热传导方程抛物型偏微分方程和基本知识
热传导方程抛物型偏微分方程和基本知识
热传导⽅程抛物型偏微分⽅程和基本知识1. 热传导的基本概念1.1温度场⼀物体或系统内部，只要各点存在温度差，热就可以从⾼温点向低温点传导，即产⽣热流。
因此物体或系统内的温度分布情况决定着由热传导⽅式引起的传热速率（导热速率）。
温度场：在任⼀瞬间，物体或系统内各点的温度分布总和。
因此，温度场内任⼀点的温度为该点位置和时间的函数。
〖说明〗若温度场内各点的温度随时间变化，此温度场为⾮稳态温度场，对应于⾮稳态的导热状态。
若温度场内各点的温度不随时间变化，此温度场为稳态温度场，对应于稳态的导热状态。
若物体内的温度仅沿⼀个坐标⽅向发⽣变化，且不随时间变化，此温度场为⼀维稳态温度场。
1.2 等温⾯在同⼀时刻，具有相同温度的各点组成的⾯称为等温⾯。
因为在空间同⼀点不可能同时有两个不同的温度，所以温度不同的等温⾯不会相交。
1.3 温度梯度从任⼀点起沿等温⾯移动，温度⽆变化，故⽆热量传递；⽽沿和等温⾯相交的任⼀⽅向移动，温度发⽣变化，即有热量传递。
温度随距离的变化程度沿法向最⼤。
温度梯度：相邻两等温⾯间温差△t与其距离△n之⽐的极限。
〖说明〗温度梯度为向量，其正⽅向为温度增加的⽅向，与传热⽅向相反。
稳定的⼀维温度场，温度梯度可表⽰为：grad t = dt/dx2. 热传导的基本定律——傅⽴叶定律物体或系统内导热速率的产⽣，是由于存在温度梯度的结果，且热流⽅向和温度降低的⽅向⼀致，即与负的温度梯度⽅向⼀致，后者称为温度降度。
傅⽴叶定律是⽤以确定在物体各点存在温度差时，因热传导⽽产⽣的导热速率⼤⼩的定律。
定义：通过等温⾯导热速率，与其等温⾯的⾯积及温度梯度成正⽐：q = dQ/ds = -λ·dT/dX式中：q 是热通量（热流密度），W/m2dQ是导热速率，WdS是等温表⾯的⾯积，m2λ是⽐例系数，称为导热系数，W/m·℃dT / dX 为垂直与等温⾯⽅向的温度梯度“－”表⽰热流⽅向与温度梯度⽅向相反3. 导热系数将傅⽴叶定律整理，得导热系数定义式：λ= q/(dT/dX)物理意义：导热系数在数值上等于单位温度梯度下的热通量。
偏微分方程重点知识点总结
偏微分方程重点知识点总结一、偏微分方程的基本概念1. 偏导数偏微分方程是指含有多个自变量的函数的偏导数的方程。
在一元函数中，我们只需要考虑函数关于一个自变量的变化率，而在多元函数中，我们需要考虑函数关于每一个自变量的变化率，这就是偏导数的概念。
假设有一个函数f(x, y)，它对x的偏导数记作∂f/∂x，对y的偏导数记作∂f/∂y。
分别表示函数f关于x和y的变化率。
2. 偏微分方程的定义偏微分方程是一类包含多个自变量的偏导数的方程。
它通常表示物理、化学或工程问题中的一些基本规律。
偏微分方程通常可以用数学语言描述为F(x, y, u, ∂u/∂x, ∂u/∂y, ∂^2u/∂x^2, ∂^2u/∂y^2,…) = 0其中u是未知函数，x和y是自变量，F是已知函数。
二、偏微分方程的分类1. 齐次偏微分方程和非齐次偏微分方程齐次偏微分方程是指方程中不含有常数项或只含有未知函数及其偏导数项的方程，非齐次偏微分方程是指方程中含有常数项或者其他函数的项的方程。
2. 线性偏微分方程和非线性偏微分方程线性偏微分方程是指偏微分方程中未知函数及其各阶偏导数只含一次且不含未知函数的乘积的方程，非线性偏微分方程是指未知函数及其各阶偏导数含有未知函数的乘积的方程。
3. 定解问题定解问题是指在偏微分方程中，给出一些附加条件，使得可以从整个解的集合中找到符合这些条件的特定解。
定解问题通常包括边界条件和初始条件。
三、偏微分方程的解法1. 分离变量法分离变量法是对于一些特定形式的偏微分方程，可以通过假设解具有特定的形式来进行求解。
