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2020-2021学年江苏省南京市中考数学二模试卷及答案解析

江苏省南京市中考数学二模试卷一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1．在下列实数中，无理数是（）A．sin45°B．C．0.3 D．3.142．计算（2a2）3的结果是（）A．2a5B．2a6C．6a6D．8a63．在某校初三年级古诗词比赛中，初三（1）班42名学生的成绩统计如下，则该班学生成绩的中位数和众数分别是（）分数50 60 70 80 90 100人数1 2 8 13 14 4A．70，80 B．70，90 C．80，90 D．90，1004．如图，一个由5个大小相同、棱长为1的正方体搭成的几何体，下列关于这个几何体的说法正确的是（）A．主视图的面积为5 B．左视图的面积为3C．俯视图的面积为5 D．俯视图的面积为35．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠A=100°，则劣弧的度数是（）A．80°B．100°C．130°D．160°6．如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y=x的图象为直线l，作点A1（1，0）关于直线l的对称点A2，将A2向右平移2个单位得到点A3；再作A3关于直线l的对称点A4，将A4向右平移2个单位得到点A5；…．则按此规律，所作出的点A2015的坐标为（）A．（1007，1008）B．（1008，1007）C．（1006，1007）D．（1007，1006）二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题纸相应位置上）7．﹣3的倒数是，﹣3的绝对值是．8．使式子1+有意义的x的取值范围是．9．分解因式：4a2﹣16= ．10．计算（﹣）×= ．11．改写命题“对角线互相平分的四边形是平行四边形”：如果，那么．12．如图，在直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别为（0，3）、（4，3）、（0，﹣1），则△ABC外接圆的圆心坐标为．13．如图，半径为1的⊙O与正五边形ABCDE的边AB、AE相切于点M、N，则劣弧的长度为．14．正比例函数y1=k1x的图象与反比例函数y2=的图象相交于点A（﹣1，2）和点B．当y1＜y2时，自变量x的取值范围是．15．某剧院举办文艺演出．经调研，如果票价定为每张30元，那么1200张门票可以全部售出；如果票价每增加1元，那么售出的门票就减少20张．要使门票收入达到38500元，票价应定为多少元？若设票价为x元，则可列方程为．16．如图，等边△ABC中，BC=6，D、E分别在BC、AC上，且DE∥AC，MN是△BDE的中位线．将线段DE从BD=2处开始向AC平移，当点D与点C重合时停止运动，则在运动过程中线段MN所扫过的区域面积为．三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（1）计算：（﹣2）2+（﹣π）0+|1﹣|；（2）解方程组：．18．化简：（1+）÷．19．某校举行全体学生“汉字听写”比赛，每位学生听写汉字39个．随机抽取了部分学生的听写结果，绘制成如下的图表．根据以上信息完成下列问题：（1）统计表中的m= ，n= ，并补全条形统计图；（2）扇形统计图中“C组”所对应的圆心角的度数是；（3）已知该校共有900名学生，如果听写正确的字的个数少于24个定为不合格，请你估计该校本次听写比赛不合格的学生人数．20．一个不透明的袋中，装有编号为①、②、③、④的四个球，它们除了编号外其余都相同．（1）从袋中任意摸出一个球，摸到编号为奇数的球的概率为；（2）从袋中任意摸出两个球，求摸到的球编号都为奇数的概率．21．如图，矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线交AD、BC于点E、F，AC与EF交于点O，连结AF、CE．（1）求证：四边形AFCE是菱形；（2）若AB=3，AD=4，求菱形AFCE的边长．22．如图，在一笔直的海岸线上有A、B两个观测点，B在A的正东方向，AB=4km．从A测得灯塔C在北偏东60°的方向，从B测得灯塔C在北偏西27°的方向，求灯塔C与观测点A的距离（精确到0.1km）．（参考数据：sin27°≈0.45，cos27°≈0.90，tan27°≈0.50，≈1.73）23．从南京到某市可乘坐普通列车，行驶路程是520千米；也可乘坐高铁，行驶路程是400千米．已知高铁的平均速度是普通列车平均速度的2.5倍，且从南京到该市乘坐高铁比乘坐普通列车要少用3小时．求高铁行驶的平均速度．24．如图，AD是⊙O的直径，AB为⊙O的弦，OP⊥AD，OP与AB的延长线交于点P．点C在OP 上，且BC=PC．（1）求证：直线BC是⊙O的切线；（2）若OA=3，AB=2，求BP的长．25．已知二次函数y=x2﹣ax﹣2a2（a为常数，且a≠0）．（1）证明该二次函数的图象与x轴的正半轴、负半轴各有一个交点；（2）若该二次函数的图象与y轴的交点坐标为（0，﹣2），试求该函数图象的顶点坐标．26．如图①，梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，BA=BC．动点E、F同时从点B出发，点E沿折线BA﹣AD﹣DC运动到点C时停止运动，点F沿BC运动到点C时停止运动，它们运动时的速度都是1cm/s．设E出发t s时，△EBF的面积为y cm2．已知y与t的函数图象如图②所示，其中曲线OM为抛物线的一部分，MN、NP为线段．请根据图中的信息，解答下列问题：（1）AD= cm，BC= cm；（2）求a的值，并用文字说明点N所表示的实际意义；（3）直接写出当自变量t为何值时，函数y的值等于5．27．如图1，对于平面上小于等于90°的∠MON，我们给出如下定义：若点P在∠MON的内部或边上，作PE⊥OM于点E，PF⊥ON于点F，则将PE+PF称为点P与∠MON的“点角距”，记作d （∠MON，P）．如图2，在平面直角坐标系xOy中，x、y正半轴所组成的角为∠xOy．（1）已知点A（5，0）、点B（3，2），则d（∠xOy，A）= ，d（∠xOy，B）= ．（2）若点P为∠xOy内部或边上的动点，且满足d（∠xOy，P）=5，画出点P运动所形成的图形．（3）如图3与图4，在平面直角坐标系xOy中，射线OT的函数关系式为y=x（x≥0）．①在图3中，点C的坐标为（4，1），试求d（∠xOT，C）的值；②在图4中，抛物线y=﹣x2+2x+经过A（5，0）与点D（3，4）两点，点Q是A，D两点之间的抛物线上的动点（点Q可与A，D两点重合），求当d（∠xOT，Q）取最大值时点Q 的坐标．江苏省南京市中考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1．在下列实数中，无理数是（）A．sin45°B．C．0.3 D．3.14【考点】无理数．【分析】有理数能写成有限小数和无限循环小数，而无理数只能写成无限不循环小数，据此判断出无理数有哪些即可．【解答】解：∵0.3、3.14是有限小数，∴0.3、3.14是有理数；∵，0.是循环小数，∴是有理数；∵sin45°=是无限不循环小数，∴sin45°是无理数．故选：A．【点评】此题主要考查了无理数和有理数的特征和区别，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：有理数能写成有限小数和无限循环小数，而无理数只能写成无限不循环小数．2．计算（2a2）3的结果是（）A．2a5B．2a6C．6a6D．8a6【考点】幂的乘方与积的乘方．【分析】根据即的乘方法则，即可解答．【解答】解：（2a2）3=23•a6=8a6，故选：D．【点评】本题考查了积的乘方，解决本题的关键是熟记积的乘方法则．3．在某校初三年级古诗词比赛中，初三（1）班42名学生的成绩统计如下，则该班学生成绩的中位数和众数分别是（）分数50 60 70 80 90 100人数1 2 8 13 14 4A．70，80 B．70，90 C．80，90 D．90，100【考点】众数；中位数．【分析】根据中位数与众数的定义进行解答即可．【解答】解：把这组数据从小到大排列，最中间两个数的平均数是（80+80）÷2=80，则该班学生成绩的中位数是80；90出现了14次，出现的次数最多，则众数是90；故选C．【点评】此题考查了众数与中位数，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错；众数是一组数据中出现次数最多的数．4．如图，一个由5个大小相同、棱长为1的正方体搭成的几何体，下列关于这个几何体的说法正确的是（）A．主视图的面积为5 B．左视图的面积为3C．俯视图的面积为5 D．俯视图的面积为3【考点】简单组合体的三视图．【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形，看分别得到几个面，比较即可．【解答】解：A、从正面看，可以看到4个正方形，面积为4，故A选项错误；B、从左面看，可以看到3个正方形，面积为3，故B选项正确；C、从上面看，可以看到4个正方形，面积为4，故C选项错误；D、从上面看，可以看到4个正方形，面积为4，故D选项错误．故选：B．【点评】本题主要考查了几何体的三种视图面积的求法及比较，关键是掌握三视图的画法．5．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠A=100°，则劣弧的度数是（）A．80°B．100°C．130°D．160°【考点】圆内接四边形的性质．【分析】先根据圆内接四边形的性质求出∠C的度数，再由圆周角与弧的关系即可得出结论．【解答】解：∵四边形ABCD是圆内接四边形，∠A=100°，∴∠C=180°﹣100°=80°，∴劣弧=160°．故选D．【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质，熟知圆内接四边形的对角互补是解答此题的关键．6．如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y=x的图象为直线l，作点A1（1，0）关于直线l的对称点A2，将A2向右平移2个单位得到点A3；再作A3关于直线l的对称点A4，将A4向右平移2个单位得到点A5；…．则按此规律，所作出的点A2015的坐标为（）A．（1007，1008）B．（1008，1007）C．（1006，1007）D．（1007，1006）【考点】规律型：点的坐标．【分析】根据对称和平移，可得A1的坐标（1，0），A3的坐标（2，1），A5的坐标（3，2），A7的坐标（4，3），根据观察，发现规律：A点的横坐标是顺序，纵坐标是顺序减1，根据规律，可得答案．【解答】解：由题意可知：A1（1，0），A3（2，1），A5（3，2），A7（4，3），点的横坐标为：=1008，纵坐标为：1007，∴A2015的坐标是：（1008，1007）．∴点A2015故选：B．【点评】本题考查了轴对称，利用对称、平移发现规律是解题关键．二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题纸相应位置上）7．﹣3的倒数是﹣，﹣3的绝对值是 3 ．【考点】倒数；绝对值．【分析】根据乘积为1的两个数互为倒数，可得一个数的倒数；根据负数的绝对值是它的相反数，可得答案．【解答】解：﹣3的倒数是﹣，﹣3的绝对值是3，故答案为：，3．【点评】本题考查了倒数，分子分母交换位置是求一个数的倒数的关键．8．使式子1+有意义的x的取值范围是x≥﹣2 ．【考点】二次根式有意义的条件．【分析】根据二次根式的被开方数是非负数，即可解答．【解答】解：根据题意，得x+2≥0，解得x≥﹣2，故答案为：x≥﹣2．【点评】本题考查了二次根式的意义和性质、概念：式子（a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．9．分解因式：4a2﹣16= 4（a+2）（a﹣2）．【考点】提公因式法与公式法的综合运用．【分析】首先提取公因式4，进而利用平方差公式进行分解即可．【解答】解：4a2﹣16=4（a2﹣4）=4（a+2）（a﹣2）．故答案为：4（a+2）（a﹣2）．【点评】此题主要考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握公式形式是解题关键．10．计算（﹣）×= 2﹣2 ．【考点】二次根式的混合运算．【专题】计算题．【分析】根据二次根式的乘法法则运算．【解答】解：原式=﹣2=2﹣2．故答案为2﹣2．【点评】本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．11．改写命题“对角线互相平分的四边形是平行四边形”：如果四边形的对角线互相平分，那么这个四边形是平行四边形．【考点】命题与定理．【分析】如果后面应是命题中的条件，那么后面是由条件得到的结论．【解答】解：原命题的条件是：四边形的对角线互相平分，结论是这个四边形是平行四边形；如果四边形的对角线互相平分，那么这个四边形是平行四边形．四边形的对角线互相平分，这个四边形是平行四边形．【点评】本题考查了命题与定理的知识，解决本题的关键是准确找到所给命题的条件和结论．12．如图，在直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别为（0，3）、（4，3）、（0，﹣1），则△ABC外接圆的圆心坐标为（2，1）．【考点】三角形的外接圆与外心；坐标与图形性质．【分析】根据垂径定理的推论“弦的垂直平分线必过圆心”，作两条弦的垂直平分线，交点即为圆心．【解答】解：根据垂径定理的推论，则作弦AB、AC的垂直平分线，交点O1即为圆心，∵点A、B、C的坐标分别为（0，3）、（4，3）、（0，﹣1），的坐标是（2，1）．∴O1故答案为：（2，1）．【点评】此题考查了垂径定理的推论以及三角形的外心的性质，利用垂径定理的推论得出是解题关键．13．如图，半径为1的⊙O与正五边形ABCDE的边AB、AE相切于点M、N，则劣弧的长度为π．【考点】正多边形和圆．【分析】连接OM，ON，首先根据切线的性质和正五边形的性质求得圆心角的度数，然后利用弧长公式进行计算．【解答】解：如图：连接OM，ON，∵⊙O与正五边形ABCDE的边AB、AE相切于点M、N，∴OM⊥AB，ON⊥AC，∵∠A=108°，∴∠MON=72°，∵半径为1，∴劣弧的长度为：=π，故答案为π．【点评】本题考查了正多边形和圆的知识，解题的关键是能够连接OM和ON，从而求得劣弧所在扇形的圆心角，利用扇形弧长公式求解．14．正比例函数y1=k1x的图象与反比例函数y2=的图象相交于点A（﹣1，2）和点B．当y1＜y2时，自变量x的取值范围是﹣1＜x＜0或x＞1 ．【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．【分析】根据对称性由A的坐标确定出B坐标，根据两点横坐标，利用函数图象即可确定出当y1＞y2时的变量x的取值范围．【解答】解：由题意及A（﹣1，2），利用对称性得：B（1，﹣2），根据图象得：当y1＞y2时的变量x的取值范围为﹣1﹣1＜x＜0或x＞1．故答案为﹣1＜x＜0或x＞1．【点评】此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用了数形结合的思想，熟练掌握数形结合思想是解本题的关键．15．某剧院举办文艺演出．经调研，如果票价定为每张30元，那么1200张门票可以全部售出；如果票价每增加1元，那么售出的门票就减少20张．要使门票收入达到38500元，票价应定为多少元？若设票价为x元，则可列方程为x[1200﹣20（x﹣30）]=38500 ．【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．【专题】销售问题．【分析】可设票价应定为x元，根据票价×销售的票数=获得门票收入，即可列出一元二次方程．【解答】解：设票价应定为x元，依题意有x[1200﹣30（x﹣30）]=38500，故答案为：x[1200﹣20（x﹣30）]=38500．【点评】此题考查一元二次方程的实际运用，找出销售问题中的基本数量关系是解决问题的关键．16．如图，等边△ABC中，BC=6，D、E分别在BC、AC上，且DE∥AC，MN是△BDE的中位线．将线段DE从BD=2处开始向AC平移，当点D与点C重合时停止运动，则在运动过程中线段MN所扫过的区域面积为2．【考点】轨迹．【分析】因为MN是三角形EMN的中位线，所以MN∥BD，所以在运动过程中线段MN所扫过的区域为梯形，然后分别求得梯形的上底、下底和高，然后利用公式计算即可．【解答】解：在运动过程中线段MN所扫过的区域面积如图阴影所示：∵MN是△BDE的中位线．∴MN===1，且MN∥BD．同理：M′N′=3，且M′N′∥BD∴四边形MNN′M′为梯形．MG=MB•sin30°=1×=，N′F=N′C•sin30°=3×=．∴梯形MNN′M′的高==．∴梯形MNN′M′的面积=（FN﹣MG）=×=2．故答案为：2．【点评】本题主要考查轨迹的问题，由三角形中位线的性质判断出MN扫过的区域的形状是解题的关键．三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（1）计算：（﹣2）2+（﹣π）0+|1﹣|；（2）解方程组：．【考点】实数的运算；零指数幂；解二元一次方程组．【专题】计算题．【分析】（1）原式第一项利用乘方的意义计算，第二项利用零指数幂法则计算，最后一项利用绝对值的代数意义化简，计算即可得到结果；（2）方程组利用加减消元法求出解即可．【解答】解：（1）原式=4+1+﹣1=4+；（2），①×2+②，得5x=5，即x=1，将x=1代入①，得y=﹣1，则原方程组的解为．【点评】此题考查了实数的运算，以及解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．18．化简：（1+）÷．【考点】分式的混合运算．【专题】计算题．【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果．【解答】解：原式=•=﹣．【点评】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．19．某校举行全体学生“汉字听写”比赛，每位学生听写汉字39个．随机抽取了部分学生的听写结果，绘制成如下的图表．根据以上信息完成下列问题：（1）统计表中的m= 30 ，n= 20 ，并补全条形统计图；（2）扇形统计图中“C组”所对应的圆心角的度数是90°；（3）已知该校共有900名学生，如果听写正确的字的个数少于24个定为不合格，请你估计该校本次听写比赛不合格的学生人数．【考点】频数（率）分布直方图；用样本估计总体；频数（率）分布表；扇形统计图．【分析】（1）根据条形图和扇形图确定B组的人数环绕所占的百分比求出样本容量，求出m、n的值；（2）求出C组”所占的百分比，得到所对应的圆心角的度数；（3）求出不合格人数所占的百分比，求出该校本次听写比赛不合格的学生人数．【解答】解：（1）从条形图可知，B组有15人，从扇形图可知，B组所占的百分比是15%，D组所占的百分比是30%，E组所占的百分比是20%，15÷15%=100，100×30%=30，100×20%=20，∴m=30，n=20；（2）“C组”所对应的圆心角的度数是25÷100×360°=90°；（3）估计这所学校本次听写比赛不合格的学生人数为：900×（10%+15%+25%）=450人．【点评】本题考查的是频数分布表、条形图和扇形图的知识，利用统计图获取正确信息是解题的关键．注意频数、频率和样本容量之间的关系的应用．20．一个不透明的袋中，装有编号为①、②、③、④的四个球，它们除了编号外其余都相同．（1）从袋中任意摸出一个球，摸到编号为奇数的球的概率为；（2）从袋中任意摸出两个球，求摸到的球编号都为奇数的概率．【考点】列表法与树状图法．【分析】（1）用奇数球的个数除以球的总个数即可求得编号为奇数的概率；（2）将所有等可能的结果列举出来，利用概率公式求解即可．【解答】解：（1）∵共有4个球，为奇数的有2个，∴P（编号为奇数）==；（2）从袋中任意摸出两个球，有①②、①③、①④、②③、②④，③④共6种可能，且都是等可能的，其中，都为奇数只有①③一种可能，所以摸到的球的编号都为奇数的概率为．【点评】本题考查了概率的求法，能够将所有等可能的结果列举出来是解答本题的关键，难度不大．21．如图，矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线交AD、BC于点E、F，AC与EF交于点O，连结AF、CE．（1）求证：四边形AFCE是菱形；（2）若AB=3，AD=4，求菱形AFCE的边长．【考点】菱形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；勾股定理；矩形的性质．【分析】（1）由矩形的性质得出AD∥BC，∠EAO=∠FCO，证明△AEO≌△CFO，得出AE=CF，证出四边形AFCE是平行四边形，再由对角线AC⊥EF，即可得出结论；（2）设AF=CF=x，则BF=4﹣x，在Rt△ABF中，根据勾股定理得出方程，解方程即可．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，AD=BC，∴∠EAO=∠FCO，∵EF是AC的垂直平分线，∴AO=CO，∠EOA=∠FOC=90°，在△AEO和△CFO中，，∴△AEO≌△CFO（ASA），∴AE=CF，∴四边形AFCE是平行四边形，又∵AC⊥EF，∴四边形AFCE是菱形；（2）解：∵四边形AFCE是菱形，∴AF=CF，设AF=CF=x，则BF=4﹣x，在Rt△ABF中，AF2=AB2+BF2，即x2=32+（4﹣x）2，解得x=，∴菱形AFCE的边长为．【点评】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、菱形的判定与性质、勾股定理、线段垂直平分线的性质；熟练掌握矩形的性质，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键．22．如图，在一笔直的海岸线上有A、B两个观测点，B在A的正东方向，AB=4km．从A测得灯塔C在北偏东60°的方向，从B测得灯塔C在北偏西27°的方向，求灯塔C与观测点A的距离（精确到0.1km）．（参考数据：sin27°≈0.45，cos27°≈0.90，tan27°≈0.50，≈1.73）【考点】解直角三角形的应用-方向角问题．【分析】如图，过点C作CD⊥AB，构建直角△ACD和直角△BCD．通过解Rt△BDC得到BD=0.5CD．通过解Rt△ADC得到AD=CD，所以由AB=4km科研求得CD的长度．最后通过解Rt△ADC来求AC的长度．【解答】解：如图，过点C作CD⊥AB，则∠BCD=27°，∠ACD=60°，在Rt△BDC中，由tan∠BCD=，∴BD=CD tan27°=0.5CD．在Rt△ADC中，由tan∠ACD=∴AD=CD•tan60°=CD．∵AD+BD=CD+0.5CD=4，∴CD=．在Rt△ADC中，∵∠ACD=60°，∴∠CAD=30°，∴AC=2CD=≈3.6．∴灯塔C与观测点A的距离为3.6km．【点评】此题主要考查了解直角三角形﹣方向角问题的应用，解一般三角形，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．23．从南京到某市可乘坐普通列车，行驶路程是520千米；也可乘坐高铁，行驶路程是400千米．已知高铁的平均速度是普通列车平均速度的2.5倍，且从南京到该市乘坐高铁比乘坐普通列车要少用3小时．求高铁行驶的平均速度．【考点】分式方程的应用．【分析】设普通列车的平均速度为x千米/时，则高铁的平均速度是2.5x千米/时，根据题意可得，乘坐高铁行驶400千米比乘坐普通列车行驶520千米少用3小时，据此列方程求解．【解答】解：设普通列车的平均速度为x千米/时，则高铁的平均速度是2.5x千米/时，依题意，得+3=，解得：x=120，经检验，x=120是原方程的解，且符合题意，则2.5x=300．答：高铁行驶的平均速度是300千米/时．【点评】本题考查了分式方程的应用，解答本题案的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解，注意检验．24．如图，AD是⊙O的直径，AB为⊙O的弦，OP⊥AD，OP与AB的延长线交于点P．点C在OP 上，且BC=PC．（1）求证：直线BC是⊙O的切线；（2）若OA=3，AB=2，求BP的长．【考点】切线的判定；相似三角形的判定与性质．【分析】（1）连结OB．由等腰三角形的性质得到∠A=∠OBA，∠P=∠CBP，由于OP⊥AD，得到∠A+∠P=90°，于是得到∠OBA+∠CBP=90°，求得∠OBC=90°结论可得；（2）连结DB．由AD是⊙O的直径，得到∠ABD=90°，推出Rt△ABD∽Rt△AOP，得到比例式=，即可得到结果．【解答】（1）证明：连结OB．∵OA=OB，∴∠A=∠OBA，又∵BC=PC，∴∠P=∠CBP，∵OP⊥AD，∴∠A+∠P=90°，∴∠OBA+∠CBP=90°，∴∠OBC=180°﹣（∠OBA+∠CBP）=90°，∵点B在⊙O上，∴直线BC是⊙O的切线，（2）解：如图，连结DB．∵AD是⊙O的直径，∴∠ABD=90°，∴Rt△ABD∽Rt△AOP，∴=，即=，AP=9，∴BP=AP﹣BA=9﹣2=7．【点评】本题考查了切线的判定，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，正确的作出辅助线是解题的关键．25．已知二次函数y=x2﹣ax﹣2a2（a为常数，且a≠0）．（1）证明该二次函数的图象与x轴的正半轴、负半轴各有一个交点；（2）若该二次函数的图象与y轴的交点坐标为（0，﹣2），试求该函数图象的顶点坐标．【考点】抛物线与x轴的交点．【分析】（1）令y=0可求得方程的两个根一正一负，可证得结论；（2）把（0，﹣2）代入抛物线的解析可求得a的值，进一步可求得其顶点坐标．【解答】（1）证明：y=x2﹣ax﹣2a2=（x+a）（x﹣2a），令y=0，则x1=﹣a，x2=2a，、x2的值必为一正一负，∵a≠0，x1∴该二次函数的图象与x轴的正半轴、负半轴各有一个交点；（2）解：由题意，得﹣2a2=﹣2，所以a=1或﹣1．当a=1时，y=x2﹣x﹣2=（x﹣）2﹣，顶点坐标为（，﹣），当a=﹣1时，y=x2+x﹣2=（x+）2﹣，顶点坐标为（﹣，﹣），该函数图象的顶点坐标为（，﹣）或（﹣，﹣）．【点评】本题主要考查二次函数与x轴的交点和顶点坐标，掌握二次函数与x轴交点的横坐标是对应一元二次方程的两根是解题的关键．26．如图①，梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，BA=BC．动点E、F同时从点B出发，点E沿折线BA﹣AD﹣DC运动到点C时停止运动，点F沿BC运动到点C时停止运动，它们运动时的速度都是1cm/s．设E出发t s时，△EBF的面积为y cm2．已知y与t的函数图象如图②所示，其中曲线OM为抛物线的一部分，MN、NP为线段．请根据图中的信息，解答下列问题：（1）AD= 2 cm，BC= 5 cm；（2）求a的值，并用文字说明点N所表示的实际意义；（3）直接写出当自变量t为何值时，函数y的值等于5．【考点】四边形综合题；动点问题的函数图象．【分析】（1）此题的关键是要理解分段函数的意义，OM段是曲线，说明E、F分别在BA、BC 上运动，此时y、t的关系式是二次函数；MN段是线段，且平行于t轴，那么此时F运动到终点C，且E在线段AD上运动，此时y为定值；NP段是线段，此时y、t的函数关系式是一次函数，此时E在线段CD上运动，此时y值随t的增大而减小；根据上面的分析，可知在MN之间时，E 在线段AD上运动，在这个区间E点运动了2秒，所以AD=2cm；根据OM段的函数图象知：当t=5时，E、F分别运动到A、C两点，那么AB=BC=5；（2）利用待定系数法分别求两个解析式．【解答】解：（1）由图可知：OM段为抛物线，此时点E、F分别在BA、BC上运动；当E、A重合，F、C重合时，t=5s，∴AB=BC=5cm；故答案为：2，5；（2）过A作AH⊥BC，H为垂足，由已知BH=3，BA=BC=5，∴AH=4∴当点E、F分别运动到A、C时△EBF的面积为：×BC×AH=×5×4=10，即a的值为10，点N所表示的实际意义：当点E运动7s时到达点D，此时点F沿BC已运动到点C并停止运动，这时△EBF的面积为10 cm2；（3）当点E在BA上运动时，设抛物线的解析式为y=at2，把M点的坐标（5，10）代入得a=，∴y=t2，0＜t≤5；当点E在DC上运动时，设直线的解析式为y=kt+b，把P（11，0），N（7，10）代入，得11k+b=0，7k+b=10，解得k=﹣，b=，所以y=﹣t+，（7≤t＜11）把y=5分别代入y=t2和y=﹣t+得，5=t2和5=﹣t+，解得：t=或t=9．【点评】此题主要考查了分段函数的应用、梯形的性质以及函数解析式的求法，能够正确的理解分段函数的意义是解答此题的关键．27．如图1，对于平面上小于等于90°的∠MON，我们给出如下定义：若点P在∠MON的内部或边上，作PE⊥OM于点E，PF⊥ON于点F，则将PE+PF称为点P与∠MON的“点角距”，记作d （∠MON，P）．如图2，在平面直角坐标系xOy中，x、y正半轴所组成的角为∠xOy．（1）已知点A（5，0）、点B（3，2），则d（∠xOy，A）= 5 ，d（∠xOy，B）= 5 ．（2）若点P为∠xOy内部或边上的动点，且满足d（∠xOy，P）=5，画出点P运动所形成的图形．（3）如图3与图4，在平面直角坐标系xOy中，射线OT的函数关系式为y=x（x≥0）．①在图3中，点C的坐标为（4，1），试求d（∠xOT，C）的值；②在图4中，抛物线y=﹣x2+2x+经过A（5，0）与点D（3，4）两点，点Q是A，D两点之间的抛物线上的动点（点Q可与A，D两点重合），求当d（∠xOT，Q）取最大值时点Q 的坐标．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）首先根据点A（5，0）到x轴的距离是0，到y轴的距离是5，可得d（∠xOy，A）=0+5=5；然后根据点B（3，2）到x轴的距离是2，到y轴的距离是3，求出d（∠xOy，B）的值是多少即可．（2）首先设点P的坐标是（x，y），然后根据d（∠xOy，P）=5，可得x+y=5，据此求出点P运动所形成的图形即可．（3）①首先作CE⊥OT于点E，CF⊥x轴于点F，延长FC交OT于点H，则CF=1，然后设直线OT 对应的函数关系式为y=x（x≥0），求出点H的坐标为H（4，），进而求出CH，OH的值各。

