2020-2021学年浙江省宁波市高二下期末模拟联考数学试卷有答案-精品试题
最新浙江省宁波市九校联考高二下学期期末模拟试题数学一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的.1.设集合2{|13}{|320}A x x B x x x =-≤≤=-+<,,则=)(B C A R I（ ）A.[1,1)(2,3)-UB.]3,2[]1,1[Y -C. )2,1(D.R 2.已知i 是虚数单位，则ii-+11= （ ） A.1 B.1- C. i - D.i3.已知曲线x x f ln )(=在点))2(,2(f 处的切线与直线01=++y ax 垂直，则实数a 的值为 ( )A.21 B.2- C. 2 D.21-4.下面四个条件中，使a b >成立的必要而不充分的条件是 （ ） A.1a b -> B.1a b +> C.a b > D.33a b >5.已知函数1ln 1)(--=x x x f ，则)(x f y =的图像大致为 （ ）A. B. C. D. 6.从1,2,3,,9L 这九个整数中同时取四个不同的数，其和为偶数，则不同取法共有 （ ）A.62B.64C.65D.66 7.已知n m b n am b a a b ,,,,111则--==<<的大小关系为 （ ）A. n m <B. n m =C. n m >D. n m ,的大小关系不确定，与b a ,的取值有关 8.已知下列各式：①1)1|(|2+=+x x f ；②x x f =+)11(2；③||)2(2x x x f =-； ④xx x f -+=33|)(|.其中存在函数)(x f 对任意的R x ∈都成立的是 （ ） A.①④ B.③④ C.①② D.①③9.设函数)0(log )(2>++=a b ax x x f ,若存在实数b ,使得对任意的[])0(2,>+∈t t t x 都有a x f +≤1|)(|，则t 的最小值是 （ ） A.2 B.1 C.43 D.32 10.定义在R 上的可导函数)(x f 满足32)()(x x f x f =--,当(]0,∞-∈x 时,3)(2x x f <'实数a 满足1332)()1(23+-+-≥--a a a a f a f ,则a 的取值范围是 （ ）A.⎪⎭⎫⎢⎣⎡∞+，23B.⎥⎦⎤ ⎝⎛∞-23,C. ⎪⎭⎫⎢⎣⎡∞+，21D.⎥⎦⎤⎝⎛∞-21,二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分. 11.若,3log ,2log n m a a ==则=+n m a 2 ,用n m ,表示6log 4为 . 12.已知nxx )212(-的展开式中二项式系数和为64，则=n ,该展开式中常数项 为 .13.已知函数10,2,122,4)(≠>⎩⎨⎧>++≤+-=a a x a a x x x f x 且其中.若21=a 时方程b x f =)(有两个不同的实根，则实数b 的取值范围是 ；若)(x f 的值域为[)∞+，2，则实数a 的 取值范围是 . 14.函数xxe e x x xf --+-=2)(3的奇偶性为 ,在R 上的增减性为 (填 “单调递增”、“单调递减”或“有增有减”）.15.小明和爸爸妈妈、爷爷奶奶一同参加《中国诗词大会》的现场录制，5人坐成一排.若小 明的父母至少有一人与小明相邻，则不同的坐法总数为 . 16.已知ax a x x a x x x f 22|1||1|)(-+--+-+=）（0>x 的最小值为23，则实数=a . 17.已知函数）R b a b ax x x f ∈++=,()(2在区间(]1,0上有零点0x ，则)31914(00-+x x ab 的最大值是 .三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18.已知*∈N n ，(1)(2)(),n S n n n n =+++L 213(21)nn T n =⨯⨯⨯⨯-L .(Ⅰ)求 321321,,,,,T T T S S S ；(Ⅱ)猜想n S 与n T 的关系，并用数学归纳法证明.19.(Ⅰ)已知1021001210(21)(1)(1(1)x a a x a x a x -=+-+-++-L ），其中 ,1,2,10i a R i ∈=L .（i ）求01210a a a a ++++L ；（ii ）求7a .(Ⅱ)2017年5月,北京召开“一带一路”国际合作高峰论坛.组委会将甲、乙、丙、 丁、戊五名志愿者分配到翻译、导游、礼仪、司机四个不同的岗位，每个岗位至 少有一人参加，且五人均能胜任这四个岗位. （i ）若每人不准兼职，则不同的分配方案有几种？（ii)若甲乙被抽调去别的地方，剩下三人要求每人必兼两职，则不同的分配方案 有几种？20.已知R a ∈,函数)(x f 满足.12)2(22-+-=a ax x f x(Ⅰ)求)(x f 的解析式,并写出)(x f 的定义域； (Ⅱ)若)(x f 在]2,2[2212+--a aa 上的值域为[]0,1-，求实数a 的取值范围.21.已知函数()1e1xf x x-=-+. (Ⅰ)证明: 当[]0,3x ∈时,xe x 911+≥-.(Ⅱ)证明: 当[]2,3x ∈时, 0)(72<<-x f .22.已知1-<a ，函数)(|1|)(33R x ax x x x f ∈++-=. (Ⅰ)求函数)(x f 的最小值；(Ⅱ)已知存在实数),1(,≤<n m n m 对任意),,(0n m t ∈总存在两个不同的),,1(,21+∞∈t t 使得)()(2)(210t f t f t f ==-，求证：274≤-m n .九校联考高二数学参考答案一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） BDCBA DCADD二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分. 11.12 ，2m n m + 12.6，60 13.）（49,2 ,),1()1,21[+∞⋃ 14.奇，单调递增 15.84 16.45 17. 14410)31914()(,170002≥-+=--=x x x g ax x b 题：20000()()()ab g x a x ax g x ⋅=--[])()(000x g a x a x --≤343200000()1()44439x g x x x x ⋅≤=-+求导知其在11220,,,,,13333⎛⎤⎡⎤⎡⎤ ⎥⎢⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦⎣⎦上分别递增、递减、递增，故1441)}1(),31(max{=⋅⋅≤g ab g ab 其.)21,21,1(0时等号成立-=-==b a x方法2：三、解答题：本大题共5小题，共74分 18.（本小题满分14分）解：(Ⅰ)120,12,2332211======T S T S T S ； ……（3分） (Ⅱ)猜想：n n S T =（*n N ∈） ……（4分） 证明：(1)当1n =时，11S T =； ……（6分） （2）假设当()*1n k k k N=≥∈且时，kk ST =，即(1)(2)()213(21)kk k k k k +++=⨯⨯⨯-L L ，……（8分） 则当1n k =+时111)(12)(11)(1)(11)k S k k k k k k k k +=++++++-+++++L （ =(2)(3)(2)(21)(22)k k k k k ++++L=213(21)(21)(22)1k k k k k ⨯⨯⨯-⨯+++L =11213(21)(21)k k k k T ++⨯⨯⨯-+=L . ……（13分）即1+=k n 时也成立,由（1）（2）可知*n N ∈，n n S T =成立 ……（14分）19.（本小题满分15分）解：(Ⅰ)（i ）令,2=x 则10012103(59049)a a a a ++++=L 即.……（3分) (ii)令10210012101,(12),x y y a a y a y a y -=+=+++L 则得77710215360.a C == …… （7分）200002002222200000011()493113=92()11313131(1)(1)942362362144ax b x x ab x ax b x ax b x x x x x +=-+-+⎡⎤≤=-=-≤⎢⎥⎣⎦g 可得则（-）（-）(Ⅱ)（i ）.2404425=⋅A C……（11分）(ii) ()114)))(((233233424324=-+-C C C CC ……（15分）20.（本小题满分15分）解：(Ⅰ)令20,xt =>则,log 2t x =则,1log 2)(log )(2222-+-=a t a t t f即.1log 2)(log )(2222-+-=a x a x x f ……（5分）定义域为()+∞,0 ……（7分） (Ⅱ))(x f 在]2,2[2212+--a aa 上的值域为[]0,1-等价于12)(22-+-=a ax x x g在区间]22,1[2+--a a a 上的值域为].0,1[- ……（9分）101+1y x ay x a x a =-⇒==⇒=-=令或由图可得2221a a a a ≤-+≤+ ……（13分）12a a ≤≤≤≤或 ……（15分）21.（本小题满分15分） 解:(Ⅰ)证明: 要证1e19xx-≥+, 也即证e 19xx ≤+. ……（2分） 令()e 91xF x x =--, 则()'e 9xF x =-. 令()'0F x >, 则2ln3x >. 因此, 当02ln3x ≤<时, 有()'0F x <, 故()F x 在[]0,2ln3上单调递减; 当2ln33x <≤时, 有()'0F x >, 故()F x 在[]2ln3,3上单调递增. ……（5分）所以, ()F x 在[]0,3上的最大值为()(){}max 0,3F F .又()00F =,()33e 280F =-<. 故()[]0, 0,3F x x ≤∈成立, 即[]e 19, 0,3xx x ≤+∈成立. 原命题得证. ……（7分） (Ⅱ) 证明: 由 (I) 得: 当[]2,3x ∈时, ()111e1191xf x x x x -=-≥-+++令()11191t x x x=-++, 则()()()()()()()()()()()[]22222222222199119'19911191917280, 2,3.191x x t x x x x x x x x x x x --+-+=-+⋅++=-=++++-=≥∈++（9分）所以, ()t x 在[]2,3上单调递增，即()()[]161622, 2,357567t x t x ≥=->-=-∈所以()f x 72->得证. ……（12分） 下证0)(<x f . 即证1+>x e x令),1()(+-=x e x h x则01)(>-='xe x h ，所以)(x h 在[]32，上单调递增, 所以，03)1()(2>-≥+-=e x e x h x，得证. ……（15分）另证：要证7211911->+-+x x ，即证011892>+-x x ， 令8)19(1189)(22--=+-=x x x x m 在[]32，上递增，所以01)2()(>=≥m x m 得证.22.（本小题满分15分）解：（1）⎩⎨⎧≥-+<+=++-=1,121,1|1|)(333x ax x x ax ax x x x f记)1(12)(),1(1)(321≥-+=<+=x ax x x f x ax x f则a x x f +=2'26)( , 因为 1-<a 则由6,0)('2ax x f -±==得 ……（2分） （i ）时，即1616-<≤-≤-a a，上递增，在上递减，在),1[)()1,()(21+∞-∞x f x f 所以1)1()]([min +==a f x f ……（4分） （ii ）时，即616-<>-a a,上递减，在)1,()(1-∞x f 递增，上递减，在在)6[)6,1[)(2∞+--a a x f , 所以1632)6()(2min --=-=aa a f x f综上，⎪⎩⎪⎨⎧-<≤-+-<--=16,16,1632)(mina a a aa x f……（6分） （2）不妨设,21t t <则由（1）知，若,16-<≤-a 则)(2x f 在),1(+∞上递增， 不满足题意，所以6-<a . ……（7分） 所以),6(),6,1(21+∞-∈-∈a t a t ，且 1632)6()(2min --=-=a a a f x f （i ）>-+21a 1632--a a ，即⎩⎨⎧<<--<1)1(2)(22721x f x f a 时，由即 ⎩⎨⎧<+<-+1121x a ax ，解得121<<+x a ，即)1,21(0a t +∈ 所以)1,21(),(a n m +⊆，所以1,21≤+≥n a m ，所以2742<-≤-a m n ……（11分） （ii ）≤-+21a 1632--a a ，即⎪⎩⎪⎨⎧->-<--<≤-)6(2)()1(2)(62272121a f x f f x f a 时，由 即⎪⎩⎪⎨⎧-->-++<-+163221121aa ax a ax ，解得63221a x a -<<+， 所以)632,21(),(a a n m -+⊆，所以632,21a n a m -≤+≥ 所以aa m n 21632---≤- 令]23,1(6∈=-u a ，则23113221632u u a a +-=--- 令231132)(u u u +-=ϕ，则0)11(32)(3'>-=u u ϕ 所以 231132)(u u u +-=ϕ在]23,1(∈u 递增， 所以 274)23()(=≤ϕϕu ，所以 274)(≤≤-u m n ϕ. ……（15分）。
宁波市2020年高二第二学期数学期末复习检测试题含解析