例如，对于一些可以分离变量的方程，我们可以假设解为u(x, y) = X(x)Y(y)，然后将方程进行变形，从而可以将偏微分方程化简为两个常微分方程，然后对这两个常微分方程分别求解。
2. 特征线法对于二阶线性偏微分方程，可以通过引入特征线的方法进行求解。
特征线方法可以将二阶偏微分方程化为两个一阶偏微分方程，然后对这两个一阶偏微分方程进行分别求解。
高等数学中的偏微分方程
高等数学中的偏微分方程在高等数学领域中，偏微分方程是一个重要的研究对象。
它是通过对函数的偏导数进行求解得到的方程，常常被用来描述自然界中的一些现象和非线性动态系统。
本文将介绍偏微分方程的基本概念、分类、解的方法以及在实际应用中的一些例子。
一、基本概念偏微分方程是包含多个未知函数的方程，其中函数的偏导数是方程的基本构成部分。
偏微分方程通常用来描述物理、生物、经济等领域中的问题，在不同的领域中有着不同的应用。
二、分类根据方程中出现的未知函数的个数和偏导数的阶数，偏微分方程可以分为几个主要类型：椭圆型偏微分方程、双曲型偏微分方程和抛物型偏微分方程。
具体的分类方法可以根据方程的形式和性质进行。
1. 椭圆型偏微分方程椭圆型偏微分方程的特点是方程中出现的未知函数的二阶偏导数的系数均不为零，通常用来描述稳态问题和静电场分布等现象。
2. 双曲型偏微分方程双曲型偏微分方程的特点是方程中出现的未知函数的二阶偏导数的系数满足双曲性条件，通常用来描述波动、传播等动态问题。
3. 抛物型偏微分方程抛物型偏微分方程的特点是方程中出现的未知函数的二阶偏导数的系数满足抛物性条件，通常用来描述热传导和扩散等问题。
三、解的方法求解偏微分方程通常是一个复杂的问题，不同类型的方程需要采用不同的方法进行求解。
下面介绍几种常用的解的方法。
1. 分离变量法分离变量法适用于一些特殊的偏微分方程，可以将多元函数的偏导数分离为几个单变量函数的常微分方程，通过求解这些常微分方程得到原方程的解。
2. 特征线法特征线法适用于一些双曲型偏微分方程，可以通过选取合适的坐标系和变换将方程化为常微分方程，进而求解得到解的形式。
3. 变换方法变换方法是一种常用的解偏微分方程的技巧，可以通过适当的变量代换将原方程转化为更简单的形式，然后进一步求解。
四、实际应用偏微分方程在实际应用中有着广泛的应用。
以下是一些例子：1. 热传导方程热传导方程是抛物型偏微分方程的一种，在描述热传导过程中起着重要的作用。
大学数学易考知识点偏微分方程的基本理论和解法
大学数学易考知识点偏微分方程的基本理论和解法大学数学易考知识点：偏微分方程的基本理论和解法一、引言数学作为一门基础学科，广泛应用于各行各业。
在大学数学课程中，偏微分方程是一个重要的知识点。
本文将介绍偏微分方程的基本理论和解法，帮助大家更好地掌握这一知识点。
二、偏微分方程的基本概念1. 偏微分方程的定义偏微分方程是含有未知函数及其偏导数的方程。
它与常微分方程不同之处在于，偏微分方程中的未知函数不仅依赖于自变量，还依赖于各个自变量的偏导数。
2. 偏微分方程的分类偏微分方程根据方程中出现的未知函数的偏导数的阶数和个数，可以分为常系数偏微分方程和变系数偏微分方程；根据方程类型，可以分为椭圆型、双曲型和抛物型等不同类型的方程。
三、偏微分方程的基本理论1. 解的存在性和唯一性对于线性偏微分方程，满足一定的初值条件和边值条件时，解的存在性和唯一性可以得到保证。
这一结论对于求解实际问题具有重要的意义。
2. 偏微分方程的解的性质偏微分方程解的性质包括可微性、连续性以及一定的物理意义。
解的性质可以通过数学推导和物理分析得到。
四、偏微分方程的解法1. 常系数偏微分方程的解法常系数偏微分方程包括常系数线性偏微分方程和常系数非线性偏微分方程。
对于常系数线性偏微分方程，可以使用特征线法、分离变量法等方法求解；对于常系数非线性偏微分方程，可以使用变量分离法等方法求解。