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2020-2021学年江苏省中考数学第二次模拟试卷二及答案解析

2020-2021学年江苏省中考数学第二次模拟试卷二及答案解析

江苏省中考数学二模试卷一、选择题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分．在每小题所给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．）1．如图，数轴上A，B两点分别对应实数a，b，则下列结论正确的是（）A．a+b＞0 B．ab＞0 C．a﹣b＞0 D．|a|﹣|b|＞02．若关于x、y的二元一次方程组的解满足，则满足条件的m 的所有正整数值是（）A．1，2，3，4 B．1，2，3 C．1，2 D．13．如图，AB是半圆O的直径，∠DBA=20°，则∠C的大小是（）A．70°B．100°C．110°D．140°4．已知a，b是实数，设A=，B=，C=，则下列各式中，错误的是（）A．A≤C B．B≥C C．A+B=2C D．A2+B2=C25．国际数学家大会的会标如图1所示，把这个图案沿图中线段剪开后，能拼成如图2所示的四个图形，则其中是轴对称图形的有（）A．1个 B．2个 C．3个6．如图，在直角坐标系中放置一个边长为的正方形ABCD，将正方形ABCD沿x 轴的正方向无滑动的在x轴上滚动，当点A第三次回到x轴上时，点A运动的路线与x轴围成的图形的面积和为（）A．π+πB．2π+2 C．3π+3πD．6π+6二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，请把答案直接写在答题纸相应位置）7．﹣5的绝对值是．8．根据有关方面统计，2015年全国普通高考报考人数大约9420000人，数据9420000用科学记数法表示为．9．如果圆锥的底面周长是20π，侧面展开后所得的扇形的圆心角为120°．则圆锥的母线是．10．有一组数据：1，3，3，4，4，这组数据的方差为．11．不等式组的解集为．12．“微信发红包”是刚刚兴起的一种娱乐方式，为了解所在单位员工春节期间使用微信发红包的情况，小红随机调查了15名同事，结果如表：平均每个红25102050包的钱数（元）人数74211则此次调查中平均每个红包的钱数的众数为元，中位数为元．13．如图，点A在双曲线上，点B在双曲线上，且AB∥x轴，C、D在x轴上，若四边形ABCD为平行四边形，则它的面积为．14．在同一直角坐标系中，点A、B分别是函数y=x﹣1与y=﹣3x+5的图象上的点，且点A、B关于原点对称，则点A的横坐标为．15．如图，直线l1∥l2∥l3，且l1与l2的距离为1，l2与l3的距离为3．把一块含有45°角的直角三角板如图所示放置，顶点A，B，C恰好分别落在三条直线上，AC与直线l2交于点D，则线段BD的长度为．16．在△ABC中，已知AC=6，BC=8，当∠B最大时，AB= ．三、解答题（本大题共有10小题，共102分）17．（1）计算：（﹣）﹣1﹣tan45°+（π﹣2016）0﹣（2）化简：．18．如图，线段AB绕点O顺时针旋转一定的角度得到线段A1B1．（1）请用直尺和圆规作出旋转中心O（不写作法，保留作图痕迹）；（2）连接OA、OA1、OB、OB1，如果∠AO A1=∠BOB1=α；OA=OA1=a；OB=OB1=b．则线段AB扫过的面积是．19．某校为了解“理化生实验操作”考试的备考情况，随机抽取了一部分九年级学生进行测试，测试结果分为“优秀”、“良好”、“合格”、“不合格”四个等级，分别记为A、B、C、D．根据测试结果绘制了如下尚不完整的统计图．（1）本次测试共随机抽取了名学生．请根据数据信息补全条形统计图；（2）若该校九年级的600名学生全部参加本次测试，请估计测试成绩等级在合格以上（包括合格）的学生约有多少人？20．妈妈买回6个粽子，其中1个花生馅，2个肉馅，3个枣馅．从外表看，6个粽子完全一样，女儿有事先吃．（1）若女儿只吃一个粽子，则她吃到肉馅的概率是；（2）若女儿只吃两个粽子，求她吃到一个枣馅、一个肉馅的概率．21．某市在道路改造过程中，需要铺设一条为2000米的管道，决定由甲、乙两个工程队来完成这一工程，已知甲工程队比乙工程队每天能多铺设20米，且甲工程队铺设600米所用的天数与乙工程队铺设500米所用的天数相同，甲、乙工程队每天各能铺设多少米？22．如图，正方形ABCD中，E为对角线AC上一点，连结EB、ED，延长BE交AD于点F．（1）求证：∠BEC=∠DEC；（2）当CE=CD时，求证：DF2=FE•FB．23．如图，在坡角为30°的山坡上有一铁塔AB，其正前方矗立着一大型广告牌，当阳光与水平线成45°角时，测得铁塔AB落在斜坡上的影子BD的长为6米，落在广告牌上的影子CD的长为4米，求铁塔AB的高（AB，CD均与水平面垂直，结果保留根号）．24．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+4经过A（﹣3，0）、B（4，0）两点，且与y轴交于点C，点D在x轴的负半轴上，且BD=BC，点Q是CA边上一个动点．（1）求该抛物线的解析式；（2）若点M为抛物线的对称轴上一个动点，求点M的坐标使MQ+MA的值最小．25．【发现】如图1∠ACB=∠ADB=90°，那么点D在经过A，B，C三点的圆上（如图1①）【思考】如图1②，如果∠ACB=∠ADB=a（a≠90°）（点C，D在AB的同侧），那么点D还在经过A，B，C三点的圆上吗？图中卡通人证明了D不在⊙O外，请你画图证明点D也不在⊙O内．【应用】：利用【发现】和【思考】中的结论解决以下问题：如图2，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，CA=6，，若将△ACB绕点A顺时针旋转得Rt△AC′B′，旋转角为α（0°≤α≤180°）连结CC′交BB′于点F，交AB边于点O．（1）请证明：∠BFO=∠CAO．（2）若CA=CO=6，求则OF的长．（3）在运动过程中，请证明F永远是BB′的中点，并直接写出点F的运动路线长．26．在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义：若点P在图形M上，点Q在图形N 上，称线段PQ长度的最小值为图形M，N的密距，记为d（M，N）．特别地，若图形M，N有公共点，规定d（M，N）=0．（1）如图1，⊙O的半径为2，①点A（0，1），B（4，3），则d（A，⊙O）= ，d（B，⊙O）= ．②已知直线l：y=与⊙O的密距d（l，⊙O）=，求b的值．（2）如图2，C为x轴正半轴上一点，⊙C的半径为1，直线y=﹣与x轴交于点D，与y轴交于点E，线段DE与⊙C的密距d（DE，⊙C）＜．请直接写出圆心C的横坐标m的取值范围．参考答案与试题解析一、选择题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分．在每小题所给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．）1．如图，数轴上A，B两点分别对应实数a，b，则下列结论正确的是（）A．a+b＞0 B．ab＞0 C．a﹣b＞0 D．|a|﹣|b|＞0【考点】实数与数轴．【分析】本题要先观察a，b在数轴上的位置，得b＜﹣1＜0＜a＜1，然后对四个选项逐一分析．【解答】解：A、∵b＜﹣1＜0＜a＜1，∴|b|＞|a|，∴a+b＜0，故选项A错误；B、∵b＜﹣1＜0＜a＜1，∴ab＜0，故选项B错误；C、∵b＜﹣1＜0＜a＜1，∴a﹣b＞0，故选项C正确；D、∵b＜﹣1＜0＜a＜1，∴|a|﹣|b|＜0，故选项D错误．故选：C．2．若关于x、y的二元一次方程组的解满足，则满足条件的m 的所有正整数值是（）A．1，2，3，4 B．1，2，3 C．1，2 D．1【考点】二元一次方程组的解．【分析】方程组两方程相加表示出x+y，代入所求不等式计算确定出m的范围，即可确定出m的正整数值．【解答】解：，①+②得：3（x+y）=﹣3m+6，解得：x+y=﹣m+2，代入得：﹣m+2＞，解得：m＜，则满足条件的m的所有正整数值是1，故选D3．如图，AB是半圆O的直径，∠DBA=20°，则∠C的大小是（）A．70°B．100°C．110°D．140°【考点】圆周角定理．【分析】先根据圆周角定理求出∠ADB的度数，再由直角三角形的性质求出∠A的度数，根据圆内接四边形的性质即可得出结论．【解答】解：∵AB是半圆O的直径，∴∠ADB=90°．∵∠DBA=20°，∴∠DAB=90°﹣20°=70°．∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠C=180°﹣∠DAB=180°﹣70°=110°．故选C．4．已知a，b是实数，设A=，B=，C=，则下列各式中，错误的是（）A．A≤C B．B≥C C．A+B=2C D．A2+B2=C2【考点】实数大小比较．【分析】分两种情况：a≤b，a＞b，进行讨论即可求解．【解答】解：当a≤b时，A=a，B=b，C=，则A≤C，B≥C，A+B=2C，无法确定A2+B2=C2；当a＞b时，A=b，B=a，C=，则A＜C，B＞C，A+B=2C，无法确定A2+B2=C2；故选：D．5．国际数学家大会的会标如图1所示，把这个图案沿图中线段剪开后，能拼成如图2所示的四个图形，则其中是轴对称图形的有（）A．1个 B．2个 C．3个【考点】轴对称图形．【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可【解答】解：图2所示的四个图形中是轴对称图形有①③④，共3个，故选：C．6．如图，在直角坐标系中放置一个边长为的正方形ABCD，将正方形ABCD沿x 轴的正方向无滑动的在x轴上滚动，当点A第三次回到x轴上时，点A运动的路线与x轴围成的图形的面积和为（）A．π+πB．2π+2 C．3π+3πD．6π+6【考点】旋转的性质；坐标与图形性质；扇形面积的计算．【分析】画出点A第一次回到x轴上时的图形，根据图形得到点A的路径分三部分，以B点为圆心，BA为半径，圆心角为90°的弧；再以C1为圆心，C1C为半径，圆心角为90°的弧；然后以D2点为圆心，D2A2为半径，圆心角为90°的弧，所以点A运动的路线与x轴围成的图形的面积就由三个扇形和两个直角三角形组长，于是可根据扇形面积和三角形面积公式计算，然后把计算结果乘以3即可得到答案．【解答】解：点A第一次回到x轴上时，点A的路径为：开始以B点为圆心，BA为半径，圆心角为90°的弧；再以C1为圆心，C1C为半径，圆心角为90°的弧；然后以D2点为圆心，D2A2为半径，圆心角为90°的弧，所以点A第一次回到x轴上时，点A运动的路线与x轴围成的图形的面积和=×2++2×××=2π+2，所以点A第三次回到x轴上时，点A运动的路线与x轴围成的图形的面积和为3（2π+2）=6π+6．故选D．二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，请把答案直接写在答题纸相应位置）7．﹣5的绝对值是 5 ．【考点】绝对值．【分析】绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．【解答】解：根据负数的绝对值是它的相反数，得|﹣5|=5．8．根据有关方面统计，2015年全国普通高考报考人数大约9420000人，数据9420000用科学记数法表示为9.42×106．【考点】科学记数法—表示较大的数．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：9420000=9.42×106，故答案为：9.42×1069．如果圆锥的底面周长是20π，侧面展开后所得的扇形的圆心角为120°．则圆锥的母线是30 ．【考点】圆锥的计算．【分析】圆锥的底面周长即为侧面展开后扇形的弧长，已知扇形的圆心角，所求圆锥的母线即为扇形的半径，利用扇形的弧长公式求解．【解答】解：将l=20π，n=120代入扇形弧长公式l=中，得20π=，解得r=30．故答案为：30．10．有一组数据：1，3，3，4，4，这组数据的方差为 1.2 ．【考点】方差．【分析】根据平均数的计算公式先算出这组数据的平均数，再根据方差公式进行计算即可．【解答】解：这组数据的平均数是：（1+3+3+4+4）÷5=3，则这组数据的方差为：[（1﹣3）2+（3﹣3）2+（3﹣3）2+2（4﹣3）2]=1.2．故答案为：1.2．11．不等式组的解集为﹣1＜x≤4 ．【考点】解一元一次不等式组．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．【解答】解：，解不等式4x+6＞1﹣x，得x＞﹣1，解不等式3（x﹣1）≤x+5，得：x≤4，故不等式组的解集为：﹣1＜x≤4，故答案为：﹣1＜x≤4．12．“微信发红包”是刚刚兴起的一种娱乐方式，为了解所在单位员工春节期间使用微信发红包的情况，小红随机调查了15名同事，结果如表：平均每个红25102050包的钱数（元）人数74211则此次调查中平均每个红包的钱数的众数为 2 元，中位数为 5 元．【考点】众数；中位数．【分析】找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个．【解答】解：观察发现平均每个红包的钱数为2元的人数为7人，最多，故众数为2元；共15人，排序后位于第8位的红包钱数为中位数，即中位数为5元，故答案为：2，5．13．如图，点A在双曲线上，点B在双曲线上，且AB∥x轴，C、D在x轴上，若四边形ABCD为平行四边形，则它的面积为 2 ．【考点】反比例函数综合题．【分析】由AB∥x轴可知，A、B两点纵坐标相等，设A（，b），B（，b），则AB=﹣，▱ABCD的CD边上高为b，根据平行四边形的面积公式求解．【解答】解：∵点A在双曲线上，点B在双曲线上，且AB∥x轴，∴设A（，b），B（，b），则AB=﹣，S▱ABCD=（﹣）×b=5﹣3=2．故答案为：2．14．在同一直角坐标系中，点A、B分别是函数y=x﹣1与y=﹣3x+5的图象上的点，且点A、B关于原点对称，则点A的横坐标为﹣1 ．【考点】关于原点对称的点的坐标；一次函数图象上点的坐标特征．【分析】设点A的坐标为（a，a﹣1），根据关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数表示出点B的坐标，然后代入y=﹣3x+5计算即可得解．【解答】解：∵点A在y=x﹣1的图象上，∴设点A的坐标为（a，a﹣1），∵点A、B关于原点对称，∴点B（﹣a，1﹣a），∴﹣3×（﹣a）+5=1﹣a，解得a=﹣1，∴点A的横坐标为﹣1，故答案为：﹣1．15．如图，直线l1∥l2∥l3，且l1与l2的距离为1，l2与l3的距离为3．把一块含有45°角的直角三角板如图所示放置，顶点A，B，C恰好分别落在三条直线上，AC与直线l2交于点D，则线段BD的长度为．【考点】全等三角形的判定与性质；平行线之间的距离；等腰直角三角形；相似三角形的判定与性质．【分析】分别过点A、B、D作AF⊥l3，BE⊥l3，DG⊥l3，先根据全等三角形的判定定理得出△BCE≌△ACF，故可得出CF及CE的长，在Rt△ACF中根据勾股定理求出AC 的长，再由相似三角形的判定得出△CDG∽△CAF，故可得出CD的长，在Rt△BCD 中根据勾股定理即可求出BD的长．【解答】解：别过点A、B、D作AF⊥l3，BE⊥l3，DG⊥l3，∵△ABC是等腰直角三角形，∴AC=BC，∵∠EBC+∠BCE=90°，∠BCE+∠ACF=90°，∠ACF+∠CAF=90°，∴∠EBC=∠ACF，∠BCE=∠CAF，在△BCE与△ACF中，∴△BCE≌△ACF（ASA）∴CF=BE，CE=AF，∵l1与l2的距离为1，l2与l3的距离为3，∴CF=BE=3，CE=AF=3+1=4，在Rt△ACF中，∵AF=4，CF=3，∴AC=5，∵AF⊥l3，DG⊥l3，∴△CDG∽△CAF，∴，∴∴在Rt△BCD中，∵CD=，BC=5，所以BD==．故答案为：．16．在△ABC中，已知AC=6，BC=8，当∠B最大时，AB= 2．【考点】切线的性质．【分析】以AC为直径作⊙O，当AB为⊙O的切线时，即AB⊥AC时，∠B最大，根据勾股定理即可求出答案．【解答】解：以AC为直径作⊙O，当AB为⊙O的切线时，即AB⊥AC时，∠B最大，此时AB===2．故答案为：2．三、解答题（本大题共有10小题，共102分）17．（1）计算：（﹣）﹣1﹣tan45°+（π﹣2016）0﹣（2）化简：．【考点】分式的混合运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．【分析】（1）直接根据负整数指数幂、零指数幂以及二次根式和特殊角的三角函数值进行化简求值即可；（2）括号里的式子先通分，然后把除法转化为乘法，再进行约分即可．【解答】解：（1）（﹣）﹣1﹣tan45°+（π﹣2016）0﹣=﹣2﹣1+1﹣4=﹣2﹣4（2）（+）÷+1=（+）÷+1=×+1=+1=18．如图，线段AB绕点O顺时针旋转一定的角度得到线段A1B1．（1）请用直尺和圆规作出旋转中心O（不写作法，保留作图痕迹）；（2）连接OA、OA1、OB、OB1，如果∠AO A1=∠BOB1=α；OA=OA1=a；OB=OB1=b．则线段AB扫过的面积是．【考点】作图﹣旋转变换；扇形面积的计算．【分析】（1）先连结AA1和BB1，然后分别作它们的垂直平分线，则两垂直平分线的交点即为点O；（2）根据扇形面积公式，利用线段AB扫过的面积=S扇形BOB1﹣S扇形AOA1进行计算即可．【解答】解：（1）如图，点O为所作；（2）线段AB扫过的面积=S扇形BOB1﹣S扇形AOA1=﹣=．故答案为．19．某校为了解“理化生实验操作”考试的备考情况，随机抽取了一部分九年级学生进行测试，测试结果分为“优秀”、“良好”、“合格”、“不合格”四个等级，分别记为A、B、C、D．根据测试结果绘制了如下尚不完整的统计图．（1）本次测试共随机抽取了60 名学生．请根据数据信息补全条形统计图；（2）若该校九年级的600名学生全部参加本次测试，请估计测试成绩等级在合格以上（包括合格）的学生约有多少人？【考点】条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．【分析】（1）根据各等级频数=总数×各等级所占百分比即可算出总数；再利用总数减去各等级人数可得A等级人数，再补图即可；（2）利用样本估计总体的方法，用总人数600乘以样本中测试成绩等级在合格以上（包括合格）的学生所占百分比即可．【解答】解：（1）本次测试随机抽取的学生总数：24÷40%=60，A等级人数：60﹣24﹣4﹣2=30，如图所示；（2）600××100%=580（人），答：测试成绩等级在合格以上（包括合格）的学生约有580人．20．妈妈买回6个粽子，其中1个花生馅，2个肉馅，3个枣馅．从外表看，6个粽子完全一样，女儿有事先吃．（1）若女儿只吃一个粽子，则她吃到肉馅的概率是；（2）若女儿只吃两个粽子，求她吃到一个枣馅、一个肉馅的概率．【考点】列表法与树状图法．【分析】（1）运用古典概率，有六种相等可能的结果，出现鲜肉馅粽子有两种结果，根据概率公式，即可求解；（2）此题可以认为有两步完成，所以可以采用树状图法或者采用列表法；注意题目属于不放回实验，利用列表法即可求解．【解答】解：（1）她吃到肉馅的概率是=；故答案为：；（2）如图所示：根据树状图可得，一共有15种等可能的情况，吃两个粽子，一个枣馅、一个肉馅只有5种情况，所以她吃到一个枣馅、一个肉馅的概率==．21．某市在道路改造过程中，需要铺设一条为2000米的管道，决定由甲、乙两个工程队来完成这一工程，已知甲工程队比乙工程队每天能多铺设20米，且甲工程队铺设600米所用的天数与乙工程队铺设500米所用的天数相同，甲、乙工程队每天各能铺设多少米？【考点】分式方程的应用．【分析】设乙工程队每天铺设x米，则甲工程队每天铺设（x+20）米，根据甲工程队铺设600米所用的天数与乙工程队铺设500米所用的天数相同建立方程求出其解即可【解答】解：设乙工程队每天铺设x米，则甲工程队每天铺设（x+20）米，由题意，得，解得：x=100．经检验，x=100是原方程的解．则甲工程队每天铺设100+20=120米．答：乙工程队每天铺设100米，则甲工程队每天铺设120米．22．如图，正方形ABCD中，E为对角线AC上一点，连结EB、ED，延长BE交AD于点F．（1）求证：∠BEC=∠DEC；（2）当CE=CD时，求证：DF2=FE•FB．【考点】相似三角形的判定与性质；正方形的性质．【分析】（1）利用正方形的性质，根据SAS即可证得：△BEC≌△DEC，得出对应角相等即可；（2）首先证明△FDE∽△FBD，根据相似三角形的对应边的比相等，即可得出结论．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴BC=CD，∠BCE=∠DCE，在△BEC和△DEC中，，∴△BEC≌△DEC（SAS），∴∠BEC=∠DEC．（2）证明：连接BD，如图所示．∵CE=CD，∴∠DEC=∠EDC．∵∠BEC=∠DEC，∠BEC=∠AEF，∴∠EDC=∠AEF．∵∠AEF+∠FED=∠EDC+∠ECD，∴∠FED=∠ECD．∵四边形ABCD是正方形，∴∠ECD=∠BCD=45°，∠ADB=∠ADC=45°，∴∠ECD=∠ADB．∴∠FED=∠ADB．又∵∠BFD是公共角，∴△FDE∽△FBD，∴，∴DF2=FE•BF．23．如图，在坡角为30°的山坡上有一铁塔AB，其正前方矗立着一大型广告牌，当阳光与水平线成45°角时，测得铁塔AB落在斜坡上的影子BD的长为6米，落在广告牌上的影子CD的长为4米，求铁塔AB的高（AB，CD均与水平面垂直，结果保留根号）．【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．【分析】过点C作CE⊥AB于E，过点B作BF⊥CD于F，在Rt△BFD中，分别求出DF、BF的长度，在Rt△ACE中，求出AE、CE的长度，继而可求得AB的长度．【解答】解：过点C作CE⊥AB于E，过点B作BF⊥CD于F，在Rt△BFD中，∵∠DBF=30°，sin∠DBF==，cos∠DBF==，∵BD=6，∴DF=3，BF=3，∵AB∥CD，CE⊥AB，BF⊥CD，∴四边形BFCE为矩形，∴BF=CE=3，CF=BE=CD﹣DF=1，在Rt△ACE中，∠ACE=45°，∴AE=CE=3，∴AB=3+1．答：铁塔AB的高为（3+1）m．24．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+4经过A（﹣3，0）、B（4，0）两点，且与y轴交于点C，点D在x轴的负半轴上，且BD=BC，点Q是CA边上一个动点．（1）求该抛物线的解析式；（2）若点M为抛物线的对称轴上一个动点，求点M的坐标使MQ+MA的值最小．【考点】轴对称﹣最短路线问题；待定系数法求二次函数解析式．【分析】（1）由点A、B的坐标利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；（2）设抛物线对称轴于x轴交点为N，过点B作BQ⊥AC于点Q，交抛物线对称轴于点M，此时MQ+MA的值最小．根据角的计算找出∠MBN=∠ACO，∠COA=∠BNM=90°，从而得出△COA∽△BNM，再根据相似三角形的性质结合点A、B、C的坐标即可得出点M的坐标．【解答】解：（1）将点A（﹣3，0）、B（4，0）代入y=ax2+bx+4中，得，解得：，∴该抛物线的解析式为y=﹣x2+x+4．（2）设抛物线对称轴于x轴交点为N，过点B作BQ⊥AC于点Q，交抛物线对称轴于点M，此时MQ+MA的值最小，如图所示．令y=﹣x2+x+4中x=0，则y=4，∴点C（0，4），∵A（﹣3，0），B（4，0），∴AC=5，AO=3，CO=4，BN=AB=，ON=OB﹣BN=．∵∠CAO=∠BAC，∠ACO+∠CAO=90°，∠MBN+∠BAC=90°，∴∠MBN=∠ACO，∵∠COA=∠BNM=90°，∴△COA∽△BNM，∴，∴MN=，∴点M（，）．故当点M的坐标为（，）时，MQ+MA的值最小．25．【发现】如图1∠ACB=∠ADB=90°，那么点D在经过A，B，C三点的圆上（如图1①）【思考】如图1②，如果∠ACB=∠ADB=a（a≠90°）（点C，D在AB的同侧），那么点D还在经过A，B，C三点的圆上吗？图中卡通人证明了D不在⊙O外，请你画图证明点D也不在⊙O内．【应用】：利用【发现】和【思考】中的结论解决以下问题：如图2，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，CA=6，，若将△ACB绕点A顺时针旋转得Rt△AC′B′，旋转角为α（0°≤α≤180°）连结CC′交BB′于点F，交AB边于点O．（1）请证明：∠BFO=∠CAO．（2）若CA=CO=6，求则OF的长．（3）在运动过程中，请证明F永远是BB′的中点，并直接写出点F的运动路线长．【考点】圆的综合题．【分析】【思考】假设点D在⊙O内，利用圆周角定理及三角形外角的性质，可证得与条件相矛盾的结论，从而证得点D不在⊙O内；【应用】：（1）过C作CD⊥AB于点D，BH⊥CF于H，由已知条件得到AD=DO，解直角三角形得到AD=AC=2，得到BO=AB﹣AO=18﹣4=14，根据旋转的性质得到AC=AC′，AB=AB′，∠CAC′=∠BAB′，推出A，F，B，C四点共圆，于是得到结论；（2）由等腰三角形的性质得到∠COA=∠CAO，根据三角形的内角和得到∠BOF=∠BFO，根据等腰三角形的性质得到BF=BO=14，于是得到结论；（3）连接AF，根据圆周角定理得到∠ABC=∠AFC根据等腰三角形的性质得到F永远是BB′的中点；根据圆周角定理得到在运动过程中，点F的运动路线是以AB为直径的半圆，即可得到结论．【解答】解：【思考】如图1，假设点D在⊙O内，延长AD交⊙O于点E，连接BE，则∠AEB=∠ACB，∵∠ADB是△BDE的外角，∴∠ADB＞∠AEB，∴∠ADB＞∠ACB，因此，∠ADB＞∠ACB这与条件∠ACB=∠ADB矛盾，∴点D也不在⊙O内，∴点D即不在⊙O内，也不在⊙O外，点D在⊙O上；【应用】：（1）如图2，过C作CD⊥AB于点D，BH⊥CF于H，∵CA=CO，∴AD=DO，在Rt△ACB中，cos∠CAB===，∴AB=3AC=18，在Rt△ADC中：cos∠CAB==，∴AD=AC=2，∴AO=2AD=4，∴BO=AB﹣AO=18﹣4=14，∵△AC′B′是由△ACB旋转得到，∴AC=AC′，AB=AB′，∠CAC′=∠BAB′，∵∠ACC′=，∠ABB′=，∴∠ABB′=∠ACC′，∴A，F，B，C四点共圆，∴∠BFO=∠CAO；（2）∵CA=CO，∴∠COA=∠CAO，又∵∠COA=∠BOF（对顶角相等），∴∠BOF=∠BFO，∴BF=BO=14，∵，∴HF=，∴OF=2HF=；（3）如图2，连接AF，∵A，F，B，C四点共圆，∴∠ABC=∠AFC，∵∠ABC+∠CAB=90°，∴∠BFO+∠AFC=90°，∴AF⊥BB′，∵AB=AB′，∴BF=B′F；∴F永远是BB′的中点；∵∠AFB=90°，∴在运动过程中，点F的运动路线是以AB为直径的半圆，∵CA=6，，∴AB=18，∴点F的运动路线长=×18π=9π．26．在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义：若点P在图形M上，点Q在图形N 上，称线段PQ长度的最小值为图形M，N的密距，记为d（M，N）．特别地，若图形M，N有公共点，规定d（M，N）=0．（1）如图1，⊙O的半径为2，①点A（0，1），B（4，3），则d（A，⊙O）= 1 ，d（B，⊙O）= 3 ．②已知直线l：y=与⊙O的密距d（l，⊙O）=，求b的值．（2）如图2，C为x轴正半轴上一点，⊙C的半径为1，直线y=﹣与x轴交于点D，与y轴交于点E，线段DE与⊙C的密距d（DE，⊙C）＜．请直接写出圆心C的横坐标m的取值范围．【考点】圆的综合题．【分析】（1）①连接OB，如图1①，只需求出OA、OB就可解决问题；②设直线l：y=与x轴、y轴分别交于点P、Q，过点O作OH⊥PQ于H，设OH 与⊙O交于点G，如图1②，可用面积法求出OH，然后根据条件建立关于b的方程，然后解这个方程就可解决问题；（2）过点C作CN⊥DE于N，如图2．易求出点D、E的坐标，从而可得到OD、OE，然后运用三角函数可求出∠ODE，然后分三种情况（①点C在点D的左边，②点C 与点D重合，③点C在点D的右边）讨论，就可解决问题．【解答】解：（1）①连接OB，过点B作BT⊥x轴于T，如图1①，∵⊙O的半径为2，点A（0，1），∴d（A，⊙O）=2﹣1=1．∵B（4，3），∴OB==5，∴d（B，⊙O）=5﹣2=3．故答案为1，3；②设直线l：y=与x轴、y轴分别交于点P、Q，过点O作OH⊥PQ于H，设OH 与⊙O交于点G，如图1②，∴P（﹣b，0），Q（0，b），∴OP=|b|，OQ=|b|，∴PQ=|b|．∵S△OPQ=OP•OQ=PQ•OH，∴OH==|b|．∵直线l：y=与⊙O的密距d（l，⊙O）=，∴|b|=2+=，∴b=±4；（2）过点C作CN⊥DE于N，如图2．∵点D、E分别是直线y=﹣与x轴、y轴的交点，∴D（4，0），E（0，），∴OD=4，OE=，∴tan∠ODE==，∴∠ODE=30°．①当点C在点D左边时，m＜4．∵xC=m，∴CD=4﹣m，∴CN=CD•sin∠CDN=（4﹣m）=2﹣m．∵线段DE与⊙C的密距d（DE，⊙C）＜，∴0＜2﹣m＜+1，∴1＜m＜4；②当点C与点D重合时，m=4．此时d（DE，⊙C）=0．③当点C在点D的右边时，m＞4．∵线段DE与⊙C的密距d（DE，⊙C）＜，∴CD＜，∴m﹣4＜+1，∴m＜∴4＜m＜．综上所述：1＜m＜．。