宁波市2020年高二第二学期数学期末复习检测试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．数列{}n a 满足()11nn n a a n ++=-⋅，则数列{}n a 的前20项的和为( )A ．100B ．-100C ．-110D ．110【答案】B 【解析】 【分析】数列{a n }满足1(1)nn n a a n ++=-⋅，可得a 2k ﹣1+a 2k ＝﹣（2k ﹣1）．即可得出．【详解】∵数列{a n }满足1(1)nn n a a n ++=-⋅，∴a 2k ﹣1+a 2k ＝﹣（2k ﹣1）．则数列{a n }的前20项的和＝﹣（1+3+……+19）()101192⨯+=-=-1．故选：B ． 【点睛】本题考查了数列递推关系、数列分组求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．2．设等比数列{}n a 满足1212a a +=，136a a -=，则12n a a a ⋅⋯的最大值为( ) A ．32 B ．128C ．64D ．256【答案】C 【解析】 【分析】先求出通项公式公式，再根据指数幂的运算性质和等差数列的求和公式，可得()72121()2n n n a a a -⋅⋯=，令()()172f n n n =-，根据复合函数的单调性即可求出． 【详解】由1212a a +=，136a a -=，可得11122116a a q a a q +=⎧-=⎨⎩，解得18a =，12q =，14118()()22n n n a --∴=⨯=，()()732101421211()()22n n n n a a a ----+++⋯-∴⋅⋯==，令()()()2211174977()22228f n n n n n n =-=-=--， 当3n =或4n =时，()f n 有最小值，即()6min f n =-，12n a a a ∴⋅⋯的最大值为61()642-=，故选C ． 【点睛】本题考查了等比数列的通项公式等差数列的求和公式，指数幂的运算性质和复合函数的单调性，属于中档题3．已知a ＝253()5，b ＝352()5，c ＝252()5，则( )A ．a<b<cB ．c<b<aC ．c<a<bD ．b<c<a【答案】D 【解析】 【分析】分别考查指数函数2()5xy =在R 上单调性和幂函数25y x =在（0，+∞）上单调性即可得出．【详解】∵y ＝2()5x在R 上为减函数，35 >25，∴b<c. 又∵y ＝25x 在(0，＋∞)上为增函数，35 >25，∴a>c ，∴b<c<a. 故选：D 【点睛】熟练掌握指数函数和幂函数的单调性是解题的关键．4．我国古代数学名著《九章算术》记载：“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无丈.刍，草也；甍，屋盖也.”翻译为：“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱.刍甍字面意思为茅草屋顶.”如图，为一刍甍的三视图，其中正视图为等腰梯形，侧视图为等腰三角形.则它的体积为( )A ．1603B ．160C ．2563D ．64【答案】A 【解析】 【分析】 【详解】分析：由三视图可知该刍甍是一个组合体，它由成一个直三棱柱和两个全等的四棱锥组成，根据三视图中的数据可得其体积.详解：由三视图可知该刍甍是一个组合体，它由成一个直三棱柱和两个全等的四棱锥组成，根据三视图中的数据，求出棱锥与棱柱的体积相加即可，11444+2244=23⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯6416032+=33，故选A. 点睛：本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状.5．若复数12z z 、满足12z z =，则12z z 、在复数平面上对应的点12Z Z 、( ) A ．关于x 轴对称 B ．关于y 轴对称 C ．关于原点对称 D ．关于直线y x =对称【答案】A 【解析】 【分析】由题意可得z 1，z 2的实部相等，虚部互为相反数，故z 1，z 2在复数平面上对应的点Z 1，Z 2的关系即可得解． 【详解】复数12z z 、满足12z z =，可得z 1，z 2的实部相等，虚部互为相反数，故z 1，z 2在复数平面上对应的点关于x 轴对称，故选A.【点睛】本题主要考查共轭复数的定义，复数与复平面内对应点间的关系，属于基础题．6．已知直三棱柱111ABC A B C -中，底面为等腰直角三角形，90BAC ∠=︒，2AB =，13AA =，点F 在1CC 上，且1113C F CC =，则异面直线11B C 与AF 所成角为（ ） A ．30 B ．45︒C ．60︒D ．120︒【答案】C 【解析】 【分析】根据题意将直三棱柱111ABC A B C -补成长方体，由11//BC B C ，然后再过点B 作直线AF 的平行线，从而可得异面直线11B C 与AF 所成角. 【详解】由条件将直三棱柱111ABC A B C -补成长方体，如图. 由条件11//BC B C ,设点E 为1DD 的中点，连接BE .则//BE AF ，所以CBE ∠（或其补角）为异面直线11B C 与AF 所成角. 在CBE △中，22BC =，22222222BE CE BD DE ==+=+=所以CBE △为等边三角形，所以60CBE ∠=︒ 故选：C【点睛】本题考查异面直线所成角，要注意补形法的应用，属于中档题.7．甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有6个红球，2个白球和2个黑球，先从甲罐中随机取出一个球放入乙罐，分别以1A ，2A ，3A 表示由甲罐取出的球是红球、白球和黑球的事件，再从乙罐中随机取出一个球，以B 表示由乙罐取出的球是红球的事件，下列结论中不正确．．．的是（ ） A ．事件B 与事件1A 不相互独立 B ．1A 、2A 、3A 是两两互斥的事件 C ．17(|)11P B A = D ．3()5P B =【答案】D【解析】分析：由题意1A ，2A ，3A 是两两互斥事件，条件概率公式求出1(|)P B A ，()()()()123P B P A B P A B P A B =++，对照选项即可求出答案.详解：由题意1A ，2A ，3A 是两两互斥事件，()()()12351213,,10210510P A P A P A =====, ()()()111177211|1112P BA P B A P A ⨯===,()23|11P B A =,()33|11P B A =,而()()()()123P B P A B P A B P A B =++()()()()()()112233|||P A P B A P A P B A P A P B A =++1713332115111011=⨯+⨯+⨯ 511=. 所以D 不正确. 故选：D.点睛：本题考查相互独立事件，解题的关键是理解题设中的各个事件，且熟练掌握相互独立事件的概率简洁公式，条件概率的求法，本题较复杂，正确理解事件的内蕴是解题的关键. 8．在（x10的展开式中，6x 的系数是（ ） A ．－27510C B ．27410CC ．－9510CD ．9410C【答案】D 【解析】试题分析：通项T r ＋1＝10rC x 10－r）rr 10rC x 10－r .令10－r ＝6，得r ＝4.∴x 6的系数为9410C 考点：二项式定理9．已知定义在R 上的函数()f x 的导函数为()f x '，若()()20f x f x '->，且()1f e =，则不等式()211x f x e-<的解集为（ ） A ．(),1-∞ B ．(),e -∞C ．()1,+∞D ．(),e +∞【答案】C 【解析】 【分析】构造函数()()2x f x g x e =，利用导数判断出函数()y g x =的单调性，将不等式()211x f x e-<变形为()()1g x g <，结合函数()y g x =的单调性可解出该不等式.【详解】 构造函数()()2xf xg x e=，则()()()220x f x f x g x e '-'=<， 所以，函数()y g x =在R 上单调递减，由()211x f x e-<，可得()()2211x f x f e e e <=，即()()1g x g <，解得1x >， 因此， 不等式()211x f x e-<的解集为()1,+∞，故选C. 【点睛】本题考查利用导数求解函数不等式，解决这类不等式的基本步骤如下： （1）根据导数不等式的结构构造新函数()y g x =；（2）利用导数研究函数()y g x =的单调性，必要时要考查该函数的奇偶性； （3）将不等式转化为()()12g x g x <的形式，结合函数的单调性进行求解. 10．已知函数()()sin 0f x x ωω=>的图象关于直线34x π=对称，且()f x 在0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π上为单调函数，下述四个结论：①满足条件的ω取值有2个 ②3,02π⎛⎫⎪⎝⎭为函数()f x 的一个对称中心 ③()f x 在,08π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增 ④()f x 在()0,π上有一个极大值点和一个极小值点 其中所有正确结论的编号是（ ） A ．①④ B ．②③C ．①②④D ．①②③【答案】D 【解析】 【分析】依照题意找出ω的限制条件，确定ω，得到函数()f x 的解析式，再根据函数图像逐一判断以下结论是否【详解】因为函数()()sin 0f x x ωω=>的图象关于直线34x π=对称，所以3+k 42ππωπ= 41()0,32k k Z ω=+>∈，又()f x 在0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π上为单调函数，24ππω∴≤，即2ω≤，所以23ω=或2ω=，即()2sin 3f x x =或()sin 2f x x =所以总有3()02f π=，故①②正确；由()2sin 3f x x =或()sin 2f x x =图像知，()f x 在,08π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，故③正确； 当(0,)x π∈时，()2sin3f x x =只有一个极大值点，不符合题意，故④不正确； 综上，所有正确结论的编号是①②③． 【点睛】本题主要考查三角函数的图像与性质，意在考查学生综合分析解决问题的能力．11．函数f x （）在区间[15]-， 上的图象如图所示，0()()xg x f t dt =⎰，则下列结论正确的是（ ）A ．在区间04（，）上，g x （）先减后增且0g x <（）B ．在区间04（，）上，g x （）先减后增且0g x >（）C ．在区间04（，）上，g x （）递减且0g x >（）D ．在区间04（，）上，g x （）递减且0g x <（） 【答案】D 【解析】 【分析】由定积分，微积分基本定理可得：0x⎰f （t ）dt 表示曲线f （t ）与t 轴以及直线t ＝0和t ＝x 所围区域面积，当x 增大时，面积增大，()0xf t dt ⎰减小，g （x ）减小，故g （x ）递减且g （x ）＜0，得解．由题意g （x ）0x=⎰f （t ）dt ，因为x ∈（0，4），所以t ∈（0，4），故f （t ）<0，故0x⎰f （t ）dt 的相反数表示曲线f （t ）与t 轴以及直线t ＝0和t ＝x 所围区域面积， 当x 增大时，面积增大，()0xf t dt ⎰减小，g （x ）减小，故g （x ）递减且g （x ）＜0， 故选：D ． 【点睛】本题考查了定积分，微积分基本定理，属中档题．12．已知{}2|230A x x x =--<，{}|B x x a =<，若A 包含于B ，则实数a 的取值范围是（ ）A ．()1,-+∞B ．[)3,+∞C ．()3,+∞D ．(],3-∞【答案】B 【解析】 【分析】解一元二次不等式求得集合A ，根据A 是B 的子集列不等式，由此求得a 的取值范围. 【详解】由()()223310x x x x --=-+<解得13x，所以()13A ,=-，由于{}|B x x a =<且A 包含于B ，所以3a ≥，故a 的取值范围是[)3,+∞. 故选：B 【点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查根据包含关系求参数的取值范围，属于基础题. 二、填空题：本题共4小题13．设()3f x x x =-，过下列点()()()()0,0,0,2,2,1,,2,0A B C D E --⎝⎭分别作曲线()f x 的切线，其中存在三条直线与曲线()y f x =相切的点是__________． 【答案】CE . 【解析】 【分析】设切点坐标为()3,t t t -，求出切线方程，将点()00,x y 代入切线方程，整理得32000230t x t x y -++=，令()3200023h t t x t x y =-++，利用导数研究函数的单调性，利用单调性求得极值，利用数形结合列不等式，将五个点逐一代入检验即可得结果. 【详解】设切点坐标为()3,t t t -，则切线方程为()()()3231y t t t x t --=--，设切线过点()00,x y ，代入切线方程方程可得()()()320031y t t t x t --=--，整理得32000230t x t x y -++=，令()3200023h t t x t x y =-++，则()()200'666h t t x t t t x =-=-，过()00,x y 能作出三条直线与曲线()y f x =相切的充要条件为：方程32000230t x t x y -++=有三个不等的实数根，即函数()3200023h t t x t x y =-++有三个不同的零点，故只需()()000h h x <，分别把()()()0,0,0,2,2,1A B C -，()323,,2,039D E ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭代入可以验证，只有,C E 符合条件，故答案为CE . 【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性、函数的极值以及函数的零点，属于中档题.对于与“三次函数”的零点个数问题，往往考虑函数的极值符号来解决,设函数的极大值为()f M ，极小值为()f m ：一个零点()0f M <或()0f m >；两个零点()0f m =或()0f M =；三个零点()()0f m f M <. 14．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，,E F 分别为线段11,AA B C 上的点，则三棱锥1D EDF -的体积为___________.【答案】16【解析】 【分析】 【详解】则11D EDF F EDD V V --=,因为1//B C 平面1EDD ，所以F 所在位置均使该三棱锥的高为1；而不论E 在1AA 上的那一个位置，1EDD S 均为12，所以111111.326D EDF F EDD V V --==⨯⨯= 【考点定位】本题考查空间几何体的体积运算方法，依据空间线面关系推证，进行等积转换是常考点.这里转换底面极为重要，由于两个动点的出现，加大了定值识别的难度.15．从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有_____________种．（用数字填写答案） 【答案】16 【解析】 【分析】首先想到所选的人中没有女生，有多少种选法，再者需要确定从6人中任选3人的选法种数，之后应用减法运算，求得结果. 【详解】根据题意，没有女生入选有344C =种选法，从6名学生中任意选3人有3620C =种选法，故至少有1位女生入选，则不同的选法共有20416-=种，故答案是16. 【点睛】该题是一道关于组合计数的题目，并且在涉及到“至多、至少”问题时多采用间接法，一般方法是得出选3人的选法种数，间接法就是利用总的减去没有女生的选法种数，该题还可以用直接法，分别求出有1名女生和有两名女生分别有多少种选法，之后用加法运算求解.16．如图，顶点为P 的圆锥的轴截面是等腰直角三角形，母线，O 是底面圆心，B 是底面圆内一点，且，C 为PA 的中点，，垂足为D ，当三棱锥的体积最大时，______．【答案】【解析】【分析】根据图形，说明PC 是三棱锥的高，的面积在时取得最大值，求出OB 即可． 【详解】 ，可得，即面POB ，所以面面POB ． ，则面PAB ，，， 又，，所以面即PC 是三棱锥的高． 而的面积在时取得最大值斜边的直角三角形． 当时，由，知，． 故答案为：．【点睛】本题主要考查了圆锥的结构特征，棱锥的体积等知识，考查空间想象能力，属于中档题．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