2. 变系数偏微分方程的解法对于变系数偏微分方程，一般的解法是利用变换法将其转化为常系数偏微分方程。
常用的变换方法包括相似变量法、积分因子法等。
五、应用实例1. 热传导方程的求解热传导方程是一个典型的偏微分方程，描述了物体内部温度随时间和空间的变化规律。
采用分离变量法或者变量分离法可以求解该方程，从而得到物体内部的温度分布。
2. 波动方程的求解波动方程描述了波动现象的传播规律。
通过变量分离法或者特征线法可以求解波动方程，得到波动的传播速度和波形。
六、总结通过对偏微分方程的基本理论和解法的介绍，我们可以看到偏微分方程是数学中一个重要且广泛应用的知识点。
数学的偏微分方程基础
数学的偏微分方程基础偏微分方程（Partial Differential Equations，简称PDEs）是描述物理、工程和数学问题中变量与它们的偏导数之间关系的方程。
偏微分方程在科学研究和工程实践中具有广泛应用，涉及物理学、生物学、工程学等诸多领域。
本文将介绍偏微分方程的基础知识、分类和解法。
一、基础知识1. 偏导数在介绍偏微分方程之前，我们首先需要了解偏导数的概念。
偏导数衡量了一个函数在某一变量上的变化率，但只考虑其他变量固定。
对于函数f(x, y)，其关于x的偏导数表示为∂f/∂x，关于y的偏导数表示为∂f/∂y。
2. 偏微分方程偏微分方程是包含未知函数的偏导数的方程。
通常用u表示未知函数，其中u的自变量可以是多个变量，如u(x, y) 或 u(x, y, t)。
常见的偏微分方程类型有椭圆型、双曲型和抛物型。
二、分类1. 椭圆型偏微分方程椭圆型偏微分方程中，二阶导数的符号一致。
典型的椭圆型方程是拉普拉斯方程（Laplace's Equation），它描述了平衡状态下的物理系统。
2. 双曲型偏微分方程双曲型偏微分方程中，相对于时间t的一阶和二阶导数的符号相反。
经典的双曲型方程是波动方程（Wave Equation），它描述了波的传播和反射现象。
3. 抛物型偏微分方程抛物型偏微分方程中，时间t的一阶导数与空间变量的二阶导数具有相同的符号。
常见的抛物型方程是热传导方程（Heat Equation），它描述了物质的热传导现象。
三、解法1. 分离变量法分离变量法是求解偏微分方程的一种常用方法。
该方法基于假设解可以分解为多个单独变量的乘积形式，然后通过将方程两边分离各个变量并进行积分来求解。
2. 特征线法特征线法适用于双曲型偏微分方程。
通过寻找曲线（称为特征线），使得偏微分方程在沿特征线的方向上退化为常微分方程，从而简化求解过程。
3. 变换方法变换方法将原始的偏微分方程转换为另一个更容易求解的形式。
偏微分方程的基本概念与分类
偏微分方程的基本概念与分类偏微分方程（Partial Differential Equation，简称PDE）是描述自然现象中变量之间关系的数学方程。
与常微分方程（Ordinary Differential Equation，简称ODE）不同，PDE中的未知函数包括多个自变量。
偏微分方程在物理、工程、经济学等科学领域中起着重要的作用。
本文将介绍偏微分方程的基本概念与分类。
一、基本概念1. 偏导数（Partial Derivative）：偏导数是指一个多元函数对其中某一个自变量的导数。
对于函数f(x1, x2, ..., xn)，它的第i个自变量xi的偏导数表示为∂f/∂xi。
2. 偏微分方程（Partial Differential Equation）：偏微分方程是包含偏导数的方程，它的解是由未知函数和它的偏导数组成。
一般形式为F(x1, x2, ..., xn, u, ∂u/∂x1, ∂u/∂x2, ..., ∂u/∂xn) = 0，其中u表示未知函数，∂u/∂xi表示偏导数。