2020年江苏省南京市中考数学二模试卷含答案

2020年江苏省南京市中考数学二模试卷含答案
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23. 如图，港口 B 位于港口 A 的南偏西 45°方向，灯塔 C 恰好在 AB 的中点处．一艘海 轮位于港口 A 的正南方向，港口 B 的南偏东 45°方向的 D 处，它沿正北方向航行 18.5km 到达 E 处，此时测得灯塔 C 在 E 的南偏西 70°方向上，求 E 处距离港口 A 有多远？ （参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75）
10.【答案】
【解析】解：原式= =．
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故答案为 ． 先把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可． 本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次 根式即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质， 选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
在点 B 的右侧． （1）求 x 的取值范围； （2）当 AB=2BC 时，x 的值为______．
19. 某校 1200 名学生发起向贫困山区学生捐款活动，为了解捐款情况，学生会随机抽 取了部分学生的捐款金额，并用得到的数据绘制了如下统计图①和图②．
请根据以上信息，解答下列问题： （1）本次抽样调查的样本容量为______； （2）图①中“20 元”对应扇形的圆心角的度数为______°； （3）估计该校本次活动捐款金额为 15 元以上（含 15 元）的学生人数．
16. 如图，正方形 ABCD 与正方形 CEFG，E 是 AD 的中点，若 AB=2，则点 B 与点 F 之间的距离为______．
三、计算题（本大题共 1 小题，共 7.0 分） 17. 计算（x+ +2）÷（x- ）．
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四、解答题（本大题共 10 小题，共 81.0 分） 18. 如图，在数轴上点 A、B、C 分别表示-1、-2x+3、xƣ 页

2020-2021学年最新南京市中考数学第二次调研考试试卷及答案

2020-2021学年最新南京市中考数学第二次调研考试试卷及答案

数学第二次调研考试试卷一、单选题1.下列图标，是轴对称图形的是（）A. B. C. D.【答案】D【考点】轴对称图形【解析】【解答】解：根据定义可得D为轴对称图形，故答案为：D．【分析】根据轴对称图形是一定要沿某直线折叠后直线两旁的部分互相重合，对各选项逐一判断。

2.如图，若A，B分别是实数a、b在数轴上对应的点，则下列式子的值一定是正数的是（）A.b＋aB.b－aC.a bD.【答案】B【考点】数轴及有理数在数轴上的表示，有理数的加法，有理数的减法，有理数的乘方，有理数的除法【解析】【解答】解：根据数轴可得：a+b＜0；b－a＞0；；计算时，如果b为偶数，则结果为正数，b为奇数时，结果为负数．故本题选B．【分析】观察数轴可得出b＞0，a＜0，再根据有理数的运算法则判断各选项的符号，即可求解。

3.关于代数式x＋2的结果，下列说法一定正确的是（）A.比2大B.比2小C.比x大D.比x小【答案】C【考点】有理数大小比较【解析】【解答】解：当x＜0时，则x+2比2小，则A不符合题意；当x＞0时，则x+2比2大，则B不符合题意；x取任何值时，x+2比x大，故答案为：C．【分析】分情况讨论：当x＜0时；当x＞0时；x取任何值时，就可得出答案。

4.如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过点(1，1)和点(3，0)．关于这个二次函数的描述：①a＜0，b＞0，c＜0；②当x＝2时，y的值等于1；③当x＞3时，y的值小于0．正确的是（）A.①②B.①③C.②③D.①②③【答案】B【考点】二次函数y=a（x-h）^2+k的图像，二次函数y=a（x-h）^2+k的性质【解析】【解答】解：根据图像可得：a＜0，b＞0，c＜0，故正确；∵对称轴大于1.5，∴x=2时的值大于x=1的函数值，故错误；根据图像可得：当x＞3时，y的值小于0，故正确；故答案为：B．【分析】观察函数图像的开口方向、与y轴的交点情况、对称轴的位置，可对①作出判断；由对称轴的情况，可对②作出判断；观察图形，可得出当x＞3时，y的值小于0，综上所述，可得出答案。

2020年江苏省南京市中考数学二模试卷及解析

2020年江苏省南京市中考数学二模试卷及解析

2020年江苏省南京市中考二模试卷数学试卷一、选择题（本大题共6小题，共12分）1.计算√(−2)2的值是()A. −2B. 2或−2C. 4D. 22.计算a⋅a3的结果是()A. a4B. −a4C. a−3D. −a33.如图，几何体的左视图是()A. B. C. D.4.设n=√13−1，那么n值介于下列哪两数之间()A. 1与2B. 2与3C. 3与4D. 4与55.年龄/岁13141516频数515x10−x对于不同的，下列关于年龄的统计量不会发生改变的是()A. 平均数、中位数B. 众数、中位数C. 平均数、方差D. 中位数、方差6.如图，⊙O是正六边形ABCDEF的外接圆，P是弧AB上一点，则∠CPD的度数是()A. 30°B. 40°C. 45°D. 60°二、填空题（本大题共10小题，共20分）7.如果数a与2互为相反数，那么a=_________．8.目前我国年可利用的淡水资源总量约为38050亿立方米，是世界上严重缺水的国家之一.38050用科学记数法表示为______．9.计算：(√2+1)(√2−1)=______．有意义的x的取值范围是______．10.使分式1x−311.甲，乙两家汽车销售公司根据近几年的销售量分别制作了如图所示的统计图，从2014～2018年，这两家公司中销售量增长较快的是______公司(填“甲”或“乙”)．12.已知x=−1是一元二次方程ax2+bx−2=0的一个根，那么b−a的值等于______．13.如图，△ABC≌△EDB，AC=6，AB=8，则AE=______．14.如图，已知正五边形ABCDE，AF//CD，交DB的延长线于点F，则∠DFA =______．15. 如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，∠A =30°，以点C 为圆心，CB 长为半径作弧，交AB 于点D ；再分别以点B 和点D 为圆心，大于12BD 的长为半径作弧，两弧相交于点E ，作射线CE 交AB 于点F ，若AF =6，则BC 的长为______．16. 已知正方形MNOK 和正六边形ABCDEF 边长均为2，把正方形放在正六边形中，使OK 边与AB 边重合，如图所示，按下列步骤操作：将正方形在正六边形中绕点B 顺时针旋转，使KM 边与BC 边重合，完成第一次旋转；再绕点C 顺时针旋转，使MN 边与CD 边重合，完成第二次旋转；…在这样连续6次旋转的过程中，点B ，M 之间距离的最小值是______．三、计算题（本大题共2小题，共14分） 17. 先化简，再求值：1x−1−x−3x 2−1，其中x =√3．18. 解不等式组{5−2x >01+x 2≥0，在数轴上表示解集，并说出它的自然数解．四、解答题（本大题共9小题，共74分）19.如图，AB=AD，AC=AE，BC=DE，点E在BC上．(1)求证：△ABC≌△ADE；(2)求证：∠EAC=∠DEB．20.(1)两只不透明的袋子中均有红球、黄球、白球各1个，这些球除颜色外无其他差别．分别从每个袋子中随机摸出一个球，求摸出两个球都是红球的概率．(2)鼓楼区实施全面均衡分班，某校为七年级各班随机分配任课教师．已知该校七年级共有10个班，语文洪老师、数学胡老师都执教该年级，则他俩都任教七(1)班的概率为______．21.妈妈准备用5万元投资金融产品，她查询到有A、B两款“利滚利”产品，即上一周产生的收益将计入本金以计算下一周的收益．例如：投资100元，第一周的周收益率为5%，则第一周的收益为100×5%=5元，第二周投资的本金将变为100+ 5=105元．如图是这两款产品过去5周的周收益率公告信息．(第一周：3月1日～3月7日)(1)若妈妈3月1日投资产品B，到第二周结束时会不赚不赔，这种说法对吗？请判断并说明理由．(2)请运用学过的统计知识，为妈妈此次投资金融产品提出建议并简要说明理由．22.已知点A(1,1)，B(2,3)，C(4,7)，请用两种不同的方法判断这三点是否在一条直线上．(写出必要的推理过程)23.已知：如图，在▱ABCD中，G、H分别是AD、BC的中点，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F．(1)求证：四边形GEHF是平行四边形；(2)已知AB=5，AD=8.求四边形GEHF是矩形时BD的长．24.某商品的进价是每件40元，原售价每件60元．进行不同程度的涨价后，统计了商品调价当天的售价和利润情况，以下是部分数据：售价(元/件)60616263…利润(元)6000609061606210…(2)若对该商品原售价每件涨价x元(x为正整数)时当天售出该商品的利润为y元．①用所学过的函数知识直接写出y与x之间满足的函数表达式：______．②如何定价才能使当天的销售利润不等于6200元？25.如图①，一座石拱桥坐落在秦淮河上，它的主桥拱为圆弧形．如图②，乔宽AB为8米，水面BC宽16米，BC⏜表示的是主桥拱在水面以上的部分，点P表示主桥拱拱顶．小明乘坐游船，沿主桥拱的中轴线向主桥拱行驶．(1)图③是主桥拱在水面以上部分的主视图，请用直尺和圆规作出主桥拱在静水中的倒影．(保留作图痕迹，不写作法)．(2)已知小明眼睛距离水平1.6米，游船的速度为0.2米/秒．某一时刻，小明看拱顶P的仰角为37°，4秒后，小明看拱顶P的仰角为45°.(参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75.)①求桥拱P到水面的距离；②船上的旗杆高1米，某时刻游船背对阳光形式，小明发现旗杆在阳光下的投影所在直线与航线平行且长为2米．请估计此刻桥的正下方被阳光照射到的部分的面积(需画出示意图并标注必要数据)．26.把一个函数图象上每个点的纵坐标变为原来的倒数(原函数图象上纵坐标为0的点除外)、横坐标不变，可以得到另一个函数的图象，我们称这个过程为倒数变换．例如：如图，将y=x的图象经过倒数变换后可得到y=1x 的图象．特别地，因为y=1x图象上纵坐标为0的点是原点，所以该点不作变换，因此y=1的图象上也没有纵坐标为0的点．(1)请在下面的平面直角坐标系中画出y=−x+1的图象和它经过倒数变换后的图象．(2)观察上述图象，结合学过的关于函数图象与性质的知识，①猜想：倒数变换得到的图象和原函数的图象之间可能有怎样的联系？写出两个即可．②说理：请简要解释你其中一个猜想．(c为常数)的大致图象．(3)请画出函数y=1x2+c⏜的中点，过点F作EF⊥AB于点E，27.我们知道，如图1，AB是⊙O的弦，点F是AFB易得点E是AB的中点，即AE=EB.⊙O上一点C(AC>BC)，则折线ACB称为⊙O 的一条“折弦”．(1)当点C在弦AB的上方时(如图2)，过点F作EF⊥AC于点E，求证：点E是“折弦ACB”的中点，即AE=EC+CB．(2)当点C在弦AB的下方时(如图3)，其他条件不变，则上述结论是否仍然成立？若成立说明理由；若不成立，那么AE、EC、CB满足怎样的数量关系？直接写出，不必证明．(3)如图4，已知Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC=30°，Rt△ABC的外接圆⊙O的半径为2，过⊙O上一点P作PH⊥AC于点H，交AB于点M，当∠PAB=45°时，求AH的长．答案和解析1.【答案】D【解析】解：√(−2)2=2，故选：D．直接利用二次根式的性质化简求出答案．此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确化简二次根式是解题关键．2.【答案】A【解析】解：a⋅a3=a1+3=a4．故选：A．根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即a m⋅a n=a m+n解答．本题主要考查同底数幂的乘法的性质，熟练掌握性质是解题的关键．3.【答案】A【解析】解：从几何体左面看得到是矩形的组合体，且长方形靠左．故选：A．找到从几何体左面看得到的平面图形即可．此题主要考查了三视图的相关知识；掌握左视图是从几何体左面看得到的平面图形是解决本题的关键．4.【答案】B【解析】解：∵3<√13<4，∴2<√13−1<3．故选：B．由于3<√13<4，由不等式性质可得√13−1的范围可得答案．本题考查了估算无理数大小的知识，注意夹逼法的运用是解题关键．5.【答案】B【解析】解：由表可知，年龄为15岁与年龄为16岁的频数和为x+10−x=10，则总人数为：5+15+10=30，=14岁，故该组数据的众数为14岁，中位数为：14+142即对于不同的x，关于年龄的统计量不会发生改变的是众数和中位数，故选：B．由频数分布表可知后两组的频数和为10，即可得知总人数，结合前两组的频数知出现次数最多的数据及第15、16个数据的平均数，可得答案．本题主要考查频数分布表及统计量的选择，由表中数据得出数据的总数是根本，熟练掌握平均数、中位数、众数及方差的定义和计算方法是解题的关键．6.【答案】A【解析】解：连接OC，OD，∵六边形ABCDEF是正六边形，=60°，∴∠COD=360°6∠COD=30°，∴∠CPD=12故选：A．构造圆心角，利用同弧所对的圆周角是圆心角的一半求得答案即可．本题考查了正多边形和圆以及圆周角定理的知识，解题的关键是正确的构造圆心角，难度不大．7.【答案】−2【解析】解：−2的相反数是2，那么a等于2．故答案是：−2．一个数的相反数就是在这个数前面添上“−”号．本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“−”号：一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．8.【答案】3.805×104【解析】解：38050=3.805×104．故答案为：3.805×104．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．9.【答案】1【解析】解：(√2+1)(√2−1)=(√2)2−1=1．故答案为：1．两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数．就可以用平方差公式计算．结果是乘式中两项的平方差(相同项的平方减去相反项的平方)．本题应用了平方差公式，使计算比利用多项式乘法法则要简单．10.【答案】x≠3【解析】解：分式有意义，则x−3≠0，解得x≠3．故答案为：x≠3．根据分式有意义，分母不为零列式进行计算即可得解．本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0．11.【答案】甲【解析】解：从折线统计图中可以看出：甲公司2014年的销售量约为100辆，2018年约为600辆，则从2014～2018年甲公司增长了500辆；乙公司2014年的销售量为100辆，2018年的销售量为400辆，则从2014～2018年，乙公司中销售量增长了300辆．所以这两家公司中销售量增长较快的是甲公司，故答案为：甲．结合折线统计图，分别求出甲、乙各自的增长量即可求出答案．本题考查了折线统计图，单纯从折线的陡峭情况来判断，很易错选乙公司；因此解题的关键是根据纵轴得出解题所需的具体数据．12.【答案】−2【解析】解：把x=−1代入ax2+bx−2=0，得a−b−2=0，则a−b=2．所以b−a=−2．故答案是：−2．把x=−1代入已知方程来求b−a的值．本题考查了一元二次方程的解的定义．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．13.【答案】2【解析】解：∵△ABC≌△EDB，AC=6，AB=8，∴BE=AC=6，∴AE=AB−BE=8−6=2，故答案为：2根据全等三角形的性质即可得到结论．本题考查了全等三角形的性质，能求出BE的长是解此题的关键．14.【答案】36°【解析】解：∵正五边形的外角为360°÷5=72°，∴∠C=180°−72°=108°，∵CD=CB，∴∠CDB=36°，∵AF//CD，∴∠DFA=∠CDB=36°．故答案为：36°．首先求得正五边形内角∠C的度数，然后根据CD=CB求得∠CDB的度数，然后利用平行线的性质求得∠DFA的度数即可．本题考查了多边形的内角和外角及平行线的性质，解题的关键是求得正五边形的内角．15.【答案】4【解析】解：连接CD，∵在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，设BC=x，∴AB=2BC=2x．∵作法可知BC=CD=x，CE是线段BD的垂直平分线，∴CD是斜边AB的中线，∴BD=AD=x，x，∴BF=DF=12∴AF=AD+DF=x+1x=6．2解得：x=4．故答案为：4连接CD，根据在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC为x，可知AB=2BC=2x，再由作法可知BC=CD=x，CE是线段BD的垂直平分线，故CD是斜边AB的中线，据此可得出BD=x，进而可得出结论．本题考查的是作图−基本作图，熟知线段垂直平分线的作法和直角三角形的性质是解答此题的关键．16.【答案】4−2√2【解析】解：如图，在这样连续6次旋转的过程中，点M的运动轨迹是图中的红线，观察图象可知点B，M间的距离大于等于4−2√2小于等于4，∴B，M之间距离的最小值是4−2√2．故答案为：4−2√2．如图，在这样连续6次旋转的过程中，点M的运动轨迹是图中的红线，观察图象可知点B，M间的距离大于等于4−2√2小于等于4，由此即可判断．本题考查正六边形、正方形的性质等知识，解题的关键作出点M的运动轨迹，利用图象解决问题，题目有一定的难度．17.【答案】解：原式=x+1(x+1)(x−1)−x−3(x+1)(x−1)=4(x+1)(x−1)=4x2−1，当x=√3时，原式=(√3)2−1=43−1=2．【解析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x的值代入计算．本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算顺序和运算法则．18.【答案】解：由①得：x<52由②得：x≥−1故不等式组的解集为−1≤x<52．数轴表示如图所示：不等式组的自然数解为0，1，2．【解析】先分别求出各不等式的解集，再求其公共解集即可．求不等式的解集应遵循“同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了”的原则．19.【答案】解：(1)∵AB=AD，AC=AE，BC=DE，∴△ABC≌△ADE(SSS)；(2)由△ABC≌△ADE，则∠D=∠B，∠DAE=∠BAC．∴∠DAE−∠ABE=∠BAC−∠BAE，即∠DAB=∠EAC．设AB 和DE 交于点O ，∵∠DOA =∠BOE ，∠D =∠B ，∴∠DEB =∠DAB ．∴∠EAC =∠DEB ．【解析】(1)用“SSS ”证明即可；(2)借助全等三角形的性质及角的和差求出∠DAB =∠EAC ，再利用三角形内角和定理求出∠DEB =∠DAB ，即可说明∠EAC =∠DEB ．本题主要考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是利用全等三角形的性质求出相等的角，体现了转化思想的运用．20.【答案】解：(1)摸出两个球都是红球的概率=13×13=19；答：摸出两个球都是红球的概率为19；(2)1100．【解析】解：(1)见答案；(2)他俩都任教七(1)班的概率=110×110=1100，答：他俩都任教七(1)班的概率为1100．故答案为：1100．【分析】(1)根据概率公式即可得出结果；(2)根据概率公式即可得出结果．本题考查了概率，熟练掌握概率公式是解题的关键．21.【答案】解：(1)这种说法不对，理由：设开始投资x 元，则两周结束时的总资产为：x(1+2%)(1−2%)=0.9996x ≠x ，故到第二周结束时会不赚不赔，这种说法不对；(2)选择A 产品，理由：由图可以看出两个产品平均收益率相近，但A 产品波动较小，方差较小，且一直是正收益，说明收益比较稳定，故选择A 产品．【解析】(1)根据题意和统计图中的信息可以计算出到第二周结束时是赚还是赔，本题得以解决；(2)根据统计图中的信息可以帮助妈妈此次投资金融产品提出合理性建议．本题考查折线统计图，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 22.【答案】解：A 、B 、C 三点在一条直线上．方法一：设AB 两点所在直线的解析式为y =kx +b ，将A(1,1)，B(2,3)代入可得，{1=k +b 3=2k +b ，解得{k =2b =−1， ∴y =2x −1，当x =4时，y =7，∴点C 也在直线AB 上，即A 、B 、C 三点在一条直线上．方法二：∵A(1,1)，B(2,3)，C(4,7)，∴AB =√(2−1)2+(3−1)2=√5，AC =√(4−1)2+(7−1)2=3√5，BC =√(4−2)2+(7−3)2=2√5，∴AB+BC=AC，∴A、B、C三点在一条直线上．【解析】方法一：设AB两点所在直线的解析式为y=kx+b，将A(1,1)，B(2,3)代入可得函数解析式，进而得出点C也在直线AB上即可；方法二：依据两点间距离公式即可得到AB+BC=AC，进而得出A、B、C三点在一条直线上．本题考查了一次函数图象上点的坐标特征：一次函数y=kx+b，(k≠0，且k，b为常数)的图象是一条直线．直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y=kx+b．23.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD//BC，AD=BC，∴∠GDE=∠FBH，∵G、H分别是AD、BC的中点，AE⊥BD，CF⊥BD，∴在Rt△AED和Rt△CFB中，EG=12AD=GD，FH=12BC=HB，∴EG=FH，∠GED=∠GDE，∠FBH=∠BFH，∴∠GED=∠BFH，∴EG//FH，∴四边形GEHF是平行四边形；(2)解：连接GH，当四边形GEHF是矩形时，∠EHF=∠BFC=90°，∵∠FBH=∠BFH，∴△EFH∽△CBF，∴EFCB =FHBF，由(1)可得：GA//HB，GA=HB，∴四边形GABH是平行四边形，∴GH=AB=5，∵在矩形GEHF中，EF=GH，且AB=5，AD=8，∴58=4BF，解得：BF=325，∴BE=BF−EF=325−5=75，在△ABE和△CDF中{∠AEB=∠CFD ∠ABE=∠CDF AB=CD∴△ABE≌△CDF(AAS)，∴BE=DF=75，∴BD=BF+DF=325+75=395．【解析】(1)根据平行四边形的性质得出AD//BC，AD=BC，求出∠GDE=∠FBH，根据直角三角形斜边上中线性质求出EG=FH，求出EG//FH，根据平行四边形的判定得出即可；(2)根据矩形的性质得出∠EHF=∠BFC=90°，证△EFH∽△CBF，根据相似得出58=4BF，求出BE，证△ABE≌△CDF，求出BE=DF，即可得出答案．本题考查了矩形的性质，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，平行四边形的性质等知识点，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键．24.【答案】解：(1)300；(2)①y=10x2−500x+6000；②0x2−500x+6000≠6200，x无整数解，故无论如何定价，都能使天的销售利润不等于6200元．【解析】解：(1)6000÷(60−40)=300件；故答案为：300；(2)①当每件收件61元，销售件数：6090÷(61−40)=290件；当每件收件62元，销售件数：6160÷(62−40)=280件；当每件收件63元，销售件数：62100÷(63−40)=270件；可以看出，售价每增加1元，销售减少10件，y=(60+x−40)(300−10x)=10x2−500x+6000．故答案为：y=10x2−500x+6000；②见答案．【分析】(1)销售件数=当天销售利润÷每件利润的单价；(2)①先通过已知数据，找出每增加1元，减少的销售件数，然后销售利润=每件利润×销售件数；②根据①中的关系，列出不等式即可．本题考查了二次函数的实际应用，将实际问题转化成函数关系式解答此题的关键．25.【答案】解：(1)如图所示：(2)①如图2中，当小明刚到拱顶正下方时，设拱顶P到小明的眼睛距离即PC为x米．∵tan37°=PCAC =34，∴AC=43x，∵tan45°=PCBC=1，∴BC=PC=x，∴AB=AC−BC=43x−x=0.2×4，解得x=2.4，∴PE=2.4+1.6=4(米)．②如图红色曲线与BC构成的图形即可所求的区域(面积为S)，与阴影部分弓形相比，水平长度相同，竖着高度变为其两倍，所以可以认为S为弓形面积的两倍．由①可知：OB=10，∠BOC=106°，∴S弓形=106⋅π⋅102360−12×16×=265π9−48，∴S=2S弓形=530π9−96．【解析】(1)在BC⏜上取一点D，作线段BD，BC的垂直平分线交于点O，作点O关于BC的对称点O′，以O′为圆心，O′B为半径画弧即可解决问题．(2)①如图2中，当小明刚到拱顶正下方时，设拱顶P到小明的眼睛距离即PC为x米．构建方程求出x即可解决问题．②如图红色曲线与BC构成的图形即可所求的区域(面积为S)，与阴影部分弓形相比，水平长度相同，竖着高度变为其两倍，所以可以认为S为弓形面积的两倍．本题考查的是解直角三角形的应用−仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．26.【答案】解：(1)在平面直角坐标系中画出y=−x+1的图象和它经过倒数变换后的图象如图：(2)①猜想一：倒数变换得到的图象和原函数的图象之间如果存在交点，则其纵坐标为1或−1；猜想二：倒数变换得到的图象和原函数的图象的对称性相同，比如原函数是轴对称图形，则倒数变换的图象也是轴对称图象；②猜想一：因为只有1和−1的倒数是其本身，所以如果原函数存在一个点的纵坐标为1或−1，那么倒数变换得到的图象上必然也存在这样对应的纵坐标为1或−1，即两个函数图象的交点．(3)当c=时，当c>0时，当c<0时，【解析】(1)画出y =1−x+1的图象；(2)猜想一：倒数变换得到的图象和原函数的图象之间如果存在交点，则其纵坐标为1或−1；猜想二：倒数变换得到的图象和原函数的图象的对称性相同，比如原函数是轴对称图形，则倒数变换的图象也是轴对称图象；(3)分三种情况画图：①c =0②c >0③c <0；本题考查函数的变换．理解倒数函数的定义是解题的基础，能够熟练用描点法画图是正确画出图象的关键．27.【答案】解：(1)如图2，在AC 上截取AG =BC ，连接FA ，FG ，FB ，FC ，∵点F 是AFB⏜的中点，FA =FB ， 在△FAG 和△FBC 中，{FA =FB∠FAG =∠FBC(同弧所对的圆周角相等)AG =BC，∴△FAG≌△FBC(SAS)，∴FG =FC ，∵FE ⊥AC ，∴EG =EC ，∴AE =AG +EG =BC +CE ；(2)结论AE =EC +CB 不成立，新结论为：CE =BC +AE ，理由：如图3，在CA 上截取CG =CB ，连接FA ，FB ，FC ，∵点F 是AFB⏜的中点， ∴FA =FB ，FA⏜=FB ⏜， ∴∠FCG =∠FCB ，在△FCG 和△FCB 中，{CG =CB∠FCG =∠FCB FC =FC，∴△FCG≌△FCB(SAS)，∴FG =FB ，∴FA =FG ，∵FE ⊥AC ，∴AE=GE，∴CE=CG+GE=BC+AE；(3)如图3，在Rt△ABC中，AB=2OA=4，∠BAC=30°，∴BC=12AB=2，AC=2√3，当点P在弦AB上方时，在CA上截取CG=CB，连接PA，PB，PG，∵∠ACB=90°，∴AB为⊙O的直径，∴∠APB=90°，∵∠PAB=45°，∴∠PBA=45°=∠PAB，∴PA=PB，∠PCG=∠PCB，在△PCG和△PCB中，{CG=CB∠PCG=∠PCB PC=PC，∴△PCG≌△PCB(SAS)，∴PG=PB，∴PA=PG，∵PH⊥AC，∴AH=GH，∴AC=AH+GH+CG=2AH+BC，∴2√3=2AH+2，∴AH=√3−1，当点P在弦AB下方时，如图5，在AC上截取AG=BC，连接PA，PB，PC，PG ∵∠ACB=90°，∴AB为⊙O的直径，∴∠APB=90°，∵∠PAB=45°，∴∠PBA=45°=∠PAB，∴PA=PB，在△PAG和△PBC中，{AG=BC∠PAG=∠PBC(同弧所对的圆周角相等) PA=PB，∴△PAG≌△PBC(SAS)，∴PG=PC，∵PH⊥AC，∴CH=GH，∴AC=AG+GH+CH=BC+2CH，∴2√3=2+2CH，∴CH=√3−1，∴AH=AC−CH=2√3−(√3−1)=√3+1，即：当∠PAB=45°时，AH的长为√3−1或√3+1．【解析】(1)先判断出△FAG≌△FBC(SAS)，得出FG=FC，再判断出EG=EC，即可得出结论；(2)先判断出△FCG≌△FCB(SAS)，得出FG=FB，再判断出AE=GE，即可得出结论；(3)先求出AC，NC，再分两种情况：同(1)(2)的方法判断出CH，AH，BC的关系，即可得出结论．此题是圆的综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，构造出全等三角形是解本题的关键．。