浙江宁波市2024年高二下学期期末考试数学试题+答案 (1)
宁波市2023学年第二学期期末考试高二数学试题卷本试卷共4页，19小题，满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项:1.答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、学校、准考证号填涂在答题卡上。
将条形码横贴在答题卡的“贴条形码区”。
2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
所有答案必须写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4.考生必须保持答题卡的整洁，不要折叠、不要弄破。
选择题部分(共58分)一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合U ={1，2，3，4，5}，A ={1，2，4}，B ={1，5}，则∁U A ∩B =()A.⌀B.{1}C.{5}D.{1，5}2.已知复数z =1+2i ，则1z 的虚部为()A.25B.25iC.-25i D.-253.已知角α的终边过点-4，3 ，则sin α+cos αsin α=()A.-12B.-13C.14D.734.已知a ，b 为单位向量，则“a ⊥b ”是“a -2b =2a +b”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.对于直线m ，n 和平面α，β，下列说法错误的是()A.若m ⎳α，n ⎳α，m ，n 共面，则m ⎳nB.若m ⊂α，n ⎳α，m ，n 共面，则m ⎳nC.若m ⊥β，且α⎳β，则m ⊥αD.若m ⊥α，且m ⎳β，则α⊥β6.若ln x -ln y >y 2-x 2，则()A.ex -y>1 B.e x -y<1 C.ln x -y >0 D.ln x -y <07.袋子中有n 个大小质地完全相同的球，其中4个为红球，其余均为黄球，从中不放回地依次随机摸出2个球，已知摸出的2个球都是红球的概率为16，则两次摸到的球颜色不相同的概率为()\A.518B.49C.59D.13188.颐和园的十七孔桥，初建于清乾隆年间；永定河上的卢沟桥，始建于宋代；四川达州的大风高拱桥，修建于清同治7年.这些桥梁屹立百年而不倒，观察它们的桥梁结构，有一个共同的特点，那就是拱形结构，这是悬链线在建筑领域的应用.悬链线出现在建筑领域，最早是由十七世纪英国杰出的科学家罗伯特.胡克提出的，他认为当悬链线自然下垂时，处于最稳定的状态，反之如果把悬链线反方向放置，它也是一种稳定的状态，后来由此演变出了悬链线拱门，其中双曲余弦函数就是一种特殊的悬链线函数，其函数表达式为cosh x =e x +e -x 2，相应的双曲正弦函数的表达式为sinh x =e x -e -x2.若关于x 的不等式4m cosh 2x -4sinh 2x -1>0对任意的x >0恒成立，则实数m 的取值范围为()A.2，+∞B.[2，+∞)C.14，+∞ D.14，+∞ 二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分。
2020-2021宁波市高中必修二数学下期末模拟试题及答案
2020-2021宁波市高中必修二数学下期末模拟试题及答案一、选择题1．已知向量()cos ,sin a θθ=v ，()1,2b =v ，若a v 与b v 的夹角为6π，则a b +=v v （ ）A ．2B ．7C ．2D ．12．在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间没有发生在规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”.根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是 A ．甲地：总体均值为3，中位数为4 B ．乙地：总体均值为1，总体方差大于0 C ．丙地：中位数为2，众数为3D ．丁地：总体均值为2，总体方差为33．设集合{}1,2,4A =，{}240B x x x m =-+=．若{}1A B ⋂=，则B = ( ) A ．{}1,3-B ．{}1,0C ．{}1,3D ．{}1,54．已知集合{}22(,)1A x y x y =+=，{}(,)B x y y x ==，则A B I 中元素的个数为（ ） A ．3B ．2C ．1D ．05．某程序框图如图所示，若输出的S=57，则判断框内为 A ．k ＞4? B ．k ＞5? C ．k ＞6?D ．k ＞7?6．已知D ，E 是ABC V 边BC 的三等分点，点P 在线段DE 上，若AP xAB yAC =+u u u r u u u r u u u r ，则xy 的取值范围是( ) A ．14,99⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．11,94⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．21,92⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．21,94⎡⎤⎢⎥⎣⎦7．已知不等式220ax bx ++>的解集为{}12x x -<<，则不等式220x bx a ++<的解集为（ ） A ．112x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭B ．112x x x ⎧⎫<->⎨⎬⎩⎭或 C ．{}21x x -<<D ．{}21x x x <->或8．《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”．某“堑堵”的三视图如图所示，则它的表面积为（ ）A ．2B ．422+C ．442+D ．642+9．C ∆AB 是边长为2的等边三角形，已知向量a r ，b 满足2a AB =u u u r r ，C 2a b A =+u u u r r ，则下列结论正确的是（ ）A ．1b =rB ．a b ⊥r rC ．1a b ⋅=r rD ．()4C a b +⊥B u u u r rr10．已知曲线C 1：y =cos x ，C 2：y =sin (2x +2π3)，则下面结论正确的是( ) A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 211．在ABC V 中，已知,2,60a x b B ===o，如果ABC V 有两组解，则x 的取值范围是( )A ．4323⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，B ．323⎡⎢⎣⎦，C ．4323⎡⎢⎣⎭，D ．32,3⎛ ⎝⎦12．定义在R 上的奇函数()f x 满足()()2f x f x +=-，且当[]0,1x ∈时，()2cos x f x x =-，则下列结论正确的是（ ）A ．()20202019201832f f f ⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．()20202019201832f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．()20192020201823f f f ⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．()20192020201823f f f ⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭二、填空题13．若,a b 是函数()()20,0f x x px q p q =-+>>的两个不同的零点，且,,2a b -这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p q +的值等于________． 14．已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为____.15．已知a ∈R ，命题p ：[]1,2x ∀∈，20x a -≥，命题q ：x ∃∈R ，2220x ax a ++-=，若命题p q ∧为真命题，则实数a 的取值范围是_____．16．函数sin 3cos y x x =-的图像可由函数2sin y x =的图像至少向右平移________个单位长度得到． 17．若1tan 46πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭,则tan α=____________. 18．设12a =，121n n a a +=+，21n n n a b a +=-，*n N ∈，则数列{}n b 的通项公式n b = ．19．已知函数()2,01,0x x f x x x >⎧=⎨+≤⎩若()()10f a f +=，则实数a 的值等于________．20．某三棱锥的三视图如下图所示，正视图、侧视图均为直角三角形，则该三棱锥的四个面中，面积最大的面的面积是 ．三、解答题21．已知直线12:210:280,l x y l ax y a ，++=+++=且12l l //． （1）求直线12,l l 之间的距离；（2）已知圆C 与直线2l 相切于点A ，且点A 的横坐标为2-，若圆心C 在直线1l 上，求圆C 的标准方程．22．如图，四面体ABCD 中，O 、E 分别是BD 、BC 的中点，2AB AD ==，2CA CB CD BD ====. （1）求证：AO ⊥平面BCD ；（2）求异面直线AB 与CD 所成角的余弦值； （3）求点E 到平面ACD 的距离．23．已知函数()()221+0g x ax ax b a =-+>在区间[2,3]上有最大值4和最小值1.(1)求a 、b 的值； (2)设()()2g x f x x =-，若不等式()0f x k ->在x ∈(]2,5上恒成立，求实数k 的取值范围．24．已知平面向量()3,4a =v ，()9,b x =v ，()4,c y =v，且//a b v v ，a c ⊥v v .（1）求b v 和c v；（2）若2m a b =-v v v ，n a c =+v v v ，求向量m u v 与向量n v 的夹角的大小.25．在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知10cos A =，2b =5c =（1）求a ；（2）求cos()B A -的值．26．已知函数2()4f x x ax =-++，()|1||1|g x x x =++-． （1）当1a =时，求不等式()()f x g x ≥的解集；（2）若不等式()()f x g x ≥的解集包含[–1，1]，求a 的取值范围．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B 解析：B 【解析】 【分析】先计算a r 与b r的模，再根据向量数量积的性质22()a b a b +=+r r r r 即可计算求值.【详解】因为()cos ,sin a θθ=r，()1,2b =r ，所以||1a =r ，||3b =r. 又222222()2||2||||cos ||6a b a b a a b b a a b b +=+=+⋅+=+π+r r r r r r r r r r r r312337=+⨯+=， 所以7a b +=r r，故选B.【点睛】本题主要考查了向量的坐标运算，向量的数量积，向量的模的计算，属于中档题.2．D解析：D 【解析】试题分析：由于甲地总体均值为，中位数为，即中间两个数（第天）人数的平均数为，因此后面的人数可以大于，故甲地不符合.乙地中总体均值为，因此这天的感染人数总数为，又由于方差大于，故这天中不可能每天都是，可以有一天大于，故乙地不符合，丙地中中位数为，众数为，出现的最多，并且可以出现，故丙地不符合，故丁地符合.考点：众数、中位数、平均数、方差3．C解析：C 【解析】∵ 集合{}124A ，，=，{}2|40B x x x m =-+=，{}1A B ⋂= ∴1x =是方程240x x m -+=的解，即140m -+= ∴3m =∴{}{}{}22|40|43013B x x x m x x x =-+==-+==，，故选C4．B解析：B 【解析】试题分析：集合中的元素为点集，由题意，可知集合A 表示以()0,0为圆心，1为半径的单位圆上所有点组成的集合，集合B 表示直线y x =上所有的点组成的集合，又圆221x y +=与直线y x =相交于两点,22⎛ ⎝⎭，22⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，则A B I 中有2个元素.故选B.【名师点睛】求集合的基本运算时，要认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合，这是正确求解集合运算的两个先决条件.