数或零（因为任何数的平方都不可能是负数）.由此得出：只有当a≥0时，.（1a≥0a<0.（2）从具体的情况总结，如下：a≥0； a≥0,n+有意义的条件： b≥0,…n≥0；a>0；1b有意义的条件：a≥0且b≠0；有意义的条件：a≥0且b>0.例二：当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？（1；（2（3；（4；（5（6分析：对于含有二次根式和分式的式子，求其有意义的条件时：首先找出二次根式的被开方数，根据二次根式的被开方数为非负数列不等式，其次找分式的分母，根据分母不为0，列出所需的不等式，将这些不等式组成不等式组，不等式组的解集就是字母的取值范围.解：（1）13103x x-≥≥当，即.（4）32301012x x x x+≥+>≥->-当，且，即且.对应训练：1.x的取值范围是（）A、x>3B、x≥3C、 x>4 D 、x≥3且x≠42.x的取值范围是 .3.有意义，那么，直角坐标系中点P（m，n）的位置在（）A、第一象限B、第二象限C、第三象限D、第四象限例三：若y=++2009，则x+y=分析：式子（a ≥0）， ，y=2009，则x+y=2014对应训练：1.，则x －y 的值为（ ） A ．－1 B ．1 C ．2 D ．3 2.若x 、y 都是实数，且4，求xy 的值3.当a 1取值最小，并求出这个最小值.专题四：二次根式的整数部分与小数部分例四：已知a b 是12a b ++的值. 分析：因为23<<2，即a=2；其小数部分等于此数本身减去其整数部分，即对应训练：1.若3的整数部分是a ，小数部分是b ，则=-b a 3 。
2.若17的整数部分为x ，小数部分为y ，求21x y+的值.专题五：二次根式的双重非负性例五：若22(4)0a c -+-=则a b c -+ ．分析：因为绝对值，二次根式，平方数都是非负数，且三个非负数的和为0，那么就只有一种情况：三者均为0.对应训练：1.若0)1(32=++-n m ，则m n +的值为 .2.已知y x ,为实数，且()02312=-+-y x ，则y x -的值为（ ） A ．3 B ．– 3 C ．1 D ．– 13.已知直角三角形两边x 、y 的长满足｜x 2－4｜＋652+-y y ＝0，则第三边长为＿＿＿＿＿.4、若1a b -+2005()_____a b -=.专题六：二次根式的性质的运用（公式2(0)a a =≥的运用）5-x x -5a 50,50x x -≥⎧⎨-≥⎩5x =2()x y =+例六：化简：21a -+的结果为（ ） A 、4—2a B 、0 C 、2a —4 D 、4分析：根据2(0)a a =≥的意义，可以发现，此式子成立的前提是被开方数大于等于0，即是只要出现这个式子，那意味着被开方数是非负数,此条件是隐含条件即解题的突破口.即30,3a a -≥≥，则10a -≥，绝对值内为非负数则直接去掉绝对值符号，即211324a a a a -+=-+-=-.对应训练：1.计算：（1）2(______-=；（2）2______=；（3）2______-=.2.化简：22________a -+=.专题七：二次根式的性质的运用（公式⎩⎨⎧<-≥==)0a (a )0a (a a a 2的应用）例七：已知2x <, ）A 、2x -B 、2x +C 、2x --D 、2x -分析： 然后根据2x <，⎩⎨⎧<-≥==)0a (a )0a (a a a 2（2x -）=2x -. 对应训练：1.( )A ．-3B ．3或-3C ．3D ．92.已知a<02a │可化简为（ ）A ．－aB ．aC ．－3aD ．3a3.若23a <<等于（ ）A. 52a -B. 12a -C. 25a -D. 21a -4.若a －3＜04a -的结果是（ ） (A) －1 (B) 1 (C) 2a －7 (D) 7－2a5.2得（ ）（A ） 2 （B ）44x -+ （C ）－2 （D ）44x -6.当a ＜l 且a ≠0＝ ．7.如果表示a ，b 两个实数的点在数轴上的位置如图所示，那么化简│a －b │的结果等于（ ）A ．－2bB ．2bC ．－2aD ．2a8.实数a 在数轴上的位置如图所示：化简：1______a -=．ob a专题八：最简二次根式和同类二次根式例八(1)：在根式1，最简二次根式是（）A．1) 2) B．3) 4) C．1) 3) D．1) 4)分析：掌握最简二次根式的三个条件.对应训练：中的最简二次根式是 .2.下列根式中，不是最简二次根式的是（）A．B．C．D．3.下列根式不是最简二次根式的是( )4.把下列各式化为最简二次根式：(1)例八(2):( )分析：（1）观察是否是二次根式；（2）是否化为最简；（3）被开方数是否相同.对应训练：1.下列各组根式中，是可以合并的根式是（）3.能够合并为一个二次根式, 则a=__________.专题九：二次根式计算——分母有理化（1）分母有理化：把分母中的根号化去，叫做分母有理化.（2）有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式.有理化因式确定方法如下：a=别互为有理化因式。
②两项二次根式：利用平方差公式来确定。
如a+与a，，（3）分母有理化的方法与步骤：①先将分子、分母化成最简二次根式；②将分子、分母都乘以分母的有理化因式，使分母中不含根式；③最后结果必须化成最简二次根式或有理式.例九（1）：把下列各式分母有理化（1（2（3（4）分析：（1）先化简在分母有理化；（2）先分母有理化在化简.解：（11233=====；484848124848=====.731221.将下列各式分母有理化：（1（2（3） （4）例九（2）：把下列各式分母有理化：（1 （2（3对应训练:1.已知x =y =，求下列各式的值：（1）x y x y +-（2）223x xy y -+2.把下列各式分母有理化：（1)a b≠ （2（3小结：一般常见的互为有理化因式有如下几类： ①与； ②与；③与； ④与．专题十：二次根式比较大小（1）根式变形法：当0,0a b >>时，①如果a b >>a b <<（2）平方法：当0,0a b >>时，①如果22a b >，则a b >；②如果22a b <，则a b <. （3）分母有理化法:通过分母有理化，利用分子的大小来比较. （4）分子有理化法:通过分子有理化，利用分母的大小来比较. （5）倒数法（6）媒介传递法:适当选择介于两个数之间的媒介值，利用传递性进行比较. （7）作差比较法:在对两数比较大小时，经常运用如下性质：①0a b a b ->⇔>；②0a b a b -<⇔< （8）求商比较法它运用如下性质：当a>0，b>0时，则：①1a a b b >⇔>； ②1aa b b<⇔<.例十：比较的大小。
分析：选择适当的方法1.的大小. 2..3.. 4.33的大小.专题十一：二次根式的计算（加、减、乘、除及混合运算）例十一：1.化简0,0x y≥≥)1.1.计算（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）2.化简：)0,0(≥>ba)0,0(>≥yx)0,0(>≥yx2.1.计算：（43.计算（1）；（2）⎛-⎝；（3 （4）+（5）（6a b +-（73a （8）⎝4.计算：（1(÷（2） 22 (212 +418－348 )（3（16（4）376-（5） （6）2(3(4+-（7）10115)5) （8）1(102(0)3m m >5．已知：，求的值．。