2020-2021学年最新江苏省南京市联合体中考数学二模试卷及答案

2020-2021学年最新江苏省南京市联合体中考数学二模试卷及答案

中考数学二模试卷一、选择题（本大题共6小题，共12.0分）1.2的平方根是()A. ±√2B. √23C. √2D. −√2【答案】A【解析】解：2的平方根是：±√2．故选：A．根据平方根的定义解答．本题考查了平方根的应用，注意：一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数．2.下列计算正确的是()A. a3+a2=a5B. a3−a2=aC. a3⋅a2=a6D. a3÷a2=a【答案】D【解析】解：A、a2与a3不是同类项，不能合并，故本选项错误；B、a3与a2不是同类项，不能合并，故本选项错误；C、应为a3⋅a2=a5，故本选项错误；D、a3÷a2=a，正确．故选：D．根据同类项定义；同底数幂相乘，底数不变指数相加；同底数幂相除，底数不变指数相减，对各选项分析判断后利用排除法求解．本题主要考查同底数幂的乘法，同底数幂的除法，熟练掌握运算性质是解题的关键，不是同类项的一定不能合并．3.如图，将菱形ABCD沿BD方向平移得到菱形EFGH，若FD：BF=1：3，菱形ABCD与菱形EFGH的重叠部分面积记为S1，菱形ABCD的面积记为S2，则S1：S2的值为()A. 1：3B. 1：4C. 1：9D. 1：16【答案】D【解析】解：如图设AD交EF于M，CD交FG于N．由题意，重叠部分四边形MDNF是菱形，菱形MFND∽菱形ABCD，∴S1S2=(DFBD)2，∵DF：BF=1：3，∴DF：BD=1：4，∴S1S2=(DFBD)2=116，故选：D．利用相似多边形的性质即可解决问题；本题考查菱形的性质、相似多边形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．4.如图，已知BA是⊙O的切线，切点为A，连接OB交⊙O于点C，若∠B=45∘，AB长为2，则BC的长度为()A. 2√2−1B. √2C. 2√2−2D.2−√2【答案】C【解析】解：连接OA，∵BA是⊙O的切线，切点为A，∴∠OAB=90∘，∵∠B=45∘，∴△OAB是等腰直角三角形，∵AB长为2，∴AO=2，则BO=2√2，故BC=2√2−2，故选：C．利用切线的性质结合等腰直角三角形的性质得出BO的长，进而得出答案．此题主要考查了切线的性质以及勾股定理，正确得出△OAB是等腰直角三角形是解题关键．5.已知反比例函数y=k2x(k≠0)过点A(a,y1)，B(a+1,y2)，若y2>y1，则a的取值范围为()A. −1<aB. −1<a<0C. a<1D. 0<a<1【答案】B【解析】解：∵反比例函数y=k2x(k≠0)中的k2>0，∴反比例函数y=k2x (k≠0)的图象经过第一、三象限，且在每一象限内y随x的增大而减小．∵y2>y1，a+1>a，∴点A位于第三象限，点B位于第一象限，∴{a+1>0a<0，解得−1<a<0．故选：B．根据反比例函数图象所经过的象限和函数的增减性解答．考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解题时，需要熟悉反比例函数解析式中系数与图象的关系．6.2中，函数y与自变量x的部分对应值如下表：x−3−2−1123456y−14−7−22m n−7−14−23A. m>nB. m<nC. m=nD. 无法比较【答案】A【解析】解：∵x =−2时，y =−7，x =4时，y =−7，∴抛物线对称轴为直线x =−2+42=1，即(1,2)为抛物线的顶点， ∴2为抛物线的最大值，即抛物线开口向下，∴当x >1时，抛物线为减函数，x <1时，抛物线为增函数， ∴(2,m)与(3,n)在抛物线对称轴右侧，且2<3， 则m >n ．故选：A ．由表格中x =−2与x =4时，对应的函数y 都为−7，确定出(1,2)为二次函数的顶点坐标，即x =1为抛物线的对称轴，且抛物线开口向下，进而由抛物线的增减性，即可判断出m 与n 的大小．此题考查了二次函数图象上点的坐标特征，以及二次函数的图象与性质，其中根据表格的抛物线的对称轴及开口方向是解本题的关键．二、填空题（本大题共10小题，共20.0分） 7. 计算(√2)0=______，2−1=______． 【答案】1；12 【解析】解：原式=1，原式=12，故答案为：1；12原式利用零指数幂、负整数指数幂法则计算即可求出值． 此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．8. 计算√2x ⋅√8xy(x ≥0,y ≥0)的结果是______． 【答案】4x √y【解析】解：√2x ⋅√8xy(x ≥0,y ≥0)=√16x 2y=4x √y ．故答案为：4x √y ．直接利用二次根式的性质化简得出答案．此题主要考查了二次根式的性质，正确化简二次根式是解题关键．9. 分解因式a 3−a 的结果是______． 【答案】a(a +1)(a −1)【解析】解：a 3−a =a(a 2−1)=a(a +1)(a −1)． 故答案为：a(a +1)(a −1)．先提取公因式a ，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．10. 甲、乙、丙三名射击运动员在某场测试中各射击10次，三人的测试成绩如下：甲 7 7 8 8 8 9 9 9 10 10 乙 7 7 7 8 8 9 9 10 10 10 丙 7 8 8 8 8 9 9 9 9 10这三人10次射击命中的环数的平均数x 甲=x 乙=x 丙=8.5，则测试成绩比较稳定的是______，(填“甲”或“乙”或“丙”)【答案】丙【解析】解：∵x 甲=x 乙=x 丙=8.5，∴S 甲2=110×[2×(7−8.5)2+3×(8−8.5)2+3×(9−8.5)2+2×(10−8.5)2]=1.05，S 乙2=110×[3×(7−8.5)2+2×(8−8.5)2+2×(9−8.5)2+3×(10−8.5)2]=1.45，S 丙2=110×[(7−8.5)2+4×(8−8.5)2+4×(9−8.5)2+(10−8.5)2]=0.65，∵S 丙2<S 甲2<S 乙2，∴测试成绩比较稳定的是丙， 故答案为：丙．根据方差就是各变量值与其均值离差平方的平均数，根据方差公式计算即可，再利用方差的意义解答即可得出答案．此题主要考查了方差公式的应用，方差是各变量值与其均值离差平方的平均数，它是测算数值型数据离散程度的最重要的方法．11. 如图，已知直线a//b ，∠1=72∘，∠2=38∘，则∠3=______ ∘.【答案】70【解析】解：∵a//b ， ∴∠2=∠4=38∘， 又∵∠1=72∘，∴∠3=180∘−38∘−72∘=70∘，故答案为：70．依据a//b ，即可得到∠2=∠4=38∘，再根据∠1=72∘，即可得到∠3的度数． 本题考查了平行线的性质和平角的定义，熟练掌握性质定理是解题的关键．12. 如图，正方形ABCD 的顶点B 、C 都在直角坐标系的x 轴上，AC 与BD 交于点E ，若点D 的坐标是(3,4)，则点E 的坐标是______． 【答案】(1,2)【解析】解：过点E 作EF ⊥x 轴于点F ， ∵D 的坐标是(3,4)，B 、C 在x 轴上， ∴DC =4，OC =3，∵四边形ABCD 是正方形， ∴BC =CD =4， ∴OB =4−3=1， ∵B 在x 轴的负半轴上， ∴B(−1,0)，∵E 为BD 中点，EF ⊥BC ， ∴BF =FC =2，∴FO =1，EF =12DC =2， ∴E(1,2)．故答案为：(1,2)．根据D 的坐标和C 的位置求出DC =4，OC =3，根据正方形性质求出OB ，即可求出答案．本题考查了正方形的性质和坐标与图形性质，解此题的关键是求出DC、OC、OB的长度，题目比较好，难度不大．13.已知关于x的一元二次方程x2+mx+n=0的两个根是1和−2，则mn的值是______．【答案】−2【解析】解：由根与系数的关系可知：1+(−2)=−m，1×(−2)=n，∴m=1，n=−2∴mn=−2故答案为：−2根据根与系数的关系即可求出答案．本题考查根与系数的关系，解题的关键是熟练运用根与系数的关系，本题属于基础题型．14.已知圆锥的高是3cm，母线长5cm，则圆锥的侧面积是______cm2.(结果保留π)．【答案】20π【解析】解：∵圆锥的高是3cm，母线长5cm，∴勾股定理得圆锥的底面半径为4cm，∴圆锥的侧面积=π×4×5=20πcm2．故答案为：20π．首先利用勾股定理求得圆锥的底面半径，然后利用圆锥的侧面积=π×底面半径×母线长，把相应数值代入即可求解．本题考查圆锥侧面积公式的运用，掌握公式是关键．15.已知⊙M过原点，A(1,2)，B(3,1)三点，则圆心M坐标为______．【答案】(32,1 2 )【解析】解：过A作EF⊥y轴于E，过B作BF⊥EF于F，∴∠AEO=∠BFA=90∘，∴∠EAO+∠AOE=90∘，∵A(1,2)，B(3,1)，∴OE=AF=2，AE=BF=1，∴△AEO≌△BFA(SAS)，∴∠AOE=∠BAF，∴∠EAO+∠BAF=90∘，∴∠OAB=90∘，∴△OAB是直角三角形，∴OB是△OAB外接圆的直径，∴M是OB的中点，∵O(0,0)，B(3,1)，∴M(32,12 )；故答案为：(32,1 2 ).先根据三角形全等证明△OAB是直角三角形，根据圆周角定理∠AOB=90∘得OB为⊙M的直径，则可得到线段OB的中点即点M的坐标．本题考查了圆周角定理及其推论、全等三角形的判定和性质，熟练掌握90∘的圆周角所对的弦是直径是关键．16.如图，在直角坐标系中，△AOB为直角三角形，∠AOB=90∘，∠OAB=30∘，点A坐标为(3,1)，AB与x轴交于点C，则AC：BC的值为______．【答案】√33【解析】解：如图所示：作AD⊥x轴，垂足为D，作BE⊥y轴，垂足为E．∵A(3,1)，∴OA=√32+12=√10．∵∠OAB=30∘，∠AOB=90∘，∴OAOB =√3．∵∠AOB=90∘，∠EOC=90∘，∴∠EOB=∠AOD，又∵∠BEO=∠ADO，∴△OEB∽△ODA，∴OEOD =OBAO=√33，即OE3=√33，解得：OE=√3．∵AC：BC=S△AOC：S△OBC=AD：OE=1：√3=√33．故答案为：√33．作AD⊥x轴，垂足为D，作BE⊥y轴，垂足为E，先求得OA的长，然后证明△OEB∽△ODA，依据相似三角形的性质可得到OEOD =OBAO=√33，最后依据AC：BC=S△AOC：S△OBC=AD：OE求解即可．本题主要考查的是一次函数图象上点的坐标特点，证得△OEB∽△ODA是解答本题的关键．三、计算题（本大题共2小题，共15.0分）17.计算a2−b2ab ÷(1a−1b).【答案】解：原式=(a+b)(a−b)ab ÷b−aab=(a+b)(a−b)ab⋅ab−(a−b) =−(a+b)=−a−b．【解析】先计算括号内分式的减法，再将除法转化为乘法，约分即可得．本题主要考查分式的混合运算，解题的关键是掌握分式混合运算顺序和运算法则．18.甲、乙两地相距480km，一辆货车从甲地匀速驶往乙地，货车出发一段时间后，一辆汽车从乙地匀速驶往甲地，设货车行驶的时间为xℎ.线段OA表示货车离甲地的距离y1km与xh的函数图象；折线BCDE表示汽车距离甲地的距离y2km与x(ℎ)的函数图象．(1)求线段OA与线段CD所表示的函数表达式；(2)若OA与CD相交于点F，求点F的坐标，并解释点F的实际意义；(3)当x为何值时，两车相距100千米？【答案】解：(1)设线段OA对应的函数关系式为y1=kx，6k=480，得k=80，即线段OA 对应的函数关系式为y 1=80x(0≤x ≤6)， 设线段CD 对应的函数关系式为y 2=ax +b ， {5.2a +b =01.2a+b=480，得{b =624a=−120， 即线段CD 对应的函数关系式为y 2=−120x +624(1.2≤x ≤5.2)；(2){y =−120x +624y=80x，解得，{y =249.6x=3.12，∴点F 的坐标为(3.12,249.6)，点F 的实际意义是：在货车出发3.21小时时，距离甲地249.6千米，此时与汽车相遇；(3)由题意可得，|80x −(−120x +624)|=100， 解得，x 1=2.62，x 2=3.62，答：x 为2.62或x =3.62时，两车相距100千．【解析】(1)根据函数图象中的数据可以求得相应的函数解析式；(2)根据(1)中的函数解析式可以求得点F 的坐标，并写出点F 表示的实际意义； (3)根据题意可以得到相应的方程，从而可以解答本题．本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式，利用一次函数的性质解答．四、解答题（本大题共9小题，共73.0分）19. 求不等式组{1−x ≤0x+12<3的整数解．【答案】解：{1−x ≤0①x+12<3②∵解不等式①得：x ≥1，解不等式②得：x <5，∴不等式组的解集为1≤x <5， ∴不等式组的整数解是1，2，3，4．【解析】先求出不等式的解集，再求出不等式组的解集，即可求出答案．本题考查了解一元一次不等式组和不等式组的整数解，能求出不等式组的解集是解此题的关键．20. 根据一家文具店的账目记录，某天卖出15个笔袋和5支钢笔，收入240元，另一天，笔袋加价1元和钢笔打8折，卖出同样的12个笔袋和8支钢笔，收入276元，求笔袋和钢笔的单价． 【答案】解：设每个笔袋的价格为x 元，每支钢笔的价格为y 元． 根据题意，得{12(x +1)+8y ×0.8=27615x+5y=240，解得{y =30x=6．答：每个笔袋的价格为6元，每支钢笔的价格为30元．【解析】等量关系为：15个笔袋总价+5支钢笔总价=240元；12个笔袋总价+8支钢笔总价=276元，把相关数值代入后看求得的单价是否符合实际情况即可．考查二元一次方程组在实际中的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．21. 光明中学全体学生900人参加社会实践活动，从中随机抽取50人的社会实践活动成绩制成如图所示的条形统计图，结合图中所给信息解答下列问题：填写下表：中位数众数随机抽取的50人的社会实践活动成绩(单位：分)(1)中位数众数随机抽取的50人的社会实践活动成绩(单位：分)44(2)随机抽取的50人的社会实践活动成绩的平均数是：x=1×2+2×9+3×13+4×14+5×1250=3.5(分)．估计光明中学全体学生社会实践活动成绩的总分是：3.5×900=3150(分)【解析】(1)根据抽取的人数可以确定中位数的位置，从而确定中位数，小长方形最高的小组的分数为该组数据的众数；(2)算出抽取的50名学生的平均分乘以全校的总人数即可得到光明中学全体学生社会实践活动成绩的总分．本题考查了条形统计图的知识，题目相对比较简单，解题的关键是正确的识图，并从图形中整理出有关的解题的信息．22.小明的书包里只放了A4大小的试卷共4张，其中语文1张、数学2张、英语1张(1)若随机地从书包中抽出2张，求抽出的试卷中有英语试卷的概率．(2)若随机地从书包中抽出3张，抽出的试卷中有英语试卷的概率为______【答案】34【解析】解：(1)画树状图为：共有12种等可能的结果数，其中抽出的试卷中有英语试卷的结果数为6，所以抽出的试卷中有英语试卷的概率为612=12；(2)∵从4张试卷中抽出3张有如下4种情况：(数、数、英)、(语、数、英)、(语、数、英)、(语、数、数)，其中抽出的试卷中有英语试卷的有3种结果，所以抽出的试卷中有英语试卷的概率为34．故答案为：34．(1)先画出树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出抽出的试卷中有英语试卷的结果数，然后根据概率公式求解．(2)列举出抽出3张试卷的结果数，再从中找到抽出的试卷中有英语试卷的结果数，根据概率公式即可得． 本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n ，再从中选出符合事件A 或B 的结果数目m ，然后根据概率公式求出事件A 或B 的概率．23. 如图，一单摆在重力作用下处于OA 处(与水平垂直)，若单摆摆动到OB处，单摆的长度不变，旋转角为θ，此时点B 相对于点A 高度上升了m 厘米，求单摆的长度.(用含θ与m 的代数式表示)【答案】解：作BH ⊥OA ，设单摆长度是x 厘米，在Rt △OBH 中，cosθ=OHOB ， ∴OH =OB ⋅cosθ=xcosθ， ∴x −xcosθ=m ，解得：x =m1−cosθ，答：单摆长度为m1−cosθcm ．【解析】作BH ⊥OA ，根据直角三角形的解法解答即可．此题主要考查了解直角三角形中俯角问题的应用，根据锐角三角函数的关系得出OH 的长是解题关键．24. 已知，如图，在▱ABCD 中，E 是AB 的中点，连接CE 井延长交DA 的延长线于点F ．(1)求证：△AEF ≌△BEC ；(2)若DE 平分∠ADC ，求证：DC =DF ．【答案】(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD//BC ， ∴∠F =∠BCE ， ∵E 是AB 中点， ∴AE =EB ，∵∠AEF =∠BEC ， ∴△AEF ≌△BEC ．(2)证明：∵DE 平分∠ADC ， ∴∠EDA =∠EDC ，∵AE//CD，∴∠CDE=∠AED，∴∠EDA=∠AED，∴AD=AE，∵△AEF≌△BEC，∴AF=BC=AB，∴DF=2AD，DC=AB=2AE，∴DC=DF．【解析】(1)根据AAS即可证明：△AEF≌△BEC；(2)首先证明AE=AE，再证明DF=2AD，CD=2AE即可解决问题；本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是准确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．25.已知⊙O的半径为5，弦AB的长度为m，点C是弦AB所对优弧上的一动点．(1)如图①，若m=5，则∠C的度数为______ ∘；(2)如图②，若m=6．①求∠C的正切值；②若△ABC为等腰三角形，求△ABC面积．【答案】30【解析】解(1)如图1，连接OB，OA，∴OB=OC=5，∵AB=m=5，∴OB=OC=AB，∴△AOB是等边三角形，∴∠AOB=60∘，∴∠ACB=12∠AOB=30∘，故答案为30；(2)①如图2，连接AO并延长交⊙O于D，连接BD，∵AD为⊙O的直径，∴AD=10，∠ABD=90∘，在Rt△ABD中，AB=m=6，根据勾股定理得，BD=8，∴tan∠ADB=ABBD =34，∵∠C=∠ADB，∴∠C的正切值为34；②Ⅰ、当AC =BC 时，如图3，连接CO 并延长交AB 于E ，∵AC =BC ，AO =BO ，∴CE 为AB 的垂直平分线，∴AE =BE =3，在Rt △AEO 中，OA =5，根据勾股定理得，OE =4，∴CE =OE +OC =9，∴S △ABC =12AB ×CE =12×6×9=27；Ⅱ、当AC =AB =6时，如图4，连接OA 交BC 于F ，∵AC =AB ，OC =OB ，∴AO 是BC 的垂直平分线，过点O 作OG ⊥AB 于G ，∴∠AOG =12∠AOB ，AG =12AB =3，∵∠AOB =2∠ACB ，∴∠ACF =∠AOG ，在Rt △AOG 中，sin∠AOG =AG AC =35， ∴sin∠ACF =35，在Rt △ACF 中，sin∠ACF =35， ∴AF =35AC =185， ∴CF =245， ∴S △ABC =12AF ×BC =12×185×245=43225；Ⅲ、当BA =BC =6时，如图5，由对称性知，S △ABC =43225．(1)连接OA ，OB ，判断出△AOB 是等边三角形，即可得出结论；(2)①先求出AD =10，再用勾股定理求出BD =8，进而求出tan∠ADB ，即可得出结论；②分三种情况，利用等腰三角形的性质和垂径定理以及勾股定理即可得出结论．此题是圆的综合题，主要圆的性质，圆周角定理，垂径定理，等腰三角形的性质，三角形的面积公式，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键．26. 已知二次函数y =x 2−2mx +m 2−m(m 为常数)(1)若m ≥0，求证该函数图象与x 轴必有交点(2)求证：不论m 为何值，该函数图象的顶点都在函数y =−x 的图象上(3)当−2≤x ≤3时，y 的最小值为−1，求m 的值【答案】(1)证明：令y =0，则x 2−2mx +m 2−m =0，∵m ≥0，∴△=4m 2−4(m 2−m)=4m >0，∴二次函数y =x 2−2mx +m 2−m 的图象与x 轴必有交点；(2)证明：∵二次函数y =x 2−2mx +m 2−m =(x −m)2−m ，∴顶点坐标为(m,−m)，令x =m ，y =−m ，∴y =−x ，∴不论m 为何值，该函数图象的顶点都在函数y =−x 的图象上；(3)解：由(2)知，抛物线的对称轴为直线x =m ，抛物线开口向上，当m >3时，由题意得：当x =3时，y 最小值为−1，代入抛物线解析式中得：9−6m +m 2−m =−1，即m =2(舍)或m =5，当−2≤m ≤3时，由题意得：当x =m 时，y 最小值为−1，代入抛物线解析式中得：m 2−2m 2+m 2−m =−1，即m =1；当m <−2时，由题意得：当x =−2时，y 最小值为−1，代入抛物线解析式中得：4+4m +m 2−m =−1，即m 2+3m +5=0，此方程无解；综上，m 的值是1或5．【解析】(1)利用一元二次方程根的情况判断抛物线与x 轴的交点情况；(2)先确定出抛物线的顶点坐标，即可得出结论；(3)利用抛物线的增减性，分三种情况讨论即可得出结论．此题是二次函数综合题，主要考查了抛物线的顶点坐标的确定，抛物线与x 轴交点个数的判定，极值的确定，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键．27. 如图，在▱ABCD 中，AB =3√2，BC =5，∠B =45∘，点E 为CD 上一动点，经过A 、C 、E 三点的⊙O 交BC 于点F ．【操作与发现】(1)当E 运动到AE ⊥CD 处，利用直尺与规作出点E 与点F ；(保留作图痕迹)(2)在(1)的条件下，证明：AF AE =ABAD ．【探索与证明】(3)点E 运动到任何一个位置时，求证：AF AE =AB AD ；【延伸与应用】(4)点E 在运动的过程中求EF 的最小值．【答案】解：(1)如图1所示，(2)如图，易知AC 为直径，则AF ⊥BC ，则S 四边形ABCD =BC ⋅AF =CD ⋅AE ，∴AF AE =CD BC =AB AD (3)如图，作AM ⊥BC ，AN ⊥CD ，若E 在DN 之间 由(2)可知，AM AN =AB AD∵A 、F 、C 、E 四点共圆，∴∠AFC +∠AEC =180∘，∵∠AFC +∠AFM =180∘，∴∠AEN =∠AFM ，∵∠AMF =∠ANE∴△AMF ∽△ANE ∴AM AN =AF AE =AB AD 若E 在CN 之间时，同理可证(4)∵A 、F 、C 、E 四点共圆，∴∠FAE+∠BCD=180∘，∵四边形ABCD为平行四边形，∠B=45∘，∴∠BCD=135∘，∴∠FAE=45∘，∴∠FOE=90∘，∴△FOE为等腰直角三角形，∴FE=√2R∵AN≤AC≤2R，∴E与N重合时，FE最小，此时FE=√22AC，在△ABC中，AM=BM=3，则CM=2∴由勾股定理可知：AC=√13此时EF最小值为√262【解析】(1)当AE⊥CD，此时AC是⊙O的直径，作出AC的中点O后，以OA为半径作出⊙O即可作出点E、F；(2)易知AC为直径，则AF⊥BC，S四边形ABCD=BC⋅AF=CD⋅AE，从而得证；(3)如图，作AM⊥BC，AN⊥CD，若E在DN之间，由(2)可知，AMAN =ABAD，然后再证明△AMF∽△ANE，从而可知AMAN =AFAE=ABAD，若E在CN之间时，同理可证；(4)由于A、F、C、E四点共圆，所以∠FAE+∠BCD=180∘，由于四边形ABCD为平行四边形，∠B=45∘，从而可证△FOE为等腰直角三角形，所以FE=√2R，由于AN≤AC≤2R，所以E与N重合时，FE最小．本题考查圆的综合问题，涉及相似三角形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，等腰三角形的性质，尺规作图等知识，综合程度较高，需要学生灵活运用所学知识．。

2021南京市中考数学模拟试卷2(附详细解析)

2021南京市中考数学模拟试卷2(附详细解析)