集合中元素的三个特性中的互异性对解题影响较大，特别是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中的元素是否满足互异性.5．A解析：A 【解析】试题分析：由程序框图知第一次运行112,224k S =+==+=，第二次运行213,8311k S =+==+=，第三次运行314,22426k S =+==+=，第四次运行4154,52557k S =+=>=+=，输出57S =，所以判断框内为4?k >，故选C.考点：程序框图.6．D解析：D 【解析】 【分析】利用已知条件推出x +y ＝1，然后利用x ，y 的范围，利用基本不等式求解xy 的最值． 【详解】解：D ，E 是ABC V 边BC 的三等分点，点P 在线段DE 上，若AP xAB yAC =+u u u r u u u r u u u r，可得x y 1+=，x ，12y ,33⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则2x y 1xy ()24+≤=，当且仅当1x y 2==时取等号，并且()2xy x 1x x x =-=-，函数的开口向下，对称轴为：1x 2=，当1x 3=或2x 3=时，取最小值，xy 的最小值为：29．则xy 的取值范围是：21,.94⎡⎤⎢⎥⎣⎦故选D ． 【点睛】本题考查函数的最值的求法，基本不等式的应用，考查转化思想以及计算能力．7．A解析：A【解析】 【分析】根据一元二次不等式的解集与一元二次方程根的关系，结合韦达定理可构造方程求得,a b ；利用一元二次不等式的解法可求得结果.【详解】220ax bx ++>Q 的解集为{}12x x -<<1∴-和2是方程220ax bx ++=的两根，且0a <1212122ba a⎧-=-+=⎪⎪∴⎨⎪=-⨯=-⎪⎩，解得：11a b =-⎧⎨=⎩ 222210x bx a x x ∴++=+-< 解得：112x -<<，即不等式220x bx a ++<的解集为112x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭故选：A 【点睛】本题考查一元二次不等式的解法、一元二次不等式的解集与一元二次方程根的关系等知识的应用；关键是能够通过一元二次不等式的解集确定一元二次方程的根，进而利用韦达定理构造方程求得变量.8．D解析：D 【解析】 【分析】根据题意和三视图知几何体是一个放倒的直三棱柱，由三视图求出几何元素的长度，由面积公式求出几何体的表面积． 【详解】根据题意和三视图知几何体是一个放倒的直三棱柱，底面是一个直角三角形，两条直角边,斜边是2，且侧棱与底面垂直，侧棱长是2，∴几何体的表面积12222262S =⨯+⨯⨯=+ 故选D ． 【点睛】本题考查三视图求几何体的表面积，由三视图正确复原几何体是解题的关键，考查空间想象能力．9．D解析：D 【解析】试题分析：2,2AB a AC a b ==+u u u r u u u r r Q rr ,AC AB b ∴=+u u u r u u u r r ,b AC AB BC ∴=-=u u u r u u u r u u u r r ．由题意知12,cos1201212b a b a b ⎛⎫=⋅=⋅=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭or r r r r ．()()2422a b BC AB BC BC AB BC BC∴+⋅=+⋅=⋅+u u ur u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r r r 212cos1202222402AB BC ⎛⎫=⋅+=⨯⨯⨯-+= ⎪⎝⎭o u u u r u u u r ．()4a b BC ∴+⊥u u u r r r ．故D 正确．考点：1向量的加减法；2向量的数量积；3向量垂直．10．D解析：D 【解析】把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，得到函数y=cos2x 图象，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到函数y=cos2（x +π12）=cos （2x +π6）=sin （2x +2π3）的图象，即曲线C 2， 故选D ．点睛：三角函数的图象变换，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也常出现在题目中，所以也必须熟练掌握.无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母x 而言. 函数sin()()y A x x R ωϕ=+∈是奇函数π()k k Z ϕ⇔=∈；函数sin()()y A x x R ωϕ=+∈是偶函数ππ+()2k k Z ϕ⇔=∈；函数cos()()y A x x R ωϕ=+∈是奇函数ππ+()2k k Z ϕ⇔=∈；函数cos()()y A x x R ωϕ=+∈是偶函数π()k k Z ϕ⇔=∈.11．A解析：A 【解析】 【分析】已知,,a b B ，若ABC V 有两组解，则sin a B b a <<，可解得x 的取值范围. 【详解】由已知可得sin a B b a <<，则sin602x x ︒<<，解得2x <<故选A. 【点睛】本题考查已知两边及其中一边的对角，用正弦定理解三角形时解的个数的判断. 若ABC V 中，已知,,a b B 且B 为锐角，若0sin b a B <<，则无解；若sin b a B =或b a ≥，则有一解；若sin a B b a <<，则有两解. 12．C解析：C 【解析】【分析】根据f （x ）是奇函数，以及f （x+2）=f （-x ）即可得出f （x+4）=f （x ），即得出f （x ）的周期为4，从而可得出f （2018）=f （0），2019122f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，20207312f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭然后可根据f （x ）在[0，1]上的解析式可判断f （x ）在[0，1]上单调递增，从而可得出结果. 【详解】∵f（x ）是奇函数；∴f（x+2）=f （-x ）=-f （x ）；∴f（x+4）=-f （x+2）=f （x ）； ∴f（x ）的周期为4；∴f（2018）=f （2+4×504）=f （2）=f （0），2019122f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,20207 312f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∵x∈[0，1]时，f （x ）=2x -cosx 单调递增；∴f(0)＜12f ⎛⎫⎪⎝⎭ ＜712f ⎛⎫ ⎪⎝⎭ ∴()20192020201823f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,故选C. 【点睛】本题考查奇函数，周期函数的定义，指数函数和余弦函数的单调性，以及增函数的定义，属于中档题.二、填空题13．9【解析】【分析】由一元二次方程根与系数的关系得到a+b=pab=q 再由ab ﹣2这三个数可适当排序后成等差数列也可适当排序后成等比数列列关于ab 的方程组求得ab 后得答案【详解】由题意可得：a+b=p解析：9 【解析】 【分析】由一元二次方程根与系数的关系得到a+b=p ，ab=q ，再由a ，b ，﹣2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列列关于a ，b 的方程组，求得a ，b 后得答案． 【详解】由题意可得：a+b=p ，ab=q ， ∵p＞0，q ＞0， 可得a ＞0，b ＞0，又a ，b ，﹣2这三个数可适当排序后成等差数列， 也可适当排序后成等比数列， 可得①或②． 解①得：；解②得：．∴p=a+b=5，q=1×4=4， 则p+q=9．故答案为9．点评：本题考查了一元二次方程根与系数的关系，考查了等差数列和等比数列的性质，是基础题． 【思路点睛】解本题首先要能根据韦达定理判断出a ，b 均为正值，当他们与-2成等差数列时，共有6种可能，当-2为等差中项时，因为，所以不可取，则-2只能作为首项或者末项，这两种数列的公差互为相反数；又a,b 与-2可排序成等比数列，由等比中项公式可知-2必为等比中项，两数列搞清楚以后，便可列方程组求解p ，q ．14．【解析】设正方体边长为则外接球直径为【考点】球【名师点睛】求多面体的外接球的面积和体积问题常用方法有（1）三条棱两两互相垂直时可恢复为长方体利用长方体的体对角线为外接球的直径求出球的半径；（2）直棱解析：92π 【解析】设正方体边长为a ，则226183a a =⇒= ， 外接球直径为344279233,πππ3382R a V R ====⨯=. 【考点】 球【名师点睛】求多面体的外接球的面积和体积问题常用方法有（1）三条棱两两互相垂直时，可恢复为长方体，利用长方体的体对角线为外接球的直径，求出球的半径；（2）直棱柱的外接球可利用棱柱的上下底面平行，借助球的对称性，球心为上下底面外接圆的圆心连线的中点，再根据勾股定理求球的半径；（3）如果设计几何体有两个面相交，可过两个面的外心分别作两个面的垂线，垂线的交点为几何体的球心，本题就是第三种方法.15．或【解析】【分析】根据不等式恒成立化简命题为根据一元二次方程有解化简命题为或再根据且命题的性质可得结果【详解】若命题：为真；则解得：若命题：为真则解得：或若命题是真命题则或故答案为或【点睛】解答非命解析：2a ≤-或1a = 【解析】 【分析】根据不等式恒成立化简命题p 为1a ≤，根据一元二次方程有解化简命题q 为2a ≤-或1a ≥，再根据且命题的性质可得结果.【详解】若命题p ：“[]1,2x ∀∈，20x a -≥”为真； 则10a -≥， 解得：1a ≤，若命题q ：“x ∃∈R ，2220x ax a ++-=”为真， 则()24420a a ∆=--≥，解得：2a ≤-或1a ≥，若命题“p q ∧”是真命题，则2a ≤-，或1a =，故答案为2a ≤-或1a =【点睛】解答非命题、且命题与或命题真假有关的题型时，应注意：（1）原命题与其非命题真假相反；（2）或命题“一真则真”；（3）且命题“一假则假”.16．【解析】试题分析：因为所以函数的的图像可由函数的图像至少向右平移个单位长度得到【考点】三角函数图像的平移变换两角差的正弦公式【误区警示】在进行三角函数图像变换时提倡先平移后伸缩但先伸缩后平移也经常出 解析：3π【解析】试题分析：因为sin 2sin()3y x x x π==-，所以函数sin y x x =的的图像可由函数2sin y x =的图像至少向右平移3π个单位长度得到． 【考点】三角函数图像的平移变换、两角差的正弦公式【误区警示】在进行三角函数图像变换时，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也经常出现在题目中，所以也必须熟练掌握，无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母x 而言，即图像变换要看“变量”变化多少，而不是“角”变化多少．17．【解析】故答案为 解析：75【解析】 1tan tan 17446tan tan 144511tan tan 644ππαππααππα⎛⎫-++ ⎪⎡⎤⎛⎫⎝⎭=-+=== ⎪⎢⎥⎛⎫⎝⎭⎣⎦--- ⎪⎝⎭ 故答案为75. 18．2n+1【解析】由条件得且所以数列是首项为4公比为2的等比数列则 解析：2n+1【解析】 由条件得111112222222111n n n n n n n n a a a b b a a a ++++++++====---，且14b =，所以数列{}n b 是首项为4，公比为2的等比数列，则11422n n n b -+=⋅=．19．-3【解析】【分析】先求再根据自变量范围分类讨论根据对应解析式列方程解得结果【详解】当a>0时2a=-2解得a=-1不成立当a≤0时a+1=-2解得a=-3【点睛】求某条件下自变量的值先假设所求的值解析：-3【解析】【分析】先求()f a ，再根据自变量范围分类讨论，根据对应解析式列方程解得结果.【详解】()()()102f a f f a +=⇒=-当a>0时，2a=-2,解得a=-1，不成立当a≤0时，a+1=-2,解得a=-3【点睛】求某条件下自变量的值，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围. 20．【解析】试题分析：该三棱锥底面是边长为2的正三角形面积为有两个侧面是底边为2高为2的直角三角形面积为2另一个侧面是底边为2腰为的等腰三角形面积为所以面积最大的面的面积是考点：三视图【解析】试题分析：该三棱锥底面是边长为2，有两个侧面是底边为2，高为2的直角三角形，面积为2，另一个侧面是底边为2，腰为．考点：三视图．三、解答题21．（12）22x (y 1)5++=．【解析】【分析】 ()1先由两直线平行解得a 4=，再由平行直线间的距离公式可求得；()2代x 2=-得()A 2,2--，可得AC 的方程，与1l 联立得()C 0,1-，再求得圆的半径，从而可得圆的标准方程．【详解】解：()121l //l Q ，a 28a 211+∴=≠，解得a 4=， 1l ∴：2x y 10++=，2l ：2x y 60++=，故直线1l 与2l的距离d === ()2当x 2=-代入2x y 60++=，得y 2=-，所以切点A 的坐标为()2,2--，从而直线AC 的方程为()1y 2x 22+=+，得x 2y 20--=， 联立2x y 10++=得()C 0,1-．由()1知C e所以所求圆的标准方程为：22x (y 1)5++=．【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，考查了两条平行线的距离公式，属中档题．22．（1）见解析（2（3【解析】【分析】（1）连接OC ，由BO ＝DO ，AB ＝AD ，知AO ⊥BD ，由BO ＝DO ，BC ＝CD ，知CO ⊥BD ．在△AOC中，由题设知AO 1CO ==，AC ＝2，故AO 2+CO 2＝AC 2，由此能够证明AO ⊥平面BCD ；（2）取AC 的中点M ，连接OM 、ME 、OE ，由E 为BC 的中点，知ME ∥AB ，OE ∥DC ，故直线OE 与EM 所成的锐角就是异面直线AB 与CD 所成的角．