常微分方程
常微分方程的基本概念
常微分方程的基本概念常微分方程（Ordinary Differential Equations, ODE）是数学中的一个重要概念，广泛应用于物理学、工程学、生物学等领域。
本文将对常微分方程的基本概念进行讨论，并介绍其解法和应用。
一、概述常微分方程是关于未知函数及其导数的方程，通常用x表示自变量，y表示因变量，y'表示y关于x的导数。
常微分方程可以分为一阶和二阶常微分方程，一阶常微分方程中只涉及一阶导数，而二阶常微分方程则涉及二阶导数。
一阶常微分方程可以写成如下形式： F(x, y, y') = 0二、解法常微分方程的解法可以分为解析解和数值解两种方法。
1. 解析解解析解是指能够用解析函数表示的常微分方程的解。
解析解的求解需要运用数学分析方法，常见的解法包括分离变量法、齐次方程法、一阶线性方程法等。
一些简单的常微分方程，如y'=x，y''+y=0等，可以直接得到解析解。
2. 数值解数值解是指使用数值计算方法求解常微分方程的近似解。
常见的数值解法包括欧拉法、改进欧拉法、龙格-库塔法等。
这些方法将连续的微分方程转化为离散的差分方程，并通过迭代求解逼近真实解。
数值解适用于无法得到解析解或解析解过于复杂的情况。
三、应用常微分方程在各个学科中都有广泛的应用，下面介绍几个典型的应用领域。
1. 物理学常微分方程在物理学中有重要应用，可以描述运动学、动力学、场论等。
例如，牛顿第二定律F=ma可以转化为二阶常微分方程。
常微分方程在天体力学、电动力学、流体力学等领域起着关键作用。
2. 工程学常微分方程在工程学中的应用十分广泛，例如弹簧振子的自由振动、电路中的RLC系统等都可以用常微分方程进行建模和求解。
工程学中的常微分方程解法通常需要结合实际问题进行求解和分析。
3. 生物学生物学中许多现象都可以用常微分方程进行建模和解释。
如生物种群的增长与衰减、化学反应动力学等都与常微分方程密切相关。
常微分方程的基本概念
常微分方程的基本概念什么是常微分方程常微分方程（Ordinary Differential Equations，ODE）是描述自变量只有一个的函数的微分方程。
通常表示为形如dy/dx = f(x, y)的方程，其中y是未知函数，x是自变量，dy/dx表示y对x的导数，f(x, y)是已知函数。
常微分方程主要用于描述变量之间的关系和变化规律。
常微分方程的分类常微分方程可以根据其阶数、线性性质和特殊形式进行分类。
阶数根据常微分方程中导数的阶数，可以将其分为一阶常微分方程、二阶常微分方程和高阶常微分方程。
一阶常微分方程一阶常微分方程具有形式dy/dx = f(x, y)，其中f(x, y)是已知函数。
一阶常微分方程的解包含一个任意常数。
二阶常微分方程二阶常微分方程具有形式d²y/dx² = f(x, y, dy/dx)，其中f(x, y, dy/dx)是已知函数。
二阶常微分方程的解包含两个任意常数。
线性和非线性根据常微分方程中的未知函数和导数之间的线性关系，常微分方程可以分为线性常微分方程和非线性常微分方程。
线性常微分方程线性常微分方程具有形式aₙ(x) * dⁿy/dxⁿ + aₙ₋₁(x) * dⁿ⁻¹y/dxⁿ⁻¹ + … + a₁(x) * dy/dx + a₀(x) * y = f(x)，其中aₙ(x)到a₀(x)是已知函数，f(x)是已知函数。
非线性常微分方程非线性常微分方程中的未知函数和导数之间的关系是非线性的，不能表示为线性的组合。
特殊形式常微分方程可以根据其特殊形式进行分类，包括可分离变量形式、齐次形式、恰当形式等。
常微分方程的解法常微分方程的解法包括解析解和数值解。
解析解解析解是指可以用一种或多种已知的函数表达式表示出来的解。
常微分方程的解析解的求解过程可以使用分离变量法、线性常系数齐次方程解法、变量替换法等。
数值解数值解是通过数值计算方法得到的近似解。
常微分方程的基本概念
常微分方程的基本概念常微分方程（Ordinary Differential Equations, ODEs）是数学中的一个重要分支，用来研究包含未知函数及其导数的方程。
它在物理学、工程学、经济学等学科中有着广泛的应用。