2021中考数学模拟试卷2（附详细解析）一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．（3分）﹣2的倒数是（）A．B．﹣C．2D．﹣22．（3分）如图是由3个大小相同的小正方体组成的几何体，它的左视图是（）A．B．C．D．3．（3分）已知是方程2x﹣ay＝6的一个解，那么a的值是（）A．﹣2B．2C．﹣4D．44．（3分）一个正比例函数的图象经过（1，﹣3），则它的表达式为（）A．y＝﹣3x B．y＝3x C．y＝D．y＝﹣5．（3分）下列计算正确的是（）A．a4+a5＝a9B．﹣2a（a﹣3）＝﹣2a2﹣6aC．（2a2b3）2＝4a4b6D．（a﹣b）2＝a2﹣b26．（3分）已知一组数据6、2、4、x、5，它们的平均数是4，则这一组数据的方差为（）A．1B．2C．3D．47．（3分）如图，∠AOB＝60°，以点O为圆心，以任意长为半径作弧交OA，OB于C，D两点；分别以C，D为圆心，以大于CD的长为半径作弧，两弧相交于点P；以O为端点作射线OP，在射线OP上截取线段OM＝6，则M 点到OB的距离为（）A．6B．2C．3D．8．（3分）如图，菱形ABCD中∠ABC＝60°，对角线AC，BD相交于点O，点E是AB中点，且AC＝4，则△BOE的面积为（）A．B．2C．3D．29．（3分）某数学研究性学习小组制作了如下的三角函数计算图尺：在半径为1的半圆形量角器中，画一个直径为1的圆，把刻度尺CA的0刻度固定在半圆的圆心O处，刻度尺可以绕点O旋转．从图中所示的图尺可读出cos∠AOB 的值是（）A．B．C．D．10．（3分）如图，一次函数y＝2x与反比例函数y＝（k＞0）的图象交于A，B 两点，点P在以C（﹣2，0）为圆心，1为半径的⊙C上，Q是AP的中点，已知OQ长的最大值为，则k的值为（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分.）11．（2分）计算：|﹣3|﹣1＝．12．（2分）一组数据2，3，3，1，5的众数是．13．（2分）截至2018年底，国家开发银行对“一带一路”沿线国家累积发放贷款超过1800亿美元．其中1800用科学记数法表示为．14．（2分）已知点M（a，b）是直线y＝﹣x+5与双曲线y＝的一个交点，则的值为．15．（2分）如图，由6个小正方形组成的2×3网格中，任意选取5个小正方形并涂黑，则黑色部分的图形是轴对称图形的概率是．16．（2分）如图，已知正方形ABCD的边长为6，点E、F分别在AD、DC上，AE＝DF＝2，BE与AF相交于点G，点H为BF的中点，连接GH，则GH 的长为．17．（2分）如图，△ABC中，∠BAC＞90°，BC＝8，将△ABC绕点C按顺时针方向旋转90°，点B对应点B′落在BA的延长线上，若tan∠B′AC＝，则AC＝．18．（2分）我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数”．如图，一位妇女在从右到左依次排列的绳子上打结，满五进一，用来记录采集到的野果数量，由图可知，她一共采集到的野果数量为个．参考答案与试题解析：一、选择题1．B；2．D；3．B；4．A；5．C；6．B；7．C；8．A；9．D；10．C；二、填空题11．2；12．3；13．1.8×103；14．；15．；16．；17．5；18．952；三、解答题（本大题共10小题，共84分.请写出文字说明、演算步骤或推理过程）19．（8分）（1）计算：|﹣2|﹣﹣（1﹣）0+4tan60°．（2）化简：（a+1）2﹣a（a+1）﹣1．20．（8分）（1）解不等式组：（2）解方程：．21．（6分）先化简，再求值：，其中﹣2≤x≤2，且x为整数，请你选一个合适的x值代入求值．22．（6分）如图，平行四边形ABCD中，E、F分别是边BC、AD的中点，求证：∠ABF＝∠CDE．23．（10分）为了解某校九年级男生1000米跑的水平，从中随机抽取部分男生进行测试，并把测试成绩分为D、C、B、A四个等次绘制成如图所示的不完整的统计图，请你依图解答下列问题：（1）a＝，b＝，c＝；（2）扇形统计图中表示C等次的扇形所对的圆心角的度数为度；（3）学校决定从A等次的甲、乙、丙、丁四名男生中，随机选取两名男生参加全市中学生1000米跑比赛，请用列表法或画树状图法，求甲、乙两名男生同时被选中的概率．24．（8分）如图，在△ABC中，AB＝BC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点F，过点C作CE∥AB，与过点A的切线相交于点E，连接AD．（1）求证：AD＝AE；（2）若AB＝10，AC＝4，求AE的长．25．（8分）某超市销售一种商品，成本每千克40元，规定每千克售价不低于成本，且利润率不得高于50%．经市场调查，每天的销售量y（千克）与每千克售价x（元）满足一次函数关系，部分数据如表：售价x（元/千克）455055销售量y（千克）11010090（1）求y与x之间的函数表达式，并写出自变量的范围；（2）设每天销售该商品的总利润为W（元），求W与x之间的函数表达式（利润＝收入﹣成本），并求出售价为多少元时每天销售该所获得最大利润，最大利润是多少？26．（10分）（1）如图1，将矩形ABCD折叠，使BC落在对角线BD上，折痕为BE，点C落在点C′处，若∠ADB＝42°，则∠DBE的度数为°．（2）小明手中有一张矩形纸片ABCD，AB＝4，AD＝9．【画一画】如图2，点E在这张矩形纸片的边AD上，将纸片折叠，使AB落在CE所在直线上，折痕设为MN（点M，N分别在边AD，BC上），利用直尺和圆规画出折痕MN（不写作法，保留作图痕迹，并用黑色水笔把线段描清楚）；【算一算】如图3，点F在这张矩形纸片的边BC上，将纸片折叠，使FB落在射线FD上，折痕为GF，点A，B分别落在点A′，B′处，若AG＝，求B′D的长．27．（10分）如图1，在△ABC中，∠A＝30°，点P从点A出发以2cm/s的速度沿折线A﹣C﹣B运动，点Q从点A出发以a（cm/s）的速度沿AB运动，P，Q两点同时出发，当某一点运动到点B时，两点同时停止运动．设运动时间为x（s），△APQ的面积为y（cm2），y关于x的函数图象由C1，C2两段组成，如图2所示．（1）求a的值；（2）求图2中图象C2段的函数表达式；（3）当点P运动到线段BC上某一段时△APQ的面积，大于当点P在线段AC上任意一点时△APQ的面积，求x的取值范围．28．（10分）如图，二次函数y＝﹣+bx+2的图象与x轴交于点A、B，与y 轴交于点C，点A的坐标为（﹣4，0），P是抛物线上一点（点P与点A、B、C不重合）．（1）b＝，点B的坐标是；（2）设直线PB与直线AC相交于点M，是否存在这样的点P，使得PM：MB ＝1：2？若存在，求出点P的横坐标；若不存在，请说明理由；（3）连接AC、BC，判断∠CAB和∠CBA的数量关系，并说明理由．参考答案与试题解析：三、解答题19．（8分）【解答】解：（1）原式＝2﹣2﹣1+＝﹣1+．（2）原式＝a2+2a+1﹣a2﹣a+1＝a．20．（8分）【解答】解：（1）解不等式组：，解①得：x≤2，解②得：x≥﹣1，∴不等式组的解为：﹣1≤x≤2；（2）解方程：．去分母，得x（x﹣1）＝2（x+2）+（x+2）（x﹣1），去括号，得﹣x＝3x+2，移项，得x＝﹣，经检验，得x＝﹣是原方程的解．21．（6分）【解答】解：＝•＝•＝，当x＝0时，原式＝＝．22．（6分）【解答】解：在▱ABCD中，AD＝BC，∠A＝∠C，∵E、F分别是边BC、AD的中点，∴AF＝CE，在△ABF与△CDE中，∴△ABF≌△CDE（SAS）∴∠ABF＝∠CDE23．（10分）【解答】解：（1）本次调查的总人数为12÷30%＝40人，∴a＝40×5%＝2，b＝×100＝45，c＝×100＝20，故答案为：2、45、20；（2）扇形统计图中表示C等次的扇形所对的圆心角的度数为360°×20%＝72°，故答案为：72；（3）画树状图，如图所示：共有12个可能的结果，选中的两名同学恰好是甲、乙的结果有2个，故P（选中的两名同学恰好是甲、乙）＝＝．24．（8分）【解答】（1）证明：∵AE与⊙O相切，AB是⊙O的直径，∴∠BAE＝90°，∠ADB＝90°，∵CE∥AB，∴∠E＝90°，∴∠E＝∠ADB，∵在△ABC中，AB＝BC，∴∠BAC＝∠BCA，∵∠BAC+∠EAC＝90°，∠ACE+∠EAC＝90°，∴∠BAC＝∠ACE，∴∠BCA＝∠ACE，又∵AC＝AC，∴△ADC≌△AEC（AAS），∴AD＝AE；（2）解：设AE＝AD＝x，CE＝CD＝y，则BD＝（10﹣y），∵△AEC和△ADB为直角三角形，∴AE2+CE2＝AC2，AD2+BD2＝AB2，AB＝10，AC＝4，AE＝AD＝x，CE＝CD＝y，BD＝（10﹣y）代入，解得：x＝8，即AE的长为8．25．（8分）【解答】解：（1）设y＝kx+b，将（50，100）、（55，90）代入，得：，解得：，∴y＝﹣2x+200 （40≤x≤60）；（2）由题意可得：W＝（x﹣40）（﹣2x+200）＝﹣2x2+280x﹣8000＝﹣2（x﹣70）2+1800，∵﹣2＜0，∴当x＜70时，w随x的增大而增大，当x＝60时，W最大＝1600答：W与x之间的函数表达式为W＝﹣2x2+280x﹣8000，售价为60元时获得最大利润，最大利润是1600元．26．（10分）【解答】解：（1）如图1所示：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBC＝42°，由翻折的性质可知，∠DBE＝∠EBC＝∠DBC＝21°，故答案为21．（2）【画一画】如图2所示：【算一算】如图3所示：∵AG＝，AD＝9，∴GD＝9﹣＝，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，BC＝AD＝9，∴∠DGF＝∠BFG，由翻折不变性可知，∠BFG＝∠DFG，∴∠DFG＝∠DGF，∴DF＝DG＝，∵CD＝AB＝4，∠C＝90°，∴在Rt△CDF中，由勾股定理得：CF＝＝＝，∴BF＝BC﹣CF＝9﹣，由翻折不变性可知，FB＝FB′＝，∴B′D＝DF﹣FB′＝﹣＝3．27．（10分）【解答】解：（1）如图1，作PD⊥AB于D，∵∠A＝30°，∴PD＝AP＝x，∴y＝AQ•PD＝ax2，由图象可知，当x＝1时，y＝，∴×a×12＝，解得，a＝1；（2）如图2，由（1）知，点Q的速度是1cm/s，∵AC+BC＜2AB，而点P的速度时2cm/s，所以点P先到达B点，作PD⊥AB于D，由图象可知，PB＝5×2﹣2x＝10﹣2x，PD＝PB•sin B＝（10﹣2x）•sin B，∴y＝×AQ×PD＝x×（10﹣2x）•sin B，∵当x＝4时，y＝，∴×4×（10﹣2×4）•sin B＝，解得，sin B＝，∴y＝x×（10﹣2x）×＝﹣x2+x；（3）x2＝﹣x2+x，解得，x1＝0，x2＝2，由图象可知，当x＝2时，y＝x2有最大值，最大值是×22＝2，﹣x2+x＝2，解得，x1＝3，x2＝2，∴当2＜x＜3时，点P运动到线段BC上某一段时△APQ的面积，大于当点P 在线段AC上任意一点时△APQ的面积．28．（10分）【解答】解：（1）∵点A（﹣4，0）在二次函数y＝﹣+bx+2的图象上，∴﹣﹣4b+2＝0，∴b＝﹣．当y＝0时，有﹣x2﹣x+2＝0，解得：x1＝﹣4，x2＝，∴点B的坐标为（，0）．故答案为：﹣；（，0）．（2）（方法一）当x＝0时，y＝﹣x2﹣x+2＝2，∴点C的坐标为（0，2）．设直线AC的解析式为y＝kx+c（k≠0），将A（﹣4，0）、C（0，2）代入y＝kx+c中，得：，解得：，∴直线AC的解析式为y＝x+2．假设存在，设点M的坐标为（m，m+2）．①当点P、B在直线AC的异侧时，点P的坐标为（m﹣，m+3），∵点P在抛物线y＝﹣x2﹣x+2上，∴m+3＝﹣×（m﹣）2﹣×（m﹣）+2，整理，得：12m2+20m+9＝0．∵△＝202﹣4×12×9＝﹣32＜0，∴方程无解，即不存在符合题意得点P；②当点P、B在直线AC的同侧时，点P的坐标为（m+，m+1），∵点P在抛物线y＝﹣x2﹣x+2上，∴m+1＝﹣×（m+）2﹣×（m+）+2，整理，得：4m2+44m﹣9＝0，解得：m1＝﹣，m2＝，∴点P的横坐标为﹣2﹣或﹣2+．综上所述：存在点P，使得PM：MB＝1：2，点P的横坐标为﹣2﹣或﹣2+．（方法二）当x＝0时，y＝﹣x2﹣x+2＝2，∴点C的坐标为（0，2）．设直线AC的解析式为y＝kx+c（k≠0），将A（﹣4，0）、C（0，2）代入y＝kx+c中，得：，解得：，∴直线AC的解析式为y＝x+2．过点B作BB′∥y轴交直线AC于点B′，过点P作PP′∥y轴交直线AC 于点P′，如图1﹣1所示．∵点B的坐标为（，0），∴点B′的坐标为（，），∴BB′＝．∵BB′∥PP′，∴△PP′M∽△BB′M，∴＝＝，∴PP′＝．设点P的坐标为（x，﹣x2﹣x+2），则点P′的坐标为（x，x+2），∴PP′＝|﹣x2﹣x+2﹣（x+2）|＝|x2+x|＝，解得：x1＝﹣2﹣，x2＝﹣2+，∴存在点P，使得PM：MB＝1：2，点P的横坐标为﹣2﹣或﹣2+．（3）（解法一）∠CBA＝2∠CAB，理由如下：作∠CBA的角平分线，交y轴于点E，过点E作EF⊥BC于点F，如图2所示．∵点B（，0），点C（0，2），∴OB＝，OC＝2，BC＝．设OE＝n，则CE＝2﹣n，EF＝n，由面积法，可知：OB•CE＝BC•EF，即（2﹣n）＝n，解得：n＝．∵＝＝，∠AOC＝90°＝∠BOE，∴△AOC∽△BOE，∴∠CAO＝∠EBO，∴∠CBA＝2∠EBO＝2∠CAB．（解法二）∠CBA＝2∠CAB，理由如下：将BC沿y轴对折，交x轴于点B′，如图3所示．∵点B（，0），点C（0，2），点A（﹣4，0），∴点B′（﹣，0），∴AB′＝﹣﹣（﹣4）＝，B′C＝＝，∴AB′＝B′C＝BC，∴∠CAB＝∠ACB′，∠CBA＝∠CB′B．∵∠AB′B＝∠CAB+∠ACB′，∴∠CBA＝2∠CAB．。

2020年江苏省南京市中考数学二模试卷

2020年江苏省南京市中考数学二模试卷一、单选题1．设a 是最小的自然数，b 是最大的负整数，c 是绝对值最小的有理数，a ，b ，c 三个数的和为( ) A ．1-B ．0C ．1D ．不存在2．已知点2(1,1)P m -+与点Q 关于原点对称，则点Q 一定在( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．若不等式组12x x k<⎧⎨>⎩有解，则k 的取值范围是( )A ．2k <B ．2kC ．1k <D ．12k <4．如图，二次函数2y ax bx c =++的图象经过点(1,1)和点(3,0)．关于这个二次函数的描述：①0a <，0b >，0c <；②当2x =时，y 的值等于1；③当3x >时，y 的值小于0．正确的是( )A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③5．计算99399-的结果更接近( ) A ．999B ．989C ．969D ．3396．如图，点P 是O 外任意一点，PM 、PN 分别是O 的切线，M 、N 是切点．设OP 与O 交于点K ．则点K 是PMN ∆的( )A ．三条高线的交点B ．三条中线的交点C ．三个角的角平分线的交点D ．三条边的垂直平分线的交点二、填空题7．8-的立方根是 ． 8．计算：232()x y-= ．9．因式分解：32a ab -= ．10．如图，O 的半径为2，点A ，B 在O 上，90AOB ∠=︒，则阴影部分的面积为 ．11．直线12y x =与双曲线k y x =在第一象限的交点为(,1)a ，则k = ．12．已知方程230x mx m --=的两根是1x 、2x ，若121x x +=，则12x x = ．13．如图，若正方形EFGH 由正方形ABCD 绕图中某点顺时针旋转90︒得到，则旋转中心应该是 点．14．如图，在四边形ABCD 中，//AD BC ，2AD =，22AB =，以点A 为圆心，AD 为半径的圆与BC 相切于点E ，交AB 于点F ，则DF 的长为 ．15．平面直角坐标系中，原点O 关于直线443y x =-+对称点1O 的坐标是 ．16．定点O 、P 的距离是5，以点O 为圆心，一定的长为半径画圆O ，过点P 作O 的两条切线，切点分别是B 、C ，则线段BC 的最大值是 ． 三、解答题17．先化简，再求值：22212212x x xxx x x--+÷-+-，其中3x=．18．（1）解不等式1132x x--，并把它的解集在数轴上表示出来；（2）若关于x的一元一次不等式x a只有3个负整数解，则a的取值范围是．19．一个不透明箱子中有2个红球，1个黑球和1个白球，四个小球的形状、大小完全相同．（1）从中随机摸取1个球，则摸到黑球的概率为．（2）小明和小贝做摸球游戏，游戏规则如下．游戏规则让小明先从箱子中随机摸取个小球，记下颜色后放回箱子，摇匀后再让小贝随机摸取一个小球，记下颜色，若两人所摸小球的颜色相同，则小明胜：反之，则小贝胜你认为这个游戏公平吗？请说明理由．20．某工厂有甲、乙两台机器加工同一种零件，已知一小时甲加工的零件数与一小时乙加工的零件数的和为36个，甲加工80个零件与乙加工100个零件的所用时间相等．求甲、乙两台机器每小时分别加工零件多少个？21．如图，等腰三角形ABC中，AB AC=．（1）用尺规作出圆心在直线BC上，且过A、C两点的O；（注：保留作图痕迹，标出点O，并写出作法）（2）若30B∠=︒，求证：AB与（1）中所作O相切．22．现在正是草莓热销的季节，某水果零售商店分两批次从批发市场共购进草莓40箱，已知第一、二次进货价分别为每箱50元、40元，且第二次比第一次多付款700元．（1）设第一、二次购进草莓的箱数分别为a箱、b箱，求a，b的值；（2）若商店对这40箱草莓先按每箱60元销售了x箱，其余的按每箱35元全部售完．①求商店销售完全部草莓所获利润y （元)与x （箱)之间的函数关系式； ②当x 的值至少为多少时，商店才不会亏本． （注：按整箱出售，利润=销售总收入-进货总成本）23．某长方体包装盒的表面积为2146cm ，其展开图如图所示．求这个包装盒的体积．24．如图，已知30ABM ∠=︒，20AB =，C 是射线BM 上一点．（1）在下列条件中，可以唯一确定BC 长的是 ；（填写所有符合条件的序号）①13AC =；②12tan 5ACB ∠=；③ABC ∆的面积为126． （2）在（1）的答案中，选择一个作为条件，画出示意图，求BC 的长．25．某商场经市场调查，发现进价为40元的某童装每月的销售量y （件)与售价x （元)的相关信息如下： 售价x （元) 60 70 80 90 ⋯ 销售量y （件)280260240220⋯（1）试用你学过的函数来描述y 与x 的关系，这个函数可以是 （填一次函数、反比例函数或二次函数），求这个函数关系式； （2）售价为多少元时，当月的利润最大？最大利润是多少？26．（1）如图①，在矩形ABCD 中，4AB =，10AD =，在BC 边上是否存在点P ，使90APD ∠=︒，若存在，请用直尺和圆规作出点P 并求出BP 的长．（保留作图痕迹） （2）如图②，在ABC ∆中，60ABC ∠=︒，12BC =，AD 是BC 边上的高，E 、F 分别为AB ，AC 的中点，当6AD =时，BC 边上是否存在一点Q ，使90EQF ∠=︒，求此时BQ 的长．27．如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，8CA =，6CB =，动点P 从C 出发沿CA 方向，以每秒1个单位长度的速度向A 点匀速运动，到达A 点后立即以原来速度沿AC 返回；同时动点Q 从点A 出发沿AB 以每秒1个单位长度向点B 匀速运动，当Q 到达B 时，P 、Q 两点同时停止运动．设P 、Q 运动的时间为t 秒(0)t >．（1）当t 为何值时，//PQ CB ？（2）在点P 从C 向A 运动的过程中，在CB 上是否存在点E 使CEP ∆与PQA ∆全等？若存在，求出CE 的长；若不存在，请说明理由；（3）伴随着P 、Q 两点的运动，线段PQ 的垂直平分线DF 交PQ 于点D ，交折线QB BC CP --于点F ．当DF 经过点C 时，求出t 的值．2020年江苏省南京市中考数学二模试卷参考答案与试题解析一、单选题1．设a 是最小的自然数，b 是最大的负整数，c 是绝对值最小的有理数，a ，b ，c 三个数的和为( ) A ．1-B ．0C ．1D ．不存在【分析】先根据自然数，整数，有理数的概念分析出a ，b ，c 的值，再进行计算． 【解答】解：最小的自然数是0，最大的负整数是1-，绝对值最小的有理数是0， 0(1)01a b c ∴++=+-+=-．故选：A ．【点评】此题的关键是知道最小的自然数是0，最大的负整数是1-，绝对值最小的有理数是0．2．已知点2(1,1)P m -+与点Q 关于原点对称，则点Q 一定在( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【分析】根据关于原点对称，横纵坐标都互为相反数，进行计算即可． 【解答】解：点2(1,1)P m -+与点Q 关于原点对称，2(1,1)Q m ∴--，∴点Q 一定在第四象限，故选：D ．【点评】本题考查了关于原点对称，掌握关于原点对称，横纵坐标都互为相反数是解题的关键．3．若不等式组12x x k <⎧⎨>⎩有解，则k 的取值范围是( )A ．2k <B ．2kC ．1k <D ．12k <【分析】根据不等式组的解集为两个不等式解集的公共部分，所以在有解的情况下，k 的值必须小于2．【解答】解：因为不等式组12x x k <⎧⎨>⎩有解，根据口诀可知k 只要小于2即可．故选：A ．【点评】主要考查了已知一元一次不等式解集求不等式中的字母的值，同样也是利用口诀求解，但是要注意当两数相等时，解集也是2x >，不要漏掉相等这个关系．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到．4．如图，二次函数2y ax bx c =++的图象经过点(1,1)和点(3,0)．关于这个二次函数的描述：①0a <，0b >，0c <；②当2x =时，y 的值等于1；③当3x >时，y 的值小于0．正确的是( )A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③【分析】由抛物线的开口方向判断a 与0的关系，由抛物线与y 轴的交点判断c 与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【解答】解：①如图所示，抛物线开口方向向下，则0a <． 对称轴在y 轴的右侧，则a 、b 异号，即0b >． 抛物线与y 轴交于负半轴，则0b <． 综上所述，0a <，0b >，0c <． 故①正确；②抛物线与x 轴另一交点横坐标01x <<，∴抛物线的顶点横坐标322x <<． 抛物线开口向下，且过点(1,1)，∴点(1,1)关于对称轴对称的点的横坐标大于2， ∴当2x =时，y 的值大于1，故②错误；③观察函数图象，可知：当3x >时，y 的值小于0，故③正确； 故选：B ．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征以及二次函数的最值，观察函数图象，逐一分析四个选项的正误是解题的关键． 5．计算99399-的结果更接近( ) A ．999B ．989C ．969D ．339【分析】根据因式分解解答即可． 【解答】解：99339699999(91)9-=-≈， 故选：A ．【点评】此题考查因式分解，关键是根据提公因式法解答．6．如图，点P 是O 外任意一点，PM 、PN 分别是O 的切线，M 、N 是切点．