在△OME中，11EM AB OE DC 1222====，由此能求出异面直线AB 与CD 所成角大小的余弦；（3）设点E 到平面ACD 的距离为h ．在△ACD中，CA CD 2AD ===，ACD 1S 2==V ，由AO ＝1，知2CDE 1S 2242=⨯=V ，由此能求出点E 到平面ACD 的距离．【详解】（1）证明：连接OC ，∵BO ＝DO ，AB ＝AD ，∴AO ⊥BD ，∵BO ＝DO ，BC ＝CD ，∴CO ⊥BD ．在△AOC中，由题设知1AO CO ==，AC ＝2，∴AO 2+CO 2＝AC 2，∴∠AOC ＝90°，即AO ⊥OC ．∵AO ⊥BD ，BD ∩OC ＝O ，∴AO ⊥平面BCD ．（2）解：取AC 的中点M ，连接OM 、ME 、OE ，由E 为BC 的中点，知ME ∥AB ，OE ∥DC ，∴直线OE 与EM 所成的锐角就是异面直线AB 与CD 所成的角．在△OME 中，121122EM AB OE DC ====，， ∵OM 是直角△AOC 斜边AC 上的中线，∴112OM AC ==， ∴1112242212cos OEM +-∠==⨯⨯， ∴异面直线AB 与CD 所成角大小的余弦为2 （3）解：设点E 到平面ACD 的距离为h ．E ACD A CDE V V --=Q ，1133ACD CDE h S AO S ∴=V V ．．．， 在△ACD 中，22CA CD AD ===，，∴21272422ACD S ⎛⎫=⨯⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭V ， ∵AO ＝1，21332242CDE S =⨯⨯=V ， ∴3121277CDE ACD AO S h S ⨯⋅===V V ， ∴点E 到平面ACD 的距离为217．【点睛】本题考查点、线、面间的距离的计算，考查空间想象力和等价转化能力，解题时要认真审题，仔细解答，注意化立体几何问题为平面几何问题．23．（1）1,0a b ==；（2）4k <.【解析】【分析】（1）函数()g x 的对称轴方程为1x =，开口向上，则在[]2,3上单调递增，则可根据最值列出方程，可解得,a b 的值.(2)由题意只需()min k f x <，则只需要求出()f x 在(]2,5上的最小值，然后运用基本不等式求最值即可.【详解】解：（1）()g x Q 开口方向向上，且对称轴方程为 1x =，()g x ∴在[]2,3上单调递增()()()()min max 2441139614g x g a a b g x g a a b ⎧==-++=⎪∴⎨==-++=⎪⎩. 解得1a =且0b =.（2）()0f x k ->Q 在(]2,5x ∈上恒成立所以只需()min k f x <.有（1）知()221112224222x x f x x x x x x -+==+=-++≥=--- 当且仅当122x x -=-，即3x =时等号成立. 4k ∴<.【点睛】本题考查二次函数的最值的求法，注意讨论对称轴和区间的位置关系，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用参数分离和基本不等式的应用，属于中档题.24．（1）()9,12b =v ，()4,3c =-v ；（2）34π. 【解析】【分析】 （1）利用共线向量的坐标表示和垂直向量的坐标表示并结合条件//a b r r ，a c ⊥r r ，列方程求出x 、y 的值，可得出向量b r 和c r 的坐标； （2）求出m u r 、n r 的坐标，利用向量数量积的坐标运算计算出向量m u r 与向量n r 夹角的余弦值，由夹角的取值范围可求出这两个向量夹角的值.【详解】（1）()3,4a =r Q ，()9,b x =r ，()4,c y =r ，且//a b r r ，a c ⊥r r ，3493440x y =⨯⎧∴⎨⨯+=⎩，解得123x y =⎧⎨=-⎩，因此，()9,12b =r ，()4,3c =-r ； （2）()()()223,49,123,4m a b =-=⨯-=--u r r r Q ，()()()3,44,37,1n a c =+=+-=r r r ，则374125m n ⋅=-⨯-⨯=-u r r ，5m ∴==u r，n ==r设m u r 与n r 的夹角为θ，cos ,m n m n m n ⋅∴===⋅u r r u r r ，0θπ≤≤Q ，则34πθ=. 因此，向量m u r 与向量n r 的夹角为34π. 【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，涉及共线向量、向量垂直以及利用坐标计算向量的夹角，解题的关键就是将问题转化为向量的坐标运算，考查计算能力，属于中等题.25．(1) 3a=.(2) cos()B A -=. 【解析】【分析】分析：（1）在ABC ∆中，由余弦定理可得3a =．（2）由cosA =得sinA =sinB =cosB =，故得()cos B A cosBcosA sinBsinA -=+=【详解】（1）在ABC ∆中，由余弦定理得22222529a b c bccosA ⎛=+-=+-= ⎝⎭，∴3a =． （2）在ABC ∆中，由cosA =得,2A ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴sinA ===，在ABC ∆中，由正弦定理得a b sinA sinB =10sinB =，∴sinB =， 又,2A ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故0,2B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴5cosB ===，∴()cos B A cosBcosA sinBsinA 10⎛-=+== ⎝⎭． 【点睛】本题主要考查了利用正弦定理和三角函数的恒等变换求解三角形问题，对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值. 利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题.26．（1）{|1x x -≤≤；（2）[1,1]-． 【解析】【详解】试题分析：（1）分1x <-，11x -≤≤，1x >三种情况解不等式()()f x g x ≥；（2）()()f x g x ≥的解集包含[1,1]-，等价于当[1,1]x ∈-时()2f x ≥，所以(1)2f -≥且(1)2f ≥，从而可得11a -≤≤．试题解析：（1）当1a =时，不等式()()f x g x ≥等价于21140x x x x -+++--≤.① 当1x <-时，①式化为2340x x --≤，无解；当11x -≤≤时，①式化为220x x --≤，从而11x -≤≤；当1x >时，①式化为240x x +-≤，从而1x <≤.所以()()f x g x ≥的解集为{|1x x -≤≤. （2）当[]1,1x ∈-时，()2g x =.所以()()f x g x ≥的解集包含[]1,1-，等价于当[]1,1x ∈-时()2f x ≥.又()f x 在[]1,1-的最小值必为()1f -与()1f 之一，所以()12f -≥且()12f ≥，得11a -≤≤.所以a 的取值范围为[]1,1-.点睛:形如||||x a x b c -+-≥(或c ≤)型的不等式主要有两种解法：(1)分段讨论法：利用绝对值号内式子对应方程的根，将数轴分为(,]a -∞，(,]a b ，(,)b +∞ (此处设a b <)三个部分，将每部分去掉绝对值号并分别列出对应的不等式求解，然后取各个不等式解集的并集．(2)图像法：作出函数1||||y x a x b =-+-和2y c =的图像，结合图像求解．。
浙江省宁波市慈溪市2020-2021学年高二下学期期末考试数学试题 (含答案)
慈溪市2020学年第二学期高二年级期末测试数学学科试卷说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分考试时间120分钟，不得使用计算器，请考生将所有题目的答案均写在答题卷上。
第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1.已知集合{}1,2,3A =，{}2,3B =，则A B =（ ）A.{}1B.{}2C.{}1,2,3D.{}1,2,3,32.3cos 4π⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）C. D.3.已知,,a b c ∈R ，且0a b c ++>，则（ ）A.()22a b c +>B.a ，b ，c 三数中至少有一个大于零C.a ，b ，c 三数中至少有两个大于零D.a ，b ，c 三数均大于零 4.“cos 0θ=”是“sin cos22θθ=”的（ ）A 充分不必要条件B 必要不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件5.如图，在梯形ABCD 中，//BC AD ，2AD BC =，若AB a =，CD b =，则AC =（ ）A.2a b -B.2a b +C.2b a -D.2b a +6.函数()()()1ln 1f x x x =+-的大致图象是（ ）A. B. C. D.7.给出下列四个关于函数的命题：①()3f x x =（{}1,0,1x ∈-）与()13g n n =（{}1,0,1n ∈-）表示相同函数；②()f x =③若()f x 与()g x 在区间G 上均为递增函数，则()()f x g x ⋅在区间G 上亦为递增函数；④设集合{}12A x x =≤≤，{}01B y y =≤≤，对应关系()4:log 2f x x →+，则能构成一个函数:f A B →，记作()()4log 2y f x x ==+，x A ∈.其中，真命题为（ ）A.②③B.①④C.①③④ D .②③④ 8.设()(){},,1,33,0a b x y x y x y y ∈-≥+≤≥且，则a b +的最大值为（ ）A.3B.2C.1D.09.已知数列{}n a 是等差数列，公差4d =，前n 项和为n S ，则2021202020212020S S -的值（ ） A 等于4 B.等于2 C.等于12D.不确定，与1a 有关10.已知函数()2cos 12f x x k k =+-++在区间(),-∞+∞上的最大值是5，则实数k 的值所组成的集合是（ ） A.{}1B.{}2,0,1-C.{}1k k ≤D.{}11k k -≤≤第Ⅱ卷（非选择题共110分）三、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。
2020年浙江省宁波市数学高二第二学期期末综合测试试题含解析
2020年浙江省宁波市数学高二第二学期期末综合测试试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．已知~(10,4)Z N ，则()6P Z <≈ （ ） 附：若()2,X N μσ:，则()0.6826P X μσμσ-<<+≈，(22)0.9544P X μσμσ-<<+≈A ．0.3174B ．0.1587C ．0.0456D ．0.0228【答案】D 【解析】 【分析】由随机变量~(10,4)Z N ，所以正态分布曲线关于10μ=对称，再利用2σ原则，结合图象得到()6P Z <≈0.0228.【详解】因为~(10,4)Z N ，所以10,2μσ==，所以(104104)0.9544P Z -<<+≈，即(614)0.9544P Z <<≈， 所以1(6)[1(614)]0.02282P Z P Z <=-<<≈.选D ． 【点睛】本题主要考查正态分布曲线及2σ原则，考查正态分布曲线图象的对称性.2．某技术学院安排5个班到3个工厂实习，每个班去一个工厂，每个工厂至少安排一个班，则不同的安排方法共有（ ） A ．60种 B ．90种C ．150种D ．240种【答案】C 【解析】 【分析】先将5人分成3组，3，1，1和2，2，1两种分法，再分配，应用排列组合公式列式求解即可. 【详解】将5个班分成3组，有两类方法：（1）3，1，1，有35C 种；（2）2，2，1，有22532!C C 种.所以不同的安排方法共有223353531502!C C C A ⎛⎫+⨯= ⎪⎝⎭种.故选C. 【点睛】3．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 1：221x y +＝经过伸缩变换'2'x xy y =⎧⎨=⎩后得到线C 2，则曲线C 2的方程为（ ） A ．4x 2+y 2＝1 B ．x 2+4y 2＝1C ．224+=x y 1D ．x 224+=y 1【答案】C 【解析】 【分析】根据条件所给的伸缩变换'2'x xy y=⎧⎨=⎩，反解出x 和y 的表达式，然后代入到1C 中，从而得到曲线2C .【详解】因为圆221:1C x y +=，经过伸缩变换'2'x x y y =⎧⎨=⎩所以可得2x x y y ''⎧=⎪⎨⎪=⎩，代入圆221:1C x y +=得到2212x y '⎛⎫'+= ⎪⎝⎭整理得2214x y ''+=，即2214x y +=故选C 项. 【点睛】本题考查通过坐标伸缩变换求曲线方程，属于简单题.4．有m 位同学按照身高由低到高站成一列，现在需要在该队列中插入另外n 位同学，但是不能改变原来的m 位同学的顺序，则所有排列的种数为（ ） A ．mm n C + B ．mm n A +C ．nm n A +D ．m nm n A A +【答案】C 【解析】 【分析】将问题转化为将这m n +个同学中新插入的n 个同学重新排序，再利用排列数的定义可得出答案． 【详解】本题考查排列问题，解题的关键就是将问题进行等价转化，考查转化与化归数学思想的应用，属于中等题． 5．设集合A ＝{x|x 2﹣2x ﹣3≤0}，B ＝{x|2﹣x ＞0},则A ∩B ＝（ ） A ．[﹣3，2） B ．（2，3]C ．[﹣1，2）D ．（﹣1，2）【答案】C 【解析】 【分析】 求得集合，根据集合的交集运算，即可求解．【详解】 由题意，集合，所以．故选：C ． 【点睛】本题主要考查了集合的交集运算，其中解答中正确求解集合，再根据集合的运算求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．6．已知()()1,21,0,2,,a t t b t t =--=r r，则a b -r r 的最小值为（ ）A 5B 6C 2D 3【答案】C 【解析】试题分析：由题意得，(1,1,)a b t t t -=----r r ，所以2222(1)(1)()32a b t t t t -=--+-+-=+r r ，当0t =时，a b -rr 2，故选C.