本文将介绍常微分方程的基本概念，包括一阶和二阶微分方程、初值问题以及常见的解析解方法。
一、一阶微分方程一阶微分方程是指未知函数的导数只出现一阶的微分方程。
一般形式可以表示为：\[\frac{{dy}}{{dx}} = f(x, y)\]其中，y是未知函数，f(x, y)是已知的函数。
一阶微分方程的解是函数y(x)，使得方程对于所有的x成立。
为了求解一阶微分方程，我们可以使用分离变量法、恰当方程法或者线性方程法等解析解方法。
分离变量法要求将未知函数y与自变量x 的项分开，并进行适当变换，使得两边可以分别积分得到解。
恰当方程法要求将一阶微分方程化为全微分形式，然后积分求解。
线性方程法则适用于具有形如\(\frac{{dy}}{{dx}} + p(x)y = q(x)\)的方程，通过乘以合适的因子，将其转化为恰当方程求解。
二、二阶微分方程二阶微分方程是指未知函数的导数出现在方程中的最高阶为二阶的微分方程。
一般形式可以表示为：\[\frac{{d^2y}}{{dx^2}} = f(x, y, \frac{{dy}}{{dx}})\]其中，y是未知函数，f(x, y, \(\frac{{dy}}{{dx}}\))是已知的多元函数。
二阶微分方程的解是函数y(x)，使得方程对于所有的x成立。
与一阶微分方程类似，二阶微分方程的求解也可以通过解析解方法进行。
其中，常见的解法包括常系数线性齐次方程法、特殊非齐次方程法和变量分离法等。
常系数线性齐次方程法适用于形如\(\frac{{d^2y}}{{dx^2}} + a\frac{{dy}}{{dx}} + by = 0\)的方程，通过猜测解的形式，将其代入方程并化简求解。
常微分方程
称为局部截断误差。 显然，这个误差在逐 步计算过程中会传播， 积累。因此还要估计 这种积累
yn +1 = yn + hf ( xn , yn )
步计算是精确的前提下， ， 定义 在假设 yi = y(xi)，即第 i 步计算是精确的前提下，考虑 称为局部截断误差 的截断误差 Ri = y(xi+1) − yi+1 称为 局部截断误差 /* local
当 β−1≠0 时，为隐式公 则为显式公式 显式公式。 式; β−1=0 则为显式公式。
f n = f ( xn , y n )
基于数值积分的构造法 上积分， 将 y′ = f ( x , y ) 在[ xn− p , xn+1 ] 上积分，得到
xi +1 xn− p
y ( xn +1 ) − y ( xn − p ) = ∫
f ( x, y ( x))dx
x n +1
n− p
只要近似地算出右边的积分 I k ≈ ∫x f ( x, y ( x )) dx ，则可通 只要近似地算出右边的积分 过 yn+1 = yn− p + I k近似y(xn+1) 。而选用不同近似式 Ik，可得到不 同的计算公式。 同的计算公式。
为了考察数值方法提供的数值解，是否有实用价值，需要知道如下几个结论： ① 步长充分小时，所得到的数值解能否逼近问题得真解；即收敛性问题 ② 误差估计 ③ 产生得舍入误差，在以后得各步计算中，是否会无限制扩大；稳定性问题
8.1 Euler公式 公式
做等距分割，利用数值微分代替导数项，建立差分方程。
为了使解存在唯一，一般，要加限制条件在f上，要求f对y满足Lipschitz条件：
常微分方程知识点整理
常微分方程知识点整理常微分方程是数学中的一个重要分支，研究描述自然界中各种变化规律的微分方程。
在物理、工程、经济学等领域具有广泛的应用。
本文将对常微分方程的基本概念、分类、求解方法等知识点进行整理。
一、常微分方程的基本概念常微分方程是指未知函数的导数及其自变量的关系式。
一般形式为dy/dx = f(x, y)，其中y是未知函数，x是自变量，f是已知的函数。
常微分方程可以分为一阶常微分方程和高阶常微分方程。
1. 一阶常微分方程：一阶常微分方程是指方程中只涉及到一阶导数的微分方程。
常见形式为dy/dx = f(x, y)。
其中f(x, y)是已知的函数，也可以是常数。
2. 高阶常微分方程：高阶常微分方程是指方程中涉及到二阶及以上导数的微分方程。