3. 解的阶数（Order of Solution）：偏微分方程解的阶数是指解中包含的最高阶导数的阶数。
阶数决定了方程解的光滑程度。
二、分类偏微分方程按照数学形式、物理意义、解的性质等多种方式进行分类。
以下是常见的几种分类方式：1. 分类一：线性与非线性线性偏微分方程满足叠加原理，其解的线性组合仍然是方程的解。
常见的线性偏微分方程有波动方程、热传导方程和拉普拉斯方程等。
非线性偏微分方程则不满足叠加原理，其解的性质更加复杂。
2. 分类二：齐次与非齐次齐次偏微分方程中，方程的右侧项为零。
齐次方程的解中，只包含满足方程的线性组合。
非齐次方程则包含了右侧项对应的特解。
非齐次方程的解是齐次解与特解的和。
3. 分类三：椭圆型、双曲型和抛物型椭圆型偏微分方程的典型代表是拉普拉斯方程，它描述了稳态情况下的物理问题。
双曲型方程的典型代表是波动方程，描述了弦上的振动等动态问题。
偏微分方程原理
偏微分方程原理一、偏微分方程的基本概念偏微分方程是数学中研究函数和其偏导数之间关系的方程。
这些方程在许多科学领域，如物理学、工程学、经济学等都有广泛的应用。
偏微分方程通常包含未知函数及其偏导数，通过这些偏导数来描述未知函数的行为。
二、偏微分方程的分类根据方程的形式和性质，偏微分方程可以分为以下几类：1.椭圆型方程：如拉普拉斯方程和泊松方程，这类方程在物理和工程中经常出现。
2.双曲型方程：如热传导方程和波动方程，这类方程在研究自然现象中变化过程的动态特性时常用。
3.抛物型方程：如热方程，这类方程描述的是随时间变化的过程。
4.线性偏微分方程：如常微分方程，这类方程在许多领域都有应用。
三、偏微分方程的解法偏微分方程的解法通常包括分离变量法、有限差分法、有限元法等。
这些方法可以根据问题的具体情况选择合适的解法。
四、偏微分方程的应用偏微分方程在许多领域都有广泛的应用，如物理学、工程学、经济学等。
例如，在物理学中，偏微分方程可以用来描述物体的运动规律；在工程学中，偏微分方程可以用来描述流体的运动规律；在经济学中，偏微分方程可以用来描述市场的动态变化。
五、偏微分方程的数值解法由于偏微分方程的求解通常涉及到复杂的数学运算和物理现象，因此在实际应用中，我们通常使用数值方法来求解偏微分方程。
这些数值方法包括有限差分法、有限元法、谱方法等。
这些方法可以将偏微分方程转化为计算机可以处理的数值问题，从而得到近似解。
六、偏微分方程的稳定性稳定性是偏微分方程的一个重要性质，它描述了当时间或空间参数发生变化时，解的变化情况。
如果解随时间或空间的变化而稳定，那么我们可以认为该解是稳定的。
如果解随时间或空间的变化而发散或产生振荡，那么我们可以认为该解是不稳定的。
稳定性问题在偏微分方程的研究和应用中具有重要意义。
七、偏微分方程的对称性和守恒律对称性和守恒律是偏微分方程的另一个重要性质。
对称性描述了偏微分方程在某种变换下的不变性；守恒律描述了偏微分方程在时间或空间上的总量保持不变的性质。
pde 方程
pde 方程抛物型偏微分方程及其应用引言：偏微分方程（Partial Differential Equation，简称PDE）是数学中的一个重要分支，它描述了自然界中的许多现象和规律。
本文将重点介绍一类常见的PDE方程——抛物型偏微分方程，以及它在物理、工程等领域中的应用。
一、抛物型偏微分方程的定义和特点抛物型偏微分方程是指具有一阶时间导数和二阶或更高阶空间导数的偏微分方程。
其一般形式可以表示为：∂u/∂t = a∂²u/∂x² + bu + c其中，u代表未知函数，t和x分别表示时间和空间变量，a、b和c 为常数。
抛物型偏微分方程具有以下特点：1. 方程中包含时间导数，因此描述的是随时间变化的系统或现象。
2. 方程中包含二阶或更高阶空间导数，因此描述的是具有扩散、传导等特性的系统或现象。