考点：向量的运算及模的概念.7．双曲线2213x y a -=的离心率等于2，则实数a 等于（ ）A ．1B 3C ．3D ．6【答案】A 【解析】 【分析】利用离心率的平方列方程，解方程求得a 的值.由34a a+=可得1a =，从而选A. 【点睛】本小题主要考查已知双曲线的离心率求参数，考查方程的思想，属于基础题. 8．定义在上的函数满足,,且时,,则（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】试题分析：由于，因此函数为奇函数，，故函数的周期为4，，即，，，故答案为C考点：1、函数的奇偶性和周期性；2、对数的运算9．已知,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下列命题正确的是 A ．//,,αβm αnβ烫，则//m nB ．//,//m m n α，则//n αC ．,//,m n m αβα⊥⊥，则//n βD ．,//m m n α⊥，则n α⊥ 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间中直线与平面的位置关系的相关定理依次判断各个选项即可. 【详解】两平行平面内的直线的位置关系为：平行或异面，可知A 错误；//m α且//m n ，此时//n α或n α⊂，可知B 错误；αβ⊥，//m n ，m α⊥，此时n β⊥或n β⊂，可知C 错误；两平行线中一条垂直于一个平面，则另一条必垂直于该平面，D 正确. 本题正确选项：D本题考查空间中直线与平面、平面与平面位置关系的判定，考查学生对于定理的掌握程度，属于基础题. 10．现有一条零件生产线，每个零件达到优等品的概率都为p .某检验员从该生产线上随机抽检50个零件，设其中优等品零件的个数为X .若()8D X =，(20)P X =(30)P X <=，则p =（ ） A ．0.16 B ．0.2 C ．0.8 D ．0.84【答案】C 【解析】 【分析】由(20)(30)p X P X =<=求出的范围，再由方差公式求出值．【详解】∵(20)(30)p X P X =<=，∴2020303030205050(1)(1)C p p C p p -<-，化简得1p p -<，即12p >，又()850(1)D X p p ==-，解得0.2p =或0.8p =，∴0.8p =，故选C ．【点睛】本题考查概率公式与方差公式，掌握这两个公式是解题的关键，本题属于基础题．11．我国古代数学名著《九章算术》中有这样一些数学用语，“堑堵”意指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱，而“阳马”指底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥.现有一如图所示的堑堵111ABC A B C -，AC BC ⊥，12A A =，当堑堵111ABC A B C -的外接球的体积为823π时，则阳马11B A ACC -体积的最大值为( )A ．2B ．4C ．23D ．43【答案】D 【解析】 【分析】由已知求出三棱柱外接球的半径，得到1A B ，进一步求得AB ，再由棱锥体积公式结合基本不等式求最值． 【详解】解：Q 堑堵ABC A B C -的外接球的体积为82，∴其外接球的半径R =1A B =又12A A =，2AB ∴=． 则224AC BC +=．()1122112143333B A ACC V AC AA BC AC BC AC BC -∴=⨯⨯⨯=⨯⨯≤+=．即阳马11B A ACC -体积的最大值为43．故选：D ． 【点睛】本题考查多面体的体积、均值定理等基础知识，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，是中档题．12．将函数()()cos f x x ϕ=+图像上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵 坐标不变），再把得到的图像向左平移6π个单位长度，所得函数图像关于2x π=对称，则tan ϕ=（ ）A ．3-B ．C ．3±D ．【答案】B 【解析】 【分析】运用三角函数的图像变换，可得cos 1212y x πϕ⎛⎫=++⎪⎝⎭，再由余弦函数的对称性，可得,3k k Z πϕπ=-∈，计算可得所求值.【详解】函数()()cos f x x ϕ=+图像上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵 坐标不变）， 则可得1cos 2y x ϕ⎛⎫=+⎪⎝⎭， 再把得到的图像向左平移6π个单位长度， 则可得cos 1212y x πϕ⎛⎫=++⎪⎝⎭，因为所得函数图像关于2x π=对称，所以cos 1ππϕ⎛⎫++=±⎪，即412k ππϕπ++=，解得：,3k k Z πϕπ=-∈，所以：tan tan 33ϕπ=-=- 故选： B 【点睛】本题考查了三角函数的图像变换以及余弦函数的对称性，属于一般题. 二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13． 设α是第二象限角，P(x ，4)为其终边上的一点，且cos α＝x ，则tan α＝________. 【答案】－ 【解析】 【分析】先根据已知和三角函数的坐标定义得到cos α＝x ＝，解方程解答x 的值，再利用三角函数的坐标定义求tan α的值. 【详解】因为α是第二象限角， 所以cos α＝x<0，即x<0. 又cos α＝x ＝，解得x ＝－3，所以tan α＝＝－. 故答案为－ 【点睛】（1）本题主要考查三角函数的坐标定义，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 点p(x,y)是角α终边上的任意的一点（原点除外）,r 代表点到原点的距离，22r x y =+sin α=yrcos α=x r ,tan α=yx. 14．5人站成一排，若其中甲、乙不相邻的不同排法共有m 种，则m 的值为_______． 【答案】1 【解析】 【分析】根据题意，分2步进行分析，先安排甲乙之外的三人，形成了4个空位，再从这4个间隔选2个插入甲乙，根据题意，分2步分析：先安排除甲乙之外的3人，有336A =种不同的顺序，排好后，形成4个空位，在4个空位中，选2个安排甲乙，有2412A ＝种选法， 则甲乙不相邻的排法有61272⨯＝种， 即72m ＝； 故答案为：1． 【点睛】本题考查排列、组合的应用，本题是不能相邻问题，处理此类问题，需要运用插空法．15．若,x y 满足约束条件21001,x y x y y ++≥⎧⎪-≤⎨⎪≤⎩则3z x y =-+的最大值为__________．【答案】6 【解析】分析：首先绘制出可行域，然后结合目标函数的几何意义整理计算即可求得最终结果. 详解：绘制不等式组表示的平面区域如图所示，结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A 处取得最大值，联立直线方程：1210y x y =⎧⎨++=⎩，可得点A 坐标为：()3,1A -，据此可知目标函数的最大值为：max 336z =+=.点睛：求线性目标函数z ＝ax ＋by(ab≠0)的最值，当b ＞0时，直线过可行域且在y 轴上截距最大时，z 值最大，在y 轴截距最小时，z 值最小；当b ＜0时，直线过可行域且在y 轴上截距最大时，z 值最小，在y 轴上截距最小时，z 值最大. 16．设1)23A n N n+=++∈L ，()B n n N +=∈则A 与B 的大小关系是__． 【答案】A≥B.【分析】，将A放大，即可证明出A、B关系. 【详解】由题意：1A B=+⋅⋅⋅≥⋅⋅⋅+==，所以A B≥.【点睛】本题考查放缩法，根据常见的放缩方式，变换分母即可证得结果.三、解答题（本题包括6个小题，共70分）17．已知F是抛物线2:2(0)C y px p=>的焦点，点(1,)(0)P t t>是抛物线C上一点，且||2PF=. （1）求t，p的值；（2）过点P作两条互相垂直的直线，与抛物线C的另一交点分别是A，B.①若直线AB的斜率为25-，求AB的方程；②若ABC∆的面积为12，求AB的斜率.【答案】（1）2p=，2t=（2）①250x y+=②2--或2-【解析】【分析】（1）直接利用抛物线方程，结合定义求p的值；然后求解t；（2）①直线AB的斜率为25-，设出方程，A、B坐标，与抛物线联立，然后求AB的方程；②求出三角形的面积的表达式，结合△ABC的面积为12，求出m，然后求AB的斜率．【详解】解：（1）由抛物线定义得122p+=，2p=24t=，2t=（2）设PA方程为1(2)x m y-=-，()11,A x y，()22,B x y与抛物线方程联立得24840y my m-+-=由韦达定理得：1284y m=-，即142y m=-类似可得242ym=--①直线AB的斜率为2121214y yx x y y-=-+12151mm==---，2m∴=-或12m=，此时直线AB 的方程是250x y +=。
宁波市2020年高二下数学期末复习检测试题含解析
宁波市2020年高二下数学期末复习检测试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知命题p ：x R ∃∈，sin x a >，若p ⌝是真命题，则实数a 的取值范围为（ ） A ．1a ≥ B ．1a ≤C ．1a =D ．1a <【答案】A 【解析】分析：先写出命题的否定形式，将其转化为恒成立问题，求出a 的值.详解：命题p ：x R ∃∈，sin x a >，则p ⌝为,sin x R x a ∀∈≤，p ⌝是真命题，即sin x a ≤恒成立，sin x 的最大值为1，所以1a ≥ 故选A.点睛：含有一个量词的命题的否定2．已知在R 上的可导函数()f x 的导函数为'()f x ，满足'()()f x f x <，且(5)f x +为偶函数，(10)1f =，则不等式()xf x e <的解集为（ ） A ．(0,)+∞ B ．(1,)+∞C ．(5,)+∞D ．(10,)+∞【答案】A 【解析】 【分析】 【详解】分析：构造新函数()()xf xg x e =，利用已知不等式确定()g x 的单调性， 详解：设()()x f x g x e=，则'()()'()xf x f xg x e -=，由已知'()()f x f x <得)'(0g x <， ∴()g x 是减函数．∵(5)f x +是偶函数，∴()f x 的图象关于直线5x =对称， ∴(0)(10)1f f ==，0(0)(0)1f g e ==，()()1x f x g x e=<的解集为(0,)+∞，即()x f x e <的解集为(0,)+∞．故选A ．点睛：本题考查用导数研究函数的单调性，解题关键是是构造新函数()()x f x g x e=，对于含有'(),()f x f x的已知不等式，一般要构造新函数如()()g x xf x =，()()f x g x x =，()()xg xe f x =，()()x f x g x e=等等，从而能利用已知条件确定()g x 的单调性，再解出题中不等式的解集．3．我国南北朝时期数学家祖暅，提出了著名的祖暅原理：“缘幂势既同，则积不容异也”．“幂”是截面积，“势”是几何体的高，意思是两等高几何体，若在每一等高处的截面积都相等，则两几何体体积相等．已知某不规则几何体与右侧三视图所对应的几何体满足“幂势既同”，其中俯视图中的圆弧为14圆周，则该不规则几何体的体积为（ ）A ．12π+B ．136π+ C ．12π+D ．1233π+ 【答案】B 【解析】 【分析】根据三视图知该几何体是三棱锥与14圆锥体的所得组合体，结合图中数据计算该组合体的体积即可． 【详解】解：根据三视图知，该几何体是三棱锥与14圆锥体的组合体， 如图所示；则该组合体的体积为21111111212323436V ππ=⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=+； 所以对应不规则几何体的体积为136π+．故选B ．【点睛】本题考查了简单组合体的体积计算问题，也考查了三视图转化为几何体直观图的应用问题，是基础题．4．已知函数()f x =2log (1),(1,3)4,[3,)1x x x x ⎧+∈-⎪⎨∈+∞⎪-⎩，则函数[]()()1g x f f x =-的零点个数为（ ）A ．1B ．3C ．4D ．6【答案】C 【解析】 【分析】令[]()()10g x f f x =-=,可得[]()1f f x =,解方程()1f x =,结合函数()f x 的图象,可求出答案. 【详解】令[]()()10g x f f x =-=,则[]()1f f x =,令()1f x =,若2log (1)1x +=,解得1x =或12x =-,符合(1,3)x ∈-;若411x =-,解得5x =,符合[3,)x ∈+∞.作出函数()f x 的图象,如下图,(]1,0x ∈-时,[)()0,f x ∈+∞;()0,3x ∈时,()()0,2f x ∈;[3,)x ∈+∞时,(]()0,2f x ∈.结合图象,若()1f x =,有3个解;若1()2f x =-,无解;若()5f x =,有1个解. 所以函数[]()()1g x f f x =-的零点个数为4个. 故选:C.【点睛】本题考查分段函数的性质,考查了函数的零点,考查了学生的推理能力,属于中档题. 5．41()x x-的展开式中的常数项为（ ）A ．12-B ．6-C ．6D ．12【答案】C 【解析】 【分析】化简二项式的展开式，令x 的指数为零，求得常数项. 【详解】二项式展开式的通项为()()4241441rrr r rr r T C x x C x --+=⨯⨯-=-⨯，令240,2r r -==，故常数项为()22416C -⨯=，故选C.【点睛】本小题主要考查二项式展开式的通项公式，考查二项式展开式中的常数项，属于基础题. 6．已知直线20mx y --=与直线30++=x ny 垂直，则,m n 的关系为（ ） A ．0m n += B ．10++=m nC ．0-=m nD ．10-+=m n【答案】C 【解析】 【分析】根据两直线垂直，列出等量关系，化简即可得出结果. 【详解】因为直线20mx y --=与直线30++=x ny 垂直， 所以110⨯-⨯=m n ， 即0-=m n 选C 【点睛】根据两直线垂直求出参数的问题，熟记直线垂直的充要条件即可，属于常考题型.7．设,,a b c 为ABC 中的三边长，且1a b c ++=，则2224a b c abc +++的取值范围是（ ） A ．