常见形式为d^n y/dx^n = f(x, y, dy/dx, ..., d^(n-1)y/dx^(n-1))，其中n为方程的阶数，f是已知的函数。
二、常微分方程的分类根据方程的形式和性质，常微分方程可以分为线性常微分方程、非线性常微分方程、齐次线性常微分方程等多种类型。
1. 线性常微分方程：线性常微分方程是指方程中未知函数及其导数之间的关系是线性的微分方程。
常见形式为a_n(x) d^n y/dx^n + a_(n-1)(x) d^(n-1)y/dx^(n-1) + ... + a_1(x) dy/dx + a_0(x) y = f(x)，其中a_n(x)、a_(n-1)(x)、...、a_1(x)、a_0(x)是已知的函数。
2. 非线性常微分方程：非线性常微分方程是指方程中未知函数及其导数之间的关系是非线性的微分方程。
常见形式为dy/dx = f(x, y)，其中f(x, y)是已知的非线性函数。
3. 齐次线性常微分方程：齐次线性常微分方程是指方程中没有常数项的线性常微分方程。
常见形式为a_n(x) d^n y/dx^n + a_(n-1)(x) d^(n-1)y/dx^(n-1) + ... + a_1(x) dy/dx + a_0(x) y = 0。
常微分方程常微分方程的基本概念和求解方法
常微分方程常微分方程的基本概念和求解方法常微分方程（Ordinary Differential Equations，简称ODE）是描述自变量只有一个的未知函数及其导数之间关系的方程。
在物理学、工程学、经济学等领域中，常微分方程被广泛应用于各种问题的建模与求解。
本文将介绍常微分方程的基本概念和求解方法。
一、常微分方程的基本概念常微分方程是描述未知函数及其导数之间关系的数学方程。
一般来说，常微分方程可以分为一阶常微分方程和高阶常微分方程两大类。
一阶常微分方程中未知函数的导数最高只有一阶导数，而高阶常微分方程中未知函数的导数可以是二阶、三阶，甚至更高阶的导数。
常微分方程的解是指能够满足方程条件的函数形式，解的形式可以是显式解或隐式解。
显式解是直接给出的解析表达式，而隐式解则是以方程的形式给出。
常微分方程的解集通常具有唯一性。
其中，初始值问题（Initial Value Problem，简称IVP）是对常微分方程的一种特殊求解方法。
在初始值问题中，除了给出方程本身的条件外，还需给出未知函数在某一点的值，用于确定解的具体形式。
二、常微分方程的求解方法常微分方程有多种求解方法，常见的方法包括分离变量法、二阶线性微分方程的特解法和常系数线性齐次微分方程的特征根法等。
具体求解方法选择取决于方程的形式和性质。
1. 分离变量法（Separation of Variables）分离变量法适用于可以将方程的变量分离并分别对各个变量积分的情况。
首先，将方程中的未知函数和其导数分别放在等号两边，然后对方程两边同时积分，最后解出未知函数。
2. 二阶线性微分方程的特解法对于二阶线性微分方程，可以采用特解法求解。
特解法的基本思想是假设未知函数的解具有特定形式，代入方程后求解得到特解。
特解法适用于方程的解一般形式已知的情况。
3. 常系数线性齐次微分方程的特征根法对于常系数线性齐次微分方程，可以采用特征根法求解。
特征根法的基本思想是假设未知函数的解具有指数形式，代入方程后求解得到特征根和特征向量。
常微分方程的基本概念
esin x esin xesin xdx C
esin x x C .
例2. 解方程 (x 1) dy y ex (x 1)1, (为常数)
dx
解：dy y ex (x 1)
dx x 1 利用求解公式
y
e
(
)dx x1
[
ex (x
1)
e
(
)dx x1
dx
C]
e [ ln(x1) e x (x 1) e ln(x1)dx C]
代入上式后化简,
k
得特解
v
m
g
(1
e
k m
t
)
v
mg k
k
5.2.2 可化为可分离变量的方程
形如y' f ( y )的微分方程称为齐次微分方程. x
解齐次方程时,通常用变量替换法,即 设u y ,
x
将齐次方程化为可变量分离的方程.