设OP 与O 交于点K ．则点K 是PMN ∆的( )A ．三条高线的交点B ．三条中线的交点C ．三个角的角平分线的交点D ．三条边的垂直平分线的交点【分析】连接OM 、ON 、MK 、NK ，根据切线长定理得出PM PN =，易证得POM PON ∆≅∆，得出OP 是MPN ∠的平分线，然后根据圆周角定理证得12PMK MOK ∠=∠，12PNK NOK ∠=∠，12NMK NOK ∠=∠，12MNK MOK ∠=∠，即可证得PMK NMK PNK MNK ∠=∠=∠=∠，从而证得结论． 【解答】解：连接OM 、ON 、MK 、NK ，PM 、PN 分别是O 的切线，PM PN ∴=，PMN PNM ∴∠=∠，OM ON =易证POM PON ∆≅∆， OP ∴是MPN ∠的平分线，由圆周角定理可得12PMK MOK ∠=∠，12PNK NOK ∠=∠，12NMK NOK ∠=∠，12MNK MOK ∠=∠，PMK NMK PNK MNK ∴∠=∠=∠=∠，∴点K 是PMN ∆的三个角的角平分线的交点，故选：C ．【点评】本题考查了切线的性质，三角形全等的判定和性质，圆周角定理的应用等，熟练掌握性质定理是解题的关键． 二、填空题7．8-的立方根是 2- ．【分析】利用立方根的定义即可求解． 【解答】解：3(2)8-=-， 8∴-的立方根是2-．故答案为：2-．【点评】本题主要考查了立方根的概念．如果一个数x 的立方等于a ，即x 的三次方等于3()a x a =，那么这个数x 就叫做a 的立方根，也叫做三次方根．读作“三次根号a ”其中，a 叫做被开方数，3叫做根指数．8．计算：232()x y -= 638x y- ．【分析】直接利用积的乘方运算法则计算得出答案． 【解答】解：263328()x x y y -=-．故答案为：638x y-．【点评】此题主要考查了分式的乘除运算，正确掌握运算法则是解题关键． 9．因式分解：32a ab -= ()()a a b a b +- ．【分析】观察原式32a ab -，找到公因式a ，提出公因式后发现22a b -是平方差公式，利用平方差公式继续分解可得．【解答】解：3222()()()a ab a a b a a b a b -=-=+-．【点评】本题是一道典型的中考题型的因式分解：先提取公因式，然后再应用一次公式． 本题考点：因式分解（提取公因式法、应用公式法）．10．如图，O 的半径为2，点A ，B 在O 上，90AOB ∠=︒，则阴影部分的面积为 2π- ．【分析】根据90AOB ∠=︒，OA OB =可知OAB ∆是等腰直角三角形，根据OAB OAB S S S ∆=-阴影扇形即可得出结论． 【解答】解：90AOB ∠=︒，OA OB =， OAB ∴∆是等腰直角三角形． 2OA =，290212223602OABOAB S S S ππ∆⋅∴=-=-⨯⨯=-阴影扇形．故答案为2π-．【点评】本题考查的是扇形面积的计算，熟记扇形的面积公式是解答此题的关键． 11．直线12y x =与双曲线k y x =在第一象限的交点为(,1)a ，则k = 2 ．【分析】先把(,1)a 代入12y x =中求出a 得到交点坐标，然后把交点坐标代入k y x =中可求出k 的值．【解答】解：把(,1)a 代入12y x =得112a =，解得2a =，把(2,1)代入ky x=得212a =⨯=． 故答案为2．【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．12．已知方程230x mx m --=的两根是1x 、2x ，若121x x +=，则12x x = 3- ． 【分析】根据根与系数的关系结合121x x +=，可求出m 的值，再将其代入123x x m =-中即可求出结论．【解答】解：方程230x mx m --=的两根是1x 、2x ， 12x x m ∴+=，123x x m =-，又121x x +=，1m ∴=，1233x x m ∴=-=-．故答案为：3-．【点评】本题考查了根与系数的关系，牢记两根之和等于b a -、两根之积等于ca是解题的关键．13．如图，若正方形EFGH 由正方形ABCD 绕图中某点顺时针旋转90︒得到，则旋转中心应该是 M 点．【分析】根据以M 为旋转中心，把正方形ABCD 顺时针旋转90︒解答即可．【解答】解：若以M 为旋转中心，把正方形ABCD 顺时针旋转90︒，A 点对应点为H ，B 点对应点为E ，C 点对应点为F ，D 点对应点为G ，则可得到正方形EFGH ． 故答案为：M【点评】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等，即对应角相等，对应线段相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了正方形的性质．14．如图，在四边形ABCD 中，//AD BC ，2AD =，22AB =A 为圆心，AD 为半径的圆与BC 相切于点E ，交AB 于点F ，则DF 的长为32π．【分析】连接AE ，根据圆的切线的性质可得AE BC ⊥，解Rt AEB ∆可求出ABE ∠，进而得到DAB ∠，然后运用弧长公式就可求出DF 的长度． 【解答】解：连接AE ，如图，AD 为半径的圆与BC 相切于点E ，AE BC ∴⊥，2AE AD ==．在Rt AEB ∆中， 22sin 222AE ABE AB ∠===， 45ABE ∴∠=︒． //AD BC ，180DAB ABE ∴∠+∠=︒， 135DAB ∴∠=︒，∴DF 的长度为135231802ππ⨯=； 故答案为：32π．【点评】本题考查了切线的性质、平行线的性质和等腰直角三角形的判定、特殊三角函数值，熟练掌握圆的切线垂直于过切点的半径和同圆的半径相等是关键．15．平面直角坐标系中，原点O 关于直线443y x =-+对称点1O 的坐标是 96(25，72)25 ．【分析】由直线的解析式求得A 、B 的坐标，设1O O 与直线443y x =-+的交点为D ，作1O E x ⊥轴于E ，根据题意1OO AB ⊥，根据三角形面积公式求得OD 的长，即可求得1OO 的长，然后通过三角形相似求得OE 的长，进一步根据勾股定理求得1O E 的长，即可求得对称点1O 的坐标．【解答】解：如图，原点O 关于直线443y x =-+对称点1O ，1OO AB ∴⊥，设1O O 与直线443y x =-+的交点为D ，作1O E x ⊥轴于E ，由直线443y x =-+可知(3,0)A ，(0,4)B ，3OA ∴=，4OB =， 5AB ∴=，1122AOB S OA OB AB OD ∆==，125OA OB OD AB ∴==， 1245OO ∴=， 190ADO O EO ∠=∠=︒，1AOD EOO ∠=∠，AOD ∴∆∽△1O OE ，∴1OO OEOA OD=，即2451235OE =，9625OE ∴=， 17225O E ∴， ∴点1O 的坐标是96(25，72)25， 故答案为96(25，72)25．【点评】本题考查了坐标和图形变化-对称，三角形相似的判定和性质，勾股定理的应用等，求得直线与坐标轴的交点是解题的关键．16．定点O 、P 的距离是5，以点O 为圆心，一定的长为半径画圆O ，过点P 作O 的两条切线，切点分别是B 、C ，则线段BC 的最大值是 5 ．【分析】首先说明点C 、B 在以OP 为直径的圆上，根据直径是圆中最长的弦，即可解决问题．【解答】解：PC 、PB 是O 的切线， 90PCO PBO ∴∠=∠=︒，∴点C 、B 在以OP 为直径的圆上，BC 是这个圆的弦，∴当5BC OP ==时，BC 的值最大（直径是圆中最长的弦）．故答案为5．【点评】本题考查切线的性质、直径的性质等知识，解题的关键是学会添加辅助圆解决问题，属于中考常考题型． 三、解答题17．先化简，再求值：22212212x x xx x x x --+÷-+-，其中3x =． 【分析】原式第二项利用除法法则变形，约分后两项通分并利用同分母分式的加法法则计算得到最简结果，将x 的值代入计算即可求出值． 【解答】解：原式2(1)(1)(2)1121(1)211x x x x x xx x x x x +--+=+=+=----，当3x =时，原式4633131==--．【点评】此题考查了分式的化简求值，分式的加减运算关键是通分，通分的关键是找最简公分母；分式的乘除运算关键是约分，约分的关键是找公因式．18．（1）解不等式1132x x --，并把它的解集在数轴上表示出来； （2）若关于x 的一元一次不等式x a 只有3个负整数解，则a 的取值范围是 43a -<- ． 【分析】（1）①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1，据此解不等式1132x x --，并把它的解集在数轴上表示出来即可． （2）根据关于x 的一元一次不等式x a 的3个负整数解只能是3-、2-、1-，求出a 的取值范围即可．【解答】解：（1）23(1)6x x --，2336x x ∴-+，解得3x -，这个不等式的解集在数轴上表示如下：．（2）关于x 的一元一次不等式x a 只有3个负整数解，∴关于x 的一元一次不等式x a 的3个负整数解只能是3-、2-、1-，a ∴的取值范围是：43a -<-．故答案为：43a -<-．【点评】此题主要考查了一元一次不等式的整数解，要熟练掌握，解决此类问题的关键在于正确解得不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式的整数解．19．一个不透明箱子中有2个红球，1个黑球和1个白球，四个小球的形状、大小完全相同． （1）从中随机摸取1个球，则摸到黑球的概率为14．（2）小明和小贝做摸球游戏，游戏规则如下．游戏规则让小明先从箱子中随机摸取个小球，记下颜色后放回箱子，摇匀后再让小贝随机摸取一个小球，记下颜色，若两人所摸小球的颜色相同，则小明胜：反之，则小贝胜你认为这个游戏公平吗？请说明理由．【分析】（1）依据箱子中有2个红球，1个黑球和1个白球，从中随机摸取1个球，可得摸到黑球的概率为14；（2）共有16种等可能的结果，其中两人所摸小球的颜色相同的有6种，两人所摸小球的颜色不同的有10种，据此可得小贝胜的可能性大，故这个游戏不公平．【解答】解：（1）箱子中有2个红球，1个黑球和1个白球，从中随机摸取1个球，则摸到黑球的概率为14，故答案为：14；（2）画树状图：共有16种等可能的结果，其中两人所摸小球的颜色相同的有6种，两人所摸小球的颜色不同的有10种，∴两人所摸小球的颜色相同的概率为63168=，两人所摸小球的颜色不同的概率为105168=，∴小贝胜的可能性大，∴这个游戏不公平．【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率．判断游戏公平性需要先计算每个事件的概率，然后比较概率的大小，概率相等就公平，否则就不公平．20．某工厂有甲、乙两台机器加工同一种零件，已知一小时甲加工的零件数与一小时乙加工的零件数的和为36个，甲加工80个零件与乙加工100个零件的所用时间相等．求甲、乙两台机器每小时分别加工零件多少个？【分析】设甲机器每小时加工零件x个，则乙机器每小时加工零件(36)x-个，根据工作时间=工作总量÷工作效率结合甲加工80个零件与乙加工100个零件的所用时间相等，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．【解答】解：设甲机器每小时加工零件x个，则乙机器每小时加工零件(36)x-个，根据题意得：8010036x x=-，解得：16x=，经检验，16x=是原方程的解，36361620x∴-=-=．答：甲机器每小时加工零件16个，乙机器每小时加工零件20个．【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．21．如图，等腰三角形ABC中，AB AC=．（1）用尺规作出圆心在直线BC上，且过A、C两点的O；（注：保留作图痕迹，标出点O，并写出作法）（2）若30B∠=︒，求证：AB与（1）中所作O相切．【分析】（1）作线段AC的垂直平分线交BC于O，以O为圆心，OC为半径作O即可；（2）只要证明AB OA⊥即可；【解答】（1）解：如图O即为所求．（2）证明：AB AC=，30B C ∴∠=∠=︒OA OC =， 30OAC C ∴∠=∠=︒， 60AOB OAC C ∴∠=∠+∠=︒， 90ABO AOB ∴∠+∠=︒， 90BAO ∴∠=︒， AB OA ∴⊥，AB ∴是O 的切线．【点评】本题考查作图-复杂作图、等腰三角形的性质、切线的判定、线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．22．现在正是草莓热销的季节，某水果零售商店分两批次从批发市场共购进草莓40箱，已知第一、二次进货价分别为每箱50元、40元，且第二次比第一次多付款700元． （1）设第一、二次购进草莓的箱数分别为a 箱、b 箱，求a ，b 的值；（2）若商店对这40箱草莓先按每箱60元销售了x 箱，其余的按每箱35元全部售完． ①求商店销售完全部草莓所获利润y （元)与x （箱)之间的函数关系式； ②当x 的值至少为多少时，商店才不会亏本． （注：按整箱出售，利润=销售总收入-进货总成本）【分析】（1）根据题意可以得到相应的方程组，从而可以解答本题； （2）①根据题意可以得到y 与x 的函数关系式；②由题意可知，若不亏本，则所获取利润不小于0，从而可以解答本题． 【解答】解：（1）由题意可得， 405070040a b a b +=⎧⎨+=⎩， 解得，1030a b =⎧⎨=⎩，即a ，b 的值分别是10，30；（2）①由题意可得，6035(40)1050304025300y x x x =+--⨯-⨯=-，即商店销售完全部草莓所获利润y （元)与x （箱)之间的函数关系式是25300y x =-； ②商店要不亏本，则0y ，253000x ∴-，解得，12x ，答：当x 的值至少为12时，商店才不会亏本．【点评】本题考查二元一次方程组的应用、一次函数的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用函数的思想和不等式的性质解答．23．某长方体包装盒的表面积为2146cm ，其展开图如图所示．求这个包装盒的体积．【分析】分别表示出长方体的各侧面面积，进而得出等式求出答案．【解答】解：设高为x cm ，则长为(132)x cm -，宽为1(142)2x cm -．由题意，得11[(132)(142)(142)(132)]214622x x x x x x --+-+-⨯=，解得：12x =，29x =-（舍去），∴长为：9cm ，宽为：5cm ．长方体的体积为：395290cm ⨯⨯=，答：这个包装盒的体积为390cm ．【点评】此题主要考查了几何体的展开图以及几何体的表面积，正确表示出长方体的侧面积是解题关键．24．如图，已知30ABM ∠=︒，20AB =，C 是射线BM 上一点．（1）在下列条件中，可以唯一确定BC 长的是 ②③ ；（填写所有符合条件的序号）①13AC =；②12tan 5ACB ∠=；③ABC ∆的面积为126． （2）在（1）的答案中，选择一个作为条件，画出示意图，求BC 的长．【分析】（1）根据AC 的长大于点A 到直线的距离可判断①，利用AAS 可判断②，根据平行线间的距离可判断③；（2）②：先求得cos 103BD AB B ==，再求得25tan 6AD CD ACB ==∠即可；③：作CE AB ⊥，根据面积得出12.6CE =，由sin CEBC B=可得答案．【解答】解：（1）①以点A 为圆心、13为半径画圆，与BM 有两个交点，不唯一；②由12tan 5ACB ∠=知ACB ∠的大小确定，在ABC ∆中，ACB ∠、B ∠及AB 确定，此时的三角形唯一；③AB 的长度和三角形的面积均确定，则点C 到AC 的距离即可确定，则BM 上的点C 是唯一的； 故答案为：②③；（2）方案一：选② 作AD BC ⊥于D ，则90ADB ADC ∠=∠=︒． 在Rt ABD ∆中，90ADB ∠=︒，sin 10AD AB B ∴==，cos 103BD AB B == 在Rt ACD ∆中，90ADC ∠=︒，25tan 6AD CD ACB ∴==∠．256BC BD CD ∴=+=． 方案二：选③，作CE AB ⊥于E ，则90BEC ∠=︒． 由12ABC S AB CE ∆=得12.6CE =． 在Rt BEC ∆中，90BEC ∠=︒，25.2sin CEBC B∴==． 【点评】本题主要考查解直角三角形，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键． 25．某商场经市场调查，发现进价为40元的某童装每月的销售量y （件)与售价x （元)的相关信息如下：（1）试用你学过的函数来描述y 与x 的关系，这个函数可以是 一次函数 （填一次函数、反比例函数或二次函数），求这个函数关系式； （2）售价为多少元时，当月的利润最大？最大利润是多少？【分析】（1）由x 的值每增加10元时，y 的值均减小20件知这个函数为一次函数，待定系数法求解可得；（2）根据“总利润=单件利润⨯销售量”列出函数解析式，再配方成顶点式依据二次函数的性质是解题的关键．【解答】解：（1）由表可知，x 的值每增加10元时，y 的值均减小20件， 据此可知y 与x 的函数关系为一次函数， 设该一次函数为y k = x b +， 代入(60,280)和(70,260)，得：6028070260k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得：2400k b =-⎧⎨=⎩，2400y x ∴=-+，将(80,240)，(90,220)代入上式等式成立； 故答案为：一次函数．（2）设月利润为w 元，则2(40)(40)(2400)2(120)12800w x y x x x =-=--+=--+，20-<，∴当120x =时，w 有最大值12800，答：当售价定为120元时，利润最大，最大值为12800元．【点评】本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握待定系数法求函数解析式及根据相等关系列出函数解析式是解题的关键．26．（1）如图①，在矩形ABCD 中，4AB =，10AD =，在BC 边上是否存在点P ，使90APD ∠=︒，若存在，请用直尺和圆规作出点P 并求出BP 的长．（保留作图痕迹） （2）如图②，在ABC ∆中，60ABC ∠=︒，12BC =，AD 是BC 边上的高，E 、F 分别为AB ，AC 的中点，当6AD =时，BC 边上是否存在一点Q ，使90EQF ∠=︒，求此时BQ 的长．【分析】（1）以AB 为直径作圆，交BC 于1P ，2P ，点1P 、2P 为所求的点； （2）如图②中，因为EF 分别为AB 、AC 的中点，推出//EF BC ，162EF BC ==，因为6AD =，AD BC ⊥，推出EF 与BC 间距离为3，推出以EF 为直径的O 与BC 相切，推出BC 上符合条件的点Q 只有一个，记O 与BC 相切于点Q ，连接OQ ，过点E 作EG BC ⊥，垂足为G ，想办法求出BQ 即可；【解答】解：（1）如图①所示，点1P 、2P 为所求的点；在矩形ABCD 中，连接1AP 、1DP ，10AD BC ==，4AB CD ==， 设1BP x =，则110PC x =-， 190APD ∠=︒， 1190APB CPD ∴∠+∠=︒， 1190BAP APB ∠+∠=︒， 11BAP CPD ∴∠=∠， 又90B C ∠=∠=︒， 1ABP ∴∆∽△1PCD ， ∴11BPAB PC CD =， ∴4104xx =-， 解得：12x =，28x =，BP ∴的长是2或8．（2）如图②中，EF 分别为AB 、AC 的中点， //EF BC ∴，162EF BC ==， 6AD =，AD BC ⊥，EF ∴与BC 间距离为3，∴以EF 为直径的O 与BC 相切，BC ∴上符合条件的点Q 只有一个，记O 与BC 相切于点Q ，连接OQ ，过点E 作EG BC ⊥，垂足为G ，3EG OE ∴==，∴四边形EOQG 为正方形，在Rt EBG ∆中，60B ∠=︒，3EG =， 3BG ∴=，33BQ ∴=+．【点评】本题考查作图-复杂作图、直角三角形斜边中线的性质、矩形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 27．如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，8CA =，6CB =，动点P 从C 出发沿CA 方向，以每秒1个单位长度的速度向A 点匀速运动，到达A 点后立即以原来速度沿AC 返回；同时动点Q 从点A 出发沿AB 以每秒1个单位长度向点B 匀速运动，当Q 到达B 时，P 、Q 两点同时停止运动．设P 、Q 运动的时间为t 秒(0)t >．（1）当t 为何值时，//PQ CB ？（2）在点P 从C 向A 运动的过程中，在CB 上是否存在点E 使CEP ∆与PQA ∆全等？若存在，求出CE 的长；若不存在，请说明理由；（3）伴随着P 、Q 两点的运动，线段PQ 的垂直平分线DF 交PQ 于点D ，交折线QB BC CP --于点F ．当DF 经过点C 时，求出t 的值．【分析】（1）根据勾股定理求出AB ，根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可； （2）根据全等三角形的性质得到90PQA ∠=︒，根据相似三角形的性质求出PE ，根据勾股定理计算；（3）分P 由C 向A 运动和P 由A 向C 运动两种情况，根据线段垂直平分线的性质、相似三角形的性质计算．【解答】解：（1）如图1，CP AQ t ==，则8AP t =-， 在Rt ABC ∆中，由勾股定理可得10AB =， //PQ CB ，∴AP AQAC AB=，即8810t t -=， 解得，409t =， ∴当409t =时，//PQ CB ； （2）存在，如图2，由题意可知CP AQ t ==，又90PCE ∠=︒， 要使CEP ∆与PQA ∆全等，只有90PQA ∠=︒这一种情况， 此时CE PQ =，PE AP =， PQA BCA ∆∆∽，∴AP AQ AB AC =，即8108t t-=，解得，329t =， 则4089PE AP t ==-=， 在Rt PCE ∆中，由勾股定理可得83CE =；（3）①当P 由C 向A 运动时，CQ CP AQ t ===， QCA QAC ∴∠=∠， QCB QBC ∴∠=∠， CQ BQ t ∴==， 12BQ AQ AB ∴==， 即2AB t =， 解得5t =；②如图3，当P 由A 向C 运动时，过Q 作QG CB ⊥交CB 于点G ， 16CQ CP t ==-，10BQ t =-，则BQ GQ BA CA =，即10108t GQ-=， 解得，4(10)5GQ t =-，同理可求得3(10)5BG t =-，36(10)5GC t ∴=--，在Rt CGQ ∆中，由勾股定理可得：222CG GQ CQ +=， 即22234[6(10)][(10)](16)55t t t --+-=-，解得10t =，综上可知满足条件的t 的值为5和10．【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质、勾股定理的应用，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．。