3. 方程中的系数a、b和c可以是常数，也可以是与时间和空间变量有关的函数。
二、抛物型偏微分方程的应用抛物型偏微分方程在物理、工程等领域中具有广泛的应用。
以下是其中几个典型的应用：1. 热传导方程热传导方程是抛物型偏微分方程的一个重要应用。
它描述了物体内部的温度分布随时间的变化规律。
热传导方程在热学、材料科学等领域中有广泛的应用，如研究材料的热稳定性、热传导性能等。
2. 扩散方程扩散方程也是抛物型偏微分方程的一种应用。
它描述了物质在空间中的扩散过程，如溶质在溶液中的扩散、气体的扩散等。
扩散方程在化学反应、生物学、环境工程等领域中有重要的应用价值。
3. 粘弹性流体方程粘弹性流体方程是一类描述粘弹性流体流动行为的抛物型偏微分方程。
它在流体力学、工程领域中有广泛的应用，如石油工程中的油藏模拟、地下水流动模拟等。
4. 扩散反应方程扩散反应方程是描述物质在扩散和反应过程中的变化规律的抛物型偏微分方程。
它在化学动力学、生物学等领域中有重要的应用，如描述化学反应速率、生物体内物质传输等。
三、抛物型偏微分方程的数值解法由于抛物型偏微分方程的解析解往往难以求得，因此需要采用数值方法进行求解。
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1. 热传导的基本概念1.1温度场一物体或系统内部，只要各点存在温度差，热就可以从高温点向低温点传导，即产生热流。
因此物体或系统内的温度分布情况决定着由热传导方式引起的传热速率（导热速率）。
温度场：在任一瞬间，物体或系统内各点的温度分布总和。
因此，温度场内任一点的温度为该点位置和时间的函数。
〖说明〗若温度场内各点的温度随时间变化，此温度场为非稳态温度场，对应于非稳态的导热状态。
若温度场内各点的温度不随时间变化，此温度场为稳态温度场，对应于稳态的导热状态。
若物体内的温度仅沿一个坐标方向发生变化，且不随时间变化，此温度场为一维稳态温度场。
1.2 等温面在同一时刻，具有相同温度的各点组成的面称为等温面。
因为在空间同一点不可能同时有两个不同的温度，所以温度不同的等温面不会相交。
1.3 温度梯度从任一点起沿等温面移动，温度无变化，故无热量传递；而沿和等温面相交的任一方向移动，温度发生变化，即有热量传递。
温度随距离的变化程度沿法向最大。
温度梯度：相邻两等温面间温差△t与其距离△n之比的极限。
〖说明〗温度梯度为向量，其正方向为温度增加的方向，与传热方向相反。
稳定的一维温度场，温度梯度可表示为：grad t = dt/dx2. 热传导的基本定律——傅立叶定律物体或系统内导热速率的产生，是由于存在温度梯度的结果，且热流方向和温度降低的方向一致，即与负的温度梯度方向一致，后者称为温度降度。
傅立叶定律是用以确定在物体各点存在温度差时，因热传导而产生的导热速率大小的定律。
定义：通过等温面导热速率，与其等温面的面积及温度梯度成正比：q = dQ/ds = -λ·dT/dX式中：q 是热通量（热流密度），W/m2dQ是导热速率，WdS是等温表面的面积，m2λ是比例系数，称为导热系数，W/m·℃dT / dX 为垂直与等温面方向的温度梯度“－”表示热流方向与温度梯度方向相反3. 导热系数将傅立叶定律整理，得导热系数定义式：λ= q/(dT/dX)物理意义：导热系数在数值上等于单位温度梯度下的热通量。
因此，导热系数表征物体导热能力的大小，是物质的物性常数之一。
其大小取决于物质的组成结构、状态、温度和压强等。
导热系数大小由实验测定，其数值随状态变化很大。
3.1 固体的导热系数金属：35～420W/(m·℃)，非金属：0.2～3.0W/ (m·℃)〖说明〗固体中，金属是最好的导热体。
纯金属：t↗，λ↘；金属：纯度↗，λ↗非金属：ρ，t↗，λ↗。