由y ux, dy u x du , 代入原方程 ,得u x du f (u)
[解] 令 u y , y ux , y' u xu'
x
则 u xu' 1 u 1u
即 xu' 1 2u u2 1u
两端积分
1u 1 2u
u2
du
1 x
dx
凑微分
1 2
d(u2 1 2u
2u 1) u2
1 x
dx
得
1 2
ln(u2
2u
1)
ln
x
ln
C1
u2
2u 1
C x2
B.质点自由下落
一质点在重力作用下自由下落（不计空气阻力），试求 质点下落距离S与时间t的函数关系。
常微分方程基本公式
常微分方程基本公式一、一阶常微分方程。
1. 可分离变量方程。
- 形式：(dy)/(dx)=f(x)g(y)- 解法：将方程变形为(dy)/(g(y)) = f(x)dx，然后两边分别积分∫(dy)/(g(y))=∫f(x)dx + C，其中C为任意常数。
2. 齐次方程。
- 形式：(dy)/(dx)=F((y)/(x))- 解法：令u = (y)/(x)，即y = ux，则(dy)/(dx)=u + x(du)/(dx)。
原方程化为u + x(du)/(dx)=F(u)，这是一个可分离变量方程，可按照可分离变量方程的方法求解。
3. 一阶线性微分方程。
- 形式：(dy)/(dx)+P(x)y = Q(x)- 通解公式：y = e^-∫ P(x)dx(∫ Q(x)e^∫ P(x)dxdx + C)二、二阶常系数线性微分方程。
1. 齐次方程。
- 方程形式：y''+py'+qy = 0（其中p,q为常数）- 特征方程：r^2+pr + q=0- 当特征方程有两个不同实根r_1,r_2时，通解为y = C_1e^r_1x+C_2e^r_2x；- 当特征方程有重根r时，通解为y=(C_1+C_2x)e^rx；- 当特征方程有一对共轭复根r_1,2=α±β i时，通解为y = e^α x(C_1cosβ x + C_2sinβ x)。
2. 非齐次方程。
- 方程形式：y''+py'+qy = f(x)- 通解结构：y = y_h+y_p，其中y_h是对应的齐次方程的通解，y_p是一个特解。
- 当f(x)=P_m(x)e^λ x（P_m(x)是m次多项式）时，特解y_p的形式：- 若λ不是特征方程的根，则y_p=Q_m(x)e^λ x（Q_m(x)是m次待定多项式）；- 若λ是特征方程的单根，则y_p=xQ_m(x)e^λ x；- 若λ是特征方程的重根，则y_p=x^2Q_m(x)e^λ x。
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●凡表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程，叫做微分方程。
●未知函数是一元函数的，叫做常微分方程。
未知函数是多元函数的，叫做偏微分方程。
●微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数，叫做微分方程的阶。
●在研究某些实际问题时，首先要建立微分方程，然后找出满足微分方程的函数(解微分方程)，就是说，找出这样的函数，把这函数代入微分方程能使该方程成为恒等式。
这个函数就叫该微分方程的解。
●如果微分方程的解中含有任意常数，且任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解叫做微分方程的通解。
●设微分方程中的未知函数为y=y(x),如果微分方程是一阶的，通常用来确定任意常数的条件是x=x0时，y=y0,或写成y|x=x0=y0,其中x0，y0都是给定的值；如果微分方程是二阶的，通常用来确定任意常数的条件是：x=x0时，y=y0,y′=y0′,或写成y|x=x0=y0,y′|x=x0=y0′，其中x0，y0和y0′都是给定的值，上述这种条件叫做初始条件。
●确定了通解中的任意常数以后，就得到微分方程的特解。
●求微分方程y′=f(x,y)满足初始条件y|x=x0=y0的特解这样一个问题，叫做一阶微分方程的初值问题，记作{y′=f(x,y);y|x=x0=y0}●可分离变量方程。
一阶可分离变量方程：dy/dx=f(x)/g(y),可分离变量为：∫g(y)dy=∫f(x)dx,设g(y)、f(x)的原函数分别为G(y)、F(x),则可解出方程的通解：G(y)=F(x)+C。
●例：求微分方程dy/dx=2xy的通解。
解：方程是可分离变量的，分离变量后得dy/y=2xdx,两端积分∫dy/y=∫2xdx,得ln|y|=x2+C1,从而y=±e C1e x2。
