8.3简单几何体的表面积与体积(教师版)-2021-2022学年人教A版(2019)高一数学必修第二

简单几何体的表面积与体积一、棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和．棱柱、棱锥、棱台的表面积就是围成它们各个面的面积的和．求解正棱台的表面积时注意棱台的四个基本量：底面边长、高、斜高、侧棱，并注意两个直角梯形的应用(1)高、侧棱、上、下底面多边形的中心与顶点连线所成的直角梯形．(2)高、斜高、上、下底面边心距所成的直角梯形．二、棱柱、棱锥、棱台的体积棱柱：V棱柱＝ShS为棱柱的底面积，h为棱柱的高棱锥：V棱锥＝1 3ShS为棱锥的底面积，h为棱锥的高棱台：V棱台＝13(S′＋S′S＋S)hS′，S分别为棱台的上、下底面面积，h为棱台的高求解正棱台的体积时，注意棱台的五个基本量(上、下底面边长、高、斜高、侧棱)．常用两种解题思路：一是把基本量转化到直角梯形中解决问题；二是把正棱台还原成正棱锥．利用正棱锥的有关知识来解决问题．三、简单组合体的表面积与体积求组合体的表面积和体积，首先应弄清它的组成，其表面有哪些底面和侧面，各个面应该怎样求，然后再根据公式求出各面的面积，最后再相加或相减．求体积时也要先弄清组成，求出各简单几何体的体积，然后再相加或相减．1.表面积公式：底面积：S底＝2πr22.旋转体侧面积：S侧＝2πrl圆柱：表面积：S＝2πr(r＋l)；圆锥：底面积：S底＝πr2；侧面积：S侧＝πrl；表面积：S＝πr(r＋l)圆台：上底面面积：S上底＝πr′2；下底面面积：S下底＝πr2；侧面积：S侧＝π(r′l＋rl)；表面积：S＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展开为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和．四、圆柱、圆锥、圆台的体积圆柱：V圆柱＝Sh＝πr2h圆柱底面圆的半径为r，面积为S，高为h圆锥：V圆锥＝13Sh＝13πr2h圆锥底面圆的半径为r，面积为S，高为h圆台：V圆台＝13(S＋SS′＋S′)h＝13π(r2＋rr′＋r′2)h圆台上底面圆的半径为r′，面积为S′，下底面圆的半径为r，面积为S，高为h 五、球的表面积与体积1．球的表面积公式S＝4πR2(R为球的半径)．2．球的体积公式V＝43πR3.计算球的表面积与体积，关键是确定球心与半径．考点一 多面体表面积【例1】(2020·湖南怀化市)已知正四棱柱(即底面是正方形的直棱柱)的底面边长为3cm ，侧面的对角线长是35cm ，则这个正四棱柱的表面积为( )A ．290cmB ．2365cmC ．272cmD ．254cm【答案】A 【解析】由题意侧棱长为22(35)36-=．所以表面积为：224362390()S cm =⨯⨯+⨯=．故选：A. 【练1】(2020·全国高一课时练习)长方体的高为2，底面积等于12，过不相邻两侧棱的截面(对角面)的面积为10，则此长方体的侧面积为( )A ．12B ．24C ．28D ．32 【答案】C【解析】设长方体底面矩形的长与宽分别为,a b ，则12ab =. 又由题意知22210a b +⨯=，解得4,3a b ==或3,4a b ==.故长方体的侧面积为()243228⨯+⨯=.故选：C.考点二 多面体台体积【例2】(2020·江苏南京市)底面边长为2，高为1的正三棱柱的体积是( )A ．3B ．1C ．32D ．13【答案】A【解析】底面边长为2，高为1的正三棱柱的体积是23(2)134⨯⨯=故选：A 【练2】(2021·扶风县法门高中)正方体的全面积为18cm 2，则它的体积是_________ 3cm【答案】33【解析】设该正方体的棱长为a cm ，由题意可得，2618a =，解得3a =， 所以该正方体的体积为333V a ==3cm . 故答案为：33考点三 旋转体的表面积【例3】(2020·山东德州市·高一期末)若圆锥的轴截面是顶角为120的等腰三角形，且圆锥的母线长为2，则该圆锥的侧面积为( )A ．3πB ．2πC ．23πD ．43π【答案】C【解析】如图圆锥的轴截面是顶角为120，即60APO ∠=，2AP =，90POA ∠=, 所以3AO =，所以圆锥的侧面积为23AO PA ππ⨯⨯=.故选：C.【练3】(2021·浙江丽水市)经过圆锥的轴的截面是面积为2的等腰直角三角形，则圆锥的侧面积是( )A ．42πB ．4πC ．22πD ．2π 【答案】C【解析】设圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，则2l r =， 由题可知()21222r ⨯=， ∴2,2r l ==，侧面积为22rl ππ=，故选：C.考点四 旋转体的体积【例4】(2021·宁夏银川市·贺兰县景博中学)已知圆锥的母线长为5，底面周长为6π，则它的体积为( )A ．10πB ．12πC ．15πD ．36π【答案】B【解析】设圆锥的底面半径为r ，高为h ，因为底面周长为6π，所以26r ππ=，解得3r =，又因为母线长为5，所以h =4，所以圆锥的体积是21123V r h ππ==故选：B 【练4】(2020·山东菏泽市·高一期末)若圆锥的底面半径为3cm ，侧面积为215cm π，则该圆锥的体积为( )A ．