对大多数固体，λ值与温度大致成线性关系：λ=λ0（1+βt）式中：λ是固体在温度为 t℃时的导热系数，W/(m·℃)λ0是固体在温度为0℃时的导热系数，W/(m·℃)β是温度系数，大多数金属：β<0，大多数非金属：β>03.2 液体的导热系数液体导热系数：0.07～0.7W/(m·℃)t↗，λ↘（水、甘油除外）★金属液体：其λ比一般液体高，其中纯Na最高★非金属液体：纯液体的λ比其溶液的大3.3 气体的导热系数气体的导热系数：0.006～0.67W/(m·℃)温度的影响：t↗，λ↗P的影响：★一般压强范围内，λ随压强变化很小，可忽略★过高（>2×105kPa）、过低（<3kPa）时，P↗，λ↗气体的导热系数小，对导热不利，但有利于保温、绝热3.4 影响导热系数的因素不同的物体有不同的λ，λ金属> λ固> λ液> λ气（与分子距离有关）；同种物体的化学组成愈纯、λ越大；如纯铜λ=330[千卡/米·时·℃]，如纯铜中含有微量的砷时λ=122[千卡/米·时·℃]；内部结构愈紧密、λ值愈大；如聚异氰酸酯塑料λ=0.18[千卡/米·时·℃],而聚异氰酸酯泡沫塑料（低温保冷材料）的λ=0.015～0.023[千卡/米·时·℃]；物理状态：λ冰=1.93[千卡/米·时·℃]，λ水=0.49[千卡/米·时·℃]，λ水蒸气=0.0139[千卡/米·时·℃]；湿度：湿材料的导热系数比同样组成的材料要高。
因为湿材料含水多，而干材料有空气。
（λ水>λ气）；温度：气体，蒸汽，建筑材料和绝热材料的λ值，随温度升高而增大。
大部分液体（水与甘油除外）和大部分金属的λ值随温度升高而降低；压强：因为液体可视为不可以压缩，因此压强影响可以忽略。
压强对气体的影响（高于2×105[kPa]或低于3[Kpa]）下，才考虑压强的影响，此时导热系数随压强增高而变大。
导热本质是分子振动传热，它取决于物质（分子排列）的疏松程度和温度（分子振动的速度）。
矛盾的主要方面决定事物的性质，所以气体，蒸汽，建筑材料和绝热材料的λ值，随温度升高而增大；大部分液体（水与甘油除外）和大部分金属的λ值随温度升高而降低。
在工程计算时，温度的变化在不大的范围内，对大部分材料来说，可以认为导热系数随温度是线性关系的，即：λ = λo(1+b t )式中：t 为温度λo为温度为0℃时的导热系数b是由实验测定的常数。
在实际计算时，一般可以取其平均温度时的导热系数的数值，在计算中作为常数处理。
按照国家标准（GB4272-92）的规定，凡平均温度不高于350℃，导热系数的数值不大于0.12W/M·K材料称为绝热保温材料（隔热材料或热绝缘材料）。
特点：是内部有很多细小的空隙，其中充满气体，因而并非为密实固体。
但由于其空隙细小，气体在其内部可视为静止的，主要以导热的方式传热，高温时还伴有辐射方式。
气体导热系数小，最终使得整个隔热材料的导热系数（也称表观导热系数）的数值非常小，达到隔热保温的作用。
影响因素：对绝热保温材料，除了要考虑温度的影响以外，还必须注意到湿度的影响。
在使用这类绝热保温材料的场合，必须要注意防潮。
热传导方程--抛物型偏微分方程简称抛物型方程，一类重要的偏微分方程。
热传导方程是最简单的一种抛物型方程。
热传导方程 研究热传导过程的一个简单数学模型。
根据热量守恒定律和傅里叶热传导实验定律导致热传导方程[507-01](1)式中是温度;[kg2]是拉普拉斯算符;是导温系数;[507-00]；[kg2]是热传导系数；[kg2]分别是比热和密度；[507-03]；是外加热源密度自然界还有很多现象同样可以用方程(1)来描述,例如分子在介质中的扩散过程等，因此方程(1)通常亦称为扩散方程。
定解问题 为了确定一个具体的热传导过程，除了列出方程(1)以外,还必须知道物体的初始温度（初始条件）和在它的边界上所受到的外界的影响(边界条件)。