因±e C1仍是任意常数，把它记作C，便得方程的通解y=Ce x2。
●齐次方程。
如果一阶微分方程dy/dx=f(x,y)中的函数f(x,y)可写成y/x的函数，即f(x,y)=φ(y/x),则称这方程为齐次方程。
●例：解方程y2+x2dy/dx=xydy/dx。
解：原方程可写成dy/dx=y2/(xy-x2)=(y/x)2/(y/x-1),因此是齐次方程。
令y/x=u,则：y=ux,dy/dx=u+xdu/dx,于是原方程变为u+xdu/dx=u2/(u-1),即xdu/dx=u/(u-1)。
分离变量得(1-1/u)du=dx/x。
两端积分得u-ln|u|+C=ln|x|,或写为ln|xu|=u+C,以y/x代入上式中的u，便得到所给方程的通解为ln|y|=y/x+C。
●一阶线性微分方程。
方程dy/dx+P(x)y=Q(x)叫做一阶线性微分方程，因为它对于未知函数y 及其导数是一次方程。
如果Q(x)≡0，则方程称为齐次的；如果Q(x)不恒等于零，则方程称为非齐次的。
●齐次线性方程的通解。
dy/dx+P(x)y=0,分离变量后得dy/y=-P(x)dx,两端积分，得ln|y|=-∫P(x)dx+C1,或y=Ce-∫P(x)dx,(C=±e c1),这是对应的齐次线性方程的通解。
●非齐次线性方程的通解。
现在我们使用所谓常数变易法来求非齐次线性dy/dx+P(x)y=Q(x)的通解。
这方法是把齐次线性方程的通解中的C换成x的未知函数u(x),即作变换y=ue-∫P(x)dx,于是dy/dx=u′e-∫P(x)dx-uP(x)e-∫P(x)dx,将上两式代入原式得：u′e-∫P(x)dx-uP(x)e-∫P(x)dx+P(x)ue-∫P(x)dx=Q(x),即u′e-∫P(x)dx=Q(x),u′=Q(x)e∫P(x)dx。
两端积分得：u=∫Q(x)e∫P(x)dx dx+C。
把上式代入，便得非齐次线性方程的通解：y=e-∫P(x)dx(∫Q(x)e∫P(x)dx dx+C)。
将y=e-∫P(x)dx(∫Q(x)e∫P(x)dx dx+C)改写成两项之和y=Ce-∫P(x)dx+e-∫P(x)dx∫Q(x)e∫P(x)dx dx。
上式右端第一项是对应的齐次线性方程的通解，第二项是非齐次线性方程的一个特解(在通解中取C=0便得到这个特解)。
由此可知，一阶非齐次线性方程的通解等于对应的齐次方程的通解与非齐次方程的一个特解之和。
●全微分方程。
一个一阶微分方程写成P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0形成后，如果它的左端恰好是某一个函数u=u(x,y)的全微分：du(x,y)=P(x,y)dx+Q(x,y)dy,那么方程就叫做全微分方程。
这里∂u/∂x=P(x,y),∂u/∂y=Q(x,y),而方程就是du(x,y)=0。
●如果y=φ(x)是方程P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0的解，那么这解满足方程du(x,y)=0,故有du[x,φ(x)]≡0,因此u[x,φ(x)]=c。
这表示方程的解y=φ(x)是由方程u(x,y)=c所确定的隐函数。
●由格林公式的讨论可知，当P(x,y),Q(x,y)在单连通域G内具有一阶连续偏导数时，要使方程P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0是全微分方程，其充要条件是∂P/∂y=∂Q/∂x在区域G内恒成立，且当此条件满足时，全微分方程的通解为u(x,y)≡⎰x x0P(x,y)dx+⎰y y0Q(x0,y)dx=C,其中x0,y0是在区域G内适当选定的点M0(x0,y0)的坐标。
●例：求解(5x4+3xy2-y3)dx+(3x2y-3xy2+y2)dy=0。
解：这里∂P/∂y=6x-3y2=∂Q/∂x,所以这是全微分方程。
可取x0=0,y0=0,有u(x,y)=⎰x0 (5x4+3xy2-y3)dx+⎰y0y2dy=x5+3/2x2y2-xy3+1/3y3。
于是，方程的通解为：x5+3/2x2y2-xy3+1/3y3=C。
●当条件∂P/∂y≠∂Q/∂x，方程就不是全微分方程。
这时如果有一个适当的函数μ=μ(x,y)(μ(x,y)≠0),使方程在乘上μ(x,y)后所得的方程μPdx+μQdy=0是全微分方程，则函数μ(x,y)叫做方程的积分因子。