4π3cmB ．9π3cmC ．12π3cmD ．36π3cm【答案】C【解析】设圆锥母线长为l ，则侧面积为123152S l r l πππ=⋅==，故5l =. 故圆锥的高224h l r =-=，圆锥体积为21123V r h ππ==3cm .故选：C. 考点五 球【例5】(2020·浙江高一期末)若一个球的直径为2，则此球的表面积为( )A ．2πB ．16πC ．8πD ．4π【答案】D【解析】因为球的直径为2，即球的半径为1，所以球的表面积为2414ππ⨯=，故选：D.【练5】(2020·江苏无锡市第六高级中学高一期中)正三棱柱有一个半径为3cm 的内切球，则此棱柱的体积是( ).A ．393cmB ．354cmC ．327cmD ．3183cm【答案】B 【解析】∵正三棱柱有一个半径为3cm 的内切球，则正三棱柱的高为23cm ， 底面正三角形的内切圆的半径为3cm ，设底面正三角形的边长为a cm,则31323a ⨯=，解得6a =cm ， ∴正三棱柱的底面面积为13669322⨯⨯⨯=cm 2， 故此正三棱柱的体积V ＝932354⨯=cm 3．故选：B ．考点六 组合体的体积表面积【例6】(2020·全国高一课时练习)如图，一个无盖的器皿是由棱长为3的正方体木料从顶部挖掉一个直径为2的半球而成(半球的底面圆在正方体的上底面，球心为上底面的中心)，则该器皿的表面积S 为( )A ．54B ．542π+C ．54π+D ．543π+【答案】C 【解析】器皿的表面积是棱长为3的正方体的表面积减去半径为1的圆的面积，再加上半径为1的半球的表面积，即器皿的表面积()()221633141542542S πππππ=⨯⨯-⨯+⨯⨯=-+=+． 故选：C ．【练6】(2020·新疆巴音郭楞蒙古自治州·高一期末)如图，直三棱柱，高为6，底边三角形的边长分别为3、4、5，以上下底面的内切圆为底面，挖去一个圆柱，求剩余部分几何体的体积.【答案】366π-【解析】因为222345+=，所以底面是直角三角形， 所以上、下底面内切圆半径34512r +-==， 所以剩余部分几何体的体积21346163662V ππ=⨯⨯⨯⨯=-⨯-， 所以剩余部分几何体的体积为366π-.课后练习1.（2021高一下·越秀期末）卢浮宫玻璃金字塔是著名美籍华裔建筑设计师贝聿铭的重要作品之一，主玻璃金字塔是一个底边长为35m，高为21m的正四棱锥，则该主玻璃金字塔所占空间的大小是 m3.【答案】8.575【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积【解析】【解答】V=13Sℎ=13×352×21=8575(cm3)=8.575(m3)．故答案为：8.575．【分析】利用正四棱锥的几何性质以及锥体的体积公式求解即可.2.（2021高一下·唐山期末）已知圆锥底面半径为1，母线长为3，该圆锥内接正方体的体积为．【答案】16√227【考点】棱锥的结构特征，棱柱、棱锥、棱台的体积【解析】【解答】解：作出该几何体的轴截面，如图所示，因为圆锥的底面半径为1，母线长为3，所以圆锥的高为ℎ=2√2，即OE=1,SE=3,SO=2√2，设正方体的边长为a，由轴截面的性质得ℎ−aℎ=√22aOE，即2√2−a2√2=√2a2，解得a=2√23,所以圆锥内接正方体的体积为V=a3=16√227故答案为：16√227【分析】作出圆锥过正方体AC1的对角面AA1C1 C的轴截面，利用相似三角形求出圆锥的内接正方体的棱长，即可计算正方体的体积.3.（2021·安阳模拟）如图，点C在以AB为直径的圆O上，|AC|=|BC|=5√2，若以直线AB为轴旋转一周，左半圆旋转所形成的几何体的体积为V1，△ABC旋转所形成的几何体的体积为V2，则V1+V2= .【答案】250π【考点】组合几何体的面积、体积问题，旋转体（圆柱、圆锥、圆台），球的体积和表面积【解析】左半圆旋转一周为球体，因为|AC|=|BC|=5√2，AB为直径，所以∠ACB=90°，所以AB=√AC2+BC2=10，即半径r=5，所以V1=4πr33=500π3，△ABC以直线AB为轴旋转所形成的几何体是两个接在一起的圆锥，高ℎ=OB=5，R=OC=5，所以V2=2×13πR2ℎ=2π×52×53=250π3，所以V1+V2=500π3+250π3=250π.故答案为：250π.【分析】左半圆旋转一周为球体，△ABC以直线AB为轴旋转所形成的几何体是两个接在一起的圆锥，由球体体积公式和圆锥体积公式计算可得结果。

4.（2021·浙江模拟）已知圆柱的体积为15π2（单位：cm3），且它的侧面展开图是正方形，则这个圆柱的底面半径（单位：cm）是．3【答案】√152【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积【解析】设圆柱底面半径为r，高为h，由于该圆柱的侧面展开图是正方形，所以2πr=ℎ，又圆柱的体积为15π2，所以πr2ℎ=15π2，即πr2⋅2πr=15π23.所以r=√1523.故答案为：√152【分析】利用圆柱的侧面展开后是一个正方形，即可求出圆柱的底面周长和圆柱的高相等；再根据圆柱的体积公式，代入数值计算出结果即可。