初始条件：[507-04] (2) 边界条件，最通常的形式有三类。
第一边界条件（或称狄利克雷条件）：[507-05] (3)即表面温度为已知函数。
第二边界条件（或称诺伊曼条件）：[507-06] (4)式中是的外法向，即通过表面的热量已知。
第三边界条件（或称罗宾条件）：[508-01](5)式中≥0；即物体表面给定热交换条件。
除了以上三类边界条件外还可以在边界[kg1]上给定其他形式的边界条件，如斜微商条件、混合边界条件等。
方程(1)连同初始条件(2)以及边界条件(3)、(4)、(5)中的任意一个一起构成了一个定解问题,根据边界条件的不同形式，分别称为第一、二、三边值问题，统称为热传导方程的初边值问题或混合问题。
若≡,[kg2]则由方程(1)和初始条件(2)构成的定解问题称为热传导方程的初值问题或柯西问题。
基本解与格林函数 基本解是点热源的影响函数。
如果在=0时刻在(,,)处给定单位点热源,即(,，,0)=(,,)（是狄克函数），则当>0时由它引起的在全空间的温度分布(即热传导方程(1)的解)称为热传导方程的基本解。
通过傅里叶变换可以得到它的表达式。
当>0时[508-02][508-03]热传导方程初值问题(1)、(2)的解可通过叠加的步骤由基本解生成[508-04][508-05][508-06]。
对于一个有界区域,若边界温度为零,在初始时刻在(,,)处给定一个单位点热源(,,,0)=(，，),当>0时由它引起在内的温度分布（即热传导方程的解）称为热传导方程第一边值问题的格林函数，记作(-,-,-,)。
根据格林公式[508-07][508-08]，式中是的共轭算子，[508-09]任意第一边值问题(1)(2)、(3)的解都可通过格林函数表为[508-10][508-11][508-12]；格林函数可以通过基本解来表示：[508-13][508-14]这里[508-15]时是一个定义在×[0,∞)上的充分光滑函数。
对于一维问题或为立方体等特殊区域，格林函数可以通过分离变量法或镜像法去求得。
极值原理 一个内部有热源的热传导过程（即在方程(1)中≥0）,它的最低温度一定在边界上或初始时刻达到，这就是所谓的极值原理。
事实上，还可以有更强的结论：①如果在=[kg1][kg1]时在内部某一点达到了最低温度，那么在这个时刻以前(即<时)整个物体的温度等于常数，这就是所谓的强极值原理；②如果这个最低温度只在[kg1]=[kg1][kg1]时刻的某一边界点[kg1][kg1]达到，那么在这一点上[508-16](是的外法向)，此即所谓的边界点引理。
极值原理与边界点引理在热传导方程的研究中有很多应用，它的一个最直接的推论就是导出了热传导方程初边值问题解的惟一性和稳定性。
至于初值问题(1)(2)的解的惟一性,它与解在无穷远点的性态有关。
如果对于初值问题(1)(2),附加上无穷远点增长阶的限制[508-17]，这里，是任意给定正常数,那么由极值原理可以证明初值问题(1)、(2)的解必惟一。
解的正则性（光滑性） 若≡0，则由初值问题解的表达式可看出,若(,,)有界连续,则初值问题(1)、(2)的解(,,,)当>0时都是无穷次连续可微的,而且关于空间变量，，是解析的，关于时间变量属于谢弗莱二类函数，即在｜｜<内满足[508-18]当0时,热传导方程解的可微性质与[kg1]的性质有关,例如为了得到热传导方程的古典解，除了需要假定(,，,)连续以外,还要求对，，或对是赫尔德连续的。
解的渐近性如果边界上的温度以及热源密度与时间无关(即[508-19])，则热传导过程将趋于稳定状态，也就是当→∞时,不管什么初始条件，物体内部温度总趋于同一个极限（稳定态的温度分布(,,)），它是椭圆边值问题：[508-23][508-24]的解。
解的半群性质 热传导是一个单向的不可逆过程，热总是由高温流向低温。