●积分因子的求法，一般说来，不是一件容易的事；不过在比较简单的情形，可以凭观察得到。
例：方程ydx-xdy=0不是全微分方程。
但是由于d(x/y)=(ydx-xdy)/y2,可知1/y2是一个积分因子。
不难验证，1/(xy)和1/x2也都是积分因子，乘上其中任何一个并积分，便能得到所求方程的通解x/y=C。
●对于有些高阶微分方程，我们可以通过代换将它化成较低阶的方程来求解。
以二阶微分方程y″=f(x,y,y′)而论，如果能设法作代换把它从二阶降至一阶，那么就有可能应用一阶相应的方法来求出它的解了。
●y(n)=f(x)型的微分方程。
微分方程的右端仅含有自变量x。
容易看出，只要把y(n-1)作为新的未知函数，那么y(n)=f(x)就是新未知函数的一阶微分方程。
两边积分，就得到一个n-1阶的微分方程y(n-1)=∫f(x)dx+C1,同理可得y(n-2)=∫[∫f(x)dx+C1]dx+C2,依此继续进行，接连积分n次，便得方程的含有n个任意常数的通解。
●例：求微分方程y′′′=e2x-cosx的通解。
解：对所给方程接连积分三次，得：y″=1/2e2x-sinx+C,y′=1/4e2x+cosx+Cx+C2,y=1/8e2x+sinx+C1x2+C2x+C3(C1=C/2)。
这就是所求的通解。
●y″=f(x,y′)型的微分方程。
方程的右端不显含未知函数y，如果我们设y′=p，那么y″=dp/dx=p′,而方程就成为p′=f(x,p)。
这是一个关于变量x、p的一阶微分方程。
设其通解为p=φ(x,C1)。
但是p=dy/dx,因此又得到一个一阶微分方程dy/dx=φ(x,C1)。
对它进行积分，便得方程的通解为y=∫φ(x,C1)dx+C2。
●例：求微分方程(1+x2)y″=2xy′满足初始条件y|x=0=1,y′|x=0=3的特解。
解：所给方程是y″=f(x,y′)型的。
设y′=p,代入方程并分离变量后，有dp/p=2x/(1+x2)dx,两端积分得ln|p|=ln(1+x2)+C,即p=y′=C1(1+x2)(C1=±e C)。
由条件y′|x=0=3，得C1=3，所以y′=3(1+x2)。
两端再积分得y=x3+3x+C2。
又由条件y|x=0=1，得C2=1，于是所求的特解为y=x3+3x+1。
●y″=f(y,y′)型的微分方程。
方程中不明显地含自变量x。
为了求出它的解。
我们令y′=p,并利用复合函数的求导法则把y″化为对y的导数，即：y″=dp/dx=dp/dy·dy/dx=pdp/dy,这样，方程就成为pdp/dy=f(y,p),这是一个关于变量y,p的一阶微分方程。
设它的通解为：y′=p=φ(y,C1),分离变量并积分，便得方程的通解为∫dy/φ(y,C1)=x+C2。
●例：求微分方程yy″-y′2=0的通解。
解：方程不明显地含自变量x，设y′=p,则y″=pdp/dy代入方程，得ypdp/dy-p2=0。
在y≠0，p≠0时，约去p并分离变量，得dp/p=dy/y。
两端积分得：ln|p|=ln|y|+C,即dp/p=dy/y。
两端积分得：ln|p|=ln|y|+C,即p=C1y,或y′=C1y(C1=±e C)。
再分离变量并两端积分，便得方程的通解为：ln|y|=C1x+C2′,或y=C2e C1x(C2=±e C2′)。
●二阶线性微分方程举例。
例：设有一个弹簧，它的上端固定，下端挂一个质量为m的物体，当物体处于静止状态时，作用在物体上的重力与弹性力大小相等、方向相反，这个位置就是物体的平衡位置，取x 轴铅直向下，并取物体的平衡位置为坐标原点。
如果使物体具有一个初始速度v0≠0，那么物体便离开平衡位置，并在平衡位置附近作上下振动，在振动过程中，物体的位置x随时间t变化，即x是t的函数：x=x(t),要确定物体的振动规律，就要求出函数x=x(t)。
由力学知道，弹簧使物体回到平衡位置的弹性恢复力f(它不包括在平衡位置时和重力mg相平衡的那一部分弹性力)和物体离开平衡位置的位移x成正比：f=-cx，其中c为弹簧的弹性系数，负号表示弹性恢复力的方向和物体位移的方向相反。
另外，物体在运动过程中还受到阻尼介质(如空气、油等)的阻力的作用，使得振动逐渐趋向停止。
由实验知道，阻力R的方向总与运动方向相反，当振动不大时，其大小与物体运动的速度成正比，设比例系数为μ，则有R=-μdx/dt。
根据上述关于物体受力情况的分析，由牛顿第二定律得md2x/dt2=-cx-μdx/dt。
移项并记2n=μ/m,k2=c/m,则上式化为d2x/dt2+2ndx/dt+k2x=0。