2021年江苏省南京市中考数学二模试卷有答案

2021年江苏省南京市中考数学二模试卷学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________1. 下列计算中，结果是a5的是（）A.a2+a3B.a2⋅a3C.a10÷a2D.(a2)32. 面积为4的正方形的边长是（）A.4开平方的结果B.4的平方根C.4的立方根D.4的算术平方根3. 若1<√a<2，则a可以是（）A.1B.3C.5D.74. 已知一组数据5，6，7，8，9，5，9，若增加一个数7，则新的这组数据与原来相比（）A.平均数变大，方差变大B.平均数不变，方差变大C.平均数不变，方差变小D.平均数不变，方差不变5. 如图，PQ、PB、QC是⊙O的切线，切点分别为A、B、C，点D在BĈ上，若∠D＝100∘，则∠P与∠Q的度数之和是（）A.160∘B.140∘C.120∘D.100∘6. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90∘，BC＝2，∠A＝30∘，将△ABC绕点C顺时针旋转120∘，若P为AB上一动点，旋转后点P的对应点为点P′，则线段PP′长度的最小值是（）A.√3B.2C.3D.2√37. 计算：|−3|＝________；√(−3)2=________．有意义的x的取值范围是________．8. 使分式xx−19. 某病毒的直径约为0.0000001米，用科学记数法表示0.0000001是________．10. 设x1、x2是方程x2+mx+3＝0的两个根，且x1+x2−x1x2＝1，则m＝________．11. 已知圆锥的底面圆半径为3cm，高为4cm，则圆锥的侧面积是________cm2．12. 计算(√8−√3)√8+(√8−√3)√3的结果是________．13. 如图，在矩形ABCD中，AB＝6，对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BD，垂足为E，若BE＝EO，则AD的长是________．14. 用举反例的方法说明命题“若a<b，则ab<b2”是假命题，这个反例可以是a＝________，b＝________．15. 已知一次函数y1＝x+2与y2＝−x+b（b为常数），当x<1时，y1<y2．则b的取值范围是________．16. 如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC＝10，∠B＝45∘，tan C=3，则⊙O的半径是2________√26．17. 计算(a 2−4a 2−4a+4−2a−2)÷a+2a a−2．18. 解不等式组{−1−x ≤0x+12−1<x 3 并写出它的正整数解．19. 为了解九年级女生体质健康变化的情况，体育李老师本学期从九年级全体240名女生中随机抽取20名女生进行体质测试，并调取这20名女生上学期的体质测试成绩进行对比，李老师对两次数据（成绩）进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息． a ．两次测试成绩（百分制）的频数分布直方图如下（数据分组：60≤x <70，70≤x <80，80≤x <90，90≤x ≤100）：b ．成绩在80≤x <90的是：上学期：80 81 85 85 85 86 88本学期：80 82 83 86 86 86 88 89c ．两个学期样本测试成绩的平均数、中位数、众数如下：根据以上信息，回答下列问题：（1）表中a 的值是________；（2）下列关于本学期样本测试成绩的结论：①c ＝86；②d ＝86；③成绩的极差可能为41；④b 有可能等于80．其中所有正确结论的序号是________；（3）从两个不同角度分析这20名女生从上学期到本学期体质健康变化情况．20. 经过某路口的汽车，可能直行，也可能向左转或向右转．如果这三种可能性大小相同，现有甲、乙、丙三辆汽车经过这个路口．（1）求甲、乙两辆汽车向同一方向行驶的概率；（2）甲、乙、丙三辆汽车向同一方向行驶的概率是________．21. 如图，在▱ABCD中，AC的垂直平分线分别交BC、AD于点E、F，垂足为O，连接AE、CF．（1）求证：四边形AECF为菱形；（2）若AB＝5，BC＝7，则AC＝________时，四边形AECF为正方形．22. 某超市一种品牌的洗手液一月份的销售总额为8000元，受2019−nCoV疫情影响，二月份该超市对此品牌洗手液进行调价，每瓶单价是原来的1.5倍，但销售量仍比一月份增加了1000瓶，二月份的销售额达到了36000元．该超市这种品牌的洗手液一月份的销售单价是多少元？23. 如图，为了测量建筑物CD、EF的高度，在直线CE上选取观测点A、B，AC的距离为40米．从A、B测得建筑物的顶部D的仰角分别为51.34∘、68.20∘，从B、D测得建筑物的顶部F的仰角分别为64.43∘、26.57∘．（1）求建筑物CD的高度；（2）求建筑物EF的高度．（参考数据：tan51.34∘≈1.25，tan68.20∘≈2.5，tan64.43∘≈2，tan26.57∘≈0.5）24. 某观光湖风景区，一观光轮与一巡逻艇同时从甲码头出发驶往乙码头，巡逻艇匀速往返于甲、乙两个码头之间，当观光轮到达乙码头时，巡逻艇也同时到达乙码头．设出发xℎ后，观光轮、巡逻艇离甲码头的距离分别为y1km、y2km．图中的线段OG、折线OABCDEFG分别表示y1、y2与x之间的函数关系．（1）观光轮的速度是16km/ℎ，巡逻艇的速度是112km/ℎ；（2）求整个过程中观光轮与巡逻艇的最大距离；（3）求整个过程中观光轮与巡逻艇相遇的最短时间间隔．25. 在正方形ABCD中，点E是BC边上一动点，连接AE，沿AE将△ABE翻折得△AGE，连接DG，作△AGD的外接⊙O，⊙O交AE于点F，连接FG、FD．（1）求证∠AGD＝∠EFG；（2）求证△ADF∽△EGF；（3）若AB＝3，BE＝1，求⊙O的半径．26. 【概念认识】若以圆的直径的两个端点和圆外一点为顶点的三角形是等腰三角形，则圆外这一点称为这个圆的径等点．【数学理解】（1）如图①，AB是⊙O的直径，点P为⊙O外一点，连接AP交⊙O于点C，PC＝AC．求证：点P为⊙O的径等点．（2）已知AB是⊙O的直径，点P为⊙O的径等点，连接AP交⊙O于点C，若PC＝2AC．求AC的值．AB【问题解决】（3）如图②，已知AB是⊙O的直径．若点P为⊙O的径等点，连接AP交⊙O于点C，PC＝3AC．利用直尺和圆规作出所有满足条件的点P．（保留作图痕迹，不写作法）27. 已知二次函数y＝m(x−1)(x−m−3)(m为常数，且m≠0)．（1）求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴总有公共点；（2）设该函数的图象与y轴交于点A，若点A在x轴上方，求m的取值范围；（3）该函数图象所过的象限随m的值变化而变化，直接写出函数图象所经过的象限及对应的m的取值范围．参考答案与试题解析2021年江苏省南京市中考数学二模试卷一、选择题（本题共计 6 小题，每题 3 分，共计18分）1.【答案】B【考点】合并同类项同底数幂的乘法同底数幂的除法幂的乘方与积的乘方【解析】直接利用同底数幂的乘除运算法则以及幂的乘方运算法则、合并同类项法则分别计算得出答案．【解答】A、a2+a3，无法合并，故此选项不合题意；B、a2⋅a3＝a5，故此选项符合题意；C、a10÷a2＝a8，故此选项不合题意；D、(a2)3＝a6，故此选项不合题意．2.【答案】D【考点】算术平方根立方根的性质平方根【解析】利用算术平方根定义判断即可．【解答】面积为4的正方形的边长是4的算术平方根，3.【答案】B【考点】估算无理数的大小【解析】根据题意可知12<a<22，据此即可得出正确选项．【解答】∵1<√a<2，∴12<a<22，即a可以是3．4.C【考点】算术平均数方差【解析】根据平均数和方差计算方法计算可得答案．【解答】数据5，6，7，8，9，5，9的平均数为：x ¯=5+6+7+8+9+5+97=7，s 2＝[(5−7)2+(6−7)2+(7−7)2+(8−7)2+(9−7)2+(5−7)2+(9−7)2]÷7＝2，若增加一个数7，则新的数据与原来相比平均数不变，新的数据的方差：s 2＝[(5−7)2+(6−7)2+(7−7)2×2+(8−7)2+(9−7)2+(5−7)2+(9−7)2]÷8=74，则方差变小．5.【答案】A【考点】圆周角定理切线的性质【解析】根据圆周角定理和切线的性质以及三角形的内角和定理即可得到结论．【解答】连接OA ，OB ，OC ，AB ，AC ，∵ ∠D ＝100∘，∴ ∠BAC ＝180∘−∠D ＝80∘，∴ ∠BOC ＝2∠BAC ＝160∘，∴ ∠AOB +∠AOC ＝360∘−160∘＝200∘，∵ PQ 、PB 、QC 是⊙O 的切线，∴ ∠PBO ＝∠PAO ＝∠QAO ＝∠QCO ＝90∘，∴ ∠P +∠Q ＝2×360∘−∠PBO −∠PAO −∠QAO −∠QCO −∠AOB −∠AOC ＝720∘−4×90∘−200∘＝160∘，6.【答案】C【考点】旋转的性质含30度角的直角三角形【解析】过点C 作CH ⊥PP ′于H ，由等腰三角形和直角三角形可得PP ′=√3PC ，则当PC ⊥AB 时，PC 有最小值，即PP ′有最小值，即可求解．如图，过点C作CH⊥PP′于H，∵将△ABC绕点C顺时针旋转120∘，∴∠PCP′＝120∘，CP＝CP′，∴∠CPP′＝30∘，∵CH⊥PP′，∴CH=12PC，PH＝P′H=√3CH=√32PC，∴PP′=√3PC，∴当PC⊥AB时，PC有最小值，即PP′有最小值，此时，PC=√3PB=√32BC=√3，∴线段PP′长度的最小值=√3×√3=3，二、填空题（本题共计 10 小题，每题 3 分，共计30分）7.【答案】3,3【考点】绝对值【解析】根据绝对值的性质，二次根式的性质，可得答案．【解答】|−3|＝3，√(−3)2=√32=3，8.【答案】x≠1【考点】分式有意义、无意义的条件【解析】先根据分式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．【解答】∵分式xx−1有意义，∴x−1≠0，解得x≠1．9.【答案】1×10−7【考点】科学记数法--表示较小的数【解析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【解答】0.0000001＝1×10−7，10.【答案】−4【考点】根与系数的关系【解析】根据根与系数的关系，得出x1+x2＝−m，x1⋅x2＝3，代入x1+x2−x1x2＝1，即可求出m的值．【解答】∵x1，x2是方程x2+mx+3＝0的两个根，∴x1+x2＝−m，x1⋅x2＝3，∴x1+x2−x1x2＝1，∴−m−3＝1，∴m＝−4．11.【答案】15π【考点】圆锥的展开图及侧面积【解析】先利用勾股定理计算出圆锥的母线长=5(cm)，然后利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式计算圆锥的侧面积．【解答】解：圆锥的母线长=√32+42=5(cm)，×2π×3×5=15π(cm2)．所以圆锥的侧面积=12故答案为：15π.12.【答案】5【考点】二次根式的混合运算【解析】利用提公因式的方法得到原式＝(√8−√3)(√8+√3)，然后利用平方差公式计算．【解答】原式＝(√8−√3)(√8+√3)＝8−3＝5．13.【答案】6√3【考点】矩形的性质【解析】由矩形的性质可得OB＝OD＝OA＝OC，AC＝BD，由线段垂直平分线的性质可得OA＝AB＝OB，可证△OAB是等边三角形，可得∠ABD＝60∘，由直角三角形的性质可求解．【解答】∵四边形ABCD是矩形，∴OB＝OD，OA＝OC，AC＝BD，∴OA＝OB，∵BE＝EO，AE⊥BD，∴AB＝AO，∴OA＝AB＝OB，即△OAB是等边三角形，∴∠ABD＝60∘，∴∠ADE＝90∘−∠ABD＝30∘，∴AD=√3AB＝6√3，14.【答案】−1,0【考点】命题与定理【解析】根据有理数的乘法法则、乘方法则计算，判断即可．【解答】当a＝−1，b＝0时，−1<0，而ab＝0，b2＝0，ab＝b2，∴ “若a<b，则ab<b2”是假命题，15.【答案】b≥4【考点】一次函数与一元一次不等式【解析】先解方程组{y1=x+2y2=−x+b得两函数图象的交点坐标为(b−22, b+22)，结合函数图象得到b−22≥1，然后解关于b的不等式．【解答】解方程组{y1=x+2y2=−x+b得{x=b−22y=b+22，∴两函数图象的交点坐标为(b−22, b+22)，∵当x<1时，y1<y2，∴b−22≥1，16. 【答案】 √26．【考点】三角形的外接圆与外心 圆周角定理 解直角三角形 【解析】过点A 作AH ⊥BC 于H ，作直径AD ，连接BD ，根据正切的定义得到AHHC =32，根据等腰直角三角形的性质得到AH ＝BH ，根据题意列式求出AH ，根据勾股定理求出AB ，根据圆周角定理、正切的定义计算，得到答案． 【解答】过点A 作AH ⊥BC 于H ，作直径AD ，连接BD ， 在Rt △AHC 中，tan C =32，即AHHC =32， 设AH ＝3x ，则HC ＝2x ，在Rt △ABH 中，∠ABH ＝45∘， ∴ BH ＝AH ＝3x ，由题意得，2x +3x ＝10， 解得，x ＝2， ∴ AH ＝BH ＝6，由勾股定理得，AB =√AH 2+BH 2=6√2， 由圆周角定理得，∠D ＝∠C ， ∴ tan D ＝tan C =32，∴ BD ＝4√2，∴ AD =√AB 2+BD 2=2√26， ∴ ⊙O 的半径为√26，三、 解答题 （本题共计 11 小题 ，每题 10 分 ，共计110分 ） 17.【答案】 原式＝[(a+2)(a−2)(a−2)2−2a−2]•a−2a(a+2)=a a −2⋅a −2a(a +2)=1a+2．分式的混合运算【解析】根据分式的运算法则即可求出答案．【解答】原式＝[(a+2)(a−2)(a−2)2−2a−2]•a−2a(a+2)=aa−2⋅a−2a(a+2)=1a+2．18.【答案】{−1−x≤0 x+12−1<x3∵解不等式①得：x≥−1，解不等式②得：x<3，∴不等式组的解集是：−1≤x<3，即不等式组的正整数解是1，2．【考点】解一元一次不等式组【解析】根据不等式的性质求出每个不等式得解集，根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解集即可．【解答】{−1−x≤0 x+12−1<x3∵解不等式①得：x≥−1，解不等式②得：x<3，∴不等式组的解集是：−1≤x<3，即不等式组的正整数解是1，2．19.【答案】80.5①从中位数上看，由上学期的80.5，到本学期的86，一半以上的女生体质情况有较大提升；从成绩达到80分的女生数上看，本学期比上学期增加3人，且90分以上多2人，体质训练有效果．【考点】众数加权平均数频数（率）分布直方图极差中位数【解析】（1）上学期成绩处在第10、11位的两个数的平均数为80+812=80.5，因此中位数a＝80.5；（2）可确定中位数的大小，而平均数、众数不能确定，极差最大为100−60＝40，不能为41，假设平均数是80，得出60−70，70−80，90−100三个组的总分，再根据各组的最低分进行判断；（3）从中位数上、成绩达到或超过80分以上的人数等方面进行分析．【解答】80+812=80.5，故答案为：80.5；上学期成绩处在第10、11位的两个数都是86，因此中位数c＝86，故①正确；平均数、众数受每组的具体数据的影响，因此不能确定，极差最大为100−60＝40，不能为41，因此②③不正确；假设平均数是80分，则20人的总成绩为80×20＝1600分，而80−90组的总分为680分，其它三个组的总分为1600−680＝920分，而60×3+70×3+90×6＝930>920，因此平均分不能为80分；故答案为：①；从中位数上看，由上学期的80.5，到本学期的86，一半以上的女生体质情况有较大提升；从成绩达到80分的女生数上看，本学期比上学期增加3人，且90分以上多2人，体质训练有效果．20.【答案】根据题意画图如下：共有9种等情况数，其中甲、乙两辆汽车向同一方向行驶的有3种，则甲、乙两辆汽车向同一方向行驶的概率是39=13；19【考点】列表法与树状图法【解析】（1）画树状图得出所有等可能的情况数，找出甲、乙两辆汽车向同一方向行驶的情况数，即可求出所求的概率；（2）根据题意画树状图得出所有等可能的情况数，找出甲、乙、丙三辆汽车向同一方向行驶的情况数，即可求出所求的概率．【解答】根据题意画图如下：共有9种等情况数，其中甲、乙两辆汽车向同一方向行驶的有3种，则甲、乙两辆汽车向同一方向行驶的概率是39=13；根据题意画图如下：共有27种等情况数，其中甲、乙、丙三辆汽车向同一方向行驶的有3种，则P（三辆汽车朝一个方向行驶）=327=19．故答案为：19．21.【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD // BC，∴∠FAC＝∠ECA，∵EF垂直平分AC，∴AF＝CF，AE＝CE，∴∠FAC＝∠ACF，∠ACE＝∠EAC∴∠EAC＝∠ACF，∴AE // CF，∴四边形AECF是平行四边形，又∵AF＝CF，∴四边形AECF是菱形；3√2或4√2【考点】菱形的判定与性质正方形的判定线段垂直平分线的性质平行四边形的性质【解析】（1）由线段垂直平分线的性质可得AF＝CF，AE＝CE，可证∠EAC＝∠ACF，可得AE // CF，由菱形的判定可证四边形AECF为菱形；（2）由正方形的性质可得AE＝EC，∠AEC＝∠AEB＝90∘，AC=√2AE，由勾股定理可求AE的长，即可求解．【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD // BC，∴∠FAC＝∠ECA，∵EF垂直平分AC，∴AF＝CF，AE＝CE，∴∠FAC＝∠ACF，∠ACE＝∠EAC∴∠EAC＝∠ACF，∴AE // CF，∴四边形AECF是平行四边形，又∵AF＝CF，∴四边形AECF是菱形；若四边形AECF为正方形，∴AE＝EC，∠AEC＝∠AEB＝90∘，AC=√2AE，∵AB2＝BE2+AE2，∴25＝(7−AE)2+AE2，∴AE＝3或4，∴AC＝3√2或4√2，故答案为：3√2或4√2．22.【答案】一月份的销售单价为16元【考点】分式方程的应用【解析】设洗手液一月份的销售单价是x元，由题意得，结合洗手液数量关系，列出方程，再解即可．【解答】设一月份的销售单价为x元．根据题意，得：8000x +1 000=360001.5x．解得x＝16．经检验，x＝16是所列方程的解．23.【答案】在Rt△ACD中，∠ACD＝90∘，∵tan∠DAC=CDAC，∴CD＝AC⋅tan51.34∘≈40×1.25＝50．过点D作DG⊥EF于点G．在Rt△BCD中，∠BCD＝90∘，∵tan∠DBC=CDBC，∴BC=CDtan68.20≈502.5=20．∵∠DCB＝∠GEC＝∠DGE＝90∘，∴四边形DCEG是矩形，∴CD＝EG＝50，DG＝CE．设EF＝x米．在Rt△DFG中，∠DGF＝90∘，∵tan∠FDG=FGDG，∴DG=x−50tan26.57，在Rt△FBE中，∠BEF＝90∘，∵tan∠FBE=EFBE，∴BE=xtan64.43，∴x−50tan26.57=20+xtan64.43，∴x≈80．答：建筑物CD的高度为50米，建筑物EF的高度为80米．【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题【解析】（1）由tan∠DAC=CDAC，可求出答案；（2）过点D作DG⊥EF于点G．求出BC＝20，设EF＝x米．由锐角三角函数的定义得出方程x−50tan26.57=20+xtan64.43，解方程即可得出答案．【解答】在Rt△ACD中，∠ACD＝90∘，∵tan∠DAC=CDAC，∴CD＝AC⋅tan51.34∘≈40×1.25＝50．过点D作DG⊥EF于点G．在Rt△BCD中，∠BCD＝90∘，∵tan∠DBC=CDBC，∴BC=CDtan68.20≈502.5=20．∵∠DCB＝∠GEC＝∠DGE＝90∘，∴四边形DCEG是矩形，∴CD＝EG＝50，DG＝CE．设EF＝x米．在Rt△DFG中，∠DGF＝90∘，∵tan∠FDG=FGDG，∴DG=x−50tan26.57，在Rt△FBE中，∠BEF＝90∘，∵tan∠FBE=EFBE，∴BE=xtan64.43，∴x−50tan26.57=20+xtan64.43，∴x≈80．答：建筑物CD的高度为50米，建筑物EF的高度为80米．24.【答案】观光轮的速度为：32÷2＝16 (km/ℎ)，巡逻艇的速度为：(32×7)÷2＝112( km/ℎ)；故答案为：16；112；整个过程中观光轮与巡逻艇的最大距离：32−16×32112=1927(km)；由题意可得：16x+112x＝32×2，解得x=12；32×2 112=47，32×3112=67，即点B的坐标为(47, 0)，点C的坐标为(67, 32)，设线段BC所表示的函数表达式为y BC＝kx+b，则{47k+b=06 7k+b=32，解得{k=112b=−64，∴y BC＝112x−64，易知y1＝16x，当y 1＝y BC 时，112x −64＝16x ，解得x =23，23−12=16．答：最短时间间隔为 16 ℎ．【考点】一次函数的应用 【解析】（1）根据图象可知从甲码头到乙码头的距离为32千米，观光轮行驶2小时路程为32千米，据此即可求出其速度；根据巡逻艇往返次数即可求出巡逻艇的速度； （2）根据（1）的结论列式计算即可求解；（3）由图象可知，当y 1＝y BC 时，观光轮与巡逻艇相遇的间隔时间最短，利用待定系数法求出线段BC 的解析式，再结合y 1的解析式列方程解答即可． 【解答】观光轮的速度为：32÷2＝16 (km/ℎ)，巡逻艇的速度为：(32×7)÷2＝112( km/ℎ)； 故答案为：16；112；整个过程中观光轮与巡逻艇的最大距离：32−16×32112=1927(km)；由题意可得：16x +112x ＝32×2，解得x =12；32×2112=47，32×3112=67，即点B 的坐标为(47, 0)，点C 的坐标为(67, 32)，设线段BC 所表示的函数表达式为y BC ＝kx +b ，则{47k +b =067k +b =32 ，解得{k =112b =−64 ，∴ y BC ＝112x −64，易知y 1＝16x ，当y 1＝y BC 时，112x −64＝16x ，解得x =23，23−12=16．答：最短时间间隔为 16 ℎ． 25.【答案】证明：∵ 四边形AFGD 是⊙O 的内接四边形， ∴ ∠ADG +∠AFG ＝180∘， ∵ ∠AFG +∠EFG ＝180∘， ∴ ∠ADG ＝∠EFG ，∵ 四边形ABCD 是正方形， ∴ AB ＝AD ，由翻折的性质得：AB ＝AG ， ∴ AG ＝AD ，∴ ∠ADG ＝∠AGD ， ∴ ∠AGD ＝∠EFG ；证明：∵ ∠AGD ＝∠AFD ，∠AGD ＝∠EFG ， ∴ ∠AFD ＝∠EFG ，∵ 四边形ABCD 是正方形， ∴ AD // BC ，∴∠DAF＝∠AEB，由翻折的性质得：∠AEB＝∠GEF，∴∠DAF＝∠GEF，∴△ADF∽△EGF；设⊙O与CD交于点H，连接AH、GH，【考点】圆的综合题【解析】（1）由圆内接四边形的性质得∠ADG+∠AFG＝180∘，证出∠ADG＝∠EFG，由正方形的性质得AB＝AD，由翻折的性质得AB＝AG，则AG＝AD，由等腰三角形的性质得出∠ADG＝∠AGD，即可得出结论；（2）由圆周角定理得∠AGD＝∠AFD，证出∠AFD＝∠EFG，由正方形的性质和翻折的性质得∠DAF＝∠GEF，由相似三角形的判定即可得出结论；（3）设⊙O与CD交于点H，连接AH、GH，证AH是⊙O的直径，由圆周角定理得∠AGH＝90∘，由翻折的性质得BE＝GE＝1，∠AGE＝∠ABE＝90∘，证E、G、H三点在一条直线上，证明Rt△ADH≅Rt△AGH(HL)，得GH＝DH，设GH＝DH＝x，在Rt△ECH中，由勾股定理得出方程，解得x=3，再由勾股定理求出AH，即可得出答案．2【解答】证明：∵四边形AFGD是⊙O的内接四边形，∴∠ADG+∠AFG＝180∘，∵∠AFG+∠EFG＝180∘，∴∠ADG＝∠EFG，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，由翻折的性质得：AB＝AG，∴AG＝AD，∴∠ADG＝∠AGD，∴∠AGD＝∠EFG；证明：∵∠AGD＝∠AFD，∠AGD＝∠EFG，∴∠AFD＝∠EFG，∵四边形ABCD是正方形，∴AD // BC，∴∠DAF＝∠AEB，由翻折的性质得：∠AEB＝∠GEF，∴∠DAF＝∠GEF，∴△ADF∽△EGF；设⊙O与CD交于点H，连接AH、GH，26.【答案】证明：如图①，连接BC，∵ AB 是⊙O 的直径，∴ ∠ACB ＝90∘，∵ AC ＝PC ，∴ BC 垂直平分AP ，∴ AB ＝PB ，即△APB 为等腰三角形，∴ 点P 为⊙O 的径等点．①如图②−1，当AB ＝AP 时，若PC ＝2AC ，则AC AP =13， ∴ AC AB =13． ②如图②−2，当PA ＝PB 时，易证△ABC ∽△APO ，∴ AC AO =AB AP ，∵ 2AC ＝PC ，设AC ＝k ，则PC ＝2k ，∴ k 12AB =AB 3k，AB =√6k ， ∴ AC AB =1√6=√66．如图③④，满足条件的点P 共有4个．【考点】作图—复杂作图圆周角定理等腰三角形的性质垂径定理【解析】（1）如图 ①，连接BC ，利用线段的垂直平分线的性质解决问题即可．（2）分两种情形：AB ＝AP 或PA ＝PB 分别求解即可．（3）如图③④，满足条件的点P 共有4个．【解答】证明：如图 ①，连接BC ，∵ AB 是⊙O 的直径，∴ ∠ACB ＝90∘，∵ AC ＝PC ，∴ BC 垂直平分AP ，∴ AB ＝PB ，即△APB 为等腰三角形，∴ 点P 为⊙O 的径等点．①如图②−1，当AB ＝AP 时，若PC ＝2AC ，则AC AP =13， ∴ AC AB =13．②如图②−2，当PA ＝PB 时，易证△ABC ∽△APO ，∴ AC AO =AB AP ，∵ 2AC ＝PC ，设AC ＝k ，则PC ＝2k ，∴ k 12AB =AB 3k，AB =√6k ， ∴ ACAB =1√6=√66．如图③④，满足条件的点P 共有4个．27.【答案】证明：当y＝0时，m(x−1)(x−m−3)＝0，解得x1＝1，x2＝m+3，当m+3＝1，即m＝−2时，方程有两个相等的实数根；当m+3≠1，即m≠−2时，方程有两个不相等的实数根，∴不论m为何值，该函数的图象与x轴总有公共点；当x＝0时，y＝m2+3m，∴点A坐标为(0, m2+3m)，∵该函数的图象与y轴交于点A，点A在x轴上方，∴m2+3m>0．设z＝m2+3m，即z是m的二次函数，当m＝0或−3时，z＝0．∵抛物线开口向上，∴当m>0或m<−3时，z>0．∴m的取值范围是m>0或m<−3；①当m>0时，图象经过一、二、四象限；②当−3<m<0(m≠−2)时，图象经过一、三、四象限；③当m＝−2时，图象经过三、四象限；④当m<−3时，图象经过一、二、三、四象限．【考点】二次函数的性质抛物线与x轴的交点【解析】（1）解方程m(x−1)(x−m−3)＝0得x1＝1，x2＝m+3，于是可判断不论m为何值，该函数的图象与x轴总有公共点；（2）计算当x＝0对应的函数值得到点A坐标为(0, m2+3m)，根据题意得到m2+3m>0．然后利用二次函数解不等式即可；（3）①当m>0时，开口向上，抛物线与y轴的交点在x轴上方，抛物线与x轴的两个交点都在x轴的正半轴上，从而得到图象经过的象限；②当−3<m<0(m≠−2)时，开口向下，抛物线与y轴的交点在x轴下方，抛物线与x轴的两个交点都在x轴的正半轴上，从而得到图象经过的象限；③当m＝−2时，开口向下，抛物线与y轴的交点在x轴下方，抛物线的顶点为(1, 0)，从而得到图象经过的象限；④当m<−3时，开口向下，抛物线与y轴的交点在x轴上方，抛物线与x轴的两个交点在y轴的两侧，从而得到图象经过的象限．【解答】证明：当y＝0时，m(x−1)(x−m−3)＝0，解得x1＝1，x2＝m+3，当m+3＝1，即m＝−2时，方程有两个相等的实数根；当m+3≠1，即m≠−2时，方程有两个不相等的实数根，∴不论m为何值，该函数的图象与x轴总有公共点；当x＝0时，y＝m2+3m，∴点A坐标为(0, m2+3m)，∵该函数的图象与y轴交于点A，点A在x轴上方，∴m2+3m>0．设z＝m2+3m，即z是m的二次函数，当m＝0或−3时，z＝0．∵抛物线开口向上，∴当m>0或m<−3时，z>0．∴m的取值范围是m>0或m<−3；①当m>0时，图象经过一、二、四象限；②当−3<m<0(m≠−2)时，图象经过一、三、四象限；③当m＝−2时，图象经过三、四象限；④当m<−3时，图象经过一、二、三、四象限．。

2020-2021学年江苏省南京市中考数学质量调研卷及答案解析

江苏省最新质量调研检测试卷(二)九年级数学一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置．．．．．．．上） 1．在实数227，0，－2， 2π中，无理数的个数有（▲）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个2．下列各式计算正确的是（▲）A ．a 6÷a 3＝a 2B ．（a 3）2＝a 5C ．4＝±2D ．3－8 ＝－23．某课外兴趣小组为了了解所在地区的老年人的健康状况，分别作了四种不同的抽样调查，你认为抽样较合理的是（▲）A ．在公园调查了1000名老年人的健康状况B ．在医院调查了1000名老年人的健康状况C ．调查了100名小区内老年邻居的健康状况D ．利用派出所户籍网随机调查了该地区10％的老年人的健康状况4．右图是由3个相同的正方体组成的一个立体图形，它的三视图是（▲）A ．B ．C ．D ．5．某种衬衫的价格经过连续两次的降价后，由每件150元降到96元，则平均每次降价的百分率是（▲）A ．10％B ．15％C ．20％D ．30％6．如图，AB 是半圆O 直径，半径OC ⊥AB ，连接AC ，∠CAB 的平分线AD 交OC 于点E ， 交BC ︵于点D ，连接CD 、OD ，以下三个结论：①AC ∥OD ；②AC ＝2CD ；③线段CD 是CE 与CO 的比例中项． 其中，所有正确结论的序号是（▲） A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直（第15题）接填写在答题纸相应位置．．．．．．．上） 7．PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5 um （0.0000025m ）的颗粒物，含有大量有毒、 有害物质，也称可吸入肺颗粒物，将0.0000025用科学记数法表示为 ▲ ． 8．不等式组26,2 1.x x -<⎧⎨-+>⎩的解集是 ▲ ．9．小明第一次抛一枚质地均匀的硬币时反面向上，第二次抛此枚硬币时也是反面向上，则 他第三次抛这枚硬币时，正面向上的概率是 ▲ ． 10．函数y ＝3－x 中，自变量x 的取值范围是 ▲ ． 11．我市某一周的最高气温统计如下表： 则这组数据的中位数是 ▲ ． 12．如图，在四边形ABCD 中，AD ∥△AOD △BOC ＝1∶9，AD ＝2，则BC 的长是 ▲ ．13．如图，MN 是⊙O 的直径，矩形ABCD 的顶点A 、D 在MN 上，顶点B 、C 在⊙O 上，若⊙O 的半径为5，AB ＝4，则BC 边的长为 ▲ ．14．将面积为32π的半圆面围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为 ▲ ．15．如图，点P 在函数y ＝3x（x ＞0）的图像上运动，O 为坐标原点，点A 为PO 的中点，以点P 为圆心，PA 为半径作⊙P ， 则当⊙P 与坐标轴相切时，点P 的坐标为 ▲ ． 16．矩形ABCD 中，AB ＝10，BC ＝4，Q 为AB 边的中点，P 为CD 边上的动点，且△AQP 是腰长为5的 等腰三角形，则CP 的长为 ▲ ．三、解答题 (本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文 字说明、证明过程或演算步骤) 17．（8分）计算：（1）()212cos 4523π-⎛⎫︒+-- ⎪⎝⎭； （2）（1x ＋1－1x 2－1）÷x －2x 2－2 x ＋1．（第13题）第20题图dB18．（6分）已知关于x 的一元二次方程x 2－ax ＋2＝0的两实数根x 1、x 2满足x 1x 2＝x 1＋x 2－2． （1）求a 的值； （2）求出该一元二次方程的两实数根．19．（7分）为了增强环境保护意识，在“世界环境日”当天，在环保局工作人员指导下，若干名“环保小卫士”组成的“控制噪声污染”课题学习研究小组，随机抽查了全市40个噪声测量点在某时刻的噪声声级（单位：dB ），并将抽查得到的数据进行整理（设所测数据是正整数），得频根据表中提供的信息解答下列问题：（1）频数分布表中的a ＝ ▲ ，b ＝ ▲ ，c （2）补充完整频数分布直方图；（3）如果全市共有400噪声声级小于75dB 的测量点约有多少个？20．（8分）（1）甲、乙两人用如图所示的①、②两个转盘做游戏，规则是：转动两个转盘各1次，若两个转盘停止转动后，指针所在区域的两个数字之积为奇数，则甲获胜， 否则乙胜．试求出甲获胜的概率．（2）若利用除颜色外其余都相同的红、黄、白色乒乓球各一个设计一个摸球试验，试写 出一个与（1）中甲获胜概率相同的事件．（友情提醒：要说明试验的方案，不需说明理由）21．（8分）如图，D是线段AB的中点，C是线段AB的垂直平分线上的一点，DE⊥AC 于点E，DF⊥BC于点F．（1）求证：DE＝DF；（2）当CD与AB满足怎样的数量关系时，四边形CEDF为正方形？请说明理由．22．（8分）某玩具经销商用1.6万元购进了一批玩具，上市后一周全部售完．该经销商又用3.4万元购进第二批这种玩具，所购数量是第一批购进数量的2倍，但每套进价多了10元．（1）该经销商两次共购进这种玩具多少套？（2）若第一批玩具销售完后总利润率为25％，购进的第二批玩具仍以第一批的相同售价出售，则第二批玩具全部售完后，这二批玩具经销商共可获利多少元？23．（7分）如图，大海中某岛C的周围25km范围内有暗礁．一艘海轮沿正东方向航行，在A处望见C在北偏东60°处，前进20km后到达点B，测得C在北偏东45°处．如果该海轮继续沿正东方向航行，有无触礁危险？请说明理由．（参考数据： 2 ≈1.41， 3 ≈1.73）24．（8分）如图①，在矩形ABCD中，动点P从A点出发沿折线AD–DC–CB运动，当点P 运动到点B时停止．已知动点P在AD、BC上的运动速度为1cm/s，在DC上的运动速度为2 cm/s．△PAB的面积y（cm2）与动点P的运动时间t（s）的函数关系图像如图②．（1）a＝▲，b＝▲；（2）用文字说明点N坐标的实际意义；（3）当t为何值时，y的值为2 cm2．25．（8分）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ．以AC 为直径的⊙O 交AB 于点D ，交BC 于点E ．过E 点作⊙O 的切线，交AB 于点F ．（1）求证：EF ⊥AB ；（2）若BD ＝2，BE ＝3，求AC 的长．26．（8分）给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称该四边形为勾股四边形．（1）以下四边形中，是勾股四边形的为▲．（填写序号即可）① 矩形； ②有一个角为直角的任意凸四边形； ③有一个角为60°的菱形． （2）如图，将△ABC 绕顶点B 按顺时针方向旋转60°得到△DBE ，∠DCB ＝30°，连接AD ，DC ，CE ．①求证：△BCE 是等边三角形；②求证：四边形ABCD 是勾股四边形．27．（12分）如图，已知二次函数y ＝ax 2＋b x －5（a ，b 是常数，a ＞0）的图象与x 轴交于点A （－1，0）和点B ，与y 轴交于点C ．动直线y ＝t （t 为常数）与抛物线交于不同 的两点P 、Q ．（1）若a ＜5，试证明抛物线的对称轴一定在y 轴的右侧． （2）若点B 的坐标为（5，0）．①求a 、b 的值及t 的取值范围．②求当t 为何值时，∠PCQ ＝90 °．（第25题）A B CEDFO九年级数学参考答案及评分标准一、选择题（每小题2 分，共12 分，将正确答案的题号填在下面的表格中）二、填空题（本大题共10 小题，每小题2 分，共20 分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）7．2.5×10－6 8．x＞3 9．110．x≤3 11．27℃212．6 13．6 14．4 15．( 3，1) 或(1，3) 16．2、7 或8 三、解答题（本大题共11 小题，共88 分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（7 分）解：（1）a＝8，b＝12，c＝0.3.（答对一个给1 分）……………………3 分(2)略（画对一个直方图给1 分）…………………………………………………5 分（3）样本中噪声声级小于75dB 的测量点的频率是0.3 ………………………6 分由0.3×400＝120∴在这一时刻噪声声级小于75dB 的测量点约有120 个. ……………7 分20．(8 分) （1）转动两个转盘各1 次，所有可能出现的结果有（1，5）、（1，6）、（1，7）、（2，5）、（2，6）、（2，7）、（3，5）、（3，6）、（3，7），共有9 种可能．…………3 分它们出现的可能性相同，所有结果中，满足“积为奇数”的结果有4 种，……4 分…………5 分所以转动两个转盘各1 次，转出的两个数字之积为奇数的概率为49（2）实验如：在一个不透明的袋子中放入除颜色外其余都相同的红、黄、白色乒乓球各1 个，从袋子中取出一个球，记下颜色后放入袋中，再从袋子中取出一个球，记下颜色．事件：两次取出的球中有且只有一个球是红色球．……………………8 分21．（8 分）（1）证明：∵D 是线段AB 的中点，∴AD＝BD，……1 分∵CD 垂直平分AB，∴CA＝CB，∴∠CAD＝∠CBD．………………2 分∵DE⊥AC，DF⊥BC，∴∠AED＝∠BFD＝90°，∴△AED≌△BFD，…………3 分∴DE＝DF．…………4 分（2）当AB＝2CD 时，四边形CEDF 为正方形．…………5 分理由：∵AD＝BD，AB＝2CD，∴AD＝BD＝CD．∴∠ACD＝45°，∠DCB＝45°，…………6 分∴∠ACB＝∠ACD ＋∠BCD ＝90°，∴四边形DECF 是矩形．…………7 分又∵DE＝DF，∴四边形CEDF 是正方形．…………8 分22．（8 分）解：（1）设第一次购进了x 套，则第二次购进了2x 套. ………1 分依题意，列方程得：……………………………3 分解得：x＝100，……………………………4 分经检验x＝100 是原方程的根，2x＝200答：该经销商两次共购进这种玩具300 套. ……………………5 分＝160 元，又因为总利润率为25％，（2）由(1)得第一批每套玩具的进价为16000100∴售价为160（1＋25％）＝200 元，……………………6 分第二批玩具的进价为170 元，售价也为200 元．……………………7 分40×100＋30×200＝10000 元．……………………8 分答：这二批玩具经销商共可获利10000 元．23．（7 分）解：没有触礁危险．理由：过点C 作CD⊥AB，交AB 的延长线于点D. …1 分由题意可知：∠ACD＝60°，∠BCD＝45°，设CD＝x .∵27.4＞25，∴该海轮继续沿正东方向航行，没有触礁危险. …7 分24．（8 分）（1）a＝4，b＝6；………………………2 分（2）P 运动了4s 时到达点C，此时△PAB 的面积为8cm2，……4 分（3）由题意AB＝DC＝2×2＝4 cm，要y 的值为2 cm2，必须点P 在AD 或BC 上，且PA＝1cm 或PB＝1cm．当PA＝1cm 时，点P 的运动时间t＝1s；当PB＝1cm 时，点P 的运动时间为t＝2+2+1＝5s，即当t 为1s 或5 s 时，y 的值为2 cm2．………8 分25．(8 分）（1）证明：连结OE．∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB．又∵OE＝OC，∴∠OEC＝∠ACB，∴∠OEC＝∠ABC．………1 分∴OE∥AB．……………………………………2 分∵EF 与⊙O 相切，∴OE⊥EF，∴∠OEF＝90°．…………3 分∵OE∥AB，∴∠AFE＝90°，∴OE⊥AB．…………4 分（2）连结DE、AE．∵四边形ACED 为⊙O 的内接四边形，∴∠DEC＋∠BAC＝180°．又∵∠DEB＋∠DEC＝180°，∴∠BED＝∠BAC，………5 分26．（8 分）（1）①②……………………………2 分（2）①∵△ABC 绕点B 顺时针旋转了60°到△DBE，∴BC＝BE，∠CBE＝60°……4 分∵在△BCE 中，BC＝BE，∠CBE＝60°∴△BCE 是等边三角形．……5 分②∵△BCE 是等边三角形，∴BC＝CE，∠BCE＝60°，∵∠DCB＝30°，∴∠DCE＝∠DCB＋∠BCE＝90°，…6 分在Rt△DCE 中，有DC 2＋CE2 ＝DE 2 ，∵DE＝AC，BC＝CE，∴DC 2＋BC2＝AC2 ，………7 分∴四边形ABCD 是勾股四边形．………8 分27．（12 分）（1）∵A（－1，0）在抛物线上，∴a－b－5＝0，b＝a－5．………1 分∴此时抛物线的对称轴一定在y 轴的右侧．……………………3 分（2）①∵A（－1，0），B（5，0）在抛物线上，∵动直线y＝t（t 为常数）与抛物线交于不同的两点，∴方程x2－4 x－5－t＝0 有两个不相等的实数解，∴△＝16＋4（5＋t）＞0，解得：t＞－9．……………………7 分（也可先求出二次函数的最小值为－9，然后结合图像，得出t 的取值范围为t＞－9．参照上述标准给分）②连接PC、CQ ，∵y＝x2－4 x－5＝（x－2）2－9，∴抛物线的对称轴为直线x＝2，∵当x＝0 时，y＝－5，∴C（0，－5）．设PQ 与y 轴交于点D，点Q 的坐标为（m，t）（m＞0），则由P、Q 关于直线x＝2 对称可得：点P 的坐标为（－m＋4，t）．………8 分（Ⅰ）当t ＞－5 时，点D 在点Ｃ上方，∵Q（m，t）在抛物线上，∴t＝m2－4m－5，∴t＋5＝m2－4m，∵t ＞－5，∴m＞4，∴CD＝t＋5，DQ＝m，DP＝m－4．…………9 分∵∠PCQ＝∠PCD＋∠QCD＝90°，∠DPC＋∠PCD＝90°，∴∠QCD＝∠DPC，又∠PDC＝∠QDC＝90°，∴△QCD∽△CDP，∴（t＋5）2＝t＋5，解得t1＝－5（不合，舍去），t2＝－4，………………10 分（Ⅱ）当t＝－5 时，动直线y＝t 经过点C，由题意，不可能．……………………11 分（Ⅲ）当t ＜－5 时，点D 在C 下方，P、Q 都在y 轴右则，此时∠PCQ＜∠DCQ＜90 °，由题意无解．综上所述，当t＝－4，∠PCQ＝90 °．……………………12 分。