131,272⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．131,272⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C ．131,272⎛⎤⎥⎝⎦D ．131,272⎛⎫⎪⎝⎭【答案】B 【解析】 【分析】由222+,,4()a b c abc f a b c ++=，则(,,2()4)12ab c a bc f c a a b b --++=，再根据三角形边长可以证得()1,,2f a b c <，再利用不等式和已知可得22(1)()24a b c ab +-≤=，进而得到3211(,,)22f a b c c c ≥-+，再利用导数求得函数的单调性，求得函数的最小值，即可求解．【详解】由题意，记222+,,4()a b c abc f a b c ++=，又由1a b c ++=，则222122()42()22(1,))(,ab c a b abc c ab a b f a b ab c c =--++=+--++2221111112[]24()()()222222c ab a b c a b =+--+=---+，又,,a b c 为△ABC 的三边长，所以120,120,120a b c ->->->，所以()1,,2f a b c <， 另一方面(),,12(12)2(1)f a b c ab c c c =----，由于0,0a b >>，所以22(1)()24a b c ab +-≤=， 又120c ->，所以232(1)11(,,)12(12)2(1)422c f a b c c c c c c -≥-⨯---=-+，不妨设a b c ≥≥，且,,a b c 为ABC ∆的三边长，所以103c <≤． 令321122y c c =-+，则23(31)0y c c c c '=-=-≤， 当13c =时，可得2min 111113()2723227y =-+=，从而()131,,272f a b c ≤<， 当且仅当13a b c ===时取等号．故选B ． 【点睛】本题主要考查了解三角形，综合了函数和不等式的综合应用，以及基本不等式和导数的应用，属于综合性较强的题，难度较大，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于难题．8．某医疗机构通过抽样调查(样本容量n =1000)，利用2×2列联表和2χ统计量研究患肺病是否与吸烟有关.计算得24.453χ=，经查阅临界值表知()23.8410.05P χ≈，下列结论正确的是( )A ．在100个吸烟的人中约有95个人患肺病B ．若某人吸烟，那么他有95%的可能性患肺病C ．有95%的把握认为“患肺病与吸烟有关”D ．只有5%的把握认为“患肺病与吸烟有关” 【答案】C 【解析】 【分析】将计算出的24.453χ=与临界值比较即可得答案。
2020年浙江省宁波市数学高二第二学期期末综合测试试题含解析
2020年浙江省宁波市数学高二第二学期期末综合测试试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．对相关系数r ，下列说法正确的是（ ） A ．r 越大，线性相关程度越大 B ．r 越小，线性相关程度越大C ．r 越大，线性相关程度越小，r 越接近0，线性相关程度越大D ．1r ≤且r 越接近1，线性相关程度越大，r 越接近0，线性相关程度越小 2．设是虚数单位，则复数的虚部为（ ）A ．B ．C ．1D ．-13．函数3()x xx f x e e-=+ 在[6,6]-的图像大致为（ ） A ． B ．C ．D ．4．已知cos()3cos()αβαβ+=-，则tan tan a β=（ ） A ．12B ．12-C ．2D ．2-5．《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》是我国古代数学的重要文献.现拟把这4部著作分给甲、乙、丙3位同学阅读，每人至少1本，则甲没分到《周髀算经》的分配方法共有（ ） A ．18种B ．24种C ．30种D ．36种6．在平面直角坐标系xOy 中，点(0,3)A ，直线:240l x y --=．设圆C 的半径为1，圆心在直线l 上，若圆C 上存在点M ，使得||2||MA MO =，则圆心C 的横坐标a 的取值范围为（ ） A ．12,05⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．1212,55⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C ．120,5⎛⎫⎪⎝⎭D ．120,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦7．已知函数()f x 的导函数为()f x '，且()()f x f x '<对任意的x ∈R 恒成立，则下列不等式均成立的是（ ）A ．()()()()2ln 220,20f f f e f <<B ．()()()()2ln 220,20f f f e f >>C ．()()()()2ln 220,20f f f e f <>D ．()()()()2ln 220,20f f f e f ><8．从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为60︒的共有（ ） A ．24对B ．30对C ．48对D ．60对9．口袋中装有5个形状和大小完全相同的小球，编号分别为1，2，3，4，5，从中任意取出3个小球，以ξ表示取出球的最大号码，则()E ξ= ( ) A ．4.5B ．4C ．3.5D ．310．F 是双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>的右焦点，过点F 向C 的一条渐近线引垂线，垂足为A ，交另一条渐近线于点B ，若2AF FB =u u u r u u u r，则C 的离心率是（ ）A ．3B ．3C D ．211．甲、乙、丙，丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩。
浙江省宁波市九校2020-2021学年高二下学期期末联考数学试题(1)
【分析】
利用特殊值，对函数图象进行排除，由此得出正确选项.
【详解】
由于 ，排除B选项.
由于 ， ，函数单调递减，排除C选项.
由于 ，排除D选项.故选A.
【点睛】
本小题主要考查已知具体函数的解析式，判断函数的图象，属于基础题.
6．D
【解析】
根据题意，从1，2，3，4，5，6，7，8，9中任取四个数，使其和为偶数需要分3种情况讨论：
①当取出的4个数都是奇数,有 种情况，
②当取出的4个数有2个奇数、2个偶数,有 种情况，
③当取出的4个数都是偶数,当取出的数字没有奇数有 种情况，
根据分类计数原理总共有5+60+1=66种取法；
本题选择D选项.
7．C
【解析】
∵1<a<b，∴b−1>a−1>0，∴m=ab−1>aa−1>n=ba−1，则m>n，
16．已知 的最小值为 ，则实数 ____.
17．已知函数 在区间 上有零点 ，则 的最大值是________.
四、解答题
18．已知 ， .
(Ⅰ)求 ；
(Ⅱ)猜想 与 的关系，并用数学归纳法证明.
19．(Ⅰ)已知 ，其中 .（i）求 ；（ii）求 .
(Ⅱ)2021年5月,北京召开“一带一路”国际合作高峰论坛.组委会将甲、乙、丙、丁、戊五名志愿者分配到翻译、导游、礼仪、司机四个不同的岗位，每个岗位至少有一人参加，且五人均能胜任这四个岗位.
【全国校级联考】浙江省宁波市九校2020-2021学年高二下学期期末联考数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
浙江省宁波市2020年高二第二学期数学期末学业质量监测试题含解析
浙江省宁波市2020年高二第二学期数学期末学业质量监测试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设()f x 是定义域为R 的偶函数，且在()0,∞+单调递减，则（ ）A ．233231log 224f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭B ．233231log 224f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭C ．23332122log 4f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭D ．23323122log 4f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭【答案】C 【解析】 【分析】由已知函数为偶函数，把233231log ,2,24f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，转化为同一个单调区间上，再比较大小．【详解】()f x 是R 的偶函数，()331log log 44f f ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭．223303322333log 4log 31,1222,log 422---->==>>∴>>，又()f x 在(0，+∞)单调递减，∴()23323log 422f f f --⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，23323122log 4f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故选C ．【点睛】本题主要考查函数的奇偶性、单调性，解题关键在于利用中间量大小比较同一区间的取值． 2．已知函数()()()10xf x eax ax a a =--+≥，若有且仅有两个整数()1,2i x i =，使得()0i f x <，则a的取值范围为（ ） A ．1,121e ⎡⎫⎪⎢-⎣⎭B ．21,12e -⎡⎫⎪⎢-⎣⎭C ．211,22e -⎛⎤ ⎥-⎝⎦D ．11,212e ⎛⎤⎥-⎝⎦【答案】B分析：数()()()10xf x eax ax a a =--+≥，若有且仅有两个整数()1,2i x i =，使得()0i f x <，等价于1x xe a xe x <-+有两个整数解，构造函数()1xx e h x xe x =-+，利用导数判断函数的极值点在()0,1，由零点存在定理，列不等式组，从而可得结果.. 详解：因为()()0010,10,11xx xx x x x e x e e e ≥<⎧⎧⇒-≥⇒->⎨⎨≥<⎩⎩ 所以110x xe x -+≥>函数()()()10xf x eax ax a a =--+≥，若有且仅有两个整数()1,2i x i =，使得()0i f x <，等价于1xx e a xe x <-+有两个整数解，设()()()()22,'11x x xx x e x e e h x h x xe x xe x --==-+-+， 令()'020xh x x e =⇒--=，令()()2,'10xxg x x e g x e =--=--<恒成立，()g x ∴单调递减，又()()00,10g g ><，∴存在()00,1x ∈，使()()()000,,,h x x x h x =∴∈-∞递增，()()0,,x x h x ∈-∞递减， 若()a h x <解集中的整数恰为2个，则0,1x =是解集中的2个整数，故只需()()()()2222201112121211121a h a h e e a h a e e a h e ⎧<=⎪<=⎪⎪⎨≥=⇒≤<--⎪⎪≥-=⎪-⎩，故选B. 点睛：本题主要考查不等式有解问题以及方程根的个数问题，属于难题.不等式有解问题不能只局限于判别式是否为正，不但可以利用一元二次方程根的分布解题，还可以转化为()a f x ≤有解（max ()a f x ≤即可）或转化为()a f x ≥有解（min ()a f x ≥即可）,另外，也可以结合零点存在定理，列不等式（组）求解. 3．已知定义在R 上的函数()y f x =的导函数为()f x '，满足()()f x f x '>，且()02f =，则不等式()2x f x e >的解集为（ ）A ．(),0-∞B ．()0,∞+C ．(),2-∞D ．()2,+∞【解析】分析：先构造函数()()xf xg x e =，再根据函数单调性解不等式. 详解：令()()x f x g x e =，因为()()()0xf x f xg x e'-'=<，(0)2g = 所以()2()(0)0xf x eg x g x >⇒>⇒< 因此解集为(),0-∞ ， 选A.点睛：利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造. 构造辅助函数常根据导数法则进行：如()()f x f x '<构造()()xf xg x e=，()()0f x f x '+<构造()()xg x e f x =，()()xf x f x '<构造()()f x g x x=，()()0xf x f x '+<构造()()g x xf x =等 4．设0a >，当0x >时，不等式2213(1)ln 222x a x a x a a +-->-恒成立，则a 的取值范围是A ．(0,1)(1,)⋃+∞B ．(0,)+∞C ．(1,)+∞D ．(0,1)【答案】A 【解析】∵当0x >时，不等式()22131ln 222x a x a x a a +-->-恒成立∴当0x >时，不等式()22131ln 2022x a x a x a a +---+>恒成立令2213()(1)ln 2(0)22f x x a x a x a a x =+---+>，则2(1)()(1)()(1)a x a x a x a x f x x a x x x+---+=+--==' ∵0a >∴当0x a <<时，()0f x '<，即()f x 在(0,)a 上为减函数 当x a >时，()0f x '>，即()f x 在(,)a +∞上为增函数∴222min 13()()(1)ln 2ln 022f x f a a a a a a a a a a a a ==+---+=-->，即1ln 0a a --> 令()1ln (0)g a a a a =-->，则11()1a g a a a-'=-=∴当01a <<时，()0g a '<，即()g a 在(0,1)上为减函数 当1a >时，()0g a '>，即()g a 在(1,)+∞上为增函数 ∴()(1)0g a g ≥=∵()0g a > ∴01a <<或1a > 故选A点睛：导数问题经常会遇见恒成立的问题：（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；（2）若()0f x >就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为()min 0f x >，若()0f x <恒成立，转化为()max 0f x <；（3）若()()f x g x >恒成立，可转化为()()min 0f x g x ⎡⎤->⎣⎦.5．