2020-2021学年江苏省南京市中考数学二模试卷(2)及答案解析

江苏省南京市中考数学二模试卷一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1．（2分）据报道，截止2016年12月27日，根据江苏作家张嘉佳小说改编的电影《摆渡人》累计票房达32800万元，用科学记数法表示32800万元是（）A．328×106元B．32.8×107元C．3.28×108元D．0.328×109元2．（2分）下列学生剪纸作品中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．3．（2分）计算3﹣2的结果是（）A．﹣6 B．C．D．﹣4．（2分）使式子有意义的x的取值范围是（）A．x＞1B．x＜1C．x≠1D．x≥15．（2分）一块长方形菜园，长是宽的3倍，如果长减少3米，宽增加4米，这个长方形就变成一个正方形．设这个长方形菜园的长为x米，宽为y米，根据题意，得（）A．B．C．D．6．（2分）下列关于正方形的叙述，正确的是（）A．正方形有且只有一个内切圆B．正方形有无数个外接圆C．对角线相等且垂直的四边形是正方形D．用一根绳子围成一个平面图形，正方形的面积最大二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）7．（2分）的相反数是，的倒数是．8．（2分）若△ABC∽△DEF，请写出1个正确的结论：．9．（2分）把4x2﹣16因式分解的结果是．10．（2分）已知x1、x2是一元二次方程x2+x﹣5=0的两个根，则x12+x22﹣x1x2= ．11．（2分）已知点A（3，y1）、B（m，y2）是反比例函数y=的图象上的两点，且y1＜y2．写出满足条件的m的一个值，m可以是．12．（2分）如图，∠3=40°，直线b平移后得到直线a，则∠1+∠2= °．13．（2分）如图，顺次连接菱形ABCD的各边中点E、F、G、H．若AC=a，BD=b，则四边形EFGH的面积是．14．（2分）如图，△AOB和△COD中，∠AOB=∠COD=90°，∠B=40°，∠C=60°，点D在OA上．将△COD绕点O顺时针旋转一周，在旋转过程中，当旋转角是°时，CD∥AB．15．（2分）平面直角坐标系中，原点O关于直线y=﹣x+4对称点O1的坐标是．16．（2分）定点O、P的距离是5，以点O为圆心，一定的长为半径画圆⊙O，过点P作⊙O的两条切线，切点分别是B、C，则线段BC的最大值是．三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（6分）先化简，再求值：，其中x=3．18．（7分）（1）解不等式﹣≤1，并把它的解集在数轴上表示出来；（2）若关于x的一元一次不等式x≥a只有3个负整数解，则a的取值范围是．19．（6分）QQ运动记录的小莉爸爸2月份7天步行的步数（单位：万步）如下表：日期2月6日2月7日2月8日2月9日2月10日2月11日2月12日步数2.1 1.7 1.8 1.9 2.0 1.8 2.0（2）求小莉爸爸这7天中每天步行的平均步数；（3）估计小莉爸爸2月份步行的总步数．20．（7分）如图，转盘的白色扇形和黑色扇形的圆心角分别为120°和240°．让转盘自由转动2次，求指针一次落在白色区域，另一次落在黑色区域的概率．21．（7分）如图①，窗帘的褶皱是指按照窗户的实际宽度将窗帘布料以一定比例加宽的做法，褶皱之后的窗帘更能彰显其飘逸、灵动的效果．其中，窗宽度的1.5倍为平褶皱，窗宽度的2倍为波浪褶皱．如图②，小莉房间的窗户呈长方形，窗户的宽度（AD）比高度（AB）的少0.5m，某种窗帘的价格为120元/m2．如果以波浪褶皱的方式制作该种窗帘比以平褶皱的方式费用多180元，求小莉房间窗户的宽度与高度．22．（7分）如图，爸爸和小莉在两处观测气球的仰角分别为α、β，两人的距离（BD）是200m，如果爸爸的眼睛离地面的距离（AB）为1.6m，小莉的眼睛离地面的距离（CD）为1.2m，那么气球的高度（PQ）是多少m？（用含α、β的式子表示）23．（8分）命题：有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称“等角对等边”）．已知：如图，△ABC中，∠B=∠C．求证：AB=AC．三位同学作出了三种不同的辅助线，并完成了命题的证明．小刚的方法：作∠BAC 的平分线AD，可证△ABD≌△ACD，得AB=AC；小亮的方法：作BC边上的高AD，可证△ABD≌△ACD，得AB=AC；小莉的方法：作BC边上的中线AD．（1）请你写出小刚与小亮方法中△ABD≌△ACD的理由：；（2）请你按照小莉的思路完成命题的证明．24．（8分）已知：如图，△ABC的外接圆是⊙O，AD是BC边上的高．（1）请用尺规作出⊙O（不写作法，保留作图痕迹）；（2）若AB=8，AC=6，AD=5.4，求⊙O的半径．25．（10分）快车和慢车同时从甲地出发，匀速行驶，快车到达乙地后，原路返回甲地，慢车到达乙地停止．图①表示两车行驶过程中离甲地的路程y（km）与出发时间x（h）的函数图象，请结合图①中的信息，解答下列问题：（1）快车的速度为km/h，慢车的速度为km/h，甲乙两地的距离为km；（2）求出发多长时间，两车相距100km；（3）若两车之间的距离为s km，在图②的直角坐标系中画出s（km）与x（h）的函数图象．26．（10分）如图，二次函数y=ax2+bx﹣4的图象经过A（﹣1，0）、B（4，0）两点，于y轴交于点D．（1）求这个二次函数的表达式；（2）已知点C（3，m）在这个二次函数的图象上，连接BC，点P为抛物线上一点，且∠CBP=60°．①求∠OBD的度数；②求点P的坐标．27．（12分）【问题提出】我们借助学习“图形的判定”获得的经验与方法对“平行四边形的判定”进一步探究．【初步思考】在一个四边形中，我们把“一组对边平行、一组对边相等、一组对角相等或一条对角线被另一条对角线平分”称为一个条件．如图1，四边形ABCD中，我们用符号语言表示出所有的8个条件：①AB=CD；②AD=BC；③AB∥CD；④AD∥BC；【深入探究】小莉所在学习小组进行了研究，她们认为2个条件可分为以下六种类型：Ⅰ关于对边的2个条件；Ⅱ关于对角的2个条件；Ⅲ关于对角线的2个条件；Ⅳ关于边的条件与角的条件各1个；Ⅴ关于边的条件与对角线的条件各1个；Ⅵ关于角的条件与对角线的条件各1个．（1）小明认为“Ⅰ关于对边的2个条件”可分为“①②，③④，①③，①④”共4种不同种类的情形．请你仿照小明的叙述对其它五种类型进一步分类．（2）小红认为有4种情形是平行四边形的判定依据．请你写出其它的三个判定定理．定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；定理1：；定理2：；定理3：．（3）小刚认为除了4个判定依据外，还存在一些真命题，他写出了其中的1个，请证明这个真命题，并仿照他的格式写出其它真命题（无需证明）：真命题1：四边形ABCD中，若∠BAD=∠BCD，∠ABC=∠ADC，则四边形ABCD是平行四边形．（4）小亮认为，还存在一些假命题，他写出了其中的1个，并举反例进行了说明，请你仿照小亮的格式写出其它假命题并举反例进行说明．假命题1：四边形ABCD中，若AB=CD，AD∥BC，则四边形ABCD不一定是平行四边形．反例说明：如图2，四边形ABCD中，AB=CD，AD∥BC，显然四边形ABCD不是平行四边形．参考答案与试题解析一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1．（2分）据报道，截止2016年12月27日，根据江苏作家张嘉佳小说改编的电影《摆渡人》累计票房达32800万元，用科学记数法表示32800万元是（）A．328×106元B．32.8×107元C．3.28×108元D．0.328×109元【解答】解：将32800万用科学记数法表示为：3.28×108，故选：C．2．（2分）下列学生剪纸作品中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【解答】解：A、是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项错误；B、是中心对称图形，也是轴对称图形，故本选项正确；C、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项错误；D、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项错误．故选：B．3．（2分）计算3﹣2的结果是（）A．﹣6 B．C．D．﹣【解答】解：3﹣2=，故选：C．4．（2分）使式子有意义的x的取值范围是（）A．x＞1B．x＜1C．x≠1D．x≥1【解答】解：根据题意，得2x﹣2≥0，解得，x≥1．故选：D．5．（2分）一块长方形菜园，长是宽的3倍，如果长减少3米，宽增加4米，这个长方形就变成一个正方形．设这个长方形菜园的长为x米，宽为y米，根据题意，得（）A．B．C．D．【解答】解：设这个长方形菜园的长为x米，宽为y米，根据题意，得．故选：B．6．（2分）下列关于正方形的叙述，正确的是（）A．正方形有且只有一个内切圆B．正方形有无数个外接圆C．对角线相等且垂直的四边形是正方形D．用一根绳子围成一个平面图形，正方形的面积最大【解答】解：A、正确．正方形有且只有一个内切圆；B、错误．正方形有且只有一个外接圆；C、错误．对角线相等且垂直的四边形不一定是正方形；D、错误．用一根绳子围成一个平面图形，圆形的面积最大；故选：A．二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）7．（2分）的相反数是﹣，的倒数是．【解答】解：的相反数是﹣，倒数是．故答案为﹣，．8．（2分）若△ABC∽△DEF，请写出1个正确的结论：答案不唯一，如：∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F，==等．【解答】解：答案不唯一，如：∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F，==等；故答案为：答案不唯一，如：∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F，==等．9．（2分）把4x2﹣16因式分解的结果是4（x+2）（x﹣2）．【解答】解：原式=4（x2﹣4）=4（x+2）（x﹣2）故答案为：4（x+2）（x﹣2）10．（2分）已知x1、x2是一元二次方程x2+x﹣5=0的两个根，则x12+x22﹣x1x2= 16 ．【解答】解：根据题意得x1+x2=﹣1，x1x2=﹣5，所以x12+x22﹣x1x2=（x1+x2）2﹣3x1x2=（﹣1）2﹣3×（﹣5）=16．故答案为16．11．（2分）已知点A（3，y1）、B（m，y2）是反比例函数y=的图象上的两点，且y1＜y2．写出满足条件的m的一个值，m可以是2（答案不唯一）．【解答】解：∵y=的图象位于一三象限，点A在第一象限，∴y1＞0，y随x的增大而减小．∵当m＜0时，点B位于第三象限，∴y2＜0．故假设不成立．当m＞0时，点B位于第一象限，∴y2＞0．又∵y1＜y2，∴m＜3．∴0＜m＜3．所以m的值可为2．故答案为：2．12．（2分）如图，∠3=40°，直线b平移后得到直线a，则∠1+∠2= 220 °．【解答】解：如图，∵直线b平移后得到直线a，∴a∥b，∴∠1+∠4=180°，即∠4=180°﹣∠1，∵∠5=∠3=40°，∴∠2=∠4+∠5=180°﹣∠1+40°，∴∠1+∠2=220°．故答案为220．13．（2分）如图，顺次连接菱形ABCD的各边中点E、F、G、H．若AC=a，BD=b，则四边形EFGH的面积是ab ．【解答】解：∵点E、F分别是菱形AB、BC边上的中点，∴EF是△ABC的中位线，∴EF=AC，且EF∥AC．同理，HG=AC，且HG∥AC，∴EF=HG，且EF∥HG．∴四边形EFGH是平行四边形．∴EH∥FG，EH=FG=BD．又∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴EF⊥EH，∴四边形EFGH的面积=EF•EH=a•b=ab．故答案是：ab．14．（2分）如图，△AOB和△COD中，∠AOB=∠COD=90°，∠B=40°，∠C=60°，点D在OA上．将△COD绕点O顺时针旋转一周，在旋转过程中，当旋转角是100或280 °时，CD∥AB．【解答】解：①两三角形在点O的同侧时，如图1，设CD与OB相交于点E，∵AB∥CD，∴∠CEO=∠B=40°，∵∠C=60°，∠COD=90°，∴∠D=90°﹣60°=30°，∴∠DOE=∠CEO﹣∠D=40°﹣30°=10°，∴旋转角∠AOD=∠AOB+∠DOE=90°+10°=100°；②两三角形在点O的异侧时，如图2，延长BO与CD相交于点E，∵AB∥CD，∴∠CEO=∠B=40°，∵∠C=60°，∠COD=90°，∴∠D=90°﹣60°=30°，∴∠DOE=∠CEO﹣∠D=40°﹣30°=10°，∴旋转角为270°+10°=280°，综上所述，当旋转角为100°或280°时，边CD恰好与边AB平行．故答案为：100或280．15．（2分）平面直角坐标系中，原点O关于直线y=﹣x+4对称点O1的坐标是（，）．【解答】解：如图，∵原点O关于直线y=﹣x+4对称点O1，∴OO1⊥AB，设O1O与直线y=﹣x+4的交点为D，作O1E⊥x轴于E，由直线y=﹣x+4可知A（3，0），B（0，4），∴OA=3，OB=4，∴AB=5，∵S△AOB=OA•OB=AB•OD，∴OD==，∴OO1=，∵∠ADO=∠O1EO=90°，∠AOD=∠EOO1，∴△AOD∽△O1OE，∴=，即=，∴OE=，∴O1E==，∴点O1的坐标是（，），故答案为（，）．16．（2分）定点O、P的距离是5，以点O为圆心，一定的长为半径画圆⊙O，过点P作⊙O的两条切线，切点分别是B、C，则线段BC的最大值是 5 ．【解答】解：∵PC、PB是⊙O的切线，∴∠PCO=∠PBO=90°，∴点C、B在以OP为直径的圆上，∵BC是这个圆的弦，∴当BC=OP=5时，BC的值最大（直径是圆中最长的弦）．故答案为5．三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（6分）先化简，再求值：，其中x=3．【解答】解：原式=+•=+1=，当x=3时，原式==2．18．（7分）（1）解不等式﹣≤1，并把它的解集在数轴上表示出来；（2）若关于x的一元一次不等式x≥a只有3个负整数解，则a的取值范围是﹣4＜a≤﹣3 ．【解答】解：（1）∵2x﹣3（x﹣1）≤6，∴2x﹣3x+3≤6，解得x≥﹣3，这个不等式的解集在数轴上表示如下：．（2）∵关于x的一元一次不等式x≥a只有3个负整数解，∴关于x的一元一次不等式x≥a的3个负整数解只能是﹣3、﹣2、﹣1，∴a的取值范围是：﹣4＜a≤﹣3．故答案为：﹣4＜a≤﹣3．19．（6分）QQ运动记录的小莉爸爸2月份7天步行的步数（单位：万步）如下表：日期2月6日2月7日2月8日2月9日2月10日2月11日2月12日步数2.1 1.7 1.8 1.9 2.0 1.8 2.0（2）求小莉爸爸这7天中每天步行的平均步数；（3）估计小莉爸爸2月份步行的总步数．【解答】解：（1）用折线统计图表示小莉爸爸这7天内步行的步数如下：；（2）小莉爸爸这7天内每天步行的平均步数为：=×（2.1+1.7+1.8+1.9+2.0+1.8+2.0）=1.9（万步）．（3）小莉爸爸2月份步行的步数约为：1.9×28=53.2（万步）．20．（7分）如图，转盘的白色扇形和黑色扇形的圆心角分别为120°和240°．让转盘自由转动2次，求指针一次落在白色区域，另一次落在黑色区域的概率．【解答】解：由图得：白色扇形的圆心角为120°，故转动一次，指针指向白色区域的概率为：=，则转动一次，指针指向阴影区域的概率为：，故让转盘自由转动两次．指针一次落在黑色区域，另一次落在白色区域的概率是：2××=．21．（7分）如图①，窗帘的褶皱是指按照窗户的实际宽度将窗帘布料以一定比例加宽的做法，褶皱之后的窗帘更能彰显其飘逸、灵动的效果．其中，窗宽度的1.5倍为平褶皱，窗宽度的2倍为波浪褶皱．如图②，小莉房间的窗户呈长方形，窗户的宽度（AD）比高度（AB）的少0.5m，某种窗帘的价格为120元/m2．如果以波浪褶皱的方式制作该种窗帘比以平褶皱的方式费用多180元，求小莉房间窗户的宽度与高度．【解答】解：设小莉房间窗户的宽度为xm，则高度为（x+0.5）m．根据题意，得（2﹣1.5）x（x+0.5）×120=180，解得x1=﹣2，x2=1.5．所以x=1.5，x+0.5=2．答：小莉房间窗户的宽度为1.5m，则高度为2m．22．（7分）如图，爸爸和小莉在两处观测气球的仰角分别为α、β，两人的距离（BD）是200m，如果爸爸的眼睛离地面的距离（AB）为1.6m，小莉的眼睛离地面的距离（CD）为1.2m，那么气球的高度（PQ）是多少m？（用含α、β的式子表示）【解答】解：过点A作AE⊥PQ于点E，过点C作CF⊥PQ于点F，设PQ=xm，则PE=（x﹣1.6）m，PF=（x﹣1.2）m．在△PEA中，∠PEA=90°．则tan∠PAE=．∴AE=．在△PCF中，∠PFC=90°．则tan∠PCF=．∴CF=．∵AE+CF=BD．∴+=200．解，得x=．答：气球的高度是m．23．（8分）命题：有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称“等角对等边”）．已知：如图，△ABC中，∠B=∠C．求证：AB=AC．三位同学作出了三种不同的辅助线，并完成了命题的证明．小刚的方法：作∠BAC 的平分线AD，可证△ABD≌△ACD，得AB=AC；小亮的方法：作BC边上的高AD，可证△ABD≌△ACD，得AB=AC；小莉的方法：作BC边上的中线AD．（1）请你写出小刚与小亮方法中△ABD≌△ACD的理由：AAS ；（2）请你按照小莉的思路完成命题的证明．【解答】解：（1）△ABD≌△ACD的理由是AAS，故答案为AAS．（2）证明：过点D作DE⊥AB于点E，过点D作DF⊥AC于点F．∵∠BED=∠CFD=90°，∠B=∠C，BD=CD．∴△BDE≌△CDF（AAS）．∴BE=CF，DE=DF．在Rt△AED和Rt△AFD中，∠AED=∠AFD=90°．∵AD=AD，DE=DF，∴Rt△AED≌Rt△AFD．∴AE=AF．∴AE+BE=AF+CF．即AB=AC．24．（8分）已知：如图，△ABC的外接圆是⊙O，AD是BC边上的高．（1）请用尺规作出⊙O（不写作法，保留作图痕迹）；（2）若AB=8，AC=6，AD=5.4，求⊙O的半径．【解答】解：（1）如图，⊙O是所求作的图形．（2）如图，作⊙O的直径AE，连接BE．∵AE是直径，∴∠ABE=90°．∵∠ADC=∠ABE=90°，∠C=∠E，∴△ABE∽△ADC，∴=．即=，解得AE=．∴⊙O的半径为．25．（10分）快车和慢车同时从甲地出发，匀速行驶，快车到达乙地后，原路返回甲地，慢车到达乙地停止．图①表示两车行驶过程中离甲地的路程y（km）与出发时间x（h）的函数图象，请结合图①中的信息，解答下列问题：（1）快车的速度为km/h，慢车的速度为150 km/h，甲乙两地的距离为50 km；（2）求出发多长时间，两车相距100km；（3）若两车之间的距离为s km，在图②的直角坐标系中画出s（km）与x（h）的函数图象．【解答】解：（1）快车的速度为300÷2=150km/h，慢车的速度为：300÷6=50km/h，甲乙两地的距离为300km，故答案为：150，50，300；（2）快车在行驶过程中离A地的路程y1与时间x的函数关系式：当0≤x＜2时，y1=150x，当2≤x≤4时，y1=300﹣150（x﹣2），即y1=600﹣150x．慢车在行驶过程中离A地的路程y2与时间x的函数关系式：当0≤x≤6时，y2=50x，由题意，得①当0≤x＜2时，y1﹣y2=100，150x﹣50x=100，解得x=1；②当2≤x＜3时，y1﹣y2=100，600﹣150x﹣50x=100，解得x=2.5；③当3≤x＜4时，y2﹣y1=100，50x﹣（600﹣150x）=100，解得x=3.5；④当4≤x≤6时，两车相距大于100km．答：出发1 h或2.5h或3.5h后，两车相距100km；（3）s与x的函数图象如图所示：26．（10分）如图，二次函数y=ax2+bx﹣4的图象经过A（﹣1，0）、B（4，0）两点，于y轴交于点D．（1）求这个二次函数的表达式；（2）已知点C（3，m）在这个二次函数的图象上，连接BC，点P为抛物线上一点，且∠CBP=60°．①求∠OBD的度数；②求点P的坐标．【解答】（1）由题意知：，解得．∴该二次函数的表达式为y=x2﹣3x﹣4；（2）①∵当x=0时，y=﹣4．∴抛物线与y轴交点D的坐标为（0，﹣4）．∵在△BOD中，∠BOD=90°，OB=4，OD=4，∴BD==8，即BD=2OB，∴∠ODB=30°．∴∠OBD=60°；②过点P作PE⊥x轴于点E，过点C作CF⊥BD于点F，∵x=3时，m=﹣4．∴点C的坐标为（3，﹣4）．∵CD∥x轴，∴CD=3，∠CDB=60°，∠DCF=30°．∴DF=CD=，CF==，∵BD=8，∴BF=8﹣=，设点P的坐标为（x，x2﹣3x﹣4）．则PE=﹣x2+3x+4，BE=4﹣x，∵∠CBP=∠OBD=60°，∴∠CBF=∠PBE．∵∠CFB=∠PEB=90°．∴△CBF∽△PBE．∴=．∴=．解得：x1=4（舍去），x2=﹣．∵当x=﹣时，y=﹣．∴点P的坐标为（﹣，﹣）．27．（12分）【问题提出】我们借助学习“图形的判定”获得的经验与方法对“平行四边形的判定”进一步探究．【初步思考】在一个四边形中，我们把“一组对边平行、一组对边相等、一组对角相等或一条对角线被另一条对角线平分”称为一个条件．如图1，四边形ABCD中，我们用符号语言表示出所有的8个条件：①A B=CD；②AD=BC；③AB∥CD；④AD∥BC；⑤∠BAD=∠BCD；⑥∠ABC=∠ADC；⑦OA=OC；⑧OB=OD．【深入探究】小莉所在学习小组进行了研究，她们认为2个条件可分为以下六种类型：Ⅰ关于对边的2个条件；Ⅱ关于对角的2个条件；Ⅲ关于对角线的2个条件；Ⅳ关于边的条件与角的条件各1个；Ⅴ关于边的条件与对角线的条件各1个；Ⅵ关于角的条件与对角线的条件各1个．（1）小明认为“Ⅰ关于对边的2个条件”可分为“①②，③④，①③，①④”共4种不同种类的情形．请你仿照小明的叙述对其它五种类型进一步分类．（2）小红认为有4种情形是平行四边形的判定依据．请你写出其它的三个判定定理．定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；定理1：两组对边分别相等的四边形是平行四边形；定理2：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形．（3）小刚认为除了4个判定依据外，还存在一些真命题，他写出了其中的1个，请证明这个真命题，并仿照他的格式写出其它真命题（无需证明）：真命题1：四边形ABCD中，若∠BAD=∠BCD，∠ABC=∠ADC，则四边形ABCD是平行四边形．（4）小亮认为，还存在一些假命题，他写出了其中的1个，并举反例进行了说明，请你仿照小亮的格式写出其它假命题并举反例进行说明．假命题1：四边形ABCD中，若AB=CD，AD∥BC，则四边形ABCD不一定是平行四边形．反例说明：如图2，四边形ABCD中，AB=CD，AD∥BC，显然四边形ABCD不是平行四边形．【解答】（1）解：Ⅱ关于对角的2个条件可分为“⑤⑥”共1种情形；Ⅲ关于对角线的2个条件可分为“⑦⑧”共1种情形；Ⅳ关于边的条件与角的条件各1个可分为“①⑤，③⑤”共2种情形；Ⅴ关于边的条件与对角线的条件各1个可分为“①⑦，③⑦”共2种情形；Ⅵ关于角的条件与对角线的条件各1个可分为“⑤⑦，⑥⑦”共2种情形．（2）解：定理2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形；定理3：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；定理4：对角线互相平分的四边形是平行四边形．故答案为：两组对边分别相等的四边形是平行四边形，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，对角线互相平分的四边形是平行四边形（3）证明：∵∠BAD+∠ABC+∠BCD+∠ADC=360°，∠BAD=∠BCD，∠ABC=∠ADC，∴2∠BAD+2∠ABC=360°，2∠ABC+2∠BCD=360°．∴∠BAD+∠ABC=180°，∠ABC+∠BCD=180°．∴AD∥BC，AB∥CD．∴四边形ABCD是平行四边形．真命题2：四边形ABCD中，若AB∥CD，∠BAD=∠BCD，则四边形ABCD是平行四边形；真命题3：四边形ABCD中，若AB∥CD，OA=OC，则四边形ABCD是平行四边形；真命题4：四边形ABCD中，若∠ABC=∠AD C，OA=OC，则四边形ABCD是平行四边形；（4）解：假命题2：四边形ABCD中，若AB=CD，∠BAD=∠BCD，则四边形ABCD不一定是平行四边形．反例如下：如图△ABC中，AB=AC，在BC上取一点D，连接AD，把△ADC翻转得如图所示的四边形ABDC，∵AB=AC，∴∠B=∠C．在四边形ABDC中，AB=CD，∠B=∠C，显然，四边形ABDC不是平行四边形．假命题3：四边形ABCD中，若AB=CD，OA=OC，则四边形ABCD不一定是平行四边形．反例如下：如图，OA=OC，直线l经过点O，分别以A、C为圆心，一定的长为半径画弧交直线l于点B、D，得如图所示的四边形ABCD，在四边形ABCD中，AB=CD，OA=OC，显然，四边形ABDC不是平行四边形．假命题4：四边形ABCD中，若∠BAD=∠BCD，OA=OC，则四边形ABC D不一定是平行四边形．反例如下：如图，筝形ABCD中，∠BAD=∠BCD，OA=OC，显然四边形ABCD不是平行四边形．。

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