已知函数 ()(1)e ln x f x x a x =--在1[,3]2上单调递减，则a 的取值范围是（ ） A ．)39,e ⎡+∞⎣ B ．(3,9e ⎤-∞⎦C ．)24,e ⎡+∞⎣D ．(2,4e ⎤-∞⎦【答案】A 【解析】 【分析】等价于'()e 0xa f x x x=-在1[,3]2上恒成立，即2e x a x 在1[,3]2上恒成立，再构造函数2()e x g x x =并求g(x)的最大值得解.【详解】'()e 0x a f x x x=-在1[,3]2上恒成立，则2e x a x 在1[,3]2上恒成立，令2()e xg x x =，()2'()2e 0xg x x x =+>，所以()g x 在1[,3]2单调递增， 故g(x)的最大值为g(3)=39e . 故39a e ≥. 故选A 【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数研究不等式的恒成立问题，属于基础题. 6．若()2,1,3a x =-，()1,2,9b y =，如果a 与b 为共线向量，则（ ） A ．1x =，1y = B ．16x =-，32y =C ．1x =-，1y =D ．1x =-，1y =-【解析】 【分析】利用向量共线的充要条件即可求出． 【详解】 解：a 与b 为共线向量，∴存在实数λ使得λa b ，∴21239x y λλλ-=⎧⎪=⎨⎪=⎩，解得163213x y λ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩．故选：B ． 【点睛】本题考查空间向量共线定理的应用，属于基础题.7．已知2()(ln )f x x x a a =-+,则下列结论中错误的是（ ） A ．0,0,()0a x f x ∃>∀>≥ B ．000,0,()0a x f x ∃>∃>≤． C ．0,0,()0a x f x ∀>∀>≥ D ．000,0,()0a x f x ∃>∃>≥ 【答案】C 【解析】试题分析：2121'()2(ln )2(ln )2a f x x x a x x x x -=-+⋅=-，当2120a x e-<<时，'()0f x <，()f x 单调递减，同理当212a x e->时，()f x 单调递增，212121()()2a a f x f ee a --==-+最小，显然不等式212a e a ->有正数解（如1a =，（当然可以证明0a >时，21102a e a --+≤）），即存在0a >，使()0f x <最小，因此C 错误．考点：存在性量词与全称量词，导数与函数的最值、函数的单调性． 8．已知n ，*m N ∈，n m ≥，下面哪一个等式是恒成立的（ ） A ．!!mn n C m =B ．!()!A mn n n m =-C ．111m m m n n n C C C --++= D ．111m m m n n n C C C -+++=【答案】B 【解析】利用排列数、组合数公式以及组合数的性质可对各选项中的等式的正误进行判断. 【详解】由组合数的定义可知()!!!mn n C m n m =-，A 选项错误；由排列数的定义可知()!!mn A n n m =-，B选项正确；由组合数的性质可知111r r r n n n C C C ++++=，则C 、D 选项均错误.故选B.【点睛】本题考查排列数、组合数的定义以及组合数的性质的应用，意在考查对这些公式与性质的理解应用，属于基础题.9．已知1~(4,)3B ξ，并且23ηξ=+，则方差D η=（） A ．932 B ．98C ．943D ．959【答案】A 【解析】试题分析：由1~(4,)3B ξ得()()()1283242343399D D D D ξηξξ=⨯⨯=∴=+== 考点：随机变量的期望10．在射击训练中，某战士射击了两次，设命题p 是“第一次射击击中目标”，命题q 是“第二次射击击中目标”，则命题“两次射击中至少有一次没有击中目标”为真命题的充要条件是（ ）． A ．()()p q ⌝∨⌝为真命题 B ．()p q ∨⌝为真命题 C ．()()p q ⌝∧⌝为真命题 D ．p q ∨为真命题【答案】A 【解析】 【分析】由已知，先表示出命题“两次射击至少有一次没有击中目标”()()p q ⌝∨⌝，在选择使该命题成立的一个充分条件. 【详解】命题p 是“第一次射击击中目标”， 命题q 是“第二次射击击中目标”，∴命题“两次射击至少有一次没有击中目标”()()p q ⌝∨⌝,“两次射击中至少有一次没有击中目标”为真命题的充要条件:()()p q ⌝∨⌝为真. 故选：A ． 【点睛】本题考查的知识点是事件的表示，本题考查复合命题的真假的判断，考查充分条件的选择,属于基础题. 11．在平面直角坐标系中,方程1x ya b+=表示在x 轴、y 轴上的截距分别为,a b 的直线,类比到空间直角坐标系中,在x 轴、y 轴、z 轴上的截距分别为(),,0a b c abc ≠的平面方程为( )A ．1x y z a b c ++=B ．1x y z ab bc ca++= C ．1xy yz zx ab bc ca++= D ．1ax by cz ++=【答案】A 【解析】 【分析】平面上直线方程的截距式推广到空间中的平面方程的截距式是1x y za b c++=. 【详解】由类比推理得：若平面在x 轴、y 轴、z 轴上的截距分别为,,a b c ，则该平面的方程为：1x y za b c++=，故选A . 【点睛】平面中的定理、公式等类比推理到空间中时，平面中的直线变为空间中的直线或平面，平面中的面积变为空间中的体积.类比推理得到的结论不一定正确，必要时要对得到的结论证明.如本题中，可令0,0x y ==，看z 是否为c .12．设e a =，πln πb =，3ln3c =，则,,a b c 大小关系是( ) A ．a c b << B ．b c a << C ．c b a << D ．c a b <<【答案】A 【解析】 【分析】根据,,a b c 三个数的特征，构造函数()ln xf x x=，求导，判断函数的单调性，利用函数的单调性可以判断出,,a b c 的大小关系. 【详解】解:考查函数()ln xf x x=，则2ln 1()(ln )x f x x -'=，()f x 在(e,)+∞上单调递增，e 3π<<，(e)(3)(π)f f f ∴<<，即e 3πlne ln3ln π<<，a c b <<，故选A. 【点睛】本题考查了通过构造函数，利用函数的单调性判断三个数大小问题，根据三个数的特征构造函数是解题的关键.二、填空题：本题共4小题 13．命题：“0x R ∃∈，使得200104x x -+>”的否定是_______. 【答案】x R ∀∈，2104x x -+≤ 【解析】 【分析】直接利用特称命题的否定解答即可. 【详解】因为特称命题的否定是全称命题, 所以命题：“0x R ∃∈，使得200104x x -+>”的否定是：x R ∀∈，2104x x -+≤. 故答案为：x R ∀∈，2104x x -+≤. 【点睛】本题主要考查特称命题的否定，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.14．已知椭圆Γ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为2，三角形ABC 的三个顶点都在椭圆Γ上，设它的三条边AB 、BC 、AC 的中点分别为D 、E 、F ，且三条边所在直线的斜率分别1k 、2k 、3k ，且1k 、2k 、3k 均不为0.O 为坐标原点，若直线OD 、OE 、OF 的斜率之和为1，则123111k k k ++= ______. 【答案】2- 【解析】 【分析】求出椭圆方程，设出,,A B C 的坐标，利用椭圆中的结论：22AB ODb k k a ⋅=-，22BC OE b k k a⋅=-，22AC OFb k k a⋅=-，结合直线,,OD OE OF 的斜率之和为1进行运算.【详解】因为椭圆的离心率为2，所以2222222c c a a b a =⇒=⇒=，又22AB ODb k k a ⋅=-，22BC OE b k k a ⋅=-，22AC OF b k k a⋅=-，所以221OD AB a k k b =-⋅，221OE BC a k k b =-⋅，221OF AC a k k b =-⋅， 所以22123(121)1OD OE OF a k k k bk k k -+++==-+. 故答案为：-2 【点睛】解析几何小题若能灵活利用一些二级结论，能使问题的求解更简便，计算量更小，本题22AB OD b k k a⋅=-等三个结论均可利用设而不求点差法证出.15．设圆x 2+y 2＝1上的动点P 到直线3x+4y ﹣10＝0的距离为d ，则d 的最大值为_____． 【答案】3 【解析】 【分析】将问题转化为求圆心到直线的距离加上半径，再由点到直线的距离公式可得结果. 【详解】依题意可知，圆x 2+y 2＝1上的动点P 到直线3x+4y ﹣10＝0的距离的最大值等于圆心到直线的距离加上半径，因为圆心(0,0)到直线34100x y +-=2=，圆的半径为1，所以d 的最大值为213+=. 故答案为：3. 【点睛】本题考查了点到直线的距离公式，属于基础题.16．已知sin76m ︒=，则cos7︒=________.（用含m 的式子表示）【答案】2【解析】 【分析】通过寻找76︒，7︒与特殊角90︒的关系，利用诱导公式及二倍角公式变形即可．【详解】因为sin76m ︒=，即()sin 9014m ︒-︒=，所以cos14m ︒=， 所以22cos 71m ︒-=，所以21cos141cos 722m+︒+︒==，又cos 72ο==. 【点睛】本题主要考查诱导公式和二倍角公式的应用，意在考查学生分析解决问题的能力． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
2020-2021学年浙江省宁波市奉化区高二下学期期末统考数学试题及答案
宁波市奉化区2020-2021学年高二下学期期末统考数学试题本试题卷分选择题和非选择题两部分，全卷共4页；满分150分，考试时间120分钟.选择题部分 (共40分)一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．1． 1.直线31y x =-+的倾斜角是（ ） A.π6 B.π3 C.2π3D.5π62．已知命题：“若，则”，则命题的原命题、逆命题、否命题和逆否命题中真命题的个数是（ ）A. 0B. 1C. 2D. 43．设,m n 是不同的直线，,αβ是不同的平面，下列命题中正确的是（ ） A. 若//m α，n β⊥，//m n ，则αβ⊥ B. 若//m α，n β⊥，m n ⊥，则αβ⊥ C. 若//m n ，//m α，βn//，则//αβD. 若m α⊂，n ⊂α，//m β，βn//，则//αβ4．如图所示，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是等腰梯形OA 'B 'C '，且直观图OA 'B 'C '的面积为2，则该平面图形的面积为（ ） A ．2 B ．4 C ．4D ．25．已知直线1l ：114y x =--，2l ：22y k x =-，则 “2k =”是 “12l l ⊥”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6﹒在空间直角坐标系中，点()2,1,4P -关于x 轴的对称点的坐标为（ ） A ．()2,1,4-- B ．()2,1,4--- C ．()2,1,4- D ．()2,1,4-7．过点()2,0-P 的直线交抛物线216y x =于11(,)A x y 22(,)B x y 两点，且22121y y -=，则△OAB (O 为坐标原点)的面积是（ ）A ．12 B.14C.18 D.1168．正方体1111D C B A ABCD －中，二面角11B BD A --的大小是（ ）A ．3π B ．6π C ．32π D ．65π 9.已知是双曲线的右焦点，若双曲线左支上存在一点P ，使渐近线上任意一点Q ，都有，则此双曲线的离心率为A ．B ．C ．2D ．10．在矩形ABCD 中，4AB =，3AD =，E 为边AD 上的一点，1DE =，现将ABE ∆沿直线BE 折成A BE ∆'，使得点A '在平面BCDE 上的射影在四边形BCDE 内（不含边界），设二面角A BE C '--的大小为θ，直线A B '，'A C 与平面BCDE 所成的角分别为,αβ，则（ ）A ．αβθ<<B ．βθα<<C ．αθβ<<D ．βαθ<<二．填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分． 11．已知平行直线012:,012:21=++=-+y x l y x l ，则21,l l 的距离________；点()0,2到直线1l 的距离 ．12．双曲线2212x y -=的焦距是 ， 渐近线方程是 ．13．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ，表面积为14．已知圆C 的圆心()2,0，点()1A -，1在圆C 上，则圆C 的方程是 ；以A 为切点的圆C 的切线方程是 ．15．已知空间中三点A (－2，0，2)，B (－1，1，2)，C(－3，0，4)，设a ＝AB →，b ＝AC →. 则向量a 与向量b 的夹角的余弦值. ．16．已知在矩形ABCD 中，AB ＝，BC ＝a ，PA ⊥平面ABCD ，若在BC 上存在点Q 满足PQ ⊥DQ ，则a 的最小值是 ．17．已知长方体1111D C B A ABCD -，1==BC AB ，21=AA ，点P 是面11A BCD 上异于1D 的一动点，则异面直线1AD 与BP 所成最小角的正弦值为 ．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18.（本题满分14分）已知方程2214x y m m+=-（m R ∈）表示双曲线。